（基础数学专业论文）图的平均曲率流的长时间存在性.pdf

摘要 设是m 维定向的黎曼流形，f o ：e - 1x 2 是一个浸 入，1 和e 2 分别是m 和n 维的具有常曲率h ，2 的黎曼流形我 们定义o = f o ( ) 我们称o 是一个图，如果存在o 上的单位正 交标架e t ，e 。以及一个在，中的平行的m 一形式t o ，使得对于 某一个常数 o ，有”= ( e 1a ae 。，u ) v o 0 如果对于所有e ”( z ，0 ) 芸，那么，当l 和2 满足某些适当的曲率条件时， 平均曲率流存在一个大范围的解 关键词：平均曲率流，m 维的图 a b s t r a c t l e teb e m - d i m e n s i o n a lo r i e n t e d e m a r m i a j lm a n i f o l da n dl e t f o ：b 叶l 嚣2b e 聃i m m e r s i o n ，1a n d 2b em a n d 礼d i m e n s i o n a l r i e m a n n i a l lm a n i f o l d so fc o n s t a n tc u r v a t u r e 南la n d 如r e s p e c t i v e l y w e d e n o t et 0 = 娶奄f w es a yt h a tz oi s 鑫g r a p h ，i ft h e r ee x i s t sa no f - t h o n o r m a lf r a m ee i ，一，e 仉0 1 1e 0a n dap a r a l l e lm - f o r mw i i le 1s u c h t t m t 一( e la + 一ae m ，) v o 0 f o r8 0 i n 8c o n s t 勰t 抛s u p p o s et h a t 鬈。h a sb o u n d e dc u r v & t w e 。i f v ( x ，0 ) 如 簪f o ra l l 扎t h e nt h em e a n c u r v a t u r ef l o wh a sag l o b a ls o l u t i o nf u r i d e rs o m es u i t a b l ec o n d i t i o n so nt h ec u r v a t r u eo fe ia n de 2 k e y w o r d s ：m e a n c u r v a t u r ef l o w ，m d i m e n s i o n a lg r a p h s + 】引言 l 引言 4 平均曲率流( m e a nc u r v a t u r ef l o w ) 最初由b r a k k e 从几何测度论的角度 来研究的h u i s k e n 考虑了沿着平均嚏率移动的光滑紧致超曲面对于高余维 的情形c h e n t i a n 【3 】和c h e n l i 1 1 研究了( 实) 二维曲面在k s h l e r - e i n s t e i n 曲 面中的平均曲率流，c h e n - l i t i a n 研究了剜中二维图的平均曲率流，他们在 ( 2 j 中证明了如果在r 4 中存在一个单位常2 - 形式u ，使得( e 。 e ：，u ) 如 0 ， 其中e ，e 2 是上的单位正交标架，而且若在初始曲面上大于一个固定的 常数那么平均曲率流存在一个大范围的解w a i l gm u - t a o 在【6 也得到了一 些类似的结果 本文我们主要把c h e n l i t i a n 的平均曲率流的大范围解的存在性推广到 e ，2 中的m 维图，这里l 和：分别是m 和n 维的常曲率的黎曼流 形，m ，n 2 在论文的写作过程中，j i n g y ic h e n 告诉我们w a n g m u - t a o 7 1 也得到了高余维的平均曲率流的解的大范围存在性的一些结果因此我们 研究的是他没有考虑到的情形 设足m 维定向的黎曼流形，f o ：一l 2 是个浸入，l 和 z 分别是m 和n 维的具有常曲率南l ，k 2 的黎曼流形我们定义e o ：f o ( ) ， 我们称o 是一个图，如果存在0 上的单位正交标架8 1 ，一，e 。