（基础数学专业论文）一类奇异或退化型方程正解的存在性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r + st h e s i s 我们研究一类奇异或退化型方程 摘要 并吼) = 街喵， z r n o ) ， 其中q ，b 酞：礼 2 ，a r ，o z , 0 ，口 0 且p = 石互 当方程中的参数在不同范围内取值时，我们通过山路引理，p o h o z e a v 恒等 式，k e l v i n 变换，移动平面法，移动球面法和经典的常微分方程理论得到了正解的 存在性和非存在性结果 关键词：奇异或退化型方程；径向解；山路引理；p o h o z a e v 恒等式；k e l v i n 变换； 移动平面法；移动球面法 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ab s t r a c t i nt h i sp a p e r ；w ec o n s i d e rac l a s so fs i n g u l a ro rd e g e n e r a t ee q u a t i o n s 嚣叼垆向喵 z r n o 】， w h e r e 口，b 酞，佗 2 ，a r 口 0 ，秽 0a n dp = i 刁翻i nv a r i o u sr a n g e o ft h ep a r a m e t e r si n v o l v e d ，w eo b t a i nb o t hr e s u l t so fe x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c e o fp o s i t i v es o l u t i o n sb yc o m b i n gt h em o u n t a i np a s sl e m m a ，t h ep o h o z e a v t y p e i d e n t i t y , k e l v i nt r a n s f o r m ：t h em e t h o d so fm o v i n gp l a n e sa n dm o v i n gs p h e r e sa n d c l a s s i c a la r g u m e n t so no d e s k e yw o r d s ：s i n g u l a ro rd e g e n e r a t ee q u a t i o n s ；r a d i a lp o s i t i v es o l u t i o n s ；m o u n t a i np a s sl e m m a ；p o h o z e a vi d e n t i t y ；k e l v i nt r a n s f o r m ；t h em o v i n gp l a n em e t h o d s ； t h em o v i n gs p h e r em e t h o d s i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 王存屁 日期： 冲j 肌r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 乒l 作者签名：乏番搞 导师签名：秀1 矿7 i 弓 日期： 舭哆争乡月7 日日期：碲岁月27 日 l t l| 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库刀中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回意论塞握壅廑溢厦；旦坐生；旦二生；旦三生蕉查! 