（基础数学专业论文）几类微分方程边值问题正解的存在性研究.pdf

几类微分方程边值问题正解的存在性研究 张明川 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师t 韦忠礼教授) 中文摘要 近年来，在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制理 论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的 过程中，逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支一非线性泛函分析它主 要包括半序方法、拓扑方法和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷的非 线性问题提供了富有成效的理论工具，尤其是在处理应用学科中提出的各种非 线性微分方程问题中发挥着重要的作用 1 9 1 2 年l e j b r o u w e r 对有限维 空间建立了拓扑度的概念，1 9 3 4 年j l e r a y 和j s c h a u d e r 将这一概念推广到 b a n a c h 空间的全连续场，后来e r o t h e ，m a k r a s n o s e l s k i i ，p h r a b i n o w i t z ， h a m a n n ，k d e i m l i n g 等对拓扑度理论、锥理论及其应用进行了深入的研究， 国内张恭庆教授、郭大钧教授、陈文源教授、定光桂教授、孙经先教授等在非线 性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就( 这方面的内容参见【1 - 1 2 】) 奇异常微分方程是微分方程领域中个重要的研究课题，由于它不断出现在 各种应用科学中，例如：核物理、气体动力学、流体力学，边界层理论、非线性 光学等，所以得到了广泛而深入的研究( 见【1 6 ，4 6 4 9 】及其中的参考文献) 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度理论、锥理论和上下解方法等研究了 几类非线性( 奇异) 常微分方程边值问题正解的存在性、多解等主要内容如下 第一章给出了后面几章要用到的关于不动点存在及不动点指数计算的几个 引理，这些引理在本文主要结果的证明中是至关重要的 山东大学博士学位论文 第二章考虑了下述带有两个变参数的四阶微分方程边值问题 其中a ( ) ，b ( t ) c o ，1 】，6 ( 0 ，1 ) ，啦，玩 0 + o 。) ，i = 1 ，2 ，m 一2 为给 定的常数我们利用不动点指数理论得到了至少有个和两个正解存在的充分条 件 第三章研究了奇异半正( r l ，p ) 特征值问题的正解 第一节应用锥上的不动点指数定理，研究了下述( n ，p ) 奇异边值问题正解的 存在性 l 毽如+ ) t q ( t ) c t ，t ) = 0 ，a e t ( 0 ，1 ) u o ) ( o ) = 0 ，0 i n 一2 iu ( p ( 1 ) = 0 ， 其中n 2 ，1sp n 一1 固定，a 0 为个常数，口l 1 ( 0 ，1 ) ，q 0 ，b e ：【0 ，1 】耐一r 连续 第二节去掉了第节对非线性项中，连续的假设，用相对较弱的c a r a t h 6 0 d o r y 条件代替，同时去掉了，下方有界的严格限制，依然得到了上述同题正解及多 解的存在性结果 第四章研究奇异半正( ，n k ) 共轭m - 点边值问题 f ( 一1 ) n - k 让( n ( ) = f ( t ，t ( ) ) + p ( ) ，t ( 0 ，1 ) ， n2 2 ，1 k 冬n 一1 ， 。一2 it t ( 1 ) = e 吼t ( 矗) ， u o ) ( o ) = t i u ) ( 1 ) = 0 ，0 i k l ，1s 歹n 一后一1 i - - - - 1 其中，瓯1 0 ，) ，i = 1 ，2 ，m - 2 ，e ”i = 1 口i 0 ，0 6 缸一2 1 为常数，m23 ，：( 0 ，1 ) f 0 ，o 。) _ 【0 ，+ 。o ) 连续，p ：( 0 ，1 ) 一( 一o o ，+ o 。) l e b e s g u e 可积我们利用不动点指数理论得到了上述问题正解存在的充分条件 第五章研究非线性项变号的奇异高阶”扣点边值问题 lu c n ) ( t ) + ，( t ，u ( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， i。