（精密仪器及机械专业论文）大望远镜整机特性有限元分析(精密仪器及机械专业优秀论文).pdf

捕蛆 摘要 在进行装配纳f - 7 i i t , ；d 特，l l ：分m 丑何台胖处理零f - l ：与零f l ：之川的连接或装 配关系足，卜当1 1 h 急需m * 决的关键技术问题，人望远镜光机系统结阳1 = i 连接丽 的存在：阿影响结陶的静功特性分析。对大望远镜进行结f = f ! j 分析时，为了得到较为 精确的分析- f i ! i i ，必须考虑连接而接i l , j ! r l jj 彤, l l , j 。接触问题有限元法能够模拟出连 接丽处的刚度特征，可以对装配结构系统进行较为真实、科学的结陶静功特性分 析。结合具体的： 程实例，本文的工作主要包括： 首先介绍接触问题的基本知以，然后研究了接触问题的切向和法向约束条 件，并给出变形体的接触虚功原理，从而推导接触问题1 7 i j 有限元汁算公式。在接 珩虫问题有限元法的基础上，介绍了接触问题较为普遍的求解方法，即罚函数法和 拉个朗f 1 乘子法。在考虑接触问题算法的基t i i l l j ：_ ，给出大望远镜中设计中典型结 陶的分析结果，包括受压而和紧固紧连接的处理方法的算例。最后对大望远镜水 平轴系进行模念分析，给出其低阶频率和振型结果。分析的结果对工程设计有一 定的指导意义。 关键词：接触问题、有限元方法、大望远镜、静动特性分析 人；m 远镜整眦特眺f 川1 1 l jc z , ) 1 7 a b s t r a c t i ti sll i g e n c yt or e s o het h et e c h n i c a lt h a th o x 7t od e a lu j i t ht h ej o i n t sb e t x 、e e n p a r t sa n dc o m p o n e n t so rt i l ea s s e m b l yl _ e l a t i o n s ，w h e na n a l y z e dt i l es t a t i ca n dd y n a m i c c h a r a c t e i s0 fa s s e m b l yp a l 。t s t h ee x i s t e n c eo fc o n l l e c t i o nsl u f a c e sw o u ma f f e c tt h e s t a t i co id y n a m i cc h a l a c t e l so fl a l l g et e l e s c o p en 1 0 1 1 n t ob e1 1 1 0 1 ep r e c i s e l y ，w e1 1 1l i s t c o n s i d e rt h ei m p a c to fc o n t a c l sb e 【、7 e e nc o n n e c t i o ns u r f a c e s t i l en l e t h o do fs o l v i n g t i l ec o n t a c tp r o b l e mb yf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sc a l ls i m u l a t et h es t i f f i l e s sf e a t u r eo f t h e c o n n e c t i o nsl u f a c e s ，sl i c ht h a tw ec a l la n a l y z et h es t a t i ca n dd y n a n l i cc h a r a c t e rm o r e s c i e n t i f i c b yc a r l y i n go ne n g i n e e i i n ge x a m p l e s ，t h em a i nw o r k sa n da c h i e v e m e n t s a r ed e s c r i b e d ： f i r s t l y , t i l eb a s i ck n o w l e d g eo fc o n t a c tp l o b l e n l s i s i n t r o d u c e d ，a n dt h e nt h e t a n g e n ta n dn o m l a lc o n s t r a i n tf t u l c t i o na n dt i l ep r i n c i p l eo fv i r t u ew o r ka r ep r e s e n t e d s i m p l y s o t i l ec 0 1 t a c t p r o b l e m sf e mf o m u l a t i o