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拉伸致动和剪切致动压电层合的对比研究 摘要 随着7 0 年代末8 0 年代初智能材料和智能结构概念的提出，压电材料作为 一种同时兼有自感知能力和自适应能力的智能材料，受到了广泛的关注。 本文在文献调研的基础上，简介了压电层合结构在航空航天、建筑科学及 医学等领域的研究与应用现状；探讨了拉伸及剪切压电层合梁的力学特性和致 动机理；从第二类压电方程出发，运用h a m i l t o n 原理，推导了压电层合梁的有 限元方程以及退化后的二维压电方程；简要介绍了a n s y s a p d l 语言的应用， 并成功地运用其建立了力一电耦合计算模型；重点研究了三层和五层的单点及 多点配置压电梁的致动机理问题，开展了拉伸致动和剪切致动压电层合梁的静 力分析以及模态分析；对三层单点配置压电梁的传感器和致动器的优化布置开 展了初步尝试。 本文对压电层合梁的设计提供了一定的科学理论依据。 关键词：压电层合结构 静力模态分析 拉伸剪切致动有限元 优化布置 i l ac o m p a r a t i v es t u d yo fl a m i n a t e dp i e z o b e a m w i t he x t e n s i o na n ds h e a ra c t u a t i o n a b s t r a c t w i t ht h ea p p e a r a n c eo fi n t e l l i g e n tm a t e r i a la n ds t r u c t u r ec o n c e p td u r i n gt h ee n do f1 9 7 0 s t ot h eb e g i n n i n go f19 8 0 s ，p i e z o m a t e r i a l ，ak i n do fi n t e l l i g e n tm a t e r i a lw i t ka d a p t i v ea b i l i 姆， r e c e i v e dw i d e l ya t t e n t i o n a p p l i c a t i o n so ft h el a m i n a t e dp i e z o s t r u c t u r ei n t ot h en a v i g a t i o n 、a r c h i t e c t u r e s c i e n c ea n dm e d i c i n ea r eb r i e f l yr e v i e w e db a s e du p o nl i t e r a t u r es e a r c h w e d i s c u s s e dt h em e c h a n i cf e a t u r e so ft w om o d e l so fl a m i n a t e dp i e z o - b e a m b a s e do n t h ec o n s t r u c t i v ef u n c t i o n ，t h ef i n i t ef u n c t i o na n dr e d u c e dp l a n a rp i e z o e l e c t r i c f u n c t i o nw a sd e r i v e dt h r o u g hh a m i l t o np r i n c i p l e w eg a v eab r i e fi n t r o d u c t i o no f a n s y s a p d l ，a n dc o m p i l e df i n i t ee l e m e n tp r o g r a m ( m p f e m p ) t h em e c h a n i c f e a t u r e so ft h r e e - l a y e ra n df i v e l a y e rp i e z o b e a mw e r ear e s e a r c hf o c u s as t a t i c a n dm o d ea n a l y s ew a sp r e s e n t e d a tt h ee n do ft h ep a p e r ，w em a d eat r yt of i n do u t t h eo p t i m a ld i s p o s a lo fa c t u a t i o ni no r d e rt og e tab i g g e s td i s p l a c e m e n t i naw o r d t h i sp a p e rp r o v i d e das c i e n t i f i c t h e o r y f o rt h ed e s i g n i n go f p i e z o s t r u c t u r e s 。 