（天体物理专业论文）宇宙引力成团两点相关函数的研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名： r期： 宇宙引力成团两点相关函数的研究 摘要 宇宙中，物质通过引力聚集成团。对这种大量自由度的引力系统需要进行统 计性的研究，其中重要的方法是利用统计相关函数。本文主要讨论星系成团的两 点相关函数。我们首先对星系和星系团分布的两点相关函数进行了简要介绍，然 后在理论上做了进一步的研究。我们的主要工作如下：( 1 ) 将从最大信息熵方法 的平均场理论得到的两点相关函数的理论表达式运用于引力系统，从中推导出了 两点相关函数的表达式，并与观测结论相比较：( 2 ) 对描述星系成团的v l a s o v 方程在物理坐标上进行标度变换研究，得到星系和星系团相关函数振幅的比例关 系，并结合宇宙膨胀模型进行了比照，我们得到了宇宙加速膨胀因子与时间的可 能关系，并进一步求出了我们理论上对宇宙暗能量的q 标量场模型的限制。 关键词：宇宙大尺度结构，平均场，最大信息熵方法，两点相关函数 字南j 【儿成团陌点十 关函数的研，z a b s t r a c t i nt h eu n i v e r s e f o r c e db yg r a v i t a t i o nm a t t e rt e n d s t o g r o u pt o g e t h e rt o f o r m c l u s t e r st h ed e t a i l e da n a l y s i so ft h eg a l a x ya n dc l u s t e rd i s t r i b u t i o n si su s u m yg i v e n b yt h es t u d yo ft h e i rs t a t i s t i c a lp r o p e r t i e s t h em o s ti m p o r t a n to n ei s t h et w o p o i n t c o r r e l a t i o nf u n c t i o n w h i c h ，i nt h i sp a p e r , w em a i n l yf o c u so n o u rm a i nw o r ki sa s f o l l o w i n g ：( 1 ) b ya p p l y i n gt h em a xe n t r o p ym e t h o dt ot h em e a nf i e l dt h e o r yo f t h e c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，w eg e taf o r m u l af o rt h et w o p o i n tc o r r e l a t i o nf u n c t i o no fg a l a x y d i s t r i b u t i o n ，w h i c ha c c o r d sw i t ht h eo b s e r v e dr e s u l t ( 2 ) p e r f o r m i n gas c a l i n ga n a l y s i s t ot h ev l a s o ve q u a t i o n s ，w h i c hd e s c r i b e sg r a v i t a t i o n a lc l u s t e r i n g ，w ed e r i v eaf o r m u l a r ) rt h ea m p l i t u d er a d i oo f g a l a x ya n d c l u s t e rc o r r e l a t i o n s t h e n 、w eo b t a i nap r o b a b l e r e l a t i o nb e t w e e nt h