n c a nb ed e d u c e d t h r o u g ht h e p r i n c i p l eo fv i r t u ew 0 1 1 k o nt i l eb a s i co ff i n i t ee l e m e n tm e t h o dt os o l v ec o n t a c t p r o b l e m s t h ea l g o r i t h m st o s o l , , ，ec o n t a c tp r o b l e m ss t i c ha sp e n a l t yf f m c t i o na n d l a g r a n g em u l t i p l i e i m e t h o d a r es t u d i e di nd e t a i l so nt h e p r e m i s e so fc o n t a c t p r o b l e m s ，r e s u l t so ft y p i c a le x a l n p l e si nl a r g et e l e s c o p ed e s i g ns u c ha sb o w t od e a l w i t hs u r f a c e su n d e lp 1 1 e s s e da n db o l t sc o n n e c t i o n sa r ed i s c u s s e di nt h i st h e s i st h e n a t u r a lf r e q u e n c ya n dm o d es h a p eo ft h el a r g et e l e s c o p ee l e v a t i o nn l o u n ta r eo b t a i n e d t h o u g hm o d a la n a l y s i st i l ea c h i e v e m e n t so b t a i n si nt i l et h e s i si s a l s o h e l p f l d a n d g u i d a b l ei ne n g i n e e r i n gd e s i g n k e yw o r d s ：c o n t a c tp r o b l e m s f i n i t ee l e m e n tm e t h o d l a r g et e l e s c o p e s t a t i ca n dd v n a m i ca n a l 、，s i s 本人申明 本人郑重申明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：鳌塑簦 日期： 陟彩z2 7 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解中国科学院光电技术研究所有关保留、使用学位论文的 规定，同意中国科学院光电技术研究所保留或向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权中国科学院光 电技术研究所可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：多：挝聋 导师签名：! b 袅j日期：型梦 1 1 研究意义及背景 第一章绪论 大型g ! 远镜f 1 ：j 改汁绝4 ：t ! i ! = 刈小盟远镜的放大，需要解：，、= 结| = ；】尺寸、l j 稚i l i = j 川度、低重量和转动：f ：i 量之i i 门矛盾：分析计算才：当州能会导致改计失败，严重 影f 望远镜的研制进度，同时出进成傲火的经济损失，因此发汁风险限火。回避 殴汁川强最有效的措施魁采j w 有限元分析，详细分h i 望远镜的结构刚度、应力和 谐振频率。以往的有限元分析仪仅是对关键零件进行，忽略了连接而之叫刚度对 结构的影l l l _ 。 机械连接是装配结构系统的重要组成部分，包括螺栓销钥。等。接触是任何机 械系统传递力的基本方式，机澉连接通过连接界面摩擦传递连接部件之删的载 荷。各零部件的连接而的特肚如问隙，摩擦，冲击力等通常使得系统局部接触刚 度和接触阻尼变化，从而增加系统的振动和噪声，戕少部件的使用寿命，导致系 统精度的降低，成为装配结构能量损耗和衰减的主要因素 j 。 大望远镜光机系统是复杂的装配结构，包含若干零部件，各零音f j 件之间存在 着连接面，然后通过一定的连接件将它们连结成一个整体。大望远镜光机系统中 普遍存在着受压面和紧固件联接等，在近似情况下，对其进行结构静力、动态特 性分析时不考虑连接面的影响，认为连接面之间是固连在一起的刚性连接。然而， 对于存在连接而的结构，其受力危险区域往往出现在连接面区域的周围，用上述 近似为刚性连接的方法却不能给出这一重要区域的受力情况。