（基础数学专业论文）一类具有脉冲时滞有限食物种群模型的振动性.pdf

中文摘要 中文摘要 在现实世界中，许多事物和现象的发展变化具有脉冲现象为了更准确地描述这 些事物与现象的发展变化过程，用脉冲微分方程更符合其本质属性，因而有关脉冲微 分方程的研究无论在理论上还是在应用上都具有非常重要的意义 此外，脉冲微分方程的振动性是一个很有意义的研究课题，在生态系统，流行病 学，物理学等领域都具有非常大的研究价值，进而成为国内外众多学者的研究对象 基于以上原因，本文将分四章研究一类带有脉冲时滞的有限食物模型 f ( t ) ：，( t ) n c t ) 譬业， k + 至反( t ) ( 娇( t ) ) t 拓， ( ) 【n ( t t ) 一n ( t k ) = b k ( n ( t k ) 一k ) 的振动性 第一章，主要介绍有限食物种群模型的研究意义和研究背景 第二章，给出证明本文主要结果所需的预备知识和引理内容特别地，将脉冲微 分方程 f 荆：一晰) 箩( 矗( t ) ) 百旦韭l ， l + p l ) 【1 + 钞( m ( # ) ) 】 【可( 去) 一y ( t k ) = k 可) ， t t o 0 ，k - 1 的振动性转化为相应的非脉冲微分方程 圣( t ) = - r ( t ) ( 兀( 1 + b k ) “) z ( 危( z ) ) 、 ( t ) “ t 1 + ( n ( 1 + b k ) ) x ( t ) 鬲一 1 + p i ( t ) 1 + ( 兀 ( 1 + 饥) ) z ( 虫( ) ) 】 i = 1 t o “ - - 1 t ot h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n 圣( t ) = - r ( t ) ( ( 1 + b k ) - 1 ) z ( ( t ) ) 、t t ( t ) 、t k t 7 1 + ( n ( 1 + b k ) ) x ( t ) 1 ， 1 + a ( t ) 【1 + (丌( 1 + k ) ) z ( 饥( ) ) 】 i = 1 t o r t k g i ( t ) c h a p t e r3o b t a i n st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tg u a r a n t e et h eo s c i l l a t i o na n d n o n o s c i l l a t i o no ft h em o d e l ( ) 一类具有脉冲时滞的有限食物种群模型的振动性 t i o n c h a p t e r4i sd e v o t e dt ot h eo s c i l l a t i o no ft h ef o l l o w i n gi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a - ( f ) = r j ( t ) n ( t ) j = l 一( 嘞( t ) ) k + 黝( ) ( ( ) ) = 1 ( t j ) 一n ( t k ) = b ( n ( t k ) 一k ) i na d d i t i o n ，s o m er e s u l t si nt h i st h e s i sh a v eb e e np u b l i s h e di nj o u r n a lo fm a t h e - m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s k e yw o r d so s c i l l a t i o n ，n o n o s c i l l a t i o n ，i m p u l s i v ed e l a ye q u a t i o n c l c 0 1 7 5 型 孽 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导 下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如 果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关 的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献 资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的成果。 学位论文作者( 签章) ：土每j 芬， 2 0 0 年月日 。 