k e yw o r d s ：l a m i n a t e dp i e z o s t r u c t r u e s ， e x t e n s i o n s h e a ra c t u a t i o n ， f i n i t ee l e m e n t ， s t a t i c m o d ea n a l y s e ， o p t i m a ld i s p o s a l ， i l l 表4 4 1 表4 5 1 表5 1 1 表5 1 2 表5 2 1 表5 2 2 表5 3 1 表5 3 2 表6 5 1 表6 5 2 表6 6 1 表6 6 ，2 表格清单 各材料属性 各材料属性 层合梁的几何参数与材料参数” 梁的前四阶自振频率( h z ) 粘贴一组压电片时梁的前五阶自振频率( h z ) 粘贴两组压电片时梁的前五阶自振频率( h z ) 埋置一组压电片时梁的前五阶自振频率( h z ) ” 埋置两组压电片时梁的前五阶自振频率( h z ) 图6 2 梁在多种边界条件下实现最大变形时的最优位置 图6 3 梁在多种边界条件下实现最大变形时的最优位置 图6 2 梁在多种边界条件下实现最大变形时的最优尺寸 图6 3 梁在多种边界条件下实现最大变形时的最优尺寸 l v 一一一一一一一一一一一 = = 二| | = = 插图清单 图1 1层状机电仪器”3 图1 2智能结构一3 图1 3智能结构全貌示意图3 图1 4悬臂压电层台梁示意图5 图2 1压电材料坐标表示示意图”1 0 图3 1欧拉一伯努利梁模型1 5 图3 2铁摩辛柯梁模型1 6 图3 3变形前的拉伸致动悬臂梁”1 6 图3 4变形后的拉伸致动悬臂梁“1 7 图3 5引起梁拉伸变形的应力1 7 图3 , 6变形前的剪切致动悬臂梁1 8 图3 7变形后的剪切致动悬臂粱“1 8 图3 8引起梁剪切变形的应力18 图4 1拉伸致动压电层含悬臂梁示意图2 2 图4 2剪切致动压电层合悬臂梁示意图2 2 图4 3基于拉伸致动压电梁的变形”2 3 图4 4基于剪切致动压电梁的变形2 3 图4 5梁端挠度v s 压电片长度( 拉伸致动) 2 4 图4 6梁端挠度v s 压电片长度( 剪切致动) 2 4 图4 7梁端挠度v s 压电片厚度( 拉伸致动) 2 5 图4 8梁端挠度v s 压电片厚度( 剪切致动) 2 5 图4 9梁端挠度v s 压电片位置( 拉伸致动) 2 6 图4 1 0梁端挠度v s 压电片位置( 剪切致动) ”2 6 图4 1 1五层压电耦合梁示意图2 7 图4 1 2h h 下压电片不同位置的梁的变形图( 拉伸致动) 2 8 图4 1 3c f 下压电片不同位置的梁的变形图( 拉伸致动) 2 8 图4 1 4c c 下压电片不同位置的梁的变形图( 拉伸致动) 2 8 图4 15c h 下压电片不同位置的梁的变形图( 拉伸致动) 2 9 图4 1 6h h 下压电片不同长度的粱的变形图( 拉伸致动) - 2 9 图4 1 7c f 下压电片不同长度的梁的变形图( 拉伸致动) 3 0 v 图4 18 图4 1 9 图4 2 0 图4 2 1 图4 2 2 图4 2 3 图4 ，2 4 图4 2 5 图4 2 6 图4 2 7 图4 3 0 图4 3 1 图4 3 2 图4 3 3 图4 3 4 图4 3 5 图4 3 6 图4 3 7 图4 。3 8 图4 3 9 图4 4 0 图4 4 l 图4 4 2 图4 4 3 图4 4 4 图4 4 5 图4 4 6 图5 1 图6 1 图6 2 图6 , 3 c c 下压电片不同长度的梁的变形图( 拉伸致动) c h 下压电片不同长度的梁的变形图( 拉伸致动) h h 下两组压电片不同位置的梁的变形图( 拉伸致动) c f 下两组压电片不同位置的梁的变形图( 拉伸致动) c c 下两组压电片不同位置的梁的变形图( 拉 串致动) c i - i 下两组压电片不同位置的梁的变形图( 拉伸致动) h - h 下两组压电片不同长度的梁的变形图( 拉伸致动) c f 下两组压电片不同长度的梁的变形图( 拉伸致动) c c 下两组压电片不同长度的梁的变形图( 拉伸致动) c h 下两组压电片不同长度的梁的变形图( 拉伸致动) 五层压电耦合梁示意图 h h 下压电片不同位置的梁的变形图( 剪切致动) c f 下压电片不同位置的梁的变形图( 剪切致动) c c 