以及一个在 1 中的平行的m 一形式u ( p a r a l l e lm f o r m ) ，使得对于某一个常数 o ，有 u = ( e la e m ，甜) v 0 0 我们考虑一个子流形单参数族f t = f ( ，t ) ，其相应的象为t = f t ( ) 使 得 ，一 云f ( 州) = h ( 州) ，( 1 1 ) if ，0 ) = f o ) ， 其中h ( z ，t ) 是t 在点f ( z ，t ) 处的平均龃率向量我们假定叫是一个在e 中平行的m 一形式，o 关于它是一个图，我们令u = ( e la ae 。， ) ，其 中e l i 一，e m 是t 上的正规标架假设o 具有有界的曲率我们主要的结 果是如果k l k 2 且k l + 岛 0 ，或k 1 0 且k 1 + 岛 半，那么方程( 1 1 ) 就有 一个大范围的解 i 引言 5 文章中我们采用e i n s t e i n 的求和规定，即重复指标代表求和我们总是 假定m ，n 2 ，同时规定 1 曼i ，j ，m ， m + 1 sa ，芦，7 ，sm + 露 2 预备结果 2 预备结果 6 我们假定f ( x ，t ) 满足平均曲率流方程( 1 1 ) 假设h 是黎曼流形f ( e ，t ) 在e 。e 2 中的平均曲率向量，a 是其第二基本形式，定义e - e = 上的 黎曼度量为( ，) 我们在中的一点附近取法坐标系，从( ，) 得到的t 上的诱导度量定义为g i ，= ( o , f ，岛f ) ，其中a ( i = 1 ，m ) 是关于局部坐 标的偏导令和v 分别是关于t 上诱导度量的l a p l a c e 算子和协变导 数我们取i 2 的一个正交标架8h 一，e 。， 一， 。，使得8 一，。足 。= f ( e ，t ) 的标架，u 1 一，v 。是。上的法丛的标架 我们记： a = a o v d ， h = - h “u 。 令a 。= ( 帽) ，由w e i n g a r t e n 方程，我们有 蝎= ( 玩u 。，v j f ) = 佩，v f ) = 啄， 其中可是e 。2 上的l e v i c i v i t a 联络第二基本形式的迹和范数分别为 h “= 9 叩h 嚣= ；， a 1 2 = i a 叩= 严9 肼椎啄= 嗡螅 我们可以得到第二基本形式的发展方程( 参考 6 ，p r o p o s i t i o n7 1 ) 命题2 1 假设f 是平均曲率流则 ( 晏一) a i n _ 一2 1 v a l 2 + ( ( 巩兄) 耐女+ ( 瓦r ) 一旌 一4 女糕蛞+ 8 比所蜷一4 忍掀蛞蝎+ 2 如槐蟛蜴 + z ( 坛 一 & 、) 2 + 。( h 揣。1 2 n ，芦j ，m k ， t j ，m ，七一 其中r 是曲率张量，亏是h o m ( t e t t e ，n o t e t ) 上的协变微分，它由t e t 上的协变微分以及关于浸入tc l e 2 的法联络d 所决定 2 预备结果 证明：我们首先来确定碍的发展方程在所考虑的点附近取法坐标系，有 蔷蜗= _ h 民a ，) + 民a i ，v h v o ) = ( 审h a ，”。) 一( 冗( h ，岛) 馥，”。) + ( 民夙，可_ h ) = 。，i j 一 4 磊，最一 4 锄i 。+ g 如口，审h e 。) 利用c o d a z z i 方程和导数的交换公式， v t = v j h 惫+ 风k 坩， v f v k 0 = v k v , h 嚣一 k 叫i s 一 景二溉一 0 j 幻n ， 其中k r n j 是t e 的曲率，k s 枞是n e 的曲率 于是我们有 九。，玎= k ，蚶 = ( k + 冠。