（基础数学专业论文）格上的几种广义模糊素理想.pdf

中文摘要 本文我们首先讨论了格上模糊理想的一些性质，证明了几个主要的性 质，得到了在格的同态映射秽下，模糊理想与其像、逆像之间的关系，并建立 了它与模糊同余理想间的关系，其次由环上的素理想及( ，v q ) 一f u z z y 素 理想的定义类似地我们给出了格上的( ，v q ) 一f u z z y 素理想，讨论了截 集要成为( ，v q ) 一f u z z y 素理想所满足的充要条件，( 入，p ) 一f u z z y 子格 与( a ，p ) 一f u z z y 理想之间的关系，证明了( 入，弘) 一f u z z y 子格在同态映射p 下其 像及逆像仍是( 入，u ) - f u z z y 子格最后我们讨论t l - f u z z y 格的一些基本性质， 并给出了( a ，肛) 一f u z z y 子格，( a ，p ) 一f u z z y 理想( 对偶理想) 和( a ，p ) 一f u z z y 凸 子格概念，建立了( a ，p ) 一f u z z y 凸子格与其水平子格之间的联系 关键词 f u z z y 理想，f u z z y n 余理想，f u z z y 点，( 入，肛) 一f u z z y t y j 想，( ，v q ) 一 f u z z y 理想，己一f u z z y 集 a b s t r a c t ( 英文摘要) i nt h i sp a p e r ，w ef i r s td i s c u s s e ds o m ep r o p e r t i e so ff u z z yi d e a l so nl a t t i c e s ， p r o v e daf e wm a i np r o p e r t i e s ，a n dw eo b t a i n e dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e i m a g eo ff u z z yi d e a la n di t si n v e r s ei m a g ei nt h eh o m o m o r p h i cm a p p i n go ft h e l a t t i c e 0 ，a n de s t a b l i s h e dt h ec o r r e s p o n d e n c er e l a t i o n sb e t w e e nf u z z yi d e a la n d f u z z yc o n g r u e n c ei d e a l s e c o n d l y , ( ，v q ) 一f u z z yp r i m ei d e a lo fal a t t i c e i sd e f i n e da n dc h a r a c t e r i z a t i o n so fs u c hf u z z yi d e a la r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ， ( 入，肛) 一f u z z ys u b l a t t i c ea n di d e a l so fal a t t i c ea r ei n t r o d u c e d ，a n ds o m ep r o p - e r t i e so ft h e ma r ed i s c u s s e d n e x t ，s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f ( ，v q ) - f u z z yp r i m ei d e a la r eo b t a i n e d m o r e o v e r ，t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n s u b l a t t i c ea n d ( a ，p ) 一f u z z yi d e a la r ed i s c u s s e d f i n a l l y , w ed i s c u s ss o m eb a s i c p r o p e r t i e so fl f u z z yl a t t i c e ，a n di n t r o d u c et h ec o n c e p t s ( 入，p ) - f u z z ys u b l a t t i c e ，( a ，p ) 一f u z z yi d e a l ( d u a li d e a l ) a n d ( a ，肛) 一f u z z yc o n v e xs u b l a t t i c e a n d t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n ( a ，p ) 一f u z z yc o n v e xs u b l a t t i c ea n dl e v e ls u b l a t t i c ei s b u i l t k e yw o r d s f u z z yi d e a l ，f u z z yc o n g r u e n c ei d e a l ，f u z z yp o i n t ，( a ，p ) 一f u z z ys u b l a t t i c e ， ( ，v q ) 一f u z z yi d e a l ，l f u z z ys e t l l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：糊 指导教师签名： 年月日 矽p 年舌月1 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年 糕馈 6 只t 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论弟一早 三百t 匕 5 1 1 格代数产生背景、研究进展及应用 在群、环的讨论中，不仅涉及群、环中的元素的二元合成，而且常常要讨 论关于子群、正规子群、理想等的二元合成例如，玩，飓是两个正规子群，我 们要讨论“交 皿n 现及“积”日l 飓又如， ，如是环兄的两个理想，我们要讨 论它们的“交” n ，2 及“和”，l + ，2 等所有这些都导致了另一类具有两个二元 合成的代数结构一格格的概念是由d e d e k i n d ( 1 8 3 1 1 9 1 6 ) 首先引入的，但是当时 并没有引起多大重视直到大约1 9 3 0 年，人们才逐渐认识到格的理论在代数学 的各个分支，在几何基础学领域中的重要意义 格是随着经典逻辑的代数化与泛代数的发展而引进的一个新的代数系 统，格论来源于几何、逻辑、数论、代数学等领域，并逐步发展为一门独立 的代数理论近代的格论大体形成于1 9 3 5 年左右，其应用之广，影响之深，虽 不像群论，但它在代数学、赋值论、近代解析几何、半序空间等方面都发 挥着重要作用，成为值得重视的一个代数分支在1 9 4 0 年，g b i r k h o f f 的著作 ( ( l a t t i c e t h e o r y ) 【1 】( 第一版) 是这个时期的格论及其对于数理逻辑、泛代数、 一般拓扑学、泛函分析和概率论等数学分支中应用的系统总结格论在信息理 论【1 4 】、信息检索【15 】、以及密码分析【1 6 】方面起着非常重要的作用在文 1 5 】中， c a r p i n e t o 和r o m a n o 把格用于信息检索，介绍了约束机制和整合信息功能在 文 1 6 中，s a n d h u 表明以格为基础的合法的通路控制能够通过适当的r b a c 零 件装配得到加强，他的构造物阐述了为了有效的得到结果角色分类和限制是必 须的在【1 5 中，d u r f e e 以几何数论为工具解决了密码分析中的一些问题他们 使用代数方法破译了一些公钥加密系统，并侧重于r s a 和类r s a 结构，使用整 数格理论的方法取得了一些成果 1 第一章绪论 1 2 模糊代数产生背景、研究进展及应用 1 9 世纪末，德国数学家格奥尔格康托尔( c o n t o r ) 创立了朴素集合论，但是 该理论在定义几何的方法上会产生悖论为了消除这些悖论，罗素等一批数学 家共同努力在二十世纪初创建了更严密、更精致的公理化集合论。它是微积分 理论体系的基础，对现代数学和逻辑学发展产生了巨大的影响，然而在自然科 学和社会科学研究中存在许多不很严格或者说具有模糊性的概念一组对象确 定一组属性，人们可以通过指明属性来说明概念，也可以通过指明对象来说明 符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延实际上就是集合一切 现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架经典的集合论只把自己的 表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地规定：每一个集合都 必须由确定的元素所构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的。