一2 t ( o ) = e 啦t ( 锄，u ( o ) = = t 行- 1 ( o ) = 0 ， l 缸1 lu ( 0 ) = 钍( 1 ) 文慨 t k ， 删协 以d 驴d ，仁y 以 0 ，0 6 一2 1 ，o f ，7 1 为常数， q 和擘，i 在睦，7 ) 上右 连续，在t = 曰左连续，在阵，啊上非减，q ( 专) = p ( ) = o ；z ( 下) 血( 下) 与 ，打 ， ( ( r ) ) d ( r ) 分别表示z 和伟( 矿) 关于q 和p 的r i e m a n n - s t i e l t j e s 积 以 ，矸， 分，且0 d a ( r ) 1 ，0 邮( 7 ) 1 ，利用上下解方法得到了上述问题 伪c 3 o ，1 】正解和俨f 0 ，l 】正解存在的充分必要条件 关键词不动点指数，奇异边值问题，多点边值问题，p - l a p l a c i a n 算子，多 解正解，半正，上下解方法 山东大学博士学位论文 i nl a t e ry e a r s ，a l ls o r t so fn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e s u l t e df r o mm a t h e m a t - i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，c y b e r n e t i c s a n ds oo n d u r i n gt h ed e v e l o p m e n to fs o l v i n gs u c hp r o b l e m s ，n o n l i n e a rf u n c - t i o n a la n a l y s i sh a sb e e nb i n go n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si nm o d e r n m a t h e m a t i c s i tm a i n l yi n c l u d e sp a r t i a lo r d e r i n gm e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e e m e t h o da n dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d a l s oi tp r o v i d e sam u c he f f e c tt h e o r e t i c a l t o o lf o rs o l v i n gm a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si nt h ef i e l d so ft h es c i e n c ea n dt e c h - n o l o g y a n dw h a ti sm o r e ，i ti sa ni m p o r t a n ta p p r o a c hf o rs t u d y i n gn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o mm a n ya p p l i e dm a t h e m a t i c s l e j b r o u w e r h a de s t a b l i s h e dt h ec o n c e p t i o no ft o p o l o g i c a ld e g r e ef o rf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e i n1 9 1 2 j l e r a ya n dj s c h a u d e rh a de x t e n dt h ec o n c e p t i o nt oc o m p l e t e l yc o i l - t i n u o u sf i e l do fb a n a c hs p a c ei n1 9 3 4 ，a f t e r w a r de r o t h e ，m a k r a s n o s e l s k i i ， p h r a b i n o w i t z ，h a m a n n ，k d e i m l i n gh a dc a r r i e do ne m b e d d e dr e s e a r c ho n t o p o l o g i c a ld e g r e ea n dc o n et h e o r y m a n yw e l lk n o w nm a t h e m a t i c i a n si nc h i n a ， s a yz h a n gg o n g q i n g ，g