（基础数学专业论文）一类微分方程的数值解法.pdf

中文摘要 在记忆材料的热传导、多孔粘弹性介质的压缩、原子反应、动 力学等问题中，常常碰到抛物型偏积分微分方程，对于该方程的数值 求解，国外的v t h o m e e ，w m c l e a n ， c h l u b i c h ，l w a h l b i n ， s a n z s e r n a ，e g y a n i k ，g f a i r w e a t h e r ，国内的陈传淼、黄元清、 徐大等做了大量的研究，他们采用了有限元方法、谱配置方法及样条 配置方法，但用l u b i c h 的拉普拉斯变换数值逆离散却很少涉及 本文考虑一类带弱奇异核抛物型偏积分微分方程时间、空间全 离散格式，采用l u b i c h 的拉普拉斯变换数值逆离散等方法进行数值 计算，主要结果如下： ( 1 ) 给出偏积分微分方程空间x 方向用有限差分法离散，时间t 方向用l u b i c h 的拉普拉斯变换数值逆离散的全离散格式，并进行数 值计算。 ( 2 ) 给出偏积分微分方程空间x 方向用线性有限元离散，时间t 方向用l u b i c h 的拉普拉斯变换数值逆离散的全离散格式，并进行数 值计算 以上两种方法计算结果精度较高，并且计算也比较简便 关键词：偏积分微分方程；拉普拉斯变换：数值逆 a b s t r a c t t h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p eo f t e n o c c u r si na p p li c a t i o ns u c ha sh e a tc o n d u c t i o ni nm a t e r i a lw i t h m e m o r y ，c o m r e s s i o no fp o r o v i s c o e l a s t i cm e d i a ，n u c l e a rr e a c t o r d y n a m i c s ，e c t t h e r e sa r e l o t s o fd o c u m e n t so fv t h o m e e ，w m c l e a n ， c h l u b i c h ，l w a h l b i n ，s a n z s e r n a ，e g y a n i k ，g f a i r w e a t h e ri n o v e r s e a sa n dc h u a n m i a oc h e n 、y u a n q i n gh u a n g 、d a - x ui nh o m e al o to ft h e mu s e f e m ：s p e c t r a lc o ll o c a ti o nm e t h o d s ：s p li n e c o llo c a tio nm e t h o d s b u tf e wo ft h e mu s en u m e r i c a li n v e r s i o nf o rt h e l a p l a c e t r a n s f o r mo fl u b i c h w es t u d yap a r t i a li n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp a r a - b o lict y p ew it haw e a k l ys i n g u l a rk e r n e l ，w h ic hu s en u m e r i c a l i n v e r s i o nf o rt h el a p l a c et r a n s f o r mo fl u b i c h f o rn u m e r i c a l c a l c u 】a t i o n ，m a i nr e s u l t sf o l l o w s ： ( 1 ) g i v eak i n do ff u l l yd i s c r e t es c h e m eo fa p a r t i a l i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hu s ef i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o dd i s c r e t ei nt h ed i r e c t i o no f s p a c exa n dn u m e r i c a l i n v e r s i o nf o rt h el a p l a c et