（基础数学专业论文）时滞hopfield神经网络模型的全局渐近稳定性全局吸引性全局指数稳定性.pdf

时滞h o 皿e l d 神经网络模型的全局渐近稳定性，全局吸引性，全 局指数稳定性 基础数学专业 研究生梁巍婧指导教师蒲志林教授 论文摘要：本文以时滞型h o p f i e l d 神经网络为基础，在非线性神经元激 励函数是l i p s c h i t z 连续的条件下通过构建l y a p u n o v 泛函，利用d i n i 导数，不等 式m a b m - 1 a m + ( m 一1 ) 6 m ，( a ，b 0 ，m 1 ) 以及推广的h a l a n a y 一维时滞 微分不等式等方法分别讨论了常时滞h o p f i e l d 神经网络模型的全局渐近稳定性和 变时滞h o p f i e l d 申经网络模型的全局吸引性及全局指数稳定性，得到了一些新的充 分条件，并推广了一些已知文献中的结果 关键词：h o p f i e l d 神经网络；时滞；d i n i 导数；全局渐近稳定性；全局吸引性；全 局指数稳定性 第i 页，共2 7 页 g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ，g l o b a la t t r a c t i v i t ya n dg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rd e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k m o d e l s m a j o r b a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t el i a n gw e i - j i n gs u p e r v i s o r p uz h i l i n a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w eo b t a i nt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ，t h e9 1 0 b a l a t t r a c t i v i t ya n dt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rd e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r km o d e l sw i t ht h el i p s c h i t z i a nc o n t i n u o u sn o n l i n e a ra c t i v ef u n c t i o n s s o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e v e l o p e db yc o n s t r u c t i n gs u i t a b l el y a p o n u vf u n c t i o n ， u s et h ed i n id e r i v a t i v ea n dt h eg e n e r a l i z e dh a l a n a yd e l a y e dd i f f e r e n t i a li n e q u a l - i t y , t h ei n e q u a l i t ym a b m 一1 a m + ( m 一1 ) 护，( a ，b 0 ，矾1 ) t h e s er e s u l t s g e n e r a l i z eo n e si nr e f ( ；r e n c e k e yw o r d s ：h o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s ；d e l a y ；d i n id e r i v a t i v e ；g l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；g l o b a la t t r a c t i v i t y ；g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文是本人在导师蕴查苤整蕉 指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不舍任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体。均三在文中以明确方式标明。