（基础数学专业论文）某些分形集的维数、测度及测度的密度.pdf

摘要 本文第一部分探讨了五分c a n t o r 测度的密度设昂( z ) = z 5 ， f 1 ( z ) = x 5 + 2 5 ，局( z ) = z 5 + 4 5 则i f s f o ，f l ，易) 的吸引子为一个 五分c a n t o r 集我们得出了由i f s 昂，日，b ) 所确定的五分c a n t o r 测 度的点态密度，并得出了五分c a n t o r 集的p a c k i n g 测度 本文第二部分介绍了汐维数这一概念，并给出了两个例子加 以说明设测度p 是舯上正的有界规则的b o r e l 测度且具有有界支 撑对于r 0 ，1 p 0 ，1 0 ，1 p 1 ，1 s 2 则如果a 充分大，f f l m bg r a p h ，= s 在该例子的证明中，用到了下面的结论【1 , p 1 5 1 ：当入充分大时， 对每个t ，存在h 满足a - ( + 1 h 杀然而当a 充分大时该结论是不成立的实际上我们可以找到常数 y l ( 参考下文) ，当t = 吲铲n ) 时，对任意h 满足入一( + 1 ) h 入一， 都有is i n ( a n + h ) 一s i n ( 入- t ) i 1 一s i n y l 0 0 8 3 8 5 击本章的主要目 的是完善该例子的证明 3 某些分形集的维数、测度及测度的密度 2 五分c a n t o r 测度的点态密度 设f 0 ( x ) = = 5 ，日( z ) = = 5 + 2 5 ，f 2 ( x ) = = 5 + 4 5 则i f s f 0 ，f 1 ，f 2 的吸引子为一个五分c a n t o r 集合，记为e 设s = l 0 9 3 l 0 9 5 ，用妇 表示c a n t o r 测度，旦( 衄，z ) 表示s 维下密度本章给出了对任意 z e ，d s ( d e ，z ) 的明确的公式，且给出了对加一几乎所有的z e ， 有2 ( 加，z ) = 4 一以此为依据，文中还证明了e 的s 维p a c k i n g 测度 为4 。 2 1 引言 2 m + 1 分c a n t o r 集e 是将单位区间分为间隔相等且长度为丽1 的m + 1 个子区间，并按此方法进行迭代所得的分形集设映射只： r _ r 定义为只( z ) = 2 - 南+ 1 x + l 南( i = 0 ，1 ，2 ，m ) 由文【17 】知迭 代函数系i f s f 0 ，f 1 ，r 的吸引子为e ，且e = p = 墨1 = d 2 m + 1 ) 一：1 ，戤= 0 ，2 ，4 ，或者2 m ) 用卯表示t 维h a u s d o r f f 测 度，d i m 竹e 表示e 的h a u s d o r f f 维数众所周知，d i m n e = s ，这里 s = l o g ( m + 1 ) l o g ( 2 m + 1 ) 设0 t o o ，妒是舯上的一个测度由文【1 8 】知妒在z 础的 t 维下、上密度定义为： 型( 妒，z ) = l i _ 里m ( 2 r ) 一妒( b ( z ，) ) ， 及 西( 妒，z ) = l i 恐( 2 r ) 一2 妒( b ( z ，r ) ) ， r + u 这里b ( z ，r ) 指中心为z ，半径为t 的闭球 对于压缩映射e 0 = 0 ，1 ，m ) ，由文【17 1 知存在唯一的b o r e l 概 率测度肋，对任意b o r e l 集a ，满足 以a ) = 而1 m 州础， ( 2 1 ) 5 硕士学位论文 我们称蛐为c a n t o r 测度，它是一自相似测度这个测度具有如下性 质【1 7 ，p 4 3 ，p 1 1 9 ，p 1 2 3 ： ( a )地的支撑集为e ，u 啬f i ( e ) = e ( b )7 l f 5 ( e ) = 1 ( c )p e = 7 l f 。i e ( v acr ，咒8i e ( a ) = “。