（基础数学专业论文）theta函数恒等式.pdf

e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y o nt h e t a 广f u n c t i o ni d e n t i t i e s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：s p e c i a lf u n c t i o n s s u p e r v i s o r ： p r o f l i uz h i g u o n a m e ：z h uj u n m i n g m a r c h 2 0 1 1 1 1 1 | i i l | l l 0 4 学位论文独创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文t h e t a 函数恒等式是在华东师范大学 攻读博士学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意 i 作者签名：算弛嗍仂啤广月z ，7 日 j 7 华东师范大学学位论文著作权使用声明 t h e t a 函数恒等式系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下 完成的博士学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东 师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国 家图书馆、中信所和”知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进 入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编 出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于 ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密 学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权 ( 啦不保密，适用上述授权1 新獬：甸憩? i 蝶 鬻日 | 木“涉密学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委 员会审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论“涉密” 审批表方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明 栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 朱军明博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 时俭益教授华东师范大学数学系王j 芾 谈胜利教授华东师范大学数学系 芮和兵教授华东师范大学数学系 陈志杰教授华东师范大学数学系 陆洪文教授同济大学数学系 蔡迎春教授同济大学数学系 庞学诚教授华东师范大学数学系 覃瑜君副教授华东师范大学数学系秘书 t h e t a 函数恒等式 摘要 本文给出了一个新的t h e t a 函数交错循环和公式、证明了一些多重积恒等 式，并给出了g - 级数的一些结果 本文的具体内容如下： ( 一) 给出了一个新的t h e t a 函数交错循环和公式我们利用经典椭圆函数 理论证明了一个新的t h e t a 函数交错循环和公式，并对此进行了讨论从这个 交错循环和公式出发，我们证明了大量的模恒等式，其中部分等式曾经出现在 r a m a n u j a n 的笔记本中应用j a c o b i 虚变换到此循环和公式，我们得到了它的 对偶形式我们还得到了四个( g ；q ) 的展开式 ( 二) 利用著名的j a c o b i 三重积恒等式以及级数的重排，我们证明了五重 积恒等式，a 2 型m a c d o n a l d 恒等式和w i n q u i s t 恒等式这一部分的重点是一 些简化的( 有的也似乎是新的) 多重积恒等式的证明和应用从这些多重积恒等 式出发，我们得到了大量的模恒等式，其中包括( 口；口) 2 和( 口；g ) 4 等的展开式 ( 三) 证明了一个新的t h e t a 函数四个之积公式，并由此得到一个( g ；g ) 1 2 展 开式 ( 四) 推广了l i u 在g - 微分算子上的一个结果；利用解析延拓证明了2 矽2 ， 3 忱和4 饥公式 关键词：t h e t a 函数，j a c o b i 三重积恒等式，循环和，交错循环和，模恒等式，多 重积恒等式，五重积恒等式，m a c d o n a l d 恒等式，w