本声明的法律 结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不 符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大 学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规 定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库供检索：2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开 的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有 关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位 论文垒文数据库并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解罾后适用本授权书) 学位论文作者签名： 导师签名： 签字目期：年月日 签字目甥掰矿月，o 日 上一 刖吾 人工神经网络一是一门涉及了生物、数学以及物理等多门学科的交叉学 科，是2 0 世纪末迅速发展起来的一门技术它的基本原理是根据仿生学，模拟人 的神经系统运行方式，从而使机器能够像人的大脑一样，具有感知和学习推理能 力人工神经网络把控制系统看作是由输入到输出的一个映射，利用它的学习和 适应能力，来实现系统的映射特性，以达到完成对系统的建模和控制的目的近年 来，由于其良好的并行信息处理能力和非线性映射能力，人工神经网络得到了普 遍的关注，发展非常迅速，国内外学者对神经网络的研究也取得了引人注目的进 展特别是在模式识别、智能控制、非线性优化、生物医学工程和传感技术等领 域有着非常广阔的前景，一定会对以后的科学发展起到举足轻重的作用 目前，我们对人工神经网络的理论研究还非常的有限，在众多的关于人工神 经网络的研究中，很多针对的都是h o p f i e l d 博士于1 9 8 2 年所提出的一类人工神经 网络模型，大家称之为h o p f i e l d 神经网络经典的h o p f i e l d 神经网络模型如下一： g 面d u i = 一掣+ 缈( ( t ) ) + 五，( t o ，t = 1 ，2 ，佗) 一。1 j = l 但是，由于上述模型只是考虑了信息在神经元之间的反应以及传递是在瞬间完成 的，忽略了在这一过程中存在时滞等因素会对结果产生一定的影响，因此，能够更 加准确描述信息传递的动力学系统应为： g 等= 一掣+ t t j g j ( u j ( t 一) ) 地( 亡 0 ，i _ 1 2 ，佗) ”。 1 j = l 2 1 其中一g ，兄，正f ，厶均为常数，g 0 ，昆 0 g 是输入电容；u i 是第i 个神经元的 膜电位；尼表示输入的电阻；正j 表示的是从第j 个神经元到第i 个神经元的传递强 度；夕，( 乱f ) ：r _ 冗称为非线性神经元激励函数，是表示第i 个神经元的模式函数； 五是从外部流入神经网络内部的电流；死f 0 是第i 个神经元接受第j 个神经元 发出的信息时的时间延迟；g 粤表示输入电流向第i 个神经元的电容充电到电 位u t 时的电流 第1 页，共2 7 页 前言 本文主要研究的便是时滞h o p & l d 神经网络模型对于时滞h o p f i e l d 神经网络 模型，已经有许多文章如文 3 _ 1 3 】研究过它的全局渐近稳定性，全局吸引性和全局 指数稳定性，其中一部分对激励函数夕f 作了较强的假设，如文： ( 1 ) 吼( ) ( i = 1 ，2 ，n ) 是s i g m o i d 函数，即仇c 1 ，i ( x ) 0 ，z n _ a i ( o ) = 蝉b9 ：( z ) o ； ( 2 ) 吼( z ) 是有界的 而本文将在对激励函数仇( ) 作较弱的假设条件下，给出时滞h o p f i e l d 神经网 络模型的全局渐近稳定性，全局吸引性和全局指数稳定性的易于检验的充分条 件 r g l 在本篇论文中，我们假设激励函数g i ( i = l ，2 ，礼) 满足条件一： ( 1 ) 吼( ) ：r _ r 是全局l i p s c h i t z 连续且l i p s c h i t z 常数是吼( i = 1 ，2 ，竹) ； ( 2 ) 存在常数尬 o ，使得i 胁( 让) l 必，“r ，( i = 1 ，2 ，钆) 在这一假设下，文 9 】 1 0 】 1 2 等也进行过研究文 9 和文【1 2 】考虑的时滞是一个 常数，文f 1 0 考虑的时滞是一个变时滞，但实际上绝对的常时滞很少，常时滞只不 过是变时滞的一种理想化的近似，更为常见的是变时滞h o p f i e l d $ 经网络因此，对 于变时滞h o p f i e l d j ：o 经网络的研究更有实用价值而本文在文 1 0 】的基础上，利用 不等式m a b m _ 1 a m + ( m 一1 ) 6 m ，( a ，b 0 ，m 1 ) ，对系统的全局吸引性和全局 指数稳定性进行了研究，对结论进行了推广并且在文 1 2 的基础上，补充了全局渐 近稳定性的充分条件，也将文i n 关于全局渐近稳定性的结果进行了推广 1 i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第2 