（应用数学专业论文）广义传染病模型的复杂性控制.pdf

学位论文独创性声明 肿j iir flfpi r r r ifirljii r p i l lj i i if i i f y 17 9 4 7 6 4 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位敝储躲：趟塞 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签毫：扭霾指导教师签名：趣乏砌 指导教师签名：砖迢z 生坐j 签名日期： 纠口年争月留日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 启然资源是人类赖以生存和发展的重要物质基础，而可再生资源的不合理利用往往 会导致一系列的生活问题，比如水资源的匮乏、种群的灭绝、传染病的出现等那么如何 对自然资源进行合理的开发和管理，这已经成为备受关注的社会热点问题 目前，有关种群动力学与传染病动力学的控制问题的研究已经取得了一些理论成果， 但应用广义系统理论解决控制问题的文章还尚不多见，为此本文基于传染病动力学和种 群动力学，分别建立了三个广义系统模型，并运用广义系统理论，分析了模型的稳定性， 并对模型的混沌现象，分岔现象进行了研究 在第一个模型中，建立了一个基于l o g i s t i c 增长的广义s i r s 模型，通过线性化和极 点配置，得到了模型在无病平衡点处稳定的控制率，并用数值模拟验证了结论的合理性 在第二个模型中，研究了一个具有垂直传染的广义的s i r s 模型当对疾病传染率系 数与季节性无关时，得到了模型的阈值以及无病平衡点、地方病平衡点存在的条件，并通 过极点配置，得到了模型在无病平衡点处稳定的控制率，用数值模拟的方法验证了控制 的结果：当对疾病传染率系数与季节性有关时，通过数值模拟证明了模型混沌现象的存 在，且通过设计了反馈控制器使疾病得以消除 在第三个模型中，基于捕食者有病的生态一流行病学，结合经济学原理，建立了一个 捕食者有病的广义生态一流行病生物经济模型运用分岔理论，得到了模型的奇异诱导分 岔存在的条件：利用状态反馈控制，使得系统稳定在无病平衡点，即疾病得以消除：最后 通过数值模拟验证了理论的合理性 综上，通过我们的分析研究模拟，模型的疾病都得到了控制，这将为相关部门决策的 制定提供理论依据 关键词：生态一流行病模型：生物经济模型：广义系统：极点配置；奇异诱导分岔 l 广义传染病模型的复杂性控制 t h e c o m p l e x i t yc o n t r o lo fs i n g u l a re p i d e m i cm o d e l s a b s t r a c t n a t u r a lr e s o u r c e sa r e i m p o r t a n t f o rt l l es u r v i v a la n d d e v e l o p m e n t o ft h e h u m a n h o w e v e r , o v e r - e x p l o i t a t i o no fr e n e w a b l er e s o u r c e s h a sl e a dt oal o to fs o c i e t y p r o b l e m s ，s u c ha st h es c a r c i t yo fw a t e r , t h ee x t i n c t i o no fs p e c i e sa n do u t b r e a ko fi n f e c t i o u s d i s e a s e t h u s ，h o wt ou s ea n dm a n a g et h er e n e w a b l er e s o u r c e si nas u s t a i n a b l em a n n e ri st h e h o tt o p i ci ns o c i e t y n o w a d a y s ，t h er e s e a r c ho nt h ec o n t r o lo fp o p u l a t i o nd y n a m i c a ls y s t e m sa n de p i d e m i c d y n a m i c a ls y s t e m sh a sg o ts o m er e s u l t s b u tt h e r ei sl e s sw o r ko nt h ec o n t r o lo fs i n g u l a r e g o - e p i d e m i