m ) j = ( 嚣，t + 冗叫七) k 一 女一，最七k u 七一，壤晦町女+ r n k i s , j 由g a u s s 和r i c c i 方程，我们得到 因此 k = r 。酊k + q 毛 纛一蜢k k k 玎t = r 州 + ，7 嚷一 二k h 5 绵研f 邱可k + 0 椎一磕镌 嚣= 。新一r 。玎，k r a 鼬j + 冗m 妒+ ；2 嘶批+ 垛冗p 耐 + 域a 小，锄7 7 一 k 啄) 一蜷t ( h m j h i s 妃 蟛) + h i 。s ( h z j h s 一 孙嚣) = 扩，d 一( 玩励。玎t 一( 瓦兄) 捌 + 2 蜀玎帐一2 心所k _ ；磊一2 冠叩讪喂一兄耐口，沪 + 语+ 罐一磁辨磕 + 川o t “6 哪l ，3 坛k 咏) 一九( 毛坛九k 蚝) + 娘( 碡坛一镌嗡) 7 2 预备结果 另一方面，由于1 h i 2 = g 讷矿2 蜗，则 栌d 降z ( 耖) z ( 船) 和 ( 嚣) 2 = 2 i 亏a 1 2 + 2 嚣 弓 从而由直接计算我们可以得到命题中的等式 8 口 设( x o ，t o ) 是m r 中的内点当m 是欧氏空间时，h u i s k e n 【5 引入 在点( j ，0 ，t o ) 处的倒退热核p ( x ，f ) ： 椰，= ( 乏志) 予娜( 一等) 对于一般的黎曼流形m ，采用 8 中的方法( 或者参考【6 ， 7 ) ，我们将m 等距嵌入到r 中在m 中的平均荫率流现在变为 姜f = h = h 十e ， 其中f 是r 。中的坐标函数，h 是e 在m 中的平均曲率向量，h 是e 在 p 中的平均曲率向量，而且 e = 百( e t ， 这里五表示为m 在r n 中的第二基本形式，( e t ) 是t e t 的单位正交标架 倒退的热核p ( x ，t ) 沿着平均曲率流满足如下的抛物方程注意到v 和分 别是t 上的协变导数和l a p l a c e 算子，则 扣，归山c 剐h c 刖( 器+ 等+ 高) ， 其中f 上是f t 一在t r n i t e t 中的分量沿着平均曲率流，在目标流形 是欧氏空间的情形。上述方程由h u i s k e n 得到而w h i t e 则考虑了一般目标流 形的情形 2 预备结果 事实上，我们不妨就假设x o 是坐标原点，则 p ( f ，t ) 由直接计算我们有 要p ( 即) ： 出、。7 ( 4 7 r ( t o t ) 胛固( 蒜 丽面e x p( 一器) ， i f l 2 f h 万一巧i i 一丽 下面我们用两种方法来计算( 一v o ，可p ) e t ，其中可表示r 中的协变导数 i 已 ) 是t e 上的标准正交标架， ( 瓦釉e 。= 瓦( v _ i 口+ ( v 力刑，2 ) e t i = ( 玩。( v p ) ) e t + ( _ 。；( 可p ) 刑胛) e t ( v 。( v p ) ) e t ( 审力8 ”胂- 玩。e ； fi = a p v p h = a p + 存1 毫p f 百 最后的等号成立可以从下式看出 耻p 黟= 一赤一h i f ) 一南f 另一方面， y ；：( v e 丽肛莩弘一南f ) q + 一志( v e - f + p e v 一e i )。一丽 ；一叩 + m 0 9 2 预备结果 所以我们得到 因此 a p = p ( 一痞 一 1 h + 而二 4 【o 一币1 f ”2 一 ? n 2 ( t o 熹一+ 一= 可i 竺孑( i f t 2 1 2 一吲2 ) 一豇：与( f h + f 百) 一砥与旷卜i 南( 一再+ f j - , h ) = 而p 哥晰一南( 2 n 丽+ n e ) ， 其中f 上= ( f ) 傩“他，h = 露+ e 现在我们证明一个单调不等式，它本质上由h u i s k e n 所得到 命题2 2 假设f 满足平均曲率流方程，( z ，t ) 是定义在x 旷上的光滑 函数我们有 未上。，p c f ，t ，d = 上。