（基础数学专业论文）命题逻辑公式的真度及其近似推理.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 近年来，王国俊教授提出了一种关于模糊命题逻辑的新理论一模糊命题逻辑公式的 真度理论，它为模糊推理提供了一个新的框架但是此理论还不很完善由此本文在此基 础上进行了如下研究： 1 通过引入命题变元集赋值、扩张、收缩等概念，给出了已有的命题逻辑公式真度 的一种新的等价性定义，从而使此概念更加严密化和简单化 2 研究了命题逻辑公式的真度在不同逻辑系统中的分布情况：在不同逻辑系统中我 们通过对两类公式的真度进行了大小比较与分析，其结果在一定程度上反映了不同逻辑 系统公式的真度分布情况，揭示了蕴涵算子对公式真度的影响，从而，使我们对蕴涵算子 的进一步研究奠定了一定的基础 3 首先计算了四个咒值命题逻辑系统r ，l u k ，g 6 d 及中一个典型公式p l p 2 的 真度；然后比较了公式p 1 一岛在这四个逻辑系统中真度的大小；最后，研究了每个逻 辑系统中公式a 一岛的真度随”变化的情况 4 将l u k a s i e w i c z 模糊命题逻辑系统中公式彳和口的积分相似度善( 爿，b ) 与自然的距 离p ( a ，研的概念推广到模糊命题逻辑系统r 、g 砌和n 中，并讨论了它们之间的关系 讨论的结果表明：在l u k a s i e w i c z 命题模糊逻辑系统中，它们之间的关系为：善( 4 ，b ) = 1 - p ( 以b ) ，而在g 6 d 、l i 和r 中此关系不成立最后还研究了这四个逻辑系统中公式的 积分相似度和自然距离的性质 理 关键词：命题逻辑系统：命题变元集；真度：真度分布；相似度；距离；近似推 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，w a n gg u o j u n ，ap r o f e s s o r , p r o p o s e st h en e wt h e o r yo ft r u t hd e g r e e o nf u z z yp r o p o s i t i o n sl o g i cf o r m u l a i tp r o v i d e saf r a m e w o r kf o rf u z z yr e a s o n i n g b u ti t n o tp e r f e c ty e t t h e r e f o r e ，ih a v es t u d i e dt h et h e o r yo nt h eb a s i so ft h a ti nt h ep a p e r ： 1 an e we q u i v a l e n td e f i n i t i o no ft h et r u t hd e g r e eo ft h ef o r m u l ai np r o p o s i t i o n a ll o g i c s y s t e mi sg i v e nt h r o u g hi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p t so fe v a l u a t i o n ，d i l a t i n ga n dc o n t r a c t i n g o fp r o p o s i t i o n a lv a r i a b l es e t s ，s ot h a ti tc a nb em o r es t r i c ta n ds i m p l e 2 t h ed i s t r i b u t i o no ft h et r u t hd e g r e e so fp r o p o s i t i o n a ll o g i cf o r m u l a si nd i f f e r e n t p r o p o s i t i o n a li o o cs y s t e m s 缸s t u d i e d ：t h et r u t hd e g r e e so ft w ok i n d so ff o r m u l a sa r e c o m p a r e di nd i f f e r e n ti o g l cs y s t e m s ，s ot h a tt h ed i s t r i b u t i o no fd i f f e r e n ti o g i es y s t e m s t r u t hd e g