下压电片不同位置的梁的变形图( 剪切致动) c h 下压电片不同位置的梁的变形图( 剪切致动) h h 下压电片不同长度的梁的变形图( 剪切致动) c f 下压电片不同长度的梁的变形图( 剪切致动) c - c 下压电片不同长度的梁的变形图( 剪切致动) c - h 下压电片不同长度的梁的变形图( 剪切致动) h h 下两组压电片不同位置的梁的变形图( 剪切致动) c f 下两组压电片不同位置的梁的变形图( 剪切致动) c c 下两组压电片不同位置的梁的变形图( 剪切致动) c h 下两组压电片不同位置的梁的变形图( 剪切致动) h h 下两组压电片不同长度的梁的变形图( 剪切致动) c f 下两组压电片不同长度的梁的变形图( 剪切致动) c c 下两组压电片不同长度的梁的变形图( 剪切致动) c h 下两组压电片不同长度的梁的变形图( 剪切致动) 三种模态对比示意图 压电层与弹性材料相对位置示意图 剪切致动压电层合梁优化模型 拉伸致动压电层合梁优化模型一 v 【 如如 砣 弛弛弘 ” ” 弘弘弘” 强 诣 鲫的 如如 钉 钉 乱们 钉 钉 ， h 一 = | 一 | = 一 一 一 ， ， 一 一 h 。 一 一 。 | = | | | | | ； | | | | 一 一 | | | | 图6 4 图6 5 图6 6 图6 7 图6 8 图6 9 图6 1 0 图6 1 l 基于剪切致动压电梁的变形 基于拉伸致动压电梁的变形 压电片在不同边界条件下的梁的最优变形图( 剪切致动) 基于一阶优化算法梁的变形收敛图( c f ) 压电片在不同边界条件下的梁的最优变形图( 拉伸致动) 基于零阶逼近算法梁的变形收敛图( c c ) 粱在不同边界条件下的最优变形图( 剪切致动) 梁在不同边界条件下的最优变形图( 拉伸致动) v n 5 l “5 2 ”5 3 ”5 3 - 5 4 5 4 5 5 “5 6 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盒胆王、业鑫堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者撕峰艳 签字溉洒6 年阳日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒胆王些盔堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅。本人授权盒世王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 签字日期缸w 占年占月肛日 翩躲办蝴 签字日期：力朗辞口月f 日 学位论文作者毕业后抵町云触予旅阀调 工作单位：电话 通讯地址： 邮编 致谢 本论文是在王建国教授的悉心指导下完成的，从论文的选题、展开到最后 的定稿，都付出了他大量的心血，作者表示由衷的感谢。在三年的学习中，导 师扎实深厚的理论知识，严谨求实的治学态度，精益求精的敬业精神，诲人不 倦的良好风范，值得作者终生学习。在授业解惑的同时，王老师对学生生活和 学习的各个方面予以无微不至的关怀和照顾，作者再次表示深深的谢意。 本文的顺利完成离不开土木建筑工程学院许多老师和同学的帮助，在此感 谢方诗圣老师、周焕林老师、何敏老师等诸位老师的支持。 感谢父母的养育之恩，他们艰苦耐劳的精神、无私善良的品德、踏实敬业 的为人是作者一生的榜样。 感谢男友丁根芳在本论文的创作过程中给予的帮助和关怀，他的创新精神 和精益求精的科研态度值得作者学习。 作者：覃艳 2 0 0 6 年5 月1 8 日 第一章绪论 1 1 智能结构产生背景 近年来，科学技术的发展日新月异，航空、航天技术也得到飞速发展。上 世纪五十年代，第一颗人造卫星的成功发射，拉开了人类探索宇宙的序幕。五 十年来，随着航空航天技术不断取得飞跃性进展，空间活动的规模日益扩大， 空间科学使命对空间结构的要求愈加严格。 空间结构中的许多重要结构，如空间站上的舱体结构、太阳能帆板、大型 空间可展开反射器、大型精密天线等等，具有尺寸大、重量轻的特点，因此表 现为高柔性和低固有阻尼特征。空间结构在空间运行时，可能受到各种扰动， 从而引起结构振动。而空间结构的柔性大，内阻低，而太空环境又几乎没有外 阻，因此结构的振动的衰减速度将会很缓慢。长时间的振动将会影响飞行器操 作的准确性，以及引起材料疲劳而降低结构的寿命，舱体结构的振动不仅会影 响内部仪器的正常工作，产生的噪声还将造成工作环境污染。空间站上安装的 空间反射器和大型天线，其组成结构和支持结构的要求更为严格，不仅有极高 的稳定性要求，还具有极高的保形要求，在工作期间必须保证精确的位置、方 向和外形，其精度要求在微米或纳米级。