（基础数学专业论文）流形上laplace算子特征值的混合边值问题与几何刚性研究.pdf

摘要 本文着重研究流形上l a p l a c e - b e l t r a m i 算子特征值的混合边值问题与子流形的刚性 问题 1 9 6 8 年，j s i m o n s 研究了竹+ p 维单位球面s n 押中n 维紧致极小子流形的几何， 证明了著名的s i m o n s 刚性定理1 9 7 1 年，c h e r n d oc a r m o k o b a y a s h i 进一步给出了 p i n c h i n g 条件s 若知下单位球面伊十p 中n 维紧致极小子流形m “的几何结构分 类，这里s 为第二基本形式模长平方h b l a w s o n 也独立地研究了余维数p = 1 的情 形之后，沈一兵，李安民，李济民等学者成功地将上述问题中的p i n c h i n g 常数改进为 m a x 孕，i 三箝) 推而广之，m o k u m u r a ，s t y a u 等学者先后研究了球面中平行平均曲 率子流形的s i m o n s 型刚性问题，并获得部分结果在此基础上，许洪伟于1 9 9 3 年完整 地证明了球面中平行平均曲率子激形的刚性定理 本文首先研究更为一般的局部对称的6 一拼挤黎曼流形中平行平均曲率子流形的刚性 问题我们证明了下述定理 定理2 1 设m ”为n + 1 维完备单连通的局部对称黎曼流形叫1 中具有常平均曲率 日的闭超曲面，且”1 的截面曲率满足j k 1 若第二基本形式模长平方满足 ( s - n 日2 ) 陋( n ，日) 一s 一2 n ( 1 6 ) 卜；( 1 一d ) n s 2 h v 西- n h 2 _ 0 则m “必为下述情形之一t ( 1 ) 全脐子流形； ( 2 ) s ”1 ( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面伊( 弧) 伊一( 厂亭) ，女= 1 ，2 ，n 一1 ( 3 ) s n + t ( 1 ) 中的等参超曲面s - i ( 7 r 干1 f ) s 1 ( 了寿甭) 其中q ( n ，日) ，a 定义如下： =nh+1、n丽2h笋2+4(n-1) a ( 叫细+ 焉一酉n ( n - 可2 ) h v 。2 可两 定理3 1 设m n 为n 十2 维完备单连通的局部对称黎曼流形”2 中仙维闭的平行 平均瞄率子流形，且小p + 2 的截面瞌率满足6 k n 1 若第二基本形式模长平方满足 ( s - n 日2 ) 瞰n ，日) - s - 2 n ( 1 叫l 一雩( 1 5 ) n 3 嘲厕一i 8 ( 1 5 ) v 伍- i s 独 l 则m “必为f 述情形之一： ( 1 ) 全脐子流形； ( 2 ) s ”1 ( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面驴( ：) s n “( 警) ，k = 1 ，2 ，n 一1 ； ( 3 ) 驴“( 1 ) 中的等参超曲面s n - 1 ( 了毒霁) s l ( 了南) ； ( 4 ) 常平均曲率为日。的s 3 ( r ) 中的c l i f f o r d 环面s 1 ( r 1 ) xs 1 ( r 2 ) 其中r l ，r 2 = 2 ( 1 + 日2 ) 士2 h o ( 1 + h 2 ) 1 2 l 一2 ，r = ( 1 + h 2 一瑶) 一1 2 ，并且0 z 矗h 其中口( 礼，日) ，a 的定义同定理2 1 定理3 2 。设m “为n 十p 维完备单连通的局部对称黎曼流形叶9 ( p 3 ) 中n 维 闭的平行平均曲率子流形，且“+ ，的截面曲率满足5 墨k n 1 若第二基本形式模 长平方满足 ( s n 日2 ) 陋一1 ) 竹一百3 s + ；n 日2 一丽n ( n - 1 ) 日恤一n 日2 ) 】 一! ：( 1 一j ) n 3 ，2 日、否_ = 丽；( p 一1 ) ( 1 5 ) n v r 元z - 1 s o ， 则m 必为下述情形之一： f 1 ) 全脐子流形； ( 2 ) s n + l ( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面s k ( ：) p “( 譬) ，k = 1 ，2 ，n 一1 ； ( 3 ) 伊“( 1 ) 中的等参超曲面s - - 1 ( 丽1) s 1 ( 南) ； ( 4 ) 常平均曲率为矾的s 3r ) 中的c l i f f o r d 环面s 1 ( r 1 ) xs 1 ( r 2 ) 其中r l ，r 2 = 2 ( 1 + h 2 ) 士2 h o ( 1 + h 2 ) 1 2 】- 1 2 ，r = ( 1 + 日2 一掰) _ 1 2 ，并且0 正而日； ( 5 ) s 4 ( ：7 f b ) 中的v e r o n e s e 曲面 其中a 的定义同定理2 1 注1 定理2 1 、定理3 1 与定理3 2 推广了文献【4 2 】中的主要定理 其次，本文研究了混合边值条件下紧致黎曼流形的l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的特征值问 题在整体黎曼几何与几何分析中，用几何不变量来估计紧致流形上l a p l a c e b e l t r a m i 算 子第一特征值的下界是十分重要的研究课题a l i c h n e r o w i c z 成功的给出了具有正r i c c i 曲率的闭黎曼流形上l a p l a c e - b e l t r a m i 算予的第一特征值的最优下界估计：设m “为n 维闭黎曼流形，其r i c c i 瞳率满足r i c m n 一1 ，则m ”的第一非零特征值a l n 1 9 6 2 年，m o b a t a 