r a n s f o r mo fl u b i c hi nt h ed i r e c t i o n o fti m etf o rn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ( 2 ) g i v eak i n do ff u l l yd i s c r e t es c h e m eo fa p a r t i a l i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hu s e1i n e a rf i n i t ee l e m e n t d i s c r e t ei nt h ed i r e c t i o no fs p a c exa n dn u m e r i c a li n v e r s i o n f o r t h el a p l a c et r a n s f o r mo fl u b i c hi nt h ed i r e c t i o no ft i m e tf o rn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n c a l c u l a t i n gr e s u l to ft w om e t h o d si sa c c u r a t l yh i g h e r ，a n d c a l c u l a t ei ss i m p l e ra l s o 一一一一- 鉴型卫型翌三二型型兰一一一一坐 l _ _ _ _ l l i 一- _ _ _ i - - _ - - _ - - - - _ _ i - i 一 k e yw o r d s ：p a r t i a li n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ：l a p l a c e t r a n s f o r m ：n u m e r i c a li n v e r s i o n 一炎微分方程的数值胛法 附录四湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑苇声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式标明本 人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位敝作者始：支p 和 卿年7 ，月7 舶 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被奄阅或借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩影或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一一年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“4 ) 作者签名： 又p 约j 哆年 ，月g 日 剥磁名i 考耘趵肋蛐 第一章序言 在工程、物理、生物、控制等许多领域的问题常常由偏微分方程 米描述但是在很多情况下，仅仅一个微分方程并不能精确的描述这 个物理系统，因为一个微分方程只能描述一个系统在某一固定时刻的 状况，它不能反应过去的效果积累；特别是在热传导、原子反应、动 力学和热电理论中，它们常常需要反映这个系统中的“记忆功效， 这就导致我们在基本的偏微分方程中增加一个积分项，从而得到偏积 分微分方程 我们将研究下面这类线性偏积分微分方程 甜，( x ，) 一s o t p ( t s ) “。( x ，j ) 凼= f i x , t ) ( 1 1 ) ( 其中核( f ) ：，一z r ( 昙) ，在f ：o 点是奇异的) o x s1 ，o ， 丁 满足如下边界条件： u ( o ，f ) = u o ，) = 0 0 ， 丁( 1 2 ) 和初始条件： u ( x ，o ) = v ( x ) 0 工1 ( 1 3 ) 近年来，国内外有很多人研究了这类线性偏积分微分方程，陈 传淼、v t h o m e e 和l b w a h l b i n 1 采用向后e u l e r 格式，空间方向 采用线性有限元，积分项通过内积求积技巧进行离散，得到解的正则 性条件及误差估计；w m c l e a n ，v t h o m e e 2 使用了e u l e r 和二阶向后 差分格式，空问方向用g a l e r k i n 有限元方法，并给出了问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的正则性估计：s