( 未一 证明：显然 b ，) f 上 p ( f ，t ) d # t 2 ( t o t )+ 瓦+ 罢 2 d 脚十正+ ，一i 罢 2 d m 未z 。即c f ，t ，蛳t = 上。( 釜，) p c f d 胁+ 上。，( 晏p c f 一) d 地 一小( 即) i h l 2 m = 上。( 晏，创) 棚脚t + 厶秣+ ) 棚肌t 一上。刷即) i h l 2 m 注意到 夏d d 地= 一1 h | 2 d 地= 一百( 霄+ e ) a 地 2 预备结果 我们有 未上。，p c f ，砷d 胁= 上。( 羞，一，) p c f ，t ，d 地 一小( 器+ 等+ 高埘一一e ) d m = 上。( 瓦0 ，一，) p ( f ，咖m 一川羔+ 笤+ 嵩。州2 m 口 利用单调不等式我们可以证明下述的最大值原理( 1 4 ， 2 ) ， 命题2 3 假设，( z ，t ) 是定义在旷上的光滑函数，满足如下不等式 瓦o f 一，曼a v ， 这里a 是t 上的某一向量如果对于某一t i 0 成立a o = s u p a o o ， e 【o ，t l 】 则对于所有的t 0 ，t 1 ， s u p ss u p i e tl e o 证明：令k = s u p ，定义 = m a x ( 一k ，o ) 我们有 注意到e 是有界的，利用单调不等式 未正。露p d 地s ；上露闰地+ 上露p l 鲁l 2 d m s e 上。露加地， 这里g 是只依赖于a 0 和e 的常数 于是从g r o n w a l l 不等式，我们可以得到所要的结果 口 2 v2一 v扑 舞 2 l 一2 一 0 ，女l + 女2 雩， 那么对于所有的t 0 和z ，f ( z ，) 2 。 证明；我们不妨令 u = o ：a a o 麓， 和 m 咄) 。南 则 ”= ( e l a ae r a , w ) = ( 霄- ( e ) 一 丌( e m ) ，w ) 2 了赢 假设t - 是使得下式成立的第一个点 i t l n f ，雩 0 因此对于所有的t 0 ，t 1 ， ! 丝 锕兰l ( 1 + 碍) 2 即，存在d 0 ，使得圣1 碍s 1 一d 现在我们估计 首先假设m 礼，则 ( 蜂) 2 2 k 九螺十叼+ 。+ 2 h 九 嚣+ 。危 n k = l i = lk l = 6 i a l 2 + ( 1 一j ) ( 垛) 2 + ( 1 6 ) ( 螺“) 2 。 z ， m + ( 1 一d ) 旧+ 。) 2 + ( 器“) 2 i = lk l t nm 一2 k 知 扩蜡卅+ 2 九九蜷州九扩 i = 1 k n ，由于当n i m 时，九尹。= 0 ，于是 萎(2一。妻，聂。埘艄“蝣州+2若。篆。札坛州蝌舶i 口i 女 = 1l ! 女 l ! n 。2 = 丢。羡( 2 + 丢1 乏黝2 n kn i s m o ，k9 三“ q喜。蒹。埘以扩钿善篆。k科场矿1注l l n 川i ” = ( 曩) 2 + ( 蛭押) 2 + o n i 羔m 七1 l 兰” ( 嚼。) 2 + 三，( 翼切) 2 q 喜，聂。埘蠊舳科l + 2 蔷，篆。沁丸躲州蜡舢 i 二jl 南 z 0 和k l + k 2 k 2 ( 1 一n ) + ( k l + k 2 ) ( n 一1 ) o 从而 ( 姜一) 圳 对一v 应用最大值原理，我们有 但这与( 2 1 ) 矛盾 v oi n 0 ，t 1 口 3 大范围存在性 3 大范围存在性 1 8 经典的抛物理论蕴含( 1 1 ) 在短时间内具有光滑的解，这可以叙述为下面 的定理 定理3 1 假设初始流形e o 具有有界的曲率那么存在t 1 3 ，使得以j j 在 【0 ，t ) 中有光滑解如果m a x z ：。l a l 2 在t 附近有界，则对于某个 0 ，解可 以延拓到 0 ，t + ) 但是，一般情形下i t l & x , r 。