如果他们在空间受到不均匀的热辐射 或光照，就会产生温差，易引起结构变形，使所测数据信息不可靠或无效，导 致空间任务失败。我们所使用的常规板壳形结构在空间运行期间发生振动和变 形时，本身不具备增加刚度和阻尼，及调整形状的能力，在空间无法预料的复 杂环境中，难以或不可能满足空间结构的工作要求。在这种情况下，就要求我 们设计出一种新型材料结构，使之能在结构振动时，自发的增加结构的阻尼或 刚度，使振动能够很快的衰减下来。 传统材料一旦制成成品，就不可能在其使用过程中，对其性能实施动态监 控：并且材料只能被动地受环境的影响，而不能针对环境的变化做出适当的反 应，对于这些不足，在7 0 年代末8 0 年代初，美国军方为提高其飞行器的性能， 首先提出了“智能”结构( s m a r ts t r u c t u r e s 或i n t e l l i g e n ts t r u c t u r e s ) 的概念，并 开展智能结构研究计划【i 2 l 。智能结构的基本思想是：材料或结构能感知周围环 境的变化，并能针对这种变化做出适当的反应。 1 2 智能结构综述 1 2 1 智能结构的定义 智能材料将传感件紧密融合在结构中，同时也将控制电路、逻辑电路、信 号处理器、功率放大器等集成在结构中，通过机械、热、电、化学、电磁等激 励和控制，使智能结构不但具有传统意义上的承受载荷的能力，还具有识别、 分析、处理及控制等多种功能，并能进行数据的传输和多种参数的检测，包括 应变、损伤、温度、压力、损伤、光波等，并且还能够动作，具有改变结构的 应力分布、强度、刚度、形状、电磁场、光学性能、化学性能及透气性等多种 功能，从而使结构材料本身具有自诊断、自适应、自学习、自修复、自增值、 自衰减等能力。如果将基体材料看成是人体的骨骼，那么智能结构就相当于由 神经、肌肉、大脑和骨骼组成的系统。因此可以将智能结构定义为：将具有仿 生命功能的材料融合于基体材料中，使制成的构件具有人们期望的智能功能， 这种结构称为智能结构 2 1 。 1 2 2 智能结构的组成 从智能结构的定义可以看出，智能结构具有感知、辨识、寻优和控n 4 种基 本功能，为实现这些功能，智能结构至少应包含传感元件、执行元件和信息处 理元件等基本组元，正是这些元件使得智能结构区别与传统结构。 1 ) 传感元件。传感元件是一种测量装置，它能感受相应规定的被测量，并 按照一定规律转换成可用的输出信号，以满足信息的传输、存储、记录、显示 和控制等要求。传感元件通常由直接响应于被测量的敏感元件和产生可用输出 信号的转换元件以及相应的电子线路所组成。传感元件可分为结构型传感元件 和物性传感元件，前者利用机械结构的位移或变形来完成非电量到电量的变换， 这是一种较早的传感元件；而后者利用材料的压敏、光敏、热敏、气敏和磁敏 等效应，直接把压力、光强、温度、气体成份和磁场强度的物理量变换成电量。 在智能结构中采用的传感元俘目前主要为物性传感元件，这类传感元件的灵敏 度比较高，且易以分布的方式贴在结构表面或埋入结构内部。 2 ) 执行元件。执行元件是一种致动装置，其功能是执行信息处理单元发出 的控制指令，并按照规定的方式对外界或内部状态与特性变化做出合理的反应。 理想的力学执行元件应能直接将电信号转换为母体材料中的应变或位移。应变 执行元件的主要工作机理是致动应变，它是一种非应力引起的可控应变。目前 主要有4 种引起致动应变的方式：逆压电效应、电致伸缩、磁致伸缩和形状记忆 效应。前3 1 0 e 方式可将电信号直接转换为致动应变，第4 种方式利用的是温控相 变。常用的目前商业上可提供的应变作动智能材料有4 种类型：压电材料，电致 伸缩材料，磁致伸缩材料和形状记忆合金。其中压电材料是应用得最为广泛的。 本文主要研究对象为用压电材料做应变作动器的层合结构。 3 ) 信息处理元件。信息处理元件接收传感元件的输出信号，将其放大后施 加到执行元件上，使得执行元件产生相应的变形响应，将系统调整到理想状态。 一种典型的智能结构应用，是利用传感器通过位移、应力或加速度检测结 构的机械响应，一旦监测出不利或者非期望的结构响应，控制器便向执行器发 2 出信号，执行器响应这些信号，发生变形，使得结构恢复到初始或者是可接受 的状态。智能结构的这种自适应性能使得它在以下方面具备广泛的潜在用途： 航天器振动控制、直升机转子噪声控制、桥梁健康检测、大型空间桁架结构形 状控制以及建筑物的抗震设计。 图1 1 、图1 ，2 和图1 3 示意了智能结构。它通过铺设在结构内部的压电材 料层，分别作为传感器和执行器，从而对外界的扰动能以自动或预设方式进行 响应。 图1 1 层状机电仪器 f i z 1 1l a m i n a t e do i e z o - s t r u c t u r e 图1 2 智能结构 f i e 1 2s m a r ts t r u c t u r e 图1 ，3 智能结构全貌示意图 f i g 1 3 ar e a ls m a r ts t r u c t u r e 其中，以为感应电势，办为控制电势。 