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一类特殊的置换多项式 基础数学 研究生熊玮指导教师张起帆 n i e d e r r e i t e r 在1 9 9 1 年提出了一个公开问题怎么刻画有限域b 上的个 多元置换多项式满足它在f 。的每个有限扩域上也是置换多项式? 张起帆对二元 的情况做了研究，在一定的条件下解决了这个问题本文作者把张的条件减弱 了下，而得到与之相同的结果 关键词：置换多项式，有限域，态射。嵌入直线定理 as p e c i a lc l a s so fp e r m u t a t i o np o l y n o m i a l s m a j o rl m a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n tiw e ix i o n g s u p e r v i s o r ；q i f a nz h a n g n i e d e r r e i t e ri n1 9 9 1p r o p o s e da l lo p e np r o b l e m t oc h a r a c t e r i z ep o l y n o m i a l s i nni n d e t e r m i n a t e so v e raf i n i t ef i e l df 口w h i c ha r ep e r m u t a t i o np o l y n o m i a l so v e r e v e r yf i n i t ee x t e n s i o no ff 口q i f a nz h a n gs t u d i e di tf o rt h ec a 。q en = 2 a n ds o l v e d t h ep r o b l e mu n d e rt h ec o n d i t i o ng c d ( 誓，箬) = 1a n dd e g ( f ) 0 ( m o d p ) ，h e r ep i st h ec h a r a c t e r i s t i co ff 口i nt h i sp a p e rt h ea u t h o ro b t a i n st h es a m er e s u l tw i t h t h ec o n d i t i o nr e p l a c e db yg c d ( 鬈，箬) = 1a n dg e d ( d e g ：，d e g f ，) 0 ( m o d p ) k e y w o r d s ：p e r m u t a t i o np o l y n o m i a l ，f i n i t ef i e l d ，m o r p h i s m ，e m b e d d i n g 1 i n et h e o r e m 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 作者衄 二零零六年五月十九日 第一章引言 有限域上的置换多项式有很久的历史早在十八世纪人们就开始研究它们 了对一个有限域f 。来说，它上面的一元置换多项式的定义是很显然的： 定义1 1 多项式，f q x 】称为f g 上的置换多项式，如果f 诱导的从f 叮到 的映射，：a f ( a ) 是n 的一个置换 我们给出一元置换多项式的一些例子 例1 1f q 上的每个线性多项式都是f q 上的置换多项式，而z “是f 口上的置换 多项式当且仅当g c d ( n ，q 一1 ) = 1 阻m 定理7 s ) 我们马上就可以把置换多项式的定义推广到多元的情形 定义1 2 有限域上的一个n 元多项式f ( x l ，z 。) 称为f q 上的一个置换 多项式，如果对每个o f g ，方程f ( x l ，) = n 在叼中正好有q ”1 个 根 我们再给出多元置换多项式的一些例子 例1 2 设，f g i x l ，。 形如 f ( x l ，z 。) = 9 ( z 1 ，z 。) + h ( x 。+ l ，而。) ，1 m 口f ，于是方程( x ，y ) = 0 在嚼 中的解 的数目多于q ：这与f 是f 。