第一章研究背景及具有脉冲时滞的有限食物种群模型的介绍 第一章研究背景及具有脉冲时滞的有限食物种群模型的介绍 自然界和科学技术领域的许多运动，其运动状态在固定或非固定时刻可能具有突 变，这些突变持续时间与整个运动过程持续时间相比是非常短暂的，可以认为是瞬间 发生的，即这种突变以脉冲的形式出现所以用脉冲微分方程，即包含有脉冲作用的 微分方程来描述和刻画这些运动过程是很自然的，它比没有脉冲的微分方程更能真实 地反映这些发展过程因此它成为我们研究的一个重要的领域，用它描述一些生态系 统，流行病学，物理学，工程学，等现实现象的问题近年来，随着脉冲的振动性理 论吸引了许多数学家的注意，很多相关的文章已经出版( 见【1 - 9 及其参考文献) 将脉 冲时滞方程引入种群动力学中研究带有突变的种群增长模型就成为本文的出发点 我们通常将逻辑方程 r lr 、 n ( t ) = r ( t ) ( t ) ( 1 一竺等掣) ， ( t ) t ，( 1 1 ) 称为h u t c h i n s o n 方程，其中危( ) = t l n ( t ) 表示种群在t 时刻的数量，r 为种群 的内禀自然增长率为正常数，为容纳量也为正常数，1 一生掣为调节因子 这个方程已经有很多人研究，其振动与非振动的充分条件g o p a l s a m y 和张炳根在文 献 1 ，1 0 】中已经给出，后来又有一些文章将此结论完善 1 9 6 3 年，s m i t h 1 l 】给出了一种有限食物人口模型方程 肌一邢) 嵩器，“ ( 1 2 ) 其中，r 表示无限食物下的增长率，k 表示n 的饱和值常数1 c 表示人e l 的变化 率( 包括新陈代谢的损失和死亡) k g o p a l s a m y , m r s k u l e n o v i ，g l a d a s 1 2 ，e a g r o v e ，g l a d a s ，c ，q i a n 【13 1 又考虑 了有限食物下的自治方程 肌) _ r 邮) 揣，坤阳， j w h s o ，庾建设【14 】对常时滞非线性方程 肌一邢) 熹耥，呻阳， 的稳定性做了研究，推广了有限食物状态下的方程( 1 2 ) 和( 1 3 ) 1 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 一类具有脉冲时滞的有限食物种群模型的振动性 本文借鉴文献 1 5 1 中的思路及非脉冲的时滞方程振动性理论的文献有 1 1 1 4 ，1 7 - 2 3 】_ 在这些理论基础上，我们加入脉冲条件，试图在脉冲时滞条件下得出一些振动 性的结论这样得出的结论也可直接应用到非脉冲方程中文献 1 5 】的思想是利用 s c h a u d e r 不动点定理因此，我们先将脉冲方程与非脉冲方程建立振动性的等价关 系再将方程转化为算子方程 钍= a u b u 其中算子a 是单调递增算子，曰是单调递减算子我们将证明存在函数口，w ，0 v ( t ) 伽( t ) ，使得v ( t ) ( a v ) ( t ) ( b w ) ) ，w ( t ) ( a 叫) ( t ) ( b 口) ( t ) 当v ( t ) 乱( ) 叫( t ) ，有t u = a u b u ，利用s c h a u d e r 不动点定理，可得到7 k = 钍的一个非负解 在第二章我们先建立脉冲方程与非脉冲方程建立振动性的等价关系第三章我们 给出本文的主要定理及其证明第四章给出多时滞状态下的模型及其它模型的对应结 论 本文的有关结论深化和推广了文献【1 5 】中方程( 2 1 ) 的相应结果，部分内容已在 j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s 出版 2 第二章预备知识 第二章预备知识 l b e r e z a n s k y 和e b r a v e r m a n 在文献 1 】1 中研究了非自治的非常时滞的有限食物 模型的振动性： 肌) - r 邢) 毒器器， 剀，坤阳“懈( 2 1 ) 这推广了文献【2 , 4 ，1 1 1 4 ，1 6 ，1 8 ，2 1 】的结论 本文的目的是建立更一般的带有脉冲的有限食物方程，得到其解关于耳振动与 非振动的充分条件考虑方程 t ) = r ( t ) n t ) 一( “ k + 荟a ( 。) ( 玑( ) ) t ( 2 2 ) ) = b k ( n ( t k ) 一k ) ( a 1 ) 0 t 1 t 2 - 1 及初始条件 y ( t ) = 妒( t ) 0 ，妒( t o ) o ，t i t 一，t o 】( 2 4 ) 这里对任意的t o 0 ，t - 21 m i n 。