（基础数学专业论文）广义纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广.pdf

广义纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广 广义纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广 研究生：张新 指导教，师：谢琳 学科专业：基础数学 摘要纤维分离条件在t o j 名范畴( 对象是以口为基的纤维拓扑空问，对于对象 ( x ，p ) ，( e q ) 它们之间的态射是连续映射垂：x y ，满足p = q 。圣) 中l 有重 墨的地位，有一些有趣的性质即t 0 岛范畴- i 的两个对象之间的态射满足一定 条件时保持( 逆保持) 纤维分离条件本文结合r d 尸b 范畴中已有的性质讨论了在 丁。只范畴( 对象足不同底的纤维拓扑空问，对于对象( x ，) ，( r 9 ) ，它们之削的 态射是连续偶 ，a ) j 满是a 。，= go 卿中的态射满足什么条件时仍能保持( 逆 保持) 纤维分离条件主要内容有： 1 、态射( 垂a ) ，西是开且闭的连续纤维满射，a 是开的连续映射时，保持纤维 风性，纤维正0 = 0 ，1 ，2 ) 怿纤维( 完全) 正则性，纤维( 函数) 正规性 2 、态射( 壬，a ) ，圣是开的连续纤维满射， 是连续映射时，逆保持纤维r o 性， 纤维( 完全) 正则性；圣是闭的连续纤维单射， 是连续映射时，逆保持纤维( 函数) 正规性 关键词t o p 口范畴；t o p 范畴；纤维r o ；纤维丑( i = o ，1 ，2 ) ；纤维( 完全) 正则； 纤维f 函数) 正规 1 前言 l1 问题的提出 纤维拓扑空间是以某一拓扑空间为基的当基空间只有点时纤维拓扑空 问理论就是般拓扑学理论了以拓扑空间b 为基的纤维拓扑空问是偶( x p ) ， 1 广叉纤维拓扑范畴申纤维分离条件的推广 其中x 是拓扑空间，p ：x b 是连续映射，x 上的纤维拓扑是使p 连续的任 意拓扑最粗的拓扑是由p 导出的，即x 的每个开集是口中开集的逆象例费l ： 对于任意拓扑审间r ，b 和t 的拓扑乘积b t 就可以看作是以b 为基的纤维 拓扑空间早在两个世纪以前，础e m & n n 就已经提出了纤维拓扑的思想但是直 到上个世纪三十年代，h u r e w i c z 研究纤维空问时才发展了这一理论再晚些时候， w h i t n e y 研究纤维丛时发展了纤维观点，于是在他们研究的基础上产生了现代纤 维拓扑理论w h y b u r e 是第一个采用纤维观点的拓扑学家，接着w h y b u r e 前面的 i i 作之后，c a i n 1 1 和其他人又做了些1 作，包括p a s y n k o v 2 1 和他往前苏联的学 生b o o t h 和b r o w n 3 ，【4 】第一次在纤维映射空间构造了令人满意的纤维拓扑最 近，b o o t h - b r o w n 拓扑已被l e w i s 恢复f 5 1 在纤维拓扑空间- h 许多概念都是一般 拓扑守间中重要概念的纤维对应在某些情况f ，纤维拓扑宁问具有的特殊性质等 价于它的每个纤维具有这些性质但是大多数情况下，这种等价性是不存在的于 是就要求基空问上的拓扑起到定的作用例如：以b 为基的纤维拓扑空问x 是 纤维闭的，若p ：x 一口是闭的 许多著名的数学家部对研究纤维拓扑空间有很大的兴趣，得出诲多重要的结 果，参见f 6 】一1 1 1 i m ，j a m e s 在1 9 8 7 年对纤维拓扑空间理论进行了系统的整理 1 2 1 在f 1 2 1 的前半部分，i m j a m e s 详细地阐述了纤维拓扑空间的来源给 h 了纤 维拓扑空间中纤维分离条件的许多重要性质但这些性质只是同底纤维拓扑空问具 有的我们自然会想到小同底的纤维拓扑空问2 间是告仍具有这些性质? 又若具有 这些性质，纤维映射对底空间的映射要求满足什么条件? 