u od a j n n ，c h e r tw e n y u a n ，d i n gg u a n g g u i ，s u nj i n g x - i a ne t c ，h a dp r o u dw o r k si nv a r i o u sf i e l d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ( s e e 【1 1 2 】) t h es i n g u l a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sa ni m p o r t a n ta s p e c to fd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n ，i ta r i s ei nt h ef i e l d so fg a sd y n a m i c s ，n e w t o n i a nf l u i dm e c h a n i c s ， n u c l e a rp h y s i c s ，t h et h e o r yo fb o u n d a r yl a y e r ，n o n l i n e a ro p t i c sa n d8 0o n t h e o - r e f o r e ，i th a sb e e nc o n s i d e r e de x t e n s i v e l y ( s e e 【1 6 ，4 6 - 4 9 a n dr e f e r e n c et h e r e i n ) t h ep r e s e n tp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e se x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s m u l - t i p l i c i t yf o rs e v e r a lc l a s s e so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa sw e l la ss i n g u l a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mb yu s i n gt o p o l o g i c a ld e g r e e ，c o n e t h e o r ya n dl o w e ra n du p p e rs o l u t i o nm e t h o d t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： c h a p t e r1g i v e ss e r v a ll e m m a so ne x i s t e n c eo ff i x e dp o i n ta n dc o m p u t a t i o n o ff i x e dp o i n ti n d e x ，w h i c hp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nn e x tc h a p t e r s c h a p t e r2c o n s i d e r st h ep o s i t i v es o l u t i o no f f o u r t h - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 山东大字博士学位论文 b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h et w ov a r i b l ep a r a m e t e r ft ( 4 ) + b ( t ) u ”一a ( ) 缸= i ( t ，t ) ，0 0 ，0 l 已 一2 0 ，0 l 已 白一2 1 ，0 7 1 ，a r ec o n s t a n t s ，o ta n dpa r er i g h t c o m 证u o 瑚o n 陈，叩) ，妒c o n t i n u o 璐a ti f f 7 ，a n dn o n d e c r e a s i n go n 睡，叫，w i t h ，町， 。 