（基础数学专业论文）广义p通有中心平行构形的orliksolomon代数及其上同调群.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文屉本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东 北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意 学位论文作者签名：燃日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范人学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：妇 指导教师签名： 日 虫j 气盥，7 1 期：筮型：矽日期：删乡 学位论文作者毕业后去向； 工作单位： 通讯地址：幽谚啊 瞒；幽j 窜幸j | 邮编：z 呈笪 摘要 本文定义了广义p 一通有中心t - 行构形，并给出其特征多项式以及 蛇和时中广义p 一通有中心平行构形的o r i l i k s o l o m o n 代数及其上同调 群的维数另外给出其在一些特殊构形上的应用 关键词超平面构形；广义p 一通有中心平行构形；特征多项式； 区域；o r l i k s o l o m o n 代数 a b s t r a c t an e wk i n do fa r r a n g e m e n t sg e n e r i cc e n t e rp a r a l l e la r r a n g e m e n t si sd e f i n e d i nt h i sp a p e ct h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a la n dt h en u m b e ro f r e g i o n so fg e n e r i c c e n t e rp a r a l l e la r r a n g e m e n t sa r cg i v e ni nt h i sp a p e r , a n da l s ot h ed i m e n s i o no fi t s c o h o m o i o g yo fo r l i k s o l o m o na l g e b r a so n 衅a n d 聚：3a n ds oa r es o m ea p p l i c a t i o n s t og e n e r i cc e n t e rp a r a l l e la r r a n g e m e n t s k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dp g e n e r i cc e n t e rp a r a l l e la r r a n g e m e n t ；c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l ：r e g i o n o r l i l s o l o m o na l g e b r a s l i 目录 中文摘要i 英文摘要i i 目录i l i 引言1 1 预备知识3 2 广义p 一通有中心平行构形及其特征多项式与区域6 3 r 2 和辩中的广义p 一通有中心平行构形及其o r l i k - s o l o m o n 代数1 1 4 r 2 中广义p 一通有中心平行构形的上同调群1 2 结 论1 6 参考文献1 7 在校期间公开发表论文及著作情况1 9 致谢2 0 i i i 质 科 习匠 平 h t e r a o 、c h r i s t o s 和a a t h a n a s i a d i s 等人在这方面的贡献尤为突出，这从他 们对特殊构形如c o x e t e r 构形 1 ，2 】、霞构形 3 , 4 】子空问构形 5 】等等的 文章研究中就可以体现从拓扑的角度进行研究，构形的o r l i k s o l i o m o n 代数的上同调足一个研究热点【1 3 1 7 】，这种研究方法的实质就是应用构 形的代数及组合性质对超平面构形的补宅间的拓扑不变量进行研究。这 方面最新的文章出现于2 0 1 0 年3 月 1 0 】，文章中对构形的上同调进行了 深入的研究。这些从拓扑角度研究构形所得到的结论，在超几何函数、 射影曲线的亚历山大不变量等理论中也起到了十分承要的作用从代数 的角度，c h r i s t o sa a t h a n a s i a d i s 在文章【9 】中，深入的研究了c a t a l a n 构形 的代数性质在文章 1 2 】中也对c o x e r e r 构形的模的性质进行了阐述，同 时还有很多从代数结构研究的文章在国际上纷纷出现【1 8 2 1 在国内也有很多专家学者投入了关于构形各方面性质的研究，各种 新类型的构形层出不穷例如一类混杂构形【2 6 】，类自由构形 2 4 】、平 行自由构形【2 5 二茕自由构形【2 7 】以及本文研究的广义p 一通有中心t - 行构形 本文丰要内容的第二部分是给出本文新构形的定义，通过代数与组 东北师范人学硕士学位论文 合的知识，求出广义p 一通有中心平行构形的相关参数，根据w h i t n e y 定理 影巾) =罗 ( 一1 ) 4 彳，“删翻) 堋暑 ，：磊l t ! a l 得到了该构形的特征多项式，进而得到该构形的区域个数第三部分是 应用p o i n c a r e 定理 ，) _ 彳p(工1)1poin(a(c1)dim ，= ( 一，) ，。