cm o d e l i nt h i sp a p e r ，b a s e do np o p u l a t i o nd y n a m i c sa n de p i d e m i cd y n a m i c s ，t h r e e s i n g u l a r i t ym o d e l sa r ep r o p o s e d u s i n gt h et h e o r yo fs i n g u l a rs y s t e m ，t h es t a b i l i t yo ft h e s y s t e m sa r ed i s s c u s s e d ，t h ee x i s t e n s ec o n d i t i o n so ft h eb i f u r c a t i o na n dc h a o sa r eg i v e n i nc h a p t e r2 ，al o 百s t i cs i n g u l a rs i r sm o d e li s p r o p o s e d ，u s i n gl i n e a r i z a t i o nt h e o r yo f s y s t e ma n dp o l ep l a c e m e n t ，t h ec o n t r o l l e rw h i c hm a k e st h em o d e ls t a b l ea tt h ed i s e a s e f r e ei s o b t a i n e d s i m u l a t i o n si sd o n et oc h e c kt h er a t i o n a l i t yo ft h er e s u l t s i nc h a p t e r3 , t h es i n g u l a rs i r sm o d e lw i t hv e r t i c a li n f e c t i o ni ss e tu p f o rt h ec a s eo ft h e d i s e a s et r a n s m i s s i o nr a t ew i t hs e a s o n a l i t y , t h et h r e s h o l do ft h es i n g u l a rs i r sm o d e lw i t h v e r t i c a li n f e c t i o ni sg i v e n u s i n gp o l ep l a c e m e n t ，t h ec o n t r o l l e rw h i c hm a k e st h es y s t e ms t a b l e a td i s e a s e f r e ee q u i l i b r i u m n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sd o n et oi l l u s t r a t et h er a t i o n a l i t yo f r e s u l t s f o rt h ec a s eo ft h ed i s e a s et r a n s m i s s i o nr a t ew i t hn o n s e a s o n a l i t y , t h ec h a o t i c p h e n o m e n ai s c o n f i r m e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s u s i n gs i n g u l a rs y s t e mt h e o r y , t r a c k i n g c o n t r o lw h i c hm a k e st h ed i s e a s ed i s a p p e a ri sd e s i g n e d i nc h a p t e r4 ，b a s e do nt h et h e o r yo fe c o e p i d e m i o l o g ya n dt h ep r i n c i p l eo fe c o n o m i c s ，a s i n g u l a re c o e p i d e m i o l o g i c a lm o d e lw i t hi n f e c t e dp r e d a t o ri sb u i l tu p t h e n ，u s i n gb i f u r