作者签名：赫花 帆吁岁月叩日 导师签名：名伊狎弓 嘲：叩年箩月2 7 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节引言和主要结果 1 ， 孝r 卜南喃n 味 其中n 2 ，a 酞，n ，b 爬，i t 0 ，口 0 和p = 茅霭普石可 ( 1 2 )一d i v ( a ( x ) w u l q q v u ) = 6 ( z ) ，( u ) ， 相关的，其中权函数a ( x ) 和6 ( z ) 是非负可测函数并在某些点有本性零点甚至是无 界的 方程( 1 2 ) 是关于平衡各向异性连续媒介的一些物理现象的模型，这些媒介可 能在某些地方完全绝热( 可参看文献【1 1 】) 显然问题( 1 1 ) 可能出现奇异或退化的情 况当n = 0 ，y ( x ，u ) = 盖，i t 1 时，有界区域的d i r i c h l e t 边值问题：当p = p ( a ) 时e g n e u 已经在文献( 1 2 】中研究过了；在对，作不同的假设下，当p 0 时， e b i h a r a - f u r u s h o - s e n b a 在文献1 3 1 和f i n k g a t i c a h e r n a n d e z w a i t m a n 在文献f 1 4 1 中都有研究；他们证明了径向对称解的存在性当a = b = 0 时， t e r r a c i n i 在文献f 2 1 1 和c o n t i - - c r o t t i - p a r d o 在文献f 3 】中分别考虑了问题( 1 1 ) 并得到了一系列的径向对称解的存在性和非存在性结果同时我们也指出如果 a = 1 或p = n - + 一2 2 f o l + + 。口_ 6 - 0 i ，问题( 1 1 ) 是与下述著名c a f f a r e l l i k o h n n i r e n b e r g 不等式( 见文献| 6 1 6 ) ( 1 3 ) ( 上。吲州p ) 乳s - if , 。旷n i v u l 2 v 弘曙( 州， 相关的，其中 ( 1 4 ) 。 q 0 变化的影响 本文主要是受到c o n t i c r o t t i p a r d o 在文献 3 】和t e r r a c i n i 在文献【2 1 】 中的启发，他们考虑的是( 1 1 ) 中口= b = 0 的情形我们首先得到的是在 s o b o l e v h a r d y 意义下问题( 1 1 ) 中0 分别取次临界指标和超临界指标时径向解 的存在性结果 定理1 1 假设条件a 0 ，0 n 1 ，n 孚，o b n + 1 和 n 5 ，嵩簪矧口 1 ，a 孚，a b a + 1 和 6 ，篙等高 口嵩譬高， 成立，则问题( j j ) 有一个径向解h 学+ 字u 0 ) c , f i x r ” o ) 证明定理1 1 和定理1 2 的主要步骤是：首先通过一系列变换将方程( 1 1 ) 化 成一个具有特殊形式的常微分方程，然后在一个合适的加权的h i l b e r t 空间应用变 分方法这里主要的困难是：如何选择这个加权的h i l b e r t 空间使得能量泛函是有 定义的且山路引理中的( p s ) 序列是列紧的 当a = b = a = 0 时，问题( 1 1 ) 在很多参考文献中已有广泛研究o 众所周 知当口磊n + 2 时方程无解为了证明非存在性结果，我们仿照文献【1 9 】中使用的 p o h o z e a v 恒等式的证明方法本文我们也是先给出p o h o z e a v 恒等式的证明，然后 应用它得到解的非存在性结果 2 c 1 7 ， ao01l，1二一n+2(1+a-b)， ( 1 8 ) 2 ) a 0 ，且 。 心，。 p 一1 ，我们找的是古典解；而p p 一1 时，( 文献【1 3 】的附录b ) 正则性定理确 保方程的弱解实际上属于c 2 ( r n 【o ) ) g l ia n ds p e n g 在文献【1 7 】中证明了：当a = 1 ：0 凸 学，a b a + 1 ，m a x 1 ，n - 立2 正- - 2 a - - v ) 口+ l p ，王，= t n - 2 - 2 a 一、( 学) 2 一a ，0 a ( n - - 2 2 - - 2 a ，2 且u 是方程( 1 1 ) 的径向对称解，则让三o ；当q = 1 ，a = 0 ，0 b 1 ，2 口+ l p ，0 a 0 ，0 q 1 ，0 a 孚，a b a + 1 ， 1 0 五n + 一2 2 ( ( 1 l 千+ 。