，夕小) ，) = 彳p ( 工 ，= ( 一f ) ”，夕；，( 一) - j f p 0 得到广义p 一通有中心 t - 行构形的o r l i k s o l o m o n 代数第四部分的主要内 容足通过上同调群的概念计算广义p 一通有构形的上同调维数，得到了 一个一般性的结论。进而利用该结论可以解决类自由构形和通有构形1 的上同调群的相关问题 广义p 一通有中心平行构形的特殊性使得一类新的构形问题得以解 决；它的一般性体现在构形的通有中心个数p 和其结论公式 瘦o ( ，) = f ”+ ( 一1 ) 1 足f ，1 + k i k l 一1 ) ：f ”一2 + + k i k k t ( 一1 ) ”，l 一月+ ( 一1 ) 肿p - 1 i f s 一 中的k i = i ，2 ，3 。朋，当这些相关参数取不同的值的时候，就是现在国 内正研究的类自由构形以及国外专家一直在研究的通有构形的特征多项 式，继而根据 ，( ) = ( 一1 ) ”。彩( 一1 ) 可以求出以上几种构形的区域个数广义p 一通有中心平行构形的上同 调维数涉及到的是补空问拓扑不变量的相关问题，所以理论上解决了一 些构形的拓扑问题应用本文的主要定理还可以得到一些复杂的构形的 特征多项式 本文 其中找到 设k 维子宅间 中的一个 性超平面 中y 足v 以下 同时也是 定义 面构形 定义1 2 设l = ( ) 是中所有元素的善e 牢交的集合，这里约定 v ( ) 定义l 上的偏序关系x y 工儿其中x ，1 ( ) 。满足自反 性，对称性，传递性定义( ) 上的秩函数为，。( x ) = c o d l i n ( x ) = n - d i m ( x ) ， 即x 的余维数，其中x ( ，c 少) 显然，一v ) = o ，厂( h ) = 1 ，秩为1 的元称为原 子 定义( 。) 上的m b b i u s 函数为p ：( ) ( 。) 叫z 满足： p ( x 石) = 1 。 v x l ( ) t 2 ( 圳= 一p ( 蚺v x , y ( ) 工 刀，其中。嘭= 1 1 4 n ，h t 2 ，h ；k , i ，b 】，2 ，脚，其中k l ，也，不一 定相同若满足： ( 1 ) 嘶( f _ 1 ，2 ，m ) 足，的极人平行子构形； ( 2 ) 有硝osp 七，k = m i n l k i ，膏2 ，k m ) 个极大通有子构形，分别为 彩1 ，踢踢；历，有m 个超平面，这m 个超下面分别是硝，奶，秭， 中的超平面并且踢n o a - o ，( f _ f ，j = 1 ，2 ，p ) ； ( 3 ) 对于中q 元子集 i 仍，。 ，若其中任意的风、m 均不在同一 蹦( f - 1 。2 ，m ) 中，也不在同一够，u = 1 2 ，。p ) 中，则 1 仍。蜴 处于一般位置，为反映构形特点并记法简单，简记广义p 一通有中心平行 构形为g p g c p k 1 赶，k 】 例如图1 中的构形，衫是瓞2 中的g 2 一g c p 2 ，3 ，4 ，”= 2 ，j l ：2 ，k 2 = 3 ，b = 4 p = 2 ，m = 3 ，点爿、b 分别为构形的通有中心 定理2 4r ”中的g p g c p k i ，k 2 ，k 】的特征多项式为 + k i k j k t ( - i ) ”，( 一1 ) 川p 吒- 1 i j 6 +， 0， 一 丫八 七 b 郎 +， m川 +， = o 2 东北师范人学硕士学位论文 构形，的区域个数为 图i 凡形) = l + zk ，+ k , k j + 足舭t + i = i i ，( ，s ，”i f ， s s 册 1s ，( ，( ( ，” 证明根据w h i t n e y 定理，要计算出广义p 一通有中心平行构形，衫 的特征多项式就要知道构形的所有中心了构形膨，并且知道明的秩 阳胛七( 彬) 、硝中元素个数这些相关数据，如表l 表i 因此构形的特征多项式为 舅( ，) =f( 一1 ) ，一m 椭劈) j 二j ：孵e “。翻i sc m l l a l ：，+ y ( 一l 、k j ，一1 + yk i k f ( 一i ) 2 t ”2 + i j - - j ：j ，= l 1 j ( i s m t 1， + 2 。 