（基础数学专业论文）规范固定yangmills热流及相关问题研究.pdf

摘要 本论文主要讨论主丛上的规范固定y a n g - m i l l s 热流 f 豢= 一( d 盖f a + d a d * a n ) ，a = a 。怕 1 缸_ o t 我们在紧致无边黎曼流形上的以半单紧致李群为结构群的主丛上，推导了在规 范固定y a n g - m i l l s 热流下曲率及其高阶导数的演化方程，得到了该热流的能量 不等式和b o e h n e r 估计，由此可推出单调性公式和小作用量正则性，以及曲率各 阶导数的局部一致估计我们还推导出了a 的高阶导数的演化方程，得到了a 的 最大模估计和高阶局部一致估计由此，我们给出了规范固定y a n g - m i l l s 热流长 时间存在性的一个刻画 作为上述工作的补充，我们讨论了规范固定y a n g - m i l l s 方程，并用连续性方 法得到了一个在四维紧致黎曼流形上解的存在性定理 在本论文的最后部分，我们在紧复流形上讨论类k a z d a n w a r n e r 型方程， 用h 下解方法得到了光滑解存在的k a z d a n w a r n e r 型定理，并将其用于研究全 纯线丛的涡旋方程，得到了一个具有预定全纯截面的厄米度量的存在定理 关键词：规范固定，y a n g m i l l s ，热流，能量不等式，b o c h n e r 估计，单调性公 式，小作用量正则性，最大模估计，局部一致估计，连续性方法，上下解方法， k a z d a n w a r n e r 型方程，全纯线丛，涡旋方程，预定全纯截面 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ew i l lm a i n l ys t u d yt h eg a u g ef i x i n gy a n g m i l l sh e a tf l o wo f ap r i n c i p a lb u n d l e 瓦o a = 一( 蛾乃+ d a d 二【口) ，4 = 以。+ n ， 【a l b o = 0 f o rap r i n c i p l eb u n d l ew i t hac o m p a c ts e m e - s i m p l el i eg r o u pa ni t ss t r u c t u r e g r o u po v e rac o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t h o u tb o u n d a r y , t h ee v o l u t i o n so f t h ec u r v a t u r ea n di t sh i i g h e rd e r i v a t i v e su n d e rt h ef l o wa b o v ew i l lb ed e r i v e d ，a n d t h ee n e r g yi n e q u a l i t ya n dt h eb o e h n e rt y p ee s t i m a t e sw i l lb eo b t a i n e d t h e n ，t h e m o n o t o n i c i t yf o r m u l aa n dt h es m a l la c t i o nr e g u l a r i t yt h e o r e mc a n b ep r o v e d w e w i l lg i v et h el o c a l l yu n i f o r me s t i m a t e sf o rt h eh i g h e rd e r i v a t i v e so ft h ec u r v a t u r e a f t e rd e r i v i n gt h ee v o l u t i o no ft h ed e r i v a t i v e so fa ，w ew i l lh a v et h em a x i m u m e s t i m a t ef o raa n dt h el o c a l l yu n i f o r me s t i m a t e sf o ri t sh i g h e rd e r i v a t i v e s ，t h e n w ew i l lg i v eak i n do fd e s c r i p t i o no ft h el o n gt i m ee x i s t e n c e a st h ec o m p l e m e n tt ot h ew o r ka b o v e ，w ew i l ld i s c u s st h eg a u g ef i x i n g y a n g - m i l l se q u a t i o n u s i n gt h ec o n t i n u i t ym e t h o d ，w ew i l lo b t a i n at h e o r e m o fe x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ee