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一类二次可积系统的a b e l 积分的零点个数估计 摘要 确定a b e l 积分的零点个数上界，是当今分佾理论研究的热门课题之一，这一问题和确 定h a m i l t o n 系统与可积系统在多项式扰动下的极限环个数密切相关由于这是h i l b e r t 第1 6 闷题的一种特殊情况，所以把它叫做弱化的h i l b e r t 第1 6 问题本文主要讨论形如h ( x ，y ) = z - 3 ( 妻) ，2 + a x 2 + b x + c ) 似，b ，c 为实参数) 的二次可积系统扰动下的a b e l 积分的零点个数 的估计问题全文分为五个部分第一部分介绍了研究现状以及本文主要的结论第二部 分研究了j = 珥m ，夕= 一h x m 的正规形，这里h ( x ，) ，) = 0 j + 砂+ c ) p 2 ( x , 力，p 2 ( x ，力= a i j x j y j ，a 2 + 护0 ，k z ，给出了至少有一个中心的上述系统所对应的首次积分形式，及 i + j 2 其轨线的拓扑结构图 本文的第三部分讨论了首次积分为h ( x ，力= x - v , i d ：+ a x 2 + b x + c ) ，其对应系统在甩次 二 扰动下的，( | f 1 ) 的代数构造，得出其有k 个生成元，并给出了表示式中系数多项式的阶数 文章的后三部分讨论了至少有个中心的二次可积系统在一般n 次扰动下的a b e l 积 分，( i 1 ) = 彝。【肘( 工，y ) g ( x ，y ) d x - 【肘( 工，y ) f ( x ，y ) 】d y 的零点个数上界，这里f ( x ，) ，) ，g ( x ，) ，) 是关 于工，y 的以次多项式首先，我们根据“ ) 的代数构造，证明了，( ) 可表为三个生成元 j - l ( h ) ，j o ( h ) ，j l ( h ) 的组合，即，( 1 ) = 【_ ( a ( 庇) l l ( 1 ) + f l ( h ) j o ( h ) + t ( h ) j l ( h ) ) 其中d e g o r ( h ) s t 一3 ，d e g f l ( h ) ，l 一3 ，d e g y ( h ) n 一3 ；最后，利用广义r o l l e 中值定理，证明a b e l 积分，( ) 的 零点个数b ( n ) 7 n ，即b ( ，z ) 被依赖于疗的线性函数所控制 关键词二次可积系统；a b e l 积分；p i c a r d f u c h s 方程；r i c c a t i 方程 e s t i m a t i o no f t h en u m b e ro fz e r o so fa b e l i a ni n t e g r a l o fac l a s so fq u a d r a t i ci n t e g r a b l es y s t e m s a b s t r a c t f i n d i n gt h el o w e s tu p p e rb o u n d f o rt h en u m b e ro fz e r o so fa b e l i a ni n t e g r a l s ，w h i c hi sc a l l e d w e a k e n e dh i l b e r t16 t hp r o b l e m ，i sa ni m p o r t a n tp r o b l e mi nb i f u r c a t i o nt h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n i ti sc l o s er e l a t e dt od e t e r m i n a t i n gt h en u m b e ro fl i m i tc y c l e so fap e r t u r b a t e d p o l y l o m i a lh a m i l t o n i a ns y s t e mo ri n t e g r a b l es y s t e mo nt h ep l a n e i ti