a - 6 - b ) ) ， 2 ) t 上p ( i x l 一6 p 如，b 1 ) ，月 2 ，0 q 孚，a b 口+ 1 ， 1 1 ：0 n 孚， 口b n n + 一2 2 ( ( 1 l 十+ 口a 一- 6 b ) ) ， 2 ) 札l p ( t x l 一助如，b 1 ) ，a 0 ，l a 2 ，0 a 学，n b a + 1 ， 1 0 害黼j 3 ) u l 口一1 嚣南( 1 z l _ 劬d z ，黜b 1 ) ，a 0 ，0 o l 1 ，0 口 0 ：0 1 ，a 0 成立，若札是p j ，的径向对称解，则存在 一个常数c o 满足让( z ) 裔詈，z 舭 o - 当a 0 满足? 俐若o q 1 ，若a 0 ，则方程( 2 2 ) 的正解是有界的 证明：我们考虑方程( 2 2 ) 的一正解妒和相平面z = 妒，y = ；我们将证明轨 道( z ( ) ，秒( ) ) 是有界的，所以我们关心的是当l t l o o 的情形首先我们注意到当 t _ o o ，轨道既不能有垂直渐近线( 因为x ( t ) _ z 隐含可( z ) 一0 ) 也不能有水平渐 近线( 因为矽( ) _ o o 和( ) _ 2 隐含矽 ( t ) _ o ，由式子( 2 4 ) 得到矛盾) 下面我 们分别讨论下述几种情形： 1 ) 九 o t _ 一o o 下述图像，表示相平面和一些能量水平集，分别表示情形2 ) 和3 ) 的结果是如 何得到 h ，一t 搁 1 除 、少n o 矗 o 由( 2 5 ) 式给出的能量估计，图中带负( 正) 箭头表示当t _ 一o 。( z _ + o o ) ，轨道所 沿方向；一旦轨道处于那个位置，当妒 0 时，我们推测轨道( 妒：砂，) ，不可能离开 区域 妒7 0ni 七1 u 妒0n 妒七2 ) ( 【矽7 0n i h ) t 9 妒0n 妒 ) ， 由于此时轨道没有垂直的渐近线，我们得到移是有界的 下面我们考虑情形2 ) ( 情形3 ) 可类似考虑) 假设l i r as u p 妒= + 。， 由( 2 5 ) 式可知当妒 0 ，定义9 ( z ，可) = 一h 一k 1 + e ( 可- b p 一+ 2 a ) t x o ，则只可能存在下述三种情形： a ) 存在t + ，对任意一个t t + ，轨道位于曲线g ( x ，y ) = 0 的下方，即： 可( t ) 矿 8 b ) 存在t ，对任意一个t t ，轨道位于曲线g ( x ，y ) = 0 的上方，即： 荆 一k x ( t ) + e ( f - b p + 一2 a ) t x o ( t ) ，耽 矿 c ) 存在序列 蝣) r ，且坛+ o o ，轨道在每一时刻蜢都穿过曲线g ( x ，y ) = 0 特殊地，对于其中某些纭，有 ( 2 6 ) 如d y 一 一k + e ( - b p + r 2 a ) 一t o x a - z 对于情形a ) ，我们有h y ( t ) + k x ( t ) + e ( 一切+ 2 口) 2 ( t ) 0 ：即h e 讯) + 尼矽( t ) + e ( 一b p + 2 n ) 2 扩( 亡) 0 所以由( 2 4 ) 式可以推出( 亡) 0 ， 此时轨道有水平渐近线，从而得到矛盾对于其它两种情形，为了得到矛盾首先 我们可以由( 2 4 ) 式得到下面式子： ，确 ly 7 一h y k x e ( 一b r , + 2 n ) 2 z 。 由妒7 0 ：则 ( 2 7 ) 如d y 一生盘兰字塑兰竺：则l i m + 。s u p = + 。o ，从而得到矛 盾对于情形c ) ( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式可以得到下面不等式： 七+ e ( 一b p + 2 a ) t s x o l ， 七z + e ( 一6 卅2 口) 2 z 口 一一气一九一一 所以 可卜h 2 + e ( 一b p + 2 n ) 。