r e e sc a nb er e f l e c t e dt oac e r t a i ne x t e n t ，a n dt h ei m p l i c a t i o no p e r a t o r s e f f e c t s o nt r u t hd e g r e ec a nb er e v e a l e d ，t h u s ，e s t a b l i s h i n gt h eb a s ef o rt h ef u r t h e rr e s e a r c ho f t h ei m p l i c a t i o no p e r a t o r s 3 f i r s t , t h ef o r m u l ap l p 2 st r u t hd e g r e e sa r ec a l c u l a t e dr e s p e c t i v e l y i nf o u r 疗一v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m sr ，l u k ，g s d a n d i i ；t h e n ，t h e ya r ec o m p a r e d ； f i n a l l y , t h ec h a n g i n go fa 一见st r u t hd e g r e e sa l o n gw i t h r ti ss t u d i e di nt h ef o u r l o g i cs y s t e m s 4 t h ec o n c e p t so ft h ei n t e g r a t e dr e s e m b l a n c ed e g r e e s 善( 彳，丑) a n dt h ed i s t a n c e p ( a ，曰) b e t w e e naa n dbi nl u k a s i e w i c z sl o g i cs y s t e ma r ee x t e n d e dt ot h ef u z z y p r o p o s i t i o n a l l o g i cs y s t e m s l ，g s d a n d ，a n d t h e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e ma r e d i s c u s s e d t h er e s u l ts h o w st h a t ：i nl u k a s i e w i c z sp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m ，t h er e l a t i o nb e t w e e n t h e mi s ：善( 4 ，占) = l p ( a ，b ) ，b u ti td o e s n th o l di nr ，g s d ，a n d1 1 a tl a s t t h e p r o p e r t i e so ft h ei n t e g r a t e dr e s e m b l a n c ed e g r e e sa n dt h ed i s t a n c eb e t w e e n aa n db a r es t u d i e di nt h ef o u ri o g i cs y s t e m s 2 聊城大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：p r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m ；t h ep r o p o s i t i o n a lv a r i a b l es e t s ；t r u t h d e g r e e ；s i m i l a r i t yd e g r e e ；d i s t a n c e ；a p p r o x i m a t i o ni n f e r e n c e 聊城大学硕士学位论文 前言 早在古希腊时期亚里士多德就对断言一个命题p 或其否定妒必有一个成立的排中 律提出了质疑，只不过没有明确提出多值逻辑的理论而已系统的多值逻辑理论是由 ，l u k a s i e w i c z 与e p o s t 各自独立地于2 0 世纪2 0 年代提出的，作为一个全新的数学领域， 引起了世界上许多学者的关注和研究者的极大兴趣 