这就是本文要讨论的问题， 1 2 文章结构与内容简介 除前言外，文章分成五部分 第一节介绍了f 文中一些符导的含义以及必要的预备知识 本文主要是对纤维拓扑范畴中的纤维分离条件的性质的推广，所以第_ 、_ = _ 三， 四，五节分别先简单地列举了在同底纤维拓扑空问范畴中两个对象( x ，力，( g ) 之间的态射垂保持( 逆保持) 纤维凰性，纤维正0 = o ，1 ，2 ) 性，纤维( 完全) 正则 性，纤维( 函数) 止规性所满足的条件然后具体地讨论了在不同底幺t 维拓扑空间范 畴中壬满足同样的条件时，两个底之间的映射麻满足什么条件才能保持( 逆保持) 2 广义纤堆拓扑范畴中纤维分离条件的推广 这些纤维分离条件 2 预备知识 令b 是一基集，咀b 为摹的纤维集是一偶( x ，p k 其t ：x 是任意集，p ：五一 b 称为投射对_ r 仔意点b b ，x 的子集虬= p _ 1 ( b ) 称为纤维纤维有可能是 空的，因为并不要求p 是满射对于任意b 的子集b ，x 的子集x 口，= p - 1 b 称 为以b 为基的纤维集 令b 是一给定的拓扑空问，x 是以b 为基的纤维集若x 上的拓扑使得 p ：x b 是连续的，则称x 上的拓扑为纤维拓扑以口为基的纤维集及其上的 纤维拓扑构成以b 为基的纤维拓扑空间 x ，y 是以b 为基的纤维拓扑空问，p ：x b ，q ：l ，一口是连续映射圣 是x 到l ，的映刳若西是连续的且满足qo 壬= p 则称垂为x 到y 的一个连 续纤维甬数以以b 为基的纤维拓扑空问为对象，以连续纤维函数为态射构成一个 范畴，称为纤维拓扑范畴，记为t o 尸h 范畴同样以小同基的纤维拓扑空间为对象， 以连续映射为态射也构成一个范畴，我们称为广义纤维拓扑范畴，记为f d 只范畴 现在我们给出t o f i 口范畴中的一些概念，对于更多的细节可以参考【1 2 j 如无特殊声明本文所讨论的空间都是指拓扑空间，映射都是连续的，邻域都是 开邻域 定义2 1x ，y 是以b 为墓的纤维拓扑空间，西：x y ，若对于任意点 x b ，b b ，垂( z ) 的邻域y 的逆像垂_ 1 是z 的邻域，别称圣是连续的 定义2 ，2x ，y 是以b 为基的纤维拓扑空间，垂：x y ，若对于任意点 茁噩，b b ，x 的邻域矿的像垂【y 】是壬仕) 的邻域，则称圣是开的 定义2 3x 是以b 为基的纤维拓扑空问，若投射p ：x b 是闭( 开) 的， 则称x 是纤维闭f 开) 的 定义24 若映射s 是投射p 的连续右逆，即p os = i d ，则称s 是p 的截豳 定义25x 是以口为基的纤维拓扑空间，若对每个点若z 甄，b b ，存 在b 的邻域w ，截面s ：w x w 满足4 5 ) = o ，则称x 是局部切片的。 定义2 6x 是以口为基的纤维拓扑空间，若对每个点o ，b b ，o 的 3 广义纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广 任意邻域v ，存在b 的邻域w 满足x wn 知 v ，则称x 是纤维风的。 定义2 7x 是以口为基的纤维拓扑空问，对于任意曲点z ，3 2 咒，be b ，z z ，称x 是纤维正的，z = 0 ，1 ，2 若x 分别满足以下条件： i = 0 ：至少存在z 或z 。的一个邻域不含有另外一个点； i = 1 ：o ，2 分别存存一个邻域不含另外一个点： i = 2 ：z ，z 有不交的邻域 是的纤维拓扑空问也称为纤维h a u s d o r f f 的，以b 为基的纤维拓扑空问，x 是纤维正( i = 0 ，1 ) 的，等价于任意z x ，纤维p - 1 z 是噩( z = 0 ，1 ) 的，但是这 种情况却不适用于纤维正空间 定义2 8x 是以b 为基的纤维拓扑空间，若对于任意两点o ，z x b ，b b ，z 茹，存在b 的邻域，连续函数a ：x w _ ，满足乜( z ) = 0 日a ( z ) = 1 ， 则称x 是纤维函数马的 定义2 9x 是以b 为基的纤维拓扑空间，若对每个点z x b beb ，3 2 的 任意邻域y ，存在b 的邻域w ，。