q u a t i o no n4 - d i m e n s i o n a lc o m p a c tr i e m a n n i a n m a n i f o l d s f i n a l l y , w ew i l lc o n s i d e rak i n do fk a z d a _ 1 l - w a r n e rt y p ee q u a t i o n o nc o m p a c t c o m p l e xm a n i f o l d s b ym e a no ft h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，w ew i l l o b t a i nae x i s t e n c et h e o r e ml i k ek a z d a n w a r n e r s u s i n gt h i st h e o r e m ，w ew i l l s t u d yt h ev o r t e xe q u a t i o ni nh o l o m o r p h i cl i n eb u n d l eo v e rc o m p l e xm a n i f o l da n d p r o v eat h e o r e mo fe x i s t e n c eo fh e r m i t i a nm e t r i cw i t hap r e s c r i b e dh o l o m o r p h i c s e c t i o n k e y w o r d s ：g a u g ef i x i n g ，y a n g - m i l n ，h e a tf l o w ，e n e r g yi n e q u a l i t y , b o c t m e r t y p ee s t i m a t e s ，m o n o t o n i c i t yf o r m u l a ，s m a l la c t i o nr e g u l a r i t y , m a x i m u me s t i m a t e ，l o c a l l yu n i f o r me s t i m a t e s ，c o n t i n u i t ym e t h o d ，m e t h o do fu p p e ra n dl o w e r a b s t r a c t s o l u t i o n s ，k a z d a n w a r n e rt y p ee q u a t i o n ，h o l o m o r p h i cl i n eb u n d l e ，v o r t e xe q u a - t i o n ，p r e s c r i b e dh o l o m o r p h i cs e c t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了 明确的说明并表示谢意 作者签名：尘坠垄盔 日期 学位论文使用授权声明 三口d z ，。 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将 学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权 将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出 版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：鱼k 查蕴 导师签名 日期：兰! ! i 二i 鱼日期 迎 如i b ，6 ， 第一章引言 在现代微分几何学巾，当我们试图去刻画几何对象的性态时，它们常常以微 分方程的形式表现出来几何分析的主要目的就是要以分析的手段，通过研究 几何中出现的微分方程，来达到对几何对象的了解由于我们总是希望所要探 讨的几何对象具有某种最优结构或最优性质，所以这些微分方程一般具有某种 相应的交分结构在整体微分几何研究中出现的方程大多为非线性偏微分方程， 具有椭圆性或某种非严格椭圆性，如：极小曲面方程，调和映照方程，y a m a b e 方 程，预定曲率方程，y a n g - m i l l s 方程，等等通过椭圆方程的理论，特别是变分学 方法对这些方程加以分析和研究已取得了大量成果 除了用椭圆型偏微分方程理论和变分法对几何中的偏微分方程加以研究 外，另一种系统的偏微分方程理论也在几何分析l 卜l 得到了充分的应用，这就是非 线性抛物方程的理论，或简称为热流方法热流方法的基本思想是把几何对象 看作是一个动态的结构，随时间而演化，演化的规律以抛物型方程的形式呈现 出来我们通过椭圆型方程所研究的几何对象无非是这个动态结构的演化结果 理论上，所有椭圆型方程的解都可能通过对应的抛物型方程加以了解这一思 想最早和最成功的范例就是e e l l s 和s a m p s o n 1 7 1 在上世纪六十年代所引入的调 和映照热流通过热流方法，他们得到了从紧致黎曼流形到具非正截面曲率的 黎曼流形上调和映照的存在性随后，热流方法在几何分析中有了更广泛的应 用，如对r