i n q u i s t 恒等式，j a c o b i 虚变 换，级数重排，t h e t a 函数恒等式，d e d e l ( i n d 卵一函数，戤衄a n u j a n ，解析延拓，基 本超几何级数，g 级数，g 一微分算子，指数算子，c a u c h y 算子 华东师范大学博士学位论文 t h e t a 函数恒等式 l l 0 nt h e t a - f u n c t i o ni d e n t i t i e s a bs t r a c t t h em a i nc o n t e n to ft h i sp 郇 e ri sl i s t e di nt h ef o l l o w i n g i w bp r o 、r eag e n e r 出m t e r n a t ec i r c u l a rs u m m a t i o nf o r i m l l ao ft h e t af u n c - t i o i l s ，w h i c hi m p l i e sa 口e a td e 甜o ft h e t a 广f u n c t i o ni d e n t i t i e s i np 砒i c u l a u r ，w e r e c o v e rs e v e r a l li d e n t i t i e si nr a m a n l l j a n sn o t e b o o k 行o mt h i si d e n t i t y b yu s i n g t h ej a c o b ii m a 西n a 巧t r a i l s f o r i i l a t i o nt 0t l l e8 l l t e m a t ec i r e u l a rs u m m a t i o nf o r - n m l a ，w eg e ti t sd u a lf o r 刀 1 8 s o m es p e c 瑚c a s e so ft h ed u a lf o r l sa r ed i s c u s s e d w eg e tf o u rf 0 珊u l a e sf o r ( 口；q ) 蝥 i i w e 舀v ev e 巧n a t l l r 越p r 0 0 岛o ft h e ( 她n t u p l ep r o d u c ti d e n t i t y t h em 瓣 d o n a l di d e n t i t yf o ra 2a n dt h ew i n q u i s ti d e n t i t y o u rt o o l s 盯et h ej a c o b it r i p l e p r o d u c ti d e n t i t ya n dt h e 印p r o a c ho fs e r i e 8r e a r r a n g e m e n t w ba b oe s t 吞b l i s h s o m es e r i e s - p r o d u c ti d e n t i t i e s ，t h r e eo fw h i c hs i m p l i 丘e st h ec o r r e s p o n d i n gi d e n - t i t i e si no n eo ft h er e f e r e n c e s a 目e a td e a lo fm o d u l a ri d e n t i t i e s ，i n c l u d i n g i d e n t i t i e sf o ri n t e g e rp o w r e r 80 fd e d e k i n de t af u n c t i o n ，7 ( 丁) ，舭eo b t a i n e d i i i w eg e tan e wi d e n t i t yf o rt h ep r o d u c to ff o u rt h e t af u n c t i o 瑚a 1 1 da n i d e n t i t yf o r ( 口；g ) 琶 i v ko b t a i nt h es 0 1 u t i o n so ff o u rq f 1 1 n c t i o n a le q u a t i o n sa n de x i ) r e s st h es 争 l u t i o i l si n 口- o p e r a t o rf o r m s t h e s ee q u a t i o n sg i v es u m c i e n tc o n d i t i o 璐f o rc a u c h y o p e r a t o rm e t h o d s w ba l s og i v es i m p l ep r 0 0 臼o ft h eb i l a t e r a ls e r 涵2 矽2 ，3 讥a n d 4 妒4 ，r e s p e c t i v e l y ，u s i n gt h em e t h o do fa n a l y 七i cc o n t i n u a t i o n k e yw o r d s ：也e t af u n c t i o n ，j a l e o b it r i p l ep r o d u c ti d e n t i t y ，c i r c u l 盯s u m 。 