（通信与信息系统专业论文）数字自适应回波抵消器.pdf

a b s t r a c t i n a n a l o g y w i t h a n a l o g s p e e c h t r a n s m i s s i o n , s im u lt a n e o u s t w o - w a y ( f u l l- d u p l e x ) t r a n s m i s s io n o f d a t a s i g n a l s o v e r t w o - w i r e c i r c u it s c a n , i n p r i n c i p l e , b e a c h i e v e d b y t h e a p p l i c a t i o n o f h y b r i d c o u p l e s . i n p r a c t i c e t h e r e s u l t i n g i m p e r f e c t i s o l a t i o n b e t we e n t r a n s mi tt e r a n d r e c e i v e r a t t h e s a me e n d o f a c o n n e c t i o n i s d i s a s t r o u s f o r t h e d e t e c t i o n o f t h e d a t a fr o m t h e o t h e r e n d a n d h a s t o b e n u l l i f i e d i n s o m e w a y . a s o lu t i o n t o t h i s p r o b l e m c a n b e f o u n d i n e c h o c a n c e l l a t i o n b y m e a n s o f a n a d a p t i v e d i g i t a l fi lt e r . i n t h i s p a p e r a n i n t e g r a t e d c ir c u it r e a l iz e d i n a c e x i k p r o g r a m m a b l e l o g i c d e v i c e i s p r e s e n t e d w h ic h h a s b e e n d e s i g n e d e s p e c i a l l y f o r e c h o c a n c e l l a t i o n i n b a s e b a n d m o d e m s . f o l l o w i n g a s p e c t s r e c e i v e d f u l l a tt e n t i o n i n t h e d e s i g n : t h e c h o i c e o f f i lt e r s t r u c t u r e a n d a d a p t a t i o n a l g o r it h m , t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e d ig it a l f i lt e r a n d it s a n a l o g e n v i r o n m e n t , fi n i t e p r e c i s i o n i m p l e m e n t a t i o n , d a t a r a t e , a n d h a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n . t h e r e a l i z e d i c c a n b e u s e d f o r t h e e c o n o m i c a l u p g r a d i n g o f e x i s t in g b a s e b a n d m o d e m s t o f u l l - d u p l e x s e r v i c e . k e y w o r d s : e c ( e c h o c a n c e l l a t i o n ) , a d f ( a d a p t i v e d i g it a l f i lt e r ) , f p g a , c p l d , l ms ( l e a s t me a n s q u a r e ) , r l s ( r e c u r s i v e l e a s t s q u a r e ) 第一章 绪 论 第一章 绪 论 回波抵消器在通信网络有广泛的应用，回波抵消器的理论基础是自 适应滤 波。