j a l 2 在t _ t 时会发散在本节中我们要给出 条件以保证平均曲率流( 1 1 ) 具有大范围的解 引理3 1 假定z , f f 是一个在i 中平行的m 一形式，o 关于它是一个图，其 中1 和e 2 分别是m 和n 维的具有常曲率k l ，k 2 的黎曼流形假设o 上 的曲率有界假定 l k 2 ，k l + 2 0 ， 或者 k 1 0 ，k l + k 2 - 以5 - ， 则l a l 对于所有有限的时间t 是有界的 证明：令，：r + 寸r + 是一个g ”函数满足f 0 我们置 = f ( v ) f a r 显然 未西- ，( ”) 晏i a l 2 + i a 2 ，( i ) 晏” 庐= f ( v ) x l a 2 + i a l 2 z x f ( v ) + 2 v i a l 2 v f ( v ) = f ( v ) a i a 2 + a f 2 j - ( v ) z x v + l a 2 ，”( 口) j v 口1 2 + 2 v i a l 2 v ，( ) 由定理2 1 的证明，我们知道存在6 0 ，使得 ( 岳一) 训衅 3 大范围存在性 由命题2 1 ，我们有 ( i o - t 卵刊寻砰+ 甄4 + 鲍2 这里k 。和飓只依赖于1 和z 的常数 因此 = ，。) ( 象一) a i 2 + f a 2 ， ) ( 象一) ” 埘广附+ 群哿- v 斗附，( 圳v 砰+ 掣铲鬻v 邵州卅 w + + 妫妒+ 群纠鬻w 我们设，( 口) = w 一争，则 k l ，( u ) + 6 ，( ) = k 1 一丁k 1 一k 1 一争一1s 0 于是我们可得 ( 爰一) 妒( 鲍+ 群) 州鬻，v 妒 刚一。鬻v 毋， 其中g 只依赖于时间t 和j 幻的常数 因此。由最大值原理，对于任意的t 【o ，卅， 引理证毕，口 m 。a 。xi a l 2 e 叩m e o a x i a l 2 1 9 a 一淡 ，一 扣， a+a 、 、， 一 越佳 a 一出i“ | | 3 大范围存在性 引理3 2 假定w 是一个在1 中平行的m 一彤式，o 关于它是一个图，其 中1 和2 分别是m 和n 维的具有常曲率k l ，k 2 的黎曼流形假设o 上 的曲率有界假定 k l2k 2 ，k l + k 2 0 ， 或者 k l 0 ，k l + k 2 宴， 则存在一个充分大的时间t ，使得m a x 。i a l 2 对于任意t t 是一致有界 的 证明：由足理2 1 的让明，我i | j 口j 以看到，盯于所自阳z ， h 萎盎2 ( 1 - n + 萎唧1 ) 2 c 其中c ，是一个只依赖于初始条件的常数则 ( 岳一) 咄c - 莩禹p 2 由于对于每个i ，砖 0 ，存在时间丁使得对于t t ，有 ” 熹，a 他d a ? a v k + ( i k k ( k 一1 ) 眦) 矿i a l 2 我们可以假定l a l 2 1 ，则 ( j o - a ) l a l 2 一2 1 影a 1 2 + k i a h 其中k 是个可与。和2 的维数有关的常数于是 ( 姜一) ( ”一诛i a l 2 ) - 2 v 2 k v ( ”一2 。) v ( ”一2 i a l 2 ) + v - 铀( k i a l 4 2 i a l 4 ( ：一k ( 2 k 一1 ) 眦) ) 2 1 3 大范围存在性 我们近一步假设冗分小，便得 k + ，一志 0 ，k l + k 2 生2 则方程一j j 有大范围的解f ， 4 渐近性态 4 渐近性态 在下面的定理中我们要给出第二基本形式的估计 定理4 1 假定叫是一个在t 中平行的m 一形式，o 关于它是一个图，其 中e l 和e 2 分别是m 和扎维的具有常曲率k 1 ，k 2 的黎曼流形假设o 上 的曲率有界假定 k l 兰女2 ，kz + k 2 0 ， 或者 k i o ，k i + 女2 字，则m t l a l 2 c ，其中c o 依赖 于o 证明：我们只要在z 充分大时证明定理就可以了如同引理3 2 的证明，我们 可以找到一个时间r ，使得对于t2 t ， ( 晏一) ”籼2 因此由直接计算可得，对于t t ， ( 晏一) 地2 + v - 2 k ) o 处，存在一个正的可能 依赖于t 。