e c o s m o l o g i c a l s c a l ef a c t o ra n dt i m e i ti sf o u n dt h a to u r c o n c l u s i o na g r e e sw i t ht h eq f i e l dm o d e lo fa na c c e l e r a t e de x p a n d i n gu n i v e r s e a n d s o m e p a r a m e t e r so f t h eq f i e l dm o d e la r ef i x e d k e yw o r d s ：l a r g e - s c a l es t r u c t u r eo f t h eu n i v e r s e ，m e a nf i e l d ，m a xe n t r o p ym e t h o d t w o p o i n tc o r r e l a t i o nf u n c t i o n 2 宇宙引力成团两点相关函数的研究 月u舌 过去的二三十年，是一个令致力于研究宇宙大尺度结构起源问题的天体物理 学家激动的时期。在这个时期，由于理论和观测之间的连续的相互影响，能解释 大多数字宙物质分布结构特征的物理图景已经初步呈现出来了。随着新世纪的到 来，宇宙学已经进入了精确的时代。 在这个宇宙演化的图景中，早期的宇宙几乎是均匀的，但存在一些小振幅的 具有特征谱的密度扰动。暴胀理论能够解释这种早期宇宙的近乎平滑而小的密度 扰动的来源“。随着宇宙的迸一步演化，这些小扰动随着引力不稳定性而增长， 起初是线性的( 因此不同的空间f o u r i e r 分量之间的演化是独立的，并且这些扰 动足小振幅的) ，但最终形成非线性的质量区域( 这时的f o u r i e f 模足耦合在一 起的，沣且密度的扰动是大振幅的) 。这些非线性区域是星系和星系团彤成的最终 场所。在这个图景中的一个重要的因素是大量非重子暗物质的存在，这些非重子 暗物质使得这些扰动得以增长，特别是在宇宙演化的早期辐射压抑制了重子物质 结构的增长的时候。星系成团观测的数据和c o b e 卫星发现的各向异性的宇宙微 波背景辐射都很好地证实了这一点。 虽然这个图景已经取得很大的成功，但还必须承认到目莳为止还没有一个结 构形成的模型能够解释所有的观测数据。具有不同暗物质，不同初始振动谱，不 同亮物质和暗物质之间关系的各种模型都在不同时期不同文献中有所讨论，但还 没有一个模型能够晓是非常成功的。 一个宇宙大尺度结构理论碰到的基础问题是在今天的宇宙中，与我们周围的 结构相应的密度振动比平均密度振动要大好几个量级。比如一个星系团的密度是 宇宙物质平均密度的t 0 0 0 倍左右。这就意味着这个结构是非线性的。然而，如 果这种物质扰动是很小的话，在膨胀宇宙中的密度扰动的演化是可以作线性展开 的( 用线性微扰理论) 。而对非线性体系还没有一个一般的精确的解决方法，这 就是这一问题的困难所在。通常天体物理学家求助于n 一体数值模拟的方法，或 者是考察尺度足够大以至于密度扰动小到可以应用线性的理论的区域。前面一个 方法的问题是非常消耗机时并且只能应用可能模型的非常小的部分参数空间， 宇南0 力成团两点榴关函数的 f 究 而且数值模拟得到的图景背后的物理原因往往不是很清楚。后面一个方法有两个 弱点：一是很难得到在这么大的尺度上的宇宙物质分布的直接观测数据；二是我 们真证想知道的是非线性结构的形成，而不是超大尺度的结构，因为它或多或少 依然是处于线性演化的阶段。 近年柬，有很多人感兴趣于用解析的方法束研究引力非线性成团这个困难的 问题。有许多近似方法被提出来应用于研究宇宙质量分布非线性增氏的不同方 面。这些方法包括直接的线性理论的拓展，简化粘滞模型，基于统计机制的标度 分析等等。星系成团的描述本质上足统计的，但它的起源是动力学的。描述成同 方式的不同往往体现在不同的动力学近似程度上。 