璐渤( 。) ， ( 。) ) ，妒：p 一，t o - + r + 是有界l e b e s g u e 可测函数 定义2 1 对任意的t o 0 和妒( t ) ，函数g f ：p 一，o o ) or 称为方程( 2 3 ) 在 t o ，o o ) 上满足初始条件( 2 4 ) 的解，如果下列条件成立z 3 ； f一【件条没暇列f 廷满 一类具有脉冲时滞的有限食物种群模型的振动性 ( i ) v ( t ) 满足( 2 4 ) ； ( i i ) v ( t ) 在每个区间( ，“) ，( t k ，t k + 1 ) ，t k t o 里绝对连续，k ，v ( t d ，可( 坛) 存在且有掣( ) = y ( “) ，k k o ； ( i i i ) v ( t ) 在区间 t o ，。o ) “) 上几乎处处满足方程( 2 3 ) 的第一个方程，当t = t k ，= 1 ，2 ，时满足( 2 3 ) 的第二式 任取t 0 ，考虑非线性方程 童( t ) = - r ( t ) ( 兀( 1 + b k ) _ 1 ) z ( ( t ) ) 、h ( o r t k 7 1 + i 1 7 ( 1 + 训z ( t )(25)t o “ t 、7 m， 1 + 鼽( t ) 【1 + (兀( 1 + b 女) ) z ( 豌( t ) ) 】 i = 1 t o “ 拼( t ) 定义2 2 着方程( 2 3 ) 或( 2 5 ) 的解既不是最终正的也不是最终负的，则称为振 动解反之，则称为非振动解n ( t ) 是方程( 2 2 ) 的解，若n ( t ) 一k 既不是最终正 的也不是最终负的，则称解n ( t ) 关于k 振动反之，则称解n ( t ) 关于k 非振动 r ，+ 、 显然，对方程( 2 2 ) 作变换耖( t ) = 三菩! 一1 可得到( 2 3 ) 我们有以下引理： 、 引理2 1 设条件( a 1 ) ( a 4 ) 成立，则方程( 2 2 ) 的解n ( t ) 关予k 振动当且仅当 方程( 2 3 ) 的解是振动的 引理2 2 设条件( a i ) ( a 4 ) 成立，任取t o 0 ，则v ( t ) 是方程( 2 3 ) 在区间 m ，o o ) 上的一个解当且仅当 ) = ( i i ( 1 + k ) ) 一1 可( t ) t o r t k t o t o “ t 上是绝对连续的 4 第二章预备知识 + r ( t ) ! ，( ( t ) ) 育塑熊 1 + 鼽( t ) 1 + ( 肪 ) ) 】 i = 1 = i i ( 1 + “) 圣( t ) + r o ) i i ( 1 + k ) z ( ( t ) ) 乃“ t 乃“ ( t ) 1 + 兀( 1 + h ) z ( t ) 1 + 丕a ( 。) 【1 + 辄i - i t o 1 + 酬吼( d ) 1( 2 7 ) l = l “ m ( e )l z i ， = i i ( 1 + b k ) 雪( ) + r ( t ) ( i i ( 1 + 靠) 。1 ) 石( ( ) ) t o t k t 、 ( ) “ t 1 + ( 兀( 1 + b k ) ) x ( t ) 、 i 旦竖l 一 m 1 + 鼽( t ) 【1 + (兀( 1 + 6 膏) ) z ( 职( ) ) 】 i = 1 而“ m ( t ) = 0 另一方面，对于任取的t k “) ， “砖卜鼍乃驶。( 1 + 咖 ) - 觋“( 1 + 咖。d 且 y ( t k ) = i i ( 1 + 屯) z ( 缸) 而白 0 ，t t o ( 3 2 ) t o 0 ，方程( 2 2 ) 在 t o ，o o ) 上解为正 我们先证明下面引理 引理3 1 设条件( a 1 ) 一( a 4 ) 成立， 厂”阜班：。， ( 3 3 ) j o 1 + p i ( t ) 且 n ( 1 + 巩) 有界，l i m i n f1 - i ( 1 + 以) 0 ( 3 4 ) t o “ tt o 0 ，t 正故存在t 2 丑使得当t t 2 时， h ( t ) t 2 ，g i ( t ) 乃，i = 1 ，2 ，m ( 3 5 ) 定义 婶) - - 鬻，t 死 则当“( t ) 0 ，t t 2 时， z ( t ) = z ( 瓦) e x p - u ( s ) d s ，t 乃 ，t j 而 6 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 第三章主要结论及其证明 令c = z ( 疋) ，我们有 心) 2 器( 坤黔1 圳。