1 3 层合压电结构及其研究现状 1 3 1 压电材料简介 在众多可以应用于智能结构的材料中，因为只有压电材料具备正逆压电效 应，故可实现传感元件和作动元件的统一。同时由于其与弹性材料结合容易以 及压电陶瓷成本低廉，压电材料被广泛应用于智能结构当中。 压电材料是具有正压电效应( p i e z o e l e c t r i ce f f e c t ) 和负压电效应( i n v e r s e p i e z o e l e c t r i ce f f e c t ) 的特殊材料。压电效应就是当给压电材料施加外力而使其发 生机械变形的时候，材料内部正负电荷中心就会发生相对移动，使得材料表面 带有极性相同的电荷，其电荷密度与外力成比例关系。测量压电材料由于机械 变形而产生的电荷量，就可以知道其变形的情况，从而其有感受结构变形的能 力。而逆压电效应则与之相反，即当给压电材料施加电场的时候，电场的作用 也会使得压电材料内部正负电荷中心发生相对移动，导致压电材料产生机械变 形，其变形与外加电场也成比例关系。绘压电材料施加一定的电场强度，就可 以使得压电材料按照预先设计的规律变形和动作，从而具有驱动能力。 压电效应最早是由p i e r r ec u r i e 和l j a c q u e sc u r i e 于l8 8 0 年发现并开始进行研 究的。从早期的压电单晶材料，如石英晶体、罗谢尔盐、电石等：到矿物质压 电材料，例如钦酸钡、妮酸铿等；再到现在最常用的固溶压电材料，如错钦酸 铅( p z t ) 、掺铜的错钦酸铅( p l z t ) ：压电高分子材料，如聚偏二氟乙烯( p v d f ) ， 聚偏氟乙烯( d v f 2 ) 聚合物等，压电材料的研究发展相当迅速。 比较压电材料和其他智能材料，前者在智能结构的应用中主要有以下几方 面的优点： ( 1 ) 、压电材料具有正逆压电效应，这使得压电材料在智能结构中既可以 作为传感元件，又可以作为驱动元件。 ( 2 ) 、频响范围宽。 ( 3 ) 、压电效应有较好的线性关系。 ( 4 ) 、压电材料功耗低。 ( 5 ) 、压电材料可以加工得很薄，特别适合于柔性结构。 ( 6 ) 、压电材料在柔性结构中作控制器时不需要参考点，作执行器时也不 需要支承点。 ( 7 ) 、压电材料的制备也日趋成熟和完善，因此，压电材料被广泛应用于 智能结构中作传感器和执行器。 4 i 3 2 层状压电结构 目前最为常用的压电材料为压电陶瓷材料。压电陶瓷在电场激励下应变效 应一般为2 0 0 3 0 0 微应变，产生的作用力不够大。为了解决这一问题，可以使 用多层压电陶瓷片叠合而成的复合式压电驱动器。据报道，8 8 层压电陶瓷片做 成的驱动器可以在2 0 毫秒内产生5 0 o n 的位移，并有可能制作具有1 应变能力 的压电驱动器。如果这一变形被约束，则有可能对结构产生较大的驱动力。将 压电材料与弹性材料错层铺设在一起，组成复合材料结构，可以在节省材料用 量的前提下，将压电材料的功效发挥到最大。图1 3 为压电层合梁示意图。 z 压电片组压e 邑芦组2 铝犀 压电片组i 压电片组月，压电片蛆n 泡 j 殍 664aj， 摊 掣一k ， i i ： ，杯， 1 二 b + j = l 图1 4 悬臂压电层合梁示意图 f i g ，1 4l a m i n a t e ds m a r tb e a m 1 3 3 层合压电结构研究现状 关于智能结构的研究领域，无论是航空航天、还是柔性机械、或者是桥梁 建筑，一般都是研究结构的形状控制、振动控制、噪声控制等。 常见的智能结构都可以简化为桁架、梁、板、壳或三维体结构。 研究得较为广泛的智能传感器和致动器的形式有粘贴在结构表面和埋置在 结构内部两种。 对结构的分析方法有：解析方法、r a y l e i g h r i t z 方法、有限元等数值方法。 研究的压电材料模型主要有：应力模型、机电耦合模型以及热机电耦合模 型三种。其中应力模型仅仅将机械应力作为状态变量，而不考虑电容：机电耦 合模型既考虑了机械应力，又开创性地将电容作为基本状态变量；热机电模型 在此基础上进一步考虑了热释电效应，本构方程中增加了热能作为另一状态变 量。 对于压电层合结构，根据各自采用的运动学假设、场变量的近似、压电层 的表达法以及盐率和温度的影响，可将其分为以下四种模型”j ： 1 、诱导应变模型，此种模型主要针对只含有压电作动器的层合结构。