页，共2 7 页 毕业论文 第一章预备知识弗一早似亩刘珙 1 1 关于系统( 1 ) 的预备知识 ( 瓦j = 1 ，2 ，n )( 1 ) 其中兢= 壶，= 鲁，也= 丧并赋予初始条件： u i ( s ) = 九( s ) ，s 【- - t ，0 】 对于模型( 1 ) ，激励函数吼( i ：1 ，2 ，礼) 满足假设条件【9 】： ( 崇) 夕i ( ) ：r _ r 是全局l i p s c m t z 连续且l i p s c h i t z 常数是吼( i = 1 ，2 ，佗) 另 外该激励函数阢在r 上有界也即存在常数尬 0 ( i = 1 ，2 ，扎) ，使得l 仇( u ) l5 坛，乱r f 1 1 l 定义1 1 1 1 如果有： 一良“；+ 口巧毋( 哆) + 乃= 0 ，( i ，歹= 1 ，2 ，扎) 则称u = ( u l ，u 2 ，蝣) t 形是系统的平衡点 f tt 1 定义1 1 2 一如果对于系统( 1 ) 以及满足假设条件( 豢) 的任一解满足收敛 关系： + l 熟( ) = u ；，( i = 1 ，2 ，n ) t _ + o o 、7 、 。 7 7 则称系统的平衡点瞄是全局渐近稳定的 1 2 关于系统( 2 ) 的预备知识 u ：( 亡) = 一6 i u ( t ) + 缈( 吻( 一勺( 亡) ) ) + 以，( t ，j ：1 ，2 ，佗)( 2 ) j = l 第3 页，共2 7 页 五 十 嘞 一 乃一叼 0 札问 +p毗 玩 一 = ， 第一章预备知识 其中玩= 壶，a i jc 鲁，以= 丧并赋予初始条件： ： u i ( s ) = 咖( s ) ，s 一7 - ，0 】 对于模型( 2 ) ，激励函数g t ( i = 1 ，2 ，几) 满足假设条件“： ( 豢) g i ( ) ：r r 是全) 蜀l i p s c h i t z 连续j l i p s c h i t z 常数是f f i ( i = 1 ，2 ，佗) 另 外该激励函数仇在r 上有界也即存在常数舰 0 ( i = 1 ，2 ，佗) ，使得i 饥( u ) i 舰，u r 12 1 定义1 2 1 一如果有： - b i u ；+ a i j g j ( u ；) + g j = 0 ， ( t ，j = 1 ，2 ，礼) j = l 则称矿= ( 乱：，u 2 ，u ：) t 彤是系统的平衡点 1 翻 定义1 2 2 一如果对于系统( 2 ) 的任意两个解 u ( t ) = ( u l ( 亡) ，u 2 ( 亡) ，( 亡) ) r 彤，w ( t ) = ( w l ( 亡) ，训2 ( 亡) ，w 佗( 亡) ) t 形 满足收敛关系： 1 i 玛：i u ( 亡) 一嵋( t ) l m = 0 ， ( i = l ，2 ，竹m 1 ) t - - - * 上o o - - 一 则称系统( 2 ) 是全局吸引的 设晚( z = 1 ，2 ，佗) g ( 一7 - ，o 】，r ) ，记圣= ( 1 ，2 ，) t 对于u + = ( u ；，u ；，u ：) t r n ，我们定义： 惮一u + | l m = is u p l 如( s ) 一u r l l ，( m = 1 川2 一，n ) 一r 0 以及m 1 使得系统( 2 ) 满足假设条 件( ) 的任意解圣= ( l ，也，) t 形有： i l 西一u + j i m m 击s u pi i 圣一u + 0 m e 等，( m = 1 ，2 ，佗) 则称系统( 2 ) 的平衡点u + = ( u ：，啦，u ：) t r n 是全局指数稳定的 1 i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o m 第4 y i ，共2 7 页 毕业论文 第一章预备知识 1 3引理 引理1 3 1 【1 3 】 设激励函数乃0 ：1 ，2 ，礼) 满足假设条件( 素) ，则系 统( 1 ) 、系统( 2 ) 必存在唯一的平衡点 引理1 3 2 一 设激励函数缈( j = 1 ，2 ，礼) 满足假设条件( 亲) ，则系 统( 1 ) 、系统( 2 ) 的所有解在 o ，+ 。) 上均有界 引理1 3 3 一 设函数g ：r + _ r 一致连续，且9 l 1 o ，+ o o ) ，则 。l i m g ( t ) = 0 t + + 7 引理1 3 4 一( 推广的h a l a n a y 一维时滞微分不等式)设常数n b 0 ，函 数z ( 亡) 是在【丁。