ss t u d i e di nt h i st h e s i st h a t t h ea b e l i a ni n t e g r a l sf o rq u a d r a t i ci n t e g r a b l es y s t e m ，t = x y + e f ( x , y ) a ，+ 乏3 y 2 + 昭， ( 0 1 ) f w h e r efi sas m a l lp a r a m e t e r , a ，ba n dca r er e a lp a r a m e t e r s ，f ( x ，y ) a n dg ( x , y ) a r ep o l y n o m i a l so f xa n dyw i t hm a x d e gf ( x ，) ，) ，d e gg ( x ，y ) l = 以l e tl hb et h ec o m p a c tc o m p o n e n to fh ( x ，y ) = h t h i sp a p e rc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s ，c h a p t e r1i sa ni n t r o d u c t i o n ，i nc h a p t e r2 ，i ti sd i s c u s s e d t h en o r m a lf o r mo ft h eq u a d r a t i ci n t e g r a b l es y s t e m ：支= i - i t m ， = 一h x f m ，w h e r eh 缸，协= ( a x + 缈+ c ) 。p 2 ( x ，) ，) ，p 2 ( x ，) ，) = a i j x i y j ，a 2 + b 2 0 ，k z ，m ( x ，) ，) = ( a x + 缈+ c 严一1 ，a n di t i + j 2 i ss h o w e dt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eg r a p ho ft h ec o r r e s p o n d i n gp h a s eo r b i t i nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r , i ti sc o n s i d e r e dt h ei n t e g r a b l es y s t e m ( 0 1 ) 0w i t ha tl e a s to n ec e n t e r al i n e a ru p p e rb o u n db ( n ) 7 ni sd e r i v e df o rt h en u m b e ro ft h ez e r o so fa b e l i a ni n t e g r a lj ( 矗) = 氟【肘( j ，y ) g ( x ，y ) 】d x - 【m ( 工，y ) f ( x ，) ，) 】d yo nt h eo p e n i n t e r v a l ，w h e r e i sm a x i m a li n t e r v a lo f e x i s t e n c eo fr h ，f ( x ，y ) a n dg ( x ，y ) a r ep o l y n o m i a l so fxa n dy ，l = m a x d e gf ( x ，) ，) ，d e gg ( x ，y ) ， m ( x ，) ，) i st h ec o r r e s p o n d i n gi n t e g r a t i n gf a c t o r k e yw o r d sq u a d r a t i ci n t e g r a b l es y s t e m ；a b e l i a ni n t e g r a l ；p i c a r d f u c h se q u a t i o n ；r i c c a t i e q u a t i o n i i 独创性l 声明 本人声明所早交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得丕盗! 