1 ) m ) 1 + ( 兀( 1 + “) ) z ( t ) 墨堕兰兰一 1 - i - 鼽( t ) 1 1 + ( 兀( 1 + k ) ) z ( 吼( t ) ) ) i = 1 、 而“ m ( t ) 7 籍( 岬驸圳。1 ) 邢， 1 1 + p i ( t ) ( 1 +兀( 1 + “) c ) i = 1 t o t t k g d t ) ；半( n ( z + 盯t ) m l_ _ 、一。 ， ， 1 + a ( t ) 、h ( t 聂五 t 7 i = l ，n 1 + 鼽( ) !l：!：一 1 + p i ( t ) ( 1 +兀( 1 + b k ) c ) i = l t o “ 玑( t ) r ( t ) 1 + e p i ( t ) i = l 】 ，、，tn、 l - i ( 1 + b k ) ) ( 1 + p i ( t ) ( 1 + i i ( 1 + k ) c ) ) 、 ( ) “ t 7、 i = l t o r t k g i ( t ) 7 再由条件( 3 3 ) 和( 3 4 ) ，层u ( t ) d t = 下证一1 u ( t ) 0 时的情况 由不等式( 3 1 ) 知，- 1 五使当 t o t t k t 2 时条件( 3 5 ) 成立设u ( t ) 由( 3 6 ) 式定义且令c = z ( t 2 ) 结合条件( 2 5 ) 和 不等式( 3 2 ) 有u ( t ) 0 ，- 1 c 0 ，则 仳= 器( ( 1 。1 ) m ) 7 h ( t ) t a 1 + ( 兀( 1 + ) 净( t ) j 鱼墨垒三上一 1 + 魏( ) ( 1 + ( i i( 1 + k ) ) z ( 虫( ) ) ) 7 一类具有脉冲时滞的有限食物种群模型的振动性 蒜( ”驸一) m ) 1 + ( ，县，+ ( 1 地) ) c 、t o “ 0 ，方程 雄) + ( 1 叫) 坤黝1 + - 1 焉砌) = 。 ( 3 8 ) ( t ) “ f l + 2 。鼽i j 的所有解振动，则方程( 2 3 ) 的所有解振动 证明设掣( t ) 是方程( 2 3 ) 的一个最终正解，则。( t ) 是方程( 2 5 ) 的一个最终正 解由引理3 1 知，存在五0 使当t 正时， 0 ( 1 - i ( 1 + 6 ) ) z ( t ) e 设当t t 2 时，条件( 3 5 ) 成立，则 ( ，+ 薹础) ) ( ，制如必，圳) 酬 1 + p i ( t ) 1 1 + ( 兀 ( 1 + “) ) z ( 吼0 ) ) l 1 + 至p i ( t )1 + e ”鼽( t )， ( 3 9 ) + ) + 鼽( t )， 。7 叠1 氯百1 茹麓e 丽。雨+ 仇( t ) ( 1 + e )( + e ) ( 1 +a ( t ) ) 1 一e 由方程( 2 5 ) 有 球1 - c ) h c t ) 必。 tl + - 1 忐m ) 0 睁而 ( 3 1 0 ) t1 + 鼽( t ) 8 第三章主要结论及其证明 易知( 见参考文献【1 7 ，p 6 7 1 ) ，方程( 3 ，8 ) 有一个正解矛盾! 下证一e ( 兀( 1 - i - k ) ) z ( t ) o ，t 丑设当t t 2 7 1 时，( 3 3 ) 式成立 t o “ t 当t t 2 时，我们还能得到 (+耋邢)(+(h(1+bkl 11 bkt ) ) 刎 ( + 鼽( t ) ) ( + () ) z ( t ) ) 、 f = l 7、 o 峙t k t ， m 、 1 + 鼽( d ( 1 + ( 兀( 1 + “) ) z ( 虫0 ) ) ) = 、 如“ 0 方程 即) + ( 1 + e ) ( t 黔1 + - 1 忐砌) - o ， ( 3 1 4 ) ( t ) t o 时，x ( t ) 0 是方程( 3 1 4 ) 的一个解，则由方程( 2 , 5 ) 和【1 7 ， 推论3 1 2 j ，存在t o 0 和w o ( t ) 0 ，t t o ；w o ( t ) = 0 ，石t t o 使得 州籼刊忐( ”黔t 圳。1 ) 唧圪酬如) 临埘 一类具有脉冲时滞的有限食物种群模型的振动性 而 兀( 1 + b k ) 收敛，故存在一正常数c 使得0 c ( 兀( 1 + b k ) ) e 考虑两函 t o t k t t o 、t t 数列 凹n ( t ) 2 州m 盟。( + 6 e ) 一1 ) e x p 露( t ) w n - 1 ( s ) d s ) 1 - 4 - c 1 ，- 。i ( 1 + “) ) e x p 一丘一l ( s ) d s t o “ 1+e“a(t)(1+c，兀。