a n z - s e r n a 3 也研究了这类问题，在时 间方向，他采用了向后e u l e r 格式和一阶卷积求积逼近积分项，对光 滑与非光滑的初始值导出了相应的误差估计：徐大 4 考虑了e u l e r 和g r a n k n i c o l s o n 格式和一阶、二阶卷积求积，得到了带权的误差 估计；e g y a n i k ，g f a i r w e a t h e r 5 使用g a l e r k i n 和配置方法进行 时间离散，得到最优阶误差估计； 6 空间方向使用正交样条配置方 法，得到空间半离散的稳定性和收敛性； 7 考虑了不连续g a l e r k i n 方法( d g ) 、稀疏求积公式、得到问题的先验和后验估计，并给出了 白适用算法； 8 先通过l a p l a c e 变换及逆变换把解表示为光滑围道 上的积分，从而可以采用并行算法来数值求解； 9 考虑的是v o l t e r r a 积分微分方程，核k ( t ，s ) = ( ，- s ) ，0 c 上绝对收 敛而且一致收敛，并且在r e ( s ) f 的半平面内，矽( s ) 为解析函数 性质1 ( 线性性质) ：若口，是常数， 矽 ；( ，) 】= 死0 ) ，g o 疋( ，) 】= 矽：( j ) 则有 舻【颐( ，) + 职( ，) 】= 口p 【z ( ，) 】+ 矽【 ( f ) 】 p 一【口矽。( s ) + 励2 ( s ) 】= 口p 一【么( s ) 】+ p 一【2 ( s ) ： - 性质2 ( 微分性质) ：若 一 科( ，) 】= 矽( 胃) 则有 烈( ，) = j ( s ) ( o ) 推论：若 纠f ( t ) l = ( s ) 则有 舻 厂n ( ，) 】= s ( s ) 一s ”。，( 0 ) 一s ”厂( o ) 一一f “一( 0 ) ( r e ( s ) f ) 特别，当初值( o ) _ 厂。( o ) = = 厂1 ( o ) = 0 时，有： 舻【。( ，) 】= s 妒( s ) ，p 【厂“( f ) 】= s2 矽( s ) ，矽【厂”( ，) 】= 歹”矽( s ) 性质3 ( 积分性质) ：若 斛厂( ，) j = 矽( s ) 则 纠r 厂( ，砂】- 加) 6 向校教帅仃职硕i 学位论足 - - - l i l l l i i l li i _ l l - _ - _ - _ _ _ _ _ i i 性质4 ( 位移性质) ：若 纠厂( ，) 】矽( s ) ， 贝| j p p 讲( ，) 】= 矽( s 一口) ( r e ( s 一口) c ) 性质5 ( 延迟性质) ：若科厂( ，) 】- ( s ) ，又， o ，玎0 在( o ，) 上是概率密度函数，它的期望和 方差分别是( 门+ 1 ) s 和( 刀+ 1 ) l s 2 ，当s = ( 刀+ 1 ) t ，它的期望和方差分别 是，和，2 伽+ 1 ) 有下面定理： 定理2 1 i ( w i d d e r ) 设函数f ( t ) 存在拉凿理册父秧( s j ) ，s ) o ，tl t ) 在t 点连续，在( 0 ，0 0 ) 上有界，则 盥_ _ _ - - 二2 型盐塑堡竺竺生一一一7 1 蛩等飞小字训 ( 2 3 ) 且当在任意的有限闭区间上f i t ) 是连续时，一致收敛成立 证： 将k o r o v k i n 定理应用于正函数序列上即得证 考虑变换 k _ 譬气小字汜 ： 则 舯 ( r ) = 【g 。( ，u ) f ( u ) d u 、 ( 2 5 ) 啪班警一川) f 】v 删 ( 2 6 ) 将定理2 的条件减弱，可得 定理3 1 , , 1 设函数f ( t ) 存在拉普拉斯变换矽( s ) ，s c ，( ，) 在t 点 连续，且( ，) = o ( e “) ( t 寸0 0 ) ；则l i mz ( ，) = ( ，) ，且当在任意的有限闭 ”w 区问上厂( f ) 是连续时，一致收敛成立 证明：表达式( 2 6 ) 可以写为如下形式 肌) = 簪，e - l i n - m + 1 ) l t j u u n e - m l t u m ) 幽 ，在某些有限闭区间上取值，可适当选择脚使得 e z ( 舢m 厂( “) = o o ) ( u 寸) 于是可再利用k o r o v k i n 定理得出结论 定义e 。( c 厂) 为近似误差 e n ( f ；) = l ( o 一( 。丈11 中证明了 8 ，青j f 全数j m ，i 。职f 颐l 学化论史 i - i - - - - - i _ - _ i _ i - l l i - i i _ _ ， 其中 “卜y 舢，) + 华吮( ，) 1l v 一+ 1 2 ( 门+ 1 ) 。