重整盘堂或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 丝! 垦超导师签名：e l 期：型：墨 第一节引言 1 9 0 0 年，著名数学家d h i l b e r t t l 】在第二届国际数学家大会上提出了2 3 个数学问题，其 中第1 6 个问题的后半部分是：右端为n 次多项式的平面系统 f 膏= p n ( 工，) ，) ，( 1 1 ) 【夕= a n ，) ，) 极限环个数的最小上界h ( n ) 是多少? 可能 h 现的极限环相对位置如何? 这里n ( 石，) ，) ，幺( 工，y ) 是关于实变量x ，y 次数不高于刀的实系数多项式一个多世纪以来，特别是近几十年，中 外数学家在这方面做了大量的工作经过1 1 y a s h e n k o t 2 j 和e c a l l e t 3 】完善证明后的d u l a c t a l 有 限性定理指出：一个给定的行次多项式系统的极限环个数是有限的但是，对全体n 次多项 式系统而言，其极限环个数的一致上界如何估计( 哪怕是否有限) ，即使对，l = 2 这种最简单 的线性情形，仍然未知 1 9 5 5 年【5 】和1 9 5 7 年【6 】，p e t r o v s k i i 和l a d i s 一起发表文章声称解决了系统( 1 1 ) 的极 限环的最小上界的存在性问题，特别地，他们在文章中给出了的结论但是，在1 9 6 0 年前 后，n o v i k o v 与1 1 y a s h e n k o 发现p e t r o v s k i i 和l a d i s 的证明中有错误1 9 7 9 年，史松龄教授 【7 】、陈兰荪教授和王明淑教授【8 】分别独立地举出日( 2 ) 4 的例子，从而破除了二次系统极 限环上界是三的传统猜测在叶彦谦教授的专著以及d u m o r t i e r 等人的系列文章中，可以发 现大量有趣的结果关于这方面的进展，可参考专著【9 ，1 0 】s s m a l e t l l l 认为，对日( n ) 的研 究可能是h i l b e r t 问题中最困难的一个，可见这个问题是对数学工作者的一个重大挑战 考虑( 1 1 ) 的一种特殊情形，即扰动下的平面多项式系统： 。 f 戈= p ( x ，y ) + e f ( x ，y ) ，( 1 2 k 【夕= q ( x ，y ) - t - e g ( x ，) ，) 其中p ( x ，_ ) ，) ，q ( x ，_ ) ，) ，f ( x ，) ，) ，g ( x ，y ) 是x ，y 的多项式，m a x d e g p ( x ，y ) ，d e g q ( x ，y ) j = m ，m a x d e g f ( x ，力，d e g g ( x , 力) = 力，e 是一个参数，且0 1 赵育林教授等【2 1 2 2 】后来又考查了更一般化的系统： 夕t ：= 似x y 均一2 + a + 互3 严， 这里m ( x ，y ) = x - 4 ，在n 次多项式扰动下，证明了m l ( h ) 0 ，n 之4 时，z ( 2 ，1 ) 3 n 一 7 ；m l ( ) 三0 ，m e ( ，1 ) 0 ，n 4 时，z ( 2 ，n ) 6 n 一1 3 邵仪教授等【2 3 】运用椭圆积分的方法讨论了系统： 夕t ：= x 三y 一圭，+ 妒， 3 这里m ( x ，) ，) = x ，在n 次多项式扰动下，证明了z ( 2 ，o ) = o ；z ( 2 ，n ) 3 5 ，l = 1 ，2 ，3 ；z ( 2 ，1 ) s 5 9 ，n = 4 ，5 ，6 ；z ( 2 ，1 ) 1 2 n 一7 ，n 7 注本段中提到的口，b ，c ，a ，d ，e ，f 均为实参数 对于二次的可积系统，不论是对低次扰动还是一般的，1 次扰动，由于积分因子的多样 性，关于a b e l 积分零点个数估计还遗留不少未解决的问题，本文就是围绕这一问题展开工 作的这里讨论的二次可积系统所对应的至少有一个中心的向量场大体可分为：具有双中 心、单中心、一条尖点环、一条双曲鞍点的同宿轨四种情形下面介绍本文的主要内容： 1 对于二次可积系统，给出其正规形 这是本文第二节的内容我们主要讨论了如下二次可积系统的性质 