( ane ) ) ( d )存在0 d 1 则p 的密度与f ( z ) 的罗朗系数 的渐近表示密切相关【1 3 】，也与f ( z ) 在吸引子点附近的渐近表示相关 【1 3 ，1 5 1 ，p 的密度与f ( z ) 的h o l d e r 连续指标也密切相关【1 2 ，1 5 本章主要关注五分c a n t o r 集设f o ( x ) = x 5 ，r ( z ) = x 5 + 2 5 ，足( z ) = z 5 + 4 5 i f s f o ，r ，局) 的吸引子为e ，8 = d i 吼e = l 0 9 3 l 0 9 5 以 下都设s = l 0 9 3 l 0 9 5 本章考虑了五分c a n t o r 测度的点态下密度 以此为基础，证明了e 的s 维p a c k i n g 测度的值为4 。 任取z e ，设其五进位表数法的展开式为z = 僦0 0 戤5 一( 戤= 0 ，2 或者4 ) 定义g ：e e ， i 5 x 若z 【0 ， 】 g ( z ) = 5 x 一2 若z ；，；】 【缸一4 若z 【 ，1 】 对比e ，定义 ) g ( x ) = r a i n 上望g 七( z ) ，堕i g 七( 1 一z ) 一詈i ，上坠( g 七( 1 一z ) ) ) ， k - - - , o ok - - - + o o uk - - - * o o 这里伊是g 的k 次迭代本文的主要结果如下： 6 某些分形集的维数、测度及测度的密度 定理2 1 1 ：( i ) 比e ，有 o z ( p b ，z ) = n 洫( ( 4 一l o g ( x ) ) 一，2 ( s 一1 0 9 ( x ) ) 叫) ( i i ) 对肋一几乎所有的z e ， 点r ( p f ，z ) = 4 一。 定理2 1 2 ：p a c k i n g 测度( e ) = 4 2 2 定理的证明 引理2 2 1 对任意b o r e l 集ac ( 一1 ，2 ) ，以及i l ，一，缸 o ，1 ，2 ， 有 p e ( r 。o o 最。( a ) ) = 3 - 知p e ( a ) ， 这里的，凡，凡，足由第一节定义 证明因为ac ( 一1 ，2 ) ，从而f o ( a ) c ( 寻，；) ，f i ( a ) c ( ，；) ，f 2 ( a ) c ( i ，2 ) ，故f o ( a ) nf i ( e ) = o ，f o ( a ) nf 2 ( e ) = d 因此耳1 ( 晶( a ) ) o e = d ，巧1 ( 昂( a ) ) a e = d 由( 2 1 ) 知 地( 局( a ) ) = 1 如( a ) + 1 船( 巧1 ( 晶) ) ) + 否1 p e ( 巧1 ( 局) ) ) = 吾1 如( a ) 同理可证 所以 以只( 删= 丢以) ，p e ( 局( a ) ) = j 1 p e ( a ) p e ( e 。r 。( a ) ) = 三p f ( 只，。只。( a ) ) = = 刍p f ( a ) 弓i 理2 2 2 坳【0 ，1 】，p e ( 0 ，纠) 矿 7 硕士学位论文 证明 ( 1 ) 由( 2 1 ) 知，地( 【o ， ) = i 1 如果1 p ，那么 p e ( o ，纠) p e ( 【o ，吾】) = 丢丢矿 ( 2 ) 设0 p 取七n ，使5 一七一1 p 5 ， 5 k p 1 那么 【0 ，5 七纠c ( 一1 ，2 ) 因黠( 【o ，5 k p ) = 0 ，纠，由引理2 2 1 知， p e ( o ，纠) = 3 一七p e ( 【0 ，5 纠) 3 小1 ( 5 七力8 = 三矿 引理2 2 3 固定z 【0 1 5 】，设，o ( d = 篱， ( t ) = 篱， ，2 ( d = 孬苦菩笺三备， ( 幻= 丢篙均为定义在t 0 , 1 5 】 证明通过初等讨论可得到引理的结论 弓i 理2 2 4 跏 o ，1 】，有弘e ( o ，纠) 2 - s p 证明 ( 1 ) 如果 p 亏2 ，则加( o ，纠) = 加( 【o ， ) = i 1 ，于是 芈吲1 丁2 35 矿 一 、7 ( 2 ) 如果； p ；，设t = p 一；，则0 2 - - 8 8 某些分形集的维数、测度及测度的密度 ( 3 ) 若； 2 4 ( 4 ) 若； 赤= 2 4 叶 2 一 ( 5 ) 若5 一七一1 p 5 一七对某正整数七成立，由引理2 2 1 得 竺墨! ! ! ! 