自 适应滤波器技术是数字通信中不可缺少的关键技术之一， 具有广阔的应用 前景。自 适应技术是当前国际上的研究热点， 国外已经做了大量工作， 可是我国 的研究情况还远落后于国际先进水平。 因此， 研究自 适应滤波器， 研究自 适应滤 波器在回波抵消中的应用可以发展我国的通信技术， 创建自己的知识产权。 本章 主要介绍本论文需要用到的理论基础和应用工具。 1 . 1 回波抵消器基本原理与应用 回波是原始声音或者信号经过延时和形变被反射回到源的一种现象， 它在通 信网络的许多地方出现，损害通信质量。图1 . 1 和图1 .2 显示了回波抵消器在网 络中出现的位置。 在图1 . 1 中回波是在混合转换器处产生。目前的电话网络的终 端对终端连接中有用户环路中的两线连接和长途转接器中四线连接， 混合转换器 就是用在这个两线一四线连接点上。 因为混合转换器的阻抗不匹配导致在图中所 示的位置产生了回波，在四线那边的回波抵消器就是用来消除该回波的。图 1 .2 展示了声音回波。 这种声音回波是由于麦克风和扬声器间声波的反射和声音祸合 产生的。 这种回波干扰了正常对话， 最糟糕的是会导致啸叫。 这种声音回波问题 有传统的解决方案，这里就不再展开介绍。 对于任何一种回波， 声音的也好， 电子的也好， 回波抵消器首先估计回波路 径的特性， 然后产生一个回波的复制本， 再从接收信号中减去回波。 通常回波路 径是未知的， 而且是时变的， 所以自 适应数字滤波器( a d f ) 就需要获得一个良 好 的回波复制本，才能取得好的抵消效果。 回波抵消器可以采用模拟电路实现， 也可采用数字电路实现。 本文准备介绍 的回波抵消器是数字回波抵消器。 数字回波抵消器的理论基础是自 适应滤波器技 术。 该技术已广泛地研究了几十年， 在二十世纪六十年代中期该技术应用到回波 抵消器上的构想出现 1 2 1 : 在七十年代一些组织估计了有回波抵消器的通信传 输质量仁 3 1 ,1 4 1 ， 结论是因为需要大量计算处理， 广泛应用必须期待更先进的大规 模集成器件 ( l s o;在 1 9 8 0 年第一个运用超大规模集成器件的回波抵消器产生 一一一一一一一一一一一一一一兰 io 了 5 , 从而改 进了 它的 外形 和 功 能， 降 低了 费 用 和 尺寸。 4 -线 2 -线 4 -线 一一 卜 发送数据 回波抵消器 a d f : 自 适 应数 字 沛波 器 x : t 尾 合 转 换器 图1 . 1 回波在沉合转换器处产生 图1 . 2 声回 波抵消器 表 l 1 展示了回波抵消器的应用。 回波源应用例子 1 . 混合转换器阻 抗不匹配 声音通信 1 长途传输1 卫星通信 2自动呼叫转移 3 . 电话会议 数据通信 1 声带全双工数据传输v 3 2 数据调制解调器 2 . 基带全双工数据传输i s d n用户回路 2声波反射和声 音祸合 扬声器与麦克风系统电信会议系统 免提电话 第一章 绪 论 互 1 . 2自 适应滤波器技术 参数固定的滤波器适用于平稳随机信号， 参数时变的滤波器适用于非平稳随 机信号. 然而， 只有对信号和噪声的统计特性先验己知的情况下， 这两种滤波器 才能获得最优滤波. 遗憾的是， 在实际应用中， 常常无法得到这些统计特性的先 验知识;或者，统计特性是随时间变化的。在这种情况下，可以用特殊 “ 聪明” 的滤波器来成功解决， 这个 “ 聪明” 滤波器就是自 适应滤波器 6 。 所谓自 适应 滤波器， 就是利用前一时刻己获得的滤波器参数等结果，自 动地调节现时刻的池 波器参数， 以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性， 从而实现最优滤 波 7 。自 适应滤波器的显著特征就是在没有使用者介入下， 工作时能自 动修改 它们的响应来改进性能。 自 适应滤波器技术是统计信号处理技术的一个重要组成部分 8 。