的邻域u ，u c x ，满足x w n 可c v ，则称x 是纤维正则的 定义2 1 0 x 是以b 为基的纤维拓扑空闸，若对每个点z x b ，b b ， z 的任意邻域y ，存存b 的邻域w ，连续幽数n ：x w j ，满足a 仕) = 1 目 a ( z ) = 0 ，z 毛y ，则称x 是纤维完全正则的 定义2 1 1x 是以b 为基的纤维拓扑空间若对任意b b ，x 的任意两个 不交闭集日，k ，存在6 的邻域w ，x w n h ，x w n k 的不交邻域矿v c x w 则 称x 是纤维正规的 定义2 1 2x 是以b 为基的纤维拓扑卒间，若对任意b b ，x 的任意两 个不交闭集日，k ，存在b 的邻域，连续函数d ：x “，_ f 满足n c z ) = 0 ，z x w n h 且a ( ) = l ，y x w n k ，则称x 是纤维函数正规的 定义2 1 3a ，b 是x 的子集( n ) 在ucx 内邻域分离，( b ) 在ucx 内函 数分离的若集a nu 和b n u ，( n ) 在u 内有不交邻域，( b ) 在u 内是函数分离 的( 即存在连续函数西：u 一【o ，l 】满足a n u 垂_ 1 ( o ) ，b n u c 圣。( 1 ) ) 命题2 1 x ，y 是以口为基的纤维拓扑空问，壬：x _ y 是开且闭的 纤维满射，d ：x 一+ r 是连续的实值函数、日n 存x 的每个纤维r 都有界则 广义纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广 口：y r 是连续的记 卢( 口) = s u po ( 9 e e m 一1 ( 1 ) 证明：( 证明卢在任意点y y 是连续的) 任取 0 蚓为在每个点 z 圣一1 ( ) 是连续的，所以存在。的邻域巩满足 o p o ( z ) 一； q ( 荨) d ( z ) + ； f 显然每个x 西- 1 ( ) 的邻域以的并集u 是壬- 1 ( 9 ) 的邻域圣是闭的，所以 存在y 的邻域v 满足壬- 1 vcu 若叩v ，有卢( 叩) 。( ) + ；，垂一( 叩) ， 于是。( 亭) d 如) + ；，。垂一1 ( 可) ，从而卢( 叩) n ( 茁) + 卢( 掣) + e 另一边 卢( ”) 一； d ( z ) ，z 圣一1 ( _ 于是吐( z ) 一； a 嬉) ，尊巩，从而卢( 掣) 一e 。( ) 卢。垂 ) 所以若叶v n 垂巩，有 f l ( y ) 一e 纤维完全正则的，( c ) 纤维正则且纤维矗的，( d ) 纤维完全正则且纤维蜀的， 则y 分别是( a ) 纤维正则的，( b ) 纤维完全正则的，( e ) 纤维噩的，( d ) 纤维函数是 的；( i i i ) 圣：x y 开的连续纤维满射，若y 是( a ) 纤维正则的，( b ) 纤维完全正则 的，则x 分别是( a ) 纤维正则的，( b ) 纤维完全正则的下而讨论在t o 只范畴中 两个不同底的纤维拓扑空问仍要满足这些性质时，两个底之间的映射应该满足的条 件 5 1 纤维正则性 命题5 1 1x 是纤维正则的任意点x x b ，b b ，x 的闭予集f z 毛f ， 存在b 的邻域w ，满足集 z ) ，f f 在x 内是邻域分离的 证明：( 辛) 任意z x b ，b b ，f 足x 的闭子集且z 毛f ，则x f 是z 的个邻域，x 是纤维正则的，所以存在b 的邻域w ，z 的邻域u x 满足 x n u c x f ，于是f c x ( x w n u ) 所以x w n ( x ( x wn ) ) ，u 是 f n x w ，f z n x w 在x w 内的刁i 交邻域所以扛 ，f 在x 内是邻域分离的 1 1 广义纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广 ( # ) 任意z x b ，b b ，v 是z 的任邻域，则x y 是x 的闭子 集且z 毛x y 所以由题设存在b 的邻域w ，满足忸 ，x v 在x w 内是 邻域分离的，即在x w 内，x wn ( x y ) ，x n z ) 有不交邻域以f 从而 x ，n ( x v ) cx f ，所以x vcx f 。