而且出于连接面的 存在，使得连接面的刚度低于部件的刚度，它们使全弹的刚度分和发生局部扰动， 从而连接刚度和阻尼发生非线性的变化 2 ，3 。因而连接面不汉对结构的静力特 性有影响，而且同样影j 响到光机系统结构的动态特性，使固有频率和振型发生改 变： ( 1 ) 连接面的存在使得大望远镜光机系统憋机固有频率下降。山于在连接 而附近削弱了弹性体刚度，同时有的连接丽处往t ：存在川辣因而它们都使大望 远镜光机系统整机的固有易 率j 瓷低。 f 2 ) 连接丽的存在坎搿全掸振型发生畸变。连接嘶的存在，改变了川度分 伽。必然陵振型形状、节，量臌管发：卜变f e 。 刈j j 那些连接两数fj 较少一生拔r 域较小n 勺；，i 陶，m 、隋螋要求1 i 而j ：| ：州i ：兄r 卜进i _ j 0 近f 以处且i i 乃；上进卅j j + j 1 ：j f j ：i 纠j ：确i z i ：7 j 显连接m ，j 复自j 火塑远镜比i j l 系i i ! 绱脚求随，这孙7 j i ! ：魁1 、川。f 娟j i l ：j ! 川晰必坝寻求l 坦好| ，j 自f i k0 j ：了1 ：j 业”j 莨| | l 弛 阳彖：直小j4 _ ”i r i ：j i 川j f “i 。i 川l 处0 1 ，每仆ij i _ 【尘 奠! t k ： 钟址j 、- 不艟1 、。i f i h 2 , 7 , 1 ：f i i * 决的天键坎水问题，l m 张人群度r f 了叭j 技4 mi 。州f jj f l i ；“和 心川 t l j 。为了发汁巫幻帆槭系统，即提r ；操f i ：敛；昝，降低大效椰损耗，i ；婴对 连接n 0 接触小象订一个彻底的刖衅。所以，考虑乐川打! ：u i 分昕力f 土斛决处川! 连接i | i f 门接m m 曲j ，i 唑t 。j 玄自m 灿j j 趣彳ji 杖厄；土能自；移! 以连j 盔f i 处 0 | 叫f 堡特f j ：，训以_ j 装眦结陶系统进仃较为真实、科。f i j i j 鼢抒幼特r i 二分昕刊州j b t ij 以给琏接1 i i 处连接件的承力。晰况： 1 2 接触问题研究发展概况 最早研究接触行为的历史可以追溯到18 8 2 年，这年接剧! 力学先驱h e r t z 在一家德文杂志上发表了县有j l 创陛论文论弹性旧体的接触。l i e r t z 研究了 二次曲而物体的挤压问题，j + l z ，无摩擦、大小相同的两个弹性球体在小变形、 不产生相对滑动和半球分斫i 压力f i j 假l ! ： 下，用半逆斛法进行了求解。早期刊接触 问题的研究主要针对h e r r z 型，推广+ 剑不同大小的球体问、柱体和平面之i n j 以及 所渭的刚性压头问题 5 。 2 0 世纪4 0 年代m u s k h e l i s h v i l i 在弹性体接触力学的数学理沦方面做出了突 出贡献。1 9 5 3 年g a l i n 的弹性理论的接触问题一书中总结了m u s k h e l i s h v i l i 的工作，叙述了弹性体的平面接触和空间接触问题 6 。g l a d w e i 于1 9 8 0 年出版 著作弹性力学经典理论的接触问题主要考虑集中的或大范围的无摩擦粘着接 触 7 。1 9 8 5 年j o h n s o n 的著作接触力学涉及了弹塑性体和粘弹性接触内容 8 。 人们丌始关注接触体中的局部问题，将力学着眼点由整体转向接触体局部力的分 布和接触体内力和变形之间的关系方面。之所以沿用古典h e r t z 理论来处理复杂 的工程问题，固然体现了陔理论的奠基作用，同时也反映了出于缺乏实验和数值 模拟手段而不得不把非线性问题作为线性、有限j l 阿尺寸一简化为无限大、动力 问题处理为静念的现实。 随着乜子汁算机的涎生和高述发展，以有限元为代表的数值分析方f b l j 3 出 现，为建立接触力学的数值i 开充方法创造了条件。接触力学的研究领域大大拓宽， 接触体町以订复杂的几阿形：吠干材料性质研究范i 翻从线弹性申j 题扩j 隧到儿何、 物胖_ 多蘑。m 线性i i h j 题19 8 8 乍k i k u c h i 币o d e n 掸性f 术手妾m ! n u 题变分1 ；等j l ；= 和自t ；k - a i 2 j ) 一陆是最早关j 二饺触题数值汁算理论f 【i 方法的心结 9 。19 9 0 年 k a l k e i n 勺吲眇时_ ：怍的滚爿j j 自越卜蛭以铁路轮轨接触界| i _ 1 f 1 川j 为背景的 仃疋滚动接制! f | ：j0 齐f 1 0 1 以数眦汁傩为i - i , j 的接触川题水斛限系l 还步建、j ：。 7 竖分；上j tr j h ! ，i 数f i ， j i i i - j j ji ，! ：t i l l l 蠢划舢j5 塑【l j 贬分j ：f j “k r 小0 ，6 w i ： b i if 1 、世舒j ：- ? 