i c c i 流2 2 1 和y a n g - m i l l s 热流的研究 由于任何物理现象总是发生在空间之中，而几何学研究的正是空间的性质， 所以，从哲学的观点来看，几何学与物理学有着密切的联系就点也不奇怪了 正如欧几里得几何学之于牛顿的经典力学，( 非) 黎曼几何之于爱因斯坦的广义 相对论，我们在本论文中涉及的规范场的数学理论之于量子力学，是几何学与物 理学之间深刻而广泛联系的又一个明证从技术的层面来看，许多几何偏微分 方程所具有的变分结构似乎是物理学的基本原理在数学中的体现，几何学与物 理学从不同的动机和角度出发又殊途同归的现象，反映了这两个科学领域互为 表里，互相依存的关系 第一章引言 2 1 1 研究背景 1 9 8 2 年，m f a t i y a h 和r b o t tf 1 1 在研究黎曼面上的y a n g - m i l l s 方程时， 探讨了y a n g - m i l l s 理论与经典的m o r s e 理论的联系，提出必须解析地证明y a n g - m i l l s 泛函的最速下降道路在适当的强意义下总是收敛于一个临界点但他们 并没有进一步将这一思路发展下去1 9 8 5 年，s k d o n a l d s o n 1 5 】在研究代数 几何中射影簇上的的稳定丛与四维黎曼流形上a s d 联络的关系时，用y a n g - m i l l s 热流作为分析工具，为此较为系统地提出t y a n g - m i l l s 热流的相关理论，包 括y a n g m i l l s 热流的短时存在性，曲率的演化方程和一些重要的估计，并对紧 致k i i t l l e r 曲面上的厄米全纯向量丛证明了y a n g - m i l l s 热流的长时存在性 1 9 9 2 年，j r 五d e 3 4 i i e 明了在二维和三维紧致黎曼流形上，y a n g m i l l s 热 流长时间存在，并收敛到一个y a n g - m i l l s 联络1 9 9 4 年，h n a i t of 3 2 证明了在 流形的维数大于4 的情形下，y a n g - m i l l s 热流可能在有限时间发生奇性至于当 流形的维数等于4 时，y a n g - m i l l s 热流是否总是长时间存在的，亦或在某些情形 会在有限时间发生奇性，目前尚属未知，即我们既不能一般地证明在紧致四维流 形上y a n g m i l l s 热流的长时存在性，也举不出在有限时间发生奇性的例子 y a n g - m i l l s 热流与调和映照流的行为有相似之处，将二者对照加以研究是 一种行之有效的方法当然，由于有规范变换的因素，y a n g - m i l l s 热流更加复 杂，也更加难于处理1 9 9 4 年，m s t r u w ef 4 2 1 仿照处理黎曼曲面上调和映照流 的方法，给出了紧致四维黎曼流形上，y a n g - m i l l s 热流弱解的长时存在性和唯一 性，并且证明在奇性发生的时刻，只在有限个点发生爆破y m c h e n 和c l s h e n 1 0 1 给出了y a n g - m i l l s 热流的单调性公式和小作用量正则性，并将其用 于对y a n g - m i l l s 热流渐近性态的研究f 1 1 1 而在1 9 9 2 年，k 一c c h a n g ，w 一y d i n g 和r y e 9 1 就给出了曲面上调和映照流有限时间发生爆破的例子四维 的y a n g m i l l s 理论与二维的调和映照都是所谓的临界情形，它们都有共形不变 性，其奇点的行为也有相同之处，j s a c k s 和k u h l e n b e c k 3 5 1 对二维球面上 调和映照的研究和k u h l e n b e c k 4 3 1 的四维y a n g - m i l l s 场奇点可去定理就是一 个极好的例证这似乎提示人们去寻求四维流形上y a n g - m i l l s 热流在有限时 间发生爆破的例子但迄今为止，许多研究都支持“四维流形上的y a n g - m i l l s 热流必有长时间存在性”的猜测1 9 9 6 年，a s c h l a t t e r 3 8 】给出了当初始能 量具有由p o n t r y a g i n 数给出的上界的条件下，s 4 上y a n g - m i l l s 热流的长时间 存在性1 9 9 8 年，a s c h l a t t e r ，m s t r u w e 和a s t a v i l d a h z a d e h 4 0 1 对琏4 中 第一章0 l言 3 球体的s u ( 2 1 丛上的s o ( 4 ) 等变联络，在有限能嫩的初值和边界条件下，证明 了魄蟹m i l l s 热流鹃长时霹存在性，最邋，m 。一c hh o n g 帮g 。t i a n 2 5 对强4 中 的m 一等黛y a n g - m i l l s 热流诫明了长时间存在性 在上述对y a n g m i l l s 热流的长时间存在性所作的探索中，j r a d e 所用的方 法其舂寝发意义。