震军1 1 y = ， n 3 垤 其中h ( x ，y ) = ( 口工+ 缈+ c ) k p 2 ( 工，) ，) ，k z ，a 2 + b 2 0 ，p 2 ( x ，y ) = a i j x i y j ，f ( x ，) ，) 和g ( 工，) ，) 同( 1 2 ) f 的定义，此时( 1 3 ) ：所对应的积分因子m ( x ，y ) = ( a x + 勿+ c ) 扣1 我们给出了相应 的正规形及所对应的至少有一个中心的平面多项式系统的轨线拓扑结构在这一节，我们 先通过变换化简了积分因子的形式，然后通过讨论p 2 ( 五y ) 中各项系数的取值，对其进行了 分类，并对某些系数通过标准化简化了最终的形式，得到了正规形 2 介绍了( 1 3 ) 毛o 、( 1 3 ) i ；一l 和( 1 3 ) ：一2 ，以及给出了( 1 3 ) ：一3 的，( j 1 1 ) 零点的个数上界 的估计式 本文的第三、四、五节讨论了至少有一个中心的二二次可积系统( 1 3 ) ：一3 的a b e l 积分 ，( j f l ) = 彝。【m ( x ，y ) g ( x ，y ) 】d x 一【m ( x ，y ) f ( x ，) 7 ) 】a y 的零点个数上界，这里f ( x ，) ，) ，g ( x ，y ) 是关于 工，y 的，1 次多项式，m ( x , y ) 是系统所对应的积分因子在第三节，我们研究了( 1 3 ) ：一3 的 ，( 矗) 的代数构造，证明了j ( 矗) 可表为三个生成元正l ( 庇) ，凡( 办) ，l ( 办) 的组合，即 m ) = 嘉砌) = 嘉( 砌) l 肋) + f l ( h ) j o ( h ) + y ( w 胎) ) ， 其中d e g t r ( h ) ，d e g f l ( h ) ，d e g y ( h ) n 一3 最后，利用广义r o l l e 中值定理，证明a b e l 积分 i ( h ) 的零点个数b ( n ) 7 n 需要说明的是，本文只详细讨论了( 1 3 ) i 一3 的，( ) 的零点个数的情况，而( 1 3 ) i s - 4 的 4 情形，由于k 的增大，( ) 的表达式巾的生成元的个数也在增多，其难度直线上升本文所 讨论的b ( n ) 是，( ) 在整个定义域内的零点个数上界，n 存在的最大区间可能包含几个 开区间例如，当( 1 3 ) ：竺3 所对应的向量场有两个中心时，包含两个开区间此外，前面 所述的已有结果均是讨论某一给定的二次可积系统，而本文从最一般的二次可积系统入手， 考虑了h ( x ，) ，) 可能出现的所有情形，故可看作是对此类结果的进一步完善 f 囱介缁本文的主要结论： 当k = 0 时，h ( x ，y ) = p 2 ( x ，y ) ，具有中心的日0 ，y ) 的正规形为h ( x ，y ) = x 2 + y 2 = h ，即 贾= ) ，夕= 一j 其在以次多项式扰动下的a b e l 积分的零点个数z ( 2 ，咒) = 【竺；】【2 4 】 定理1 1 ( 1 3 ) ；：一l 的a b e l 积分的零点个数( 考虑其重数) 的最小上界z ( 2 ，忍) 为：z ( 2 ，o ) = o ；z ( 2 ，n ) = 1 ，z = 1 ，2 ，3 ；z ( 2 ，1 ) = ，l 一2 ，n 4 若n 次的多项式扰动是关于y 轴对称的，则 z ( 2 = 【掣】 定理1 2 ( 1 3 ) ：_ 2 的a b e l 积分的零点个数( 考虑其重数) 的最小上界z ( 2 ，1 ) 为：z ( 2 ，疗) = 0 ，n = 0 ，1 ；z ( 2 ，力) = n ，玎2 通过正规形的知识，可以将( 1 3 ) 害1 3 所表示的h a m i l t o n 函数化为 h ( x ，y ) = x - 3 ( 去) 7 2 + a ，+ b x + 0 ， ( 1 4 ) 相应的扰动系统记为 f 戈= x y - - j + - e - - d ，r x 工- - ，) ，) t 夕= 3 c + 2 舭+ a ，埽32 + 驰川 ( 1 5 ) f 其中a ，b ，c 为任意实常数，0 0 时，通过 尺度变换茗= c 币f f - a x ，y = 惦】，f = 师丁，上式可写作日陇y ) = x - i 脚( 去妒+ x 2 + l x 类似地，有：a 0 ，c 0 时，日( 墨聊= x - * l ( 去r 2 + x 2 一1 ) ；a 0 时，月( xy ) = x - v , f ( 1 y 2 一酽+ 1 ) ；a o ，c o ，可通过尺度 r1 变换工= 吴x ，y = 诟y ，f = 师丁，将上式化为：日( 五y ) = x i 矧( 寺妒+ x + 1 ) ，类 似地，c o ，可通过变换 x = b x , y = 丽by ，f = 警丁，将上式化为：h ( x y ) = x _ 眦三妒+ 酽+ x ) ，类似地，a 。