（基础数学专业论文）时间模上带极大值项的微分方程的渐近性和振动性.pdf

摘要 时间模( t i m es c a l e s ) 它是测度链( m e a s u r ec h a i n s )的特殊情况， 近年来，时间模上的动力学方程作为数学的一个新领域得到了人们的普 遍重视。所谓时间模就是指实数集r 上的一一非空闭子集，如 r ，n ，n + ，h n = h k ：k e z ，h o ) ，9 2 = 舀：k z ，9 i u o ) 等都可以是时间模。 近十年来，时间模上的动力学方程的研究得到了较快的发展，国内 外许多数学大家如e r b el ，b o h n e rm ，p e t e r s o na ，a g a r w a lr ，k a y m a k c a l a n b ，l a k s h m i k a n t h a mv 等分别致力于时间模上哈密尔顿系统，时间模上动 力学方程的边值问题以及时间模上动力学方程的稳定性、振动性、渐近 性等方面的研究。总的来看大家所采用的研究方法大致都是把微分方程 与差分方程研究方法进行比较、统一，然后再推广到其它时间模型上。 本论文主要由三部分组成： 第一部分给出了时间模上微分方程的一些基本知识。 第二部分讨论了下列时间模上带极大值项的微分方程的渐近性 x ( f ) + p ( 咖( h ) 6 + 9 ( ，恐i r ( s ) x ( s ) = o ， ( 1 ) x ( 小p ( 咖( h ) 卜q ( f i ，愁i r ( s ) x ( s ) = o ， ( 2 ) 其中r ，0 ，o - 10 ，p ( f ) ，g ( ，) ，r ( t ) 为实函数在条件 g o ) o ，o ) 0 i 且腓) 。鞲】r ( s ) f = m o ) 下，得到了如下结果 ( i ) 如果下列三条件之一成立，则方程( i ) 的所有非振动解x ( f ) 满足 l i m “1 = 0 ( 1 ) 存在常数p 一1 ，使p p o ) 0 ； ( 2 ) 存在常数p e 【o ，1 ) ，使o p d ) 兰p ； ( 3 ) 存在常数，+ b 1 ，使p 。p ( t ) p ( i i ) 如果存在常数p c 一】，使，( ，) s l ，则方程( j ) 的非振动解x ( ，) 满足熙i x 刚= 。 ( i l i ) 如果存在常数p e ( - 1 ，o 】，使p s p ( ，) 兰0 ，则方程( 2 ) 的非振动解 x ( f ) 满足 塑x ( f ) = o 或 骢障= o o ( i v ) 如果存在常数，卫 - p 口且存在常数p 一1 ，使p ，“) 一i ，且 n m s u r m ) ，溉端奶一； ( 2 ) 一1 - 1 u 0 a r ee x a m p l e s o f t i m es c a l e s s i n c et h el a s td e c a d e ，t h e r eh a v eb e e nm u c ha d v a n c eo nt h ed y n a m i c e q u a t i o n so nt i m es c a l e s m a n ym a t h e m a t i c i a n s ，s u c ha se r b el ，b o h n e rm ， p e t e r s o n a ，a g a r w a l r ，k a y m a k c a l a nb ，l a k s h m i k a n t h a mve t c ，h a v e r e s p e c t i v e l yd e v o t e dt or e s e a r c h i n gt h eh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，b o u n d a r yv a l u e p r o b l e ma n dt h eo s c i l l a t i o n ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r , t h es t a b i l i t yo ft h e d y n a m i ce q u a t i o no nt i m es c a l e s ，i ng e n e r a l ，t h er e s e a r c hm e t h o d st h e yu