1 2 ( n + 1 ) 2 ，l 1 仃：鬲+ 丽。 半21 ：2 赤+ 赤2 2 ( 刀+ 1 )8 ( 月+ 1 ) 2 d = t d l 2 3l u b ；c h 的拉普拉斯变换数值逆 给出网格i = o ，h ，2 h ，n h ，卷积 厂宰g = f ( j ) g ( t - s ) a s ( ，o ) 可以离散为 w 肋) g ( ，- j h ) 0 s i hr ；t 其中w ( 向) 被幂级数 f ( 万( 孝) 厅) = w 肋) 善 j = 0 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 给出，这里f 是厂的拉普拉斯变换，万( f ) = 万，孝7 是生成线性多步 0 法多项式的商数根据罗朗定理有， w 肋) 2 去丁r ，彤( 圳蝣中彬厶， 其中：蚓= p ，p 0 的常数 ( 2 1 0 ) 二! 塑二! ：塑! 鲍整鱼掣鲨! 设f ( j ) 在区域i a r g ( s - - c ) l 万一缈，妒 要，c 尺内解析，并且满足 f ( s ) l m h 叫 m 0 ( 2 11 ) 万( 善) 满足条件： ( 1 ) 万( 孝) 在闭单位圆蚓1 的某个邻域内解析且没有零点，除了在 善= 1 的一个零点外 ( 2 1 2 a ) ( 2 ) l a r 9 6 ( 4 ) i r - o !吲 缈 ( 2 1 2 b ) ( 3 ) 拶( p 呐) = 1 + o ( 历，)当p 1 ( 2 1 2 c ) 门 当口= 9 0 。，9 0 。，8 8 * ，7 3 。，5 1 。，1 8 。时，相应的p = 1 ，2 ，6 ，万( 孝) 由巧( 孝) = 艺( 1 一善) j 给 i j ，是著名的p 6 阶的向后微分公式 我们定义厂( j f l ) 通过 使得 ，( 万( 孝) 矗) = h 2 f j ( h ) ( ( 2 1 3 ) 0 ( 2 1 4 ) w ( 矗) 被( 2 9 ) 给出，可以证明乃( 办) 逼近f ( s j 的拉普拉斯逆变 换厂( ，) ，当取万( f ) = 1 一f 时，这是著名的p o s t w i d d e r 逆公式 定理1 1 15 1 假定( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 成立，且设：厂( f ) 是，( s ) 的拉普拉 斯逆变换则 厂( 后) 一厂( 乃) i 0 x r ( 其中口 0 ) 来进行讨论： ( 3 2 ) 假定偏微分方程初值问题的解“( 工，r ) 是充分光滑的，由t a y l o r 级 数展开有： ，坐血掣：肖：- + d ( 向) ( 3 3 ) 一= i l + f ，i ，7 i 1i f o t 1 ” 、7 、。7 。， 竖笋型= 【缸+ d ( h 2 ) ( 3 4 ) = 【孚】：+ d ( 五 戗 塑型掣鱼型：【塑n d ( 名) 五a x ” 、7 垫业上型二e1：+d()22。o x 4 “、 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 坐生止型掣止型：l 百c 9 2 u ”，o ( 五z ) 一( 3 8 ) 7 - 一= l t 十( ，l i i 1 j l ： o x 。 一 其中 ：，表示括号内的函数在节点( 矗，1 ，) 处取的值利用表达式 ( 3 3 ) 和( 3 5 ) 有 堕掣+ 口堕掣二【鲁j 口缸埘m ) n 九o la x - 如果u ( x ，) 是满足偏微分方程( 3 1 ) 的光滑解，则 祟+ 娑】：= 0 a i + | 二2 l 8 t瓠“| 由此可以看出，偏微分方程( 3 1 ) 在( 工。，；，) 处可以近似地用下面的方 程柬代替 ，x 如一酽咖 口 | f l | 抛一西 ， 一 、 1 2 高校教帅n ：职硕l 。学位论文 竺羔兰三二竺乏+ 口竺兰丛 二竺皇：o ，刀：o ，1 ，2 ，：o ，l ，2 ，j ( 3 9 ) ，?九 其中“：为“( ，) 的近似值( 3 9 ) 式称作逼近微分方程( 3 1 ) 的有限 差分方程可以把( 3 9 ) 式改写成便于计算的形式 ”，：“= “：一a r ( u ：+ l 一“：) 其中z - - 皂称为网格比 l 差分方程( 3 9 ) 再加上初始条件的离散形式 u ：= c o ，z = o ，l ，2 ， ( 3 1 0 ) 就可以按时间逐层推进，算出各层的值差分方程( 3 9 ) 和初始条件的 离散形式( 3 1 0 ) 结合在一起构成了一个差分格式由第j 个时间层推 进到第，+ 1 个时间层时，公式( 3 9 ) 提供了逐点直接计算甜的表达 式，因此称( 3 9 ) 式为显式格式，并且计算第+ 1 层时只用到j 层的 数据，前后仅联系到两个时间层次，故又称( 3 9 ) 式为两层格式 用( 3 3 ) 式和( 3 7 ) ，可以得到逼近微分方程( 3 1 ) 的另一差分格 式 型二型+ 口丛二丛= 。