上的s - 多项式矛盾于是f 在b ，引中只有一个 素因子，设，在扛，们中的分解为f = 露，其中 是的有限扩域f 矿上的 多项式于是多项式萨是f 上的s _ 多项式因此k = i f - 是一个p 的方幂 由f q z ，纠我们可得到 峙陋，引由引理2 4 ，我们得到，1 是f g 上的 绝对不可约的s - 多项式这就完成了必要性的证明 充分性由引理2 4 马上可以得到 注2 ，1 定理幺4 与c a r l i t z 在1 9 6 3 年发现的结果是类似的，但在二元的情形有 很多的绝对不可约的g 多项式 定理2 5 设，( z ，) 陋，引是绝对不可约的，则厂是f g 上的璺多项式当 且仅当对每个o 畋= k ，曲线c ：f ( x ，) 一d = 0 满足d ( c ) = 1 ，a ( e ) = 0 ，9 ( c ) = 0 j 即c 在无穷远处只有一个最，而且标准态射妒：一c 是单的， 其中( c 7 ，妒) 是c 的一个正规化 第9 页 证明。我们首先来证明必要性由于，( z ，口) 一。是b ( 口) 上的$ 多项式，由定 理2 4 ，( z ，y ) 一n 在女陋，胡中的分解为，一口= 开，其中 在k y 】中不可 约于是，= 圩+ o = ( ，1 + 6 ) ，其中b k 满足6 p r = o 由于，在陋，引 中不可约，就有r = 0 ，即，一d 在陋，引中不可约因此曲线c ：，( z ，y ) = 0 是定义在f 。( o ) 上的一条平面曲线由定理2 3 和引理2 2 ，存在一条光滑曲线 c 7 和f 。( o ) 的一个有限扩域f 。使得m + a ( c ) = m 由定理2 2 ，我们有 川= 1 + 酊一：- 一7 r ；口，其中9 = 9 ( c ) 是曲线的亏格我们可以假设c 上 无穷远处的点都是f 旷有理的( 因为我们可以把f 。取得足够大) 由于，( z ，y ) 是。上的s - 多项式我们就有m = g i + d ) 于是对每个自然数s 有 a ( g ) + a ( c ) 一1 + 7 r ：+ + 丌毛= 0 假设g 0 ，则由引理2 3 有仉= 0 ，但这与i7 r i 卜口1 1 7 2 矛盾于是g = 0 因此 a ( e ) + d ( c ) 一1 = 0 ，即a ( g ) = 0 ，d ( c ) = 1 这就完成了必要性的证明 现在我们来证明充分性：设虬，是n 的一个有限扩域，o f 。令曲线c 为c ：，( z ，y ) 一o = 0 ，则由定理2 3 可知存在f 。上的一条光滑曲线g 7 和一个 定义在f 。上的双有理映射妒：c 7 一c ，而且的逆射妒也是定义在n ，上的 由于a ( g ) = 0 ，就是单的由引理2 1 ，对每个点p ( f 日，) 有庐( 尸) c ( f q ，) ， 因此妒诱导了从g ( f 。) 到c ( f 。) 的一个单射于是就有群g 7 ( f 。) 轷c ( 虬。) 另一方面，我们有弁c 7 ( f 口，) = 1 + q l ，并g ( f 口，) = d ( c ) + n = 1 + n ，其中 n = 社 ( q ，p ) 瑶。ly ( a ，p ) = o ) 因此n q a 这就推出，( z ，y ) 是f 叮，上的 置换多项式 推论2 1 设，( z ，y ) z ，引，则，( z ，y ) 是睇上的s - 多项式当且仅当它是b 的某个有限扩域上的8 - 多项式 推论2 2 若，是上的绝对不可约的s - 多项式满足g c d ( 鬈，苗) = 1 则对 某个o k 有k x ，们( ，( z ，) 一o ) 型这个同构是作为k 代数同构的即仿 射曲线，( z ，y ) 一a = 0 是一条嵌入直线r 同构于仿射直线a 1 ， 证明，条件g c d ( 瑟，苗) = 1 可推出仿射闭集：鬈= 0 和：箬= 0 没有共同 第1 0 页 的不可约分交于是h n 只包含有限个点存在o 使得方程 i ，( z ) 一n = 0 甏= o 【苗- = o 在k 2 中没有公共解这就意味着曲线g ：，( z ，) = 0 在其仿射部分t 的每点 处都是光滑的而由引理2 1 0 知，c 与p 1 是双有理等价的令西：p 1 一c 为 个双有理映射令s = - 1 ( t ) ，则诱导出了从s 到t 的一个同构由定理 2 5 有a ( g ) = 0 于是妒是单的。