的常数c ，使得，对于所有的。， a ( z ，t 1 ) 1 2s c 而且，显然 1 w 1 2 n i a l 2 ， 以及从定理2 1 ， 麦v 0 g 1 因此在任意有限的时间t t t 处，我们有 s u pp v ( ”。) ，t - ) 0 ，k l + k 2 荨，而且对于某个c 0 ，d 0 ， ，q i f l l 2 c ( t + i f l 2 ) 1 6 则重新伸缩后的流形。收敛到一个极限流形。当8 - - + 时，而且。满 足方程 f 1 = 一h o 。 4 渐近性态 证明：令c p = 石一： 螽+ ( 萱，玩) 玩1 2 ，其中石”一，说是豆。上的法丛的标架 则对充分大的s ， 砷f i + ( 魄) 玩1 2 阻( 魄) 瓦j 2 ( 鲁一五玩 一2 k ( 2 k + 1 ) 商一2 女一2 f 矗+ ( i ，瓦) 瓦 2 寺记 一4 矿2 一vl 白+ ( f ，玩) 瓦f 2 亏 s 一2 妒+ 2 v v 一2 亏妒 对于0 j ，令 g ( 。，s ) = ( 目。( 蚕) ) 5 1 e 一3 其中矿( f ) = 1 + o i f l 我们有 ( 岳一五) g 地印1 刊吖一 + 沙( e 一1 ) ( 1 + 删2 2 a ( 砸，i ) 一即 一e 如i ( e 1 ) ( s 一2 ) ( 1 + a i 寄1 2 ) 6 3 i v ( 1 + 口j 蚕j 2 ) j 2 一扛一1 ) ( 1 + 口i 帚1 2 ) 8 2 2 髓( ( 费，哥) + m ) ( 卢+ 2 ( 1 e ) ( m 乜+ 1 ) ) g 利用上面的式子， ( 丽0 一五) 妒g 嘶g + 。g 盼2 嘶+ 妒( 未一五) g 一。址寺g 注意到 2 g 亏u 一鼬亏妒一2 亏l p 亏g 嗣旧( z 订姥一z 兽) 协哥g ( 兽一2 ) j pf j 啪一 矿 一 d 一挑 4 渐近性态 诉l 蚓矾和嘲兰扛，选取。和卢充分，j 、，删 有 ( 未一五) 妒g 茎亏c 妒g ，( 。亏v - 2 k _ 2 笔g - ) 由命题2 3 ，我们可得 s u p j 三一 o 。，我们有 这就证明了定理 口 参考文献 参考文献 1 】j ，y c h e na n dj y l i ，m e a nc u r v a t u r ef l o wo f s u r f a c e s i n4 - m a n i f o l d s ，a d v i n m a t h ，1 6 3 ( 2 0 0 d ，2 8 7 - 3 0 9 f 2 1j ，y c h e n ，j y l ia n dg t i a n ，t w od i m e n s i o n a lg r a p h sm o v i n gb ym e a n c u r v a t u r ef l o w ，a c t am a t h s i n i e a ，e n d i s hs e r i e sv 0 1 1 8 ，n o 2 ，2 0 9 2 2 4 ， ( 2 0 0 2 ) 1 3 1 j y c h e na n dg t i a n ，m o v i n gs y m p l e c t i cc u r v e si nk h m e r e i n s t e i ns u r f a c e s ， a c t am a t h s i n i c a ，e n g l i s hs e r i e s ，v 0 1 1 6 ，n o 4 ，5 4 1 - 5 4 8 ，( 2 0 0 0 ) 4 l k e c k e ra n dg h u i s k e n ，m e a nc u r v a t u r ee v o l u t i o no fe n t i r eg r a p h s ，a n n m a t h 1 3 0 ( 1 9 8 9 ) ，4 5 3 4 7 1 f 5 ) g h u i s k e n t