（工程力学专业论文）水平集方法在连续体结构拓扑优化问题中的运用和发展.pdf

摘要 结构拓扑优化是结构优化技术中最具挑战性的领域之一，它可以同时优化设计对象 的拓扑和尺寸，是一种具有创造性的设计方法，在航空航天、工程建设等领域具有重要 价值。本文在参考国内外大量文献的基础上，深入研究连续体结构拓扑优化的水平集方 法，通过算例证明传统水平集方法的局限，进一步将拓扑导数理论和水平集方法结合起 来，提出一个改进的水平集方法，弥补了传统水平集方法的不足之处。本文的主要工作 如下： 首先建立了基于柔度最小的连续体结构拓扑优化问题的一般数学模型。介绍几种常 用拓扑优化方法，主要包括：均匀法、密度惩罚法、遗传算法、模拟退火算法等，并分 析它们各自的特点。 其次利用水平集方法将一般拓扑优化问题描述为一组水平集函数的约束泛函极小化 问题，应用敏度分析，给出了此泛函极小化数值迭代求解公式，即水平集演化方程。这 样就把材料界面表示为一组高维函数的水平集，使拓扑优化问题转化为材料界面追踪问 题，这时材料界面的形状敏度就是水平集的运动速度。在优化过程中，依靠水平集演化 方程不断地融合和移动内部的孔，来改变结构中材料界面的拓扑和形状，获得最优解。 通过敏度分析确定演化需要的速度场，使结构边界的拓扑变化能得到简单、自然地处理。 最后利用m a t l a b 给出算例，证明经典的水平集方法是一种有效的拓扑优化方法。 再次通过大量算例证明传统水平集方法有其局限性，即过于依赖初始拓扑，只能进 行孔的移动和融合，而不能生成新的孑l 。如果初试拓扑无孔或孔的布局不合理，则不能 有效地得到最优解。 最后考察拓扑导数的定义及其应用，提出一种基于拓扑导数的改进水平集方法，利 用拓扑导数在结构的内部生成需要的孔，再运用水平集方法移动和融合新生成的孔，克 服了传统水平集的缺点并保留其优点，运用新方法计算经典的算例，证明新方法是有效 的。 关键词：结构拓扑优化水平集方法拓扑导数 a b s t a c t s t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nh a db e e ni d e n t i f i e da so n eo ft h em o s tc h a l l e n g i n gt a s k si n s t r u c t u r a l d e s i g n a n d i tw a sa ni n n o v a t i v e a p p r o a c h ，w h i c h c a n s y n c h r o n o u s l y o p t i m i z e t o p o l o g y , s h a p ea n ds i z eo ft h ed e s i g n e ds t r u c t u r e n o wi t h a df o u n di t sw a yi n i n d u s t r ya n da p p l i e di nav a r i e t yo fe n g i n e e r i n gf i e l d s ，s u c ha sa v i a t i o n ，a e r o s p a c ea n dm i c r o e l e c t r o m e c h a n i c a ls v s t e me t c t h i sp a p e rf o c u e do nt h es t d u yo ft o p o l o g i c a lt h e o r i e s ， e s p e c i a l l yo nl e v e l s e tm e t h o d ，a tl a s t w eg a v ean e wm e t h o dw h i c hc a l l e d t o p o l o g y d e r i v a t i v e l e v e ls e ta l g o r i t h mt om a k eu pt h ed e f e c t so fc a l s s i c a ll e v e l - s e tm e t h o d t h e f o l l o w sw e r eo u rm a j o rw o r k s ： ( 1 ) w ee s t a b l i s h e dam a t h e m a t i c a lm o d e lf o rt o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fc o n t i m u u m s t r u c t r u e s t h e nw eg a v es e v e r a lc a l s s i c a l t o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm e t h o d s ，s u c h a s - h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ，s i m pm e t h o d ，g e n e t i