随着微电 子技术和计算机技术得迅速发展，自 适应滤波器的新算法、 新理论不断涌现， 随 着大规模集成电路和f p g a . c p l d的出现，自 适应滤波器技术更广泛得应用于 通信、 控制、雷达、 声纳、 地震学和生物医学工程等领域。 尽管这些应用在本质 上有很大的区别， 然而他们都有一个共同的特征: 用输入矢量和期望响应来计算 估计误差， 估计误差反过来调整滤波器的可变系数。 可变系数体现了一定结构的 滤波器的步长、反射系数、旋转参数等。他们本质的区别在于期望响应的提取。 由此可将自 适应滤波器分为四个基本类: i . 识别 ( 图 1 . 3 a ) 1 1 . 反向建模 ( 图1 . 3 b ) i i i . 预测 ( 图1 . 3 c ) w. 干涉抵消( 图1 . 3 d ) 表 1 .2 列出了四大类自 适应滤波器的具体应用例子，他们分别来自于控制系统、 地震学、心电图、通信、和雷达。 从应用中可看出，任何自 适应滤波器都由三个模块组成 ( 见图1 4 ): 1 滤波结构模块。这个模块根据输入信号的情况形成滤波器的输出。如果输出 是输入信号的线性组合，那么滤波器结构也是线性的;相反则是非线性的。 例如: 可变有限冲击响应 ( f i r ) 数字滤波器的模型可以是直接型、 格型或者 级联结构。结构由设计者固定，但是它的参数可由自 适应算法调整。 第一章 绪 论 系统输入系统输出 系统输出 系统输出2 系统输出 原始信号 参考信号 系统输出 ( d ) 图1 . 3 自 适应滤波器的四种基本类型模型 第一幸 绪 论 表 1 .2 :自 适应涟波器应用 分类应用 i识别系统识别 地球分层模型 n . 反向建模预测反卷积 自适应均衡 盲均街 m预测线性预测编码 自 适应差分脉码调制 自 回归光谱分析 信号探测 w干涉抵消自 适应噪声抵消 回波抵消 自适应聚束 性能标准模块。自 适应滤波器的输出 和期望响应 ( 如果有)由性能标准模块 根据特定应用来处理估计其性能。标准选择一般在应用者能接受和数学可处 理两者平衡折中体;这就是说，它由自 适应算法决定的。大多数自 适应滤波 器采用均方误差是因为它数学上易实现和它能应用于实际有用的系统设计 中。 自 适应算法模块。自 适应算法用性能标准模块的值或者一些功能、输入量和 期望响应 ( 如果需要)来决定怎样调整滤波器参数改进它的性能。自 适应算 法的复杂性和特性是滤波结构和性能标准的体现。 信号输出 图 1 . 4 滤波器的基本单元 第一章 绪 论 任何自 适应滤波器的设计都需要关于信号工作环境( s o e ) 的先验信息和特 定应用的深刻理解。 设计者需要用这些信息来选择性能标准和滤波结构。 很显然， 不可靠的先验信息或者不正确信号工作环境假设能导致严重的性能下降或者不 成功的应用。 性能估计是调整参数的重要策略， 也就是说，自 适应算法的设计是 自 适应滤波器设计和应用中最困难的一步。 如果信号工作环境的特性是时不变的， 自 适应滤波器的目 标是发现最优性能 的参数， 然后停止调整。 在初始阶段， 从滤波器开始工作到它合理的接近它的最 优性能这段时间为 “ 捕获”或者 “ 收敛” 模式。 然而，当信号工作环境时变时， 自 适应滤波器将先“ 捕获” ， 然后不断重新调整它的参数跟踪信号工作环境变化。 在这种情况下，滤波器在 “ 捕获”阶段后就是 “ 跟踪”模式。 1 . 3 m a t l a b , v h d l 语言以及m a x p l u s ii 1 . 3 . 1 m a t l a b 语言 m a t l a b 是 英文m a t r i x l a b o r a t o ry ( 矩阵实 验室)的 缩写， 它是m a t h w o r k 公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件， 它集数值分析、 矩阵运算、 信 号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。ma t la b 的推出得到了各个领域专家学者的广泛关注， 其强大的扩展功能更为各个工程领 域提供了分析和设计的基础。