口z 口一1 + 纠h k x + h e ( 一6 州2 n ) z 口 当z _ + o o 时，不等式左边大于零，而右边小于零，从而得到矛盾 由上面的讨论，我们已经证明：当妒 0 时，轨道( 妒，妒7 ) 是有界的，所以存在 常数c 0 使得妒 c ，从而引理得证 口 命题2 4 的证明：由欧拉变换妒( ) = e 矗妒( e 2 ) ，t = z 叼( r ) ，则 心胁e - 击- i t 蜘帮， 硕士学位论文 n t a s t e r st h e s i s 由引理2 6 ，所以 ( 2 8 ) 让( z ) 丽c ，z r n 命题2 5 的证明：当a 1 ( 0 t o ( t t o ) 仿引理2 6 的证 明，我们可以得到：妒 1 ，t 一+ o 。( o l ，口p l = 凳兰渊= 鱼专耋；掣 我们要证明的结果是： 命题3 1 假设仳l ( 口一1 ) 南( 一6 p 如，r n b i ) 且满足条件( 3 1 ) ，则对所 有a 0 ，我们有 钍( 水( 高广2 嘞u ( 寄) i z i 入 事实上，我们比较感兴趣的是下面的推论得到的札的下界，它可以由上述命题 直接推出 推论3 2 假设u 三( 8 1 ) 渤( h 一印如，r n b 1 ) 且满足条件( 3 1 ) ，则存在 c 0 ，r 0 ，使得 毗) 鲁巾l 臼 当方程( 1 1 ) 中参数取不i 司范围内的值时，在原点( 或无穷远o k ) 我q - f 以用 同样的方法得到解钍类似的估计我们将在本节最后陈述相应结果 为了得到命题3 1 ，我们记u 的k e l v i n 变换为v x ： 酬= ( 高广2 砌钍( 斋) , a 6r + , x6r n 0 令可= 静，则 酬z ) = ) 、n - 2 - - 2 a 【( 2 + 2 a - n l - n + 2 a x i l z 坩椰恤喜删型鲁型】 所以 l z i 一2 n v v a ( x ) = ) t n - 2 - 2 a 【( 2 + 2 0 n ) l z l n z i u ( y ) + | z i n + 2 因此 d i v ( m - 2 。v 玖( z ) ) = n 0 , ( i x l 吨n v 叭( z ) ) i = 1 j = l酬y ) 墼铲】 a n 一2 2 口 ( n 2 2 n 一2 , t a ) l x l n 一2 2 孔( 可) + ( 2 + 2 a n ) i z | _ n 让( 可) + ( 2 + 2 a 一 ，) l z l n 既骞删学 + ( 2 一亿) i z i 一“z i 喜岛让( ) 垒三鱼垒铲 坩“喜侧型寄型壹j = l 学 + l x l 2 哪岛u ( 可) 入 j = l 2 【( 如2 z t 一2 x j 一2 z t ) l x l 4 一( 也j l z | 2 2 z i z j ) 4 1 x 1 2 x i 】 z 1 8 = ) 、n - 2 a i x l - - 2 - - 1 1 ( - 2 q ) z j o j u ( y ) + a n + 2 - 2 a 盯2 一札( y ) j = l “什2 嘞蚓斗恤；静酬卅龇】 由于 一d i v ( 1 y l 一2 口v 乱( y ) ) = 所以坝满足下述方程： 川2 ( 口+ 牡( 卅错，秒叭 0 ) ， 让( 痴( 高) 2 吲巩 墙( i x l - 2 v v x ) = ( 帮南+ ( 高) 计2 却一似- 2 - 2 咖品，z 叭 0 ) 我们是想将其与方程( 1 1 ) 进行比较事实上，如果我们假设条件( 3 1 ) 满足则有 ( 3 2 ) - d i v ( ：i x l 巾- 2 a v _ i 雾a 时南 1 2 h 入， 汹 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因此如果我们作差蛾= 坝一牡，则得到下述线性边值问题： f d i v ( 1 z l 一缸v 枷a ) i x l 一2 6 队( z ) 埘 ； l z i 入， ( 3 3 1 嘶) _ o 吲吐 其中队( z ) = 两硒冬两+ 烂v - - ui z l 2 6 一场= 雨南+ n a ( z ) i z l 2 n 一功，这里口a ( z ) = ! 