n ( f ) = 三p ( ) = o ；x ( r ) d a ( r ) a n d ( z ( r ) ) d p ( 7 - ) d e n o t et h er i e m a n n - s t i e l t j e si n t e g r a l so fza n d 饰( 矿) w i t hr e s p e c tt oqa n dp ，r e s p e c t i v e l y , a n d 0 d a ( r ) 1 a n d 0 邮( r ) 0 使得b ( o ，r ) ) u ，而b ( o ，r ) = z e i 忙0 0 ； ( i i ) 对任何u a qnp 和p 1 都有# a u 牡 则i ( a ，pnq ，p ) = 0 引理3 如果存在u o p 0 使得 t 一a u # u o ，讹p n 勰，p 0 则i ( a ，p n q ，p ) = 0 1 山东大学博士学位论文 引理4 假设 t lza u ，v u 加np 则i ( a ，qnp p ) = 0 利用算子不动点的计算，可得到下面著名的锥拉伸与锥压缩不动点定理 引理5 设q l ，q 2 是e 中的有界开集，口q l 两cq 2 ，a ：p n ( 面q 1 ) _ p 全连续，若满足下列条件之一t ( i ) i i a z i i i l z 0 ，v z p n a q l ；i i a z l i i i z 0 ，v z p n o t t 2 ； ( i i ) 0 a z 0 0 z l i ，vz p n a q l ； 0 a z 0 0 2 0 ，vz p na q 2 。 那么，a 在p n ( 蕊q 1 ) 中至少有一个不动点 2 山东大学博士学位论文 第二章含有变参数的四阶微分方程多点边值问题的正解 2 1 引言 线性二阶常微分方程多点边值问题的研究最早由i l i n 和m o i s e e v 【1 7 】发 起受文献( 17 】的启发，g u p t a 【1 8 】研究了一类非线性常微分方程三点边值问 题从此以后，很多学者研究了更一般的非线性多点边值问题( 见【2 0 ，2 3 - 2 5 ，3 1 】 及其中的参考文献) 多点边值问题描述了应用科学里的许多现象，例如横截面相 同而密度分段不同的支索的振动可以用多点边值问题来描述( 见( 2 9 1 ) ；弹性稳定 性理论中的许多问题可以用多点边值问题来处理( 见f 3 0 】) 在本节中，我们探讨下述带有两个变参数的非线性四阶微分方程m 点边值 问题正解的存在性 ft “+ b ( ) t ”一a ( ) t = f ( t ，t ) ，0 t 1 t ( o ) = 刍2 啦u ( 6 ) ， 让( 1 ) = = 26 i “( 6 ) ， ( 2 1 1 ) 【( o ) = 沓2a i u ”( 已) ， 扩( 1 ) = e g t # - - 。2 玩缸”像) ， 其中a ( ) ，b ( t ) c o ，1 】，矗( 0 ，1 ) ，啦，玩【0 ，+ o o ) ，i = 1 ，2 ，仇一2 为给定的常数 当a ( t ) 三0 ，b ( t ) 三0 ，且啦，6 = 0 ，i = 1 ，2 ，m 一2 时，则( 2 1 1 ) 退化 为 ， p ) ( 幻吖( 一 ”o 引d ， ( 2 1 2 ) i 札( o ) = t ( 1 ) = t ( o ) = t ( 1 ) = 0 边值问题( 2 1 2 ) 通常描述两端简单支撑的弹性梁的平衡状态，很多学者对此都 有较广泛的研究，见文献 1 9 ，2 1 ，2 2 ，3 2 - a 4 2 0 0 3 年，李永祥【2 8 】研究了如下含有两个常数参数的四阶微分方程两点边 值问题正解的存在性 。4 ) ( d + p t o ) 一q u ) = ，o ，乱o ”， o l ( 2 1 3 ) 、 厶工u ， it i ( o ) = t ( 1 ) = u ( o ) = t 卵( 1 ) = 0 提出了如下假设条件； ( a 1 ) ，：【0 ，1 】【o ，+ o o ) _ 【0 ，+ o 。) 连续； 3 山东大学博士学位论文 ( a 2 ) q ，p r ，g - o 2 霄2 ，q 一壁4 ，昙+ 尝 7 r 4p 7 r 2 一a ；l i r a s u p m a x 趔 , r 4 一胁2 一口 u o + t e o ，l 】 t 性一+ t e o ，1 1 u 边值问题( 2 1 3 ) 至少有个正解 最近，柴国庆【2 7 】研究了下述带有变参数的四阶微分方程两点边值问题正 解的存在性结果： f 牡( 4 ) + b ( t ) 仳”一a ( t ) u = ( t ，牡) ，0 t 1 it ( o ) = t ( 1 ) = t ”( o ) = 让”( 1 ) 受以上文献的启发，我们研究更般的非线性四阶微分方程m 点边值问题 ( 2 1 1 ) 正解的存在性我们不仅建立了至少个正解的存在性结果，还得到了两 个正解的存在性因此，本节内容本质扩展了文【2 7 ，2 8 】 令口2 o m 。弧i n a ( t ) ，p2o r a n i nb ( t ) ，则我们作如下假设： ( h 1 ) f ：【0 ，l 】 0 ，+ o o ) - 【o ，+ o 。) 