c a t i o n t h e o r y , s o m es u 伍e i e n tc o n d i t i o n so fs i n g u l a r i t yi n d u c e db i f u r c a t i o nf o rt h em o d e la r e o b t a i n e d f u r t h e r , t h ec o n t r o l l e r sw h i c hm a k et h em o d e ls t a b l ea r o u n dd i s e a s e f r e ee q u i l i b r i u m a r eo b t a i n e d f i n a l l y , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ec a r r i e do u tt op r o v eo u rr e s u l t s 1 1 1a 1 1 s o m ec o n t r o l l e ra r ed e s i g n e dt om a k et h ed i s e a s ed i s a p p e a ra n dt oo f f e rab a s i sf o r c o n t r o l l i n gd i s e a s e k e yw o r d s ：e c o e p i d e m i o l o g i c a lm o d e l ； e c o e c o n o m i cm o d e l ； s i n g u l a rs y s t e m ；p o l e p l a c e m e n t ；s i n g u l a r i t yi n d u c e db i f u r c a t i o n i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i l 绪论1 1 1 生物动力学与广义系统的研究现状一1 1 1 1 生物动力系统的研究现状1 1 1 2 广义系统的研究现状。2 1 2 本文研究的主要内容及方法2 2 广义系统理论预备4 2 1 一步设计理论预备4 2 2 关系度6 2 3 分岔理论6 3 广义s r s 模型的极点配置。7 3 1 模型建立8 3 2 模型分析与控制8 3 3 结束语1 2 4 具有垂直传染的广义s i r s 系统的两类控制1 3 4 1 模型建立1 3 4 2 疾病的发生与季节性无关1 4 4 2 1 稳定性分析1 4 4 2 2 极点配置15 4 2 3 数值模拟1 5 4 3 疾病的发生与季节性有关1 9 4 3 1 混沌的存在性1 9 4 3 2 混沌控制1 9 4 3 3 数值模拟2 2 4 4 结束语2 3 5 捕食者有病的广义生态流行病模型系统2 4 5 1 模型系统的建立2 4 5 2 稳定性分析一2 5 5 2 1零收益时的系统稳定性2 5 5 2 2 正收益时系统的稳定性2 7 广义传染病模型的复杂陛控制 5 3 状态反馈控制3 0 5 3 1 零收益时反馈控制3 1 5 3 2 正收益时的反馈控制3 3 5 4 数值模拟3 3 5 4 1 零收益的数值模拟3 3 5 4 2 正收益的数值模拟一3 4 5 5 结束语3 5 结论一3 6 考文献3 7 读硕士学位期间发表学术论文情况3 9 谢4 0 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 生物动力学与广义系统的研究现状 1 1 1 生物动力系统的研究现状 生物数学是数学与生命科学的交叉学科，是研究生命体和生命系统的数量性质与空 间格局的科学，也是应用数学的理论和方法研究生命科学问题的科学近3 0 年来，生物数 学有了迅猛的发展，生物数学所研究的内容已经形成一个庞大的体系，共包含1 4 个分支 学科l l j 按所涉及的数学方法来分类，分为生物统计、生物动力系统和生物控制论其中 生物动力系统又包括种群生态动力系统、传染病动力学、分子动力学、细胞动力学与人 口动力学下面简单介绍与本文相关的生物控制论、种群生态学与生态一流行病动力学的 研究现状及发展前景 生物控制论：是结合生物学与控制论的交叉学科，用控制理论观点和方法去研究和 解决生物学的问题，并对与生物学有关的控制理论方法进行研究近年来，随着一些生物 现象的发生及其优化控制问题的出现，人们发现仅仅用微分方程或差分方程来研究是远 远不够的，于是学者们将脉冲微分方程的理论和方法应用到解决这些问题中来而且已 经用于制定用药最佳方案、养殖收获最佳方案、防预害虫最优管理策略等各个领域 2 - - a ， 甚至用于生化制品的加工优化方案，出现了很好的应用前景【5 】 传染病动力学：近二十年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型 被用于分析各种各样的传染病问题与早期传染病模型相比，近期所研究的模型更加向 实际靠拢，大致三个发展方向：模型所涉及的因素增多：模型维数增高：结合具体的传染 病研究更为细致例如，文 6 7 分别对于具有接种的垂直传染的s i r 模型，研究了模型 平衡点稳定的阈值以及全局稳定性：文 8 又迸一步对具有接种的垂直传染的s i r s 模型 做了研究在研究方法上，除一些经典方法外，分支、混沌等动力学方法，度理论、算子半 群理论以及一些非线性分析方法也被相继引入，计算机模拟在国外已经普遍使用【6 】 生态一流行病动力学：是用动力学的方法来研究生态一流行病模型，它主要研究种群 个体有疾病发生时，数量和结构的变化规律关于生态流行病的研究已经有二十多年的 历史 9 】，而且已经取得了丰硕的研究成果，它们分别对开发资源和预防疾病等方面起到 了不同程度的指导作用文 1 0 - 1 2 j 中，已经就是否考虑疾病对捕获率的影响、是否研究 疾病造成的额外死亡，以及染病的捕食者是否捕获食饵等方面分别对相应的生态一流行 病模型进行分析讨论，并运用稳定性的相关理论，给出模型平衡点存在、稳定的条件，并 广义传染病模型的复杂性控制 证得系统的全局稳定性 1 1 2 广义系统的研究现状 广义系统理论是2 0 世纪7 0 年代才开始形成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个 独立分支直到2 0 世纪8 0 年代，随着控制理论工作者对广义系统产生了浓厚的兴趣，广义 系统理论才进入了一个蓬勃发展的阶段这个时期出现了很多广义系统的理论成果 1 3 - 1 5 】， 其中d a il 于1 9 8 9 年出版了广义系统理论的第一本专著，系统地介绍了广义系统的基础 理论，标志着广义系统的基础理论已经形成 随着人们对广义系统理论研究的深入，广义系统理论已经被应用到电力系统、生物 系统、生态工程、经济社会管理等各个领域 1 3 , 1 5 , 1 6 其中，电力系统是广义系统理论应用 最为成功的领域，廖浩辉、唐云等人通过对电力系统微分代数模型进行研究，得到了系统 分岔存在的条件，这为揭示电压失衡机理提供了非常重要的理论依据 1 7 - 1 8 而且广义系 统的分岔理论也被应用到其他实际系统中，已经取得了坚实的理论基础近年来，张庆灵 等人着力于广义系统理论和应用研究文 1 9 - 2 0 ，将精确线性化和极点配置一步设计的 方法推广到非线性广义系统，这就避免了严格的对合条件他们还运用广义系统理论研 究了广义的s i r 模型的混沌跟踪控制 2 1 - 2 2 另外运用广义系统理论建模并研究了基于食 饵一捕食模型的生物经济动力系统 2 3 - 2 5 ，利用该类模型一方面考虑了系统内部各种群间 的相互作用，另一方面，分析了捕获捕食者或食饵时，带来经济收益对系统动态行为的影 响 1 2 本文研究的主要内容及方法 鉴于传染病动力学与生态一流行病学的研究现状，本文基于种群动力学和传染病动 力学，分别建立了三个广义系统模型：( 1 ) 建立了一个基于l o g i s t i c 增长的广义s i r s 模 型，通过线性化和极点配置，得到了模型在无病平衡点处稳定的控制率，并用数值模拟验 证了结论的合理性：( 2 ) 建立了一个具有垂直传染的广义的s i r s 模型当对疾病传染率 系数与季节性无关时，得到了模型的阈值以及无病平衡点、地方病平衡点存在的条件，并 通过极点配置，得到了模型在无病平衡点处稳定的控制率，用数值模拟的方法验证了控 制的结果；当对疾病传染率系数与季节性有关时，通过数值模拟证明了模型混沌现象的 存在，且通过设计了反馈控制器使疾病得以消除：( 3 ) 基于捕食者有病的生态一流行病学， 结合经济学原理，建立了一个捕食者有病的广义生态一流行病生物经济模型运用分岔理 论，得到了模型的奇异诱导分岔存在的条件：利用状态反馈控制，使得系统稳定在无病平 衡点，即疾病得以消除：最后通过数值模拟验证了理论的合理性 2 辽宁师范大学硕士学位论文 2 广义系统理论预备知识 2 1 一步设计理论预备知识 对于如下形式的微分代数系统： i x = f ( x ) + b ( x ) z + g ( x ) u ( f ) ， 0 = k ( x ) + l ( x ) z + c ( x ) u o ) ， ( 2 1 ) iy = h ( x ) ， 这里，x x 芒cr ”是系统的变量，z zcr p 是系统的代数变量，x 和z 是连通开 集，u ( t ) r ”是系统的控制输入，f ( x ) 和k ( x ) 是具有维数为n 和p 的光滑向量场，g ( x ) 、 c ( x ) 、b ( x ) 、l ( x ) 是具有适当维数的光滑矩阵，h ( x ) 为x r ”的实解析函数 要实现对系统( 2 1 ) 的极点配置，常用的方法为：首先根据正则和非正则的微分代 数系统两种情况，采用不同的算法，将系统( 2 1 ) 转化为正常系统： p 2 f ( x ) + g ( x ) u ( f ) ， ( 2 2 ) 【y = h ( x ) ， 对于系统( 2 2 ) ，z = ( x ) ，u = - - e t o ( x ) ，则 卜署 f ( x ) 一g ( x ) c ( x ) ) = a z = ic o ( o ) = 0 从_ 向得剑一次拟线性p d e s ( 偏微分方程组) ： 娑湫x ) 一g ( x ) c c o ( x ) ) ：a m ， ( 2 3 ) d x 、 这里，( x ) r ”是方程( 2 3 ) 的解 引理2 一鲫对于非线性系靴3 蛐日果( 叩) ( f - ( 鲁 ( 0 ) ，g ( o ) ) 是能竽的， 假设可选择c ，a 使得( c ，a ) 是能观的，设a 是h u r w i t z 矩阵，其特征值为岛与f 的特征 值丑线性无关，即对任意非负数m i 满足： m i k ，= 乃( ，= 1 ，) 3 广义传染病模型的复杂性控制 其中，满足窆慨 1 ，则一次拟线p d e s ( 2 3 ) ，当( o ) = o 时，在平衡点x o 的领域 i = 1 内一定存在唯一的局部解析解( x ) ，并且( x ) 是局部可逆的 特别是对于系统( 2 1 ) ，l ( x ) 为非奇异的情形，则( 2 1 ) 可写成( 2 4 ) 立= 了( x ) + 季( x ) u ( f ) ， ( 2 4 ) 其中，了( x ) = f ( x ) 一b ( x ) l 一1 ( x ) k ( x ) ，i ( x ) = g ( x ) 一b ( x ) l 一1 ( x ) c ( x ) 定理2 1 【1 9 1 对于系统( 2 1 ) ，l ( x ) 为非奇异的，假设其平衡点为原点时，其对应的 线性系统为： i ：昙( o ) x + b ( o ) z + g ( o ) u e | x ( 2 5 ) 。= 丙o k ( 。) x + l ( o ) z + c ( o ) u ( 1 ) 如果系统( 2 5 ) 在平衡点的邻域内是能控的，则系统( 2 1 ) 在平衡点的邻域 内也是能控的 ( 2 ) 系统( 2 5 ) 与系统( 2 1 ) 的等价系统( 2 4 ) 具有相同的特征值 定理2 2 【1 9 1 对于微分代数系统( 2 i ) ，当l ( x ) 为非奇异的时，假设其平衡点( x o ，z o ) 为原点，当n o = 0 时，f ( o ) = k ( o ) = o ，( e ，f ，g ) 是能控的，适当选择c ，a 并且使c ) 和 ( e ，f ) 的特征值岛，丑满足引理2 1 的条件，则一次拟线性p d e s a 强m ，、f ( x ) - b ( x ) l 一1 ( x ) k ( x ) 一 g ( x ) - b ( x ) l 一1 ( x ) c ( x ) c ( x ) ) = a ， ( 2 6 ) 当( o ) = 0 时，在平衡点x o 的邻域内一定存在唯一的局部解析解( x ) ，并且国( x ) 是局 部可逆的，从而实现了对d a e 系统( 2 1 ) 线性化和极点配置一步设计，且控制律是 u = 一c o ( x ) 姓e ，f 差( 。) b ( 。) 罢( o ) l ( o )肛 4 辽宁师范大学硕士学位论文 骶e x = a x b ， 是稳定的，当且仅当c r ( e a ) cc 一 定理2 4 n 9 1 对于微分代数系统( 2 1 ) ，l ( x ) 为非奇异的，假设其平衡点( x o ，z o ) 为 原点，当u 0 = o 时，f ( o ) = k ( o ) = o ，如果其对应的线性系统( 2 5 ) 在平衡点( x o ，z o ) 存在 正的特征值，则系统( 2 5 ) 在平衡点的邻域内是不稳定的 2 2 关系度 定义【纠对于如下单输入单输出系统：， ii = f ( x ) + g ( x ) u ， 【y = h ( x ) 这里，x = ( 五而，) r r n , u r 分别为状态变量和控制输入 设l ，h ( x ) 和l g h ( x ) 分别代表向量场f 和g 关于函数h ( x ) 的李导数，定义为： l f h ( x ) ：堂掣f ，并且t h ( x ) ：l ，( 昨- h ( x ) ) ( 尼1 ) ，e h ( x ) ：h ( x ) d x 如果满足 ( 1 ) l 2 l k f h ( x ) = 0 ，对x o 的一个领域内的所有x ，以及所有尼 0 时， 这个特征值从左半开复平面c 一移动到右半开复平面c + ；当m n y + b + a 时，则模型( 3 2 ) 在u 内存在平衡点昂= ( 0 ，0 ，0 ，o ) r ，互= ( 1 ，0 ，0 ，1 ) r 和唯 正平衡点昱= ( ，厶，恐，2 ) r ，且平衡点暑= ( 1 ，0 ，0 ，1 ) r 在u 内是不稳定的 由定理3 1 ，知道当 y + 6 + 口时，此传染病将在该地区蔓延，那么要在该地区采取 控制措施消除传染病，即使# = ( 1 ，0 ，0 ，1 ) r 成为稳定的平衡点，我们考虑如下控制模型： s 7 ( f ) = 6 ( f ) 一b n ( t ) s ( t ) 一声s ( f ) ，( f ) + 6 r ( f ) + ， ，( j ! 。s ( f ) ，( t ) - i ( t ) - b n ( t ) i ( f ) 一口，( f ) 一“- ， ( 3 3 ) r 7 ( f ) = y i ( t ) - b n ( t ) r ( t ) - s r ( t ) + u , 一“2 一“3 ， 、。 0 = s ( f ) + ，( f ) + r ( f ) 一( f ) 一鸭 其中u ，是感染者得以治愈率，u ：是移出者失去再次被感染率，u ：表示移出者迁出引起的 移出者人口变化率 下面对模型( 3 2 ) 的不稳定平衡点进行极点配置，令 s ( f ) = 卜歹( f ) ，j ( f ) = 了( f ) ，r ( t ) = 豆( f ) ，n ( t ) = 1 一霄( f ) ，将其代入模型( 3 3 ) 得： 亨( f ) = - b s ( t ) + b n ( t ) s ( t ) - f l s ( t ) - ( t ) + f l - ( t ) - s r ( t ) - u ：， 鞠2 砷) 一f l s ( t ) - ( t ) - z ( t ) 一玎( f ) + 厨( f ) 冲) 一口砸) 飞( 3 4 ) 豆7 ( t ) = z ( t ) - b r ( t ) + b n ( t ) r ( t ) - 6 r ( t ) + u 。一“：一坞， + 0 = 一j ( f ) + 7 ( f ) + 石( f ) + ( f ) 一“， 则模型( 3 4 ) 的近似线性系统( e ，f ) 的系数矩阵： 8 ，1 l l0 e = i 10 i l o 辽宁师范大学硕士学位论文 f=三p-r；-6一口一二-：-j6； 假设某地区流行一种传染病，其中= 1 2 ，口= 0 0 0 1 ，b = 0 0 1 5 ，万= 1 0 ，= 0 0 0 5 ，则 系统( e ，f ) 特征值分别为a = - 2 0 0 1 5 ，五= - o 0 1 5 ，如= 0 9 2 5 ，显然歹= ( 0 ，0 ，0 ，o ) r 是模型 ( 3 4 ) 的不稳定平衡点 f ，- 1 1 0 、1 依据引理2 1 ，取h u r w i t z 矩阵a = f l- 2i i ，其特征值分别为五= - 4 ， l00 - 4 j 以= t - 3 + q r 5 舡二学，c - 习，显然五。= ，2 ，6 ，c 满足定理2 1 的条件， 因此如下p d e s 是可解的，并化简可得如下方程组： 翌塑f 一0 0 1 5 s + 1 2 7 1 0 页+ 0 0 1 5 s 2 0 硼、 o 一0 6 ( 11 9 7 9 7 + 0 0 1 5 s - 7 0 0 1 5 1 2 0 0 1 研 皇塑f o 0 0 5 t 一1 0 0 1 5 五浮一0 0 1 5 天歹一0 o ， 积、 皇呈至f _ 0 0 1 5 s + 1 2 7 1 0 豆+ 0 0 1 5 s 2 0 0 1 5 面一1 2 面一o 0 1 5 藤+ 缈2 一o 0 1 5 s c 0 3 ) + 等( 1 1 9 7 9 1 + 0 0 1 5 s - 7 _ o 0 1 5 7 2 - o 0 1 5 1 r + q _ 0 0 1 5 硇) + 8 i 。 鸳(o005i一10015恧一o015面-一o015rar 2 一q + 咤+ ( 1 一o 0 1 5 豆) q ) = q 一2 哆+ 鸭， 1 ， ， 1。 