b a i l e y 和h u b b a r d 4 】首先提出压电作动器对母体结构的激励作用可用等价力和等价力 矩来表示的欧拉梁模型：c r a w i e y $ 口l u i s p j 进行了开创性工作，分析压电复合粱 时，假定压电片中只有均匀的拉伸或压缩变形，粘结层中只存在纯剪切力而不 考虑动态影响因素，压电片对母体梁的耦合作用主要用压电片两端角附近的集 中应力表示；i m 和a t l u r i 6 1 假设每层有不同位移，进一步考虑了梁的横向剪切力 和法向应力的作用，压电片中只考虑法向应力作用。得到了更一般的结论： r o b b i n s s n r e d d y 【7j 提出了一种分层理论，并对压电层合梁应用应力诱导模型， 导出了梁的有限单元。 2 、等价单层模型，此种模型基于古典层合理论假设，给出了传感方程。 l e e 8 和m o n n 9 最早考虑了协调压电层合板，而且用等价回路模型给出了压电 传感方程，推导了控制方程，给出了电位移和弹性量之间的关系。 c h a n d r a s h e k h r a 【lo l 基于一阶剪切变形理论和有限元提出了种单层压电板理 论；同时c h a n d r a s h e k h r a 【“】基于高阶剪切变形理论研究了压电梁。 3 、耦合单层模型，该模型增加了电荷自由度，在运动方程中以等价控制方 程表达压电耦合效应。h a g o o d t2 】在欧拉运动学假设的基础上提出了含压电作动 器和传感器的复合梁耦合公式。w a n g 13 j 等对压电单晶体板进行了研究，提出了 一种耦合高阶m i n d l i n 理论，并构造了有限单元；r a y h 】将高阶剪切变形理论和 电势沿压电层线性变化结合，提出了一种耦合板理论；d a t w i t l e r ”】基于m i n d l i n 剪切变形理论和电势沿厚度线性变化的假设，发展了一种板有限单元。 4 、分层模型，该模型假设运动变量和电势沿层厚度保持连续，且在各层内 平滑变化。r o b b i n s m 在研究压电层合粱时考虑了横向位移w 沿厚度变化的常 项和高次项，提出了诱导应变分层模型；h e y l i g e r t ”1 对主动和感知压电板提出 了一种耦合分层理论，并构造了几种有限单元对沿厚度变化不同弹性和电势分 布的压电层舍板进行了静电响应分析。 关于精确解的求解：在层状压电结构中，弹性场与电场并存，基本方程包 含两个场，即力学场和电场，求解十分困难。s o s a 旧】考虑一层合粱，引入状态 变量，通过f o u r i e r 积分变换，将偏微分方程组转化为常微分方程组，简化了求解 过程，但未作具体计算：王 ”。2 在层状压电结构的分析方面通过引入状态变量， 建立了层状压电半空间问题的状态变量方程，利用h a n k e l 变换，求出了层状压 电半空间轴对称问题和非轴对称问题的状态变量解；王自强 ”1 研究了在线性压 电本构方程框架下，对裂纹顶端条状电饱和区模型进行了严格的数学分析，考 6 虑了各向异性力一电耦合效应；m a r i n o 【2 4 1 研究了压电层合板的静力变形控制： f e r n a n d e s 2 5 】等提出了单层压电板的精确计算模型。 正是由于精确解求解困难，有限元方法等数值计算方法成为分析实际问题 的重要手段。t z o u 和t s e n g 2 6 基于h a m i l t o n 原理和压电材料的本构方程，提 出了含有压电传感器和致动器的薄板壳的有限元分析模型。l a m m e r i n g 【27 j 基于 压电材料的本构方程提出了r e i s s n e r m i n d l i n 型板壳的有限元分析模型。t z o u 和y e 2 8 】以及h e y l i g e r 2 9 1 基于离散层理论提出了板壳的有限元分析模型。 s a r a v a n n o s 3 0 】基于剪切离散层理论提出了r e i s s n e r m i n d l i n 型板壳的有限元分 析模型。l e e 和s a r a v a n o s t3 l 3 3 基于剪切离散层理论提出了考虑力电热耦合的 板壳的有限元分析模型。b e n j e d d o u 3 4 】和l e e ”】对压电结构有限元分析模型做了 全面的评述。 1 4 本文的工作目的和主要内容 1 4 1 工作目的 本文的目的是在压电本构方程的基础上，推导压电有限元方程，并在此基 础上应用a n s y s i a p d l 语言编制静力分析、模态分析以及优化计算有限元程 序，研究拉伸致动和剪切致动压电层合梁变形机理，并进行对比分析，为智能 结构设计提供一定依据。 1 4 2 主要内容 第二章首先介绍了压电效应，引入了线弹性压电体的三维本构方程，在此 基础上针对本文研究的两种二维模型，推导出退化后的二维本构方程，利月j h a m i l t o n 原理，从第二类压电方程出发，推导了力电耦合压电弹性有限元方程。 