7 刊针，旷“：r 、jl l ： 1 ，j t 衍j 。 4 j o 叫叫、。e 川理，n “一i l l i !世r ：p ，j ，甜一1 z - j ：j 匕甚j 陈：”二j 1 1 j | 1 j j 。出坦f ， 复自j ，i 义“1 泄：川j l ) ：l l 或恢m m l _ 戈：城已川f n 晡j i j ；，m ￥n ：jr j i f i i n l i ! 一e 1 ：_ 彩：衔i i l j l 9j p a n a g i o l o u p l o s 11 导了蜷擦接触问题l 之后他叉构! 12 m 1 4 孑g r e e n 变分4 ：等式 雨数，j f 入拨触分昕，导了边7 - 箭表示的变分彳：等式补变分法其有较f y j 硫物 列! 禽义，l 1 安制力浮，i ，“；j 埋、i i 撕m 述方；上二e j 巍 安干l j 川 攘j 力肪i j ! j ! 将孩衄i f d 。1 0 j l i 衔方群描述成变分1 、等式，其，l ，包括接i f l , ! l r g 域和滑功区域的积分，其优点魁力学 f l 念简私叫了，顺向 j 工程成j i j i 拍孵法多采用此法： f l ：h u g h e s 羽it a y l o r i3 等确- 1 9 7 6 年发表了一篇关于运用有限元方法求解接 触! j q 题的论文。b a t h e 平c h a u c l h m y f l 4 视接触力为项满足接触条件j _ i j 未知量，利 用虚功方程恨掘假定位移建立问题的基本方程。z a v a r i s e 和w r i g g e rf l i j ：i ：作是很 著名的，因为他们提出了种段到段的方法解决接触问题。对于采用有限元方法 研究接触问题，文献i5 - 2 2 列于l i j l l 究者是很有帮助的。 1 3 本文所做的工作 f 1 ) 查阅了有关弹性接触理论和有限元理沦的科技文献资料，对接触有限元法 的研究方法和现状进行综述 ( 2 ) 介绍接触的法向和切向约束条件，介绍接触问题虚功原理及接触问题的有 限元计算方法 f 3 ) 介绍接触问题的求解方法，包括罚函数法和拉格朗日乘子法 f 4 ) 1 ( 1 8 决结构设汁过程中所关心的受压面和螺钉紧固件等的结构分析处理方 法，并给出大望远镜：m 具体的典型算例。 ( 5 ) 给出了考虑接触情况下对大望远镜水平轴系的模念分析结果。 人掣远镜惟机特r j 瞅几分i 2 1 符号和概念 第二童基础知识 先介纠一h j 接m 蚶u 天的有戈慨念及其裴述。 21 1 名称与标记 两个或| ；i j i 个以一i = i f j 物体通过崩部边界互相接f r j , j ：i f r i 实现j 的传i 监称之为接触问 题。 如图2 一l a 和图2 一lb 所示，闸叫了物体，和物体z ft 时刻是蜘1 何互相接村 的。需要晚明的是，两物体均被约束住，因而如果没有接触，是不会产生任何刚 体位移。为了表述明显起见，将t 时刻相互接触的两物体分丌一定距离如图2 - 1 b 所7 1 。 为方便起见，称s “为接触面f c o n t a c t o fs u r f a c e ) ，物体s “为目标面( t a r g e t 轧r f a c e ) ，并称s “和s “为“接触而对”，因为这两个区域是潜在的接触探测区 域 1 7 。这里需要说明的是，这两个面并不要求是大4 , 4 - 目等的。对于物体，t 时刻实际的接触区域是物体， = 的区域；对物体，t 时刻实际接触区域是物 体j 一卜的区域7 ，因而，t 时刻两物体的实际接触区域7 是接触面对的一部分。 212 接触坐标系 2 1 b 物体l ：t 时刻n 勺接触 s ( t ar g e ts u r f a c e 为了表达接触力，可在目标面上的每一点建立局部坐标系，如图2 2 所示。 设，。为接触面5 “的外法线单位向量，s7 为相切于接触面s “的单位向量，。和s 7 符合右手定则。将，一沿目标面。，分解为的单位矢量；? ；z 和z ；z ，于是物体 j 的法线为 j ：p - j ，z2inx t 1 1 ) 。= p 1p ! z i ， 显然，两个物体的法线方向l 、i1 1 反，即 ，7 ：_ n j ( 2 12 ) 区l 而可以把接触面5 “l i ： j 接触力7 ，“沿1 17 和s 分m 华为：， i i | ：= 小+ f i 裔 j 苌：抽i 瞄i l j z 。、j 。 、 0 。”- 厂。f f ：匙犊州! ，n o i 土l 州f | 切向分量。f k f l l 1 r h 文? j 。“r i ：f 7 琶0 | ：i i ? p ) is | t 2 、 对朋：i - 已鲐处 。 壹l i i , t i j i 。