时 8 可化为：h ( x , 1 1 ) ：x - l k l ( 吾y 2 一x 2 + 鄹，易知有中心的系统只有日( 墨y ) = x - v , j ( 1 y 2 一舻+ 鄹， 此即( 2 3 ) i v a c o ，同理，( 2 1 0 ) 通过系数的单位化以后可写作：日( x ，y ) = 工刈( 圭严p + x + p ) ， 这里p 为任意实数，为表述p 取值的简便，一卜式又可表为：日( x ，) ，) = x - , k , ( 1 ，+ 工士p ) ， 通过计算，可知p 茄煞亓时，上式至少有一个中心，此f l p ( 2 4 ) 证完 推论2 2i ) 对于( 2 1 ) ，为便于计算和表述，可化为与其等价的形式： h ( x , y ) = 工刊( 主) ，2 一器+ 1 ) ， ( 2 1 ) ， h a m i l m n 函数( 2 1 ) 7 有两个中心( 1 ，) 和( - 1 ，o ) ，当嘲= ，2 m + l 时，围绕( 1 ，o ) ( ( 一l ，o ) ) 的闭 轨族n 的定义域为j i l l = ( 一两量，o ) ( j i l 砀= ( o ，两气) ) ；当吲= 2 m 时，围绕( “，o ) 的闭轨族r 的定义域均为j i le l = ( 一面乌，o ) ，r 艘和r o 分别对应于中心和一条双曲线， 如图l 所示 i i ) 对于( 2 2 ) ，可化为与其等价的形式： h ( x , y 一刊( 三灿鼎川) ( 2 2 ) 7 对于( 2 2 ) ，当i k l = 2 m + 1 时，围绕中心( 一l ，o ) 的闭轨族n 的定义域为庇= ( o ，两j ) ； 当i k l = 2 m 时，围绕中心( 一1 ，o ) 的闭轨族n 的定义域为，l = ( 一两j ，o ) ，r 由和r o 分 别对应于中心和一条抛物线，如图2 所示 i i i ) 对于( 2 3 ) ，可化为与其等价的形式： h ( x , y ) = 一( 圭) ，2 一料，删， ( 2 3 ) ， 对于( 2 3 ) 7 ，围绕中心( 1 0 ) 的闭轨族n 的定义域为 = 卜丙乏 o ) r - 南和r o 分别对 推论2 3 对于( 2 4 ) ，我们有： 一 i)若。p茄晶亓，则(24)+有一个中心、(-(ikl-1)+、(ikl足-i1)幻2-41kl(1kl-2)p 9 和一个鞍点( - ( i k i 1 ) 一 2 ( i k l 一2 ) ，o ) ，围绕此中心的闭轨族f h 的定义域为 h = ( h l ，h 2 ) ，这里 - = 一可习_ = 互f2 1 k l - i ( 1 一i 纠- 8 p + 4 l 纠p 一丽习f = _ 了乒_ = _ 甭习可两雨 如图4 所示 (-ikl-1业+(ik零l-1)芦2-41kl(ikl-2)p j 1 2 = 一石两_ = 1 = _ 蓊( 2 1 k l - ( 1 一i 足i - 8 p + 4 j 七i p + 丽乏r = 了尹l = 石医趸医r 二互无- ) f一ikl-l-(ikl-1)2-41kl(ikl-2)p 、 i k i 一2 、厂 众f 岁jl 夕 图1 l 、 、 夕 一 l 1 弋 n 图4 图2 j 、 厂 ? ， ，、 i 7 图3 j 一 弋 么7 图5 ( 2 4 ) 一有四个奇点，一个稳定结点( o ，万) ，一个不稳定结点( o ，一一) ，中心 ik-1+、亟(嘎ikl磊-譬1)2；-掣41kl(ikl-2)p，。)，鞍点、ikl-1-4墅(ik夏l-言l圣)2；-皿41kl(ikl-2)p，。)