随着 ma t la b在各个工程领域应用的日益广泛，专 家学者 们 相继推出了 控制 系统工具箱( c o n t r o l s y s t e m s t o o l b o x ) 、 信号 处理工具 箱 ( s ig n a l p r o c e s s i n g t o o l b o x ) 、 系统辨别t - 具 箱( s y s t e m i d e n t i f i c a t io n t o o l b o x ) 、 最 优化控制箱 ( o p t i m i s a t i o n ) 、小波分析工具箱 ( w a v e l e t ) 等简单实用的库函数， 这些日益增加的工具箱给各个领域的研究和工程应用提供强有力的工具。 借助于 日 渐完善的m a t l a b软件， 各个层次的 研究人员可以 直观、方便地进行分析、 计 算和设计工作， 大大节省了时间， 提高了工作效率。 ma t l a b 语言的特点: ( 1 ) 编 程简单使用方便; ( 2 )函数库可任意扩充; ( 3 ) 语言简单内涵丰富;( 4 ) 简便的 绘图功能 9 0 本论文将主要应用 ma t l a b 提供的动态系统仿真工具 s i m u l i n k , s i m u l i n k 是 第一章 绪 论 一个用来对动态系统进行建模、 仿真和分析的软件包. s i m u l i n k 是众多仿真软件 中功能最强大、 最优秀、 最容易使用的一种。 它有效地解决了一般建模时间长和 仿真结果必须依赖有关专家的问 题。在 s i m u l i n k中， 对系统进行建模将变得非 常简单， 而且仿真过程是交互的， 因此， 可以很随便改变仿真参数， 并且立即可 以得到修改后的仿真结果。另外，使用 ma t l a b中的各种分析工具，还可以对仿 真结果进行分析和可视化。 它支持线性和非线性系统， 连续和离散时间模型， 或 者是两者的混合， 系统还可以是多采样率的 1 0 1 . 1 . 3 . 2 v h d l 语言 所谓硬件描述语言， 就是可以 描述硬件电 路的 功能、 信号连接关系及定时关 系的语言。 它能比电原理图更有效地表达硬件电路的特征。目 前各a s i c芯片制 造商都相继开发了用于各自目的的h d l语言，但是大多都未标准化和通用化。 唯一己被公认的硬件描述语言之一是美国国防部开发的 v h d l语言，它已成为 i e e e s t d 一 1 0 7 6 标准。 许多公司 研制的 硬件电 路设计 工具也 逐渐向v h d l 语言 靠拢，提供对v h d l的支持。v h d l在电子系统硬件设计中具有以下优点: 1 技术齐全、 方法灵活、 支持广泛。 v h d l 语言可以 支持自 顶至下( t o p - d o w n ) 和基于 库( l i b r a ry - b a s e d ) 的设计方法， 而且还支持同步电 路、 异步电 路、 f p g a , c p l d以及其他随机电路的设计。其范围之广是其他h d l语言所不能比拟的。 v h d l 语言早在1 9 8 7 年 1 2 月己 作为i e e e s t d 1 0 7 6 标准公布开发，目 前大多 数e d a工具几乎在不同程度上都支持v h d l 语言。 2 系统硬件描述能力强。v h d l语言具有多层次描述系统硬件功能的能力， 可以从系统的数学模型直到门级电路。 另外， 高层次的行为描述可以与低层次的 r t l描述和结构描述混合使用。v h d l语言能进行系统的硬件描述，这是它最 突出 的 一个优点。 其他h d l语言， 如u d l / i , v e r i lo g 等 只能 进行i c级、 p c b 级描述，而不能对系统级的硬件很好地进行描述。 3 . v h d l语言可以与工艺无关编程。 在用v h d l语言设计系统硬件时， 没有 嵌入与工艺有关的信息。当然，这样的信息是可以用 v h d l语言来编写的。与 大多数h d l 语言不同， 采用v h d l语言设计时， 当门级或门级以上层次的描述 通过仿真检验以后， 再用相应的工具将设计映射成不同的工艺。 这样， 在工艺更 第一章 绪 论 新时， 无须修改原设计程序， 只要改变相应的映射工具就行了。由此可见， 修改 电路和修改工艺相互之间不会产生影响。 4 . v h d l语言标准、规范、易于共享和复用。由于 v h d l语言己作为一种 i e e e的工业标准，这样， 设计成果便于复用和交流，反过来也更进一步推动 v h d l语言的推广及完善。