一7 - ，芒】上定义的非负的一元连续函数，且在此区间上有如下的不等 式成立 d + x ( t ) 一a x ( t ) + 坛( 芒) 其中 牙( 亡) ：= s u p z ( s ) ) ， t - - t s 8 s t 7 0 为常数，则在t t o 上有 x ( t ) 牙( o ) e a ( 扣t o ) ， 其中a 为超越方程a = a 一6 e 灯的唯一正根 证明考虑 ( 肛) = 肛一a + b e p r ， 肛 0 ，a 】 则 l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o n a ( o ) = 一口+ b 0 7 ( p ) = 1 + b r d r 0 第5 页，共2 7 页 毕业论文 第一章预备知识 ( 肛) 是严格单调递增函数 故在【0 ，o 】之上存在唯一的入( o ，a ) ，满足入= o b e 灯 令 可( 亡) = 牙( o ) e 一入( t t o ) ，t o 一丁st 1 为任意常数，贝l j x ( t ) t o 是任意的，则有： z ( t ) = k y ( t ) 又因为z ( 亡) ，秒( ) 是连续函数，则一定存在某个亡1 ( t o ，p ) ， 使得： x ( t ) k y ( t ) ，t o 一7 t t o ，z ( q ) = k y ( t 1 ) ( 2 ) 又由于d + z ( t ) - a x ( t ) - 4 - 6 孟( 亡) 所以有： d + x ( t 1 ) 一a x ( t 1 ) + b 2 ( t 1 ) 0 ，m 1 ) 证明 扫y o u n g 不等式： u t m + 竺，一1 + 一1 ：一，( u 0 ，0uv 10v 0 ，m 1 ，扎 1 ) ， ，m 上，扎 l j l i a n g w e i j i n g 一1 5 价1 6 3 c o n r n 仇 臻6 页，共2 7 击 毕业论文 第6 页，共2 7 页 毕业论文 第一章预备知识 可知 则 即 三：1 一三 扎仇 m 佗2 m 一1 呸竺+ 害：i u m m + 坐_m m l 当钆= a ，移= b m - 1 时，有 证毕 1 i a n g w e i j i n g l 5 1 6 3 c o r n f m 一1 ) v m - ”= t m m u v u m + ( m 一1 ) 口嚣 m a b m 一1 a m + ( m 一1 ) 6 m 第7 页，共2 7 页毕业论文 第二章时滞h o p 6 e l d 神经网络的全局渐近稳定性 本章讨论常时滞h o 曲e l d 神经网络模型： u ：( 亡) = - b i u t ( 亡) + o 巧乃( 一) ) + 五， j = l 的全局渐近稳定性其中0 的常数 ( i = l ，2 ，佗) 定理2 0 1对上述系统，假设激励函数缈( j = 1 ，2 ，n ) 满足条件( ) ，且 参数b i ，a i j ，吼满足下列条件之一： n ( 厶) ( ( m 一1 ) + 口i i m ) m 玩； j = l ( 如) ( 价一1 ) n 沪i j = l o 巧i + 蚓 m 玩； j = 1 + o ? l a j i l 仇玩； j = l ( 厶) ( 仇一1 ) 乃i n 巧l j = l + a t l a j l 0 ， o = 乃i o 玎i f 一) 一q j ， 一) 一哆l 仳 ( 亡) 一u 引m 一1 札 d + 鹏( 亡) - b i 驯u t ( t ) l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n m 1 ) b = i 让t ( 亡) 一u ； n 玎l m l u j ( t 一嘞) 一哆i m 哆l a i j i m l u 歹( t 一) 一呓i m 第9 页，共2 7 页 m 毕业论文 m 毗 哆 n 触 + 1江 嘶劣” 0 珏触 + n 触 m+ m 奉1 u仃 玩 一 ，t 铭汹 一 一v o 町 n 芦 u 一 礼芦 1 一m+ 仡芦 + m i u一 1注 第二章时滞h o p 矗e l d 神经网络的全局渐近稳定性 + ( m 一1 ) l u g ( t ) 一让妒+ 哆蚓m ( 1 u j ( t ) 一蝣i m j = lj = l l u a t 一) 一嵋l m ) 】 ，= - b , m l u t ( 亡) 一钍扩+ 哆蚓m l u j ( t 一) 一q l m i = 1 j = l + ( m 一1 ) l u g ( t ) 一嵋i m + 哆l l m l u a t ) 一哼l m j = l j = l 一哆l o 巧f m l u j ( t 一勺) 一哼l m 】 j = l 兰叫u z ( t ) 一u 妒+ ( m 一1 ) 忡) 一乱扩 i = 1 j = l + 哆蚓m l u j ( t ) 一哆门 j = l 竹n = 【一玩m + ( ( m 一1 ) + 哆1 t i m ) 】i u t ( 亡) 一u ；l m i = 1 j = l 从而有 d + m ( 亡) _ b m + ( ( m 1 ) + 哆蚓m ) ( ) 一乱孵 ( 2 1 ) i = - 1 j = x 则 d + 胍( 亡) q l u t ( 亡) 一蚓m = 一q 夕( 亡) i = 1 其中， q = 心m a x n 一b t m + ( ( m 一1 ) + o t l a j t l m ， q = 一d 0 对任意0 t 亡，( 2 1 ) 在i t ，t 上积分，有 w x ( 亡) 一w i ( t ) 一q g ( s ) d s l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第1 0 页，共2 7 页毕业论文 第二章时滞h o p f i e l d 神经网络的全局渐近稳定性 即 口g ( s ) d s 啊( t ) 一鹏( 亡) s 肌( t ) + o 。 ，r 故 g ( s ) d s 0 ，m 1 ) l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第1 1 页，共2 7 页毕业论文 第二章时滞h o p 6 e l d 神经网络的全局渐近稳定性 一二二二二二一 令+， d = l u 5 ( t - ) 一呓l ，b = f m 亡) 一乱引 得： 他 m 乃l 。巧j i 吻( 亡一) 一蝣l l 乱t ( 亡) 一钆引m 。 妻啪，) 一妒+ ( m _ 1 ) 耋沪蚓m 沪乱妒 则 t i t l d + ( 亡) e t b i m 让t ( 亡) 一让；l m + i a 巧( 亡一) 一哆l m + ( m 一1 ) 垆牡t ( t ) 一乱r + l 口t j l ( 1 乱j ( t ) 一嵋1 m i = i j 2 l - l u j ( t 一) 一呓l m ) 】 = 【_ b t m 帅) 一乱妒+ l 。, j l l u j ( t 一) 一吲m + ( m 一1 ) e 庐i 。巧i i u t ( ) 一u r + i n , j l l u j ( t ) 一哆i m j = l i = i 一l a i j l l u j ( t 一) 一哆j m 】 j = i ：妻m i ( 亡) 一钆扩+ ( m 一1 ) 妻庐i 。埘i i u t ( 亡) 一让r + i m j l l u j ( t ) 一哆l m 】 j = i ：e nt - b , m + ( m 1 ) 壹沪i + 壹川忡) “l m 干县 。+ ( t ) 壹m + ( m 一1 ) n 垆蚓+ 壹蚓( t ) 一钍孵( 2 2 ) l i a n 孵钧i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第1 2 页，共2 7 页 毕业论文 第二章时滞h o p f i e l d 神经网络的全局渐近稳定性 则 d + ( 亡) q m ) 一u 矿= - a g ( t ) t = 1 其中， q = 。m a x 一b i m + ( m 一1 ) 垆吲+ 蚓) ， q = 一眇o j = l j = 1 对任意0 t 亡，( 2 2 ) 在i t ，t 上积分，有 ( 亡) 一w 2 ( t ) 一q g ( s ) d s 即 ，t o l g ( s ) d s w 2 ( t ) 一( ) w 2 ( 丁) + 。 ，i + g ( s ) d s 0 由上面( 厶) ( 如) 可知结论成立 若( 厶) 成立，作l y a p u n o v 泛函： 墩( 亡) ：壹( f 蚴( 孟) 一让；i m + 妻乃i 口巧l 厂。l 吻( s ) 一哼i m 如) ，( m 1 ) i - - - - 1 j = i 。一 d + 胍( t ) e ( m , u t ( 亡) 一u ；l m 一1 ( u t ( 亡) 一u ；) 7 + 乃i 。巧l ( i ( 亡) 一哆i m i = 1 j = i l u j ( t 一) 一札；f m ) = 1 m i ( 舌) 一u ；i 仇一1 - b i ( 亡) 一u ；) + 。巧( g j ( u j ( t 一) ) 一缈( 哆) ) 】 。2 1 j = i + 乃l 。t j l ( 1 u j ( t ) 一哼i m l u 歹( t 一) 一呓l m ) ) j = i l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第1 4 页，共2 7 页 毕业论文 有不等式 d + w 4 ( 亡) s 令 则 d + 巩( ) 第二章时滞h o p f i e l d 神经网络的全局渐近稳定性 g j ( u i ) 一易( 乱；) l a 歹l u i u ； n ) 一钍；l m + m 乃i l ( 1 一) 一呓l i 乱t ( 亡) 一让；l m 一1 a , jj ( j u j ( t ) 一哆l m 1 ( 一) 一u l l m ) ) a2u j ( t 一) 一哼j ， b = i 乱 ) 一u ； nf l - b t m l 讹( t ) - u ；l m + ( m 一1 ) 乃吲i 钍t ( t ) - u ；i m + j = lj = l 一吲】 地( 亡) 一乱；i n d + 眦( 亡) q 4 l u g ( t ) 一乱妒= 一q 9 ( 亡) i = l 其中， q 42 1 0 j = l 一 推论2 0 1 对上述系统，假设激励函数仍0 = 1 ，2 ，r t ) 满足条件( 亲) ，且 参数b i ，a i j ，吼满足下列条件之一： ( 厶) 一b i +a j i l ) o ； l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第1 5 页，共2 7 页毕业论文 l 卢 毗m 魄 一 ，jl 住瑚 佗：l 乃 n 触 d m 第二章时滞h o p f i e l d 神经网络的全局渐近稳定性 ( 厶) 一2 玩+ ( 蚓+ 砰i a j t f ) 0 j = l 其中( z = 1 ，2 ，佗) 则平衡点矿是全局渐近稳定的，且与滞量无关，此时对应于初 始条件的任一解满足收敛关系： 。