s e d a r ej u s ta st h ef o l l o w i n g ：f i r s t ，t h e yc o m p a r et h em e t h o do fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t ht h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，t h e nu n i t et h e m f i n a l l y , e x t e n dt h er e s u l t st oo t h e rt i m es c a l e s t h ep a p e ri sf o r m e db yt h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ep r e l i m i n a r i e so f t i m es c a l e s i nc h a p t e r2 ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h en o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no ft h e w h e r er 0 ，o - 0 p ( ，) ，q ( 嘎r ( t ) a r er e a lf u n c t i o n s u n d e rt h ea s s u m p t i o n q ( t ) - 0 ，r ( f ) o ，a n d c 口( f ) 。；m ，一a 。x 卅，o ) f o 。， ( 3 ) l 2 o o | | 一 工 x x 叫 x v骝鞲 g 叮 十 一 一 一 x x p p + + r x n0 a u q e w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t ( i ) a l ln o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sx ( t ) o fe q u a t i o n ( 1 ) s a t i s f y i n gl i 婴x q ) = o i f o n eo f t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d 0 ) t h e r ee x i s t sc o n s t a n t p 一1 s u c ht h a tp p ( ，) o ； ( 2 ) t h e r ee x i s t sc o n s t a n tp 【o ，i ) ，s u c ht h a t 0s ，o ) p 0 ) t h e r ee x i s t sc o n s t a n tp + p i ，s u c h t h a t b 蔓p ( f ) p + ( i i ) i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n tp 一i ，s u c ht h a tp p ( f ) 一1 ，t h e na l l n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sx ( t ) o f ( 1 ) s a t i s f y i n g ! i m 】= ( i i i ) i f t h e r ee x i s t sac o n s t a n tp ( - 1 ，0 】，s u c ht h a tp ! p ( o - t 为前跳算予( f o r w a r dj u m po p e r a t o r ) ，称 p o ) = s u p s t ：j f ，我们称 r 为右分散点( r i g h t s c a t c e r e d ) ，而如果p “) o 邻域u = o j ，t + j ) ，使得对所有的j u ，都有 l 驴p ( f ) ) 一，鲫一f 6 ( f ( f ) 一s 1s 占眦) 一s | 那么称，6 ( r ) 为厂在r 点的a 一导数。很明显它蕴涵了t = r 和，= z 两种情形的导数， f下f(o-(t)-f(t)，伪右分散点， 心卜毖，。纛纛 如果一个函数的导数是存在的，则称该函数是可微的。