进一步证明当上述估计式取等号时，m “整体等距于标准单位球 面酽( 1 ) 1 9 7 7 年，r r e i l l y 证明；设m “为r i c c i 曲率满足r i c m n 一1 的n 维 2 紧致带边黎曼流形，且边界超曲面的平均曲率非负，则m p 的第一d i r i c h l e t 特征值 肛i n ，且等式成立时，m “必整体等距于标准半球面畿( 1 ) 1 9 8 8 年，j e s c o b a r 与 夏昌玉独立地证明：如果m ”为r i c c i 曲率满足r i c m 扎一1 的佗维紧致带边黎曼流 形，且边界超曲面o m 是凸的，则m ”的第一n e u m a n n 特征值1 n ，且等式成立时， m ”必整体等距于标准半球面艇( 1 ) 我们证明了下述不等式 定理4 1 设m “为带边o m 或不带边的n 维紧致黎曼流形，且其r i c c i 曲率r i c m n 一1 则有m ”上关于混合边值条件的第一非零特征值m 满足 q 一n r h c ( m ，日) ， 其中 g c m = 象 誓参薮萋：薹2 c 1 ( m ，f ，0 ) 岛( m ，0 ) = 击( 上m 【2 t 枷1 v “n 善粕 一i + 2 ( 爿一( n 一1 ) t a no ) i d o m f z d m 一1 j m = 击咖c o t 唰2 + 擎衄 + z 2 ( hc o t 2 口一一1 ) c o t 目) 】d a 肘) ，2 d m 一1 ， f 其中，f 是关于特征值q 的非零的特征函数，z = f l o m ，= 筹b 村 注2 定理4 1 推广了l i c h n e r o w i c z 、r e i l l y 、e s c o b a r 、夏昌玉、c h e n g - l i y a u 的有关结果 再次，本文研究了一般黎曼流形中紧致带边或不带逸子流形上关于混合边值条件的 l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的特征值与特征函数，证明了下述积分不等式 定理5 1 设卧9 为第n 个r i c c i 曲率2n 一1 的n + p 维黎曼流形。m n 为n + p 中的忍维紧致带边或不带边子流形，且如果q 和，分别为肘“上l a p l a c e - b e l t r a m i 算 子关于混合边界条件的特征值与特征函数，则 h n 一2 n i l - 4 - s + ；鹦h ( s n 日2 ) 1 1 l 奇 f 1 2 d m d o ，盏，0 ，卵) d a m ， 3 其中d ( g ，麓，口，觑，q ) 的定义参见第1 6 页 最后，我们研究了一类黎曼子流形上l a p l a c e b e l t r a m i 算子关于混合边值条件的第一 特征值的下界估计，证明了如下定理 定理5 2 设n ”9 为第n 个r i c c i 曲率n 一1 的+ p 维黎曼流形，m ”为”p 中的竹维紧致带边或不带边子流形。如果s 瓦则m ”上l a p l a c e - b e l t r a m i 算子在 混合边值条件下的第一非零特征值满足 啦z 丽一而+ 址躲揣掣， 其中，为关于”- 的特征函数，d ( z ，盈，口，衄，卵) 的定义参见第1 6 页 注3 定理5 1 与定理5 2 拓广了文献【3 0 】与【4 5 中的两个定理 4 a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h ee i g e n v a l u ep r o b l e m so fl a p l a c e - b e l t r a m i o p e r a t o ra n dr i g i d i t yo fs u b m a n f o l d s i n1 9 6 8 j s i m o n ss t u d i e dt h en - d i m e n s i o n a lc o m - p a c tm i n i m a ls u b m a n i f o l dm “i na n 佗+ p - d i m e n s i o n a lu n i ts p h e r es “押，a n dp r o v e dt h e f a m o u ss i m o n sr i g i d i t yt h e o r e m i n1 9 7 1 ，c h e r n d oc a r m o k o b a y a s h ig a v et h ee l a s s i f i c a t i o no fg e o m e t r i c a ls t r u c t u r e so fm d i m e n s i o n a lc o m p a c tm i n i m a ls u b m a n i f o l d sm “i na u n i ts p h e r es “押u n d e rt h ep i n c h i n gc o n d i t i o ns 茎砖= r tw h e r esi st h es q u a r e dn o r mo f t h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m h b l a w s o na l s os t u d i e dt h ec a s eo fp = 1i n d e p e n d e n t l 弘 l a t e r ，y b s h e n ，a m l ia n dj m l is u c c e s s f u l l yi m p r o v e dt h ec o n s t a n to ft h ep i n c h - i n gp r o b l e mt om a x 