（基础数学专业论文）关于h连通空间及brouwer度的一些研究.pdf

摘要 本文主要内容分两部分，日一连通空间的可乘性和b r o u w e r 度不变性的简化证 明 局部同胚映射与同胚映射的关系是拓扑学研究的热点问题，本文研究的日一连通 空间( 从连通的正空间到空间y 的i 口r o p e r 局部同胚映射是同胚映射，就称y 是日一 连通的) ，就是g j u n g c k 在研究p r o p e r 局部同胚时提出的本文第二章一一日一连通 空问的可乘性一一用点集拓扑学的方法证明了两个满足第一可数公理的h a u s d r o f ! 的日一连通空间的乘积。当其中个空问是仿紧或局部紧时，乘积空间仍然是日一连 通的，并且运用归纳法将这一结果推广为，相同条件下日一连通是可数可乘的在一 定意义下，这一结果是对已有结果，两个满足第一可数公理的h a u 鲥r o f t 的日一连 通空间的乘积，当其中个空问是紧的，则乘积空间仍然是口一连通空间的改进，从 而可以使日一连通空间有更广泛的应用范围 本文第三章关于b r o u w e r 度不变性的简化证明，其简化之处在于当考虑对定义 域的复形k 或像复形五的一般重分，而不一定是重心重分。即只对部分单形重分， 而不是同时对所有单形进行重分，或者可以视为逐步将所有单形重分这样的优越之 处在于利用闭链重分之后的依然为闭链，而使得重分部分单形之后其像的系数与为重 分的单形的像有相同系数，即拓扑度不变而不依赖于d - 1 d = l 这个式子，使得证明 得以简化并且直观化。这样的证明是对一些经典教材关于该定理证明的有益补充 最后，我们总结了这篇论文的主要结果和刨新，以及有待进步展开的研究 关键词，p r o p e r 局部同胚日一连通空间可乘性b r o u w e r 度同伦不变性 a b s t r a c t t i mp a p e rc o n s i s t so ft w op a r t s ，t h em u l t i p l i c a t i v ep r o p e r t yo fh - c o n n e c t e ds p a c e a n da s i m p l i f i e dp r o o ff o ri n v a r i a n tp r o p e r t yo fb r o m o e rd e g r e e w h e n & l o c a lh o m e o m o r p h i s mt ob eah o m e o m o r p h i s mi sa l w a y sak e yp r o b l e m i nt o p o b g y i n1 9 3 5 ，s b a n a c ha n ds ，m a z u ro b t a i n e das i g n i f i c a n t 弛s w 盱t ot h i sq u e s - t i o nr e q u u e dt h a zt h el o c a lh o m s o m o r p h i s m sb ep r o p e r w es h a l lf o l l o wt h i s ”i m p l i c i t ” s u g g e s t i o n w ed e v o t et oh a m n e c t e ds p a c e fw h i 击m e r i t sa p r o p e rl o c a lh o m e 0 _ m o r p h i s mf r o ma n yc o n n e c t e d 马s p a c e 锄地yj 8h e m e o m o r p k i s m , t h e ny 协c a l l e d 蛆 h c o n n e c t e ds p a c e ) w h i c hd e f i n e db yg j n n g c ki nh i sd i s s e r t a t i o ni nt h ef i r s tt i m e w h e nh es t u d i e dt h ep r o p e r t i e so f p r o p e rl o c a lh o m e o m o r p h i s m ，i nc h a p t e rt w o ，w ec o i l - s i d e rt h em u l t i p l i c s t i v ep r o p e r t yo f 日一c o n n e c t e ds p a c e ，a n dg e t8 t h e o r e mo fi t ，w h i c h i st h ep r o d u c to ft w of i r s tc o u n t a b l e 死，日一c o n n e c t e ds l d s t c ei sa l s oh c o n 删, w h e no n eo ft h e mi sp a r a - c o m p a c to rl o c a l l yc o m p a c ti nt h em