ca l o g r r i t h m ，s i m u l a t e da n n e a l i n ga n d d i s c u s s e dt h e i re n e l l e n c e sa n dd i s a d v a n t a g e s ( 2 ) u s i n gl e v e l s e tm e t h o d ，m a t h e m a t i c a lr e p r e s e n t a t i o nf o r c o n t i m u u ms t r u c t u r e si s p r o p o s e db ym e a n so f t h ev e c t o ro fl e v e l s e t ，a n dt h eg e n e r a js t r u c t u r et o p o l o g yo p t i m i z a t i o n c a nb ee x p r e s s e db yac o n s t r a i n e df u n c t i o n a lm i n i m i z a t i o np r o b l e mo fas e to fl e v e ls e t f u n c t i o n s b ya p p l y i n gf r e n c h e td e r i v a t i v ea n a l y s i s ，t h ei t e r a t i o nf o r m u l ai sd e r i v e dt os o l v e t h ec o n s t r a i n e df u n c t i o n a lm i n i m i z a t i o np r o b l e m ，e s s e n t i a l l yt h ef o r m u l ai sal e v e ls e t e q u a t i o n ，i nw h i c ht h em o t i o nv e l o c i t yo ft h el e v e ls e ti st h es h a p es e n s i t i v i t yo fm a t e r i a l i n t e r f a c e s b yu s i n gt h ev e c t o rl e v e ls e tr e p r e s e n t a t i o n ，t h em a t e r i a li n t e r f a c e si ns t r u c t u r e sc a n b ed e s c r i b e da sas e to fl e v e ls e t so fh i g hd i m e n s i o ns c a l a rf u n c t i o n s t h u s ，t h et o p o l o g i c a l o p t i m i z a t i o np r o b l e m i sc o n v e n e dt oat r a c i n gp r o b l e mo fm o v i n gi n t e r f a c e s d u r i n gt h e o p t i m i z i n gp r o c e s s ，t h ee v o l v i n gm o v e m e n to fm a t e r i a l i n t e r f a c e sc a nm a k et h ec o m p l e x i n t e r f a c e ss p l i ti n t om u l t i p l ep i e c e so rm e r g ew i t ho t h e r s t of o r mas i n g l eo n e i nt h i sw a y , t h e t o p o l o g ya n ds h a p eo ft h em a t e r i a li n t e r f a c e si sc h a n g e d u n t i lt h em a t e r i a li n t e r f a c e sc o n v e r g e t oa no p t i m u ms o l u t i o n t h ep r o c e s sc a nb eg o v e m e db yah a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n ，w h i c h e f f i c i e n t l yn u m e r i c a la l g o r i t h mc a l lm a k e t h et o p o l o g i c a lc h a n g e so ft h ec o m p l e xi n t e r f a c e st o b ed e a l tn a t u r a l l ya n ds i m p l yb a s e do nt h en o t