警，争a sag e n e r a l i z a t i o no ft h er i g i d i t yt h e o r e mf o rm i n i m a l s u b m a n i f o l d s ，m o k u m u r aa n ds t y a ns t u d i e dt h er i g i d i t yp r o b l e mo fs i m o n s t y p e f o rs u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ei nas p h e r e ，a n do b t a i n e dp a r t i a lr e s u l t s i n1 9 7 0 s i n1 9 9 3 ，h w x up r o v e da no p t i m a lr i g i d i t yt h e o r e mf o rs u b m a n i f o l d sw i t h p a r a l l e lm e a x lc u r v a t u r ei nas p h e r e i nt h i st h e s i s ，w ef i r s ts t u d yt h er i g i d i t yp r o b l e mf o rs u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lm e a n c u r v a t u r ei na6 - p i n c h i n ga n dl o c a l l ys y m m e t r i cr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，a n do b t a i nt h e f o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m2 1 l e tm ”b eac l o s e dh y p e r s u r f a c ew i t hc o n s t a n tm e a i lc u r v a t u r eh i na n + 1 ) 一d i m e n s i o n a lc o m p l e t ea n ds i m p l yc o n n e c t e dl o c a l l ys y m m e t r i cr i e m a n n i a n m a n i f o l dn “+ 1w i t hdp i n c h e dc u r v a t u r e ，i e ，6 k ns1 i ft h es q u a r e dn o r mo ft h e s e c o n df u n d a m e n t a lf o r ms a t i s t i e s ( s n h 2 ) 【q ( n ，圩) 一s 一2 礼( 1 6 ) l 一；( 1 一占) 礼8 2 hs x , f f f z - n h 2 0 ， t h e nm i sc o n g r u e n tt oo n eo ft h ef o l l o w i n g ( 1 ) t o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l d ； ( 2 ) o n eo ft h ec l i f f o r dm i n i m a lh y p e r s u r f a c e 伊( ：) s n “( 、警) i ns - + i ( 1 ) ，f o rk = 1 ，2 ，n 一1 ； ( 3 ) t h ei s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c es - t ( 了嚣1 弹) s 1 ( 杀耳) i ns - + i ( 1 ) h e r e ( n ，日) ，aa r ed e f i n e da s a = n h + 絮n u h 署2 + 4 ( 四n - 1 ) 5 n ( 删= n + 器一面n ( n - 可2 ) h 河丽 t h e o r e m3 1 l e tm “b eac l o s e ds u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ehi n a nm + 2 ) 一d i m e n s i o n a lc o m p l e t ea n ds i m p l yc o n n e c t e dl o c a l l ys y m m e t r i cr i e m a n n i a n m a n i f o l dn “+ 2w i t h6p i n c h e dc u r v a t u r e ，i e ，dsk n 1 i ft h es q u a r e dn o r mo ft h e s e c o n df u n d a m e n t a lf o r ms a t i s f i e s ( s n 日2 ) 【“( n ，日) 一s 一2 ( 1 一d ) 】一娑( 1 一d ) n 3 2 日、否- = 丽一i 8 ( 1 一曲、冠s o t h e nm “i sc o n g r u e n tt oo n eo ff o l l o w i n g ： ( 1 ) s ”( 而1 帚) ； ( 2 ) t h ei s o p a x a m e t r i ch y p e r s u r f a c e 铲。