m a t i o n ，a l t e r n a t ec i r c u l a rs u m m a t i o n ，m o d u l a ri d e n t i t y is e r i e s _ p r o d u c ti d e n - t i t y ，j a c o b ii m a g i n a 巧t r a i l s f o r m a t i o n ，e u i p t i cf u n c t i o n ，r a m a n l j j a n ，a d d i t i o n f o r m u l a ，s e r i e sr e a r r a n g e m e n t ，q u i n t u p l ep r o d u c ti d e n t i t y ，m a c d o n a l di d e n t i t y d e d e k i n d s7 7 f u n c t i o n ，口s e r i e s ，b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ，铲d i h e r e n t i a lo p e r 扣 t o r ，g e x p o n e n t i a lo p e r a t o r ，c a u c h yo p e r a t o r ，a n a l y 七i cc o n t i 肌a t i o n l l l 华东师范大学博士学位论文 t h e t a 函数恒等式 一l v 摘要 a b s t r a c t 目录 主要符号对照表 第一章 1 1 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 2 3 目录 绪论 背景介绍 常用符号和基本性质 论文结构 t h e t a 函数交错循环和公式及其应用 引言 t h e t a 函数交错循环和公式的证明及其应用 2 2 1 交错循环和公式的证明 2 2 2 交错循环和公式的某些特例 2 2 3 ( g ；q ) 蝥的两个展开式 t h e t a 函数交错循环和公式的虚变换公式及其应用 2 3 1 t h e t a 函数交错循环和公式的虚变换公式 2 3 2 应用 第三章多重积恒等式 3 1引言 3 2 三个经典多重积恒等式的证明 3 2 1 五重积恒等式 3 2 2 a 2 型m a c d o n a l d 恒等式 ； m v m 1 1 2 5 7 7 9 9 n 埔俎殂嬲 四四船 华东师范大学博士学位论文 t h e t a 函数恒等式 3 2 3 w i n q u i s t 恒等式3 7 3 3 其它多重积恒等式4 0 3 3 1 主要结果4 0 3 3 2 定理3 4 _ 3 8 的证明4 2 3 3 3 模恒等式5 2 3 3 4 定理3 5 的又一个证明6 0 第四章四个t h e t a 函数的乘积公式6 5 4 1 引言6 5 4 2 定理4 1 的证明6 5 4 3 ( g ；g ) 瑟的展开式 6 7 第五章口- 级数中的一些结果 7 1 5 1 四个g - 函数方程和它们的解7 1 5 1 1 引言7 1 5 1 2 四个函数方程和它们的解。7 2 5 2 双边求和公式2 矽2 、3 魄以及4 讥的证明7 5 5 2 1 引言7 5 5 2 2 公式2 如的证明7 6 5 。2 3 公式3 他的证明7 8 5 2 4 公式4 讥的证明8 0 参考文献 攻读博士学位期间发表和完成的论文情况 致谢 一v l 一 8 3 9 1 9 3 c i n z z + + o o 或 一0 0 v h 巳( zj7 - ) ，( 口，6 ) 巳( 7 ) 髟( z i7 - ) 吖( z 1 7 ) ( z ) i m ( z ) ( m o d p ) p ( 佗) 口 主要符号对照表 复数域 虚数单位 非负整数集 整数集 正整数集 正无穷大 负无穷大 任意 表示对某个符号的定义 z 的绝对值或z 的模 j - 1 ，2 ，3 ，4 j a c o b it h e t a 函数 胁l a l l u j a nt h e t a 函数 j - 1 ，2 ，3 ，4 j a c o b it h e t a 函数在零点的函数值 j - 1 ，2 ，3 ，4 j a u c o b it h e t a 函数关于z 的一阶导函数 j 一1 ，2 ，3 ，4 j a c o b it h e t a 函数关于z 的二阶导函数 复数z 的实部 复数z 的虚部 模p 关于n 的分拆函数 表示证明或求解结束 v u 华东师范大学博士学位论文 ! 