对模糊性的 数学处理是以将经典的集合论扩展为模糊集合论为基础的，乘积空间中的模糊 子集就给出了一对元素间的模糊关系对模糊现象的数学处理就是在这个基础 上展开的 1 9 6 5 年，美国控制专家z a d e h 2 1 发表了论文模糊集合，标志着模糊数学 这门学科的诞生，经过四十多年的发展研究并应用模糊理论的人越来越多，模 糊理论取得了长足的进步，其应用也日益广泛目前已形成模糊拓扑学、模糊 群论、模糊图论、模糊聚类分析模糊决策、模糊概率统计、模糊语言学、模糊 逻辑学、模糊识学、模糊综合评判、模糊信息检索等理论在应用方面，以模 糊控制为代表的模糊工程技术获得突破性进展，应用研究从工业控制领域进入 诸如家电等生活消费品领域，一系列采用模糊控制技术的家用电器如模糊洗衣 机、模糊空调等也纷纷问世由模糊逻辑与人工神经网络相结合而产生的模糊 神经网络控制首先在美国得到实现，福特公司在发动机废气排放、软悬挂控制 系统、动力系统控制、虚拟传感器等都使用了这一新技术 a r o s e n f e l d 3 】在1 9 7 1 年首先引入了模糊子群的概念，开创了模糊代数研 究的新领域，模糊代数经过三十多年的发展，已经出现了一系列的论文和 2 西北大学硕七学位论文 专著 2 - 3 9 】一些数学家已经广泛得研究了其它代数结构下的模糊子结构， 如模糊环和模糊格上的模糊代数结构的研究另外，l i u ，m u k h e r j e e 和s e n ， k u m b h o j k a r 和b a p a t ，m a l i k ，m o r d e s o n ，d i x i t ，k u i d a r经考虑了环上的模 糊子环和模糊理想【4 - 6 】这些模糊系统最基本的一个特征是：一个代数 系统r 的一个模糊子集a 是r 的模糊子系统的充要条件是水平子集a 。= _ z r i a ( x ) 2t ) 是r 的子系统b h a k a t 和d a s 定义y ( e ，v q ) 一f u z z y ：f 群【7 】 尤其是，在r o s e n f e l d 意义下( ，v q ) 一f u z z y 子群子群是非常重要的在模 糊群的研究发展过程中，曾出现了集中形式的方法完全不同的模糊群的 定义，1 9 7 1 年j m a n i h o n y 和h s h e r w o o d 对模糊群重新进行了定义i s ，1 9 8 1 年 戚振开有给出了点态形式的定义【9 】 1 9 9 5 年s k b h a k a t 对模糊子环重新进行 了定义【1 0 f z a d e h 还给出了 o ，1 卜模糊集的定义【1 1 , 1 2 】，g o g u e n 把它的概念推 广到格值模糊集 1 3 i ，受到a j m a l ，y u a n 和w u ，s e s e l j a 和t e p a v c e v i c - v 作的激发， a n d r e j a 和g o r a n 给出- l - f u z z y 格的概念 1 3 论文安排和主要研究结果 全文共五章文章的结构和主要内容如下： 第一章介绍了格相关理论的研究历史和本文的选题背景及课题意义，并介 绍了模糊代数产生的背景、研究进展及应用，简述了本文所取得的主要成果 第二章介绍了本文所需要的偏序集、格及模糊理想的相关知识 第三章本文对模糊理想做了进一步的研究，证明了几个主要的性质，得到 了在格的同态映射p 下，模糊理想与其像、逆像之间的关系，并建立了它与模糊 同余理想间的关系 第四章定义了格上的( ，v q ) 一f u z z y 素理想，并且得到了相应的性质，同 时定义了格上的( 入，p ) f u z z y 子格和f u z z y 理想，进一步探讨了其上的一些性 质，得出( ，v q ) 一f u z z y 素理想的若干充要条件，讨论了( a ，p ) 一f u z z y 子格， ( a ，p ) 一f u z z y 理想之间的关系 3 第一章绪论 第五章我们讨论了l 一，u z 纠格的一些基本性质，并给出了( 入，p ) 一y u z z y = 子 格，( a ，p ) 一，乱z z 理想( 对偶理想) 和( a ，p ) 一几z 甜凸子格概念，建立了( a ，p ) 一 f u z z y 凸子格与其水平子格之间的联系 4 西北大学硕士学位论文 第二章预备知识 5 2 1 基本定义及格的性质 在本节中，我们将给出偏序集、有序集、极小( 大) 元和最小( 大) 元的 基本定义 定义2 1 【1 7 1 集s 中的一个关系p 叫做偏序关系，是指对任意口，b ，c s ，下述条件 成立： ( 1 ) 自反性a p a ； ( 2 ) 反对称性a p b ，b p a 兮a = b ； ( 3 ) 传递性a p b ，b p c 令a p c 。 