连续； ( h 2 )n ，r ，且p 万2 ，a 芝0 ，兰+ 兰 一7 r 2 对i = 1 ，2 ，令 依= 谚( o ) ， 晰，= 去 ：然。o 五 t 0 时，g = 1 ，磊= 咄s i n h 咄；当九= 0 时， 当一7 1 2 九 0 时，g = 1 s i n 咄，瓯= 咄s i n u i 记 g ( ，s ) ： l d s o s 1 l ( 1 一s ) ，0 t s 1 g = 1 ，五= l ； ( 2 2 2 ) 5 山东大学博十学位论文 要嚣二纠 仁2 答2 玩( 1 一& ) l 应用与【3 1 】中引理2 2 相似的方法，我们能得到下面的引理， 引理2 2 3 令( h 2 ) 成立假设 ( h 3 ) a 0 满足，则对任意的t l x ，有 u ( t ) = z 1 g ( ，3 ) ( 一( s ) ) d 3 + 山( 一) + b o ( 一) ( 1 一班( 2 2 4 ) 其中 纵一仳) = 一去 b 0 ( 一“) = 一去 箸2 啦g ( 矗，8 ) 卜牡( s ) 】d 5 ，0 t l 篙2k g ( 矗，s ) 【_ u l t ( s ) d s 篙2 龟& 箸2 毗( 1 6 ) 一1 m i - - - - 一1 2b i ( 1 一& ) 答2 瓴g ( & ，s ) 【- ( s ) 】d s - ，o r l 篙26 i g ( & ，s ) 【一u ( s ) 】d s 注2 2 2 由引理2 2 3 ，我们知道对任意的t x ， ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) i l u l l o 盯lj u l l o ，伊= 1 + a o ( 1 ) + b o ( 1 ) ( 2 2 7 ) 引理2 2 4 令( h 2 ) 和( h 3 ) 成立，则x 赋予范数”队时是完备的，且 而1 i i 1 f a - i i i i 盯( 2 2 8 ) 这表明范数i i f i 和i | 队等价 证明首先我们证明x 在范数”1 1 意义下完备令 让n cx 为一个 c a u c h y 序列，即如果l l 一队一0 ( m _ 。o ) ，则存在t l ，移y 使得 i | t n t , 1 1 0 _ 0 ，i i t l ：一训。一0 ，( n o o ) 由于 “n ) cx ，由引理2 2 3 我们有 ，1 铭住( t ) = g ( t ，s ) ( 一t ( s ) ) d s + a o ( 一：) + b o ( - u ：) ( 1 一) ( 2 2 9 ) j 0 6 1一 嘛酶 2 2 蛮吝 = 山东大学博士学位论文 对( 2 2 9 ) 取极限，我们有 u ( ) = g ( t ，s ) ( - v ( 8 ) ) d s + a o ( 一t ，) + 岛( 一秒) ( 1 一) 则= u 从而牡x ，l l t 。一t 一0 ( n 一。o ) ，这表明( x ，| f i i ) 完备 接下来我们将证明不等式( 2 2 8 ) v u x ，【o ，l 】， l t l ( ) l + a l 牡( ) i i f t i i i o + a 0 u i i o ( 1 + a ) 0 u i i 因此。 i l u l l a ( 1 + a ) l l u l l 。( 2 2 1 0 ) 另一方面， i u 0 ) i i t ，( ) i + 入l t | ( t ) i i i t 上0 因此i | 仳i i o i l u l l 盯0 u 由注2 2 2 ，我们有i i 让l l o 盯0 i l o 酬u 忆从而 i l u l l 。仃k ( 2 2 1 1 ) 则由( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 1 1 ) 可得( 2 2 8 ) 从而范数l | | | 与i | 队等价 则由( x ，i i 的完备性可导出( x ，”0 ) 是完备的证毕 对j = 1 ，2 ，令 锄= r n - - 2 篙一1 喜裂。1l， 协2 胞， 厶、彳=i ，i 二二工二j 。 玩t 乃( 毫) 一：箸2 玩吻( 6 ) l 。 