i o no fv i s c o u ss o l u t i o n s ( 3 ) t h ec l a s s i c a ll e v e l s e tm e t h o dh a dm a n ym e r i t s ，b u t i ta l s oh a ds o m ed e f e c t s w e d i s c u s s e da n dp r o o f e dt h el i m i t a t i o no fl e v e ls e tm e t h o d ：i td e p e n d e dh i g h l yo nt h ei n i t i a l t o p o l o g y t h e i n i t i a lt o p o l o g ym u s tb ev e r yc o m p l e x ，i nw h i c hp r o p e rn u m b e ra n d p o s i t i o no f h o l e si n c l u d ei n ，a n dc a n n o tb ed e t e r m i n e di na d v a n c e ( 4 ) w ed i s c u s s e dt h ed e f i n i t i o na n da p p l i c a t i o no ft o p l o l o g yd e r i v a t i v e f u r t h e r m o r e ，i n o r d e rt om a k eu pt h ed e f e c t so fc a l s s i c a ll e v e l - s e tm e t h o da n di m p r o v ec o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y ，a n o t h e rt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm e t h o d ，w ec a l l e dt o p o l o g yd e r i v a t i v e l e v e ls e t a l g o r i t h mh a db e e ng i v e n ，i tp r o p o s e db yu n i f y i n gt o p o l o g yd e r i v a t i v et h e o r yw i t ht h el e v e l s e tm e t h o d c o n v e r g e n c ev e l o c i t yh a db e e na c c e l e r a t e db ym a t l a ba n dw eh a ds a t i s f a c t o r y r e s u l t s k e yw o r d s ：t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n l e v e ls e tm e t h o d t o p o l o g yd e r i v a t i v e i l l 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何 未加明确注明的其他个人或集体己经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：互哲远- z 掷g 年箩月扩日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权 利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成 果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 耖譬年多月f 6 日 。娜年s 月屿e l 长安人学硕f j 学位论文 1 1 引言 第一章绪论 结构拓扑优化按照所研究的对象可分为：离散体结构拓扑优化( 如桁架、刚架、加 强筋板等骨架结构及它们的组合) 和连续体结构拓扑优化( 如二维板壳、三维实体) 两大 类。 离散体结构拓扑优化的历史可以追溯到1 9 0 4 年由m i c h e l l 提出的桁架理论，但 m i c h e l l 的理论只能用于单工况情况并且依赖于选择适当的应变场。其后陆续提出的一 些更好的优化方法，其中最有代表性的是d o r a ，g o m o r y 和g r e e n b e r g 等提出的基结构方 法( g r o u n ds t r u c t u r ea p p r o a c h ) 口j 。基结构方法克服了m i c h e l l 桁架理论的不适应性，将数 值方法引入结构优化领域，建立由结构节点、载荷作用点和支撑点组成的节点集合，集 合中的所有节点之间用杆件连接，形成所谓的基结构，以基结构作为初始设计，以杆件 面积作为设计变量，采用优化算法优化杆件面积。