i 对j 洲1 f i - i t i 旧接触j fr 7 ”限狮m jt ：i 1 旺f i i ：| 1j 川t j i 圳一i f ； “：i 】 j q ! j 巫镜恺机挣m f j i ；k 儿分忻 21 3 接触物理量 、- 。7 、一一7 剧2 2 接触界面上参考目怀面s “建立的局部坐标 如图2 - 3 所示，物体，和物体i ，通过接触面间接联结在一起，力和力矩通过 连接点o 、0 1 传递。接触处的物理量主要有接触力、速度、位移等。 h2 - 3 接触f 枷1 巾l ，j ) = | - 的盟1 川i 、二分圳f 爱十tm ：的i j _ f l l i ! i ；r j 力 【w 川，j 沿x 、j 轴； f r 7 f 乃f 剐 m - 上 一 二硐i w ，f l l 改i 。，i ，分! f j j 代嵌f 、( j 二处i i jj 出j 业量，相：i 纠i j ，忻 ! 埘个物体盘接接触坩，拨触l l i l i | n 。制j 对运动有洲动 ；， 动定义为m 接触表mn i 圳m 述嫂： l ，v = l ，_ l vr 2 l ，1 = v i i i ，l2 滚动定义为似翔俐：沿纠平_ | f 1 轴向的棚列角速度 甜r = r f mr 2 1 = 础、i m 11 旋转运动定义为两部件沿公共法线方向的相对角速度 甜一= 甜一，一一， f2 1 h ) f ! i了) 襄习3 i 妊| ： f2 1 10 ) ( 21 1 1 ) 当两物体真接接触时，v ：1 和v = ! 是相等的，间接接触时，y ：i 和a v = 2 是 不相等的，两音1 i 件在z 方向有牦1 对平移 a l ，一= 矿一，一v 、 22 有限元方法概述及理论基础 ：1 ：程师和物理学家们在对一系列物理现象进行量化的描述时通常是用在某 个区域上的常微分或偏微分方程l ：刻画的，并且附带了恰当的初边值条件，此时 数学漠型就建立好丁。才+ 实际应川中我们i 要对这一数学模型直接求懈是很嘲难 ，j 。默柏当方程剐髟式非甫i 确屯、_ ；= 1 | ：帛特昧的睛况一fd 何刊能朋数学力法给出方乖t 捕啪的解折斛，百绝足多数情况j 人们都婴限赖数随方法j ：找原锁型q 逝：j 近似 解。卜个i ) j ： r l 电予汁弹机的出现；各我们提佻个强有力的1 算：l 县柬克j j i _ 求噼方丽 的m y 亿f 毒乖思想垃j f 孑i 敌分雕j t 义的连续问题迹f i 再种；- _ = 某种砸近性) 譬j f 2 然j i ： 哿i hj j 趣0 三1 ； i 1 二f t lz f 数j i j ，r ：箨中 帷i * l l - p j 示d j ，训b 4 in ：j 丸l ：妊q ；w 2 ，m - k7 1 、术 ：| i 黟顿f 箭始再瞄叻f | _ ：l ：j ：求耐离敞问题= 阿儿泛一 ：f c ? t t 种 娥心l 出，i l 雌敝j 。睢噼旧，l i 。ih 8 q 心 人q ! 远镜惨机特f 7 i i t f l ：k x 1 分析 n ：j _ | 之m ￥接触! 叫趔州jj ij + j m j i + f 拔的+ 丈蛉i k 张m 确j t l h 晔擦t jj ，睡 益制： 和切i f , j 力， u 解析j ：4 f 危j 五j 1 j j i 股1 1 9 j l f , , f 们、，p ；1 l i l i 数缸厅法就成为m * 决现吱i f ! 接触i h j 题的舵要r 儿： 运川数值万法解决接呲m 趣， 迎他刑n 勺坦订瞅儿疗法fr in il 。川l l l l e nl 、1 clh n d ) 和边界元力法( i u n d ar j + 引o l n u nl i | n ( i ) ：这l 批h 介绍t t 限，法。 为了j j 之解结构力4 学，的 ! ? 鼍i l , j 题，早( f ：1 个l 址纪f lf 。；f 代就山1 1 1 ! i f ) d i t j 阿先 捉j 柏j | ； 4 l i k ，将物体结 = ! j 分成仃限个小块，韵：为j 丫l 元，所以称为有限单元法或 有限厄法。1 9 5 6 年，爻幽的特纳f nj 1 u l n 。r ) 、马j ( 忆c 、l a r t in ) 等前次将 有限元法用于波音e 机结构分析：2 0i ：纪6 0 年代cl o u g h 将其描绘为：“有限元 法= r a y l 。1 9 hr i l z 法+ 分j 。；+ 鹾j 数”，即有限元法是r t y l e i g h r it zf - , ：i ! l g - 种局 部化情况。此后四十多年柬，l i ir 矩阵数学基础的奠定和f 乜f f l 。算机的大型高速 化与微型普及化，有限元法的发展十分迅速，现已成为工程科学领域内有代表性 的强有力的数值分析方法，其运用范田已遍及固体力学的各个方面，而且向诸如 宇航、核能、岩土、工程结f ； 、传热、流体与空气动力学、f 乜磁场、生物医学工 程等其他领域广泛渗透 2 ：3 。 有限元方法是数值计算中的一种离散化方法，是一种求解场问题的数崖方 法。