(1+bk)exp一甓旧w。一1(s)d8)i + a 0 ) ( + c ( 兀( +)一缮) 。一1 ( s ) d 8 ) ) = 1 、 如t 靠( ) 。 7 行= 1 ，2 ，； v o ( t ) = r ( t ) ( h1 7 一( 1 + ) 一1 ) e x p 届。( s ) d s ) 。 、，、 t ， 、7 j 1 - 4 - c l h ( 1 + 巩) ) e x p 一丘w n 一1 ( s ) d s 丁0 “ t 1 + m ， 1 + c ( n 。( 1 + k ) ) e x p 一鹾。一l ( s ) d s ) i= i 、t o t t k 靠( f ) 。 7 n = i ，2 ， 其中的索义砸卜日t j n 三0 喇2 忐( ”黔坩1 ) e x p f h ：。，删s ) m，、 ( 1 - 4 - a ( t ) ) ( 1 - 4 - c ( 兀( 1 + b k ) ) ) 证l 、t o 7 1+妻鼽o)(1+ci，1-i、(1+以)exp一篮。叫。(s)ds)i= 1 、t o t t g i ( t ) 一” 7 粤( ( 1 + k ) 1 + e a ( t ) 、 ( t 聂五 w o ( t ) 显然v d t ) v o ( t ) ，w o ( t ) v o ( t ) 由归纳法。 l e x p 皈嘶) 0 凹。( t ) w n 一1 ( t ) w o ( t ) m ( 1 - t - e 纯( t ) ) ( 1 + f ) i = 1 口。( t ) 一1 ( ) v o ( t ) = 0 ，佗= 1 ，2 ， 1 + 纯( t ) = 1 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 。塞! i ! 叁圭圣竺丝丝苎堡塑 且( t ) ( t ) m 非景3 譬? 列o 冀! 苎警型兰t ) 均有点极限函数我们定义伽( t ) = 。1 i r a 。叫。( 巩”( t ) = ! 骢( 功，则由l e b e s g u e 控制收敛定理，我们得到 ”一 硼( 。) = r ( 。) ( 坤恩。( 1 + “) ) e x p ) 叫( s ) d s ) 1 + 。l 1 - i 。( 1 + 玩) ) e x p f 一丘( 8 ) 如) 而 f o 、。 1 + 荟鼽( f ) ( 1 + c ( h ( 1 + b k ) ) e x p t 一瞄叫( 5 ) d s ) 1 2 2 l 、 o r t k g d t ) 。” 、 t ，( t ) = r ( ) ( 。( ；) 致。( 1 + “) ) e x p 届”口( s ) d 。) 3 1 9 1 + c l 贝，。( 1 + b k ) ) e x p 一层加( s ) 如 而“ “o 、7 1 + 鼽( ) ( 1 + c ( t 兀、( 1 + 饥) ) e x p 一鹾。口( s ) d s ) ) 。2 l 、 o 0 ，及初始条件( 2 4 ) 对应条件( 3 3 ) ，给出 方程 厂”挲l 出：。，j ：1 ，2 ，付( 4 2 ) j o 1 + p i j ( t ) 同礼= 1 的情况相似，我们可以得到以下结果； 定理4 1 设条件( a 1 ) ，( a 2 ) ，( a 3 ) 7 ，( a 4 ) ，( 3 4 ) 和( 4 2 ) 式均成立，且对任取的e 0 ) + ( 1 - e j = lh。(1+bk)-1j=lh j ( t ) ，t k 美蒹蝴) ) = o ， ( 4 3 ) - - 1 1 3 一类具有脉冲时滞的有限食物种群模型的振动性 由引理2 2 可类似地推出! ，( t ) 是方程的一个解，当且仅当x ( t ) = ( 兀( 1 + ) ) 。y ( t ) t o “ 是 童(t)=一壹r(t)(。l-i，+(1+6t)1)z(b()j= l 、b ( t ) “ t 7 1 + ( n ( 1 + ) ) z ( t ) ( 4 4 1 。鬲一 1 + p o ( ) 1 + ( 兀( 1 + ) ) z ( 勋( t ) ) 】 扛1 而“ 9 “( t ) 的一个解由引理3 1 知，存在7 i 0 使当t t i 时， 0 ( i i ( 1 + k ) ) z ( t ) e t o t k t 且存在死使当t t 2 时， 吻( t ) t 2 ，g o ( t ) t 2 ，i = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，几 则 ( 1 + 耋啡) ) ( 制删l - i 删( 1 圳m t ) ) 1 + p o ( t ) j 1 + ( 兀( 1 + b k ) ) x ( g o ( t ) ) l 注l m 而“ 趵 m 。 