，围绕此中 l o 心的轨族的定义域为h = ( j l l ，h 2 ) ，这里 l t = 可可 _ 西互2 1 k l - * ( 1 一恤i - 8 p + 4 l 足i p 一丽云f = t 乒= _ 酉两可而 (ikl-1+、写(ikl-乎1)z-4lkl(ikl-2)p)咄i)， | l z = 刁乏雨1 ( 2 i q 一1 ( 1 一i 七i - 8 p + 4 i 七i p + i 、：i 乏i 二_ i ，r 二_ 葡乏r i 日面 ( i k l - 1 - x ( i k l 。- 1 ) 2 ，- 4 1 k l ( i k l - 2 ) p ) 1 ， 卅z ”j ， 如图5 所示 ii)若p。，此时只有(24)一有中心奇点，有两个中心ikl-1x亟(嘎ikl丢-譬1)2写-霉41kl(ikl-2)p o ) ，如图1 所示 同样，可类似地讨论( 1 3 ) ；：的情况，我们有如下命题： 命题2 4 至少有一个中心的二次可积系统( 1 3 ) ：；：所对应的h a m i l t o n 函数可以化为如 下形式之一： 日( 五力= ( 去) ，2 + ，一1 ) ， ( 2 1 2 ) h ( x ，) ，) = ( 去) ，2 + 工一1 ) ， ( 2 1 3 ) h ( x ，) ，) = ，( 去广+ ，+ 工) ， ( 2 1 4 ) h ( x , y ) = x k ( 1 y 2 士，+ 工q ) ( g ：善嵩) ， ( 2 1 5 ) 由于该命题的证明与命题1 1 类似，此处略去 推论2 5i ) 对于( 2 1 2 ) ，可化为与其等价的形式： 肌，) ，) = ( 三) ，2 + 丽k _ 1 ) ， ( 2 1 2 ) h a m i l t o n 函数( 2 1 2 ) 有两个中心( 1 ，0 ) ，两个鞍点( o ，士俩，k = 2 m + 1 时，围绕( 1 ，o ) ( ( 一1 ，o ) ) 的闭轨族的定义域为j i l i = ( 一瓦2 忑，o ) ( 2 = ( o ，f 2 忑) ) ；七= 2 m ，围绕( l ，o ) 的闭 轨族r 的定义域均为j l l l = ( 一瓦2 忑，o ) ，如图6 所示 i i ) 对于( 2 1 3 ) ，可化为与其等价的形式： 何( 工，) ，) = e ( 三y 2 + 而k 工一1 ) ， ( 2 1 3 ) 对于( 2 1 3 ) 7 ，围绕中心( 1 ，0 ) 的闭轨族n 的定义域为h = ( 一- i _ ) ，f 一士和r 0 分别对应 7 _ + j 于( 2 1 3 ) 的中心和一条抛物线，如图7 所示 i i i ) 对于( 2 1 4 ) ，可化为与其等价的形式： h ( 五) ，) = ( 圭) ，2 + 币k + l ，+ 力， ( 2 1 4 ) ， 对于( 2 1 4 ) ，k = 2 m + l 时，围绕中心( - 1 ，o ) 的闭轨族r 的定义域为h = ( o ，瓦忑1 ) ；七= 2 m 时，围绕中心( 一l ，o ) 的闭轨族h 的定义域为i l = ( 一f l _ ，o ) ，r 由和r o 分别对应 一 一 瓜瓜。 u 7 、厂 图6 l ? 科 - x 图9 j 荫、。 乡 推论2 f ii ) 对于( 2 1 5 ) ，我们有： 图7 1 2 r 孓 l l 夕 7 图8 j 影念 图1 0 i ) 若0 q ( 良+ 1 ) 2 。4 。k ( k + 。2 一) 则( 2 1 5 ) + 有一个中心( 一( 足+ 1 ) 一娟百可【磊而 2 ( k + 2 ) ，0 ) 和 一个鞍点( 墨生生上l 连霉旱蓦巫，。) ，围绕此中心的闭轨族n 的定义域为j l l = ( h i ，h 2 ) ，这里 ”丽1 ( 2 小- ( - 1 - k + 8 q + 4 幻+ 、( k + 1 ) 2 - 4 k ( k + 2 ) q ) ( 一k + 1 - 堑x ( k 菩+ 1 ) 2 _ 巫4 k ( k + 2 ) q ”丽1 ( 2 小- ( - 1 - k + 8 q + 4 k q - 瓜丽( 一k + 1 + 监f f ( k 磊+ 1 ) 2 _ 亚4 k ( k 亘+ 2 ) q 如图9 所示 (215)一有四个奇点，三个鞍删0伺，(k+1+、焉(k+1)警2-4k(k+2)q，。)