世 既然我们的主要目的是证明：当蚓 a 时，叭 0 我们定义 妖= m a x o ，一叭( z ) ) - ，耳= x r n 瞰l u ( x ) 坝( z ) ) 首先我们证明下面的引理： 引理3 3 假设u l ( o 一1 ) 而( 一切如，1 1 王弋b 1 ) 且满足条件( 3 1 ) ，则存在 常数c 0 ，对任意a 0 ，下面之一成立： 俐6 a l 嘲( k ) 且i i b l l 工而( 巧) c 仕5 川圳窝c 哪口南k 茹+ 月一k 南 由= f - u l p 一1 习钿( 1 z i 一功d x ，r “晚) 且两环再1 两工葡钿( r n b a ) ，则 h l 及再丽( b i ) 讯。，= 仇l ，；三耋：? ：， 硕士学位论文 m a s t e r st h f e s i s 记a c = 曰+ f b i _ 。，现将方程( 3 3 ) 两边同时乘以检验函数( 畎) 7 咙2 ，其中 ，y 1 ，并在曩上分部积分，有 一击v ( i x l 一2 口v 叫a ) ( 叫i ) 1 槎 i z i - 2 6 b a ( z ) t 圾( 叫i ) 1 槎， jb ij b i 展开并整理可得 l jb i i jb i ，y 蚓- 2 。i v w a l 2 ( 畎) 1 - 1 槎 旷6 比) ( 蚓州程一2 上i i z i - 2 v w a v r e r h ( 蚓1 由c a u c h y 不等式：v a ，b r + ，w 0 ，| 仍 0 使得2 a b g a 2 + g b 2 我们有 1 2 i x l 一2 n v 加a v 仇仇( 叫i ) 7 l j b _ 2 ( 例嘞l v 叫a 1 2 记( 伽i ) ) ；( h 锄( 蛾一) 7 + 1 i v 叼, 1 2 ) ； j b _，b - 石i z | 一2 。i v w a l 2 旌( 伽r ) 7 1 + g l x l 一2 口( 叫a 一) 一r + 1l v 仇1 2 j b _j b 由h s l d e r 不等式，有 j b ： x l 砌( 坝一) 什1l v 碾1 2 刍厶m 。h 嘞州1 刍 上i n a a 一) 孚学】尚) 掣( 厶他川2 ( 6 吨) 丽钿) 型掣 破11 + e 1 2 ( 6 一n 掣i ) 翱一咖出，k n a 。) i l ( 畎) 孚王i 一6 p 如，巧n a ；) 由于t 上l p 一1 ) 及南( i 。i 一印如，r ，l b 1 ) ，贝ut 正氓l ( p 一1 ) 习t 嚣i 可( i z l 一6 p 如，r ，b 1 ) ( 3 6 ) 选择，y = 生专笛学并令e _ 0 ，则 一。i z i - 2 口( 蛾一) 什1 i v 徭1 2 i i 叫a l i 三揣( 一蛔如，k n _ o 一l 2 1 + 口一”( i z i 一印d z ，b f n a e ) 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因此可以选取充分小的6 并令e _ 0 ，我们司以找到k 0 ( k 与e 和a 无关) 满 足： ( 3 7 )k h _ 2 a i v 坝1 2 旌( 町) 7 _ 1 吨6 叭( z ) ( 伽i ) r + 1 槎， j b ： jb 7 由于 川- 2 d v 【( 伽i ) 孚仇】= i x i 地掣仇( 叫i ) 孚v ( 顷) + i x l - 2 a ( 畎) 孚v 仇， 所以 2 i x l - - 2 a l v 【( 础i ) 孚仇】1 2 2 厂i x l 一2 d i ! 軎! 仇( 叫i ) 孚v ( 叫i ) + ( 叫i ) 警v 仇l ，b ；- 4 上_ 旷。( 孚) 2 识蚓限蚓1 2 + 4 j f l i - j b 旷。( 町) 什1 j v 秤 jb ： 即 ( 一y + 1 ) 2 l z l 一2 n l v 叫a i 2 仇2 ( 珊i ) 1 1 2 l z i 一2 。l v ( ( 训i ) 孚仇) 1 2 4 i x l 一2 。