其数学基础是变分原理，通过分区插值，把二次泛函( 能量积分) 的极值问题 转化为一组多元线性代数方程来求解。从物理和几何概念来说，有限元方法是结 构分折的种计算方法，是矩阵方法在结构力学和弹性力学等领域的发展和应 用，其基本思想是高散化和【分片插值，用网格去逼近所分析物体的空l b j ，即将结 构进行有限元离散化，把弹性体划分为有限个单元，各单元之间通过有限元节点 相互连接，列每个单元。用有限个参数来描述它的力学特性，面整个连续弹性体 的力学特性可认为是这些小单元力学特性的。9 , g l ，从而建立起连续体的力平衡方 程。其最终目的是要还原实际工程系统的数学行为特征，即必须针对一个物理模 型准确的数学模型。 有限元法是计算结构位移、应力的一个最有力的l ：具。它是在结构分折的氨 接刚度法的基础上发展起求f 1 9 。垌1 ：结掏分析的有限厄法n 勺_ 三要步骤如下： ( 1 ) 弹睫体f 1 9 离散化 ：i 哿要分析的结f ； 离散为山各种4l 元红【成的汁算模型，川：在单7 体的指定点设 置一凯i 他1 j 荦明阿建参数煺何一定的连辨肚律戊一个r 社元的集f ? 体 fj 以j t0 连接j ，k h f * 2 f 1 。1 ：代f 十j b i4 ：n 0 ； f 0 j f ： 巴i l r i f 4 、边界自0 约瓜i | j f tj i 掸r f ：f o f 土。昝1 m i i 的约牝上f 时 r ! 一l 小，甜”i 州i 川i 1 似jj 、j 二刖【2 。n ，fi l i ” l 业、，i 1 一l f j ，弘m 一入r 号m i l7 f _ 儿的j 、i 变越j 、l i 儿嫂) i lz l ：7 i i 川l l 7 辱放n j ，i 坡衍 f i 衡条件，建直t p 叫r 点力与节点敝移之川的天系。 f 、) 选择位移缆 结黝离散化后为了能f j 节r i 位移表j f ：! l 厄“、的位移、鹿变科 h 力从f n l j _ 丸限门i 发问题化为有限i - i i | l 发问题：在分析连续i 】j 坦寸，浆川一些能逼近蟓 函数的近f 以函数予以描述t 弘元中位移的分钿，也就足似；芷心侈屉坐： = ；j ；的菜种简r 讧 函数，这种函数张为位移模式或位移函数。选择适当| q 协移模式是有限元分析的 关键。逝j ：芎选择多项式作为位移模式，其原因足多项式的数学运算比较方诬， 且由于所有函数的局部都可以用多项式逼近。至于多项式的项数和阶次的选择， 则要考虑到单元的自山度和解的收敛胜要求，一般来说，多项式的项数应等于单 元的： i 度数，它川瑜次应包含常数项和线性项等。 根据所选定的位移模式，即可导出用节点位移表示单元内任一点位移的关系 式，其矩阵形式为： f ，= n 扩 ( 2 21 ) 式中“为单元内任一点的位移向量： 矿为单元的节点位移向量； ，为形函数，是位置坐标的函数 ( b ) 分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元 节点力和节点位移的关系式，这是单元特性分析中的关键一步。此时需要应用弹 i l - j ：7 学中的j l 阿方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元的刚度 矩阵和载衙向量。 利用弹性力学的几何方程，i j _ l 单元内位移关系式( 221 ) 式导出用节点位移 表示的单元应变，其关系式为 =8酽t2 2 2 、 e 为单元内任点应变司量： 口为啦元儿阿* 刚年表示噍变与节 f t 侈的关系，| = j = i _ 1 = 三函数列! | 皇标变量。? j _ j = 导 w i i 得因而与坐标变量有关： 利弹r l ：力：荸的物理疗雕t i 变荚系。f ! l ! ) 导f “用m ! i 缸侈裘示： i ：l ：l i p 儿j 皿j ，虬关系式为： “= d k = d 8 f j f 山j 1 1 儿ni l i - j l l jj ，：! j d4 ；4 ：乃g l l f l ! t i lr m ：。亡丧，j ：，i ti l l j 0 利制。p l - ，j ! j ! - i4 _ 料| j i ( jg ，l 队 啦jj ：羽i i l l 松比z ；仃父： 利川j 齄j ：j j j 咿g 矬。z f i - 川j ：l 丫l 儿0m 1 i j | ：i i m 。，i 位移之川的父系也就比 t ii l i j t l l v l 山雕： = j 。 ( 2 2 1 ) ，。为，n 冗1 7 j - x 截衙向f l 。称为单元川度矩阵，表永单7 i 的川度特性，其表达式为 肚b 7 d b ( 2 撕) 。为单元的体积 ( ： ) 计算等效。声点力 结构离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另个单元。