mm 1 - i - p o ( t )1 - i - e p j ( t )， 百l 一生矿一= 亡 1 - i - e p o ( t ) ( 1 + e )( 1 + ) ( 1 + 黝( t ) ) 十 1 一e 由方程( 4 ，4 ) 有 = 1 t t 2 易知( 见参考文献【1 7 ，p 6 7 d ，方程( 4 3 ) 有一个正解故方程( 4 1 ) 有一个正解 矛盾! 下证一 ( n ( 1 + h ) ) z ( t ) 0 ，t 乃设当t 死乃时，( 4 2 ) 式成立 “ t 1 4 。叁坚塞圭竺丝丝壅= 垄堡三皇堡里 当t 疋时，我们还能得到 ! ：二薹竺! 三1 21 ：二! 墅旦! 竺二竺翌：竺2 m ，、 1 + p o ( t ) ( 1 + ( 兀( 1 + “) ) 。( 夕珏0 ) ) ) i = 1 、 如“ 0 ，方 程 圣( 0 + ( 1 + e ) eh ( 1 + k ) - 1 j = lh j ( t ) “ t o 时，x ( t ) 0 是方程( 4 5 ) 的一个解，则由方程( 4 4 ) 和 1 7 ，推 论3 1 2 】，存在t o 0 和w o ( t ) 0 ，t t o ；w o ( t ) = o ，野t t o 使得 撕( t ) ( 1 + e ) j = l r ( t ) 1 + 阢( t ) i = 1 ( m 黔- _ ) 唧i f ( w o 幽 ( t ) “ t 而 n ( 1 + b k ) 收敛，故存在一正常数c 使得0 c ( 兀( 1 + k ) ) e 考虑两函 t o k t t o 咤t h 一类具有脉冲时滞的有限食物种群模型的振动性 毗(t)=登勺(t)(，兀，(1+6t)一1)唧如蚍-(s)ds)j=l h 、j ( t ) t k t 7、7 1 + c ( n ( 1 + 坛) ) e x p 一盛口f - l ( s ) d s 马 。 +薹)(+c(轨i-11 p o ( t 1 ) + ) ( + c ( +)一正挈婶一 ) i = 1 、 “) 。 7 l = 1 ，2 ， 仇( t ) = 壹勺( t ) ( ，兀( 1 + b k ) 一1e x p 芘( i ) ( s ) d s 3 = 1 h ) 、j t ) t k t 、 1 + c i 兀( 1 + 九) ) e x p 一丘撕一1 ( 8 ) d 8 而“ t 。 1 + 萎p o ( t ) ( 1 + c ( n ( 1 + b k ) ) e x p 一层宇。) l 一1 ( 8 ) d s ) ) + ) ( + c (n( +) e x p 一层? l 一1 ( 8 ) d s ) ) i = l 、t o ，t k g o ( t ) ” 7 l = 1 ，2 ， 其中 o 的定义见上且t ) o 三0 州2 喜爰乞。黝，州) 唧纸酬d s ) m ，、 ( 1 + p , a t ) ) 1 + c ( i i ( 1 + 靠) ) ) 扛1 、t o “ t 7 + 薹) ( 1 + c ( 一曼m ( 1 + j(t)wo(1 p i j ( te x p - 郴s ) ) + ) 1 + c (n( 1 + h ” 一8 ) d s ) ) 注1 、 孙“ 9 ”( t ) 。 7 骞燕( ”h 博脚( 1 + b k ) - 1 ) 一 m 叫州彬3 ) 警 i = l w o ( t ) 显然v l ( t ) v o ( t ) ，w o ( t ) o ( t ) 由归纳法， 0 w 。( t ) w 。一l ( t ) w o ( t ) t k 0 ) v n l ( t ) v o ( t ) = 0 ，n = 1 ，2 ， 第四章主结论的进一步推广与应用 且t j n 【t ) v n c t ) 非负非递增列w 。( t ) 和非递减列( t ) 均有点极限函数我们定义w ( t ) = l i m ( ) 移( t ) = ，娩口n ( t ) ，则由l e b e s g u e 控制收敛定理，我们得到 呻) = 妻j = l 咄) ( h n(1倒)懿p眠，邮)ds)j(t)t t k t 。，bl 1 + c ( 1 - i ( 1 + b k ) ) e x p 一j 三v ( s ) d s ) t o r t k t 。 1 + 要p , t ) ( 1 + c ( 兀( c ) ( 1 + b k ) ) e x p t o 。