翻2 ：丝墨( 里：! ! 翻2 ：竺墨( 鬯! 曼! 翻! 矿 3 七矿 ( 5 j d ) 8 。 由( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 知， 型【q ! 业 2 一 铲 一 引理2 2 5 设z 【o ，訇，对任意满足m a x x ， - x r 1 一z 的r 有 鲤铲i n ( 4 - 1 0 z ) _ | ，2 ( 8 - 1 0 x 广卜 当，= ；一z 或r = 一z 时等式成立 证明 ( 1 ) 如果m a x x ，- - x r ；一z ，那么【0 ， 】c 陋一r ，x + r 】 【- i ，卦于是地( 陋- - r , x + r 】) = 肋( 0 ， 】) = 吾因此 竺三铲= 丢( 2 r ) 一= ( 1 。r ) 一。 _ ( 4 - 1 0 x ) 一， 9 硕士学位论文 当r = ；一z 时等式成立 ( 2 ) 如果；一z r ；一z ，设t = r 一( ；一z ) ，则0 t i 1 于是由引理 2 2 3 及2 2 4 有 p e ( 【z r ，z + 7 】) ( 2 t ) 一 ：i 丝坚兰! l ! ( 2 r ) 。 = 等端 器 = ( 4 1 0 x ) ( 3 ) 如果；一z r 一z ，则 ! ! 兰! 铲= 昙( 2 r ) 一。= 2 ( 1 。r ) 一。2 8 - 1 0 x ) 一j ， 当r = 一z 时等式成立 ( 4 ) 如果 一z 由3 k 个压缩比为5 一七的 压缩映射组成，且满足开集条件设 拈x - = - - 萎o o 矿锄：狐c ? 川“卸，川) a = 魏5 _ e ：o ，( + 1 ，z ( 删七) ( o ，o ) ； ；1， 则a 七ce 是由3 k 一1 个压缩映射e 。o o 死：( i 1 ，i k ) ( 0 ，0 ) 生成的自相似集由文 2 3 知 d j 吼a = 、l o g ( ；而3 k - - r 1 ) ia ) = 0 比e u 七 l 九，易见堕g ( z ) = 0 ，于是由9 ( z ) 的定义知g ( z ) = 0 一 k - - , o o 命题得证 定理2 1 1 ( i ) 的证明取z e ，0 r i 1 由文 1 9 1 知存在序列 i 七) 七1 ( i k = 0 ，1 或者2 ) ，使得 z = 1 i r ar 。o or 。( 【0 ，1 】) 七- - * o o 选取正整数k ，使得p r ，z + r 】3 只。o o 民( 【o ，1 】) ，但陋一，。+ r 1 砻 只。o o 最。一。( o ，1 1 ) 因此 但 ( 只：o of i , 一，) 一1 ( p n z + r 】) ) e 。( o ，1 】) ，( 2 2 ) ( r 。o o 只。一。) 1 ( p r ，z + r 】) 【0 ，1 】( 2 3 ) 硕士学位论文 所以 ( 冠。o o 最。一，) 一1 ( 陋一r ，z + r 】) c ( 一1 ，2 ) 设y = 。只) 一1 ( z ) 由g 的定义可知y = g k 一1 ( z ) 设r ，= 5 七一l r ， 那么0 匦( 1 一g 。( z ) ) 因此， 七一+ 七_ m i n 坚嵯一g 七( 圳，l i m ( 1 一g 七( z ) ) k - - * o ou 一一 = m i n 粤g 七( z ) ，坚嵯一g 七( z ) l ，1 i m ( 1 一g 七( 。) ) 詹七- - 畸o quc - - - o o 与( i ) 类似的论证知式( 2 1 2 ) 仍成立 ( i i i ) 若存在某两个移k 为有限，不妨设# k 1 ，# k 2 有限而# k 3 = 贝0 ! 