国际上现有的文献中对宇宙物质分布菲线性演化的理论研究大致集中在以 f 几个方面：1 ) k a i s e r 和b a r d e e n 等人提出的高斯或非高斯的初始扰动密度峰 形成结构的模型，这个模型提出了有用的偏差( b i a s ) 的概念，并能定性地解释星 系相关函数和星系团相关函数振幅之( j 】的不i 司，然而近柬，g a b r i e l l i 等人对此 提出了一些疑问；2 ) 膨胀流体动力学的一些近似理论，主要有准线性的简阶微扰 展丌和z e l d o v i c h 近似理论，这些理论在强非线性阶段不再成立，因此很难用 于解释现在的宇宙：3 ) 基于几何拓扑学上考虑的一些模型如v o r o n o i 模型等，这 些模型可以与观测相比较，但这只是唯象的丽非动力学的处理方式；4 ) 对宇宙 背景下的b b g k y ( b o g o l i u b o v b o r n g r e e n - k i r k w o o d y v o n ) 方程的研究，主要 是对其截断方式作些假设或是对方程作标度分析但具体的研究成果不多：5 ) s a s l a w 的引力热力学模型，这个模型只能在局部平衡的条件下成立；6 ) 暗物质 晕形成的一些模型。 经过近三十年的研究，在许多方面取得了进展，但理论上对现今观测到的物 质分布的解释依然非常苍白。正如前面所说的。由于问题的非线性，再加上暗物 质的未知性和引力的长程性，使问题处理起来非常困难。如何寻找和发展更有效 的分析统计方法，从而褥到描述大尺度特征更可靠的物理参量，一直是十分重要 的课题，迄今为止广为采用的是相关函数。1 方法。本文的讨论依然是建立在相关 函数的分析方法的基础之上的，但我们对这一引力统计问题的研究将利用统计物 理学等一些相关领域的研究方法和结论。我们主要做了两方面的工作，一方面我 们将从最大信息熵方法的平均场理论得到的两点相关函数的理论表达式出发，从 宇南0 f 力成团阿点相关函数的州究 中推导出平衡或局部平衡下引力系统的两点相关函数，再利用亮物质与暗物质分 布之间的偏差关系。得到星系分布的两点相关函数，并与观测结论相比较：另一 方面我们对描述星系和星系团成团的v l a s o v 方程在物理坐标上进行标度变换 研究，得到星系和星系团相关函数振幅的比例关系，接着，利用引力成团的团大 小与团数密度的幂律关系，并结合宇宙膨胀模型，我们得到了宇宙加速膨胀因子 与时阳j 的可能关系，进一步。我们求出了理论上对宇宙暗能量的q 标量场模型的 限制。 本文的结构如下。在第一章，我们首先两点相关函数进行了简要介绍，然后 对星系和星系团的两点相关函数做了进一步介绍。在第二章，我们介绍了相关甬 数平均场理论，然后我们从最大信息熵方法的平均场理论得到了两点相关函数的 理论表达式并运用于引力系统，从中推导出了与观测结论相符的星系与星系团的 两点相关函数的表达式。然后，我们进而在第三章中对星系和星系闭的v l a s ( ) v 方程在物理坐标上进行标度变换研究，得到了星系和星系团相关函数振幅的比例 关系，并结合宇宙膨胀模型进行了比照，我们得到了宇宙加速膨胀因子与时问的 可能关系，求出了对宇宙暗能量的q 标量场模型的具体限制。 宇宙f 力j 苴团两点相关函数的研究 第一章星系分布的两点相关函数 1 1 星系分布的统计学方法 对宇宙大尺度上物质的分布的研究大都采用统计学方法。h u b b l e 研究了在某 个望远镜范围内个星系的分布频率，他发现个星系的分布是非对称的分布， 但他也发现，l o g 的分布非常接近于g a u s sj a n 分布。1 。他指出，这个简单而 重要的性质也许是星系在小尺度不规则分布的一个线索。历史上曾热衷于用白相 关函数作为研究星系成团的统计方法。l i m b e r 就曾估计了l i c k 巡天数据中星系 数目的自相关函数。他发现了一个把角相关函数和空例两点相关函数联系的线性 积分方程。人们可以列举出自相关函数及其变化形式受欢迎的好多原因。最氲 接的，就是这个方法在许多领域中被证明是非常有用的，因此，考虑使用这种方 法电是很自然的。