一个偏序集是指一个有序二组( s ，) ，其中s 仍，“”是s 中的一个偏序关 系当上下文中偏序关系清楚的时候，有时我们也简称偏序集s 以代替( s ，) 设( 只) 是一个偏序集，若a b ，但o b ，则记为口 b 对于一个偏序集s 来说，任取a ，b s ，未必有a b ，或者b n ；换句话说s 中任意两个元素未必 是可比较的s 的一个偏序关系“”，如果适合 ( 4 ) 对任意a ，b s ，均有a b ，或者b a ，那么，就说，“”是一个顺序 关系 定义2 2 【1 8 】具有顺序关系的非空集合( s ，) 叫做有序集 定义2 3 【1 7 】设( s ，) 是一个偏序集口s ，s 谚 n b 叫做b 的极小元，是指不存在z b ，使z 定义2 1 5 10 】设l 是格，a 为l 的模糊子集，若对任意耽，y r ，我们有 第二章预备知识 1 ) 。t a 且y r a 今。tvy r v q a ， 2 ) g g t a 且y r a 今x tay r v q a 则称a 为l 的( ，v q ) 一f u z z y 子格 定2 2 1 6 【2 1 1 设a 是l 的模糊子集，若对于l 中任意元素x ，有： 1 ) 4 ( zvy ) a ( x ) aa ( 可) ， 2 ) a ( aaz ) 4 ( z ) ，a l 称a 为的模糊理想 定义2 1 7 2 1 若格l 的非空子集，具有如下性质 1 ) z y ，y i 令z ， 2 ) x y i 专xvy i 称，为l 的理想 定义2 1 8 【2 3 1 设a 是l 的理想且4 l ，若对于任意元素z ，y a ，zay a 号 z a 或y a ，则称，为l 的素理想 8 西北大学硕士学位论文 第三章格上的模糊理想与模糊同余理想 每个代数结构一般都可引入相应的f u z z y 结构，一些学者引入了环和格 的f u z z y 理想的概念，并对其进行了研究本章对格的f u z z y 理想做了进一步的 研究，证明了几个主要的性质，得到了在格的同态映射p 下，f u z z y 理想与其像、 逆像之间的关系，并建立了它与f u z z y 同余理想间的关系 3 1 模糊同余关系的相关概念 在无特殊情况下以下假定( l ，a ，v ，0 ，1 ) 是非平凡b r o u w e r i a n 格( 即是完备 的a 无限分配格) ，( d ，a ，v ，0 ，1 ) 是有界格 定义3 1 【19 】设，是格d 的非空子集，对于任意元素a ，b ，有 ( 1 ) z d ，a ，令zaa i ， ( 2 ) a ，b i 兮avb i ，则称，是格d 的理想 定义3 2 【19 】设a 是d 的f u z z y 子集，对比l ，如果a a 谚是的一个理想，则 称a 是d f u z z y 理想，其中a q = z d a ( x ) q ) 定义3 3 【1 9 】设兄是格d 的f u z z y 关系( 即r 是d d 到己的映射) ，若d 是分配格且 满足 1 ) 自反性：比d ，r ( x ，z ) = 1 ； 2 ) 对称性：比，y d ，n ( x ，y ) = n ( y ，z ) ； 3 ) 传递性：v x ，y ，彳d ，n ( x ，y ) ar ( y ，z ) r ( x ，z ) ； 4 ) 替换性：比，y ，z d ，n ( z ，y ) n ( xvz ，! vz ) ar ( xaz ，yaz ) 称兄是格d 的f u z z y 同余关系 定义3 4 【2 0 】设冗是格d 的n z z y 同余关系，d 的f u z z y - - t 集a r ( z ) = r ( x ，o ) 是d 的f u z z y 理想，称a r ( z ) 为f u z z y 同余关系r 的核 定义3 5 【2 0 l 设a 是l 的f u z z y 理想，若存在d 的个f u z z y 同余关系冗，使a r ( z ) = a 称是d 的f u z z y 同余理想 9 第三章格上的模糊理想与模糊同余理想 引理3 1 【1 9 】设a 是d 的f u z z y 子集，那么a 是d 的f u z z y 理想，当且仅当满足以下 任何一个条件 ( 1 ) a ( 0 ) = 1 且a ( xvy ) = a ( z ) aa ( 9 ) ， ( 2 ) a ( 0 ) = l 目a ( x v y ) a ( x ) a ( y ) _ h a ( x a y ) a ( x ) v 4 ( 可) 比，y d 引理3 2 1 2 0 i 若l 的任一n z z y 理想a ，满足a ( o ) = l ，则a 是f u z z y 匾 余理想 3 2 模糊同余理想的性质 p a ( n a i ) ( 0 ) = i n f a i ( 0 ) = i n ，f1 = 1 ，又因为 l 1l e l ( t 2 l a i ) ( xv 可) = i 矧n f a i ( x vy ) = i 1 1 f a ( z ) a i ( y ) i e i 、 74 = ( 翳a ( z ) ) aq n ；a i ( y ) ) 1 1 l t = ( 1 2 i at)(z)a1( 凸训可) l t 雌r：l，沪x l g _ 坼l ， v z l ，r ( z ，o ) 2 矧n 毛( z , o ) 。