2 0 世纪6 0 年代初s c h m i t 将结构优化 问题表述为数学规划问题，并采用数学规划算法求解，成为结构优化领域的一个重要里 程碑。目前包括桁架结构优化在内的离散结构拓扑优化己比较成熟，国内外已有很多深 入的研究和成熟的文献【3 圳。近年来连续体结构拓扑优化理论得到了较快发展，成为结 构优化领域研究的难点和热点问题。连续体结构优化按照设计变量的类型和求解问题的 复杂程度可分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化三个层次，分别对应三个不同的结构设 计阶段，即概念设计、基本设计及详细设计三个阶段，如表( 1 1 ) 所示。 表1 1 结构优化的三个阶段 第一章绪论 尺寸优化( s i z i n go p t i m i z a t i o n ) ：在保持结构的形状和拓扑结构不变的情况下，寻 求结构组件的最佳截面尺寸以及最佳材料性能的组合关系，优化截面的面积，选择杆的 最佳长度等等。其特点是设计变量容易表达，求解理论和方法成熟。 形状优化( s h a p eo p t i m i z a t i o n ) ：保持结构的拓扑关系不变，通过改变设计域的形 状和边界，寻求结构最理想的边界和几何形状，在骨架结构中表现为寻找节点的最优位 置，在实体结构中表现为对结构的边界形状进行优化。现在有关形状优化的研究已取得 较大进展。 拓扑优化( t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ) ：在一个确定的连续区域内寻求结构内部非实体 区域的位置和数量的最佳配置，寻求结构中的构件布局及节点联结方式最优化，使结构 能在满足应力、位移等约束条件下，将外载荷传递到结构支撑位置，同时使结构的某种 性态指标达到最优。可以认为拓扑优化是在连续体拓扑集合q 中选出一个子集q 。，使 之满足目标函数及约束条件，对桁架结构的拓扑优化而言就是在给定节点位置情况下， 确定各节点的最佳连接关系，而对连续体结构拓扑优化来说，不仅要使结构的边界形状 发生改变，而且对结构中的非实体的数目及分布也要进行优化。拓扑优化是一种比尺寸 优化、形状优化更高层次的优化方法，也是结构优化中最为复杂的一类问题，它处于概 念设计阶段，其优化结果是一切后续设计的基础。目前对桁架结构及二维连续体结构的 拓扑优化研究较多，连续体结构拓扑优化主要的困难在于：满足一定要求的结构拓扑形 式具有很多种，这种拓扑形式难以定量描述或参数化，而需要设计的区域预先未知，大 大增加了拓扑优化的求解难度。当结构的初始拓扑不是最优拓扑时，尺寸和形状优化可 能导致次优结构的产生，因此在初始概念设计阶段需要进行必要的拓扑优化以确定结构 的最佳拓扑形式。 在实际生产设计中，对结构最重要和最困难的优化往往就是拓扑优化。为此人们发 展出了很多方法，主要有：均匀化方法【5 】、密度惩罚法【6 1 、遗传算、法【7 1 、模拟退火法【8 1 、 水平集法f 9 1 等。本文主要研究连续体结构拓扑优化的水平集方法及其改进。 1 2 连续体结构拓扑优化问题及传统求解方法 1 2 1 简单拓扑学知识 在研究连续体拓扑优化问题之前，我们先介绍一下简单的拓扑学知识。这对我们讨 论结构拓扑优化和以后研究拓扑导数理论都有利。 拓扑学最早是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何 2 长安人学硕1 j 学位论文 不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之问的位置关系以及它们的 度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都不 关心。举例来说，在通常的平面几何里，把某平面上的一个图形搬到另一个图形上，如 果它们完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，它们 的大小或者形状都会在运动中发生变化，在拓扑学里没有不能变化的元素，每一个图形 的大小或形状都可以改变。不考虑图形的大小、形状，仅考虑其点和线的关系，这些就 是拓扑学思考问题的主要出发点。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓 扑等价的概念。比如圆、方形和三角形，它们的形状、大小都不同，但在拓扑变换下， 它们都是拓扑等价图形，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。一般 来说，在二维情况下，可以任意改变闭曲面的形状或大小，只要不把该曲面撕裂、割破 或开孔，这种变换就是拓扑变换，曲面的拓扑性质不会改变。如果用点集的语言来描述 拓扑学，那么拓扑学就是研究空间中拓扑变换下的不变量或不变性质，如果空间x 与空 间l ，之间存在双向连续对应，即可以相互通过拓扑变换变成对方，那么我们就称和y 是同胚的。同胚的两个空问拥有相同的拓扑性质，所以同胚的两个空间在拓扑上可以不 加以区别。通常情况下图形在做弹性形变时是不会改变自身的拓扑性质的，如同橡皮泥 一样，因此拓扑学也被形象的称为“橡皮几何学”【l0 1 。 