下面是关于导数的几个有用 ( a ) 如果f 6 和9 6 存在，那么a f + b g 在r 点可微，且 ( + 船) 6 ( r ) = 6 ( ，) + 6 ( t ) ( b ) 如果f 6 存在，则在，点连续 ( c ) 如果6 存在，则j ，b ( f ) ) = ( f ) + ( 驴6 0 ) ( d ) 如果6 和9 6 存在，则f g ：t 斗j r ，在，t 可微，且 愧) 6 ( f ) = g p ( ) ) ，6 ( f ) + 9 6 ( f ) s ( o ( c ) 如果6 和9 6 存在，且- g o ) g 。o ) 0 ，则 6 = 糕产 ( f ) 如果f 在 d ，棚内可微，x c n n t 陋，6 】有f 6 ( ，) 0 ，则厂( f ) 在h6 1 单调不 ( g ) 如果g ：t _ r ，在f t 上可微，并：r - r ，且在r 上连续的可微，则 ( 厂。g ) 6 0 ) = f b 皓塘6 fep ，盯( f ) 】 时间模上的积分，是先定义原函数，再定义定积分如果f 6 = - 厂，称f 是的一 个原幽毅，开且定义积分 f ，( ，蛤r = f ( 6 ) 一f g ) 关于函数的可积性，结论是右稠密连续函数一定有原函数，从而口j 积下丽是关 于积分的几个有用公式：令，g c 。i t ，月l q b ，c t ，则 ( a ) f ( f ) + b g ( o l a f = 彳f 厂( f ) f + 曰f g o 皿，其中爿，b 是任意常数； ( b ) f 厂( f 蛤，= r ，( f 必r + f ( f 必，； ( c ) f 厂6 ( f 皿，= ( 6 ) 一，o ) ； ( d ) r ( ) 几b ：0 沙o ) ； ( e ) f m = ! i m f f ( t ) a t ； ( f ) r ( f ) 9 4 0 ) ，= 厂( f k ( f ) e f 6 ( f k o ) 出， ( g ) 如果，( f ) g ( f ) 对所有f d ，6 ) 成立，则有e ，( f ) f 兰r g ( f ) ， 当丁= j r 时，6 ) = ，( f ) ，f 厂( f b ，= f ，o ) m ； 当7 ：z 时，厂a ( f ) ：a s ( o ：，o + 1 ) 一( 4 f o p ：b - i ，o ) ； 当丁= h z = 弘 ：e z 时，其中 ，o ，f ，o 皿f = 窆( 肋如 1 3 时间模上的指数函数 如果函数p ：t _ r 满足1 + o 扫o ) o ，t t ，称p 为非退化的r e g r e s s i v e ) ，记贸 为所有的右稠密函数连续且非退化函数的集合，若对任a v , jp m ，记指数函数 e ，r ( f ( p ( f 她) ，眠s 吼 其中己( ：) 是柱变换函数邑( ：) ：j 尘丛型， o ，如果。贸，则指数函数( 1 ，1 0 p e p )其中己( z ) 是柱变换函数邑( z ) = 广”u 如果e 贸，则指数函数) iz，h 20 是初值问题 p ( t ) = p ( 啦( f ) x ( t o ) = 1 的唯一解。定义婀+ = s r ：i + ( f ) 厂0 ) o ，7 1 ) ，如果p 、咒，则e p o ，。) 是非零实 值函数a 如果p e 贸+ ，则e ，( f ，f 。) o 且e ，p ( f ) ，。) = d + ( f 扫o ) 】e p o ，f 。) 。 当丁：r 时时，p ，o ，s ) ：。d r “，p 是连续的 当，= z 时，勺( ，s ) ：矗( 1 十p p ) ) ，。 t o ， ( 2 1 ) 其中r ( o ，c o ) ，口 o ，。) ，t o t ，弘q ，c ( 乇，c o ) ，r ) 记7 = m a x o - ，f ，对任意 妒c ( k r , 乇】，r ) ，易知方程( 2 1 ) 存在唯一解xec 眠一7 , f 。d 满足初始条件 x o ) = 伊( f l fe 【f 0 一r , 】 当t = r 时，方程( 2 1 ) 即为 g ( f ) 十p o 硼+ g o ) “鬻 f ) x o ) = o ， ( 2 2 ) 当t = n 时，方程( 2 1 ) 即为 a ( x 。+ p 。z 。一 ) + g 。m a x r 。x 。= 0 f 2 3 1 - e ir r ，f 关于方程( 2 2 ) ( 2 3 ) 的振动性与渐近性，已有很好的结果。