( 3 11 )h2 2 ”，：”= “卜等( 材，：+ i - 其中r ：一h 一，称为网格比此格式也是两层格式，称( 3 1 1 ) 式为中心差 分格式，相应地差分方程( 3 9 ) 称为偏心差分格式 用同样的方法可以构造逼近扩散方程( 3 2 ) 的差分格式，利用( 3 3 ) 式和( 3 8 ) 式有 竺! 兰! ：! ：! ：! ! 二竺! 兰! ：! ! ! 一口竺! 三! ：! ：! ! ! 二三竺! 兰：尘! 竺! 兰! ：! ：! ! ! h 五2 一类微分方程的数值杆泫 旦 _ l _ _ _ j - - 誓- - _ - _ _ _ - - - - - - - i - - _ - - _ _ _ - _ - - i i i i i 。 = 【詈一口洳删) 如果“是( 3 2 ) 式的光滑解j 即甜满足 a “a 2 “ 百钏西d xa f 二 的光滑函数，那么，扩散方程( 3 2 ) 可以用如下的差分方程来近似 型= 丝一口亟二三辱盗：0 h 九 ：o ，l ，2 ，：0 , 1 ，2 ， ( 3 1 2 ) 可以将( 3 1 2 ) 式写成便于计算的形式 1 1 , ：“= ”：+ a 4 u ：+ l 一2 u ：+ 甜i 1 ) 其中, t t 二喜，亦称网格比( 3 1 2 ) 式也是二层显式格式，方程( 3 2 ) 胁， 初始条件可以离散为 “：g 。， n = o ，+ l ( 3 1 3 ) 利用( 3 1 2 ) 式和( 3 13 ) 式可以依次计算出= l 2 各层上的值“0 3 3 隐式差分格式 前而构造的差分格式都是显式的，即在时间层，+ 上的每食”1 “可 以独立地根据在时i 日- p mt ，上的值“：得出，但并非都足如此如果采用 h嚣卜n 向， 和( 3 8 ) 式，则可以得到扩散方程( 3 2 ) 的另一个差分格式 ! ：二型卅鱼二兰掣鱼：o ( 3 1 4 ) h 笼 也可以把( 3 1 4 ) 式写成下面等价形式 一a l a u7 n + l + ( 1 + 2 a p ) u ：一口甜：一i = “：- 1 其中= 昙为网格比由( 3 1 4 ) 式可以看出，在新时间层j 上包含了3 个未知量“川i ，材。i ，材，：+ l ，因此不能由“：一直接计算出“：来一般地，有限差 分格式在新时间层( j 或+ 1 ) 上包含有多于一个节点，、这种有限差 分格式称为隐式格式有限差分格式( 3 1 4 ) 式称为隐式格式，大多数 隐式格式适合于求解微分方程的初边值问题或满足周期条件的初值 问题 3 4 六点隐格式 东南大学孙志忠教授在文 1 3 j 研究了一类变系数抛物i 司题，采用 了一种六点隐格式，得出它的截断误差为d ( 2 + 刀) ( 其中h 为时间步 长，。五为空间步k ) ，它明显要优于c 砌破一n i c d l s d 刀格式 取两个正整数l 和n ，用网格q 。q 。剖分 0 ，1 x 0 ，t ，其中 q i = x 。i x 。= n 2 , ，0 甩，五= 1 l ，q = ，i t = j h ，0 n ，h = t n 发 u = u ，佃刀l 0 j ) v 是q 。q 。中的一个网格函数定义 、。 町= 三( u i ：f + 掣) ，巧町7 1u 。j 一时i ) ， 【j 一。，：= ( u ：+ u ：一)万。u i i ，2 = ( u ：一u 1 1 ) ， z 6 ：u ：= 暑( u 。- 2 u ：+ u 0 ) u j = 搿川怜u j8 2 旧( 正，z 吵 ，、i ，2 这种c r a 门七一n i c o l s o 门格式的截断误差为d ( 刀+ h 2 ) 类微疗f 甲的放位晰泫 一1 5 _ _ - _ - _ - _ _ _ i i l - l l l - _ _ _ i i - _ _ _ _ l - _ - i l l - - l - - - _ - i _ _ i 变系数抛物方程 ，( x ，f ) 甜，一“。