山( 夕) = 一酉1 弓( 9 ) = 一酉1 箸2 啦g j ( & ，s ) g ( s ) d s 答2 毗如( & ) 一1 ，o l 答2 以q ( 已，s ) 9 ( 5 ) d 5 答26 i 奶像) ，u i 1 篙2 啦叻( 釉 吝2n t ! g j ( 6 ，s ) g ( s ) d s - ，0 ，1 7 - _ - 1 26 协( 毛) 一1 答2 玩q ( 已，s ) g ( s ) d s 通过简单计算，我们能得到下面的引理 引理2 2 5 对任意的g y ，我们有 i a ) i i a i ( 1 ) i l i g l l o ，i b i ( 9 ) f i 鼠( 1 ) i i l ：i i o ，i = 1 ，2 7 山东大学博十学位论文 我们再作如下假设t ( i j )答2n 奶( 铀 1 ，m i = - 2 l 氏竹俺) 1 ，歹= 1 ，2 引理2 2 6 嘲令( h 2 ) 和( 1 1 ) 成立假设 ( h 4 i ) a i 0 则对任意的g c o ，l 】，问题 i t l ( t ) + t 1 0 ) = 9 ( ) ，0 t 1 ， ( m 一2 m 一2( 2 2 1 5 ) iu ( o ) = 啦u ( 已) ， u ( x ) = 玩t ( 已) 、 有唯一解 , 4 t ) = g t ( ，s ) g ( s ) d s + a ( 9 ) 仇( ) + 最( 夕) 戗( ) ， 而且，如果g 0 ，则t ( ) 0t 【0 ，1 】 注意到 “( 4 ) 仙孙h ) = ( 一嘉仙) ( 一善讹) ) 因此我们容易得到 引理2 2 7 令( h 2 ) ，( h 4 1 ) 和( h 4 2 ) 成立则对任意的g c o ，1 】，线性边值 问题 fu ( 4 ( ) + 触”( t ) 一a u ( t ) = 夕( t ) ，0 t 0 使得0 如i | o p 与 ( 2 2 2 5 ) 相似，我们能得到 i e ( 如) ( ) i 尬0 如i l o 令t i n = ，则对任意的t l ，t 2 【o ，1 】且t l t 2 t l ：( 2 ) 一碟( 1 ) = a 2 ( u n ( 2 ) 一乱竹( t 1 ) ) 一【g , ( t 2 ，s ) 一g 1 ( t l ，s ) g n ( s ) d s - a l ( g n ) 妒l ( t 2 ) 一5 p l ( t 1 ) 】一b l ( g n ) 妒l ( t 2 ) 一矽1 ( t 1 ) 】 = a z l 1 g z ( 。，s ) 一g 2 ( t ，s ) 】e ( 鲰) ( s ) d s + a 2 ( e ( 鲰) ) 【妒。( z ) 一妒。( t 1 ) 】 + b 1 ( e ( 蜘) ) ( t 2 ) 一亿( 1 ) 】) 一【g l ( t 2 ，s ) 一g l ( t l ，s ) 】甄( s ) d s 、，1 7 j o - a l ( g ) 妒l ( t 2 ) 一妒l ( 1 ) 1 一b l ( 鲰) 渺l ( 2 ) 一t f ，1 ( 1 ) 】 山东大学博士学位论文 因此 外。i z 1i g 2 ( 坛s ) 一g 2 m 5 ) i d s 一( 1 ) i i 础。) 一似m l + i s 2 ( 1 ) l 矽。( 。) 一，阢( - ) 1 1 1 e c g n ) l l 。+ z 1l g ( 幻，s ) 一g ( - ，5 ) l d s + i a l ( 1 ) i i 妒l ( 2 ) 一妒1 ( 1 ) i + i b l ( 1 ) i i 妒l ( 2 ) 一妒l ( 1 ) i l | 9 l i 。 n i 尬 z 1 i c 2 ( t 2 s ) - g 2 仇 s ) i d s i a 2 ( 1 ) i 咖。m ) 一纵i + l 岛( 1 ) i i 化( 乞) 一如( 柚i + z 1 l g t m ，s ) 一g t ( 轧s ) l d s 由于g ( ，s ) ，i = 1 ，2 在 0 ，1 】【0 ，1 】上致连续，仇，魄，i = 1 ，2 在【0 ，1 】 上致连续，我们容易得到 缸小hw 惰o o 。在 o ，1 】上等度连续而且 札：( ) ) 甚l 一 致有界因此我们知道 u ：( ) 县l 在y 中相对紧则存在紧子序列【“幺( ) ) 是l 使得u 敏一口，其中秒y 由于u n x ，由引理2 2 3 ，我们有 ，1 t ，l ( ) = g ( ，s ) ( 一( s ) ) d s + 凡( 一) t + b o ( - u ：) ( 1 一t ) ，o 令 ，l 1 l ( ) = g ( t ，s ) ( - v ( s ) ) d s + a o ( - v ) t + b o ( - v ) ( 1 一t ) ，0 则= u ，且t x 而且t l l 。x ，因此一u x ，则由( 2 2 7 ) l i t k 。一u l l o o 。i i 毗f ! 一缸1 1 0 = 盯i | t l 袅一v l l o _ 0 则 0 札n 。