作为经典二值逻辑的自然延伸，多值逻辑和模糊逻辑在理论和应用领域都有了较大 的发展( 【1 】) 比较著名的多值逻辑系统有l u k a s i e w i c z 系统、k l e e n 系统、标准序列系 统，g 6 d e l 系统以及上系统，这些系统在多值逻辑体系中占据主导地位，代表了多值逻辑 发展的方向 美国控制论专家l a z a d e h 自1 9 6 5 年提出模糊集理论之后，1 9 7 3 年首次提出了基于 模糊集思想的模糊推理的c r i 算法肌】，且在模糊控制中得到了巨大的成功由于没有建立 模糊推理的c r i 算法的理论基础，其理论和成果受到一些学者的怀疑，因此不少学者致力 于模糊推理理论基石的研究比较成功的研究有国外学者h a j e k 提出的基于三角模的形 式化逻辑，国内著名学者王国俊于1 9 9 7 年提出了一种命题逻辑系统r ( 国内学者裴道武 已经证明它就是基于三角模的形式化逻辑) 王国俊教授不仅提出了一种逻辑系统r ，还 有很多重要的成果：在多值和模糊命题逻辑系统中建立了公式的广义重言式、真度、公 式间的相似度、伪距离、近似推理理论的发散度和相容度的理论f 2 8 ，2 1 2 0 0 6 年，王国俊 教授综合上述思想又将其作为一个逻辑学的分支一计量逻辑学 9 】提了出来，这样极大的 丰富了逻辑学的内容，为模糊逻辑的研究开拓了新的方向近年来，许多学者跟随王国俊 教授的研究，取得了一系列重要的研究成果但是王国俊教授提出的上述理论还不成熟， 有许多问题亟待研究 本文主要是在王国俊教授提出的命题逻辑公式真度理论的基础上进行了如下研究： 给出了已有的命题逻辑公式真度的一种新的等价性定义，使此概念更加严密和简单化； 研究了命题逻辑公式的真度在不同逻辑系统中的分布情况；比较了四个露值命题逻辑系 统r ，l u k ，g 甜及中一个典型公式p l p 2 的真度的大小，分析了其真度随 变化的情 况；将l u k a s i e w i c z 模糊命题逻辑系统中公式a 和b 的积分相似度考( 爿，占) 与自然的距离 p ( a ，君) 的概念进行了推广，发现孝( 也口) = 1 - p ( a ，b ) 在6 否d 、n 和r 中不成立，并给出 了在四个经典逻辑系统中毒( 4 ，b ) 1 一p ( a ，b ) 的重要结论 聊城大学硕士学位论文 第1 章预备知识 首先介绍本文所用到的基本知识文中未说明的概念和记号均来自于文献 【1 0 ，1 1 ，1 2 定义1 1 设：【o ，l 】2 寸【o ，l 】是二元函数，i 为指标集，如果 ( i ) ( 【o ，1 】，) 是以1 为单位的交换半群： ( i i ) v a “o ，1 】，z ( x ) = 口x 是增函数，则称为【o ，1 】上的三角模，简称t 一模 如果还满足 ( i i i ) v a ，6 e o ，1 w n n + ( 善岛) = 。v ( a 。岛) ，则称+ 是左连续的三角模 定义1 2 “1 设是【o ，l 】上的三角模，蕴涵算子专：【0 ，1 1 2 一 o ，l 】是【o ，l 】上的二元函数， 若a * b c 当且仅当a b 哼c ，a ，b ，c 【o ，1 1 ，则称斗是与 相伴随的蕴涵算子，称( ，) 为 伴随对，特别若是左连续三角模，则称寸为正则蕴涵算子 定义1 3 嗍对任意一个左连续，一模，定义命题演算q e c ( * ) 如下：f ( s ) 是由原子 公式集s = p l ，p 2 ，见，) 和特定元。通过逻辑连接词& ，斗，形成的自由代数f ( s ) 中 的元素称为公式 由基本连接词& ，六，定义新的连接词如下： 一表示4 一石， a v b 表示( ( 爿斗b ) 斗b ) “占寸一) 专爿) ， a z b 表示( 4 一b ) & ( b 专a ) ， ，。j ： 4 ”表示爿& 4 & & a 定义1 4 如果，p k 2 ，p 。为公式4 的全部原子公式，n 称v a r ( a ) = 仇，见2 ， ，p h ) 为a 的命题变元集，记4 为爿( n 。，见：，p 。) 定义1 5 呻1 一个m t l 一代数是一个有界剩余格( m ，n ，u ，0 ，1 ) ，其中n 和u 是格 2 聊城大学硕士学位论文 中的下，上确界运算，( ，辛) 是伴随对，且满足预线性性，即对任意z ，) ，m ， o 专y ) u ( ) ，_ 工) = 1 定义1 6 设a f ( s ) ，m 冗为m t l 一代数 ( i ) 设x = p k 。，n 2 ，c s ，则称映射v ：x m 为命题变元集x 上的一个赋 值，记作= ( v ( a 。) ，v ( n ：) ，v ( ) ) ，x 上的全体赋值之集记作q ( z ) ，特别地，当 x = s 时，简记作q 若_ = 4 ( 见。