另外，v h d l语言的语法比较严格，其风格类似于 a d a 语言，给阅读和使用都带来了极大的方便。 1 . 3 . 3 m a x p l u s ii ma x p l u s i i 是可编程逻辑器件设计完整集成环境，这个易用工具支持 a lt e r a 的a c e x , f l e x ， 和m a x编程器件系列， 可以 工作在p c 和u n i x环境。 ma x p l u s i i 软件提供无可匹敌的弹性和性能 可以将工业标准的设计入口、 综 合和验证工具完美结合。 a l t e r a 公司 有工业最宽范围的p l d s , m a x p l u s i i 软件 支持a c e x , f l e x和m a x系列从6 0 0门 到2 5 0 0 0 0 门。a l t e r a 是开放式设计系 统的 先驱者， m a x p l u s i i 能够交换e d i f , v h d l 、 或v e r i l o g h d l 形式的网 表， 为工业标准 e d a工具提供便利的接口。ma x p l u s i i 提供一个完整的集成开发 流程而且富有图形的 用户界面， 可以使它易于学习和使用 川。 第二章 自 适应涟波器的结构与算法选择 第二章 自 适应滤波器的结构与算法选择 2 . 1引言 回波抵消器必须精确估计回波路径特性并且快速适应它的变化， 这就涉及到 自 适应滤波结构和算法的选择.最好的选择依赖于具体特定的应用和性能要求。 本章主要根据回波抵消器的特点和性能要求从现有的自 适应滤波器中选择合适 的结构和算法。 夸 2 . 2自 适应滤波器概述 前面介绍了自 适应滤波器的分类和应用， 并在此基础上分析得出自 适应滤波 器分三个模块: 性能标准模块、 滤波结构模块和自 适应算法模块。 下面将从这三 个方面介绍自 适应滤波器。 2 . 2 . 1最佳滤波准则 许多实际问 题的解决依赖于从一组观察信号中 精确估计出期望响应 y ( n ) 的 值的能力。 如果在特定应用中信号有重要统计依赖或者相关， 成功估计是可能的。 在估计响应9 ( n ) 和期望响应y ( n ) 间的 差异就是误差信号e ( n ) : e ( n ) = y ( n )-y ( n ) 通过一个性能标准我们希望找到一个估计， ( 2 . 2 . 1 ) 使它的输出尽可能的和期望响应近 似， 我们称该估计为最优估计或最优信号处理。 如果性能标准或者信号的统计特 性的假设变化了， 那么最优滤波器也相应地做出变化。 因此， 在一定性能标准和 统计假设下设计的最优估计可能在其它标准或者另一种不同的处理信号统计特 性下工作情况就会很差。 由于这个原因， 在实际应用中最优估计偏离假设统计特 性对性能的影响是严重的。 发展一个数学原理将对最优估计的性能分析和设计有帮助。 我们假设期望响 应和数据都是统计过程可实现的; 尽管在实际中估计是工作在输入和期望信号具 第二章 自 适应滤波器的结构与算法选择 体的实现下，我们还希望设计一个估计在全体情况下都有好的性能。 这就是说， 估计在 通常 情况下工作良 好。因 此， 在一 个固 定的 时 刻n , 量y ( n ) , x k ( n ) 和e ( n ) 是随机变化的， 其中 i ) = y ( n , ) 一 c p ( n 一 1 ) x ( n , ) ( 2 . 2 . 1 5 ) 相对比:m( n ) = ( 2 .2 . 1 6 ) 就是失调比，是自 适应的性能的一个参数。 ( 三)捕获和跟踪 函 数m s d . m s e 或m ( n ) 对n 的图 形 被成为“ 学习曲 线” ， 体现了自 适应滤 波器性能的特性，被广泛用于理论和实验研究中。当自 适应滤波器开始工作时， 一一一一一一一一一% - 主 n ia t-y d g 丝 丝 n 5 法 选 择 它的系数往往提供一个很差的最优滤波器的估计，而且ms d或ms e很大。当 被自 适应滤 波器处理的观察 值数 量随着时间 增加时， 我 们期望 估计c ( n , 4 ) 的 质量 得到 改 进， 进而m s d和m s e下降。自 适应滤 波器不依 赖于 初 始条件c ( 一1 ) 和 s o e 的 统计 特性， 系 数矢 量c ( n , ) 逼近最优滤波系 数c 。 的 特性叫“ 捕获” 。 在“ 捕 获”阶段，我们说自 适应滤波器是工作在瞬时模式。 