l i m ( t ) = 钆； t 注：由以上推论可知，当m = 1 和m = 2 时，上述定理即为文 1 1 1 的定理1 1 i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第1 6 页，共2 7 页 毕业论文 0 叼 吼 + 一v 0 町 n 阿 + 玩 2一 如 0 叼 + 一u o 哼 佗触 + 2一 如 第三章变时滞h o p 丘e l d 神经网络的全局吸引性和全局 指数稳定性 本章讨论变时滞h o p f i e l d 神经网络模型： 牡：( ) = - b i u t ( t ) + o j g j ( u j ( t 一乃 ) ) ) + 五， ( ，j = 1 ，2 ，礼) j = l 的全局吸引性和全局指数稳定性其中时滞不再是常数，而是一般的时间变量函 数乃( 亡) 3 1 全局吸引性 定理3 1 1对上述系统，若满足条件： 1 ) 缈( ) ：r r 是全胃j l i p s c h i t z 连续，_ 且l i p s c h i t z 常数为吼( i = 1 ，2 ，咒) ； 2 1 q ：= 1 p ：= 1 m n a x n ( 一y _ ：l a i j l a j ) ，( 仇= 1 ， j = l i = 1 2 ，佗) 则上述系统是全局吸引的 证明设上述系统的任蒽两个解为： u ( t ) = ( u l ( 亡) ，札2 ( ) ，( 亡) ) t ，w ( t ) = ( w l ( 亡) ，w 2 ( ) ，w n ( t ) ) t 作l i a p u n o v 函数： y ( 亡) = l u i ( t ) 一w i ( t ) l m 0 ，m 芝1 ) 则 n 矿( ) = s u p y ( s ) ) = s u p i u i ( s ) 一w i ( s ) | m ) t - r s t t - 1 - 0 ，m 1 令 a = l u j ( t 一乃( 亡) ) 一w j ( t 一乃( 亡) ) i ，b = l u t ( 亡) 一叫t ) l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 t o m第1 8 页，共2 7 页毕业论文 第三章变时滞h o p e l d 神经网络的全局吸引性和全局指数稳定性 则 d + y ( 亡) ( 一仇m ) 瞰亡) 一训t ( 亡) l m + i i 乃( m 一1 ) l u ( 亡) 一毗( ) i m i = 1 1 = 1j = l + i o 巧蚓嘶( 亡一勺( 亡) ) 一w j ( t 一乃( 亡) ) l m 1 = 1j = l n n 竹 = ( - b t m ) l u , ( ) 一毗( 亡) l m + ( m 一1 ) l a , j l o j u i ( ) 一毗( 亡) i m i = 1 j = l i = 1 + i o , j l a j l u j ( t 一勺( 亡) ) 一w j ( t 一乃( 亡) ) 1 m i = 1j = l n竹 = - b t m 十( m - 1 ) 蚓乃】i u t ( t ) 一毗( 亡) i m j = l i = 1 + l 。, j l 盯j l u j ( t 一乃( 亡) ) 一q ( 亡一乃( 亡) ) i m i = 1j = l = 一 b i m + ( 1 - m ) 蚓乃 u i ( 亡) 一毗( ) i m j = l i = 1 + l a , j l 盯j l u j ( t 一乃( 亡) ) 一( 亡一乃( 亡) ) l m i = 1j = l 肛，m a r x ( 善) ( 一1 ， 2 ，他) 则平衡点u = u + 是全局指数稳定的 证明 作l i a p u n o v 函数： y ( 亡) = l u i ( t ) 一札；l m 0 ，m 1 ) 则 矿( ) = s u p y ( s ) ) = s u p u t ( s ) 一仳扩) t - r s tt - - r s 0 ，m 1 ) 令 n2 l u j ( t 一乃( t ) ) 一乱； 一r j ( t ) ) l ， b = i ( ) 一u ；l 则 d + y ( 亡) ( 一b t m ) l 钍t ( ) 一乱妒+ i 。