= f ( x ，f ) 0 x l ，0 f t ( 3 1 5 ) u c x 0 = 妒( x ) ) u ( o ，) = u ( t ，) = 0 在文 1 3 中用六点隐格式离散为 o x l 0 f t f 1 - + yt f 川l - 1 2 + _ - 1 2 | 0 4 畔2 + 谚蚶2 ) 一印 = | ，川i - i 2 + 1 0 7 + - i 2 - l - 胖2 ) 1 门一l ，l v o = 妒( x 。) u j = u j ? = 0 1 玎l 一1 0 ，n 其中圳z ：，( x n , 1 - 1 2 ) ， ，：，川2 = 厂( 以，- ) ，t j - i z = ( 一丢) 办 下面证明它的截断误差为o ( h2 + ) 设 由( 3 ；15 ) 得 定义网格函数 从泰勒公式可得 y2 材h v = r ( x ，t ) u ，f ( x ，) u ：= u ( x 。，t j ) ， ，：= v ( x 。，t ，) 删小，) + 瓤，) + 未“，舢，i - ，) l 剃) ：v ，：+ 鲁味，) + 嘉孙+ d ( 力) 叫+ 丧以鼍v 孙i j _ 翻+ 未“，f ，) + d ( 砂 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3 1 6 ) 1 7 ) 1 8 ) 1 9 ) 2 0 ) ( 3 2 1 ) 1 6 - 授教师作职形! i j 学似论艾 - - - - i ii ii ii i i - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ - 一 扣一。+ 1 0 峨) 一盖“圳, t j + d ( 力) 平均上面带有上标k 和k 一1 的等式，然后由( 3 2 1 ) 式我们可得 6 ：u ，2 = 讫1 吲7 2 专m ：- i 2 + v ：j ，2 ) 一嘉【“，。x n 3 - 1 , , 2 ) + 。】+ - 。( 霄) = 壶( v ( x - i t 1 - i 2 ) + 1 0 v ( 。) + v ( x n + i , t - 1 1 2j + 争洲：2 + 1 0 。2 地圪i 2 】+ d ( n 一j 2 4 1 i ( ( ”，) ：心+ l 。( “p ) ：1 坨) + ( “，) ：坨+ 。( 刀) + 。( 办2 ) + 。( 力) = 壶 【姒x - , t j - 1 1 2 ) 一z 掣2 】+ l 0 【。1 坨州x , t s - i 2 ) 一。1 ，2 】 + 嗡2 甜肛川，川，：) 一六乞2 】) + i h 2 瓦1 眠) ：2 + 1 0 ( v f f ) 饥) 掣】 一丽2 2 瓦1 ) ：2 + 1 0 ( “，。) + ( “成：，2 】+ 。( h 4 + h 2 + 力) = 击 ( 瞄2 4 甜：二：坨一：t ：2 ) + l 。( _ 一位4 甜：一，2 一无川门) + ( 喘2 4 “：门一f z , l ，2 ) 】 + 等奇嚆( 甜一j ：= ：, 2 + 1 0 吖圳2 ( “一一心+ 呓2 ( “一矧，2 】 + i h 2 西1 【( ) ：二：2 + 1 0 ( ，眦+ ( v 删7 2 】 一2 4 0 1 ( ，蒯2 + 1 0 ( 甜，。) ，+ ( “成：，2 】+ 。( h 4 + h 2 刀+ 力) 另外 j ( x ，) = 丽i ) 一岳【去哪) “刈) + 弘1 ：( 删 盯叫2 “) 击( ：, , 2 + l o s ：- 1 2 + s t ：，2 ) + o ( h 4 “m ) 我们有 击( 删72 酬i 一- t i 2 + 1 0 4 “+ 4 删2 = 壶( 储i z + 1 t - i 2 + 删心) 托，：- 1 2l 聪卜1 1 州 显然p j - z 是差分格式( 3 1 8 ) 的截断误差如果解“( x ，! ) 是光滑的；存在 一个常数c 使得 h ：- , 2 i c ( 办2 + 刀) 校教师花职硕f j 学位论艾 第四章线性有限元法 4 1 单元剖分及试探函数空间的构造 我们对 a ，b 进行剖分，设节点，一，x ，满足 a = x o x l x v = b 这样得到的子区间q = k i ，】( i = l ，2 ，n ) 称为“单元单 元p ，的长度啊= x i t - i 设h = m a x x h ： 在上述剖分的基础上，我们来构造s ：的有限维子空间仍然考虑 比较简单的基函数，例如多项式，在数值分析课程中我们知道，构造 次数很高的多项式通常并没有优点，所以我们先考虑在每个单元上为 线性的函数，即考虑 a ，b 上的分段线性函数，它满足：v 。在 a ，b 上连续，而且在每个e 上是线性函数( i = 1 ，2 ，n ) ，所有满足这 些条件的函数构成集合u 。 ： 定义5 1巩= v 。he c a ，6 】，v 。在每个q 上为线性函数) 当然，这样定义的集合和剖分是有关的，所以我们加上了下标 h ，容易验证，u 。是实数域上的一个线性空间，若记 站啪，2 + ( 妄) 2 】出有意义1 则u 。是s 1 的一个线性子空间r 不难验证，u 。