旷1 ( p ) 只包含一个点，其中p 是c 在无穷 远处的点因此t 兰s = p 1 一咖。( p ) 垡a 1 于是t 和a 1 有同构的仿射坐标 环，即k x ，们( ( ，( z ，y ) 一。) 与m 作为k - 代数是同构的 我们需要一个非平凡的定理：嵌入直线定理这个定理最先是由a b h y a n k a r 和莫宗坚证明的，发表于1 9 7 5 年的j r e i n e a n g e w m a t h 第2 7 6 期在他们的证 明之前，这个定理有几个错误的证明他们的文章中开始就提到tt w oc o m p l e t e l y w r o n gp r o o f sh a v e b e e np u b l i s h e d ；o n eb ys e g r ea n da n o t h e rb yc a n n a l sa n dl l u i s 他们的证明比较复杂此后又有一些人给出来新的证明 引理2 5 陆人直线定理，设u 和u 是上的次数大于1 的多项式，次数分别 记为n 和m 如果i 亡】= 【u ，叫且g o d ( m ，n ) o m o d p ，则m 整除n 或1 3 , 整除 m 证明：见【1 引理2 6 设“和 是满足上面引理条件的多项式。曲线c ：，( z ，y ) = 0 能参敷 化为z = u ( t ) ，p = ( t ) ，则d e g j = m ，d e g v f = n ，d e g ( f ) = m a x ( m ，n ) ，而且 ，( z ，y ) 有如下形式 ，( 。，y ) = n ，+ + 坷4 ， 其中n ，b 是中非零元，d e g ( f ) 表示，作为一个二元多项式的度敷，而 d e 如，( d e 鲰，) 表示，作为糸敷在m ( ) 上的一元多项式的度敷 第1 1 页 证明，构造一个同态曲：k 扛，胡一嘲为 妒( 。) = u ( t ) ，( p ) = v ( t ) 则这个同态是满的，其核为理想( ( x ，) ) 于是就诱导了一个同构西：b ，y ( f ( x ，y ) ) 一m 为 西( 牙) = u ( t ) ，声( 雪) 1 = 钉o ) 易见t 在k ( v ( t ) 上的极小多项式为v ( x ) 一口( t ) ，于是t 就满足如下的性质 【k ( t ， ( t ) ) ：七( ( ) 】= m ，在女p ( t ) 】上是整的 因此u ( t ) 也满足同样的性质由同构西我们知道牙在k 捌上是整的，且陋( 牙，口) ： ( 口) = m 另一方面，( x ，y ) 作为个二元多项式是不可约的，于是，( z ，f ) 作 为( 口) 上的多项式也是不可约的因此，( z ，y ) = a x “+ ( 。，) ，其中 ( z ，y ) 满足d e 啦 m ，同样的，f ( x ，) = 蚵”+ ，2 ( z ，) ，d e g v ，2 n 于是有 ，( z ，y ) = + g ( x ，口) + 崎“，其中d e g = g m ，d e g u g 0 由引理2 6 我们 有d e g u = n ，d e g v = m 由于吲= u ，u ，而且g c d ( m ，n ) 0 ( m o d p ) ，由 第1 3 页 引理2 5 我们有m l n 令s = 景，则存在b k 。使得d e o ( u 一如5 ) n 若 n 1 = d e g ( u b y 8 ) m ，由于m 一曲6 ， 】= m 且m o ( m o d p ) ，由引理2 5 我们就有m1 l 。设s l = 等，则存在h k 。使得d e g ( u b y 一也 ”) d e g v l ，我们 就能找到一个多项式妒2 使得d e g ( u t 妒2 ( ”1 ) ) 1 ， 我们就有d e g v l 0 一直做下去，我们就得到( t 2 ，也) ，( u ，诈) 和印，矗 使得 ( ，v i ) = 一1 ，仇一1 ) “， ( ， ，) = ( t ，o ) ， 于是 虹* 一妒_ 。n = o r ， 其中r 圭n 丁r 因此k e r 毋 * = t - i k c r d ) u v 另一方面，k e r 九= ( y ) ，k e r 咖。