任何自 适应算法正常情况要求算法找到最优滤波系数 c 。 后自 适应停止，然 而，由于s o e的随机性和自 适应滤波器使用有限量的数据，自 适应滤波系数继 续在最优滤波系数附近以随机方式波动。 结果， 经过一段时间后自适应滤波器达 到工作的稳定态模式，它的性能也停止改进了。 在图2 .3 ( a ) 中 展示了 在静态 s o e下自 适应滤波器的 工作瞬时模式和稳定态 模式。捕获阶段的时间反应了自 适应滤波器收敛的速度，稳态的e ms e或失调 比反应自 适应质量的特性。这些特性都依赖于s o e ,滤波结构和自 适应算法。 跟踪 c0(n)/漱 捕获 万一 、- 卜 n_ 1-.一 跳 ， 瞬 态 r -稍 态 一 争， 1 瞬 态r -街 态 州卜 ( a ) 静态s o e ( b ) 非静态s o e 图2 .3 s o e的 静态和非睁态工作模式 在每个时刻n ， 任何滤波器都用有限量数据来计算最优滤波器的估计。 有限 量数据导致的误差称为估计误差。当自 适应滤波器试图跟踪在非静态 s o e下时 变最 优系数c - ( n ) 导 致一个附加 误差被称为 滞后 误差。 图2 .3 ( b ) 展示了 在非 静态 s o e 下自 适 应滤 波器工作模式。 如果a ( n , ) 或 y ( n , ) 或者两者都是非静态， 则 自 适应滤波器的s o e是非静态的。输入的非静态比期望响应更严重，因为它影 响 r ( n ) 的可逆性。自 适应滤波器先捕获后跟踪最优滤波器， 跟踪能力是稳态的 第二章 自 适应滤波器的结构与算法选择 特性。自 适应的速度 ( 瞬态特性) 和跟踪能力 ( 稳态特性) 是自 适应滤波器的两 个不同特征。 显然，当s o e变化速度比自 适应滤波跟踪速度慢， 跟踪是可行的。 2 . 3最小均方滤波 下面我们研究一下在ms e准则下基本的优化方法，为自 适应滤波算法进一 步发展 提供一个基础。 由 前 面 ( 2 .2 .2 ) . ( 2 .2 .4 ) 和( 2 .2 . 5 ) 我们可知道: p ( c ) = e i e i z = e ( y - c h z ) ( y * - x h c ) ) = e i y 1 2 卜c h e a y * - e y x h c + c h e z x c 化 简 为 : p ( c ) = p y - c h d - d h c + c r c ( 2 .3 . 1 ) 其中 令p y = e y ( n ) 1 2 是 期 望 响 应 能 量 ， d = e z y * 是 数 据 矢 量z 和 期 望 响 应 y 的 交 叉 矩阵， r = e x x h 是 数 据矢 量a 的 相关 矩阵。 上 面 方 程 是系 数矢 量的 二 次函数，当r是正定时 代表一个碗形曲面， 有一个唯一最小值， 该点是最优滤波 状态， 这时的系数为 。 有两种方法寻找式( 2 . 3 . 1 ) 的 最小 值: ( 1 ) 解常规方程 r c o = d ， 用一个直接线性系统解决方法; ( 2 ) 用迭代的 最小算法找p ( c ) 的最小值。 尽管直接法提供有限步的解决方法， 有时我们还是喜欢迭代法， 因为该法需要数 字精度不高，计算量不大，当r不可逆时仍可工作， 是非二次性能函数的唯一 选择。 在所有迭代法中， 我们开始假设一个能改变到达最小值的近似解， 然后开始 搜索 “ 碗底” 。关键是选择一个步长，逐步接近并最后到达底部。我们有不同的 优化算法来选择步长和步长的方向。下面介绍一下最陡下降算法 ( s d a ) . 2 . 3 . 1 s d a算法 最陡下降法虽然很少直接用于自 适应滤波器， 但是很多有效的算法是从最陡 下降法派生出来的。 我们知道如果函 数p ( c ) 是连续可导的， 它可能用泰勒级数在 c 十 c 附近展开: p ( c + a c ) = p ( c ) + 艺+ 粤 if nl r e . 曰 i 习 c 尸 ( c ) . 八c凸 c , 十 比 c c , ( 2 . 3 .2 ) 简化: p ( c + a c ) = p ( c ) + ( o c ) t o p ( c ) + 1 / 2 ( a c ) t o z p ( c ) ( a c ) + - - -( 2 . 3 . 3 ) 第二章 自 适应滤波器的结构与算法选择 其中v p ( c ) 是 梯度矢 量， v i p ( c ) 是h e s s ia n 矩阵。 