涮na n , ( 。) 5 斛na i ( z ) = ( i 已a i ) ( z ) 故知n a i 是己的n z z y 同余理想 1 0 西北大学硕士学位论文 c 口c a ，c 秒，= s u 兰4 z ) ：i 二。； a 为l l 的f u z z y 理想，则p ( a ) 是l 2 的f u z z y 理想 证明：v y l ，y 2 l 2 ，若日一1 ( 秒1 ) = d 或口一1 ( 抛) = 仍，贝j j o ( a ) ( y 1 ) 八p ( 4 ) ( 抛) = 0 ，耳口( p ( a ) ) ( 耖1vy 2 ) = o ( a ) ( y 1 ) ap ( 4 ) ( 可2 ) = 0 设p - 1 ( 可1 ) 仍，0 - 1 ( 矽2 ) d ，则 口( a ) ( 矽lvy 2 ) = s u p a ( x l vz 2 ) l o ( z lvx 2 ) = y lvy 2 = s u p a ( x 1 ) aa ( x 2 ) l o ( z x ) vo ( x 2 ) = y z vy 2 = s u p a ( x 1 ) l o ( x 1 ) = 可1 as u p a ( x 2 ) l o ( x 2 ) = y 2 = ( 9 ( a ) ) ( y 1 ) a ( t g ( a ) ) ( y 2 ) ( 口( a ) ) ( o ) = s u p a ( x ) l o ( x ) = o ) = s u p a ( 0 ) l t g ( 0 ) = o ) = 1 故p ( a ) 是三2 的f u z z y 理想 定理3 3设p ：l l l 2 为格的同态映射，a 为l 2 的f u z z y 理想，定 义：( 日- 1 ( a ) ) ( 。) = a ( 口( z ) ) ，v x l z ，则p 。( 4 ) 是l 1 的f u z z y 理想且是p 不变 ( 0 - 1 ( a ) ) ( z 1vx 2 ) = a ( t g ( x lvx 2 ) ) = a ( o ( x x ) vp ( z 2 ) ) = a ( o ( x x ) ) aa ( o ( x 2 ) ) = ( o - x ( a ) ) ( z 1 ) a ( 0 - 1 ( a ) ) ( z 2 ) ( 0 - 1 ( a ) ) ( o ) = a ( p ( o ) ) = a ( o ) = 1 ，由引理1 知0 - 1 ( a ) 是三1 的f u z z y 理想 若o ( x 1 ) = p ( z 2 ) ，贝t j ( o 一1 ( a ) ) ( z 1 ) = a ( 护( z 1 ) ) = a ( o ( x z ) ) = ( o - 1 ( a ) ) ( z 2 ) ， 第三章格上的模糊理想与模糊同余理想 命题：设0 ：l 1 _ l 2 为格的同态满射，f i o ( l 1 ) 为l 1 的关于p 不变的凡z z y 理 想集合，则存在f i e ( l 1 ) 与f ，( 己2 ) 间的保序双射 证明：定义：f 乃( l 1 ) 叶f i ( l 2 ) ，ahp ( 4 ) ，若a l ，a 2 f i o ( l 1 ) 且 ( a 1 ) = ( a 2 ) ，则口( a 1 ) = 臼( 以2 ) ，0 - 1 ( p ( a 1 ) ) = 8 - 1 ( p ( a 2 ) ) ，由于a 1 ，a 2 是口不 变的，于是a l = a 2 ，即咖是单射v j e 7 f ，( l 2 ) ，则口_ 1 ( b ) 为l l 的f u z z y 理想且 是p 不变的，即日_ 1 ( b ) f i o ( l 1 ) ，由于p 是满射，所以矽( 口1 ( b ) ) = o ( o _ 1 ( b ) ) = b ，从而砂是满射，故是双射，而咖的保序是显然的 定义3 6 【2 0 】设f 是三的f u z z y 子集，令户= ( x a l x l ，f ( x ) 入，a 0 ，1 】 - ， 称f 为门拘伴随，其中z a 是f u z z y 点 定理3 4户是d 的f u z z y ：j a 集f 的伴随，在户中定义：vz a ，钆户，z av 弛= ( zv ) a p ，z a 八蛳= ( za 可) a v p 则f 是王i 、i l z z y 同余理想的充要条件 是( f ，a ，v ，0 ，1 ) 是格，且0 1 是f u z z y 点 证明：( 充分性) 若( f ，a ，v ，0 ，1 ) 是格，比，d ，设f ( x ) = a ，f ( u ) = p ， 则z a ，钆户，于是z av 鼽= vy ) 入 p f ，x aa y t , = ( za 可) a v p f ，尉l f ( x v y ) aai t = f ( x ) af ( 可) ，f ( z 八y ) 入vp = f ( z ) vf ( 秒) 因为o l 是f u z z y 点， 所以f ( o ) = 1 ，由引理1 ( 2 ) 知f 是d 的f u z z y 理想，由引理2 知f 是d 的f u z z y 同余 理想 ( 必要性) f 是d 的f i l z z y 同余理想，z 入，钆f ，f ( v ) p ，f ( z ) 入，f ( xv y ) f ( z ) af ( y ) 入a 肛，f ( xay ) f ( x ) vf ( u ) = 入v 肛，所以z av 咖= ( zv 可) a p f ，z a 鼽= ( 。a 夕) a v p f 以下证明( f ，a ，v ，0 ，1 ) 是格，z a ，鼽，缸f ， i ) 交换律：第a 八珊= ( z 八可) a v p = ( y a z ) p v a = y t , a x 入，同理z a v 靴= 弛v z a i i ) 结合律： ( z 入a 鼽) a = ( z y ) 入v pa 气= ( z aya z ) p v a = z aa ( 鼽a ) 同理，( x , kv 蛳) v = 姒v ( 轧v 钆) i i i ) 幂等性：茁 z a = ( z z ) 入v a = 2 a ，z 入vz a = ( 互v 茁) a a = $ a i v ) 吸收律： ( 。aa 钆) vz a = ( z a 可) a v pv 巩= pa 可v z ) 】( a v 弘) a = z 入 ( z av 靴) az a = ( zv ) a paz a = ( zv 掣) a z 1 ( 入 舢) v a = z a 】2 西北大学硕十学位论文 由格的定义知( 户，a ，v ，0 ，1 ) 是格。f 是d 的f u z z y 同余理想，所以f ( o ) = 1 且p f ( o ) 1 ，z o 都有f ( 0 ) = 1 ，故f = 0 1 是f u z z y 点 定理3 5 设a 是d 的f u z z y 理想，定义 剐刑) = v 0 或( 箩) 0 ，即( z ) = 1 或庇。( 可) = 1 ，也即z s 或 可s ，因而s 为l 的素理想 定理4 4a 是l 的( ，v q ) 一f u z z y 理想，_ r b 是三的( ，v q ) 一f u z z y 素理想， 贝, t l anb 是a o 5 的( ，v q ) 一f u z z y 素理想 证明：设z ，可a o 5 _ g ( za ! ，) t anb ，贝f j ( za 可) t a r ( xa 秒) t b 因 为a ( z ) o 5 ，a ( u ) 0 5 ，若t 0 5 ，贝j l a ( x ) + t 1 ，a ( y ) + t 1 ，若t 0 5 ，n a ( x ) 0 5 亡，a ( y ) o 5 t ，所以观a 且玑v q a 又因 为b 是( ，v g ) 一f z t z z y 素理想，_ l t ( xa ) t b ，所以既v q b 或y t v q b ，因 而x t v q ( anb ) 或犰v q ( anb ) ，故anb 是a o 5 的( ，v q ) 一y u z z y 素理 想 定理4 5a 是l 的( ，v q ) 一，u z 铡理想，则a 是l 的( ，v q ) 一f u z z t l 素理想 的充要条件是a ( 。) va ( y ) a ( x 八可) ao 5 ，比，可l 证明：( 必要性) 设4 是l 的( ，v g ) 一f u z z y 素理想假设| z ，1 1 l ，使 得a ( x ) va ( u ) a ( xa ) a0 5 ，取t ，使得a ( x ) va ( y ) 1 或a ( 可) + t 1 当t 0 5 时， a ( x ) va ( y ) t ，a ( x ) t 或a ( y ) t ，即现a 且纨a 故x t a 或 y t v q a ，因而a 是( ，v q ) 一f u z z y 素理想 定理4 6a 是l 的模糊理想，贝, l j a 是三的( ，v q ) 一f u z z y 素理想的充要条件 是a 是l 的素理想( o ，o 5 】 证明：( 必要性) 设a 是三的( ，v q ) 一f u z z l 素理想设t ( 0 ，o 5 】，因 为a 是l 的的模糊理想，则知a 是的理想设z y a t ，因为a 是l 的( ， v g ) 一f u z z l l 素理想，所以钆a 或玑v q a ，即a ( z ) va ( 可) a ( xa 可) a0 5 t 八0 5 = t ，即钆a 或纨a 因而a 是素理想 1 8 西北大学硕士学位论文 ( 充分性) 设a 是l 的素理想，v t ( 0 ，o 5 】，设( 。a 可) t a ，t 0 5 ， 兮x a y a 号x a t 或y a t ( a t 是素理想) ，若t 0 5 ，a o 5 是素，( zay ) t a ， 所以z o 5 a 或y o 5 a 即观q a 或z t q a ，故4 是三的( ，v q ) 一f u z z y 素 理想 定理4 7给定格l 的任何子格链l ocl lc cl n ，存在l 的( ，v q ) 一 f u z z y 子格a ，它的水平子格是这个链中的成员且a o 5 = l o 证明： 设托；t i ( 0 ，o 5 ) ；i = 1 ，2 ，n 且满足t l t 2 t n ， 设a ：l 一 0 ，1 定义如下： a ( x ) = t 0 5 r t t l t n z = 0 z 0 ，z l o z l 1 一l o 刀l n l n 一1 现在我们证明4 是l 的( ，v q ) 一f u z z y 子格设z ，y l ，若xvy l o ，贝l j a ( xv y ) 0 5 ( a ( x ) aa ( ) ) a0 5 ，若zvy 碧l o ，那么存在i ，l i 佗使得 zvy l i l i 一1 ，因而a ( zvy ) = t i ，现劫( i ) 使得z l j 或y l j 因为 如果x ，y l k ( k 入即a ( zv 矽) o l ，于 是zv 秒a a ，同理za 可o r _ a q ，所以以n 是l 的子格 ( 充分性) 设对v q ( a ，p 】，a a 非空时是l 的子格如果存在。o ，y o l ，使 得a ( z o v y o ) v 入 q 当弘奉扛) = 0 f 时，由的定义知，z 【弘a 】 当旷( z ) q 时，我们设p = 旷( z ) ，再由芦+ 的定义知，z p 翻，且 p p 】 】 从而，z 】即旷口【- t o , 】下面证明p + a2 【】假设z 阻口】且。簪p + a ， 贝0 p ( z ) ，即当a p 时， z 卯】且z 聋阻a 这与假设z 】矛盾故p q 】，因而旷口= 【】- 其次，我们证明肛冬旷假设存在z m ，使得p ( z ) = 口，_ k g ( z ) 旷( z ) 设肛+ ( 。) = p ，则z 【p 卢】且z 蜥】对7 p 故z 隹 ，当q p 时，这与假 设z p q 矛盾从而p 旷 最后，证明旷是包含p 的一个最小l f u z z y 格 2 4 两北大学硕士学位论文 设p 是包含弘的一个最t j , l f u z z y 格，若弘+ ( z ) = a ，则z q 】，且z 隹【即1 ， 对p q ，z 是由地产生的予格 】中的一个元素，它是一个格多项式，故z 可写 为 z = p ( h l ，h 2 ，h k ) ，h i i t q ，i = 1 ，2 ，k 那么p ( z ) 2m i n 0 ( h 1 ) ，6 ( h 2 ) ，臼( 九七) ) m i n i t ( h 1 ) ，p ( 危2 ) ，p ( 九七) ) o l 故o ( x ) 口= 旷( z ) ，即口旷，命题得证 5 5 2 ( 入，p ) 一s u z z y 凸子格 定义5 4 设a 是格l 的模糊子集，若对v x ，y l 满足 ( i ) a ( x vy ) va a ( x ) aa ( y ) a p ， ( i i ) a ( xay ) va a ( z ) aa ( u ) ap 则称a 是格l 的( 入，p ) 一f u z z y 子格 定义5 5 设a 是格l 的模糊子集，若对比，y l 满足 ( i ) a ( xvy ) y a2a ( x ) aa ( y ) ap ， ( i i ) a ( zay ) va ( a ( x ) v4 ( ) ) ap 则称a 是格三的( 入，p ) 一f u z z y 理想 定义5 6 设a 是格l 的模糊子集，若对y x ，y l 满足 ( i ) a ( 。