，仇：，) ，则赋值脚简记为匕v a r ( a ) 上全体赋 值之集记作q ( 陆( 彳) ) ，简记为q ( 4 ) ，用i i q 似) 表示q ( 彳) 的势 ( i i ) 设v n ( a ) 或v q 若a = b a c ，a = b 专c 或a = b & c ，称v ( a ) = v ( b ) v ( c ) = m i n v ( b ) ，v ( c ) ，1 ，( a ) = v ( b c ) = v ( b ) - 9 , v ( c ) 或1 ，( 4 ) = v ( b & c ) = v ( 口) v ( c ) ( 这里( ，寸) 是一个伴随对) 为公式4 在赋值v 处的值，简称a 的值 定义1 7 【9 1 ( 命题逻辑系统) 一个命题逻辑系统p l s ( p r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m ) 由5 部分组成： ( i ) 符号表：包括原子命题符号：a ，p 2 ，；其全体构成一可数集s = p ，p ， ：逻辑连接 词：，v ，寸， ，；标点符号：逗号“，”、左括号“( ”、右括号“) ” ( i i ) 公式表：原子命题a ，p 2 ，等也叫原子公式，它们都是公式将原子公式用逻辑连 接词恰当连接所得的表达式，也叫公式，其全体之集记作f ( s ) 不同的逻辑系统可以使 用不同的逻辑连接词。如果所用的连接词是 _ 1 ，v ， ，则f ( s ) 是由s 生成的 、v ，寸 型 自由代数，即 s c f ( s 1 ( 萤若a ，b f ( s ) ，贝u “，( s ) ，a v b ，( s ) ，a b f ( s ) f ( s ) 中的成员均可由以上和在有限步之内生成 ( i i i ) 赋值域：赋值域是一个代数结构的集合m ，比如，与逻辑连接词，v ，斗等相 对应，m 上有一元运算，并运算v 和蕴涵运算r ，r ( a 。b ) 也写为a 斗b 聊城大学硕士学位论文 ( i v ) 公理集：针对赋值域在f ( s ) 中挑选出一批好公式，称之为公理，其全体之集记 为a 不同的逻辑系统可以有不同的公理集 ( v ) 推理规则集：一个推理规则指定了从哪几个( 有限个) 公式可以推得哪一个公 式一个逻辑系统可以有许多推理规则 不同的左连续三角模 及不同的赋值格m 对应不同的逻辑系统若赋值格m = 【o ，1 】， 称为模糊命题逻辑系统；若m = l 厶= o ，士，n - _ 2 ，1 ) ，称为以值模糊命题逻辑系统 万一ln l 四个重要的模糊命题逻辑系统l u k 、丌、g i j d 和三+ 对应的木和一( 半和专是一伴随 对) 如下： l u k ：x + j ，= ( x + y - 1 ) v 0 ， x 一y = b 霞训叩川： g 6 d ：x * y = x y ， x 斗如j ，= 卜y , x 鲥 y 川o ，l 】： 兀：x * y = x x y ， x 气y ：y ，圳【o ，1 1 ； x 、炉k ，x y j 【o 川 r ：工y ：x ：彬+ ? 1 ， 7 【o ，x + y 1 x 专心) ，： ，1 1 ，、砖y ，y 0 , 1 1 h 岛垆1 ( 1 一x ) v ) ，x _ ) ， 肚 若不申明，下文的缈c ( 叼都是指逻辑系统上诚、g 6 d 、兀或r ，将r 。，和r 统记为r 注1 8 ( i ) 设a f ( s ) 称a 为重言式，若v v q ，v ( a ) = 1 ：称a 为矛盾式，若v v q ，“4 ) = o v v q ，v ( 石) = 0 ( i i ) 设a = 一( p 。p k ，p 。) f ( s ) ，v ( 一) ，v v q ( 彳) 是一个m 4 - - h m 的函数，记作 4 聊城大学硕士学位论文 “4 ) = 妒= 妒( v ( 所。) ，v ( 见2 ) ，v ( p h ) ) = 妒( ，矗) ，( 五，屯，矗) m ”，称它为爿的诱导函 数 ( i i i ) 在系统q p c ( ) 中，对于任意的彳f ( s ) ，彳的诱导函数j 在定义的区域上是分块 连续的，因此是可积的 定义1 9 1 若r f ( s ) ，则称r 为理论设r 是理论，从r 出发的推演是一个有限的 公式序列 4 ，4 ，4 ， 这里对每个4 ( f ，1 ) ，4 是公理或4 r ，或存在，七 y ) d c o = 1 9 聊城大学硕士学位论文 ( i i ) 征g s d e l 逻辑系统甲 r ( p 叩) = f ( x a 吨协；0 + f 嘁= o f ( p o - ，p ) = o 寸嘣皿= 0 f 专p ) = i a i 寸x ) 出= o + f + ( o 寸x ) 出= 1 f ( 叩 g ) = 厶o 7 协= o + f ：一归 o 出：o 叹p 专小= q n 矗= 0 西c l i 十y 由，+ l j 西c 匆 = 丢+ c 一争= 号 r ( p 专呻 q ) = l 专( 哺 _ ，) 膨= 0 + ：七。 