1 ( 7 雨11 ) s 1 ( 了番可) i n 驴+ 1 ( 1 ) ； ( 3 ) o n eo ft h ec l i f f o r dm i n i m a lh y p e m u r f a c e ss k ( 、：) s - k ( 、警) i n 酽“( 1 ) ，f o r = 1 ，2 ，n 一1 ； ( 4 ) ) t h ec l i f f o r dt o r u ss 1 ( r 1 ) xs 1 ( r 2 ) i ns 3 ( r ) w i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e 凰w h e r e r l ，吨= 2 ( 1 + h 2 ) 士2 凰( 1 + h 2 ) 1 2 j 一1 2 ，r = ( 1 + 俨一瞬) 一1 2 ，a n d0 o h h e r eo ( n ，日) ， a x ed e f i n e da 8i nt h e o r e m2 1 t h e o r e m3 2 l e tm ”b eac l o s e ds u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ehi n 8 n ( n + p ) 一d i m e n s i o n a lc o m p l e t ea n ds i m p l yc o n n e c t e dl o c a l l ys y m m e t r i cr i e m a n n i a n m a n i f o l d m + 9 ( p 3 ) w i t h 石p i n c h e dc u r v a t u r e ，i e ，6 k n 1 i ft h es q u a r e dn o r m o ft h es e c o n df u n d a m e i l t “f o r ms a t i s f i e s ( s - n 日2 ) 【( 2 5 1 ) 札一；s + ；n 日2 一端h ( s h - n h 2 ) 1 2 】 一- v 压。( 、1 6 ) n a ，2 日、，百_ 硒一；( p 一1 ) ( 1 6 ) v 丽s o ， t h e nm “i sc o n g r u e n tt oo n eo ft h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) ( 了再1 霹) ； ( 2 ) o n eo ft h ec l i f f o r dm i n i m a lh y p e r s u f f a c e s 驴( 、：) s ”( 警) i n 伊“( 1 ) ，f o rk = 1 ，2 ，n 一1 ； ( 3 ) t h ei s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c es - 1 ( 两1 斧) s 1 ( 渤) i np “( 1 ) ； ( 4 ) t h ec l i f f o r dt o r u ss 1 ( r 1 ) s 1 ( r 2 ) i ns 3 ( r ) w i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e 凰w h e r e r l ，f 2 = 2 ( 1 + h 2 ) 士2 h o ( 1 + h 2 ) 1 2 l 一1 2 ，r = ( 1 + h 2 一掰) 一1 2 ，a n d0 凰日； 6 ( 5 ) t h ev e r o n e s es u r f a c ei ns 4 ( 潇11 ) h e r e i sd e f i n e da si nt h e o r e m2 1 r e m a r k1 t h e o r e m2 1 t h e o r e m3 1a n dt h e o r e m3 2g e n e r a l i z et h em a i nt h e o r e m i n f 4 2 1 i nt h es e c o n d ，w es t u d ye i g e n v a l u ep r o b l e mo fl a p a l c e - b e l t r a m io p e r a t o ro nc o m p a c t r i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，a n dp r o v ea l li n e q u a l i t yf o rt h ef i r s tn o n z e r oe i g e n v a l u ew i t h r e s p e c tt om i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ng l o b a lr i e m a n n i a n g e o m e t r ya n dg e o m e t r i ca n a l y s i st oe s t i m a t et h el o w e rb o u n d sf o rt h ef i r s te i g e n v a l u e o fl a p a l e e b e l t r a m io p e a t o ri nt e r m so fg e o m e t r i ci n v a r i a n t s i n1 9 5 8 ，a l i c h n e r o w i c z s u c c e s s f u l l yp r e s e n t e dt h eo p t i m a le s t i m a t i o no f t h el o w e rb o u n df o rt h ef i r s te i g e n v a i u eo