第三章介绍了两种梁理论：欧拉，伯努利梁理论( e u l e r b e r n o u l l ib e a m t h e o r y ) 和铁摩辛柯梁理论( t i m o s h e n k ob e a mt h e o r y ) 的基本假定。在此基础 上分别建立了拉伸致动和剪切致动压电层合悬臂梁计算模型，对各自致动机理 进行初步分析，考察两者在致动效果方面的优劣。 第四章首先介绍了大型有限元分析软件a n s y s 及其参数化设计语言 a p d l ，然后在此基础上编制了力电多场通用有限元静力分析程序，建立了多 层力电耦合结构的有限元计算模型，通过与参考文献的计算结构对比，验证分 析程序的正确性。重点计算了三层和五层的拉伸及剪切压电层合梁的单点及多 点配置静力变形情况，比较了计算结果。 第五章初步涉及了自由振动研究，主要研究了五层拉伸和剪切致动层合结 构的自振频率与振型。普通材料采用平面等参结构单元，运用a n s y s a p d l 编制了力- 电多场通用有限元模态分析程序。为压电层合梁的主动振动控制奠定 基础。 第六牵采用二维四结点四边形压电耦合单元，运用a n s y s a p d l 语言， 基于零阶( 子问题逼近) 优化算法和一阶梯度优化算法编制了力电多场通用有 限元优化分析程序。在使用退化程序计算静力问题验证正确的基础上，借助该 程序，就压电片位置、尺寸，针对三层拉伸和剪切致动压电梁梁进行了优化设 计。得出静力作用下一系列不同边界条件( c - c 、c - h 、e - f 、h - h ) 下获得梁的 最大变形时压电片的最优位置和最优尺寸。对多层智能结构的设计提出了一些 有价值的建议。 最后，在结论部分，总结了整个论文的工作，并对本文所涉及到的问题的 进一步研究提出了一些建议。 8 第二章压电基本方程及有限元方程理论推导 2 1 三维压电方程 压电效应是1 8 8 0 年在辑石英晶体上首先发现的，它反应了压电晶体的弹性 与介电性的相互耦合。所谓材料的本构关系，即压电方程，描述了压电材料的 力学量( 应力和应变) 和电学量( 电场强度和电位移) 之间相互联系的关系。 压电材料和普通的弹性材料一样，在受到外力作用的时候会发生变形，它 的应力和应变之间的关系在小变形的时候遵循弹性理论的应力应变关系，这就 是压电材料的力学行为。压电材料除了具有和一般材料一样的力学特性以外， 还有其特有的电学行为，它的电学行为体现在两个方面，一是当压电材料受到 外力作用而发生变形的时候，它不仅仅产生应力和应变，而且还会在压电材料 表面产生电荷形成电位移；二是当给压电材料外加电场时，会使其发生机械变 形产生电应变。综合其力学行为和电学行为就可以得到压电材料的压电方程， 下面式( 2 1 1 ) 和式( 2 - 1 - 2 ) 就是三维压电材料的压电方程。 + d 】ld 2 l d 1 2d 2 2 d 1 3d d 1 4 d 2 4 d l ，d 2 5 d 1 6d 2 6 ( 2 - 1 1 ) 式( 2 - 1 - 1 ) 中的j ；称之为弹性柔顺系数，单位为m 2 n 。弹性柔顺系数矩阵和 材料的刚度矩阵互为逆矩阵。由于对称性s ；= s ；，各向异性材料有2 1 个分量是 独立的。 而对于各向同性材料，则只有j ：和s 磊两个独立变量。第一个下标表示压电 材料产生应变的方向；第二个下标表示所受应力的方向；其上标e 表示外加电 场为0 或者为常数时的弹性柔顺系数，通常称之为短路弹性柔顺常数。d ，是压 电材料的压电应变常数，第一个下标表示外加电场的方向，第二个下标表示由 其产生的应变的方向。压电应变常数下标的数字1 ，2 ，3 分别与三个坐标轴x ，v ， z 相对应，4 ，5 ，6 则与剪应变相对应，如图2 1 所示。该式描述的是压电材料的 应变是由于它承受的应力和外加的电场e 两部分影响组成的。 1llj e b e 1；，j ， 2 3 4 5 6 以正巩西正磊 吒q 吒l 0 t 。l1llllll，j 磕占”e拈f驺茸盯f”s舒 j 占 s j j f s h f“sf石抖f铒 j j s 占 s j f5f驺占百f 占 j s s s s 占他f船e强f鸵占盟占砬 s 占 s 占 j j 占ff”占劓占乳昂们 巳已k 图2 1 压电材料坐标表示示意图 f i g 2 1p i e z o m a t e r i a li nc o o r d i n a t e s 同样，压电材料的电位移d 也是由应力和电场强度两部分影响组成的，如 式( 2 1 2 ) 所示： 刚瓣| i 鞋 ( 2 1 - 2 ) 由上述所知，压电材料的性能和其方向有关，各个方向的性能不尽相同。 