x - 0 d c o = 0 f ( 叩斗g ) = ：一y 跏= 1 f ( p 辛一q ) = l 寸叫矽m = 0 r ( 一( ， 纠2 ：七 y ) d c o = 0 f ( ( p g ) 专力= l 力斗础= 1 - r ( p p q ) = f ，o 寸o a y ) ) d c o = f 出r 肋+ f 出f 咖 = 三+ 三= 三 6 26 f ( p q - - 一p ) = ：( x y ) _ 卅国= 0 f ( 呻 g 专p ) = ：( - - - o c a y - 9 x f 国= 0 + ：一忙o 0 - - - y , x d ( o = 1 f ( 呻 g 专叩) 2 ：( 叫 y 专x ) d c o = ： ) ，啼叫如= 1 f ( 叩 q - q ) l ) 专y 矽国= 0 + f ：书o o 寸y & o = 1 ( i i i ) 在乘积逻辑系统中 f ( p 人1 p ) = 0 f ( p o - ，p ) = 一叫矽国= 0 f ( 叩p ) = 。( 哨专x 矽= 0 + ：一扛叫0 寸x d c o = 1 f ( - 、p n q ) 2 j a ，( 吖 y ) d o ：_ 0 辫城大学硕士学位论文 r ( p g ) = f ： 一y 渺- 。r ， 出。f ， e y + f 斑r = 肼f = h = 吾 f ( p 斗叩 g ) = 厶 一峭 y 肌 = 叶l 十。 ( x 寸o ) = o f ( 叩一目) = l ( 叫斗y 矽国= o + l ：一p 枷( o y m = 凼f 方= 1 r ( p 寸一g ) = l 叫矽= 0 f ( 一( p g ) ) 2l ( 1 ( 工 y ) ) d c o = 0 + l 七哪。 o d c o = o f “p g ) 哼p ) = ：( x a y ) 寸x d c o = f 出r y 斗毋+ f 出f x 斗础= 1 f ( p - - - ，p g ) = ： 斗( x 爻y ) 蜘 = f 出f o ? y 陟+ f 出f z 斗功= 吾 f g p ) = l y 一砌 = o + 工：七叫( o 寸x ) d c o = 1 f g 斗叩) = l ( 哺 y 斗w 矽 = o + ：- ，叫如= i r ( 叩 q - - - q ) = l ( 哺 y 斗j ，矽 = o + l 七叫( o 专y 矽= l ( i v ) 在r 逻辑系统中 咖n 叩，= 岔础+ c 一x 进= 三咖n 叩) = 费础+ ( 卜x 进= 三 f ( p 一叩) ：f 石寸( 1 一x ) 出：岔i 出+ ( 1 一x ) 出 翌! 塑盔兰堡圭兰竺笙塞 = 三十三= 三 2 88 帅斗p ) - f ( 1 - x ) - - - x d x = f 1 胁+ d x = 言 f ( 1 p g ) = 上。( ( 卜x ) y ) d w = f 出f 均件f 破：，( t x 渺 ii 1 2 - 6 + - 6 2 3 f ( p 专口) = f ，o y 灿 = t 蠡t 国+ ：1 如i 1 y q 一蚺缸+ t 奴乙y d y ：三+ 三+ 三：三 f ( ，专叩 咖= 正o 一( 1 一力 y 蜘 i i = r 出，1 方+ 费凼，= ( 1 一x ) 咖+ j f 二 d x j f 。1 ( 1 一x ) 砂 ：三+ ! + 三：旦 8 82 42 4 f ( 叩哼g ) = l ( 1 一x ) 寸廊 = f 出f - ，砂+ f 砂广砘+ p 出r 砌= 三 f ( p 专一g ) = l ：o ，y ) d c o = f 出知+ 乓出【，( 1 - y 协+ l 方即叫出 = 三+ ! = 三 244 r ( 1 ( p n g ) ) = ：，( i a y ) d o 一= f 出r 1 叻+ f 出f 吨咖 = 三+ ! = 三 333 f ( ( p g ) 寸p ) = ( 膏 y ) 一尉= 1 f ( p 专p g ) = ，( x 斗x y ) d c o 