的维数是n + i ，其上的一组基函数可以选为以下 的一组n 十1 个线性无关的函数： 一类微分方程的数值俐泫 、l 坚j 矽o - x 21 。h 。：，善x o - x x x x j i 矽，( x ) = 0 x 一石一 h ， x o x x ，- 1 x j 1 x x x ，x x _ 1 0 x ，i x 石 姒加 半0 札x o p x x n _ t 这是一组基函数 ( i = 1 , 2 ，- ，n 一1 ) 我们看到，基函数痧( 工) 只在节点x ，附近函数值非零，而在各节 点上基函数的函数值为0 或1 ，即 f 1i = k 痧( x t ) 2 of 七 f ，k = 0 , 1 ， u 。中的任意函数v 可以表示为基函数的线性组合，：即 ， ( x ) = y o 矽o ( x ) + 1 l ，l 以( 工) + + v ( x ) ( 5 1 ) 其中v ，：v 。( x ) ，= 0 ，1 “2 一，n ，即( 5 1 ) 式中线性组合的系数 v 。，y ，v 分别是函数v 。在节点x o , x i , , x n 上的值，而在单元乞上，有 o ( x ) = ，。一l 痧一l ( x ) + v 妒，( x ) x l x t w ， x x 一i u 。是s 1 的一个n + i 维的子空间 定义1 2圪= v l v 。u ，( 口) = o ) i 【x ，一1 ，x 】 在所作的剖分下，杉，是所有满足左端齐次边界条件的连续分段 线，h ：函数组成的集合，它是联的一个n 维子宅间，它的基函数可以选 等 择为m ( x ) ，矽：( x ) ，九( x ) ，圪中的任一函数可以表示为 v ( 工) = v i 矽i ( x ) + + v ，矽( x ) ，x 【x 0 , x 】 其中 v h ( x ，) = v ，j = 1 2 ，n 第五章l u b ic h 的拉普拉斯变换数值逆在 偏微分方程中的应用 f ( ，一伽。( x ，s ) 击= ( x ，) 数值解的方法，空间x 方向采用有限差分法 j 肛，) 一【( ，- s ) - t 1 2u 。( x , s ) d s = 厂( x ，) ( 5 1 ) 例：解方程 u ( o ，f ) = u ( 1 ，f ) = 0 0 f 1 ( 5 2 ) iu ( x o ) = w ( x ) 0 x 1( 5 3 ) u ( x ，) = x ( 1 一x ) ( t 2 + 1 3 ) 和 f ( x , t ) = ( 2 + 吾z 一言z 2 ) ， 5 1x 方向用有限差分法半离散，方向取拉氏变换 5 1 1x 方向用有限差分法半离散 在 0 ，1 上引进等距节点o = x x ，= l ，记步长a = 1 ， _ = n 2 ，u ( x 。，) n ( ，) ，( 刀= 1 纠2 一，三) ，则方程( 5 1 ) 的半离散格式为： 掣= 肛圹m 堂号半型州2 + m 4 ) 5 1 2 t 方向取拉普拉斯变换 记甜。( ，) 的拉氏变换为以( j ) ，即以( s ) = f 。“。( t ) e - d t ，将方程( 5 4 ) 、 ( 5 2 ) 对，取拉氏变换，得： 令 s 九( s ) 一u ，( 0 ) = 等阮“沪2 仲m _ | ( 叫+ r ( + 一扣( 5 5 ) o ( s ) = 九( s ) = 0 而州2 五一2 ：口 贝0 方程( 5 5 ) 可化为 令 ( 5 6 ) 一一口痧h ( s ) + ( 2 a + s ) 谚( s ) 一口矽，+ ，( s ) = ”。( o ) + r ( 3 2 ) s - 3 门( 2 + 兰x 。一吾x ：) 以= “。( 。) + r ( 3 2 ) s 3 坨( 2 + 三x 。一吾x ：) 当门= 1 , 2 ，一l 时，有方程组 - a 2 a 2 a - i - s 一日： + j 0 矽，( j ) 一口 i 矽，( s 1 一口：一口i： 成立，从而可解出办( s ) ，矽：( s ) ，九一( s ) 5 1 3 取j ( 孝) = 1 一f 的计算结果 f - 2 f _ i 石以六； - 一类i ! 攻分方干口的数值州i 左 2 3 - - i - i _ 一i i i i i ih i - i i - _ 在， 0 ，2 上引进等距节点o = 岛 f l 一 f ，- l “， 0 的常数 令f = j o e ”，0 口2 n 。则( 5 7 ) 可化为 设 啪) = 去n 丁1 - - j o e l 9 矿d o 训竿，南 ( 5 8 ) 先将区间 。