堑堕g 七( z ) 【4 5 ，1 1 ，_ ! 堑堕1 3 5 一g 七( z ) i 1 5 ，2 5 1 ，而- ! 堑堕( 1 一g 七( z ) ) 0 i 05 】故堕g 七( z ) 堕( 1 - g ，堕1 3 5 - g 吲堕( 1 一g k - - - + o o靠- 七+ k - , o o 所以 1 i m ( 1 一g 七( z ) ) = r a i n 1 i m 萨( z ) ，当坠i 三一g 七( z ) | 。l i m ( 1 一g 奄( z ) ) ) 矗_ c - - * o q膏_ v膏_ o o 1 4 某些分形集的维数、测度及测度的密度 与( i ) 类似的论证知式( 2 1 2 ) 仍成立 结合( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ，定理2 1 1 ( i ) 得证 定理2 1 1 ( i i ) 的证明由定理2 1 1 ( i ) 及引理2 2 8 可得定理2 1 1 ( i i ) 引理2 2 9 任取b o r e l 集bcr ，有pi e ( b ) = p ( e ) 加( b ) 证明设b = b o r e l 集bce ：尹。i e ( b ) = p 3 ( e ) p e ( b ) ) 因 v 入 0 ，fc p ，有尹。( a f ) = a o p 5 ( e ) ，7 - 5 ( a f ) = a o ? - 5 ( f ) ，且p e = 咒i e 从而v k n ，t l ，i 七 o ，1 ，2 ) ，有 并且 p 。i e ( 最。o or 。( 【o ，1 】) ne ) = 矿l e ( 只。o o 只。( 【o ，1 1 ) ) = 3 - k ：p 8i e ( 【o ，1 】) = 3 - k p 5 ( e ) p 5 ( e ) p e ( 只。o o 只。( o ，1 1 ) i 1e ) = ( e ) p e ( 只。o o 只。( 【o ，1 】) = 3 - 1 , ：p 。( e ) p e ( 【0 ，1 】) = 3 - k p 。( e ) 故有 e 。o or ( 【0 ，1 】) ne b 下面设 朋= 【0 ) u 具有形式最。o or ( 【o ，1 】) 的有限并与e 的交集：七n ) 则m 具有有限交的性质( 即若a ，b m 则a nb m ) 把由m 所 生成的最小的盯代数记为矿( 朋) ，则口( 朋) 含有e 的所有b o r e l 子集 容易证明召是一个入类( 即若a ，b 8 ，bca ，则a b b ，且若 a b ，ata 或aj ，a ，则a 8 ) 由单调类定理【2 4 】， b3 口( m ) 因为矿( 朋) ) 召，故盯( m ) = b 从而召含有e 的所有b o r e l 子集 1 5 硕士学位论文 引理2 2 1 0 【l8 】设acr n 为一b o r e l 集，( a ) ( 2 0 ，则对于一 几乎所有z a ，有旦2 ( i a , z ) = 1 定理2 1 2 的证明由引理2 2 9 ，v x e ， 岔( 矿f e ，z ) = p 。( e ) d 8 ( u e ，z ) 由定理2 1 1 ( i i ) ，对地一几乎所有的z e ，有一 岔( p 5i e ，z ) = 4 - o p 8 ( e ) 因为d i m pe = s ，且由p a c k i n g 测度与h a u s d o r f f 测度的定义易知，对 于b o r e l 集bcr n ，有pi e ( b ) 地( b ) 故对于pi e 一几乎所有 z e ，有 ：! y ( p 。i e ，x ) = 4 咱p 8 ( e ) 因为p ( e ) 0 ，1 p o o ，则p 的上 口维数定义为 一dimp比=urm-*soup觜91 ( 3 1 ) +p 一工jl u 这里【q ( r ) ) 表示卜网格族类似地，p 的下口维数亟呜p 由下极限 定义若这二者相等，则称它们的共同值为肛的汐维数，记作m 脚p 设母p ) = s u p 。