vy ) ya 么( 。) aa ( y ) ap ， ( i i ) a ( xa ! ) va a ( x ) am ( y ) ap 则称a 是格己的( 入，肛) 一f u z z y 对偶理想 定义5 7 设a 是格的( 入，p ) 一f u z z y = 子格，若对每一个区间陋，6 sl ，比【o ，6 】， 都有 a ( z ) v 入a ( a ) aa ( b ) ap 则称a 是三的( a ，p ) 一f u z z y 凸子格 定理5 4 设4 是l 的( a ，p ) 一y u z z y = 子格，则( a ，p ) 一f u z z y 是( 入，p ) 一，钆z z 可凸子 格的充要条件是每一个水平子格4 q ，比( a ，川，是l 的凸子格 2 5 第五章( a ，p ) 一u z z y 格及( a ，“) 一f u z z y 凸子格 证明： ( 必要性) 设4 是( a ，p ) 一 厂u 名z 凸子格设o l ( a ，p ) ，任意a ，b a 口， 则a ( 口) q 且4 ( 6 ) q ，艮pa ( a ) aa ( b ) o z 因为4 是( a ，p ) - - f u z z y 凸子格，所以 对比【a ，6 】，a ( x ) va a ( a ) aa ( b ) a i - t ，故a ( z ) o t ，即z a q ，因而a a 是l 的 凸子格 ( 充分性) 设a q 是l 的凸子格v o l ( a ，p ) 设a ，6 】为l 的任意区间，我们 令a ( a ) aa ( b ) 八p = q 即口a 口，b a q 因为4 是l 的凸子格，对v x a ，6 】， 有z a 口，最p a ( x ) o t ，也且o a ( x ) v 入q 故a ( x ) va a ( a ) aa ( b ) a 肛，因 而( 入，p ) 一f u z z y 是( 入，p ) 一f u z z y l 马子格 命题5 5 在格中，每个( a ，p ) 一f u z z y ( 对偶) 理想，都是( 入，p ) 一f u z z y 凸子格 定理5 6 设a i ( i ) 是的( 入，肛) 一f u z z y r 马子格，则n a 也是l 的( 入，p ) 一 f u z z y 凸子格 证明：因为a 是l 的( 入，p ) 一f u z z y d j 子格，对每一个i 又f n - - j a ，6 】l ，v x 【a ，6 有 ( f q a i ( x ) ) va = i n f a i ( x ) v 入 所以n a 是己的( 入，p ) 一f u z z y 凸子格 = i n f a i ( x ) v 入) i n f m i na i ( a ) ，m i na i ( b ) ，p ) = m i n ( i n f a , ( a ) ，i n f a i ( b ) ，p ) = ( n a i ( a ) ) a ( n a i ( b ) ) ap 2 6 第五章( a ，p ) 一f u z z y 格及( a ，p ) 一f u z z y d j 子格 总结与展望 本文采用公理化的方法，通过模糊点属于模糊集及模糊点重于模糊集等有 关概念，给出了广义模糊格一系列新的概念，利用数学分析和代数的方法及对 偶与反证法等来得到它们的有关代数性质及等价刻画 本文的主要是定义了格上的( ，v q ) 一f u z z y 素理想，并且得到了相应的 性质，同时定义了格上的( 入，p ) 一f u z z y 子格和f u z z y 理想，进一步探讨了其上的 一些性质，得出( ，v q ) - - 模糊素理想的若干充要条件，讨论了( 入，弘) 一f u z z y 子 格与( 入，肛) 一f u z z y 强j ：想之间的关系，这一工作拓广了模糊代数已有的理论，进 一步丰富和发展了代数系统的基本理论目前，对于( q ，p ) 模糊子格的研究已经 做了大量的工作，但对于其中的好多问题仍有待更深入的探讨结合本文的研 究工作，作者认为以下问题有待进一步研究： 1 格中凸模糊子格、( o t ，p ) 一模糊子格、( q ，) 一凸模糊子格、凸模糊素理想 及凸模糊对偶理想定义的研究 我们将认真研究现有的概念，如( q ，p ) 模糊子群、凸模糊子格、( o t ，p ) 凸 模糊子集及( q ，卢) 模糊子格等，从而将( q ，p ) - 模糊子群的理论延伸到格理论上， 将( q ，p ) 一凸模糊子集演变成( q ，) 一凸模糊子格，进而进行相应