一个实际的重要原因在于有一个简单的线性方程- 、】- 以把直接观 测到的角分布函数与所需要的空间函数联系起来。这就意味着从一个变换到另一 个变换是非常窖易的。同样重要的是，它使得我们可以指出统计估计应如何与巡 天的深度成比例，并可以测试可能的系统误差所引起的错误。第三个原因是星系 分布的动力学可以用相关函数来表示出来。 因此，相关函数方法是对引力成团系统研究的统计方法比较重要也是主流的 方法。为研究工作的展丌，下面，我们就对两点相关函数做简要的介绍。 1 2 两点空间相关函数掌( r ) 我们把宇宙中物质的分布认为是点状物体的分布，并假设宇宙是均匀而各向 同性的。如果忽略了物体间的差异，那么物体的分布就只是位置r 的问题了，这 样就可用n 一点相关函数来描述。在无限小体积元毋7 中发现个物体的概率是 酽= 疗彬， ( 1 1 ) 其中，月是平均数密度，与位置无关。它可理解为在系综上的平均，即如果在系 综的m 个实现中，一个物体发现在内次数为 n = m n 0 - 1 ， ( 1 2 ) 这个概率正比于体积元6 i ，的大小，因为如果体积扩大为两倍，那么发现这个物 宇宙0 j j 脏团荫点相关函数的研究 体的概率也是原来的两倍，而发现多于一个物体的机会是高阶的无限小( 假设物 体不处于高度束缚的团中，这是实际上所感兴趣的情况) 。 在有限的体积矿中发现物体的平均数目是上面方程的积分， = n v 。( 1 3 ) 两点相关函数掌的定义是在距离为1 ：的体积元彤和体积元姒内各发现一 个物体的联合概率 五p = 2 巧k 占【1 十善( - 2 ) 。 r i 4 ) 与均匀和各向同性相一致，孝只是距离的函数。因子”2 使得相关函数与量纲 无关。如同方程( 1 1 ) ，这个概率正比于彤职，因为任一无限小体积元扩大为 原来的两倍，发现物体的概率也扩大为原来的两倍。在均匀随机p o i s s 。n 点过程 中，在彤和哦内发现物体的概率是相互独立的，所以，联合概率是方程( 1 1 ) 中单独发现物体概率的乘积， 印= n 2 研i 暇。 ( 1 5 ) 在这种情况下，掌；0 ：如果物体的位置是相关的，则毒 0 ，如果位置不相关， 贝0 一is 孝 d 。( 1 1 7 ) 它是负偏离的t 因为在选择的团的外面的背景里包含了m n 。个成员，平均密度 ( 小一n 。) 吃= n ( 1 一竹。m ) ， ( 1 1 8 ) 显然小于整体密度月。 1 4 两点相关函数的p o i s s o n 模型 物体的分布可以近似地用连续的密度函数p ( r ) 来表示。也就是 = 月， 无量纲的自相关函数是 善p ) = 2 ， 可重写为 = 月2 i 1 + f ( ，) 。 9 ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) ( 2 i ) 主堕型丝些望堕塞塑茎鱼堂型堕里立 方程( 1 2 1 ) 和( 1 4 ) 非常类似。为了构建一个物体的分布，首先从集合 中选择p ( r ) ，然后在同样的区域的每一个体积元处以概率 占j p = p ( r ) j 矿 ( 1 2 2 ) 放置一个物体。这是一个p o i s s o n 过程，在这个过程罩概率密度p ( r ) 是位置的 函数。在给定的p 下，物体被放置在彤和吼的联合概率是下面这个乘积 8 p = p ( r , ) s v , p ( r 2 ) f i v z 。 ( 1 2 3 ) 在这些函数集合上平均并利用方程( 1 2 1 ) ，可得到如前结论 。5 尸= 门2 1 1 + f ( ，) 】5 k ( 豇：。 ( 1 2 4 ) 现在， 是p ( r ) 的自相关函数。 应该记住，这里的f 被定义成一个模型：很容易想到不能用此柬描述的点过 程，如刚性球模型，这时芎= 一l ，0 ， t ，表示是在r 上的平均。不等式研b ，用0 ，可写为 f s 矗+ o 。 ( 2 5 ) 这样，就可以选择使得所有a 值上熵最大的或者使得r 十 。最小的 只( q ；a ) 。