f l a p m c e b e l t r a m io p e a t o ro nc l o s e dr i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t hp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e ， i e l e tm “b ea nn - d i m e n s i o n a lc l o s e dr i e m a n n i a nm a n i f o l dw h o s er i c c ic u r v a t u r e s a t i s f y i n gr i c m n 一1 ，t h e nt h ef i r s tn o n - z e r oe i g e n v a l u ea l n i n1 9 6 2 ，m o b a t a p r o v e dt h a ti ft h ee q u a l i t yh o l d st h e nm ”i si s o m e t r i ct ou n i ts p h e r es “( 1 ) i n1 9 7 7 ， r r e i l l yp r o v e dt h a ti f f ”i sac o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hb o u n d a r yw h o s e r i c c ic u r v a t u r es a t i s f y i n gr i c m n 一1 ，a n dt h em e a nc u r v a t u r eo ft h eh y p e r s u r f a c e ni sn o n n e g a t i v e ，t h e nt h ef i r s td i r i c h l e te i g e n v a l u e 2 1 n ，a n di ft h ee q u a l i t yh o l d s t h e nm ”i si s o m e t r i ct ou n i th e m i s p h e r e 毋( 1 ) i n1 9 8 8 ，j e s c o b a ra n dc y x i a i d e p e n d e n d t l yp r o v e dt h a ti fm “i sac o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hb o u n d a r y w h o s er i c c ic u r v a t u r es a t i s f y i n g r i c m n 一1 ，a n dt h eh y p e r s u r f a c eni sc o n v e x ，t h e n t h ef i r s tn o n - z e r on e u m a n ne i g e n v a l u e ”l n ，i ft h ee q u a i i t yh o l d st h e nm ”i si s o m e t r i c t ou n i th e m i s p h e r e 碑( 1 ) i nt h i st h e s i s ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m4 1 l e tm “b ea l ln d i m e n s i o n a ic o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t ho r w i t h o u tb o u n d a r ya m ，a n di t sr i c c ic u r v a t u r es a t i s f i e sr i c m 竹一1 t h e n w h e r e q 一n q l c ( m ，0 ) g c m ，印= 戛 鬈：量裂。i ；：薹z 2 7 吲w ，目) 2 鲁u m 2 t a 叫v 砰+ 善缸 + 让2 ( 日一( 竹一1 ) t a no ) l d o m f z d m 一1 ， c 2 ( m 删2 鲁 z 。【2 c 刚i v 印+ 承； + z 2 ( 日c o t 2 目一( n 一1 ) c o t 目) d o m f f d m 一1 ， ，i sa n o n z e r oe i g e n f u n c t i o nw i t hr e s p e c tt or h ，z = ，1 8 ma n du = 筹l a 吖 r e m a r k2 t h e o r e m4 1g e n e r a l i z e st h er e s u l t sd u et ol i c h n e r o w i c z ，r e i l l y e s c o b a r ， x i aa n dc h e n g - l i y a u i nt h et h i r d ，w es t u d ye i g e n v a l u ep r o b l e m so fl a p a l c e b e l t r a m io p e r a t o ro nc o m p a c t r i e m a n n i a ns u b m a n i f o l d sw i t hr e s p e c tt om i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n w eo b t a i nt h e f o l l o w i n gi n t e g r a li n