p ( 研( 戤) ) p 是p 的p 变差，这里上确界取所有 不交的闭r 一球族 研) ，甄s u p p p p 的上扩( 1 1 ) 称为妒维数，或广义的r 6 n y i 维 数 2 7 】 ， 2 m + 1 分c a n t o r 集e 是将单位区间分为间隔相等且长度为互磊1 的m + 1 个子区间，并按此方法进行迭代所得的分形集设映射e ： r r 定义为r ( 。) = 南z + i 南( i = 0 ，1 ，2 ，m ) 由文【17 】知迭代 函数系i f s f 0 ，f l ，f m ) 的吸引子为e 用卯表示t 维h a u s d o r f f 测 度，d i m 咒e 表示e 的h a u s d o r f f 维数众所周知，血n t e = 8 ，这里 s = l o g ( m + 1 ) l o g ( 2 m + 1 ) 对于压缩映射只( i = 0 ，1 ，仇) ，由文【17 】知存在唯一的b o r e l 概 1 7 硕士学位论文 率测度p ，对任意b o r e l 集a ，满足 p ( a ) 2 斋p ( f 1 ( a ) ) ， ( 3 2 ) 我们称p 为c a n t o r 测度，它是一自相似测度 我们利用( 3 1 ) 式来计算由( 3 2 ) 式所确定的c a n t o r 测度p 的 上尸0 1 ) 维数假定r = ( 2 m + 1 ) 一，则在2 m + 1 分c a n t o r 集的构造过 程中，其第k 阶由( 1 + m ) 七个长为r ，测度为( m + 1 ) 一七的区间构成 于是iu ( q t ( r ) ) p ( m + 1 ) 七( m + 1 ) 一切= + 1 ) 一( p 一1 ，从而 山脚p = 鲰觜 一0 1 ) k l o g ( m + 1 )= 一七一1 ) l o g ( 2 m + 1 ) l o g ( m + 1 1 2 l o g ( 2 m 再前1 2s + ) 。 我们看到c a n t o r 测度p 的p 0 1 ) 维数等于它的h a u s d o r f f 维数 由文 8 8 知下式中的上极限若存在，则有 一d i m p 卫= n r m - - * 唧o + 瑞l o 学g p 当归一上j r 一上 同时也有 一d i m p p = l i ms u + p l o gf 百p ( b 可7 ( x ) 【) 5 p f - x d # 一 ( x ) r 0 + p 一1j i o g 7 对下维数类似的等式成立 文i s ，2 8 】定义了上口甜密度为 玩( p ) = l i m u p r 一；掣愀研( z ) ) 类似地，下汐密度由下极限定义若这二者相等，称它们的共同 值为p 的口甜密度，记为d b ( u ) 由文【8 知，如果0 瑗( p ) o o ，则 亟鸣p = q 若0 鳄( p ) ，则面p = a 若上，下汐口密度都为 正的且有限，则d i m p 丛= 口密度参数常被广泛地用来求自相似测度 的p 维数我们还是以( 3 2 ) 式所确定的c a n t o r 测度为例来说明 1 8 某些分形集的维数、测度及测度的密度 压缩映射族( 只) 显然满足强分离条件，且l j 存在一个碉界非至升集 u ，使得 只( u ) 冬阢只( 可) n 弓( _ ) = d ，j 因此对足够小的r ( 1 ，1 2 充分大时该结论是不成立的实际上我 们可以找到常数y l ( 参考下文) ，当t = 堑守! ( n n ) 时，对任意h 满足 a 一( + 1 ) h 入一，都有is i n ( 入n + ) 一s i n ( a n t ) i 1 - s i n y l 0 0 8 3 8 5 而1 本章的主要目的是完善该例子的证明为了文章的完整，我们参考 原文重新证明了该例子 2 1 硕士学位论文 则 定理4 1 1 设d 【0 ，1 ) ，d ( x ) = s u pis i n ( x + y ) 一s i nx l ， y e ( d , 1 ) 秒l = 盯c c 。