巧l 乃( m 一1 ) 1 札；( 亡) 一u 驴 0 2 l i = 1j = l + 蚓町 ( 舌一删) 一“；( 亡一乃( ) ) f m i = 1j = l = ( 一6 m ) 客h ( ) 一毗( 圳m + 【( m 一1 ) 壹j 叼j 乃 妻i 地( 亡) 一妣( 驯m 。5 1 j = l i = 1 l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第2 l 页，共2 7 页 毕业论文 第三章变时滞h o p f i e l d 神经网络的全局吸引性和全局指数稳定性 + 蚓o i ( 亡一勺( 亡) ) 一乱：( 亡一t j ( t ) ) l m i = 1j = l = m + m - 1 ) i n 巧蚓u i ( 亡) 一仳r j = l i = 1 + a i j l a j l u j ( t 一乃( 亡) ) 一钆；( t t j ( t ) ) l m i = 1j = l = - 6 t m + ( 1 - m ) l a q l 乃 u i ( 亡) 一“妒 j = l i = 1 + i 口巧j 乃i 呦( 亡一乃( 亡) ) 一乱；( 亡一r j ( t ) ) l m i = 1j = l _ m i n n b i m + ( 1 一m ) 蚓咖l u t ( 亡) 一乱f j = l i - - - - 1 + 【嬲( 蚓训愀一删) 一u ；( 亡一删) i m = - a v ( t ) + p y ( 亡) 于是有 d + v ( t ) - a v ( t ) + p y ) 由引理1 3 4 可得：v ( t ) 矿( 0 ) e 一 其中入是超越方程a = o t , 一f i e 灯的唯一正根 又 黔旷” 一s u 。p 。懈) 一札刖击= i v ( o ) l 击， 且 v ( 亡) = 瞰亡) 一乱矿 则有 忙卸一i 咂s u 。p 。善怖h 巾= 呸s u 唧p v 舫 l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o n l 第2 2 页，共2 7 页毕业论文 第三章变时滞h o p f i e l d 神经网络的全局吸引性和全局指数稳定性 由于 v ( t ) 矿( o ) e 以。 于是可得 忙一u + i i 仇= is u p m s ) 一u 刖去 - - r s 0 。 = is u py ( 亡) i 去 - - t s o ls u p 矿( o ) e 以。i 去 - - t 一 o ，可得 l | 圣一u + i i m m 去s u p1 1 西一u + i i m e 一以 - - r s o 所以，通过以上证明可知系统的平衡点是全局指数稳定的 证毕 推论3 2 1对上述系统，若满足条件： 1 )缈( ) ：r_ r 是全局l i p s c h i t z 连续，且l i p s c h i t z 常数为吼( i = 1 ，2 ，扎) ； 2 1 q 一m i p ：= 黑( 蚓乃) 1 竹 1 j n 、一 则上述系统是全局吸引的 推论3 2 2对上述系统，假设u = u + 是其平衡点，且满足条件： 1 ) 仍( ) ：r _r 是全局l i p s e m t z 连续，j t l i p s c h i t z 常数为吼( i = l i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第2 3 页，共2 7 页毕业论文 第三章变时滞h o p i i e l d 神经网络的全局吸引性和全局指数稳定性 l ，2 ，礼) ； 2 1 q - 。m p - 垧m a x ( zl a i j l 乃) 1 n 1 = j 二 。 则平衡点u = u + 是全局指数稳定的 注：由以上推论可知，当m = l 时，定理3 。1 1 即为文【1 0 的定理3 2 ；定理3 。2 1 即 为文【1 0 的定理3 1 1 i a n g w e i j i n 9 1 5 1 6 3 c o r n 第2 4 页，共2 7 页 毕业论文 参考文献 【1 张立明，人工神经网络的模型及其应用【m 】，复旦大学出版社，1 9 9 3 2 】陆征一，王稳地，生物数学前沿 m 1 ，科学出版社，2 0 0 8 3 】m a t s u o k a k ，s t a b i l i t yc o n d i t i o n sf o rn o n l i n e a rc o n t i n u o u sn e t w o r k sw i t ha s y m - m e t r i cc o n n e c t i o nw e i g h t s j ，n e t u r a ln e w o r k s ，1 9 9 2 ，5 ( 3 ) ：4 9 5 - 5 0 0 4 】梁学斌，吴立德，h o p f i e l d 型神经网络的全局指数稳定性及其应用【j 】，中国科 学( a 辑) ，1 9 9 5 ，2 5 ( 5 ) ：5 2 3 - 5