坚里坠里墼堕篁塞 一v l n 第一章绪论弟一旱三百化 1 1背景介绍 t h e t a 函数是一类特殊的多复变量函数它与解析数论，r i e m a n nz e t a 函 数，模形式理论和组合数学等都有密切关系经典t h e t a 函数是椭圆函数理论的 基本课题 在j b e r n o u l l i 的遗作 1 1 】中，出现了如下级数 q + 3 ) ，q 知+ 3 ) ， n = 一 n = 一 0 0 p 叠 乙口2 n = 一 l e u l e r 3 5 】在研究分拆函数p ( n ) 时给出了第一个t h e t a 函数型的函数 兀善( 1 一扩z ) l e u l e r 把分拆函数p ( 礼) 表示为t h e t a 函数展开式的系数如 下 薹烈叫矿2 里击，l = 0n = l 1 l e u l e r 还得到如下公式 ( 一1 ) n g 肇= ( 1 一g n ) 第一个系统地研究t h e t a 函数的数学家是c g j j a c o b i j a u e o b i 4 9 ，5 0 】建 立了如下等式 定理1 1 已知复数z 和g 满足z 0 且j g j 0 为了方 便，有时我们也简单地写作| g | 1 全文都使用通行的符号，如 4 2 】 我们总是使用如下记号 ( 刚) 。：= ( 1 一o g 七) ， 七= 0 2 一 砒：= 涨，( z ) ， ( n ，6 ，c ；g ) o o ：= ( n ；g ) ( 6 ；g ) ( c ；口) 。， ( n ，6 ，c ；q ) n ：= ( o ；g ) n ( 6 ；q ) n ( c ；口) n ，( v n z ) 应用j a c o b i 三重积恒等式( 1 1 ) 到( 1 6 ) 一( 1 9 ) ，我们分别得到t h e t a 函数的 无穷乘积表示如下 p ( z l7 - ) 如( zj 7 ) 如( 名1 7 ) 以( z 1 7 - ) 2 口 8 i nz ( g ，g e 拖，口e 一2 娩；g ) 幻 e 一如( g ，e 蕊：，口e 一拖；口) 一妒e 名( 口，e 沈，e 锄。；g ) ， 2 9 c o sz ( g ，一g e 2 娩，一g e 一2 娩；g ) 口e 一拓( g ，一e 2 钯，q e 一2 娩；口) 口 e 娩( g ，一口e 蕊：，一e 一2 娩；口) o o ， ( g ，一g e 2 娩，一口 e 一2 记；q ) ， ( g ，g e 2 切，口e 喇z ；口) o o ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 应用t h e t a 函数级数形式或无穷乘积表示均不难验证t h e t a 函数的如下性质 和 口1 ( z + 7 r 1 7 ) = 一日1 ( 名1 7 - ) ， 如( z 十7 r 1 7 ) = 如( z 1 7 一) ， 口i ( z + 7 r 7 - 1 7 - ) = 一口一；e 一2 娩p 1 ( z 1 7 - ) ， 口3 ( z + 7 r 7 - 1 7 - ) = 口一 e 嘞2 p 3 ( z i7 - ) ， 我们还有 以及 p 1 ( z + 三i 丁) = 口2 ( z 1 7 ) ， 如( z + 三i7 - ) = 以( z i7 ) ， 口1 ( z + 等j 丁) = i g 一 e 一钯以( z i7 ) ， 口3 ( z + 等i 丁) = 口一 e 吨p 2 ( z i7 - ) ， p ，( z + 竿1 7 - ) = 口一 e 吨如( z l 丁) ， p 3 ( z + 午i 丁) = i g 一 e 吨护1 ( 名i 丁) ， 如( 名+ 7 r 1 7 - ) 吼( z + 7 r 1 7 - ) 一如( 名i 丁) ， 以( z 1 7 - ) ( 1 1 4 ) 嚣瑞三慧鼢吼( z + 7 r 7 - 1 7 ) = 一g 一 e _ 2 娩以( 名j7 _ ) r 7 如( z + 兰1 7 - ) = 一口1 ( z i 丁) ， 六( z + 专1 7 ) = 如( z i7 - ) ， 如( z + 等i7 - ) = g 一 e 一娩以( z 1 7 - ) ， 以( z + 警i 丁) = 幻一 e 吨p 1 ( z l 丁) 一3 一 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 鳓 k = 力讯制 e 拓 1 8 一 一g：睨 一 = = 丁 r 半竽 + + 如以 华东师范大学博士学位论文 t h e 7 