七皿，tk t ( 一l 尸，一”+ p 【( 一1 ) ”+ 1 c 苗1 + + 一1 ) 所f 嚣 i f j s ， 7 东j l o i l i 范人学硕士学位论文 = ，+ ( 一1 ) 一+ 晰一1 ) ：广一2 ，= i l s j i ! m + - + ，b k t ( 一1 ) ”p + ( 一1 ) ”p c i l 一( 一1 ) ”p e k t ( p c n - i 惕 + + 乞七，b 一1 ) ”p + ( 一1 ) ”l 一( 一1 ) ”惕 1 s k ，s w 构形。的区域个数为 r ( c ，) = ( 一1 ) ”( 一1 ) = i + 厅，+ k ，k j + k f k i k ，+ + 岛乃k , - p c 篇 忙l 1 i j s mi f ( j j 卅1 j ， ，s 所 在文章的第三部分与第四部分主要讨论的是2 维和3 维欧式卒问中 的g p g c p k l ，j | ：，足。 ，所以这罩我们单独给出r 2 、醍3 中构形的特 征多项式 推论2 5 融2 中的g p g c p k l ，k 2 ，k 的特征多项式为 舷巾) = ，2 一j i ”幻皇，一p 嚷一l i = 1 l ! f ) + j ：jj 二j ，= 1 1 ， ，3 定义2 7 当定义2 3 中取k l = k 2 = = k m = k 时，即构形。= u 翟l 蹦 中，霸f ，= 1 ，2 ，州所包含的超平面个数都相等时，称其为p 一通有中 心平行构形，简记为p g c p k 】 例如图2 中构形为孵中的3 一g c p 4 3 】其中疗= 2 。k = 4 ，m = 3 ，p = 3 ，点a 、b 、c 为超平面构形，的通有中心 图2 定理2 8 秽中的p 一通有中心平行构形的特征多项式为 区域个数为 一) = zk 岛一p c 品- i = 0 9 +口 ，川 +日。口一 p 口 ，川 + q 口 娜 + p +口 ，川 一户 = d 盘 一 p + 暑、 一+ 一 ， 岛 七一 。瑚 l i o， 敷 东北师范人学硕士学佗论文 根据定理2 8 ，图2 中的构形，的特征多项式为。岩：以，) = 1 2 1 2 t + 4 5 ， 区域个数为，( ，) = 5 8 例2 93 维欧式中的2 g c p 3 ：】的定义多项式为 q ( ) = x y z ( x y ) ( x l k v 一2 ) ( z 1 ) ( 一y + 1 ) 其通有中心为( o ，0 o ) ，t 1 2 ，1 ) 应用上述定理可以得到 夏i ) i t ) = t 3 8 ，2 + 2 4 ，一3 0 一) = 6 3 从定理2 8 中可以看出，当中极大通有子构形的个数为0 时，即 p = 0 时，构形为乎行自由构形，因此由定理2 4 可以得到参考文献 【2 5 】中的主要结论 推论2 1 0 平行自由构形的特征多项式为 奠洲= ( 一1 ) 矗，i 推论2 11 通有构形的特征多项式为 敷，i t ) = ( 一1 ) g i ，一7 + 【一l j 巴- 1 i = 0 证明令定理2 8 中k = 1 ，p = i 即可得证 1 0 ，k 】 代数为 d i m a 。( ) = 1 d i n ，a l ( ) = z k ，d i m a 2 ( ) = k i k j p c ，- 1 - - l1 蔓，( ，埘 3 维欧式窜间中的广义p 一通有中心平行构形的o r l i k s o l o m o n 代数为 d i m a 0 ( ) = 1 ， d i m a i ( ，e ) = z k ， 仨l d i m a 2 ( ，) = 足，b i f ” d i m a 3 ( ，e ) = , , k j p c 3 , _ 1 i f j ( s ” 4 其上 维数 的引理4 2 对定理4 3 的证明过程也是至关重要的 对于r ”中的超甲面构形，敢是交换环，构形的o r l i k s o l o m o n 代数为 爿( ) = ( c e l l ( r 彩) ) = o ：o 彳( ) 是商代数，也是分层代数e ( 影) = a e i ，其中e 1 = 吆l 馘g f ，e i 对应于 h j i = 1 ，2 ， e ( 一4 ) = ( g p ”：o 爿( ) ， 其中e p ( ，) 的标准配一基是 e i e 1 2 ，e 1 1 1 i l i p ，( ) 是由元 素 o e s i s 是相关的l u e s l n h 醪= o l 生成的e ( ) 的理想设 7 1 ：e ( ) 叫爿( 是自然同态， a 口( ) = i r ( e p ( a ) ) a s2 x ( e ) 注4 1 为文章表述更加清楚，不妨将定义2 3 中极大通有予构形踢设为 1 勘，协。 在印一g c p k l ，k 2 ，k m 】中超平面h i j 对应于其o r l i k - s o l o m o n 代数4 ( ) 中e i j ，则 a p ( ) = 7 r ( e p ( a ) ) ， 为记号简便，在适当的时刻令 a qaa x c _ 叱 a qaa i j = 1 2 因为 所以 因此 即 即 引理4 2蟛= 0 f ，= 1 “2 一舰u ，- l ，2 ， 证明任取j ，( 。e 1 ) ，州r ) = 0 h 。