j 堤x n fcv 所以x 是 纤维正则的 命题5 ，1 2 ( x ，b ) ，( f d ) o b ( t o 只) ，( 垂，a ) h o m ( x ，y ) ，其中母：x y 是纤维嵌八映射， ：b d 是连续的单射或嵌入映射若y 是纤维正则舶，则 x 是纤维正则的 证明：任取。x b ，b b ，v 是x 的任一邻域，a ( b ) = dv = 垂- 1 v 1 ，y 是x 。= o ( x ) h 的邻域因为y 是纤维正则的，所以存在d 的邻域w ，x 的邻 域u ，u cl k ，i - 蔫h 1 钰，n 百fcv 垂，a 连续，所以a - 1 】= w 是b 的邻 域，矿= 垂o 【u 1 是z 的邻域而 x n 可c 圣一1 k p ，n 面而co - 1 v = v 所以x 是纤维正则盼同理可证当a 是嵌入映射时结论仍成立， 命题5 1 3 ( x ，b ) ，( d ) o b ( t o 只) ，( 垂，a ) h o m ( x ，l ，) ，其中垂：x y 是开且闭的连续纤维满射，a ：b d 是连续映射若x 是纤维正则的，则y 是纤维正则的 证明：任取y k ，d d ，v 是任意邻域，取b a - 1 ( ，z 圣_ 1 ( ) ，x 兄，从而u = 垂。y 是。的邻域因为x 是纤维i e ) j 的，所以存在b 的邻域矿， z 的邻域u ，满足x wn ，cu a 是丌的，所以w = a w 】是d 的邻域，而 0 ，n 圣【u 】c 西【x n u 】c 量f u 】c 所以y 是纤维正则的 命题5 1 4 ( x ，b ) ，( k d ) o b c c o p ) ，( 雪，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中垂：x y 是开的连续纤维满射，a ：b d 是连续映射或嵌入映射若y 是纤维正则的， 则x 是纤维正则的 证明：任取。噩，b b ，v 是z 的任一邻域从而u = 西【卅是y = 垂( z ) 的邻域因为y 是纤维正则的，所以存在d = a ( b ) 的邻域w + ，y 的邻域u ，满足 1 2 广义纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广 0 ，n 旷cu 因为中， 是连续的，所以w = 3 , - 1 【】是b 的邻域，v = 西一1 u 是x 的邻域，而 x w n 矿c 圣一1 【】o ，n _ c 垂一1 u = v 所以x 是纤维正则的同理可证当a 是嵌入映射刚结论仍成立， 命题5 1 t 5 ( x ，口) ，( y d ) o b ( t o 只) ，( 垂，a ) h o m ( x ，y ) ，其中垂：x + y 是开且闭的连续纤维满射， ：b d 是开的连续映射若x 是纤维正则且纤 维的，则y 是纤维如的 证明：任意弘k ，d d ，y y + 取bea d ，z 垂y ，x 圣- 。y x x + ，z ，x x 是纤维正则日纤维矗的，所以由命题2 2 得x 是纤维正 的从而存在茁，z 的不交邻域k v 西是开的，所以西【y 】，垂【矿】是y ，的不交 邻域，所以y 是纤维噩的 5 2 纤维完全正则性 命题5 2 1x 是纤维完全正则的甘任意点z x b ，b b ，x 的闭子集 e z 喜f 存在b 的邻域满足集伽，f 在x w 内是函数分离的 证明：( = ) 任意o x b ，b b ，f 是x 的闭子集且z g f ，则x f 是x 的 一个邻域x 是纤维完全正则的，所以存在b 的邻域w ，连续函数o z ：x w 一， 满足a ( x ) 三1 ，n ( z ) = 0 ，z 己x w7 1 ( x f ) 即( z ) = 0 ，z x wn f 所以 茁) n x wcn _ 1 ( 1 ) ，- f n x ca 一( o ) 所以集忙k f 在x w 内足函数分离的 ( 仁) 任意z 墨，b b ，v 是z 的任一邻域，则x v 是x 的闭子集且 x e x y 从而由题设存在b 的邻域，满足 z ，x v 在x w 内是函数分离的， 即存在连续函数：x 一j 满足 z n x cn - 1 ( 1 ) ，( x y ) n x c o _ 1 ( 0 ) ， 从而口扛) = 1 ，d ( z ) = 0 ，z ( x y ) n x w ，即n ( z ) = 0 ，茁g x wn v 所以x 是纤维完全正则的 命题5 2 2 ( x ，b ) ，( r d ) o h ( t o 只) ，( 圣，a ) h o m ( x ，y ) ，其中圣：x y 是纤维嵌入映射， ：b d 是连续的满射或嵌入映射，若y 是纤维完全正则 的，则x 是纤维完全正则的 1 3 广义纤维拓扑范畴中纤维分离奈件的推广 证明：任取z x b ，b b ，v 是x 的任意邻域，a ( b ) = d d ，从而 v = 垂。