一札队_ 0 这表明t ：y _ ( x ，0 | 1 ) 为紧算子，因此结合t 的连续性我们可以得到t ： y _ ( x ，1 1 全连续 由引理2 2 4 可知t ：y 一( x ，l i 忆) 为全连续算子 引理2 2 9 假设( h 3 ) ，( h 4 1 ) ，( h 4 2 ) 成立，则i i t i l m 2 其中尬如( 2 2 2 2 ) 中定义 山东大学博士学位论文 证明令k = d y ig ( z ) o ，比【0 ，1 】) ，则对任意的g k ，u = 勋 k nx 由( 2 2 2 3 ) ，( h 4 1 ) ，( h 4 2 ) 和入2 0 ，我们能得到t ”0 ，再结合入l 0 ， 我们能得到 l u ”( ) i + a l i t l ( ) l = 一t ”( ) + a l 弘( ) = g 2 ( ，s ) g ( s ) d s + a 2 ) 妒2 ( t ) + 岛 ) 仍( t ) d u 另一方面，对任意的g y ，令g = g l 一仍，u l = t g l ，u 2 = 嘞，其中9 1 和 仍分别为g 的正部和负部 令u = t g ，则t = t l u 2 ，因此，根据上面的讨论，我们有t 20 ，u ， 0 ，i = 1 ，2 从而 t ：，( ) i + a l f 讹( ) i = 一( ) + 入l 讹( ) = z 1 g 2 ( 如) 盛( s ) d s + a 2 ( g i ) 妒2 ( t ) + 岛( 吼) 仍( t ) 垒日鲰 ( 2 2 2 6 ) 因此，由( 2 2 2 6 ) ，我们有 i 札”l + a l u i = i t ；：一t i + a i u l u 2 i ( i t i ：i + a l l t 1 i ) + ( 1 i + a 1 l t 匕i ) = h g l + h 9 2 h i g i ( 忱+ a 2 ( 1 ) e 2 + b 2 ( 1 ) f ，- ) l l g l l o = l l g l l o 故，l i 功尬l l g l l o ，则l i t i i m 2 证毕 令 r = 万4 一卢7 r 2 一a ， k = 嬲 a ( t ) 一a 十b ( t ) 一纠， ( 2 2 2 7 ) 0 t l 。、7 、7 l = z o i g l ( s ，s ) d s + a 1 ( 1 ) + b 1 ( 1 ) ，2 = 1 g 2 ( s ，s ) d s + a 2 ( 1 ) + 岛( 1 ) ， ( 2 2 2 8 ) 7 ：d = l i 霉r a s u 吲m 叭a x ，掣；厶= l i 蟛m i n 卸m i n 川掣 厶= l i m i n fm i n 。，掣；bl i r a s u pm a 川x 掣 二- 让一+ t 0 ，1 1 t 正 7 。 t l _ + 亡f o 1 1u 本节的主要结果如下 1 2 山东大学博士学位论文 2 3 主要结果 定理2 3 1 假设( h x ) ，( h 2 ) ，( h s ) ，( h 4 1 ) ，( h 4 2 ) ，( i x ) 和( 1 2 ) 成立，且 l = k m 2 f ， f r l ，( f i ) f o r 边值问题( 2 工3 ) 至少有个正解其中f l2 西苞焉赢，c l ，岛如引理2 2 2 中 定义，r ，k l ，2 如( 2 2 2 7 ) 和( 2 2 2 8 ) 中定义， 毛如( 2 2 2 2 ) 中定义 证明对任意的9 y ，考虑线性边值问题 f 缸“) + b ( ) t ”一a ( ) t = g c t ) ，0 t 1 t ( o ) = m i = 一ln i u ( & ) ， u ( 1 ) = 诗7 1 1 - - 1 2k 牡( 釉， ( 2 3 1 ) 【让”( o ) = 篙2 口t t ”( 6 ) ，u ”( 1 ) = 答2 玩u ”( 毛) ， 易证( 2 3 1 ) 等价于下面的边值同题： fu ( 4 ) + p t ”一q t = 一( s c t ) 一p ) 让”+ ( a ( ) 一a ) t + 9 ( ) ，0 t r ，存在e 0 ，使得厶 r + ，则存在r 0 ，使得 f ( t ，z ) ( f + e ) x ，【0 ，1 】，z 【0 ，川令 g = ( 札p | | l uj l o r ， 1 5 山东大学博士学位论文 对仕惹的让o f , ，0 ( r + e ) u ( ) ( r + e ) a r ， 1 4 ，差 现在我们证明 ( a l u i n 籼f i i q u l l o o u a 和 ( b ) v t a q ，0 d 1 d 2 f r + ) a r 0 对( b ) ，若结论相反，则存在u o a q ，0 p o 1 ，使得q u o = 脚t l o 由( 2 3 6 ) ， 我们有 u o ( t ) 肋u o ( t ) = q u o ( t ) ( t f u o ) ( t ) 令珈= t f u o ，则咖v o ，且铷( )