| h u i ， e u ，托) ， j r ( e n ，) = 0 ， n w vac i h | = 0 ， 口掣= 0 定理4 3 构造一个与构形有关复形链，其中构形。形是跫2 中的 g p g c p k 1 k 2 b ，】，当巩= a = ，时，矾：爿女( ) 彳 + l ( 。) 形成复 形爿( ，口) 那么，这个复形的上同调维数屉： 因为 d i m h o ( 彳( 。矿口) ) = 0 坊m 1 ( 爿( ，口) ) = “一1 d i n ，h 2 ( a ( 以口) ) = 足尚一p 吒_ 1 - 七，+ 屯 1 _ t s m ，= 1 证明对于复形爿( 。，口) ，很容易得到 d i m h o ( a ( 。，口) ) = 0 ， d i m h l ( 爿( ，“) ) = d i m k e r d l d i m h n ( t o ， 并且由同忿定理可以知道 因此 同理可得 即 d i m l m 幽= d i m a o ( ( a ) 一d i m k e r d o = 1 d i m h l ( 爿( ，口) ) = d i m k e r d l 一1 ， 讲h 2 ( 彳( ，口) ) = d i m a 二( 一d i m al ( ，衫) + d i m k e r d l ， d i n 7 h 2 ( a ( 。c i t ，( ) ) = 岛乃一p c 三一l 一岛+ d i m k e r d l i s i ( i s | n 诗i 因此，下面的任务就是求出d i m k e r d 任取x = 急ll l i a l i + 笔lt 2 i 0 2 i + + 怎if “，f + + 警1 ，鲥嘞小 d l x = 口( 忽il l i a l i + 笔lt 2 i a 2 i + + 怎i 屯，岛，+ + 翟it m i a m i ) = 2 l ，i ，口? ；1 + 警l ，2 ，口雾+ + 急。，。，口：；+ + 警岛，嘲； = 忽1 ，l ，叫；+ 笔lf - - i 一2 ”1 + + = 0 所以根据引理4 2 得 从而得到 因此 证毕 t n l i 噶1 t l i2t 1 22 = i l k = t 2 131 2 25 2t 2 k z _ = l u l 。t u 22 2f 峨， = t m l2i r a 22 = t r e k 。= 0 d i m k e r d l = ( ”+ k m ) = k “， j = l d i m h l ( 爿( ，口) ) = k u i ， d i n ? 矿( 爿( ，口) ) = k i k i p 吒_ 1 _ 膏f + 岛， i 毫i ( j s m i - 1 从上述证明中可以看出，d i m k e r d l 是求孵中g p g c p k l ，七! ，】 上同调维数的关键，那么对于任意口= a 。都有d i n k e l d l = k 。那么是否有 对于任意以= 是lm 知时，一定有d i m k e r d l = l m lw , k i ? 答案是否定的下面这个例子正说明了这个问题 例4 4 构形的定义多项式为q = x y ( x n 它是一个通有构形如 图3 设s = l j = 0 , y = 0 ，工+ j ，= o = i h j ，h 2 ，h 3 l 中的o r l i k s o l o m o n 代数对 应的元素是e 卜e 2 ，e 3 那么有 图3 ，r ( e 1 ) = a 1 j r ( e 2 ) = a 2 ，j r ( e 3 ) ：a 3 1 4 根据定理4 3 ，后l _ k 2 = 足3 = 1 当a = 口= 1 2 3 ) 时，d i m k e r d l _ 七产1 ，当 取口= 口l a 2 时， 又因为 因此 故 从而可以得出 因此 从而可以得出 d l ( j ) = ( a l a 2 ) ( k l a t + k 2 a 24 - k 3 a 3 ) = 0 ( - k j 一七2 ) a l a 2 + k 3 a 3 a l + k 3 a 2 a 3 = 0 z r ( o e l 2 3 ) = 0 n f e l e 2 - i - e 2 e 3 - i - e 3 e 1 ) = 0 o i a 22 - a 2 a 3 一a 3 a i d l ( j ) = ( k l4 - 膏2 + 后3 a 2 a 3 - i - ( 五1 + k 2 + k 3 ) a 3 a l ， 我们就可以看出 詹i + 后2 + j i 3 = 0 d i m k e r d ! = 3 1 = 2 d i m k e r ( a l a 2 1 d i m k e r a i d i m k e r a 2 推论4 5 敢2 类自由构形的上同凋维数为 d i m h o ( 月( 。