近年来又有许多人考虑 时问模( 测度链上) 动力学方程解的振动性与非振动性( 见 8 - - 1 4 1 ) 。时间模上动力 学方程的振动性是这样定义的：如果x ( f ) = 0 ，则称方程( 2 1 ) 的解x o ) 在，点有广义 零；如果x o ) x p ( f ”c0 ，则称x ( ，) 在o ，a o ) ) 上有广义零，如果方程( 2 1 ) 的一个非 平凡解在k ，6 上没有两个或更多的广义零，则称这个解在k ，6 】上是非共轭的，如果 存在c 【f o ，c 。) ，对每一个d c ，方程( 2 1 ) 的一个解在k ，d 】上是非共轭的，则这 个解在k ，0 0 ) 是非振动的；反之，则称它在【，。，m ) 上是振动的。另外，方程( 21 ) 的 振动解也可等价的叙述为：如果方程( 2i ) 的一个非平凡解有无限多个广义零，则 称它为一个振动解，或者也可叙述为：如果方程( 2 1 ) 的一个解既不是最终正解又 不是最终负解，那么它称为振动解，如果( 21 ) 的每个解都是振动的，则称这个 方程是振动的。 我们称条件( h ) 成立，如果 g o ) ! o ，r o ) o 日r q o ) 。m 【。a 。x 川r o ) f = 。 ( 24 ) 定理2 1 发条件( h ) 成立，如果存在常数p ( 一1 ，0 ，使 p p 0 ) 0 ，f 2 5 ) 则方程( 2 1 ) 的非振动解x ( f ) 莳足i i m x ( t ) = 0 一9 一 证明发。“) 为( 2 1 ) 的一个最终正锵，令z ( f ) = x o ) + p ( f h ( ，一r ) ，则由方程( 2 1 知有z 6 ( r ) 0 ，从而4 t ) 单调不增。 若存在f 。，使：( f ) c o ，则当f 2 f 时有在z ( f ) 蔓z ( f 1 ) c 0 于是， 。( f 一。) 一p ( f 一r ) 一x ( f ) 一p o 一r ) = 一z ( ，) 一z ( 2 6 ) 从而当，t 2 t l + 盯时，有 z 6 ( f ) = 一q ( f ) ，鞴】r ( 4 4 4 sz ( 1 ) g d 斗m a 。x 】7 b ) 对一l a 两边r t ：到f 积分，就有 z o ) 墨z ( f ：) 十z ( f ) lq ，o 尝】r b ) 虮 由( 2 4 ) 知必有! 受z 0 ) = 一m ，再由( 2 6 ) 知有 鲤x t ) = 。另一方而，由p o ) 一1 及 z ( f ) = x ( ，) + p ( ，一r ) c0 知 x o ) ，时，z ( f ) o ，由单调有界原理知 l i m z ( f ) = l 0 若，0 ，则有x o ) = z ( f ) 一p ( f h o r ) z ( f ) ，从而有 z 6 m g 小m a 。x 1 ，b h g ) 争l q ( t ) 。鞴】7 0 ) 对e 式两边从f ，到，积分，就有 z o ) = ( f 3 ) 一三i 与z “1 0 矛盾，故必有工= 0 i 己x = l i r as u p x ( t 1 ，若x + 且x t ，一r ) x “小于是 口“) ，2 笔】r ( s ) ”斗一( f 斗o 。) m ，则存在点列，i 使! 受f j = m ，l ，i + m 。x 0 ，) = c 。 ：q ，) ：x t ，) + p o ，b o ，一r ) ( 1 + p h o ，) ，o 。( f ，m ) ， 与三：o 矛盾，故。e 【0 ，0 。) 且存在点列，l 使! 鳃，= m ，上t _ ，l 。i r a 。x “) = x + 由于 p l ，l x o ，一r ) 都有界，从而存在收敛子列，不妨设为它们本身，于是 1 0 o = ，l + i r a 。z ( r ，) = ，j 。i m 。x 0 ，) + l ，i r a 。( t ，) l ，+ i r a 。x o ，一r ) ( 1 + p ) x o ， 从而有x + = 0 ，故 受x o ) = 0 再没x o ) 为( 2 1 ) 的最终负解，令z ( f ) = x o ) + p o b ( f r ) ，则由方程( 2 1 ) 知1 有：6 ( f ) 0 ，从而z ( f ) 单调不减 若存在f ，使= “) 0 ，则f f 时有z o ) z ( t ) 0 ，于是， z 0 一r ) c p 似0 一r ) 一x o ) 一p ( t ) x ( t r ) = 一z o ) 一z “) ，( 27 ) 从而当t ，2 f i + o - 时，有 z 6 ( r ) = 一q o ) ，。