德鹣方法又楚受垂了r i c e i 滚磷究爨窟发+ 峦予r i c c i 滚掰奚 有的非严格抛物性，1 9 8 2 年r s h a m i l t o n 在他开g l j r i c c i 流研究的奠基性论文 f 2 2 1 中，利用n a s h - m o s e r 隐函数定理，使用了艰深的分析手段来建立r i c c i 流的短 辩闻存在後，d m d e t h r c k 1 4 1 随帮采蠲了更翔巍然蔗穗静办法褥翔了穗霹瓣 结论他的基本思想是：如果目( t ) 满足p d c c i 流的方程，则( 9 ( t ) ，r i c g ( t ) ) 就满足一 个本质上与r i c c i 滚戆方程等价黥抛物方程组，面标准静抛物方程理论保证了爨 卷的短时阐存在性r h d e 考虑抛物方程缝 l 等一一蛾q ， i 掣；一d q 、优 麴渠建j l i ! y a n g - m i l l s 热滚黪瓣，簧| l f 直，乒1 ) 羲是上裂方程组貔鳃毽用上列方程 组证明了二维和三维紧致黎曼流形上y a n g - m i l l s 热流的长时间存在性，并证明 了其解收敛到一个y a n g - m i l l s 联络遗憾的是，他的方法不能推广到删维情形 其实d e r & 遥有一个燹好静办法，只不过缀长一段辩阂并未公羚发表，只 足在最近他重新整璁1 4 1 时，采用了新的证法虽然如此，许多有关几何热流短 酣闼存在性的证携郝采趸了锻豹思想，谯括d o n a l d s o n 在 l 魏中短对间存在性 的证法爽似r a d e 的考虑，我们也想尝试用d e t u r c k 静第二种方法去探讨四维 流形j ：y a n g m i l l s 热流的长时间存在性，从而自然导向了规范固定y a n g m i l l s 热浚兹研究这裁是我爨在本论文中爱遴学费臻突缝主要动穗 1 2 主要结果 在第二章中，我们对本论文所涉及的基本知识作了概略孵介绍，对所用的符 号加以了说明在接下来的三距中，分别用连续性方法对规范固定y a n g - m i l l s 方 程进行霹究，溪热滚方法对援藏固定璩睡g 一硅l i s 熬溅送行分掇，霆上下解方法对 餐流形上的一类k a z d a n w a r n e r 型方程进行探讨 第一章引言 4 1 2 1 规范固定y a n g - m i l l s 方程 在第三章中，我们在以紧致无边黎曼流形m 为底，紧致半单李群g 为结构 群的主丛尸( m ，g ) 上，研究规范固定y a n g - m i l l s 方程 p ( a ) id b d * b a + 略f b = 0 ，b = a + a ， 其中a 为主9 , p ( m ，g ) 上给定的联络，a q 1 ( a d ( p ) ) 为取值在伴随丛a d ( p ) 上的1 形式 在第一节中，我们介绍了k u h l e n b e c k 4 4 的局部库仑规范存在定理及其 背景和意义，并由此引入了规范固定y a n g m i l l s 方程的定义在第二节中，我们 做了一些对本论文的研究很有必要的基本计算在第三节中，我们给出了一个规 范固定y a n g - m i l l s 方程的存在性定理 定理1 1 在四维紧致无边黎曼流形m 上，p ( m ，g ) 是以紧致半单李群g 为结 构群的主丛如果m 具有正定的r i c c i 曲率，则存在只与m 有关的常数 0 和c o 0 ，使得对p ( m ，g ) 上任意的满z - - i i f a l i e 的联络a ，规范固定y a n g m i l l s 方程p ( n ) = 0 都有解a q 1 ( a d p ) ，且ha 1 c oi i f a i i 这部分内容的主要参考文献为 1 5 ，1 6 ，1 8 ，4 3 ，4 4 】 1 2 2 规范固定y a n g - m i l l s 热流 规范固定y a n g - m i l l s 热流为下列初值为a o 的关于联络a 的演化方程： 俜= _ ( 骗+ d a d * a ( a - a o ) ) ， 【a i # o = a o 该方程等价于下列初值问题： 瓦o a = 一( d * a f a + d a d * a 口) ， 【n i b 0 = 0 其中毗n 1 ( a d ( p ) ) ，a t = a o + a t ，a o 为给定的联络 规范固定y a n g m i l i s 热流是s k d o n a l d s o n 1 5 为了解决y a n g - m i l l s 热流的 短时存在性而引入的( 亦可参见 16 】) ，所用想法源自d m d e t u r c k 1 4 在第四章中，我们首先推导了在规范固定y a n g - m i l l s 热流下，曲率及其高阶 导数的演化方程： 第+ 章引言 5 定理1 2 曲率的阶共变导数v 鲁f a 满足下列演化方程 百o v 盖f a = 一v 盖v v i f + ( v 。r m 带v 二乃+ v _ n 带v 二乃) + 4 a v 鲁f a t + j = k 用上述的演化方程得到了对抛物型方程的研究十分重要的能量不等式 干1 b o c h n e r 估计式： 定理1 , 3 设a 是规范固定y a n g m i l l s , 热流的正则解，0st t o 。，则 z ( 厶吲) d t + y i 、磊= 其中y 尬= y m ( a 。) 