对于实际使用的压电陶瓷材料来说，其生产过程中必须对其进行极化处理，才 会使得其具有压电特性。其方向的规定是按照极化方向来确定的。规定其极化 方向为z 轴，如图2 1 所示。对于极化处理后的压电陶瓷，其压电应变常数矩 阵中的元素，除d ，、= d ，：、矾，= d ：。，以及d 。外，其他常数均为0 ，所以只有d d ，和d 。，三个独立的压电应变常数。极化处理后的压电陶瓷的介电常数也只剩 下s ：= s 墨，和g 要两个独立的介电常数，其它分量均为0 。 写成矩阵形式1 3 6 ，即是： 扛 = 扣舾 + ” e r 2 _ 1 - 3 、 l d = p m + 【忙 卜一 为适应不同的边界条件，给出第二种本构方程 j 扫 = k k 卜k r e ) i d ) = k 怡) + 【肛) 1 0 ( 2 - 1 4 ) 1fj e 髟t i i i i i 0 0 且 曙 嚷 巩幽以幻和如 riihj“ijl m 拍 弘 d d d 其中扫 、叠 、忙) 、 d 分别为应力、应变、电场强度及电位移矢量； c 】、陆】、 p 】、 】、图分别为弹性刚度、压电应力、压电应变、介电系数及弹性柔顺矩 阵。 2 2 退化后的压电方程f 3 7 1 本文主要研究压电片粘贴于结构表面( 拉伸致动) 和埋置于结构内部( 剪 切致动) 两种致动机构。 对于拉伸致动机构，压电片极化方向垂直于梁轴线方向 挥作用，因此，三维压电线性本构方程可以退化为： 阱匮刹卦 其中： 。i ：c 。，一堕 c 3 3 p ；1 ：e 3 1 一c t _ l 8 ” c 3 3 只有横向电场发 ( 2 - 2 1 ) 吼，毛，d ，和马分别为轴向应力、轴向应变、横向电位移、横向电场强度。这 个变换是建立在平面应力的假设上( c r 3 = 0 ) 。机电耦合发生在轴向应变和横向 电场之间。式( 2 2 1 ) 是拉伸致动机构的基本方程。 对于剪切致动机构，压电片极化方向沿梁轴线方向。它的本构方程可以由 拉伸致动机构旋转9 0 度而来，只要将横向和轴向指数交换。得到本构方程： 其中 刚i _ 怕j 。；3 = c 3 3 一篮 c 1 i ( 2 2 - 2 ) 式中吒和毛是横向剪切应力和应变。变换同样是建立在平面应力假设上 ( 吧= 0 ) 。机电耦合效应发生在剪应变和横向电场之间。式( 2 2 2 ) 便是新型的 剪切致动机构的基本方程。 2 3h a m i l t o n 原理 砖一 + 站 = h a m i l t o n 原理可以表达为：完整动力学系统在位形空间上于固定的时间区 间i t 。，t ： 内所经过的实际路径使得积分： ，= j ? 础 对所有可能路径变更来说取驻值，而在该时间区间的端点所有这些变更都等于 零。 这种方法是用变分原理来描述系统的运动，是从整体上研究系统的运动， 通过使某一积分取驻值的条件，在位形空间上寻找系统运动的真实路径。利用 它可以很容易地导出拉格朗日方程，所以说，h a m i l t o n 原理是更为一般的动力 学原理。尤其对于像有限单元法这样以能量变分原理为基础的数值方法来说， 应用h a m i l t o n 原理来建立动力学方程会显得更加自然和方便。 2 4 压电有限元方程 从第二类压电方程出发： 侍【c 特味脚( 2 - 4 - 1 ) i d ) = k ) + 【e 】 e ) 其中p ) 、扛 、忸 、 d 分别为应力、应变、电场强度及电位移矢量： c 、忙 、 ) 分别为弹性、压电和介电系数矩阵。 线性压电结构能量泛函为： l = t 一+ w ( 2 - 4 2 ) 其中t 是动能，日是电焓，w 是外力所做的功。 r = i 1f p 伽 7 伽) d q 日= 寻肛) 斜一时 d q ( 2 - 4 3 ) = 他) 7 f d s + 佟) 1 f d f 】- i 尥d s - 伽d q 式中缸) 为速度矢量，p 、s 、q 、护 、口 、9 、g 分别为质量密度、电 势、面积、体积、面力、体力、面电荷密度、体电荷密度。其中下标s 、p 表 示主体结构( s t r u c t u r e s ) 和压目g , 县( p i e z o e l e c t r i c i t y ) 。 由h a m i l t o n 原理可得： 占j 工出= 0 ( 2 - 4 4 ) 1 2 将( 2 4 - 2 ) 代入上式，即是： b t 一田y + 占形= 0 在有限元方法中，位移缸) 和电势可用插值函数表示为： f = 帆b f ) 1 妒= k 协l 妒。m 胁 其中函小墩 为节点位移和电势值，阮】、i n , j 为形函数。 由推广的应变与位移的关系： ( 2 4 - 5 ) ( 2 - 4 - 7 ) 利用方程( 2 - 4 6 )