i a 函数恒等式 直接验证易得 吼( 丁) = 2 q ( g ；g ) 毛， 如( 丁) = 2 口 ( 口；g ) ( 一g ；口) 蝥， 口3 ( 7 - ) =( 口；口) o o ( g ；g ) 色， 如( 7 - ) = ( g ；口) o o ( 一g ；g ) 冬 1 9 2 0 2 1 2 2 我们还将用到如下j a c o b i 虚变换公式 磐羝篇黝浆装甓裂孙抛3 ，如( 引一亭) = 一t 师e 等9 3 ( z i 丁) ，以( 引一 ) = 一主厅e 鲁日2 ( z l 丁) 、7 砌l m a n u j a n 把t h e t a 函数的定义改进为如下形式 弛，6 ) ：= a 掣6 掣，俐 1 ( 1 2 4 ) 讹m a i l u j a nt h e t a 函数的定义( 1 2 4 ) 与j a u c o b i 的定义( 1 2 ) 一( 1 5 ) 等价的，但却 有其独特方便之处应用j a c o b i 三重积恒等式( 1 1 ) 到( 1 2 4 ) 则有 ，( n ，6 ) = ( 口6 ，一n ，一6 ；0 6 ) 以下是勋m a n q a nt h e t a 函数最重要的三种特殊情况： 妒( 口) ：= ，( q ，q ) ，矽( 口) ：= ，( g ，9 3 ) ，( 一口) ：= ，( 一q ，一q 2 ) 函数x ( q ) 定义为 x ( 口) ：= ( 一q ；q 2 ) 定义( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 可以在 9 ，c h 印1 6 】中找到直接验证容易发现，函数 妒( g ) 和矽( 口) 有如下性质： 妒( g ) = 如( 2 7 i ) = ( 9 2 ，一g ，一q ；9 2 ) ， ( 1 2 8 ) 妒( 一口) = 以( 2 7 ) = ( 口2 ，g ，口；9 2 ) o 。= ( g ；g ) o o ( g ；9 2 ) o o = 兰等参：， ( 1 2 9 ) 北) = 以巾) = 晰水丁) = 似0 l 丁) - ( g - 口，- g 扎= 赫， ( 1 3 0 ) 、i，、l，、， 5 6 7 2 2 2 1 1 1 ， 口8 。e z 4 s t 一竹。7 r r =2 m g 警e 一2 m 掣如( 2 可一m 7 r 7 i 2 丁) =2 m 口t e 叫。，7 w 如( 2 一m 7 r 刊2 丁) i2 仇p 2 ( 2 可1 2 丁) ， m 为奇数， i2 仇如( 2 可1 2 7 - ) ， m 为偶数 为得到上面最后一个等式我们使用了( 1 1 5 ) 和( 1 1 7 ) 在( 2 2 8 ) 中，令礼= 1 ， 我们得到( 2 2 1 0 ) 证毕 口 在( 2 2 1 0 ) 中，令m = 1 ，然后应用( 1 1 6 ) ，我们得到 命题2 1 0 对任意复数z ，有 如( z + 可i 丁) 如( z 一秒i7 - ) 一以( z + 可i7 ) 以( z y i7 - ) = 2 如( 2 可1 2 7 - ) p 2 ( 2 2 1 2 7 ) 上式等价于 3 4 ，e q ( 1 6 ) 和 7 5 ，e q ( 1 3 d ) ，p 3 2 7 】j a e w e l l 3 8 ，e q ( 1 1 0 ) 从此式得到一个六重积恒等式z 一g l i u 和x 一m y m g 6 5 ，t h m 4 中 e q ( 1 1 1 ) 】从s c h r 6 t e r 公式导出此式应用( 1 1 6 ) ，( 1 1 7 ) 以及j a c o b i 虚变换公 式( 1 2 3 ) 到上式，【6 5 ，t h m 4 1 中其它等式均可以导出 在( 2 2 1 0 ) 中，令m = 2 ，然后应用( 1 1 6 ) ，我们得到如下有趣的等式此式 包含大量的模恒等式 一1 2 一 华东师范大学博士学位论文第二章 t h e t a 函数交错循环和公式及其应用 命题2 1 1 我们有 p 3 ( 名+ 秒1 7 ) 如( z 一秒1 7 - ) 一如( 名+ 可+ 三1 7 - ) 口3 ( z 一可+ 三l7 ) + 以( z + 可卜) 口4 ( z 一秒1 7 - ) 一6 7 4 ( z + 可+ 三1 7 - ) 六( z 一可+ 署1 7 - ) = 4 口3 ( 2 可1 2 7 - ) 如( 4 2 1 8 7 ) ( 2 2 1 1 ) 下面的推论2 1 2 由( 2 2 1 1 ) 导出，其中等式( a ) 一( d ) 可以在b e r n d t 9 ， e n t 珂2 5 】中找到对于0 ) 式，见 7 7 ，e q ( 5 1 8 ) 】 推论2 1 2 我们有 ( a ) 妒( 口) 妒( 9 2 ) = 妒2 ( 口) ， ( b ) 妒( g ) 一妒( 一q ) = 4 9 矽( 9 8 ) ， ( c ) 妒( 口) + 妒( 一口) = 2 妒( q 4 ) ， ( d ) 妒2 ( g ) 一垆2 ( 一口) = 8 口砂2 ( 9 2 ) ， ( e ) 妒2 ( g ) 一妒( 一q ) 砂( 口2 ) = 4 q 矽( 9 2 ) 妒( 9 8 ) ， ( f ) 妒2 ( g ) + 妒( 一口) 砂( 9 2 ) = 2 矽( 9 2 ) 妒( 9 4 ) ， ( g ) 妒4 ( 口) 一妒2 ( 一g ) 矽2 ( 9 2 ) = 8 9 妒2 ( 口2 ) 妒2 ( q 4 ) ， ( h ) c 矿( 口) 一2 妒( 口2 ) 妒( 一口2 ) + 妒2 ( 一口) = 8 口2 妒( 9 2 ) 妒( 9 1 6 ) ， ( i ) 妒2 ( 口) + 2 妒( 口2 ) 妒( 一9 2 ) + 妒2 ( 一口) = 4 妒( 9 2 ) 妒( 9 8 ) ， ( j ) 妒( 口) 一妒( 9 4 ) = 2 9 妒( 口8 ) ， ( k ) 妒( g ) 一妒( 一9 2 ) = 2 9 x ( 口) x ( 一口2 ) ，( q 2 ，q 1 4 ) ， ，( 一9 4 ) ( x ( 口) 一x ( 一口) ) = 2 9 ，( 9 2 ，9 1 4 ) ， ( 1 ) 妒( q ) + 妒( 一口2 ) = 2 x ( q ) x ( 一9 2 ) ，( 9 6 ，9 1 0 ) ， ，( 一9 4 ) ( x ( g ) + x ( 一口) ) = 2 ，( 口6 ，9 1 0 ) ， ( m ) 妒2 ( q ) 一妒2 ( 一口2 ) = 4 9 x 2 ( 口) x ( 一9 2 ) x ( 一口4 ) ，2 ( 一9 1 6 ) ， 妒( 一9 4 ) ( x 2 ( g ) 一x 2 ( 一q ) ) = 4 q x ( 9 2 ) 妒( 9 8 ) ， ( n ) 妒( 一9 4 ) ( x 2 ( g ) 一2 x ( 口2 ) + x 2 ( 一g ) ) = 8 口4 x ( 9 2 ) 妒( 9 3 2 ) ， 华东师范大学博士学位论文 t h e t a 函数恒等式 ( o ) 妒( 一q 4 ) ( x 2 ( g ) + 2 x ( 口2 ) + x 2 ( 一g ) ) = 4 ) ( ( 口2 ) 妒( 9 1 6 ) ， ( p ) ，2 ( i q ，一t 口3 ) 一，2 ( 一i g ，t 9 3 ) = 4 i 口) ( ( 一q 2 ) ，( 一9 8 ) 妒( 9 8 ) 证明在以下证明过程中，性质( 1 1 0 ) 一( 1 3 1 ) 将经常被用到我们仅给出( a ) 式 的详细证明过程 ( a ) 在( 2 2 1 1 ) ，令y = o 且z = 警，我们得到 镌( 等i 丁) 一酲( 筹+ 署l 丁) + 畿( 等i 丁) 一孵( 等+ 三i 丁) = 4 如( 0 1 2 丁) 如( 2 丌丁1 8 丁) 把( 1 1 7 ) 应用于上式，我们有 镌( o i7 - ) 一i 镌( 三1 7 ) + p ；( o l 7 ) + i 鳄( 三l 丁) = 4 口；以( 0 1 2 丁) 如( 2 7 r 丁1 8 丁) 注意，由( 1 1 0 ) 有p 1 ( o i7 - ) = o ，又由( 1 1 6 ) 有镌( 三1 7 ) = 钾( 三i 丁) 于是我 们得到 目；( 0 1 7 - ) = 4 9 ；如( 0 1 2 7 - ) 如( 2 7 r 7 - 1 8 7 ) 上式联合t h e t a 函数乘积表示以及( 1 2 6 ) 即得所证 ( b ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令可= 三且z = o ( c ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令可= 署且z = 丌7 i ( d ) 联合以上三式，或在( 2 2 1 1 ) 中，令可= z = 等都能得到此式 ( e ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令可= 筹且z = o ( f ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令可= 等且z = 7 r 7 - ( g ) 把( e ) 和( f ) 相乘 ( h ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令可= z = o ( i ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令秒= 0 且z = 7 r 丁 o ) ( h ) 式减去( i ) 即可 ( k ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令可= 