，一爪中 心( k + 1 - x 焉( k + 1 ) 笋2 - 4 k ( k + 2 ) q ，。) 瑚。胝 若口。，此时只有(215)+有中心奇点，其有两个中心(一k+i+、譬(k磊+j1)芦2_4k(k+2)q，。)， 两个鞍点( o ，莉，如图6 所示 1 3 第三节l ( h ) 的代数构造 本节首先研究了( 2 1 1 ) 所对应的多项式扰动系统的j ( j 1 1 ) 的代数构造，得出其由k 个生 成元构成，并给出了其代数表示，接着给出了( 1 5 ) 。的i ( h ) 的代数构造 首先考虑( 2 11 ) 所对应的扰动系统 f 戈= x y + e f ( x ，) ，) t 夕= 嘲c + ( 吲一1 ) 舭+ ( 吲一2 ) a ，+ 婴) ，2 + g ( x ，) ，) ( 3 j ) f 其中a ，b ，c 为任意实常数，0 o 因此，在后续的章节中，我们将原先的i ( h ) 可表为 j ( ) = 正r h m ( x ，) ，) p ( 工，y ) d z ， 这里d e g p ( x ，力n ，我们将证明分为以下几个部分： 1 ) ( 3 3 ) 可以表示为如下形式： ( 3 3 ) ( 3 4 ) 由( 2 1 0 ) 可得： r i 9 宴一婴r 卅l y 2 一( i k l 一2 ) a x - 卅i 一( i k l 一1 ) b x - v t i k l c x - 恤t l ：o ， ( 3 5 ) o xz 给( 3 5 ) 两边同乘以x y j - 2 并沿r 积分，由分部积分法，有 这里尸f j ( j i z ) ，= 2 一，l 是关于j l l 的多项式，其中d e gp f “功【与荨譬】，歹= 2 一 眦，1 ，【s 】表示s 的整数部分 1 5 五 口 川； = “ 为证明( 3 7 ) ，先建立一些相关的等式，重写( 2 1 0 ) ，有 三y 2 + a x 3 + b 工+ c = 一削， 给( 3 8 ) 两边同乘以，2 晦i 一1 少并沿n 积分，有 ( 3 8 ) = 岍2 + a t i k l + 2 , j + b l i - l k l + l , j + c h ( 3 9 ) 由( 3 6 ) ，可得 i - l k l , j + 2 - - 一暑赫m 一2 m t l k l + 2 , j + ( 一2 ) b l i - i k l + l , j + 惝嘶u ) ， ( 3 1 。) 将( 3 1 0 ) 代入( 3 9 ) ，可得 h ( 2 i + i k l j - 2 1 k 1 ) l o = 2 ( f + j 一2 i 纠+ 2 弘鲁厶一嘲+ 2 ，j + ( 2 i + j - 4 1 k l 一2 ) b l i i k l + l + 2 ( f 一2 1 k 1 ) c l _ f i k l , j ，( 3 11 ) 换言之 = 而1 陋一2 卅3 ) a 止岍2 + ( 2 i - 4 卅3 ) 曰，：f - i k l + l + 2 ( f 一2 啪止) ( 3 1 2 ) 下面通过归纳法来证明( 3 7 ) 运用( 3 1 2 ) ，通过直接计算可知i = 2 ，3 ，i k l 时( 3 7 ) 均成立，并且发现从以开始每 i k l 一2 个元素具有的( 3 7 ) 形式的表示都是一样的若假设l i i k l + 2 时，j l ( h ) 可以表示 成( 3 7 ) 的形式，并且d e gp f ( 庇) 【砸l - 2 】，z = 2 一肌，1 ，那么当kf 时，运用( 3 1 2 ) n - i 知五( j 1 ) 可表成( 3 7 ) 的形式，即 = 丽1 一2 卅3 ) a 山+ 2 + ( 2 f 一4 卅3 ) b 扛蜘l 一2 ( f 一2 啪山】 = h ( 2 i 1 - i k l ) h i l l l j = 上2 - 1 * i 心加丽1 ，互1i “加丽1 ，互ii ，乃】 = 丽1 【，互1i z “静晌奎u 川射翱，互1i 砧 1 6 其中 因此 这里 p u ( i f l ) = 【p j 制+ 2 ) j j + h 箍h 箍1 p 冲，j j j + h 箍h 箍1 p h “j 如】， j = 2 一嘲 d e g p ；, j = 【警 ，【丽i - 2 】- 【而i - 3 】+ 【等 【箍】一【砸i - 4 】+ 【并】) 【砸i - 2 ， 【箍】- 【箍】= 仁荣铊 【箍】一【箍】= 2 , k = - 3 , 且最倒箍呱 下面考虑( 1 5 ) 。