m 【一a ，x ，】，( s l x g ) z o 一) 9 0 ) ，。m f 一a 。x ，】r g ) 对上式两边从f ：到f 积分，就有 z o ) z ( f z ) + z 呲g 州m a x ，o m - - ，o o o 寸。o ) ， 可见必有 甥z ( r ) = m ，再由( 2 7 ) 知有3 骢x ( ，) = 一m 另一方面，由p o ) 一1 及 z ( f ) = x o ) + p o 扛o r ) 0 知 z o ) ，一p 6 ) x ( t r ) x 0 一r ) ， 从而x ( f ) 有界，矛盾故 屯，使当f t ，时，：o ) s0 用权由单调有界原理知 嫩z o ) = 三墨。 若lc0 ，则有x ( f ) = z 0 ) p o h o r ) z ( f ) l ，从而有 z 6 ( f ) 叫。鞴】r g b o ) 一圳小m a 。x 一 对上式两边从，到，积分，就有 z o ) z 也) 一fq ，罩警d ，b ) “寸一m ( f _ m ) ， 与：o ) 0 矛盾，故必有= 0 汜x 。! i m i n x o ) ，若矗= 一。，则存在点列，l 使，l i r ar ，= 0 。，l _ + i r a 。x o ，) = 一。且 x “一r ) x o ) ，于是 ：t j ) = x ( ，) + p 0 ，h o ，一r ) ( 1 + p h o ，) + 一m o ，m ) ， 与上= o 矛盾，故矗e 【- o 。，o ) 且存在点列t ，i 使p l i m 。f ，2 m ，且! i m x o ，) = h 由于 p ( f ，l x o ，一r ) 都有界，从而存在收敛子列，不妨殴为它们本身，于是 0 2 姆= ( o ) 2 姆x ( o ) + ，l i m p ( t 、i l i m x ( o r ) ( j + p ) 五o 从而有x = 0 ，敲 鳃x o ) = 0 定理2 1 证毕。 注2 1 当p = 0 时，方程( 2 1 ) 中的p ( f ) = 0 ，方程为非中立型的时滞方程，定理 2 1 的结论电成立， 定理2 2 设条件) 成立，如果存在常数p 0 ，1 ) ，使 0 p o ) p ，( 2 8 ) 则方程( 2 1 ) 的非振动解x ( f ) 满足 璺x ( f ) = o 证明设x o ) 为( 2 1 ) 的一个最终正解，令z o ) = x o ) + p o 扛o r ) ，则最终有 z o ) x ( t ) 0 由方程( 21 ) 知有= 6 0 ) o ，从而i i m z ( f ) = 【o ，0 0 ) 记x = l i m i n f x ( ，) ，若0 o 及t i ，使当，t ，时 x o ) c 于是存在f ：，当f r ：t 时，有 z 4 0 ) = 一g o ) ，。m 【，一a 。x ，1 r ( ，扛0 ) 一cg ( f ) ，。m 【f a ，x ，】，g ) 对上式两边从f ：到，积分，就有 z o ) z ( f ：) 一c f 目，霉笔】，o ) “斗一m ( f 斗c o ) 与z ( f ) o 矛盾故x = o 于是存在点列 ，i 使j 螬，= 。，l ，i m x o ，) = 0 由 0 ( i p h 0 ，一r j o p o ，j ) x 0 厂r ) 十p o 厂r b t 厂2 r j = x o 户z 0 小z o ，一r ) 及：受b 0 ，) 一z 0 ，) + z o ，一r ) ) = o 就知有；受x o ，一r ) = 0 ，于是 ! + i m 。= o ，) = ，i + i m 。( x ( ，) + p o ，扛0 ，一r ) ) = o 从而! i ez ( f ) = 0 再由z ( f ) x o ) 0 知l i m x ( t ) = 0 再设x ( f ) 为( 2 1 ) 的最终负解，汜z ( ，) = x ( f ) + p ( r b 一r ) ，则由方程( 2 1 ) 知最 终有z 6 ( f ) 0 ，从而l i mz ( t ) = ( 一。，0 1 记x ：l i r a s u p x ( f ) ，若o x 。一m ，则存在常数c p 1 ，使 p 。