e q u a l i t y t h e o r e m5 1 i f m “i sa c o m p a c tr i e m a n n i a ns u b m a n i f o l dw i t ho rw i t h o u tb o u n d a r y o mi na l ln + p - d i m e n s i o n a li z i e m a n n i a nm a n i f o l dn “+ 9w h o s en - t hr i c c ic u r v a t u r e s a t i s f i e s n 一1 ，a n di f 竹a n dfa r ee i g e n v a l u ea n de i g e n f u n c t i o nr e s p e c tt ol a p l a c e b e l t r a m io p e r a t o rw i t hm i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n ，r e s p e c t i v e l y ，t h e n m 町- - n - - 2 n i l + sq - ：耥日( s - n h 2 ) 1 2 l v j 2 d m r a m d ( z ，盈，p ，t ，叩) d a m ， w h e r et h ed e f i n i t i o no fd ( z ，z ，口，乜，q ) c a r lb es e e ni np a g e1 6 f i n a l l y , w eo b t a i na nl o w e rb o u n df o rt h ef i r s te i g e n v a l u eo fc e r t a i nr i e m a n n i a ns u b m a n i f o l d sw i t hr e s p e c tt om i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n ，a n dp r o v et h ef o l l o w i n g t h e o r e m5 2 i fm “i sac o m p a c tr i e m a n n i a ns u b m a n i f o l dw i t ho rw i t h o u tb o u n d a r y i na n 礼+ p - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l dn “+ 9w h o s e 礼一t hr i c c ic u r v a t u r ei sn o t l e s s t h a nn 一1 ，a n d i f s 元，t h e n 啦。丽一而+ 丝绦锚半， w h e r e ，i st h ee i g e n f u n c t i o nr e s p e c tt o 卵1 ，a n dt h ed e f i n i t i o no fd ( z ，盈，口乜，”) c a nb e s e e ni np a g e1 6 r e m a r k3 t h e o r e m5 , 1a n dt h e o r e m5 2g e n e r a l i z et w ot h e o r e m si n 【3 0 】a n df 4 5 】 前言 本文着重研究流形上l a p l a c e b e l t r a m i 算子特征值的混合边值问题与子流形的几何 刚性问题全文共分五章 设m ”为n + p 维单位球面s n 押中n 维紧致连通子流形，h 为m n 的第二基本形 式，s 为h 的模长平方由g a u s s 方程知 s = n ( n 一1 ) 一r + n 2 日2 其中r ，h 分别为数量曲率与平均曲率 1 9 6 8 年，j s i m o n s 3 7 运用b o c h n e r 技巧证明了著名的s i m o n s 剐性定理t 定理a ( s i m o n s 3 7 ) 设m ”为竹+ p 维单位球面伊+ ，中n 维紧致极小子流形若 s 寿， 则s 三0 ，即是全测地的大球面；或s 兰拦n 再- 1 9 7 1 年，c h e r n - d oc a r m o - k o b a y a s h i 1 0 进一步证明：若单位球面s ”押中扎维紧致 极小子流形m “满足s 若= t ，则吖“或为全测地子流形p ；或为s 4 中的v e r o n e s e 曲面；或为s 叶1 中的c l i f f o r d 超曲面s k t 。i 。k ，x p _ ( 、4 ) ，k = 1 ，2 ，n 一1 与此同时，h b l a w s o n 1 7 也独立的研究了特殊情形p = 1 时流形的几何分类 之后，沈一兵 3 4 l ，李安民，李济民【1 9 】等学者成功地将上述问题中的p i n c h i n g 常数 改进为m a x 孚，i = ：= t ，推而广之，m o k u m u r a ，s t y a u 等学者先后研究了球面中平 行平均曲率子流形的s i m o n s 型刚性问题，并获得部分结果1 9 7 3 年。