e t h o d so fg e n e r a lt o p o l - o g y r 1 r 也e r 粥e x t e n dt h ep r o o ft oc o u n t s b l ep r o d u c tc a s ei n d u c t i v e l y t os o m e e x t e n d ，t h i sc o n c l u s i o ng e n e r a l i z e dt h e k n o w nr e s u l t ：t h ep r o d u c to ft w of i r s tc o u n t a b l e 乃，日一c o n n e 弛e ds p a c ei sa l s oh c o n n e c t e d ，w h e no n eo ft h e mi sc o m p a c t s o i t w o u l db eo fm o r ea p p l i c a t i o nf o rh c o n n e c t , e d n e s s i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c t m 8t h eb r o u w e rd e g r e ea n ds i m p l i f yt h ep r o o fo fi t s h o m o t o p i ci n v a r i a n tp r o p e r t y t h es i m p l i f i e dp r o o fd e 幽o nt h a t 虢c o n s i d e rt h e g e n e r a ld i v i s i o nr a t h e rt h a nb a r y c e n t r i cd i v i s i o n0 1 1c o m p l e x e sko r 工，w h i c hm e 瞧1 1 8 o n l yp a r t i a ls i m p l e x e sa f ed i v i d e db u tn o te a c hs i m p l e x e s h e n c ea d i v i d e dc y c l ei s a l s oa c y c l e s oi t sl i n a g eu n d e rac h a i nm a p p i n gi s ac k c l et o o ，s ot h ed e g r e eo f 妒i si n v a r i s n t t h i sp r o o fi n d e p e n d e n tt h ef o r m u l bd - l d = 1 , w h i c hi ss i m p l i f i e da n d i n t u i t i o n i s t i c ，a n dr e n e w e dt h ep r o o fi ns o m ec l a s s i c a lt e x t b o o k k e y w o r d s ：p r o p e rl o c a lh o m s o m o r p h s i m ，h - c o n n e c t e ds p a c e ，m u k i p h c a t i v e p r o p e r t y , b r o u w e rd e g r e e ，h o m o t o p yi n w r i “n tp r o p e r t y i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即t 研究生在校攻读学位期间论文 工作的知识产权单位属于西北大学学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版本人允许论文被查阅和借阅学校可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章律注明作 者单位为西北大学保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名z 沙7 年z 月7 日 弓哮讳 j 指导教师签名， 步 驷7 年月7 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明；所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果，据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：舅哮铝 沙谚年月7 日 。 