但屉， 对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种 作用在堆元边界上的表面力、单元内部体积力和集中力等都需要等效地移霄：到节 点上去，也就是用等效的节点力来代瞥所有作用在单元上的外绒荷。移置的方法 按虚功等效原理进行推导。 ( 4 ) 建立整体有限元平衡方程 包括两方面的内容。其一是由各单元的刚度矩阵组装成总体刚度矩阵。其二 是将作用于各单元的等效节点力向量组装成总的节点载荷向量。通过对结构全部 i n 个单元刚度矩阵与载荷向量的累加，最终获得结构整体有限元平衡方程为： m ，= f ( 2 26 ) 其中k 为总刚度矩阵，f 为总节点载荷向量，l f 为总体位移向量， 1 盯= k 。，f = f 。 f2 + 1 7 j t - ir = 1 ( j ) 求场华术知m i i 缸移矛j | 汁萍，_ 厄j i i 变j j 利、 i 衡厅氍f ：! h ) 武，运川给定的f ? 计；边界条什i i 弼j 总川度l f ：的奇 异性，使方杯可懈，求珩罕半衡方利i 便可得到令部术知节点位移，1 4 利川 式( 2 22 ) f 1 1 ( ! ! ： ) ) 分) 纠二r h i 齐，1 1 ，i 0 f 逆蹙平l j i 力j # 肺1 _ j 二锯j 啦? k f 等即i 蛭目：n o i ，_ ! ， 迎j f ：j 生舒h i ，t j 以厅，f j 限i s l f z i | ! j 峨d x 鬯怨越“行合”分址为 了姚进 j ：i i ，i ：巾i j i j 丁对件强陶逃汀嚣衍；州i 。 j ! ：! 型型业! 一 一 虚功原理 卜川，介纠了有谢州雠小山彳 。本节；l 暂介洲! 川：i 别佯川趣n 滞j 厅f + 埽l 边， 条什j i ：从控制，j 科干j 越j 也y 条f i - 的等效d 1 分j i j 三u 【j 发，j l 】1 过分闸j 私! ，业。- 。川鬟旺移原理等效杉! 分的。! 划“形。 231 微分方程的形式 连续介质问题的分 ：r 万法是：阿先从介顺。p 以做7 c 进仃 w t 址卫任。驯，任； 然后结合具体的定解条件( 边界条p 旧i 钏始条件) 求斛控制方程c 显然，问题的物 理史质小i f i j ，控制方程和定解条件也就不同 2 4 。但是它们一般可表示为f 图 蛳，) 一) 她闪 曩1 ) 即归譬) 在r 上 3 2 ) 吲2 4 芷解l q 越 待求m 彻0 未知函数l i 可以难际鼓场，也l 可以是若= f 变量组成n i j 向量场( 例蛐i 立移、应) ) 。a 口b 为刈一r j 虫1 2 ：坚融( 例m 【| ：e 叫! 睑扣 ：) n i j 微分算于c 下而给直角坐杯系下弹一m 孙j j 问题的控制方艇和也粹条件。 fj ) i h 孵方眄! 仃i ，+ = n ( ，- ，= 1 2 ，3 ) ! “ 一，”川，k 的n1 、，：j 州。( 州：州l 卜r 啪：。孙蛐”川删。r ： 口= = ir 7 。f 二r ，、r 。i 。i 4 r ，川渺j 厂8 为体杉：巾一【 f2 ) 儿f 办袱 s ? | 2 = 吨 4 - 。1 i i 为似移向f l 矗为应变张艟，儿向： j ；j 为 = 陋。， ：，。以 7 ，为必心变 ( 3 ) 本构方程 盯= d s d 为弹性矩阵。 ( 4 ) 边界条件 位移边界条件：坼= “， 应力边界条件：，口= 石 f2 文5 ) f2 3 6 ) ( 2 ：37 ) “，为已知边界位移条件，为边界外法线的方向余弦向量，万为边界面力向 量。 2 32 等效积分和微分方程的“弱”形式 与控制方程( 2 曩1 ) 和边界条件( 2 文2 ) 等效的积分形式为 m ) d q + b ( u ) d i - = o ( 2 ：3 8 ) 其中，、一hk 7 是函数向量，它是一组同微分方程个数相等的任 意可积f 在q 内) 函数。+ 通常情况下，利用g r e e n 公式对( 2 ：38 ) 进行分部积分，从而得到 弘1 ) d ( 2 m ，q + e ( 1 + ) 肌) c 1 = 0 ( ! ： q ) 其中，c t d ，e ，f 是礅分肄厂。通常式( ! 3 9 ) 称为微分疗程的弱形 式f w e a k f o i _ 1 1 1j ，十f 1x t 而苦，j 芷自fj u 题n 0 牧分一百t 韵：为强形s i i o n g f o l l l l ) 。 23 3 虚功原理 i ii l i d l ) _ | _ l 边， 条俐：n i j 等设p l ，“0 0 ”j 移：j 齄j 丑n j ! 川! | j ! i j j 壬儿f “f n ! 羽i f 五侈边界绦川：j 0 效秒! 分“_ 0 ”j 眵式。 舀坤1 1 雎力：! i 卅题l ，i 数分j i l = l 也岳3 自【 空侉0 力f l 羽i2 纠【边， 条f l ，f 以殴f 童移 丙数爿f 先已经浦足f 、? 