m o k u m u r a 2 7 1 获得了如下结果：设m “是具有非负常衄率c 的r i e m a n n 流形”1 中常平均曲率的紧 致浸入超曲面，若s 1 ) 中n 维紧致的平行平均曲 率子流形若m “的第二基本形式的模长平方s 满足s 3 + n 1 1 2 卫- - ，- - 1 ) - 1 ，则m “包含在 s ”的一个全测地子流形铲+ 1 之中 文献【4 4 】将上述问题中的p i n c h i n g 常数改进为m 伽 矗孙，弱穗荫) 在此基础上， 许洪伟【4 2 】于1 9 9 3 年完整地证明了下述球面中平行平均曲率子流形的刚性定理 定理c ( x u 4 2 1 ) 对于给定的常数h 0 以及正整数礼( 2 ) ，p ，存在一正数g ( n ，p ，日) 满足：如果m “是标准的单位球面s “+ p ( 1 ) 中平行平均曲率为日的闭子流形，并且第二 9 基本形式的模长平方s 满足 s g ( n ，p ，日) ， 则m “必为下述情形之一： ( 1 ) 驴( 了南) ( 2 ) s - “( 1 ) 中的等参超曲面铲_ 1 ( 7 嚣1 率) s 1 ( 志) ， ( 3 ) 伊“( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面铲( ：) s ”2 ( 学) ，k = 1 ，n 一1 ， ( 4 ) 常平均曲率为凰的s 3 ( r ) 中的c l i f f o r d 环面s 1 ( r 1 ) s 1 ( r 2 ) ，其中r l ，r 2 = 【2 ( i 十 日2 ) 士2 h 0 ( 1 + 日2 ) 1 2 r 1 2 ，r = ( 1 + h 2 一h 0 ) 一1 2 ，并且o s h os h ， ( 5 ) s 4 ( 订军1 膏i ) 中的v e r o n e s e 曲面， 其中a 与g ( 仉p ，h ) 定义如下 ：! 望z ! ! 坚：! f 竺二生 2 ( n 一1 ) 咖罔3 蒜京。硼，嚣浆尝嚣 其中 。( 咖) = n + 焉丽n ( n - 可2 ) h 归两丽可 1 9 9 4 年，a l e n c a r d oc a r m o 1 】也独立地研究了特殊情形p = 1 时s n + 1 ( 1 ) 中常平均 曲率超曲面的刚性定理一个饶有兴趣的问题是如何将上述刚性定理推广到局部对称的 6 一拼挤黎曼流形中平行平均曲率子流形的情形本文第二章与第三章完整地解答了这一 问题 本文第二章研究了局部对称的d 一拼挤黎曼流形中常平均曲率超曲的刚性问题，证明 了下述结果 定理2 1 设m “为n + 1 维完备单连通的局部对称黎曼流形“+ 1 中具有常平均曲率 日的闭超哝面，且1 的截面曲率满足d k 1 若第二基本形式模长平方满足 ( s n 日2 ) 【盘( n ，h ) 一s 一2 n ( 1 一d ) l 一；( 1 一d ) n 3 2 hs s z - n h 2 0 ， 则m “必为下述情形之一： ( 1 ) 全脐子流形； ( 2 ) s - + 1 ( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面s ( 、：) s ”( 警) ，k = l ，2 ，n 一1 ； 1 0 ( 3 ) s ”1 ( 1 ) 中的等参超曲面s n “( 了f b ) s 1 ( 了：舞) 其中a ( n ，日) ，a 如定理c 所定义 特别地，当d = 1 时上述结果即为定理c 中p = 1 的情形( 【l l ， 4 2 1 ) 本文第三章将定理2 1 的结果推广到高余维情形，得到如下定理 定理3 1 设m “为礼+ 2 维完备单连通的局部对称黎曼流形2 中n 维闭的平行 平均曲率子流形，且| v ”2 的截面曲率满足d k ns1 若第二基本形式模长平方满足 ，嚣“ ( s n h 2 ) 【o ( n ，4 ) 一s 一2 礼( 1 一占) l 一：( 1 一j ) 礼3 2 日。、暑二了矗f 一：( 1 一j ) 、丽_ ：1 s 0 ， u 则m “必为下述情形之一t ( 1 ) 全脐子流形； ( 2 ) s - “( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超雌面s k ( 、：) 伊_ 膏( 、警) ，k = 1 ，2 ，n 一1 ； ( 3 ) 铲( 1 ) 中的等参超曲面p - 1 ( 赤) s 1 ( 了本事) ； ( 4 ) 常平均曲率为编的s 3 ( r ) 中的c l i f f o r d 环面s 1 ( r 1 ) s 1 ( r 2 ) 其中r l ，他= 2 ( 1 + h 2 ) 士2 4 0 ( 1 + 日2 ) 1 2 】一1 2 ，r = ( 1 + 4 2 一哪) 一1 2 ，并且0 h o h 其中o ( n ，h ) ，a 的定义同定理c 定理3 2 设m ”为n + p 维完备单连通的局部对称黎曼流形叶9 ( p 3 ) 中n 维 闭的平行平均曲率子流形，且”p 的截面曲率满足6 硒s1 若第二基本形式模 长平方满足 ( s - n 4 2 ) ( 。卜舻3 和一蔫啬日( s h - - n h 2 ) l ，2 一雩( 1 叫2 日廊一；( p - 1 ) ( 1 叫而习独 则m 必为f 述情形之一： ( 1 ) 全脐子流形j ( 2 ) 伊“( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面铲( 、：) s , - k ( 、譬) ，k = 1 ，2 ，n 一1 ； ( 3 ) 铲+ 1 ( 1 ) 中的等参超曲面扩。( 洳) s 1 ( 了寿帚) ； ( 4 ) 常平均曲率为毛的s 3 ( r ) 中的c l i f f o r d 环面s 1 ( r 1 ) s 1 ( r 2 ) 其中r l ，r 2 = 2 ( 1 + h 2 ) 4 - 2 4 0 ( 1 + h 2 ) 1 2 1 1 2 ，r = ( 1 + 日2 一墙) 一1 2 ，并且0 s h o s 日； ( 5 ) s 4l 罚霸1 ，) 中的v e r o n e s e 曲面 其中 的定义同定理c 特别地，当d = 1 时定理3 1 、定理3 2 化简为定理c 中p 2 的情形( 4 2 j ) 1 1 黎曼流形上l a p l a c e b e l t r a m