8 一c s 虻1 + - 4 c o t 11 + f c = o s i i 石c 磊o t i l + 4c s c 1 + 堕坐譬塑4c08型1 ) 1 1 5 8 3 6 ， 5 一 。 x l = 詈一y l 0 4 1 2 4 4 ( a ) 当0 d z 1 时， m a 。n d ( z ) = 1 一s i n y l 0 0 8 3 8 5 ， z r 当且仅当z = y 1 + n 丌时d ( x ) 取最小值 ( b ) 当z 1 d 1 时， m a 。k n d ( z ) = 2 c o s ( z 。+ 罢) s i n 罢， z k 、 z 2 其中 x o2a r c t a n 2 - c o s d - c o s l 当且仅当z = 跏- 4 - n ，r ( n n ) 时d ( x ) 取最小值 4 2 证明 定理4 1 1 的证明因为d ( x ) 是以丌为周期的周期函数，故 只需在z 【o ，7 r 】证明该命题即可设g ( y ) = s i n ( x + y ) 一s i n x 则 9 7 ( y ) = 0 营y = 7 r 2 一z 由d y = 7 r 2 一z 1 得出丌2 1 s i n ( x + d ) ，故 故 i d ( a ：) = m a x s i n ( a ：+ d ) 一s i n x ，s i n ( a ：+ 1 ) 一s i n z ) = s i n + 1 ) “n z = 2 c 0 8 p + 互1 ) s i n 三 2 8 i n 2 互1 0 4 5 9 6 9 8 z ( 4 1 ) 2 当2 毛= 防2 1 ，7 r 2 一d 】时， i d ( a ：) = m a x s i n ( a ：+ 回一s i n 2 ：，s i n ( a ：+ 1 ) 一s i n a ：，1 一s i n a ： = 1 一s i n x 1 一c o s d = 2 s i n 2 罢 z j 5 2 ( 4 2 ) 3 当z 岛= 【2 - d ，7 r 2 1 2 】时，由单调性知s i n ( a ：+ d ) s i n ( z + 1 ) ， i d ( a ：) = m a x ( s i n ( a ：+ d ) 一s i n x ，s i n ( z + 1 ) 一s i n = = 8 i n ( z + d ) - 8 i n z = 2 c o s + 罢) s i n 罢 2 s i n ( 三罢) 咖罢 z 毛 ( 4 3 ) 4 当z 厶= 【丌2 1 2 ，7 r 2 一d 2 】时，因函数s i n ( a ：+ d ) 一s i n x 单 2 3 硕士学位论文 调递减，而s i n x s i n ( x + 1 ) 单调递增，故 厶0 ) = m a x s i n ( x + d ) 一s i n x ，s i n s i n ( x + 1 ) ) s i n ( x o + 一s i n x o = 2 c o s ( 知+ 互d ) s i i l 罢 z 厶 ( 4 4 ) 其中x o 为方程s i n ( x + d ) 一s i n x = s i n x s i n ( x - 4 - 1 ) 在区间 7 r 2 1 2 ， 7 r 2 一g 2 】上的唯一解( 利用m a t h e m a t i c a ) ： z o2 甜c t 觚2 - c o sd - c o s1 sin ds i n +1 5 当z j 1 5 = 丌2 一d 2 ，7 r 】时，s i n ( x + 1 ) s i n ( x + d ) ，故 厶( z ) = m a x s i n x s i n ( x + d ) ，s i n z s i n ( x + 1 ) ) = s i