侈边界条件1 1 应变揪荆儿f t f 方程| “随移硫定，、j 似槲水 构方强汕j 遁变f m 定则此他侈 j l i 腻；i i 足的条件只剩f l i i 9 1 ；微分订= l l ! i 捅i 应力边界条 p r 。；【暂它” 写j 茂等效和1 分j 髟，j 卜j j l 过分杆l ：移! 分 1 e 导女e 弱形式，此弱形i i 光是j 麓 位移原理。 平衡方程和应力边y 条什的7 7 ：i 效积分形式为： 一k t 口hi + 8 1 5 “。“q + i l “。巧h 一纯) 6 ) “r ：o t2 - o 10 ) 利用g i - e e l l 公武和物理方程，对式( 23 i o ) 进行分部积分，得到等效积分 的“弱”形式： f0 积i ( 1 q k 殍6 u i d f 2 一i 了她c n 0 或k 6 s l6 c l q = c 5 n | j ”d q + i 6 t f | j d r ( 2 3 11 ) ( 2 3 1 2 ) 显然，上式的右边是外力在虎位移上所做的虚功c s w ，而左边则是物体内应 力在虚应变上的虚应变能j u 。可见，式( 2 3 _ 1 2 ) 是变形体处于平衡时应力应 该满足的条件，式( 2 曩12 ) 也即虚功原理。与其相对应的虚位移原理可表述如 下：变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上所作的虚功等于 零，即外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功，即 j u = 6 w ( 2 3 1 3 ) 虚功原理是力学中应用范围很广的原理之一，因为该原理表达了弹性体平衡 的普遍规律，所以可以用来研究弹性体的平衡问题。基于虚功原理可以进行有限 元公式的推导。 第三章接触问题的有限元分析 n ：进i - j 。结| ： _ j ，昕时，绛j ：r 会趔剑人搁n 接触川题。如铁路交j ! l ir 火乍| ：轮j - y 轨通n ! j 接触；机械i ：、1 1 o 表示f ，点和刚1 ；而7 s7 7 分离，g 、= o 表示p 点已和目标面7 s “接触。 而g 。 o 则表示p 点已侵入i ：1 l i f t s “，也即，和，已相互贯穿。 上式对于接触面上任一j ：i 都应成立所以不可贯入性可以一般性地表示为 ，g 、：g ( t ，) = ( 7 、7 一j 。) i l l j 0 ( 3 1 4 ) 很显然，不可贯入性条件是和接触面上的接触点在目标面上的投影有关。 31 2 法向接触力为压力 法向接触条件的一个补充条件是接触压力。此条件是接触面间动力学方面的 条件。在不考虑接触面削n j 黏附或冷焊的情况下，法向接触力只能为压力，即 313k u h n t u c k er 条件 讨论了不可贯入性条件二和接触压力条p i 二 2 8 - 1 ：k u h n t u c k e l 条件可表述如 ： f g 、= g ( 7 ，r ) 0 j0 1i t i g 、= 0 ( 3 1 5 ) 法向接触条件的另一个补充条 16 ) 这：二个箱f m t 可咀畏：i 为隆1 卜! 反映丁1 ：l 可贺入傩约束浊向j 为爪力以及 当接触发卜 浊向j i 、j 小为零。 jl 鲵 l g 3 2 切向接触条件 通常将切向接触力模型称为摩擦模型。切向接触条件是判断已进入接触i 的两 个物体的接触面的具体接触状忿，以及他们各自应服从的条件。 321 无摩擦模型 如果两个物体的接触面例的摩擦可以忽略不汁，则接触面之唰的切向摩擦力 为零，此即为无摩擦模型，切向条件为： ，7 = ，7 = o ( ：32 1 ) 或写成分慝形式，即 工7 = 正7 = 0( = l ，! ) ： ! ! ) 这时两个物体绝接触而| j j 切f 1 可以自n 刊1 荆动， 32 2 有摩擦模型 ! 。 ：。婴鼍l 窖”： 二：l ! t 啦2 钏 卜1 川f 驯讹 州jj 垒二，：j j 生 0 f m ：1 一“7f j u 吁，n 0 _ j ：1lj 、小。0 饭：m 讪n ；j 、jj 成 竺：翌型业塑蟹：坚型l 一 m 比。库仑摩擦摸删认为圳向接触，j - ，f n 数心1 、能超过它的i 微小他，吖；i ，为 岸擦系数) ，【_ ! | j 忙历了玎万- i 吖，“ 23 l j - ：- v , i ，7 1 ，印，m 接f l i , j ! i i l i 2 _ ir j 尤圳向，i | = l x , j 州i 动，【_ ! | j 相剥圳m 速度l 为 零，此时圳向接触条4 1 二为： 7 丘：7 一丘7 = 0当l 一1c ，吖，_ 32 4 或写成分量形式： ，旷：哆，_ 哆。= 0 ( 一1 ，2 )计川c ，寸；1 2 j 2 ) 当川= ，吖卜f ，接蒯! 而的滑动不受限制，即相对滑动速度l