，2 刀 肌等分，记分点龟= 七f ，七= 0 ，l ，2 ，聊，f = 等，利用复 合梯形公式，( 5 8 ) 式可写 w 拊) = 去 w 瑚丢孵( 0 ) + 2 静( ”脚列 ( 5 9 ) 因此可以求出“，：，即“，：型娑 疗 利用m a t l a b 编程，计算结果见下表 2 4 ，_ 心数帅仃职硕1 学化论文 i 宣i _ _ _ - - - _ - _ - i ii i i _ _ _ - _ - _ _ _ _ 一 表5 1 ：当l - l o ，n = i o ，p = 1 1 0 ，t = 2 时u ( x ，) 的近似值 x = o 10 20 30 40 50 60 7 0 80 9 t = o 20 0 5 2 2 0 0 9 3 80 1 2 4 0 0 1 4 2 4 0 1 4 8 60 1 4 2 4 0 1 2 4 0 0 0 9 3 8 0 0 5 2 2 o 40 0 4 8 20 0 8 6 1 0 1 1 3 4 0 1 2 9 8 0 1 3 5 3 0 1 2 9 8 0 1 1 3 4 0 0 8 6 10 0 4 8 2 o 60 0 4 8 l0 + 0 8 5 9 0 1 1 3 lo 1 2 9 4 o 1 3 4 9 0 1 2 9 40 1 1 3 1 0 0 8 5 90 0 4 8 1 0 80 0 4 9 2 0 0 8 7 8 o 1 1 5 70 13 2 5o 1 3 8 2 0 1 3 2 50 1 l5 70 0 8 7 8 0 0 4 9 2 1 00 0 5 0 l0 0 8 9 60 1 1 8 1o 1 3 5 4o 1 4 1 10 1 3 5 4 o 1 1 8 10 0 8 9 60 0 5 0 1 1 20 0 5 0 6 0 0 9 0 6o 11 9 5o 13 7 00 1 4 9 2 0 1 3 7 00 1 1 9 5 0 0 9 0 6 0 0 5 0 6 1 4 0 0 5 0 90 0 9 1 l0 1 2 0 20 13 7 80 1 4 3 7 0 1 3 7 8 0 1 2 0 20 0 9 1 10 0 5 0 9 1 60 0 5 l o0 ，0 9 1 30 1 2 0 40 13 8 10 1 4 4 00 1 3 8 l0 1 2 0 4 0 0 9 1 3 0 0 5 1 0 1 80 0 5 1 0 0 0 9 1 3 0 1 2 5 0o 1 3 8 l0 1 4 4 lo 1 3 8 l0 1 2 5 00 0 9 1 3 0 0 5 1 0 2 0 0 0 5 1 0 0 0 9 1 3 0 1 2 0 5 0 1 3 8 20 1 4 4 1 o 1 3 8 2 0 1 2 5 0 0 0 9 1 3 0 0 5 l o 表5 2 ：u ( x ，) 的精确值 x = o 1o 20 30 40 50 60 70 80 9 t 。0 20 0 9 8 ( )o 17 4 30 2 2 8 80 2 6 l50 2 7 2 40 2 6 l50 2 2 8 80 1 7 4 3 0 0 9 8 0 o 4o 1 1 8 2 0 2 0 0 50 2 6 3 l0 3 0 0 7 o 3 1 3 2 0 3 0 0 70 2 6 3 l0 2 0 0 5 0 1 1 8 2 0 60 1 3 8 l0 2 3 4 4 0 3 0 7 6 0 3 5 1 5 0 3 6 6 2 o 3 5 1 2 0 3 0 7 6 0 2 3 4 4 0 1 3 1 8 0 80 1 5 4 4 0 2 7 4 5 0 3 6 0 3 0 4 1 1 7 0 4 2 8 9 0 4 1 1 7 0 3 6 0 30 2 7 4 50 1 5 4 4 1 00 1 8 0 0 0 3 2 0 0 0 4 2 0 0 0 4 8 0 0 0 5 0 0 0 0 4 8 0 0 0 4 2 0 0 0 3 2 0 0 0 1 8 0 0 1 20 2 0 8 3 0 3 7 3 00 4 8 6 l0 5 5 5 5 0 5 8 7 6 0 5 5 5 5 0 4 8 6 10 3 7 3 0 0 2 0 8 3 1 40 2 3 9 l 0 4 2 5 0 0 5 5 7 90 6 3 7 30 6 6 4 l0 6 3 7 6 0 5 5 7 9 0 4 2 5 00 2 3 9 l 1 60 2 7 2 10 4 8 3 80 6 3 5 00 7 2 5 7 0 7 5 6 00 7 2 5 70 6 3 5 00 4 8 3 80 2 7 2 1 1 80 3 0 7 3 0 5 4 6 40 7 l7 l0 8 1 9 60 8 5 3 7o 8 1 9 60 7 l7 l0 5 4 6 40 3 0 7 3 r 2 00 ：j 4 4 60 6 12 50 8 0 4 00 9 18 80 9 5 7 l0 9 1 8 8 0 8 0 4 00 6 1 2 50