特别地，y 舰y ，并且如果t = o o ，则 z 。( 厶吲2 d y ) 舨o 。 定理1 4 设a 是规范固定y a n g 删f f s 热流的正则解若对所有的o p k ( k 1 ) 都有i v 盖乃i 0 ，使得对任意的( 。o ，t o ) m 0 ，t ) 和0 1 - l 忌 r m ，以及规范固定y a n g m i l l s 热流的任意正则解a ，都有 扛。，如) ( r 1 ) e x p ( c ( r 2 一只1 ) ) 妒扛。，。) ( r 2 ) + y m o ( c ( r 2 一r 1 ) 一1 ) ， 定理1 6 存在只与m 的几何相关的常数0 e o r m ，使得对规范固定y a n 9 一 m i l l s 热流在m 0 ，t ) ( 可能需假设丁月勃) 上的的任何正则解a ，下列陈述 为真? 如果对某个o r m i n ( e o ， 亍e ) ，不等式皿( 。c 0 , t o ) ( r ) 茎e o 成立，那么 s u p 知，i 死| 2 曼南， b r ( 。o ，。o ) “1 。，。 籀一- 章g l言 6 鼹中常数c 只依赖于m ，并且常数0 5 l 4 满足 南唧( 一赤) 岛两唧l 一画j 0 ，使得对规范固定) r a n g m i l l s 热流的 成则解a ，如果在p r ( x o ，t ) ，r e o 上，l 如l ，那么，对任意给定的 0 ，使得对规范固定y a n g - m i l l s 热流的 正则解a ，如果在琢( 。o ，刁，r e o 上，l a i 茎k ，那么，对任意给定的a 1 ， 在最s ( 篁。，? ) 上，有 v 身。a i 曼瓯，k = 1 ，2 ， 葵中常数q 只依教誓是，r ，a ，k ，以及榭的几何 第一章引言 7 在上述工作的基础上，我们给出了规范固定y a n g - m i l l s 热流长时间存在性 的一种刻画 定理1 1 1 在紧致无边黎曼流形m 上，p ( m ，g ) 是以紧致半单李群g 为结构群 的主丛p ( m ，g ) 上的规范固定拖伽- m i l l s 热流 塞一( d 盖f a + 出d 盖。) 【o l t ：o = 0 ， 在最大时问区n o t c o ，其中e o 是定理疗中的只与m 的几 何有关的常数 这部分内容的主要参考文献为f 1 0 ，1 1 ，1 5 ，1 6 ，此外亦可参阅 1 2 ，1 9 ，2 0 2 1 ，2 3 ，2 5 ，3 2 ，3 4 ，3 8 ，3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 2 ，4 6 卜 1 2 3k a z d a n - w a r n e r 型方程 在第五章中，我们在紧致复流形m 上研究方程 、一1 a 口a a 饥+ h e “一c = 0 ， 用上下解方法得到了一个- 与k a z d a n 乖l w a r n e r 在 2 8 中的定理相类似的结果 定理1 1 2 设m 是具有g a u d u c h o n 度量g 的紧致复流形那么，t f l 命题为真? ( j ) 如果c = 0 ，则上列方程存在解札c 。o ( m ) 的必要条件是 在m 上变 号 ( 2 ) 如果c 0 ，则上列方程存在解u c o 。( m ) 的必要条件是 在m 上的 某处必严格为正 ( 3 ) 如果c 礼时，d i m ( a ( k ) ) = o a i 而d i m ( a ( v , w ) ) = 2 r i m 我们也可在a ( vw ) 上定义外积运算 ，使得a ( uw ) 还是一个代数，称为 外代数这些内容在形式上与通常数域上相应的内容是类似的，我们这里暂且 略去 h “ 机 j 矿 如 u r 胁帅m 卜 第二章预备知识 1 3 2 2 2取值在李代数上的外形式空间 在我们以后的研究中，如无特殊声明，总取w = l i e ( g ) 设d i m m = n ，d i m g = m 我们在本文中采用求和约定，希腊字母肛， 代表流形m 的指标，重复指标表示从1 到n 求和；英文字母a ，b ，代表李代 数l i e ( g ) 的指标，重复指标表示从1 到m 求和 任取主丛尸( m ，g ) 的一个局部平凡化t v ：丌- 1 ( 矿) 一u g ，其中u 是m 的 一个坐标邻域，0 1 ，z 2 ，护是其上的局部坐标 我m j i r ( t ：u ( l i e ( g ) ) ) 为u 上的所有取值在李代数l i e ( g ) 上的( r ，s ) 型张 量场形成的空间特别地，记缈( 以l i e ( a ) ) = r ( h u ( l i e ( g ) ) ) 为u 上的所有取 值在李代数l i e ( g ) 卜的k _ 形式形成的空间记 r ( 阢l i e ( g ) ) = or ( 巧矿( l i e ( g ) ) ) ， r 0 ，s 0 在其上有张量积运算o 记 q ( l i e ( g ) ) = oq ( 阢三钯( g ) ) 0 七 f 三0 ，实数1 p f ，贝0 臻( 瞄( 4 d ( p ) ) ) + e 第二章 预备知识 若严格不等式一； 1 一；成立，则上述嵌入是紧嵌入 m s o b o l e v 嵌入定理，