这就是著名的8 0 9 0 l i u v o h 变分法7 ，b o g o l i u v o b 法只是m e 方法的一 个具体应用。 宇南州力成团i 琦点相关函数的讲究 2 2 正则“密度”系综 当我们讨论多粒子系统问题时，我们希望得到密度n ( ，) 的明确形式。这非常 容易做，只要找到满足熵最大，满足特定能量和特定密度的约束的概率分前j 就行 了。得到的分，佰是广义的正则系综，我们称之为“密度”系综。这时，我们用 m e 方法，寻求的概率分布要满足我们所掌握的信息。但这种说法不太令人满意， 实际上，人们会争论说黑体的光谱就是不依赖于我们所知的。在大多数现实情况 中，我们不知道系统的能量，但我们仍然能通过满足特定能量约束的熵最大做出 币确的预测。在这罩，我们认为这种特定的所期望的能量是我们需要知道的。存 许多实验情况中，特定的能量，虽然是不知道的，是我们确定有关方面信息和进 行进步理论推演的重要物理量，因此，我们把它看成是已知的。然后，当我们 能够把理论预测与实验结果相对比的时候，我们在实验数据的分析中可以调节这 些未知参量以使其能符合实验数据。 这样，我们可以认为对密度的约束不是已经知道的，而是我们应该知道的， 被用柬确定有关的物理信息。因此，在公式中应该明确地表示出来。 由熵极大原理，在平衡状念下，v 个粒子组成的系统其位置和动量处于 q 。= p ，、r ；i = l ，n ) 的相空间体积元嘶。的概率表述为 p ( q ；，a ) 由。t ( 2 6 ) 其中 。南耳 ( 2 - 7 ) p ( g 一；卢，盖) 2 虿1e x p 一所h ( 卧) + p 3 r 兄( ，) 二( r ) ， ( 2 8 ) 五( r ) 是l a g r a n g e 因子，对应于期望密度 的约束， ；( r ) = 兰j ( ，一) 。 ( 2 9 ) h ( q n ) 是h a m i l _ t o n i a n 量， 砌扩萼嘉+ 薯哳，+ 扣， 宇宙l 力成团两点相关函数的研究 其中0 = f 一0 ，“( _ ) 是两体相互作用势，v ( ，) 是外势。配分函数是 z ( t ，五) = 艺批膨p f l h ( q 。) + p 3 ， ( ，) 衲 竺e 侧r m ，( 2 1 1 ) 在此，我们目i 入热力学势q l 挪，它是温度t ；l f l ( 单位是。= 1 ) 函数，以及丑( ，) 明芘幽。 粒子间和外部的势能量可以用密度表示为， 芝v ( ) = 芝p 3 r v ( r ) 占( r - r 3 ：p ，r v ( r ) ：( ，) ， ( 2 1 2 ) v ( ) = p 3 r ) 占( r = p 3 r v ( r ) 衲， ( 2 u = n “( 。) = i i n “( 。) ：寻p ，耐3 - ( r ) ( v m ( 2 1 3 )u = “( o ) = i “( o ) = 寺f d 3 r d r 一，。) ；( r ，) ，( 2 r ) ， o f j 其中：忙仉，) 是两体分布 ( r ，r ) = j ( ，一) j ( r 一r ，) ：( r ) 扣) 一：( ，) j ( ，一，- ) 。 ( 2 m ) 注意到 上的约束也同时是粒子数上的限制： ：i d 3 r 。 ( 2 1 5 ) 因此，所谓密度系综其实是广义的巨正则系综。实际上，当丑( r ) 为常数是，密度 分布退化为巨f 则分布并且一五与化学势一致。 我们还注意到，l a g r a n g e 因子兄( ，) 的效应和外力势v ( r ) 的效应是不可区分 的。同样的当两体相关函数二”( ，一) 是我们所关心的量时，其作为约束，相应 的l a g r a n g e 因子的效应没法和两体势“( ，一r ) 效应相区别。也许这就是势在物理 中是很有价值的理由：它们控制了相关的物理量，如密度和两体相关函数。 密度期望值是 挑= 罴筌n ( r ) ， ( 2 1 6 ) = 三去= ) ，( ) 熵为 宇宙0 力成团两点相关函数的研究 即 _ - 莓似。