1 2 2 连续体结构拓扑优化数学模型 应用数学方法研究拓扑优化问题，首先必须建立相应的数学模型，然后在此模型基 础上进行对实际问题的理论分析和科学研究。所建立的数学模型必须准确地逼近实际问 题，所以一个合理的数学模型是解决拓扑优化问题的关键。 从抽象的数学形式上来看，一般的拓扑优化数学模型都包括以下五个方面： 1 参数和设计变量在拓扑优化中，结构拓扑模型的参数主要包括材料性能参数、几 何参数和拓扑设计变量三类。对于静力学模型来说，主要的常用参数是材料的弹性模量、 泊松比，几何参数如杆件的长度、截面积、截面特性等等9 - 对于动力学问题，主要参数 有弹性模量、泊松比、刚度参数、材料密度以及结构的阻尼参数等等。对于特定的工程 问题，这三类设计变量，有时独立存在，有时同时存在并且相互作用。 2 目标函数结构优化设计要求在多种因素下寻找最满意最适宜的一组参数，从而使 设计达到设计者追求的目标，把这一日标用设计变量的数学关系描述出来，就是目标函 数。在工程实际中，目标函数的选择依问题或者设计者的意图而各不相同。选择不同的 第一市绪论 目标函数，得出的结果也不相同，这在拓扑优化中尤其如此。 3 约束函数在结构优化设计中，设计变量的取值往往受到某些条件的限制，这些条 件与全部或者部分设计变量相关。对某个或者某组设计变量直接限制的约束称为显式约 束，对某个或者某些与设计变量的关系无法直接说明的量加以限制的约束称为隐性约 束。 4 边界约束在优化过程中，为了使设计变量有实际的工程意义，通常设置变量的上 下边界，称为边界约束。 5 终止准则优化迭代过程中，设计变量是一个无穷点序列x k ( 七= 1 ，2 ，) 的变化过 程，一直到使目标函数达到极值同时点x 达到最优值时才可终止。但是对于实际工程问 题，只需要计算有限步得到的结果就足够了，所以通常需要一定的终止准则来保证适时 终止数值运算。 连续体拓扑优化模型所包含的设计变量的数量庞大，一般的优化算法不能求解，所 以其数学模型需要特别处理。比较合适的方法是保持问题性质不变的前提下，对优化的 控制方程进行适当的离散，即维持问题的本质特性的情况下，使得连续体结构的拓扑优 化问题可以在有限维空问中进行，这样所得到的结果将是原来位于无穷维空间中的精确 解的一个有限维的近似解。对于一般工程实际问题，这个近似解是能够满足需要的，并 达到拓扑优化的目的。 现在我们以结构的最小柔顺性为目标函数，结构的最大体积为约束函数，建立一个 连续体结构的拓扑优化问题模型，可描述为： m i 刀：j ( 甜) = q 肼勺( ”) ( 甜矽q 口哕) = ( 1 ，) 如口v 刨( 1 1 ) 甜i f 。u o v v u v = f d q v 。 m a x 式中以弱形式表示弹性平衡方程： a ( u ，v ) = ( v ) 其中能量双线性泛函和载荷线性泛函分别为： 以则卜三咖胁i j 肼饱 4 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 女人学硕i 学位论史 l ( v ) = fp 谢n + f r v d s ( 1 4 q5 其中“是弹性体在平衡时的位移，v 是虚位移，u 是允许的位移场几何集合p 为体积 力，f 为边界荷载而r 2 j d q 5 a x 为模型的体积约束函数。以最小柔顺性为日标函 数的拓扑优化模型的本质是使设计区域内部应变能均匀分布，最终得到一个新的拓扑结 构，实现在满足结构体积约束的条件下，其刚度最大( 柔顺性最小) 的目的。 123 几种拓扑优化方法介绍 对于连续体结构优化问题，除了水平集方法以外，还有很多方法，比如：均匀法、 密度惩罚法、遗传算法、模拟退火法等等。下面简单介绍这几种方法。 均匀化方法均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 是一种经典的拓扑优化方法，它 在数学和力学上有严格理论推导，目前主要应用于拓扑优化的理论研究，1 9 8 8 年由 b e n d s e n 和k i k u c h i 1 正式提出。他们首次将复合材料的多孔介质概念引入拓扑优化中， 通过在结构材料中引入带方形孔洞的微结构模型，将困难的拓扑优化问题转换为相对简 单的尺寸优化问题。然后采用均匀化方法求解结构的宏观材料特性，从而得到材料宏观 特性与微结构尺寸之间的函数关系，而通过优化微结构尺寸的各种组台就可以得到最优 的宏观结构拓扑分布。1 9 9 0 年g u e d e s 和k i k u c h i ”i 提出了更详细的包含二维和三维结构 的均匀化算法，把结构设计区域划分成许多具有h i 同尺寸的孔涮的微结构见图( 12 ) 。 图1 i 带方孔的微结构 并以微结构单胞的几何尺寸和方位角为设计变量，将拓扑优化彻底转化成较简单的尺寸 优化问题，然后通过准则法或数学规划法，确定设汁区域各处的材料密度分布，从而得 到结构的最优拓扑。 均匀化方法在数学和力学上的理论推导十分严谨，但计算复杂，特别是均匀化结构 弹性张量的求解非常麻烦。因此均匀化方法一般多用于拓扑优化的理论分析很少用于 第一章绪论 宏观结构拓扑优化实际问题的求解。 