，同上可记 枷) = 虫脚劝拶加点，4 少d x , i = - 1 , 0 , 1 , - - , j _ o l 2 ， ( 矗) = 五1 ( 矗) ，i = 一1 ，一0 ，1 ， 这里f h 是代数曲线日) ，) = h 的闭曲线，由于日- y ) = h ( x ，) ，) ，显然有l f , 2 j = 0 ，j = 0 ，1 ，2 ， 推论3 2 若在( 1 5 ) 。中c 0 ，n 4 ，则i ( h ) 可表为 肋) = 萨1 ，( ，1 ) ，m ) = 。( 忍) l l ( i i z ) + f l ( h ) j o ( h ) + y ( 啪( ) ， ( 3 1 3 ) 1 7 这里t r ( h ) ，觑j 1 1 ) ，y ( ，1 ) 是关于h 的多项式，其中d e g o r ( h ) n 一3 ，d e g 觑 ) n 一3 ，d e g y ( h ) n 一3 ，更进一步， j ( | 1 1 ) i i 口( z ) ，二l ( 矗) + f l ( h ) j o ( 矗) ，d e g ( r ( 向) = d e g f l ( h ) = 0 ，n = l ； l ( h ) = ( r ( 矗) ，二l ( j i z ) + f l ( h ) j o ( h ) + y ( h ) j l ( h ) ，d e gc r ( 矗) = d e g f l ( h ) = d e gy ( h ) = 0 ，n = 2 ； m ) = 丢姒j l z ) l l ( j l z ) + f l ( h ) j o ( h ) + y ( w l ( 纠，d e g m ) = d e g f l ( h ) = d e g 砌) = l ，咒= 3 1 8 第四节p i c a r d f u c h s 方程和r i c c a t i 方程 本节我们将推导系统( 1 5 ) 。所对应的l l ( j 1 1 ) ，而( j 1 1 ) ，- ，l ( j 1 1 ) 满足的方程 引理4 1 假定( 1 5 ) 。中c 0 ，则向量v = c o l ( j _ l ( j 1 1 ) ，y o ( j 1 ) ，j l ( j i l ) ) 满足如下的p i c a r d f u c h s 方程： ( d h + s ) 矿= u v ,( 4 1 ) 其中： 肚 s = 一6 c 22 b c2 ( 2 a c b 2 1 o一6 c oo 2 b 一3 2b(b2-掣3ac)渺b2扭-2a2(2ac b 22 a b c)。0b 0， 一 ) 一 i ， 2bj u = 瞄习 证明为便于后面的讨论，将k = 一3 时( 3 8 ) 的记作 由( 4 2 ) 可得 所以 三严+ a ，+ 肌+ c = 配 砖 p 磊2 了 形= 虫等妣 1 9 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 因此 即 珊，= 虫孚d x = 点些壁等型出， j b ， j i ( h ) = 2 叫一2 a 丘l 一2 曰丘2 2 c 堆3 ， 对( 4 2 ) 关于工求导，有： y 塞+ 丛x + 曰= 3 h x 2 ， 联立( 4 4 ) ，( 4 6 ) ，通过分部积分，有 珊，= 吉虫y 矿3 一吉妒3 方 l j ，r 1 一j ，r 。 即 由( 4 5 ) ，( 4 7 ) 可以得n - = 一古亚塑学出 = 一西1 ( 3 州一2 a j ；_ l 一曰丘2 ) ， ( i 一3 ) j i = - 3 h j ；+ 2 a - ，：- l + 8 j ；一2 ， 一4 l l = - 3 h j i + 2 a 正2 + 8 正3 ， j o = 2 h 无一2 a i 一2 曰z 2 2 c z 3 ， j l = 2 h j ：一2 a 矗一2 b z l 一2 c j _ 2 ， 在( 4 8 ) 一( 4 1 0 ) 中消去j - 2 ，z 3 ，可得到( 4 1 ) 中的第一个方程 在( 4 7 ) 中取i = 0 ，可得 一3 而= 3 h