口) ) = 0 d i m h l ( a ( d 口) ) = k u 一1 d i m h 2 ( a ( d ，口) ) = 1 5 i ，” 证明应用定理4 3 ，令p = 0 即可得证 1 5 一 +尼 m蚓 结论 在本文中给出广义p 一通有中心平行构形及其精确数学定义根据新 的构形的定义，给出广义p 通有中心平行构形的特征多项式，并且根据 相关定理求出该构形的区域个数的公式广义p 通有中心平行构形是相 对抽象的一个超平面构形，将其应用到一些具体构形中可以求出很多复 杂构形的特征多项式，并求出其区域个数构形的o r l i k s o l o m o n 代数， 反映出的是超甲面构形的代数特征，所以根据广义p 一通有中心平行构形 的特征多项式及p o i n c a r e 多项式，从而求蹬其o r l i k s o l o m o n 代数借助广 义p - 通有中心平行构形的o r l i k s o l o m o n 代数可以求出其上同调维数，这 是至关嘬要的工作通过广义p 一通有中心平行构形的o r l i k s o l o m o n 代数 上同调维数，还可以求出一些特殊构形的o r l i k s o l o m o n 代数同调维数 1 6 参考文献 【1 o r i l i kp m u l t i d e r i v a t i o n so fc o x e t e ra r r a n g e m e n t s 【j 】，i n v e n t i o nm a t h e m a t i c s 2 0 0 2 ， 1 4 8 ：6 5 9 6 7 4 ( 2 】p o s m i k o va s t a n l e yr rd e f o r m a t i o n so f c o x e t e rt l y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s ，19 9 7 9 l ：5 4 4 5 9 7 【3 a b et t e r a oi t ，w a k e f i e l dm t h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo fam u l t i a r r a n g e m e n t 【j 】， a d v a n c e si nm a t h e m a t i c s ，2 0 0 7 ，2l5 ：8 2 5 8 3 8 【4 】z i e g l e rg m m u l t i a r r a n g e m e n t so f h y p e r p l a n e sa n dt h e i rf r e e n e s sf j 】a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y 19 8 9 ，9 0 ：3 4 5 3 5 9 【5 】i a t h a n a s i a d i sc h r i s t u sa ，c h a r a c t e r i s t i cp o l y m o n i a l so fs u b s p a c ea r r a n g e m e n t sa n d f i n i t ef i e l d s 【j 】a d v a n c e si nm a t h e m a t i c s ，1 9 9 6 ，1 2 2 ( 2 ) 1 9 3 2 3 3 【6 】6 c o h e nd c ，s u c i ua i o nm i l n o rf i b r a t i o n so fa r r a n g e m e n t s 【j 】，l o n d o nm a t h m a t i c a l s o c e i t y ( 2 ) ，1 9 9 5 ，5 l ( 1j ：1 0 5 一l1 9 f 7 s t a n e l yr 。只a ni n t r o d u c t i o nt o ! t y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s m i a s p a r kc i t ym a t h s e r i e s ， 2 0 0 4 【8 】o r i l i kp ，t e r a oi ，a r r a n g e m e n t so f1 l y p e r p l a n e s m ，b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 2 ，l 1 6 7 【9 】a t h a n a s i a d i sc a ，g e n e r a l i z e dc a t a l a nn u m b e r s ，w e y lg r o u p sa n da r r a n g e m e n t so fh y p e r p l a n e s b u l l l o n d o nm a t h s o c 3 6 ( 2 0 0 4 ) 2 9 4 - 3 0 2 【l0 】d a v i sm w j a n u s z k i e w i c zt ，l e a r yi j ，ob o r i s ，c o h o