密度惩罚法( s l m p )密度惩罚法s i m p ( s o l i di s o t r o p i cm a t e r i a lp e n a l i z a t i o n ) 是对均 匀化方法的改进与简化，其计算方法比较方便，提高了运算效率。该方法假设材料密度 在单元内是常数并以其为设计变量，而材料的插值特性用单元密度的指数函数来模拟。 这种做法开始不被看好，因为对应某一单元密度，尽管我们能算出与其相应的复合材料 密度参数，却没有相应的实际材料可以利用，在制造上存在一定难度。但是b e n d s o e 和 s i g m u n d 证明这中属性随单元密度改变的材料插值模型在理论上是可以存在的【1 3 】。 如果我们以结构的柔度最小作为目标函数，那么一个密度惩罚法的模型可以描述 为： m 砌：m ) = u t k 忙。e ：i ( p p ) 刁u e r k 。 s t ( 1 5 ) 其中k 为总刚矩阵，“总体位移向量，f 为总体载荷向量，p 是单元密度列向量，p m i n 是为了防止单元刚度矩阵奇异而引入的最小密度值，通常取为1 0 一。r 就是惩罚因子， 通常情况下取为3 。对于式( 1 5 ) ，我们可以得到目标函数的敏度： 等- r l ( p e ) r l - 1 u t k u 6 ， 以及其要满足的k u h n t u c k e r 条件： 坌z121 + 五一五o + 五1 ：o 8p e ee 2 c 0 ( p 一尸m ei n ) = 0 ( 1 7 ) 五! ( 1 一p ) = o 五o o五1 0 p=l，2，3ee，p p 其中五，2 p o ，2 e 1 ，分别是材料体积约束和单元密度介于i n 和1 之问约束的l a g r a n g e 一 驴e 萨 巳 一 fp一，至 = p p 甜 = k 矿 d k t 大学目i 崎* * 女 乘子。方程( 17 ) 的直接求解是非常困难的，为此s i g m u n d 给出了一个著名的肩发式迭代 格式1 3 3 j ： d ”p w m a x ( p m i 。，名一卅) 巳蟹m “( 卢t n 一& 一删) 巳笔m a x ( p m i n ，巴一所) 以b p r l 0 x d在结构的内部 矽( x ) = 0 x f在结构的边界上( 2 9 ) 1o ( x ) o j 矽t 工) ：o 月1 = - l，。7 、d ，7r 、上，一i + 、“一，一“7 k k 图2 2 基于l e v e ls e t 描述结构的拓扑 于是一个连续体结构拓扑优化问题可以这样描述，以柔度最小为目标函数，以结构 整体体积约束作为优化的约束条件，在给定荷载和位移边界条件下，寻求结构的最优布 第_ 二章水j p 集方法运用于结构拓扑优化 局，即( x ) 的最优解。基于以上假设，水平集函数的拓扑优化模型可以这样来描述： m i n ：j ( u ，) = q 吻削叼( 甜) 占肼( “) h ( 矽) d q s ，：口( 甜，v ，矽) = 三( ，矽) v v u g ( u ，r k ) = 矿( 矽) 一v o = o “f d = u 0 ( 2 1 0 ) 其中何( ) 是h e a v i s i d e 阶跃函数，a ( u ，v ，矽) 和l ( v ，矽) 分别可以表示为： a ( u ，v ，矽) = 锈肼s 耖( “) 占肼( v ) 日( 痧) d q q l ( v ，痧) ：fp v h ( q 疹) d f 2 + j , - v l v f ( o ) a n qq 式( 2 1 2 ) 中的议柳函数与h ( x ) 函数的关系如下： 万( 矽) = 1 d h r ( x )现x ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) p 为体积力，f 为边界荷载。 这样连续体的拓扑优化问题被转化成为寻找水平集函数 ) 最优解的问题。使用经 典水平集方求解优化问题，不可避免的需要求解下面的h a m i l t o n - j a c o b i 方程。 掣= v i i v l | ( 2 1 4 ) 要解此方程我们就必须知道速度场v ，这里我们通过敏度分析得到需要的速度场y 。 2 2 2 敏度分析和确定水平集速度场 对于模型( 2 1 0 ) ，我们用弱形式表达其弹性平衡方程： a ( u ，1 ，) = 三( v ，矽) ( 2 15 ) 对方程( 2 1 1 ) 求缈方向上的f r 6 c h e t 导数： 警，y h 删，勺铲圳q ，6 ， 警加卜轧哪， a 矽 、 一“ 1 6 ( 2 1 7 ) 长安人学硕。i j 毕业论义 ( 警，忱文彩删+ 脚删鬻艘 2 q ia ( 姒矿川c 御g d q + 三筒鼍脚 汜 对于目标函数以甜，矽) ，n f 4 求7 i n 上篚jf r 6 c h e t 导数： 警，沙h 删，勺铲脚 汜 汜2 2 ， 综合方程( 2 1 7 ) 、( 2 1 9 ) 、( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 我们得到： 警，砌小姒删瀹批( w ) 脚眨2 3 ， + 三篙q 将( 2 2 3 ) 代入( 2 2 0 ) 得到： 警，) _ 删锄勺+ 吖诃c 尚，一铲，c w 删q + 湖订 2 触一批占嵩d r 2 4 ， 1 7 第一二章水- 、 ，集方法运h 】于结构拓扑优化 我们把( 甜，w ，矽) 2 勺肼勺( 甜) ( 甜) + p v f v v ( 尚) 一勺肼e i j ( 甜) s 肼( w ) 称为水平集的梯 度函数。