对于 二次 方 程( 2 .2 . 1 ) ， 我 们 有: 7 p ( c ) = 2 ( r c 一d ) ( 2 .3 .4 ) v z p ( c ) = 2 r ( 2 .3 .5 ) 高 阶 项 为 零 。 对 于 非 二 次 函 数 ， 高 阶 项 是 非 零 的 ， 但 是 如 果j a c 很 小 ， 我 们 能 用二次式来近似。我们知道当? p ( c ) = 0 ， 如果r是正定的， 则c 。 为最小 值，因 为 ( o c ) t v z p ( c ) ( o c ) 对 于 非 零 。 恒 为 正 。 因 此， 我 们 选 择步 长 c 让 ( a c ) t o p ( c ) 0 ，则p ( c + 0 c ) p ( c ) ， 这样 我 们一 步 步 接 近 最 小 值。 因 为 : ( a c ) t o p ( c ) = 11 o c 11 11 o p ( c ) 11 c o s o ， 当 c = - o p ( c ) 时 ms e的下降最大， 所以负梯度方向 是最陡下降方向。于是得出 迭代最小算法: c k = c k - 1 + g 一7p ( c k _ 1 ) k )0 ( 2 .3 .6 ) 这就是最陡下降法( s d a ) 。 正常数f i 就是步长参数， 控制负梯度方向 下降的尺寸。 算法一般初始化 c o =o 。图2 . 2 演示了单参数最陡下降法。 p ( c ) 么 p k - 1 p k + 1 f 0 c0 图2 . 2 梯度搜索m s e 表面的最小误差点 ck +1 ckc k -1 对于函 数( 2 .3 . 1 ) , s d a 为: c k = c k - 1 + 2 e1 ( d -r c k _ i ) = ( 1 -2 闪c k - 1 + 2 f 1 d ( 2 .3 .7 ) 这就是迭代差分方程。其中k 代表s d a迭代次数，与处理时间无关。然而，这 个反复优化和滤波结合产生一个渐近最优滤波器: e ( n , d = y ( n , ) - c 。 一 ，x x ( n , ) ( 2 .3 .8 ) c n c n - 1 + 2 f 1 ( d -r c , 1 ) ( 2 . 3 .9 ) 在迭代优化滤波算法的设计中有两个关键性能因素:稳定性和收敛速率。对于 s d a算法的稳定性和收敛速度不加详细展开， 可以参考 6 0 第二章 自 适应滤波器的结构与算法 选择 2 . 3 . 2 l m s自适应滤波器 因为在s d a算法中梯度的计算设计到矩阵，是很复杂的，并不能应用到实 际中去， 但是它能作为理论基础派生出更有效的算法， l ms 算法就是其中之一。 l ms 算法由wi d r o w和h o ff 在1 9 6 。 年提出， 因为它在实际中简单， 计算效率高， 在一系列工作条件下性能好而被广泛应用。 s d a算法假设初始c o = o ， 利用二阶矩阵r和d 迭代计算， 沿负梯度方向 逐 步 接近 最 优 滤 波系数c o = r d 。 实 际 上， 这里 我 们只 知 道输入 x ( j ) ， 0 j n 和期望响 应 y o， 0 - j ( n ) 和r 表示。 这些量的时变估计提供充足信息来估计us 算法的稳定性和稳态性能。 ( 1 )系数矢量收敛 如果 我们从式( 2 . 3 . 1 7 ) 求期望， 因为e x ( n ) e . ( n ) ) = 0 ， 可得: e c ( n ) ) = e c ( n - 1 ) 一 2 p e x ( n ) x h ( n ) c ( n - 1 ) ) ( 2 .3 . 1 9 ) 上式第二项需要计算输入信号与系数误差矢量的相关性。如果我们假设 x ( n ) 和 第二章 自 适应论波器的结构与算法选择 c ( n -1 ) 是统计独立的 ( 可参 考g a r d n e r 1 9 8 4 1 2 ) ， 式 ( 2 . 3 .3 6 ) 可简化为: e a ( n ) ) = ( 1 - 2 p r ) e c ( n -1 ) ( 2 .3 .2 0 ) 因 此， c ( n ) 在平均意义上收 敛， 也 就是， 如 果系 统 矩阵 ( 1 - 2 p r ) 的 特征 值小于1 , li m - e c ( n ) 卜。 