f ( 训i ) 孚v 仇1 2 j b 7 jb i 令e _ 0 由( 3 6 ) 式上述不等式右边第二项为0 由c a f f a r e l l i n i r e n b e r g 不等式，并令_ 0 ，则 k l x l 2 d i v w x l 2 叩；( 畎) p 1 k ( i 茹i - 2 a l l 叫a - ，。仇) 1 2 s k 7 i 。i - 场( ( 町) 孚讯) p ) ； j 8 ： jb l = s k i i ( w j , 一) 孚仇i i ( 山，如，k ) 而 i x l _ 2 6 h ( z ) ( 畎) 什1 记 ，b i ( 厂i 以( z ) i 南) 攀掣 ( ( 吩) 孚h 孚讯) 高产弯掣 j b ij b ； = i i b j , l l l 嘲( 巧炒i ) 孚伽，( i = i - b p d z , b i ) ， 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 令一0 ，则由( 3 7 ) 式有 所以 s i i b a l l l 嘲( b r ) ， i i b a l l l 州两( b r ) 芝d 上述结果主要用于证明下面的引理： 口 引理3 4 假设乱l 口一1 稠r l ( 一吻出，r n b 1 ) 且条件( 3 1 ) 满足，则存在 入 0 使得 埘a ( z ) 0 ，i z i a ，v a 天 证明：这里我们只需要证明引理3 3 中( i ) 当a _ o 。时，结论成立 由引理3 3 中不等式( 3 5 ) l 蔫皎，一 0 ，峨 0 我们定义”= i n f f a o ；蛾( z ) 0 ，i x l a ) ，下面将证明a ：0 口 i l i l3 5 假设乱三9 1 翮1 , 1 ( 川一场出，r n b 1 ) 且条件( 3 1 ) 满足，则 a = 0 证明： ( 反证法) 假设入 0 ，则叫a 。( 。) 0 ，。b s 下面我们选取序列 a n ) r + 且k 上入+ ；固定点z 砟，则存在儿z 0 使得v n 佗z ，z 曰乏，因 而有地。( z ) 0 由映射：a _ 坝( z ) 的连续性，则蛾0 ) = l i m 伽a 。( z ) 0 n + 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 扎- h d i 。, z , ( ，i x ：l - 。知，v _ 三三要_ 2 6 6 a ( z ) t u a f z l a ， 田强檄值原理，有w a ，( 2 ) 0 ，z 霹 对所有0 0 ，在蚓 a 内，有u ) 珏( 圳抄入 则 乱( 删p 声1 乒而兰蕊牡研y ) ，l y l 毒 令删= z 即 毗，存= 寿 附注：我们注意到，上面命题3 1 的证明主要用到两个关键的不等式： 1 7 1 ) 线性边值问题( 3 3 ) ： ( 3 8 )一d i v ( i x l 一2 d v 蛾) i x l 。2 6 以( z ) 蛾， 2 ) 式子( 3 5 ) 隐含引理3 3 ( i i ) 中的b x 厶砸南，( 霸) 我们需要指出的是条件( 3 1 ) 是为了确保当 a 时( 3 8 ) 式成立，而2 ) 成 立是因为钍三( 口一1 ) 可辛南( h 一6 p 如：r n b 1 ) 当条件 ( 3 9 ) a 。，。 0 ，我们有 出) 0 ，r 0 ，使得 心) 去巾i 甜 同样这里还有两种情形能使不等式( 3 8 ) 在球的内部成立，即边值i 司题： f d i u ( 一2 口v a ) i x l b b a ( z ) 坝，0 i x l 。，。 口 l ：1 0 ，r 0 ，使得 巾) 寿巾i 尼 从证明的技巧来看，只要将引理3 3 的证明稍作修改对于情形( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) ，取b r = z b x u ( x ) 叭( z ) ) ；同时，证明开始时将方程( 3 1 0 ) 乘以 检验函数咙2 q - - ，其中 碾c z ，= 仇| ， z & ， z 岛。