以u 是z4 = 酬z ) 的邻域，z k ，d d 因为y 是纤维完全正则的， 所以存在d 的邻域，连续函数d ：y * ，_ j 满足n 。m ( z ) = 1 ，o ( 掣) = 0 ，y 毛u 连续，所以w = a - 1 w 1 是b 的邻域记卢= no 圣：x w _ ，卢是连续的且 满足口 ) = 1 ，卢( 9 ) = 0 ，y v 所以x 是纤维完全正则的同瑚可证当a 是嵌 入映射时结论仍成立 命题5 ：2 3 ( x ，b ) ，( k d ) o h ( t o 只) ，( 壬，a ) h o m ( x ，y ) ，其中垂：x y 是开且闭的连续纤维满射，a ：b d 是升的连续映射若x 是纤维完全l e 则 的，则y 是纤维完全正则的， 证明：任取”k ，d d v 是y 的任意邻域取b a - 1 ( d ) ，z 壬- 1 ( ) ， 则u = 西- 1 v 是z 甄的邻域因为x 是纤维完全正则的，所以存在b 的邻 域，连续函数o ：x w _ ，满足d ( o ) = l ，口防) = 0 ，茁。g u a 是开的，所以 w = a 【】是d 的邻域m 命题2 1 可得一连续函数卢：矗r 一，满足卢( ) = 1 ， 卢( 。) = 0 ，g4 巨m 所以y 是纤维完全j e 则的 命题52 4 ( x ，b ) ( f d ) o h ( t o p ) ，( 雪，a ) 日o m ( x ，y ) ，其中圣：x y 是开的连续纤维映射，a ：b d 是连续的满射或嵌入映射若y 是纤维完全 正则的，则x 足纤维完全正! j i j 的 证明：任意z x b ，b b ，v 是z 的任意邻域从而v = 圣 是y = 垂( z ) 的邻域，因为y 是纤维完全正则的，所以存在d = a ( 6 ) 的邻域，连续函数 q ：，w ，_ ，满足o ( ) = 1 ：口( p ) = o ，可g v a 连续，所以w = a - 1 w 】是b 的邻域记卢= o 。垂：x w 一，卢是连续的且满足卢( z ) = 1 ，卢( z ) = 0 ，z 毛y 所以x 是纤维完全正则的同理可证当a 是嵌入映射时结论仍成立 命题5 2 5 ( x ，b ) ，( r d ) o h ( t o 只) ，( 壬，a ) h o m ( x ，l ，) ，其中壬：x y 是开且闭的连续纤维满射，a ：b d 是开的连续映射着x 是纤维完全正则 且纤维死的，则y 是纤维丽数正的 证明：任意y ，y ，d d ，y y 取b a d ，中y ，z 西- 1 封 z z ，z ，z x b ，x 是纤维完全正则且纤维蜀的，所以由命题23 得x 是纤维函 数正的从而存在b 的邻域，连续函数o ：x w _ ，满足o ( z ) = 1 ，n ( z ) = 0 a 是开的，所以a f 1 = w 是d 的邻域由命题2 1 得一连续函数卢： 品，一， 满足p ( f ) = 1 ，卢( ) = l ，所以y 是纤维函数噩的， 广叉纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广 6t o 只范畴中的纤维正规性 纤维正规分离条件是比纤维正则分离条件更强一些的分离条件是两个不交 闭集的分离在分离性l t ，纤维风，纤维正“= 0 ，1 ，2 ) ，纤维正则性都具有遗传性， 即纤维拓扑空问具有这些性质时，它的子空间也具有这些性质而纤维正规性不具 有遗传性 例x = ( r ，r ) ，t = ( 一o o ，n ) i o 。兰a + o 。 ，b 是单点空间在( r ，r ) 中任何两个非空闭子集都相交，因此若a 与b 是不相交的闭集则其中有一必为 空集：设b = d 于是r 与。是它们的不变邻域，所以x 是以b 为基的纤维正规 卒间但其子空间( x ，h ，) x = l ，2 ，3 ) t x ，= f 1 ，2 ) ， 1 ，3 ) ， 1 ) ，o ，x l 不 是以b 为基的纤维正规空间因为x 的闭子集 2 ，f 3 没有不相交的邻域， 虽然纤维正规空间的一般子空阅不再具有纤维正规性，但其闭子空间仍具有 纤维正规性，于是有性质x y 是以b 为基的纤维拓扑空问，西：x y 足闭的纤 维嵌入映射，若y 是纤维正规的，则x 是纤维正规的，f 1 2 】 纤维正规分离条件在t d j 名范畴中也存在一些和纤维正则分离条件相似的性 质，【1 2 】例如：x ，y 是以b 为荩的纤维拓扑窄问( i ) 垂：x y 是闭的纤维嵌入 映射，若y 是纤维函数正规的，则x 是纤维函数正规的；( i i ) 西：x y 闭的连续 纤维满射，若x 纤维正规的，则y 是纤维正规的；( i i i ) 垂：x y 是闭的连续纤 维单射，若y 是( a ) 纤维正规的，( b ) 纤维函数正规的，则x 分别是( a ) 纤维正规 的，( b ) 纤维函数正规的_ i v ) 垂：x y 开且闭的连续纤维满射，若x 是纤维函数 正规的，则y 是纤维函数正规的t 0 只范畴是t 0 岛范畴的推j ，那么在t 0 只 范畴中两个不同底的纤维拓扑守间仍要满足这些性质，要求砥个底之间的映射应该 满足引么条件? 6 1 纤维正规性 命题6 1 1x 是纤维正规的甘任意点b b x 的闭子集a 和a 的邻域矿， 存在b 的邻域w ，a 的邻域以u c x ，满足x w n 可c v 证日j j ：( 号) 任意点b b ，x 的闭子集a ，v 是a 的邻域于是a ，x y 是x 的不交闭了集x 是纤维正规的，所以存在b 的邻域w ，x w n a ，x w n ( x v ) 的 1 5 广叉纤维拓扑范畴申纤维分离条停的推广 不交邻域以f x w 从而x w n ( x v ) c x w y ，于是x w n ( x v ) c x u 所以x w n u c v ( = ) 任意b b ，h ，是x 的不交闭子集，于是x k 是日的邻域所 以由题设存存b 的邻域w ，日的邻域玑ucx w ，满足x w n 可cx k 从而 kc x ( x w n c ，) 进而x w n k c x w n ( x ( x w n 秒) ) 而x w n ( x ( x w n u ) ) 与u 不相交所以它们是日，k 在x w 内的不交邻域所以x 是纤维正规的 命题6 1 2x 是以b 为基的纤维拓扑空间，若x 是纤维正规且纤维正的， 则x 是纤维正则的 证明：任意z j ，b ，b b ，f 是x 的闭子集且z 毛f x 是纤维噩的，所 阻知l ，f 是x 的不交闭子集又x 是纤维正规的，所以存在b 的邻域， x n z ：x w n f 的不交邻域u vc x 所以扛) ，f 在x w 内是邻域分离 的，所以由纤维正则的等价命题得x 是纤维正则的 命题6 1 3 ( x ，曰) ，( d ) eo b ( t o p ) ，( 垂，a ) h o m ( x ，y ) ，其中西：x y 是闭的纤维嵌入映射，a ：b d 是连续的满射或嵌入映射若y 是纤维正规 的，则x 是纤维止规的 证明：任取b b ，h ，k 是x 的不交闭了集，d = a ( b ) d 西是闭的， 西f 日1 ，蛋【k 】是y 的不交闭子集因为y 是纤维正规的，所以存在d 的邻域w ， l ，rn 垂阻 ， 0 r n 西i k 】的不交邻域配vck r 垂，a 连续，所以w = a - 1 i t 矿。】 是b 的邻域，垂o 垂- 1 v 是x w n 日，x n k 的不交邻域，垂- 1 “垂一1 vc x w ， 所以x 是纤维正规的同理可证当a 是嵌入映射时结论仍成立 命题6 ，1 4 ( x ，b ) ，( d ) o h ( t o 只) ，归，a ) t l o m ( x ，y ) ，其中垂：x y 是闭的连续纤维满射，a ：b d 是开的连续映射若x 是纤维正规的，则y 是纤维正规的 证明：任取d d ，h ，k 是y 的不交闭子集取6 1 1 ( d ) 壬- 1 日，圣- 1 k 是 x 的不交闭子集因为x 是纤维正规的，。