它代表目标函数相对于水平集函数( x ) 的零水平集所表示的材料界面的形状敏 度，实质上描述了零水平集或材料界面变化而引起的目标函数值的变化程度。这样，如果 让水平集函数沿目标函数的负敏度方向增加一小量，那么目标函数值将减小，其水平集 向量的修正方程为： 勺( “) ( 1 ，) h ( 矽) d q2 础( 矽) d q + i v ：万( 矽) d q 2 2 5 式中的i v 矽i 是尺度因子。在拓扑优化过程中，常选取( x ) 为符号距离函数，这时l v 矽l = 1 尺度因子在方程中不起作用，但当水平集函数矽( x ) 偏离符号距离函数时，尺度因子使不 同的水平集函数，描述相同的几何变形，以使所构造的结构拓扑优化算法更加稳定，更 具鲁棒性。 如果初始水平集函数是拓扑优化问题( 2 1 0 ) 的可行解，则由修正方程就会使目标 函数j ( u ) 逐渐下降，但迭代序列可能会逐渐失去可行性，违反给定的约束g ( u ，) ，为了 加强约束，需要修正方程中的零水平集的法向运动速度。这可通过将一p ( u ，w ) 投影到约 束函数的切向方向上来实现。我们引入以下方程来计算投影并确定法向速度。梯度在有 效约束函数上的投影表示为： v = - p ( u ，w ) 一2 v g ( u ，w ) ( 2 2 6 ) 其中力是一个大于零的常数，可以由下面正则代数方程决定。 z v g ( u ，w ) i v 矽p ( 矽) d q = 一jp ( u ，w ) i v 矽i ( ) d q ( 2 2 7 ) qq 利用式( 2 2 6 ) 的结果，式( 2 1 4 ) 可以改进为： 詈= y i v 纠 ( 2 2 8 ) 式中的矿就是我们要找的水平集方程的演化速度场。 2 2 3 连续体拓扑优化水平集算法 我们已经建立了连续体拓扑优化的模型( 2 1 0 ) ，并通过敏度分析找到了求解h j 方程的速度场量。下面给出连续体拓扑优化的水平集算法具体描述。 1 初始化。给定设计域q 和初始结构d ，选择水平集函数矽( x ) 进行初始化，如果 长安人学硕1 ：毕业论文 不是符号距禺函数，那么应用f 面的方程，对这个水半集函数进行符号距离初始化处理。 詈+ s 忉( 删v 矽= o 2 求解平衡方程。应用有限元方法求解弹性平衡方程，得到位移场向量u 。 占勺肼勺z ，v 日擒2 三p 讲擒+ 三川l v 矽l j 艘 3 求解目标函数共轭平衡方程。求解目标函数的共轭平衡方程，得到共轭位移场 向量w 。 口c v ，w ，痧，：三三兰羔竺掣c ) 谢q w l q ：。v v u q 蝴 。“ = ( 勺( “) ( v ) + p v - r v v ( v - 罱 ) 一勺( 材) e k l ( w ) ) 计算水平集方程速度场v 。 v ( x ) = 一p ( u ，w ) 一2 v g ( u ，w ) 6 计算并涣化水半集万程。 丝o t = 矿( x ) 酬 7 符号距离函数重新初始化。 誓+ s i 黟( ) ( m _ 1 ) = o 川，2 ，3 ，聊 詈 黟( ) ( 1 v 小1 ) - o 扛1 ，2 ，3 ，聊 8 判别收敛性。检验是收敛，若满足，得到收敛解；否则重复步骤1 到7 直到得到 收敛解。 2 2 4 算例 运用m a t l a 计算并作图，我们用几个经典的拓扑优化算例来证明传统水平集函数 的有效性。 算例1 ：右端中部受力悬臂梁拓扑优化 如图( 2 3 ) 所示，悬臂梁左端固定，右端为自由端，右端中间受竖直向下的力i k n ， 设实体材料的弹性模量和泊松比分别为e = 2 0 0 g p a 和v = 0 3 ，体积比限制为0 3 5 ，网格 为8 0 x 4 0 。目标函数取为结构柔度最小，模型取为( 2 1 0 ) 。运算迭代见图( 2 4 ) 。 1 9 第二章水、f ，集方法运用于结构拓扑优化 图2 3 悬臂梁模型1 ； 图2 4a 初始拓扑； ( 二 图4 1e 为开孔半径，q 为开孔后的定义域 p 如果我们想知道变化后依然同胚的两个拓扑结构之间的目标函数的变化，就需要重 新定义拓扑导数。这里我们给出图( 4 2 ) ，它表示了两个同胚的图形的拓扑导数。 【卧5 e 图4 2 其中p 为已开孔b p 半径，6 p 为扰动半径 在图( 4 2 ) 中，设定义域q p 内x 点处已经开了一个小# lb p ，它的半径为p ，现在给一个 很小的半径扰动沈，使得b 变为b ，c ，定义域q 变为q c ，这样定义域的目标 pp4 - n ppp 口 函数发生了变化，并产生了拓扑导数，但定义域q 和q c 的拓扑性质没有发生变化， pp + n d 两者依然同胚。 ( x ) - p l i r a 。磊j 丽( o e 蕊+ s e 再) - j 鬲( q 丽e ) ( 4 2 ) b e - c o 式( 4 2 ) 给出了两个同胚拓扑的拓扑导数定义。 