反， z 磋， 值得注意的是这里我们不能像引理3 3 中乘以检验函数贸( 叫_ ) l 这是 因为当口 不郅两时，y = 生号s 驴是负的；这也正是我们假设u l p ( i x l 一场如，b i ) 而不是u l ( o - z ) 嘲( h 一劬如，b 1 ) 的原因 对于情形( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) ，我们必须注意这个事实：当a 0 ，0 口 孚，n 6 n + l ，0 q 1 ，1 p i n + 迈2 可( 1 干+ 石a - 可b ) ， ( i i a 0 ；0 。 孚，。sb 口+ 1 ，o z 2 ，1 0 ，z q ，且当z q ：z 0 ，条件 俐稿器； 一，( z ，( 爱骞) ；z ) ( 爱碧) ，( 圣，z ) 满足， 则有u ( z ) = ( z ) 乱( 岔) ，( z ) = ( 爱碧) ，使得侥( n ( z ) b u ( z ) ) + ，( z ，u ) 0 ，z 晓 证明：若u ) = 矽o ) “( 纠= ( 籍) ；仳( 圣) ，由公式( 4 1 ) ，则有 反( 口( z ) 侥u ) + f ( x ， 3 ) = ( 糕崩嘶( 粥啦) ) 州咖( 钏叫咖( z ) + 他， ) = ( 糕向a ! c ( 0 ( 粥牡( 钏州讪( 训m ，( 端) 瑚一( 糕) 狐咖( 纠】 + ( 箬) 【糕s - s ( 州岔) 0 下面我们回忆下h o p f 边界引理和强极大值原理的具体形式： 口 引理4 3 若牡c 2 ( q ) ，让( z ) 0 满足下述一致椭圆型不等式 a z 7 ( z ) a 岛“+ 扩( z ) 反让+ c ( x ) u 0 其中系数( z ) ，( z ) ，c ( x ) 在q 内有界 ( a ) ( h o p f 边界引理) 若x o a q ，a q 在z o 的邻域内是c 1 的，乱( z o ) = 0 ，则 让三0 ，或者乱在z o 处外法向导数是负的； ( b ) ( 强极大值原理) 若x o q ，u ( x o ) = 0 ，则u ( x ) = 0 ，比q 下面，令b = 仁r n ：俐 o ；厂c 1 ( 秀【0 ，+ o o ) ) ，( z ) 0 引理4 4 若t i o ( b ) nc 1 ( 雪) 是问题 p ( 一1 ：0 ) 引理彳2 中条件( i ) 和( i i ) 成立，则 警 o ，z b ，z l 0 ，z p ) 我们想证明a = ( - 1 ，o ) 首先我们证明下述引理 引理4 5 当p _ 一1 时，肛a 证明：由于“扛) = 0 ，z a 口，则由引理4 3 中( a ) 碧( 一1 ，0 ，o ) 0 ，所以 笃挚( 一l ，o ：o ) o 由甬数的连续性，在( 一1 ，o ，o ) 的邻域内幽b x l o 令p _ - 1 ，p 和其关于超平面耳的反射都包含在该邻域内 由连续函数中值定理，对每一个z 弘：存在f ( 介于z 和之间) 使得 o ；( z ) 札( z ) = 口( z p ) 仳( z p ) 一n ( z ) 让( z ) = ( 2 p , - 2 x ，) 掣 。 所以k ( 。) 0 ；因而引理得证 口 引理4 6 当p ( - - 1 ，o ) 时，若“0 ) 0 ，z p ，则( z ) 0 ，z p 和 皆( z ) o ；z t n b 证明：由引理4 2 ，我们有 c g i ( a ( x ) o t h t , ( z ) ) = a ( o ( z ) 侥( ( z ) 一乱( z ) ) = 岛( 口 ) 反u ) ) 一侥( o ( z ) 反乱( z ) ) = 【侥( 口( z ) 侥 ( z ) ) - 4 - ( x ，u ) 】一s ( x ，u ) 一【侥( n ( z ) 魏乱( 。) + s ( x ，让) 】+ ，( z ，u ) 0 ，z p 或 p ( z ) 三0 ，z p 然而h p ( - 1 ，0 ，0 ) 0 ，所以k ) 0 ，z p 由引理4 3 中( a ) 有 掣1 ：一丢磐