聊城大学硕士学位论文 = f 砂f - ( 1 一x ) d r + 出，力+ f 凼f 砂 1113 8 8 24 r ( p g _ 1 p ) = l 出【，( 一y ) 砂+ f 砂f 出+ f 凼f 砂+ l 出f ( 1 一x ) 方 l1131 9 842 482 4 r ( 叩 g 专p ) = l 凼，砂+ p 出f _ ，础+ f 咖f 凼+ f 出f ( - 一y ) 咖 11l31 9 842 482 4 f ( p 口号叩) = l ，( - 话 ) ，) 刊= 1 f ( p g 吁) 5 上，( - 讲 力斗刃= 1 上述公式的真度列表如下： 算子类型 公式 l u k a s i e i c z 型g s d e l 型 g o g e n 型r 型 p 弋pl 4o01 4 p g 1 3 oo1 3 p q1 31 31 31 3 p1 陀1 2l 2l 陀 1 ( p g ) 2 ，3oo2 ，3 p 寸1 p q1 7 ，2 4o0 1 7 ，2 4 p 叩 3 ，4o05 ，8 1 p p3 ，4 115 ，8 p 4 q5 ，62 ，33 4 3 ，4 p 寸p q5 | 65 ，63 ，43 4 p 寸一g瓢6 113 4 叩_ g5 ，61l3 ，4 p a q 斗叩7 8 001 9 ，2 4 叩a g 专p 1 f bl1 1 9 ，2 4 ( p “g ) _ p 1lll 呻 q 斗叩ll 1l 叩a 口一q 1l1l 从以上结果上可以看出，在l u k a s i e w i c z 和r ( r 。) 逻辑系统中公式真度差别较小， 而g 5 d e l 和乘积( 兀) 逻辑系统的公式真度差别较大虽然不同的逻辑系统有着不同的代 数系统与之相对应但这些不同代数系统的差异着重表现在其上的蕴涵算子上，如g s d e l 霹8 城大学硕士学位论文 系统，由于否定运算是很强的，对于相应的蕴涵算子而言，由吲= x 专0 所定义的否运 算把绝占大多数的非0 元都变成了0 这在一定程度上反映了四个重要逻辑系统l u k a s i e i c z 、g s d e l 、g o g e n 、r ( ) 公 式真度的分布情况，揭示了蕴涵算子对公式真度的影响，为基于这些逻辑系统的推理提 供了科学的依据 3 2 含伴随对的一类公式真度大小之比较 继z a d e h 关于模糊推理的开创性文章n 6 1 问世以来，有众多学者从不同的应用背景出 发提出了各种不同的蕴涵算子，并讨论了他们的性质，蕴涵算子做为模糊推理的数学工具， 其重要性是不言而喻的 在这里，我们首先来比较四个重要逻辑系统l u k a s i e i c z 、g s d e l 、g o g e n 、r ( 鼢蕴 涵算子的大小 定理3 2 1 在【o ，l l x 0 ，1 】上蕴涵算子r “，r r ，毛“大小排序如下： 五“ 证明在n 上，显然置“墨晶 在岛上，rc m - y 1 0r “r 。显然成立； 2 0 令兄。( 工，y ) - r n ( x ，y ) - - - - x v y x 0 ，贝0 x vy x ( i ) 口) 若膏y ，则y y 肛得x 1 ，( 1 ) 式恒成立 川 j h 夕 j n 6 ) 若x y ，则1 一x y ，又因为y 1 2 故x _ y x ，得工一x 2 丢( 恒成立) 或石 y 一一+ r ( o 专z ) 。 x s v 。一 = t o ) 。+ y l + f ( 1 一x ) v z ；+ y 1 + f ( 1 ) ，+ y ，l + f ( 1 一y ) v z l ，+ y 州+ f ( o z ) ，+ ，n ，y，s yj ，yj ) y x： y z = f ( 1 ) h y ，l + f ( 1 一工) 抖y ，l + f ( z ) ，+ p l + r ( 1 ) ，+ y 州+ f ( 1 一y ) ，+ 纠+ r ( z ) ，+ y ，1 + f ( o - - - - h z ) ，+ y l ，y x s yi“xyx y x y ” 品；慧： ”2 罱；： = 三+ 土+ o + 三+ 土+ 0 + 1 一 81 681 628 例3 2 3 设p l ，p 2 ，岛为原子公式，计算r p 1 0 ( p 2 寸p o 解：( 1 ) 在系统l u k 中 聊城大学硕士学位论文 f 【a 圆( 易一见) 】= f 【p l 固( p 2 屯p o 】 = f x o 【( 1 一y + z ) l 】 = f 【工o ( 1 一j ，+ z ) 】；y + f ( 石固1 ) ：，y = r o v ( x y + z ) 】：卸+ f ( x ) ：，= f ( x y + z ) ：y+ f ( 膏) ：叫 = f 咖r 出f 一： 一y + z ) d x + f 出f 砂f 出 1l3 = 一+ 一 848 ( 2 ) 在系统c j s d 中 讲a 圆( 仍寸岛) 】- 订a o g ( p 2 飞p o 】 = r ( x 固d y 立+ f ( x o z ) ，：= f ( x ) y e ：+ f ( 工) ，：+ f ( z ) ，： = f 出f 砂f 眈+ f 砂r 出r 础+ f 砂r 出f 出 1113 = 一+ + = 一 42 41 28 ( 3 ) 在系统n 中 ， r i p , o ( p 2 哼p 3 ) 】= 虹x o n ( y 寸2 ) 】 叫巩r 9 ，2m 痧肛f 出f 砂r 予出 ll3 = 一+ 一= 一 488 ( 5 ) 在系统r 中 f 慨固( p 2 专岛) 】= f 瞻o r ( 见斗rp o = r ( x 0 1 ) ，；+ r 工o 【( 1 一y ) v z l y ，： = f ( x ) 坤+ f 【工o ( 1 一j ，) k + f “o z ) y ，： l - y z1 - y l ，】一v x + y l x + v lj ： 113 = 一+ 一= 一 488 例3 2 4 设p l ，p 2 ，见为原子公式，计算r 【( a 寸p 2 ) 圆p d 解：( 1 ) 在系统l u k 中 1 7 聊城丈学硕士学位论文 r ( p l 一见) 固p 3 l = r ( p l 斗p 2 ) o lp 3 】 = f 【( 1 一x + y ) l 】 z = f 【( 1 一x + j ，) o z 】。，+ f ( 1 0 z ) 。；y = f o v 【( 1 一x + y ) 一l 】 ，“+ f o v ( 1 + z 1 ) ， = f ( 一工+ y + z ) ，盘+ f ( z ) y ， = f 出r 咖f - ，( 一x + y + z ) d z + f 出f 砂f 砘 l13 = 一+ 一= 一 8 48 ( 2 ) 在系统g 6 d 中 f ( ( n 专p 2 ) o p 3 】- f ( p 1 一gp 2 ) o op 3 】 = f ( 1 0 z ) 脚+ f0 ，o z ) ， = f ( z ) ；印+ f ( y ) ，y + r ( z ) ；，y = f 出f 方f 娩+ f 出r 砂f 肚+ f 矗r 砂r 础 1113 41 22 48 ( 3 ) 在系统n 中 【( 马寸p 2 ) o p 3 】_ f ( p 1 寸n 仍) o np 3 】 可( 旧巩矿r ( 考舭) ， 可脚竹呼k ， l13 4 88 ( 4 ) 在系统r 中 f 【( p l p 2 ) 0 p 3 = 订( p 1 寸r 见) o rp d = f ( 1 圆z ) ，；，+ f ( 1 一x ) v y 】。z ， = f ( 三) ，y + f ( 1 一x ) ：】p y+ f ( y z ) ，y ；- z ：y ，- 警碧 寺f 砂触叫出l 出+ p 砂卜广砘+ l 出 ，助l 出+ l 出【；砂j = ，娩 聊城大学硕士学位论文 l ll3 = 一+ 4 - 一 41 61 68 例3 2 5 设p l ，p 2 ，易为原子公式，计算f 【a - - ( 仍圆见) 】 解：( 1 ) 在系统l u k 中f 【a 专( p 2 0 见) 】 = f 魄一( 岛o p 3 ) 】 = f x 【o v ( j ，+ z 一1 ) 】 = f ( 1 一工) ，+ ：甜+ 【( x + y + z ) 1 】y + ：，l = r o 一工) y + ：d + f ( - x + ) ，+ z ) ，协l+ f ( 1 ) y + ：，1 = f 出f 方f 1 ( 1 一x ) d z + f 方，出f 一。( 叫+ y + z ) d x + f 咖，出f “斑 15 1 2 3 = 一+ + 一 42 422 4 ( 2 ) 在系统g s d 中 f 喃斗( p 2 0 岛) 】= 【a j g ( p 2 0 g p 3 ) 】 = r x 0 ， z ) 1 ，g + r ( x - - - h z ) 。