p ( f ) p + ， ( 2 9 ) 则方程( 2 i ) 的非振动解x ( f ) 满足 受x ( f ) = 0 证明设x “) 为( 2 1 ) 的一个最终正解，令z o ) = x 0 ) 十p o k ( ，一r ) ，则最终有 z o ) x o ) 0 由方程( 2 1 ) 知有z 6 ( f ) o ，从而 驷= ( f ) = e0 , c o ) 注意到 z 0 ) = x ( f ) + p o ) x o r ) n x ( t r ) ， 就有 i 翟p x ( f ) l ，知l = o ，敞魄x ( f ) = 0 再没x o ) 为( 21 ) 的最终负解，记z o ) = x o ) + p o h o r ) ，则最终有z ( f ) x ( f ) o ，从而! 蛩。o ) = 三( _ g o ，o 】注意到， z ( f ) = x o ) + p ( f ) x ( ，一f ) p + x o f ) ， 就有 - i 凹叫啦魄掣= 寺 记x = l i m s u p z ( f ) ，则同定理2 2 一样可知，x + = o ，于是存在点列1 一f i 使 ；受o ，一r j = m ，且! 骢x d ，一r ) = o 由于p ( ，) 有界，从而有；氅b o ，扛e ，一r ) ) = o ，于 是有 。熘z 皓一l i m ( x 【t 少p ，一r 归蛩x 址l i 凹彤( 峨l i r a 。z ( t 口+ r ) = i l 由于p + 1 ，知l = 0 ，故1 i m x o ) = 0 定理2 3 证毕 定理2 4 没q o ) 0 ，o - r 且存在常数p ：p 一l ，r 0 ，使 p p o ) p ：，( f ) r ( 2 1 0 ) 如果 f q ( t ) a t = 。， ( 2 1 1 ) v 则方程( 2 i ) 的最终正解x ( f ) 满足l i m x o ) = 0 证明不妨设p 。( - 1 ，o x p ：( o ，m ) ，设x ( f ) 为( 2 1 ) 的一个最终正解，记 z o ) = x 0 ) + p ( f 卜( f r ) ，则由方程( 21 ) 知有z 6 0 ) 0 ，从而：o ) 单调不增若存在 ，_ 使z o 。) 0 ，则由z o ) 的定义及( 2 1 0 ) 有 z ( f ) = z ( f ) + p ( f 扛o r ) x ( f ) + ，：z ( ，一r ) ( 1 + p ：) m a x x ( t ) , x ( t r ) ， 从而有m a x x o r ) 去又因为一 f ，嗽喃硝m 。a x 门r ( ，) ! 了，于 是由方程( 2 1 ) 就有 ：6o ) 叫( f ) 小m a 刊x ，0 卜。) 一而l rg o ) 对 式两边从岛到f 积分，就有 z o ) z ”而l r f 舭“斗一。( f 斗c 。) ， 与z 0 ) 0 矛盾，故必有上= 0 记x + = l i m s u p x ( ，) r 若x = m ，则存在点列 ，i 使! 受2 。，l i r a 一，) = ，且 x o ，一r ) x o ，) ，于是 z o ，) = x e ，) + p 0 ，b ( f ，一r ) 0 + n h t ，) - 。o 斗。) ， 与l = o 矛盾，故x e 【o ，。) 且存在点列 ，i j i m f ，= 。，j j _ l i r a x o ，) = x 由于 p o ，l x b ，一r ) 都有界，从而存在收敛子列，o i 妨发为它们本身于是，若 i i m p o ，) 0 ，则有 o = l i r az o 产一l i r a x 0 熄p o ) l i r a 。一，一r ) 玎 o 若l i m p 0 ，) c o ，则有 0 - l i mz e ，) = 一l i m x o 小p m p ( t 垅妫x r ) = ( 1 增扛 o 从而总有x + = 0 ，故! i m 、。x ( f ) = 0 定理24 证毕 定理2 5 设条件( h ) 成立，如果存在常数p 0 ，使x 0 ) c 对所有f i o 成立，于是 z 6 ( f ) = 一g ( f ) 平a x ，0 h 0 ) 一c q ( t ) 卵a x 、r 0 ) j 【一口，o l0 6 i 口l 对上式两边从f l f 。