= ( ，( z ，y ) 一n ) ，于是 ( ，( 置y ) 口) = 7 - ( ) ， 即 ，( z ，p ) 一a = c r y ，c 。， ，( z ，y ) = n + c r y = t 0 + q ) = r r o y ， 其中丁0 定义为7 b ( z ，y ) = ( n + c y ，z ) 由这可推出曲线c ：f ( z ，y ) = 0 仍然是一 条嵌入直线，于是女( g ) ! o ) ，而且( g ) ! ( t ) 因此存在一条定义在k 上 的光滑曲线c 1 和一个定义在虬上的满射西：a c 使得妒f 口( g ) = ( g 1 ) 由于( c 1 ) 掣( e ) 2f 口( t ) ，我们可以选取c 1 = p 1 于是我们得到一个定 义在f 町上的满射圣：砂一c 使得( 砂，圣) 是c 的正规化由定理2 5 ，圣是 第1 4 页 单的，而且g 在无穷远处只有一个点，设之为p 因此西诱导出来一个同构 a 1 1 p 1 一西- 1 ( j p ) ! c p 由于圣定义在f 叮上，我们可以用u ， f 。i t 】参 数化曲线g 重复以上的过程，我们可以找到陋，y 】的个f 。- 自同构r 使得f ( x ，y ) = r 7 ( 功 这就完成了证明 第四章进一步的问题 我们来考虑k 上的二元多项式显然陋，y 】中的一个多项式对应于从a l 到a ：的一个态射 定义4 1 一个多项式f k z ，y 】称为k 上的置换多项式，如果它是k 的某个有 限子域上的g 多项式 在k ky 】中我们可以定义一个等价关系这个等价关系是由下面这三类关 系所生成的t ( 1 ) ，( z ，y ) 一f ( y ，z ) ， 。 ( 2 ) f ( x ，y ) 一，( n z ，y + ( z ) ) ，其中o o k ，妒【z 】 ( 3 ) ( z ，y ) 一f ( x p ，9 ) 显然，是k 上的置换多项式当且仅当，所在的等价类中每个多项式都是k 上的置换多项式张起帆在 1 0 】中提出了如下的猜想： 猜想4 1 如果f ( x ，y ) 陋，y 是k 上的一个置换多项式，则有f z 注意到，是k 上的置换多项式当且仅当由，定义的f a m i l y 满足如下的性 质t 对每个o k ，纤维f ( x ，y ) = a 作为k 的某个有限子域上的曲线有平凡的 z e t a 函数 我们可进一步问：对k x ，y 】中的两个多项式f 和g ，若e l f 各自定义的f a m i l y 在每个纤维处的z e t a 函数都相同，是否就有f 一9 7 参考文献 【1 】a b h y a n k a r ，s s ，a n dm o h ，t t ，e m b e d d i n g so ft h el i n ei nt h ep l a n e , j r e i n e a n g e w m a t h 2 7 6 ( t 9 7 9 ) ，1 4 8 - 1 6 6 【2 】b o m b i e r i ，e n r i c o c o u n t i n g p o i n t s o n r 日o v e r ! j n i t e f i e l d s ，s e m i n a i r e b o u r b a k i 1 9 7 2 7 3 【3 】h a r t s h o r a e ，r o b i n a l g e b r a j cg e o m e t r y ，s p r i n g e r ，1 9 7 7 f 4 】l i d l ，r a n dn i e d e r r e i t e r ，h f i n i t ef i e l d s ，e n c y c l o p e d i ao fm a t h e m a t i c sa n di t s a p p l i c a t i o n s ，v 0 1 2 0 ，a d d i s o n w e s l e y , r e a d i n gm a ，1 9 8 3 【5 】李文卿数论及其应用，北京大学出版社，2 0 0 1 【6 】m u m f o r d ，d a v i dt h er e db o o ko fv a r i e t i e sa n ds c h e m e s ，s p r i n g e r ，1 9 8 8 【7 r o