：， = f 出f 砂f 出+ f 出r 砂f 肚+ f 砂r 出r 出+ f 砂r 出f 硪 ll1ll = 一+ 一十一+ 一 61 261 22 ( 3 ) 在系统兀中 r i p , 专( p 2o 岛) 】- 【a 斗n ( 扔o n 岛) 】 = f o 一归) = f ( 1 ) , s + r ( - - - 弦x ) = f 砂f 出r 出+ f 砂f 出詈出 1ll = 一+ 一= 一 4 42 ( 5 ) 在系统r 中 r i p , 斗( p 2 0 岛) 】= f 【a 寸r ( p 2p f 岛) j = r x ( y a z ) y + ：，i + r ( x o ) y + ：4 = r ( x y ) y 协l + f ( x z ) ，+ ：，l + f ( 1 一工) ，+ y 蚋 y s = y z 聊城大学硕士学位论文 = f ( 1 ) 。印+ 玎( 1 一x ) v y ，y + f ( 1 ) ，靶+ r o x ) v z + r ( 1 一x ) ，+ ，蚰 鬈“y ”s z ”1劳1y y + ：z “ = 三+ 三+ 三= 三 8 8 42 上述公式真度大小对照表 公式 系趴 ( a 0 见) 寸见p 1 0 ( 见一见)( p l 斗p 2 ) o 岛a 一( 岛0 见) 2 3332 3 l u k _ _ - _ _ 2 4882 4 33 3 1 g s d - 4 882 7 331 兀 _ 8882 73 3 l 工 _ - 888 2 从上表可以看出着几个公式的真度在系统l u k 、g 6 d 、l - i 及工中的大小顺序与蕴涵 算子在系统l u k 、g s d 、兀及上中的大小顺序相同，即 f 制s 吒s 钿s f m l 牛) 但是，同一个公式在逻辑系统l u k 与g 6 d 中的真度的大小往往差别较大： 如： 气( a 。p 2 ) 专岛) 一( a 。岛) j 岛) = 瓦2 3 一丢= 西5 气( a 斗( p ：。岛) ) 一r o o a ( p l - - ( p 2 。p 3 ) ) = 西2 3 一j 1 = 瓦1 1 。 也有相等的情况，例如公式凸圆( 岛_ 以) 与( n 一阢) 0 阢在四个重要逻辑系统l u k 、 g 6 d 、兀及工+ 中的真度都相等 以上只是对包含一对伴随对及三个原子公式的公式( ( p l o p ：) 寸岛， p m 0 ( p 2 寸p 3 ) ，( a 寸n ) o 岛g t p , 一( p 2 0 p o ) 的真度大小进行了比较，那么自然我 们还关心公式在系统l u k 、g s d 、兀及三+ 中的真度与它包含蕴涵算子及强合取算子的个 数的多少有怎样的关系，这个问题还需要我们继续进行研究 2 0 聊城大学硕士学位论文 第四章几种门值命题系统中公式真度的分布 早在2 0 世纪5 0 年代，文献 1 7 1 就用“指派真值”来反映逻辑概念的程度化思想( 其中 对一个逻辑公式爿引入的真值r ( a ) 就表明了这一点) 这种程度化的思想在p a v e l k a 的系 列文章 1 8 2 0 4 9 得到了全面的发展，其中几乎所有概念都已数值化了近年来，王国俊教 授提出了n 值命题逻辑公式真度的理论 5 文 1 3 一1 5 】又建立了一阶模糊值谓词逻辑公式 的有限、可数、区间解释真度及 l ) ( o 一逻辑有效公式) 的理论，这为n 值命题逻辑公式 真度的进一步研究提供了坚实的基础 本文关心的是“a p 2 ”这一公式在四个著：g n 值命题逻辑系统r ，l u k ，g o d , 及i i 中 真度大小的差别，及同一逻辑系统中随着胛的变化公式的真度大小的变化 我们首先计算四个n 值命题逻辑系统r ，l u k ，g o d 及中一个典型公式p 1 一p ：真度 其次比较在上述四个模糊值命题逻辑系统中这一个公式真度的大小；最后，研究了在上述 各个模糊值命题逻辑系统r ，l u k ，g o d 及n 中这一个公式随n 的变化公式真度大小的变 化 4 1 公式a = a 一仍的真度分布 4 1 1 公式4 = p l p 2 在四个逻辑系统三妇，g o d ，r ，及中的真度 ( i ) 在逻辑系统l u k 中l ( 由= 号孑= 吾一去，参见 8 。椰：掣s2=o、=0i-1-1：。霎。+萎h=l萎，2=0m血辱m， = 伽+ 若n - i 三i i - - i 等+ 鬈茎，= 砉伽+ 善孚+ 善一枷 ：3 ( n - 1 ) + 一1 一兰兰 4，l2 n 2 。一4 一4 n + 2 n 2 翳8 城大学硕士学位论文 ( i i i ) 在r 逻辑系统中 =盟+了1缶-1善h-12n nm a x 一击，寺12 幺台 、甩一l7 力一7 下面求了1 白n - i 蕃- im a x t t 一击，击 当行为奇数时，分以下几种情况， ( 1 ) o 丁n - i ，o 岛 ； ( 2 ) t n - 1 疗一1 ，o