名= 警 ( 1 ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令可= 孑且z = 警 一1 4 式及其应用 ( n ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令可= 等且z = o ( o ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令y = 等且z = 7 玎 ( p ) 在( 2 2 1 1 ) 中，令掣= 互3 予且z = 等 从( 2 2 1 1 ) 出发，我们还可以得到更多模恒等式 公式( 2 2 1 1 ) 也可以写为如下多重积等式的形式 推论2 1 3 对任意复数z ，可：z 秒0 ，我们有 ( 一字，一和) 。( 口1 6 ，彬萨一寿口1 6 ) 。 o o + + q 1 6 驴z 4 七9 1 6 p 可4 。 知= 一 o o 七= 一o o l = 一o o q 4 ”2z 2 但d q 4 。件d 2 可2 h d l = 一o 。 g ( 4 七+ 1 ) 2 2 4 七+ 1 + q ( 4 肛”2 严。 七= 一o o g 渊。) 2 俨。1 z = 一 口“尸俨+ 1 1 = 一 证明在( 2 2 1 1 ) 中，把z 和耖分别用宁和警替换得到 如( z l7 ) 如( y l7 - ) 一以( z + 引7 ) 口3 ( 可+ 署i7 - ) + 以( z 1 7 一) 以( y 1 7 - ) 一以( z + 署i7 一) 以( 可+ 三l 丁) =4 目3 ( z 一可1 2 丁) 秒2 ( 2 z + 2 秒1 8 7 - ) 口 把t h e t a 函数的级数表示( 1 6 ) 一( 1 9 ) 应用于上式，在所得到的式子中，把 e 2 证，e 雹可和g 分别用z ，可和9 2 替换，我们有 ( 严，耐，一筹6 ) 。 一1 5 一 妒面 华东师范大学博士学位论文 t h e t a 函数恒等式 + ( 一1 ) 七矿2 扩( 一1 ) 9 1 2 扩一( 一1 ) 七口七2 ( 谊) 七( 一1 ) 口2 ( i 可) 2 l = 一 ( 一1 ) 。矿户2 2 z = 一 七= 一o o + 4 口h 3 ) 2 2 4 3 七= 一 z = 一 f = 一 g ( 4 z + 3 ) 2 可越+ 3 口蚓2 俨 z = 一o 。 在以上最后一个式子中，把z 和可分别用z 口2 和可口2 替换即得所求证毕 口 2 2 3 ( 口；q ) 蟹的两个展开式 在这一部分中，我们将从定理2 7 导出两个( g ；口) 蝥的展开式在第2 3 2 节 我们将给出另两个( q ；q ) 蝥的两个展开式( 见下文( 2 3 4 1 ) 以及( 2 3 4 3 ) ) 推论2 1 4 我们有 ( g ；g ) 蝥= q n ( q 2 n ；9 2 n ) 证明注意 n j = 1 o 。 8 1 ，8 2 ，s 2 n = 一 善1 + 8 2 + + s 2 n = 2 n 如( 升学i 丁) 如( z 一 沙m s 轨器暑旷训2 h ( 2 歹一1 ) 7 r 4 n ( 2 2 1 2 ) 丁) = 者毵以2 叫2 叫 在( 2 2 8 ) 式中，对坳z + ：1 歹n ，我们令协 那么( 2 2 8 ) 式左端等于 骘竽且+ 户一竽， 2 喜1 垂如( z + 学+ 嘉l 丁) 如( z 一学+ 嘉i 丁) 一1 6 一 华东师范大学博士学位论文第二章t h e t a 函数交错循环和公式及其应用 于是我们有 2 芝1 c 啪3 ( 2 蚪丁) ( 一1 ) 七日3 ( 2 几名+ 等胁) 矗= 0 、 7 ( g ；g ) 蝥 ( 9 2 n ；9 2 n ) ：鱼等如( 2 m n z l 2 m 2 n 丁) ( 口；g ) 蛩q r r 7 孙( 磊，学 上式左端等于 2 n 一1 ( h - 1 ) m 一1 ( 一1 ) 七p 3 z = o知= l r n 把上式代入( 2 2 1 3 ) 得到 2 n 一1 m 一1 ( 一1 ) h 占3 z = 0 知= 0 ( 口2 n ； ( g ； 2 m n 一1 ( 一1 ) 七p 3 七= o 7 r 3 7 r ( 2 蚪跏丁) ( 2 住一1 ) 7 r 4 几4 礼 4 佗 ( 2 蚪跏丁) 2 n 一1 m 一1 ( 一1 ) h 如 l = 0 七= o 2 n 一1 m 一1 ( 一1 ) h 如 z = 0 七= o ( 2 蚪丁) 警岬1 2 鼎r ) 2 n ( 三，警 ( 2 蚪丁) ( 2 蚪丁) 7 r3 7 r ( 2 n 一1 ) 7 r 4 佗4 佗 4 n 7 ) ( 2 2 1 3 ) 7 - ) 注意到，当m 为奇数时，上式左端等于0 当m 为偶数时，把m 用2 仇替换得 到 2 m 一1 2 几( 一1 ) 惫9 3 