俨一等a ( 2 两方程可以合并为 棚= 一s d t + p 3 ，n p 肼( r ) 。 ( 2 1 8 ) 为了得到密度h 一) 的公式，我们考虑l e g e n d r e 变换 叫r ，竹 _ q 丁，五卜p 3 以( ，) n ( r ) ， ( 2 1 9 ) 因此 d o = 一8 d t 一3 r a ( ，) 抽( r ) 。 ( 2 2 0 ) h o h e n b e r g 和k o h n “3 - 3 的密度函数公式是建立在一个定理上的，该定理证明 了中 7 ， 】函数的存在，而m r ，”】与外力势v ( ，) 是无关的。m e 方法中 丁，川与外 力势v ( ，) 无关只是l e g e n d r e 变换的一个推论，而其真正的意义在于我们认识到 密度函数是相关变量的f 确选择。 2 3 平均场近似 2 3 1m f 试验分布 我们想用一个更容易处理的试验分布来代替“真正”的分布，该试验分布把 粒子间的相互作用u 用含有外势的相互作用代替，即用一个平均场来代替。问题 在于如何选择最好的试验分布函数来作近似。 试验的平均场分布是 p o ( q ，；f l ，兄) = 占e x p f l h 。( q 。) + i d 3 r a ( ，) n a ) ， ( 2 2 1 ) z 这里 州= 喜嘉+ m 咐) + v 渺蝣， ( 2 2 2 ) 其中，v o ( r ) 就是所要确定的平均场。 我们汜 v ( r ) = v ( r ) + v o ( r ) + a ( r ) 。 ( 2 2 3 ) 宇宙_ ；| 力成团两点相关函数的研究 配分函数z o 为 磊= 薹寺睁e x p ( 一等 i d 3 r e x p ( d = q e - m 邶，泣z a ) 因此 期望的密度为 或 q 一卅= 一去p k 叫其中 a ：( 箜) ；。 ( 2 2 5 ) z 册 孙。= 丽8 - 2 0 = 罴，) z e ， 州忙字。 ( 2 2 7 ) 2 3 2 半均场的m e 优化 在一类试验m f 分布中，与正则密度系综分布最接近的分布应该能使其相对 信息熵最大，这个相对信息熵为 s p ol p _ _ 壹亿w p o ( q n i f l , a , v o n - 0) 1 0 9 错。 ( 2 2 8 ) j 、q l p ， ， 代入方程( 2 8 ) 和( 2 2 1 ) 我们得到 s 晶i p 】= f l n q o 一 。 。 ( 2 2 9 ) ( 中的脚标0 表示对只的平均) 既然研r i 尸】o ，我们有 f 2 t ，五】q 【r ，2 ，v o = q o + o ， ( 2 3 0 ) = q 。+ 。一p 3 r v 。( r ) ，z 。( r ) ， ( 2 3 1 ) s 晶ip 最大等同于q 。，最小。我们把q 的m f 近似表示为q ，被定义为最佳的 q f ， q t ，五】q 丁， 】= m i n o u 丁， ，v o 】， ( 2 3 2 ) 为了计算势能 。我们利用方程( 2 1 3 ) 和( 2 i 4 ) 宇宙引力成团两点相关函数的研究 。= 丢p 3 耐y 时 其中 ( 2 1“ ”f 1 ( r ，) = o = o n o ( ，) 占( r r ) ， ( 2 3 4 ) 进一步，从方程( 2 2 i ) 和( 2 2 5 2 2 7 ) 有 因此 。的结果为 0 _ n o ( r ) ( r ) + n o ( ，) j ( r r 1 ) 。 ( 2 3 5 ) 瑶2 p ，r ) = n 0 ( r ) ( r ) ( 2 3 6 ) 。= l k 3 r d 3 r , ( r 一，) ”。( ，) n 。( ，) 。 ( 2 3 7 ) 最佳的平均场v o ( r ) 由以下方程给出 。= 器= 器诋( ，) v o 一m ( ，_ 一味一】， ( 23 8 ) 其中我们假定因子2 ( r ) 和外力场v ( ，) 是不变的，并利用了方程( 2 3 1 ) 和( 2 2 7 ) 。 