+ o - n t z 积分，并令f - - 3 , 0 0 ，利用( 2 4 ) 式就知有 鳃z ( f ) = 一m ， 与z ( f ) 0 矛盾，故存在，：，使z ( f ：) 0 ，从而当f ! ，：时有：o ) z ( t ：) 0 由 z “：) z ( t ) = x ( t ) + p ( ，) x ( f r ) p ( f ) x ( ，一r ) p x ( t r ) ( 2 15 ) 知。o ) 尘奠对所有f f ：+ ，成立，从而当，f ，：+ ，+ 盯时有 z 6 ( f ) 叫( f ) 叫m 。a x “，o h 。) 一掣帆r r 卜l a 。x l r 。) 对上式两边从f ，到f 积分，并令f 斗m ，利用( 24 ) 式就知有l i m z t ) = 。，再由( 2 1 5 ) 知l i m x ( t 1 = 一c 。定理2 5 证毕。 推论2 i 在定理2 5 的条件下，方程( 2 1 ) 的所有有界解振动 下面考虑方程 i x ( f ) + p ( f ) x ( f r ) 6 一g ( f ) ，。m f a ，x ，j r ( s ) x ( s ) = o ( 2 1 6 ) 引理2 1 殴条件( h ) 成立，存在常数p ，使p p o ) 0 如果x ( f ) 为方程( 2 1 6 ) 的非振动解，z o ) = z ( f ) + p ( f 卜( f r ) ，则l i m z ( t ) = o 或i i m k ( ，l = c 。 。 证明殴x 0 ) 为( 21 6 ) 的一。个最终正解，记z ( t ) = x o ) + p ( t ) x ( t r ) ，则由方程( 21 6 ) 知有z 6 ( f ) 0 ，从而z 0 ) 单调不减下面分两种情形讨沦 ( 1 ) 若存在某f ，使z ( f ) 0 ，则当t t 。时有z ( f ) z ( t 。) 0 ，从而 x o ) x ( f ) + p o m ，一r ) = z o ) z ( t 。) ( 21 7 ) 于是 z 6o ) 2 q ( f ) 。m “一a 。x ，】r g ) x 0 ) z ( f - ) q 0 ) ，。m 【，一a ，x ，l r g ) 对上式两边从t 到t 积分，就有 z o ) z z 川iq ( w ，牙氅】r g ) w 呻m ( f - + o 。) e l 一口l 从而有l i m z ( t ) = o 。由( 1 2 1 7 ) 还有i i m x o ) = 。 ( 2 )若对所有的f “有z ( f ) 0 ，则有l i r a z ( t ) = 0 我m i i i 明= 0 若 l ( 0 ，贝0 有2 0 ) 工 0 ，与情形( 1 ) 类似的讨论有l i m z ( t ) = o 。，与= 0 ) 10 矛盾，故= 0 此时还有i i 巴9 f x ( j 。o _ 设x o ) 为方程( 2 1 6 ) 的一个最终负解，则= ( f ) 0 ，从而x ( f ) 不增下面分两种 情形讨论 ( i ) 若存在，“使z ( f ) 0 ，从而由 三z ( ，) = x ( f ) + p ( f b o r ) p ( f 扛( 一r ) ( f r ) 因此有x ( f ) 三p 一1 ，使p p ( f ) 0 ，如果x ( f ) 为方 程( 2 1 6 ) 的1 f 振动解，z o ) = x ( f ) 十p o b ( f r ) ，则 鲤x ( f ) = o 或! 驷卜0 1 = o 。 证明设x ( f ) 为方程( 2 1 6 ) 的一个最终正解，z ( f ) = x ( f ) + p o h o r ) ，由引理2 t 知有两种司能： ( 1 ) l i r a z ( t ) = ，此时有1 j m x ( ，) = o o i + ( 2 ) z ( ) o ，不减且 受：( r ) = 0 这时，由，( f ) 一p ( ，h ( f r ) 曼x ( ，一r ) 知x 0 ) 有 界记x + = l i m s t p x ( ，) ，则x o 且存在点列i ，i 使j 嗯。，2c 。，月一，l i r a x t ，) 2 x 由 于p 0 ，l x 0 ，一r ) 都有界，从而存在收敛子列，不妨设为它们本身于是有 0 _ l i r a 一乒l i r a x o ，) + l i 婴p ( t ) l i r a 。x 6 ，一r ) x + + = 0 + p h o 因此有x + = 0 t ! i m 4 0 2 0 设x o ) 为方程( 2 1 6 ) 的一个最终负解，z ( ，) = x o ) + p ( f h “一r ) ，由引理2 1 知有 两种可能： ( i ) j i m z o ) = o o ，此时有l i y u ( o = 一。 ( 2 ) z 0 ) 0 ，不增且! 受z o ) = o ，这时，x ( t r ) 一p o h ( f r ) x o ) 知x ( f ) 有 界记x = l i , m i n f x ( ，) ，则置o 且存在点列b i 使 受，= o 。，r i m x o ，) = k 由 于| j ，o ，l x o ，一r ) 都有界，从而存在收敛子列，不妨设为它们本身于是有 o _ 一l i r a z o 乒，i i m z o 少船p o ，) p r o x e ，一r ) 狐+ p x = 0 + p h 。o 因此有z = 0 ，故! 姥z ( ，) = 0 定理证毕。 定理2 7 没条佴( h ) 成立，如果存在常数p 。p 口且存在常数p 矧t 于是，由方撇1 ) 有 z 6 ( r ) = 一g ( ) ，。m 【一a ，x 1 r ( s ) x ( s ) 轴叫m 。a x 卅等等 鲫撕一一呻m 刮a xi _ g ( 咖”叫州m 。i n 。嵩， 对上式两边从f 到r + f 一盯积分，就有 z ( r + r a ) 蔓z ( ，) 十j f - - 4 q ( “) = ( “+ r a ) 。r a 。i n 川二；! 鲁“ 0 ，于是有 z 6 ( f ) _ 一g ( r ) 。毋焉，( s ) x ( s ) 嘶m 。a x 。等掣 ( ，) 却一一埘m 。a x 。i 刮咖( f 十叫呻r a 。i n 。端， 对上式两边从，到，+ f 一口积分，就有 z ( r + r a ) z ( f ) + f + _ 4 。( “) z ( “+ r 一盯) ，。m 。i ，n 川二；“ ，雄一a ) r 出) 。黜“揣衄 所以厂4 荆。黜q 端抓1 与条件( 3 1 ) 稽定理3 1 哔 定理3 2 设条件( h ) 成立，且一1 p o ) 0 如果 l i m s u pf _ ，q ( “) 。霉筠p ( s ) 阻，l ， 1 1 i ；h - f i ( 2 1 1 的所有解振动。 证明若方程( 2 i ) 存在最终正解z o ) ，记：o ) = 一o ) + p ( ，h o f ) ，则由定理2 ，i 的证明过程可知有：( f ) o ，l i mz ( f ) = 0 ，从而z ( f ) 单调不增又z ( f ) x ( f ) ，且 z o ) 一p ( f ) x ( f r ) 一p ( f ) z ( f r ) ， 就有 x ( f ) 一p ( f ) x o r ) 一p ( f ) z ( f r ) 于是有 z 6 ( r ) = 一q ( f i ，毋翳i r ( s ) x ( s ) g ( r ) ，。m f ，一a 。x 1 ( 一，( s ) p ( s ) z ( s r ) ) 知呲一“，骝j ， 对i 一荫两沩从r r 剖，；f ：只分，就有 z ( r r ) z ( f ) 一z ( f f ) s f - ，g ( “) z ( 一r ) ，黜。) p ( s ) b s z ( r r ) f _ 。q ( z ，) ，l l i _ = i 。l r ( s ) p ( s ) i “ 于是有【，9 0 ) 。嚣焉r g 扣刚“ z ( f ) 一z ( f r ) 一l q ( “p ( “一r ) ，。m 【a x 。】i r ( s ) p ( s ) i “ = 一z ( ，一r ) f _ ，g ( “) ，嚣i t - - a a x , i ，】i r ( s ) p ( s ) l “ 有，9 0 ) ，习! 笔p g b 例“ ( l a ( w ，鼢。r ( s ) “ 1 1 x ( f a ) 从而最终有e ，g ( w ，嚣氅】，( s ) “一l o ，这与( 3 7 ) 矛盾 若( 3 6 ) 存在最终负解，同样可得矛盾，定理证毕 结束语 时间模上的动力学方程的发展是广阔的，就我所知，时间模上时滞微分方程的 研究不多，时间模上高阶微分方程的研究不多，时间模上带脉冲的微分方程的研究 也不多，时间模上微分方程的边值问题的研究也不多从目前来看，时间模上动力学 方程的发展同微分方程、差分方程差不多是相平行的，因此，上述这些都是一个很 有潜力的发展方向 总之，时间模上的动力学方程是数学科学中新开辟的邻域，鉴于它能把连续分 析和离散分析统起来