t k g i j 一舻吣) d s ) ) + ) ( + c (兀( +)一正韶”彬( s ) d s ) ) = 1 、 ( t ) ” 7 ) = 壹雄) i k 1 7 j = t幽 l ( 1 圳) 唧吆小) d 8 ) k ( ) “ 叫o 、7 1 + c ( 兀( 1 + b k ) ) e x p 一丘w ( s ) d s ) + 薹) ( + c ( 埘0 + ) 戚rlj(t)v(1 p o ( t 11 b k ) e x p - s 胁 ) + ) + c (兀( + ) 层s ) d s ) 仁l 、 而“ 如( 。 7 我们固定b t o 且定义算子t ：工。m ，6 】_ l 。【t o ，酬满足下面不等式： ( t “) ( t ) = r j ( t ) ( i i ，( 1 + k ) ) e x p j ：；f ( i ) 牡( s ) d s ) h 、jc t ) 。t k t 77 1 + c ( 1 7 ( 1 + b k ) ) e x p - 甓钍( s ) d s ) +差)(+c(h1 p o ( t 1 (1+bk)exp-u(s)dsto 0 且方程满足条件( a 1 ) 一( a 4 ) 做变换y ( t ) = n ( t ) l n ( t ) l 卜1 ，( 4 2 ) 变成： t ) = l r ( t ) z ( t ) 毒) 一z ( t k ) k z ( ( t ) ) k + 三酬z ( m ( ) ) ( 4 7 ) 1 z = 如( z ( 如) 州一) ， 易知，方程( 4 , 6 ) 有一个关于k 的非振动解当且仅当方程( 4 7 ) 有一个关于k 的 非振动解 对于方程( 4 7 ) ，对应于定理3 1 ，3 2 及其推论可以相应的得出： 定理4 3 设条件( a 1 ) - ( a 4 ) ，( 3 3 ) 和( 3 4 ) 式均成立且对任取的e 0 ，方程 壬o ) + ( 1 一e ) i i ( 1 + b k ) 一- 尝z ( 九 ) ) ：o ( ) “ 0 ，方程 雄) + ( 1 “) 岬黔1 + _ 1 忐m ) - 0 ( ) “ 0 使得 t 。黝州忐打q 1 成立，则方程( 4 7 ) 有一个非振动解 同样地我们还可以像( 4 1 ) 那样引入多时滞 注相近的结果可以在很多类似的模型中得出 1 9 结论 本文借鉴文献【1 5 】的思路，结合脉冲微分方程的研究方法对方程 陈：嶷挚 的振动性做了讨论，在第三章得出了一些方程解振动与非振动的充分条件在第四章 先做了多脉冲时滞条件的推广，然后进一步将结果推广到了相类似的方程之中，得到 了一类具有脉冲时滞的有限食物种群模型的振动性 参考文献 参考文献 【1 】k g o p a t s a m y s t a b i l i t ya n do s c i l l a t i o n si nd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp o p - u l a t i o nd y n a m i c s b o s t o n ：k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r sg r o u p ，1 9 9 2 2 】j y a n ，a z h a o o s c i l l a t i o na n ds t a b i l i t yo fl i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 8 ，2 2 7 ：1 8 7 - 1 9 4 【3 燕居让脉冲中立型时滞微分方程的振动性数学年刊，2 0 0 0 ，2 1 a ( 6 ) ：7 5 5 - 7 6 2 4 】l ，b e r e z a n s k y , e b r a v e r m a n l i n e a r i z e do s c i l l a t i o nt h e o r yf o ran o n l i n e a rd e l a y i m p u l s i v ee q u a t i o n j c o m p u t a p p m a t h ，2 0 0 3 ，1 8 1 ：4 7 7 - 4 9 5 f 5 】唐先华。庾建设l o g i s t i c 型脉冲泛函微分方程零解的全局吸引性数学学报， 2 0 0 2 ，4 5 ：9 4 1 - 9 5 2 【6 】z h a n gc h a o l o n g y a n gj i a n f u o s c i l l a t i o n so fh i g h e ro r d