因此，最佳的平均场，表为；( ，) ，是温度7 1 、因子五( r ) ，和外力场v ( ，) 的函数， 它由下面的方程给出 其中0 是；的函数 ( 2 3 9 ) 确一p 。”( ，) - 。( ，) - - - o ， ( 2 4 0 ) 一 村p 一，r ( ，l 一 村 一 n o ( r ) = 寺其中矿( r ) = v ( ，) + v ( r ) + a ( ，) 。( 2 4 1 ) 综之，热力学势的m f 近似由下面的方程给出 其中 _ 【7 ，五，v 】_ 虱+ 玩一p 3 r 确孤) ， ( 2 4 2 ) 五。= 一万1 p 确 ( 2 4 3 ) 宇宙引力成团两点相关函数的研究 址圭p 3 ，d 3 t i d ( 一f ) - 0 ( r 胁( 2 4 4 ) 注意，在用近似分布r 代替p 的过程中并没有把h a m i l t o n i a n 量日代替为用 h 。描述，我们计算h 对p o 平均而不是h o 对r 平均。 熵和密度可以从热力学势中得到， d 五= 一一s d t + 3 r i ( r ) 况( r ) 。 ( 2 4 5 ) 利用方程( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) ，密度月( r ) 可表示为， 雨) = 嘉赢= 丁e - f l y ( r ) 。 ( 24 6 ) 这就使得我们把方程( 2 4 0 ) 可解释为自恰方程：用密度；( ，) 描述的分布模型可 产生平均场；( r ) ，而分布模型本身又和平均场相一致。 两r ，五】的l e g e n d r e 变换， 面【r ，一n = 一c 2 t ，五】一3 r ( r ) 磊( r ) 。 ( 2 4 7 ) 对密度函数进行m f 近似， 面 r - = p 3 ，五( 吼r ( 1 。g a v e ( r ) 一1 ) + v ( 州+ 圭p 3 一y “( ，一一五( r ) 五( 一。( 2 4 8 ) 在给定的外力势和因子场的密度；( ，) 由如下决定， 垩；一 ( ，) ， ( 2 4 9 ) j 玎( r ) 、4 或者 l o g a 3 n ( ，) = 一卢【v ( ，) + 五( r ) + p 3 ，“( r - r ) n ( ，) 】， ( 2 5 0 ) 很显然，等同于方程( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) 。 如果密度的唯一约束是总粒子数的约束，那么因子场 ( r ) 是一个常量，等于 负化学势。因此， 丁l o g a i n ( ，) + v ( ，) + i d r , u ( r - r ) n ( r ) = a ( 2 5 1 ) 我们可以认为给定密度，则可以确定化学势，也可以认为给定化学势可以确定密 度。 宇宙引力成团两点相关函数的研究 2 3 3 相关函数 密度相关函数可以从配分函数z t ，五，v 】对五( 1 ) 的泛函导数中得到。从热力 学势q 7 _ ，丑，v l 的导数中可以得到所谓的“连接的”相关函数。首先是密度函数， 。竺 孙旦， ( 2 ”( 7 ) 2 2 兰8 2 ( r ) 。2 5 2 ) 其次是密度扰动相关， g 2 ( 1 ，2 ) = 利用 一1j 2 q 龇( - ) 飘( ，2 ) ：土鱼盟。( 2 5 3 ) 一o 、u o 卢觑( ) ( 2 ) ! ( ，) = = 一n ( _ ) j ( 一- ) ， ( 2 5 4 ) g 2 ( ，屯) = 肝2 1 ( ，) + 玎( ) d ( - r o 一门( 1 ) ( _ ) 。 ( 2 5 5 ) 定义r 2 为g 2 的倒数，f 2 = g 2 1 一 p 3 r 3 g ( ，) i _ ( 吩，屹) = j ( 1 一疋) 。 ( 2 5 6 ) 因此，利用链式法则和方程( 2 5 3 ) n 仙卜丽8 t ( r 1 ) = 蒜a 从方程( 2 4 8 ) 我们看到，对于理想气体，有 铲( 仙) ：粤二2 。 m ) r 2 和f