第四章拓扑导数理论j 水j p 集方法 4 2 拓扑导数的计算 对于定义( 4 1 ) ，设以柔度最小为优化模型的目标函数，司表不为： 以甜) = jq 啪c o ( u ) e k l ( u ) d q ( 4 3 ) 其中q 为给定的设计域，于是其位移解z ，满足下面的弱平衡方程： 占s 扩似弦一矽q 。占擒+ i 矸朋 4 其中“f i 2 甜o ，v 矿u 。 s u = u - 甜表示开孑l 前后位移场的变化量，q 曰表示去掉孔b 后 的设计域，即q 。= q b ，于是有： 占勺剐( v ) d q 2 二乙嘞) 谜v v u “l r 飞 ( 4 5 ) 其中乞和r 甜分别表示由位移场“和甜引起的在域b 边界r 上的分布载荷，当b 很小 时，它们可以用b 的形心点处的应力分量近似。引入一个共轭的位移量w ，使它满足： 三勺肼勺v c k l 挑d q2 三吖w v 嬲u 石 其中f w 和z - w 分别表示由位移场w 和w 引起的在域b 边界r 上的分布载荷。它们同样可 以用b 的形心点处的应力共轭分量来近似。为了简化( 4 1 ) ，根据文献 3 0 的证明有： ，( q ) 一j ( q ) 2 p 专0 m e a s ( b e ) ( 4 7 1 一p l j im oi 五i 硼r 毛庐“砌 ) + 毛庐砌弦“万7 叫出 考察式( 4 7 ) ，我们可以看到求一个目标函数的拓扑导数关键是计算开孔前后引起的位 移场及其共轭位移场的变化，这需要求解方程( 4 5 ) 和( 4 6 ) ，它们相当于解没有体力仅有 边界分布载荷作用时的弹性平衡方程，由于所开的孔非常小，其半径趋近于零，可以用 中心开孔的无穷大圆板来近似。这里将开孔的形状取为圆，需要计算的是圆内及其边界 上开孔前后位移场的变化，而这一位移场的变化又可以看作是由于开孔前后圆边界上应 力变化所引起的，对此在计算拓扑导数点即开孔中心建立局部坐标系，如图( 4 3 ) 所示。 假设材料单行模量为e ，泊松比为 l ，且其坐标轴的方向与位移场所产生的应力场的主 方向一致，这里用峨和衍。表示材料替换前后x 方向和y 方向主应力的变化量。当仅 长安人学硕i j 毕业论文 有x 方向主应力发生变化主使用极坐标表示圆周上作用的分布载荷： ji y ， 名夕 0 i 一、k ( 4 8 ) 图4 3 中心开孔的无穷大圆板 其中p 是圆孔的半径，用万“，万分别表示极坐标系下径向位移分量和环向位移分量。 令r = p 可得小孔边界上由d o x 引起的位移变化分量万“，和万虬口可得： 帆= 一 半+ c 半徊s 2 印譬 9 ， = 丁3 t o o ) s i n 2 臼譬 同理可以得到由d o y 引起的位移变化分量万z ，少d u 妒。 畴= 一 半+ c 半徊s 2 刁等 万= 丁3 t o o ) s i 删等 ( 4 1 0 ) 这样把公式( 4 9 ) 和( 4 1 0 ) 相加即可求得圆孔边界上的总位移场变化量。把它表示在直 角坐标系下，可得： 妒之等川h ，等x 万：一2 冬x + ( 1 “) - 缸- i - y 3 e 、 。 ( 4 1 1 ) 由于开孑l 的半径很小可以看作一个点，这样我们就近似得到了欲求的位移场变化量如， 同样的求得共轭位移场变化量8 w 。结合( 4 5 ) 、( 4 6 ) 、( 4 1 1 ) 和( 4 7 ) 可以得到结构 一点开孔后的拓扑导数近似解： 黧胍肌 衍衍 第四章拓扑岢数理论j 水，p 集方法 辱( 曲= 锄勺( z ，( 功一p + 锄( “嘞( 叻一等一等蚓) t r a e e ( 口r w ) ( 4 1 2 ) 式中仃i t ，仃”分别表示由位移场甜和共扼位移场w 产生的应力张量。 4 3 拓扑导数算法与水平集方法的结合 如第三章所述，结构拓扑优化的水平集方法是依靠速度场驱动材料界面的运动，实 现材料界面的融合和分离以改变结构的拓扑，得到最优解。这种方法不能在材料内部自 动生成孔，因此给定的设计结构的初始拓扑通常都比较复杂，例如在二维情况下，初始 拓扑是有许多孑l 的平板，并在优化过程中依靠这些孔的融合和分离来形成最终的优化拓 扑，如果给定的初始拓扑过于简单，则无法得到最优的设计结果，这一点已经被第三章 给出的算例证明。如果结构的初始形状和拓扑设定过于盲目并且依靠它们的演化来寻找 最优拓扑，将严重阻碍结构拓扑优化水平集算法收敛速度的进一步提高。现在我们知道， 在一个拓扑结构的内部一点开孔后其目标函数就会发生相应的变化并产生拓扑导数，因 此通过计算该点的拓扑导数信息，也就可以确定在拓扑中开孔的点。于是我们自然就想 到：通过计算拓扑导数来确定在拓扑形状中开孔的点，并利用结构拓扑优化的水平集方 法融合或移动这些孔，最终得到最优解。既然通过计算拓扑导数可以在合适点上开孔， 那么也就可以对无孔的简单的初始拓扑进行拓扑预测，即在合适的点上开孔，以此来优 化无孔的简单的初始拓扑，然后运用结构拓扑优化的水平集方法对已经有孔的拓扑结构 进行优化，融合或移动这些孔。通过计算拓扑导数，我们仅在拓扑导数负向最大的点上， 也就是在目标函数下降率最大的点上开孔，这样可以在较少的开孔数的情况下，加快收 敛速度。 现在我们得到一个拓扑导数与水平集