。如果r是正 定的，a -是最大的 特征值，则条件: 0 (2 g 0 ，说明自 适应滤波器的ms e比 最 优 滤波ms e的p 。 大。 当0 2 l 2 / ( 3 t r r ) ( 2 .3 .2 5 ) p . . ( n ) =p t, ( n ) + p -( 0 0 ) ( 2 3 .2 6 ) 其中p t, ( n ) 瞬态m s e ，它指数衰减消失: p - ( 0 ) 稳态超额ms e ，它实际中 可 简化为:p , . ( - ) - p o g t r r / ( 1 - t r r ) ( 2 .3 .2 7 ) 上面的推导过程可见资料 1 3 。 于是我们有: p ( n ) =p a +p v ( n ) +p e x ( )( 2 . 3 .2 8 ) 因此 m s e 收敛对u 有一个比 式 ( 2 .3 .2 1 ) 更严格的条件确保了平均收敛。 第二章 自 适应滤波器的结构与算法选择 ( 三)概要与设计方针 l ms 自 适应滤波器的ms e由 三部分组成: p ( n ) = p a + p u ( n ) + p e x ( 0 0 ) , p a 是最优m s e , p a ( n ) 是瞬态m s e ， p - ( - ) 是 稳态超 额m s e e ( 1 ) 稳定 性. 如 果步长“ 满 足条 件: 0 2 g k / t r r ( 2 .3 .2 9 ) l ms自 适应滤波器在平均意义上收敛。 其中k为常数。 在正态分布时k为 1 或 2 / 3 ， 但是实际 应用中， 上面很多独立假设不成立， 所以 步长w 实际要远比k / t r r 小，k实际值并不是太重要。 ( 2 ) 收 敛 速率。 瞬态m s e 无振荡的 指数衰 减。当9 满足式( 2 .3 .2 5 ) 时， m s e 收 敛，收敛时间正比于平均时间常数: t ,_ - 1 / g 入 av 其 中 入 av 一 琐， 入 、，是 r 的 平 均 特 征 值 。 ( 3 ) 稳 态e m s e 。 通常p t r r 1 ， 我们可以 将式 ( 2 . 3 .2 7 ) ) 近似为: p _ ( -) -p . lt r r ( 2 . 3 .3 0 ) 这暗示p x ( -) p o e ( 4 )速度与自 适应精度。从前面讨论可以看出在收敛速率和稳定e ms e间有一 个权衡。 首先要选择 w满足式( 2 . 3 .2 9 ) 保证自 适应滤波器的稳定性。在这个范围 内， 降 低n 就减少误差平均水平， 同时降 低了 收 敛 速度; 相反， 如果增加9 就增 加收敛速度，同时误差也增加了。在收敛速度与误差之间的权衡是l ms 算法的 基本特征。 夸 2 . 4最小二乘滤波 在这节中我们研究 s s e准则下优化滤波器，发展另外一类自适应滤波器。前面 介绍的s s e准则这里具体为: e ( n ,c ) = y a ”一 e o ) 1 a = 艺 入 - ! y o ) - c = o( 2 .4 . 1 ) 其中:e ( j) 为瞬时误差，常数x 是遗忘因子， 0 a 1 。 系数矢量 c ( n ) 由 最小化 式( 2 .4 . 1 ) 获得，它提供了时刻n 最优最小平方 和误差m s s e 滤波器。 第二章 自 适应滤波答的结构与算法选择 2 . 4 . 1 l s自 适应滤波器 对e ( n , c ) 求c 的偏导数为零求最小值，可得方程: r ( n ) c ( n ) = d ( n )( 2 . 4 . 2 ) 其中: 户 (n) er (n ) _ 艺入 一 ， : 。 ) x h 。 ) 、 (n ) 0d (n ) _ 艺、 一 = g ) y * u ) ( 2 . 4 . 3 ) ( 2 . 4 . 4 ) 是输入相关矩阵和输入与期望响应的交 叉矩阵的指数加权估计。 式( 2 .4 .2 ) 就是采 用最小二乘准则的最佳参数求解表达式。 这时的最小平方和误差为: e - ( n ) = e y ( n ) 一 d h ( n ) c ( n ) e y ( n ) = 艺 a y o ) i ( 2 . 4 . 5 ) 其中: ( 2 . 4 . 6 ) 是加权期望响应的能量。l s自 适应滤波器的具体求解方法这里不详细介绍，可 参考资料【 6 1 . 2 . 4 . 2传统r l s自 适应滤波器 l s自