七= 0 ( 9 2 竹； ( g ； ( 2 蚪笔1 2 n 丁) 挚以4 删州 1 7 华东师范大学博士学位论文 t h e t a 函数恒等式 n ( 磊， ( 2 扎一1 ) 丌 7 r3 7 r 4 钆 4 n 4 n ( 2 n 一1 ) 7 r 4 佗 l7 ) ( 2 2 1 4 ) 根据( 2 1 3 ) ，上式左端等于4 m 佗如( 4 m n z l 8 m 2 n 7 ) 代此入上式，然后两端同时消 去如( 4 m n z l 8 m 2 礼7 _ ) ，我们有 孙( 三，学 然后，联合( 2 1 5 ) ，得到 ( g ；g ) 蝥= 口一m 2 n ( 9 2 n ；9 2 n ) o o 7 r 3 7 r 4 n 4 n s 1 ，s 2 ，s 2 n = 一 矗l + 0 2 + s 2 n = 2 m n 一学i 丁) 4 几 。 4 m 几( g ；口) 蝥 ( q 2 n ；9 2 n ) ( 2 2 1 5 ) 扣m + + 饥器善旷训2 h 注意到，上式左端与m 无关令m = 1 ，我们得到( 2 2 1 2 ) 证毕 口 从等式( 2 2 1 4 ) 开始，我们也可以采用如下方法证明推论2 1 4 把( 2 2 1 4 ) 中名，7 分别换作云，云，并写为如下形式 2 r n 一1 i ( 一1 ) 七p 3 7 七= 0 ) q 击) 蝥 曰赫 ( 三， ( z + 篆l 丁) ( 2 n 一1 ) 丌 丌3 7 r 4 礼 4 礼4 孔 观察容易发现，上式左端与n 无关，于是我们令 九1 ( n ) = 则有 ( 口；q ) o o 2 n ( 口去；口击) 蝥 竹( 三， ( 2 n 一1 ) 7 r 4 n 学i 云) 4 n 。2 扎， 7 r3 7 r ( 2 2 1 6 ) ( 2 n 一1 ) 7 r 4 佗4 n 4 n 1 ( 佗) = 1 ( 1 ) 1 8 7 _ 磊夕 ( 2 2 1 7 ) r g一；舻石 4 一、= 飞 眯 丽 q l i 羽 l i 华东师范大学博士学位论查釜三童! 坚里里叁鱼墼銮堕堡墅塑坌壅垦基窒旦 _-_-，_一一一 另一方面 h 1 ( 1 ) = = 器q 一。量一冉( 2 一s ) 2 p 越和( 2 一s ) ( 吲】 = 鬻。量g 噶邢一m 一槎。塞& 晰 = 器。量c 。m 譬 = 器蹦咿) ：黜( g ；q ) ( q ；g ) 【口2 ；9 2j ：骅( g 锄 【9 2 ；9 2j = 忑万j 嘉羝( 利用e u l e r 公式( 一g 口) ( g 9 2 ) o o = 1 ) ：罂呸! k ：2 m i 仃。仃l 把此式代回( 2 2 1 7 ) 稍作整理就得到 ( 三，静，学，一磊，一黔，一学i 云) ：4 m n ( ! 妻i ! 耋! 銎 【口；g ) ( 2 2 1 8 ) 这也就是( 2 2 1 5 ) ，从而也可以证明( 2 2 1 2 ) 式 注意到，我们这里对( 2 2 1 2 ) 的后一种证明不必使用( 2 1 3 ) ，而且如果我 们把( 2 2 1 8 ) 代入( 2 2 1 6 ) ，在稍作整理就得到( 2 1 3 ) 这说明，( 2 2 8 ) 式也隐含 着( 2 1 3 ) 而我们最初是从( 2 2 7 ) 得到的公式( 2 1 3 ) 一1 9 一 r 一2丌一4 一 丌一4 知 日 一疋 ，曼了俨 业 一2 华东师范大学博士学位论文t h e t a 函数恒等式 推论2 1 5 我们有 ( 9 2 n ；q 2 n ) 蛩= 口一詈( g ；g ) 壹 如扣+ s 2 卅 酗嘞+ 1 ) ( 2 f - 1 ) 5 1 j 2 5 2 t l = 一( x ) 8 l + 8 2 + + 8 2 n = n ( 2 2 1 9 ) 证明在( 2 2 8 ) 中，对z + ： 1s 歹扎，令协= 学且鲰卅= 一f 堑= 1 2 1 二 4 n 。 n 注意 j = 1如( 蚪譬竽i 丁) 如( z 一竽i 丁) = 高燕 我们有 2 争妒以( z + 嘉i 云) = 噜挚以2 胁2 叫 2 n ( 磊，等，与竽，一篆，一等，一与竽i 丁) ( 2 2 2 1 ) 利用( 2 1 3 ) ，我们得到 2 仃l n 一1 ( 一1 ) 七如 知= 0 ( 抖嘉l 蠡) = 2 删z c 2 胁2 州 把此式代入( 2 2 2 1 ) ，然后，两端同消去p 2 ( 2 m n z l 2 m 2 几7 - ) ，于是有 n ( 篆，等，与竽，一篆，一等，一与竽l 丁) ：兰竺煎型翌 ( q 去；q 去) 上式中，用7 - 替换2 佗7 - ，然后联合( 2 1 5 ) 式，我们得到 ( 口2 n ；9 2 n ) 蝥：g 一孛( q ；口) 0 0 8 1 ，s 2 ，s 2 n = 一o o s 1 + 8 2 + 8 2 n = m n d n ( s i + 8 2 + - - + 8 挑 量( ”8 州) ( 2 l