鲁( - o 0 1 5 s + 1 2 t 一1 0 r + 0 0 1 5 s 2 - o 0 1 5 厨- 一1 2 西一0 0 1 5 s r + q 一0 0 1 5 s c 0 3 ) + a s 2 c o ( o ，0 ，0 ) = 0 下面用如下m a p l e 程序解方程组： 5 r + q 一0 0 1 5 i c 0 3 ) + 1 5 r 2 - c o l + + ( 1 0 0 1 5 页) 皑) = - 4 皑 9 ， 、， o o 0 o 0 o 1 o 0 1 o o o 1 o 1 o o ，。，。_ 叽 旧 似 加 - 弘 厕 匀 5 叭 m n o _ i 一 西 面 毗 叭 c ； n 一， i - 一 鲫 一v 晤 o 鸳甜鸳微 拳x 3 ： + 辽宁师范大学硕士学位论文 “l = 1 0 2 4 9 6 2 5 2 8 i ( t ) + 4 2 9 3 0 7 2 3 3 4 r ( t ) ， 心= 1 8 2 6 3 6 1 4 7 9 i ( t ) 一1 2 7 7 1 8 9 0 1 9 r ( t ) ， u 3 = o ，( f ) + o r ( f ) 控制前后染病者的时间响应图如下： 名誊 图3 2 染病者控制前的时间响应图 f i g 3 2 d a n a m i c a lr e s p o n s eo ft h ei n f e c t e db e f o r ec o n t r o l l 。 i 图3 3 染病者控制后的时间响应图 f i g 3 3 d a n a m i c a lr e s p o n s eo ft h ei n f e c t e da f t e rc o n t r o l 从图中容易可以看出对模型( 3 2 ) 施加控制前后，染病者数量变化非常明显，可见施 加这样的控制是非常有效的，上述所说的控制可采取隔离、接种疫苗或优化治疗方案等 广义传染病模型的复杂性控制 3 3 结束语 从上述论证可以看出只要满足定理的条件，选取不同的矩阵a ，c ，都会得到相应的 控制系统。另外发现m a p l e 程序中对国选择不同的设法和不同的展开阶数，也会得到不同 的控制与参考文献 1 9 相比，本文的控制项要相对简单，而且染病者趋于零的速度也要快 些针对不同的模型去寻求最优的极点配置方法是我们以后要做的工作之一 辽宁师范大学硕士学位论文 4 具有垂直传染的广义s ir s 系统的两类控制 4 1 模型建立 为了方便研究，给出如下假设： ( 1 ) 假设b 是易感者s 和移出者r 的出生率系数，b 为染病者，的出生率系数：而d 为易 感者s 和移出者尺的自然死亡率系数，且d 是染病者，的死亡率系数：y 是恢复率系 数：q 是垂直传染率( p + g = 1 ) ： ( 2 ) 假设移出者尺在康复后还有可能再次被感染： ( 3 ) 假设b = d ，b 7 = d 7 ，即染病者的出生率系数和死亡率系数相等，易感者、移出者的出 生率系数和死亡率系数也相等： ( 4 ) 假设该类传染病为双线性发生率且疾病的爆发周期为一年，则疾病的发生率为 z o ( 1 + 口c o s 2 z t ) ，z o 为双线性发生率的基数，a ( o 口1 ) 为季节性关系度 模型框图如下： 积 图4 1 模型框图 f i g 4 1d i a g r a mo fm o d e l i 岁( f ) = b ( s ( t ) + r ( f ) ) + p b i ( t ) + 6 r ( t ) - b s ( t ) - f l s ( t ) i ( t ) ， ，7 ( f ) = f l s ( t ) i ( t ) + q b i ( t ) 一b i ( t ) - y i ( t ) ， lr ( f ) = r i ( t ) 一b r ( t ) - s r ( t ) 1 3 ( 4 1 ) 广义传染病模型的复杂性控制 垡! 坠2 丝2 丝1 2 ：塑堕：0 d td t 故总人口为常数，不妨设s ( f ) + ，( f ) + r ( f ) = n ( t ) = 1 ，且模型( 4 1 ) 可看成如下广义系统模 型： s ( f ) = b ( s ( t ) + r ( t ) ) + p b t ( t ) + 5 r ( t ) - 3 0 ( 1 + a c o s 2 z t ) s ( t ) i ( t ) 一b s ( t ) ， ，7 ( f ) = , b o ( 1 + 口c o s 2 z t ) s ( t ) i ( t ) + q b i ( t ) 一b t ( t ) 一y l c t ) ， ( 4 2 ) 0 = s ) + ，o ) + r o ) - 1 ， s ( f ) 、r ( f ) 、，( f ) o ，1 】 对于模型( 4 2 ) ，当口= 0 时，疾病的发生率为屁：当0 1 时，模型的正平衡点，是全局渐近稳定的 4 2 2 极点配置 由定理4 2和定理4 3 ，我们知道当r 1 时，平衡点 ，学，错，删臌且全局渐近靛将成为一种地方舭然 这不是我们希望看到的，为此应用广义系统理论，考虑如下控制系统： s ( f ) = 6 ( s ( f ) + 尺o ) ) + p 6 7 0 ) + 万r ( f ) 一f l o s ( t ) l ( t ) 一d s ( t ) + u l ， ，( f ) = f l o s ( t ) i ( t ) + q b i ( t ) 一d 7 ( f ) 一y ，( f ) 一u 2 ， 0 = s o ) + j ( f ) + r o ) 一1 ， ( 4 4 ) s ( f ) 、r ( f ) 、j ( f ) 【o ，1 】， s ( f ) ，( f ) ，r ( t ) 0 为方便起见，我们令s ( f ) = 1 一百( f ) ，j ( f ) = 7 ( f ) ，r ( f ) = 页( f ) ，代入模型( 4 4 ) 得 f 多( f ) = 属了( f ) 一成歹( f ) 7 ( f ) 一p 6 彳( f ) + ( 6 + 万) 豆( f ) 一“。， j 于( f ) = 一屈酗碓) + ( 属- p 6 7 一y ) m 氆，( 4 5 ) 10 = - s ( t ) + i ( f ) + 尺( f ) ， ls ( f ) 、r ( f ) 、i ( t ) i o ，11 显然模型( 4 4 ) 在不稳定平衡点模型( 4 5 ) 具有相同的拓扑结构对于模型( 4 5 ) 的 不稳定平衡点( 0 ，0 ，0 ) 用一步设计的方法，通过数值模拟，使系统稳定到无病平衡点 4 2 3 数值模拟 模型( 4 5 ) 的近似线性系统的矩阵形式为 戤：f x ，( 4 6 ) ； ，f = 酽 对模型( 4 5 ) ，令= 2 ，b = 0 0 1 5 ，67 = 0 0 2 ，y = 1 ，万= 1 0 ，p = o 8 ，( e ，f ) 特征值为 一、j 万 卜o 。 一 1 o 0 电r弋 其 e 广义传染病模型的复杂性控制 删o s 4 ，如= - 1 0 0 1 5 耻( - ：1 劣其特征删蝴= 二学舡掣，取 c = ( 三：) ，显然a ，五，向，岛，c 都满足定理的条件，可化为女i t p d e ( s ) 方程组且其可解： 碧( _ 2 百+ 9 9 9 7 一- o 0 1 5 萝+ q ) + 等( 一2 面+ o 0 8 4 7 + 哆) = 一q + 哆， 等( _ 2 百+ l1 9 9 9 7 1 0 0 1 5 雪+ q ) + 等( 一2 百+ o 0 8 4 7 + 哆) = q 一2 吐， c o ( o ，o ) = 0 以下为应用m a p l e 程序解此方程组的过程： r e a d l i b ( m t a y l o r ) ： r e a d l i b ( s o l v e ) ： f 1 - 1 0 0 1 5 * x l + l1 9 9 9 x 2 2 * x l 宰x 2 ： 亿：= 0 8 4 e 1 * x 2 2 x l * x 2 ： w l ：a l * x l + a 2 * x 2 + a 3 * x 1 2 + a 4 * x 2 2 + a 5 * x l * x 2 + a 6 * x 1 2 * x 2 + a 7 牛n * x 2 2 + a 8 木n 3 + a 9 * x 2 3 ： w 2 ：= b l * x l + b 2 * x 2 + b 3 * x 1 2 + b 4 * x 2 2 + b 5 * x l * x 2 + b 6 木d 2 * x 2 + b 7 * x l * x 2 2 帕8 串z 1 3 + b 9 * x 2 3 ： p d e l ：= m t a y l o r ( ( d i f f ( w l ，x 1 ) ) 木( n + w 1 ) + ( d i f f ( w l ，x 2 ) ) 木( 亿“2 ) + w 1 一w 2 ， x l = 0 ，x 2 = o ，4 ) ： p d e 2 ：= m t a y l o r ( ( d i f f ( w 2 ，x 1 ) ) 木( f l + w 1 ) + ( d i f f ( w 2 ，) 【2 ) ) 串( 也+ w 2 ) 一w l + 2 * w 2 ， x l = 0 ，x 2 = 0 ，4 ) ： e q n s ：= ( a 2b l + a l ( 一1 0 0 1 5 + a 1 ) + a 1