m o l o g yo fh y p e r p l a n ec o m p l e m e n t sw i t hg r o u pr i n gc o e f f i c i e n t sa r x i vp r e p r i n ta r x i v ：2 010 【l1 】u w a l t h e r , b e m s t e i n - s a t op o l y n o m i a lv e n u sc o h o m o l o g yo ft h em i l n o rf i b e rf o r g e n e r i ch y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s ，c o m p o s m a t h ，4 1 ( 2 0 0 5 ) ，1 2 1 - 1 4 5 【l2 】f jc a s t r o - j i mn e z ，j mu c h a ag e n e r a l i z e dl o g a r i t h m i cm o d u l ea n dd u a l i t yo f c o x l7e t e rm u l t i a r r a n g e m e n t s ，m a t h ，2 0 01 ，4 3 4 8 【13 】l i b g o b e ra ，y u z v i n s k ys c o m p o s i t i o ，o r l i k - s o l o m o na l g e b r a sa n dl t y p e r p l a n ea r - r a n g e m e n t s m a t h e m a t i c a 2 0 0 0 2 7 9 - 2 8 9 【1 4 】l i b g o b e ra y u z v i n s k ysc o h o m o l o g yo ft h eo r l i k s o l o m o na l g e b r a sa n dl o c a ls y s t e r n s2 0 0 01 2 ( 1 ) ：3 3 7 3 6 l 【l5 】f a l km c o m b i n a t o r i a la n da l g e b r a i cs t r u c t u r ei no r l i k s o lo m o na l g e b r a j e q r o pjc o m b i n a t o r i c s 。2 0 0i ，2 2 ( 3 ) ：6 8 7 6 9 8 【1 6 】k a w a h a r a y , t h e n o n v a n i s h i n g c o h o m o l o g y o f o r l i k - s o l o m o n t o k y o j o u r n a l o f m a t h e m a t i c s 2 0 0 7 3 3 硝 【i7 】k a e m p f g tr o e m e r m a n u s c r i p t a 。h o m o l o g i c a lp r o p e r t i e so fo r l i k s o l o m o na l g e b r a s m a t h e m a t i c a 2 0 0 9 14 3 - l5 2 【l8 】m u s t a t am m u l t i p l i e ri d e a l so fh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s ，t r a n s a c t i o n so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，2 0 0 6 ，5 015 - 5 0 2 2 【19 】y o s h i n a g a k o d a im h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t sa n dl e f s c h e t z s , h y p e r p l a n es e c t i o n t h e o r e mm a t h e m a t i c a lj o u r n a l ，2 0 0 75 4 3 5 6 4 【2 0 】il a c k i n gp sk e e l jt c 、e l e x ，c o m p a c t i f i c a t i o no f t h cm o d u l is p a c eo f h y p e r p l a n ea 卜 r a n g e m e n t s ，a r x i vp r e p r i n tm a t h 0 5 01 2 2 7 ，2 0 0 5 ，3 7 4 - 4 1 0 2 1 】p r o u d f o o t n ，an o n h a u s d o r