n x s i n + 1 ) = - 2 c o s ( x + 言) s i n 言 缸n 一2 c o s ( i 7 i 一互d + 互1 ) s i n 互1 ，一2c o s ( t r + 互1 ) s i n 三】- = 2 s i n ( 互1 一互d ) s i n 三 z 5 ( 4 5 ) 综合以上五种情形，看到( 4 1 ) ，( 4 2 ) ，( 4 3 ) ，( 4 4 ) ，( 4 5 ) 式，易知2s i n 21 2 2 s i n 2 d 2 2 s i n ( 1 2 一d 2 ) s i n d 2 ，注意到x 0 7 r 2 1 2 ，7 r 2 一d 2 ，故 2 s i n ( 1 2 一d 2 ) s i n l 2 2 s i n ( 1 2 一d 2 ) s i n d 2 2 c o s ( x 0 + d 2 ) s i n d 2 所 以当d 1 1 2 时， 厶( z ) 2 c 。s ( 跏+ 芸) s i n 石d ， z o ，叫 ( 4 6 ) 且当z = ；t o 时等式成立 情况i i ：0 d 1 2 、我们分【0 ，丌】= 【0 ，7 r 2 1 】u 【丌2 1 ，7 r 2 一i 2 】u 【7 r 2 1 2 ，丌2 一司u 【7 r 2 一d ，7 r 2 一d 2 】u 【7 r 2 一d 2 ，丌】= u 以t 以uj 4t 以为五个子区间 来讨论 1 当z 以= o ，丌2 1 1 时，由情况i 中的情形1 知： 厶( z ) 2 s i n 2 言0 4 5 9 6 9 8 z 以 ( 4 7 ) 某些分形集的维数、测度及测度的密度 2 当z j 2 = 【7 r 2 1 ，丌2 1 2 】时， 厶( z ) - - m a x ( s i n ( x + d ) 一s i n x ，s i n ( x + 1 ) 一s i n x ，1 一s i n x = 1 一s i n z 1 一c 。8 丢 = 2 s i n 2 三o 1 2 2 4 1 7 z 如 ( 4 8 ) 3 当z 五= 【7 r 2 1 2 ，7 r 2 一d 】时， 厶( z ) = m a x s i n ( z + d ) 一s i n x ，s i n z s i n ( x + 1 ) ，1 一s i n x = m a x s i n x s i n ( z + 1 ) ，1 一s i i l z 1 一s i n x 在区间【7 r 2 1 2 ，7 r 2 一d 】上单调递减且值域为t 1 = 【2 s i n 2d 2 ， 2 s i n 21 4 ，而s i n x s i n ( x + 1 ) 在区间【丌2 1 2 ，7 r 2 一词上单调递增且值 域为t 2 = 【0 ，2 s i n ( 1 2 一d ) s i n l 2 下面求2 s i n ( 1 2 - d ) s i n l 2 2 8 i n 2 d 2 在d 【0 ，1 2 ) 的解，即c o s d c o s ( 1 一d ) 1 一c o s d 的解我们考虑方 程 c o s d c o s ( 1 一d ) = 1 一c o s d ( ) 易知它在0 d 2 s i n 2 d 2 ，与情形3 类似的分析知 s i nx s i n ( x + 1 ) s i n ( x + 回一s i n x ，所以 厶( z ) = s i n x s i n ( x + 1 ) 2 s i n 互1s i n ( 互1 一d ) z j ：1 ( 4 1 1 ) 当d 【z 1 ，1 2 ) 时，2s i n1 2s i n ( 1 2 一d ) 2 s i n 2d 2 ，与情形3 类似的分 析知， 厶( z ) s i n x o s i n ( x o + 1 ) - - s i n ( x o + d ) 一s i n x o = 2 c o s ( z 。+ 罢) s i n 罢 z 五 ( 4 1 2 ) 当z = 跏时等式成立其中x o 为方