所以存在b 的邻域w ，x n 壬h ，x w i - i 垂_ 1 k 的不交邻域以vcx wa 是开的，所以w = ：q w l 是d 的邻域巾是 闭的，所以圣 x 一己1 ，圣【x 一卅是闭的所以 】o 一中【y 一明，y 0 一一壬 x w y 】 在k ，r 内是开的从而是日，k 的不交邻域，所以y 是纤维正规的 面讨论了圣：x y 是开的连续满射时逆保持纤维正则性即若x 是纤 1 6 广义纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广 维止则的，则】，也是纤维正则的但巾不逆保持纤维正规性 例拓扑空间( x ，- t x ) x = ( z ，蚺z t x = “z ，掣 ， 。，。 。( z j g ，x ，拓扑 空间( f 印) ，y = o ，6 ) t y = “o ) ，巧，y ) 拓扑空间b = e 是单点空间 圣：x _ y 西( z ) = 壬( 掣) = ，壬( z ) = b 显然西是开的连续满射虽然y 是纤维 正规的，但x 不是纤维正规的，因为 讣， 2 ) 是x 的不交闭子集，但它们没有不 相交的邻域 命题6 1 5 ( x ，b ) ，( k d ) o b ( t o 只) ，沁， ) i t o m ( x ，l ，) ，其中中：x y 是闭的连续纤维单射，a ：b d 是连续映射或嵌入映射若y 是纤维正规的， 则x 是纤维正规的 证明：任意b b ，e k 是x 的不交闭了集于是雪【日】，中f 1 是y 的 不交闭子集因为y 是纤维正规的：所以存在d = a ( 的邻域i ，0 ，n 垂【日】， ，w ，n 圣【k 】的不交邻域以vc 靠，圣，a 连续，所以w = a - 1 【】是b 的 邻域西一日，西_ 1 k 是x n h ，x w n k 的不交邻域西h ，垂一1 k c x ，所以 x 是纤维止规的同理可证当a 是嵌入映射时结论仍成立 命题6 1 6x ，y 是口为基的纤维拓扑空间西：x y 是丌的连续纤维满 射若x 是纤维正规且纤维正的，则y 是纤维正则的 证明：任意y k ，b b v 是y 的任意闭子集，订e y 取z 雪y ，o 咒，f = 垂_ 1 v 。是x 的闭子集且z 毛f x 是纤维五的，所以 z ，f 是x 的两 个不交闭子集x 是纤维正规的，从而存在p 的邻域，x w n z l ，x w n f 的不 交邻域u v c x w 从而母【矿】，壬【矿】是y ，v + 在y w 内的不交邻域即 掣 ，v 在 订内是邻域分离的所以由纤维正则的等价命题可得y 是纤维正则的 命题6 1 7 ( x ，b ) ，( d ) o b ( t o p , ) ， ，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中垂：x y 是开的连续纤维满射， ：b d 是开的连续映射若x 是纤维正规且纤维乃 的，则y 是纤维正则的 6 2 纤维函数正规性 命题6 2 1x 是以b 为基的纤维拓扑空间，若x 是纤维函数正规且纤维正 的，则x 是纤维完全正则的 证明：任意t x b ，beb ，f 是x 的闭子集且。毛f ，x 是纤维正的，所以 1 7 广义纤维拓扑范畴中纤维分离条件的推广 f z ，f 是x 的不交闭子集又x 是纤维函数正规的，所以存在b 的邻域，连续 函数：x 一j 满足 血( z ) = 1 ，茁x w n z ) ，。( 茹。) = 0 ，嚣x w n f 即x n z ) co 一1 ( 1 ) ，x w n f c “- 1 ( o ) ，所以x w n z ，x 咿n f 在x ”，内是 函数分离的所以由纤维完全正则的等价命题得x 是纤维完伞正则的 命题6 2 2 ( x ，b ) ，( y ，d ) o b ( t o 只) ，( 西，a ) h o m ( x ，y ) ，其中垂：x y 是闭的纤维嵌入映射，a ：b d 是连续的满射或嵌入映射若y 是纤维函数 正规的，则x 是纤维函数正规