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 拓扑学研究几何图形的连续性质，即在连续形变下保持不变的性质( 允许拉伸 扭曲但不能割裂，桔合) 拓扑学的思想可以追溯到欧拉的哥尼斯堡七桥问题( 1 7 3 6 年) 地图四色问题( 1 8 5 2 年) 等问题的研究在1 9 世纪变革和积累的基础上，2 0 世纪 数学飞速发展，尤其是纯粹数学取得巨大发展与1 9 世纪相比，2 0 世纪纯粹数学的发 展表现出的主要趋势或特征麓是更高的抽象性，更高的统一性及对基础的更深入的探 讨集合论的观点与公理化的方法逐渐成为2 0 世纪数学抽象的范式拓扑学与实变函 数、泛函分析、抽象代数成为2 0 世纪上半叶纯粹数学中具有标志性的四大抽象分支， 这四大分支所创造鲥抽象语言结构及方法有渗透到几乎所有的经典学科。并且推动 它们的革新提高演化发展实际上，到二战结束后，拓扑学的逐渐成熟使得它成为现 代数学的基础学科一些数学家用点集来作为研究连续性的基本途径，从而建立了所 谓的。点集拓扑学”或“一般拓扑学4 而p o i n c a r d 在1 8 9 5 1 9 0 5 年同一主题t 位置 分析的一组文章，将几何图形分成有限个相互连接的的基本片，并用代数组合的方 法研究图形的性质，开刨了现代拓扑学的研究，即组合拓扑学同时他还定义了高维 流形同胚，同调，引进了一系列拓扑不变量，首次建立庞加莱对偶原理。提出庞加莱 猜想等等，总之组合拓扑学在p o i n c a r d 手中奠定了基础稍后，1 9 2 6 年，e 诺特首先 洞察到群论在组合拓扑学研究中的重要意义在它的影响下，h h o p 在1 9 2 8 年定义 了同调群，1 9 4 0 年左右，科尔莫戈罗夫和亚历山大又定义了上回凋群等由p o i n c a r 首先提出的同调概念，刻画了定向图形的边缘关系，同调群( 包括与之对应的上同调 群) 将拓扑问题转为代数同题从拓扑到代数过渡的另一条路径是同伦理论，是与流 形之间的连续映射的连续变换有关的研究，1 9 4 2 年，美国数学家l e f s c h e t z 代数拓扑 学一书的出版，标志着代数拓扑学这一分支成立同调论与同伦伦始终是这一学科 的两大支柱 本文第二章研究日一连通空间的可乘性，是从点集拓扑的方法进行研究的；本文 西北大学硕士学位论文 第三章关于b r o u w e r 度的讨论，采取组合代数的观点，使用的是组合拓扑的方法。给 出b r o u w e r 度的组合不变性及同伦不变性的简化证明 1 2h 一连通空间研究概况 一个局部同胚映射在什么条件下是同胚映射是拓扑学中研究的基本问题，曾经引 起一大批著名数学家如s b a n a c h 1 ，s m a z _ l l r 1 ，h c a r t a n n ，j t i a d a m a n d 3 ，e e i l e n - b e r g 【4 j 进行研究，日一连通空间就是g j u n g c k 在其博士论文4 1 l o c a lh o m e o m o r - 砷妇 堪 【5 】5 中研究该问题时提出的新的连通概念一一个h a u s d r o f f 空问y 是日一 连通的指从任意连通的h a u s d r o f 空间到y 上的p r o p e r 局部同胚映射是同胚在 局部连通条件下，日一连通是比单连通更广泛概念( j u n g c k 在上文中指出s 局部道路 连通的单连通空问是日一连通的，反之则不然) 同时，j u n g c k 对日一连通空间进行 深入的研究时，使用w h y b u mf 6 9 】解析拓扑的方法证明了日一连通空问在一定条 件下的可乘性一一尬，m 2 是两个乃满足第一可数公理的日一连通空间，若m 2 还 是紧的，则乘积空间 n m 2 也是日一连通的因为解析拓扑的方法比较抽象。不太 容易理解直到2 0 0 4 年，陈文彦和王戍堂在其论文g 关于昱一连通空间的乘积 1 0 l 中，用点集拓扑的方法重新给出上述结论的个直观证明，同时还得到了将紧性改为 局部连通性时，日一连通的可乘性，并且将日连通的可乘性推广到可数乃至超限乘 积然而，对于空间是紧的这一要求是过于严格了( 比如十分常见的欧氏空间都不是 紧的) ，这将极大地限制日一连通可乘性的应用 1 3 本文关于日一连通空间进一步研究 我们发现文献【1 0 】所使用的方法可用于证明更一般的情形，即将对尬的。紧性。 要求减弱为“仿紧”或。局部紧”时，上述结论仍成立进而将该结论推广到可数乘 积的情形显然这样的推广是很有意义的，因为对空间紧这一要求过于严格，而使得 日连通可乘性的应用及大受限，而对仿紧和局部紧时证明日一连通的可乘性就十分 便于应用了譬如所有的度量空间是仿紧的【l l 】，所有的n 一流形是局部紧的【m 上述 2 西北大学硕士学位论文 结论是本文第二章日一连通空间的乘积一的主要内容 1 4 关于b r o u w e r 度研究的概述 组合不变性指任一复形在点集意义下同胚于一已知复形，它就和这已知复形有相 同的组合性质，如b e t t i 数，挠系数，同调群等面证j 秀组合不变性的个重要方法，就 是考虑连续映射的单纯逼近，而将问题转化为对同一复形的重分不变性本文第四章 给出关于b r o u w e r 度的组合不变性就是抓住重分这个重要方法，由于b r o u w e r 度的 定义是考虑闭曲面中基本闭链及其像的关系，所以是基本闭链的整体性质，由此当我 们考虑仅将一部分单形重分时，为了保证像仍然是闭链，就必须使得重分部分单形后。 每一点的覆盖度与重分前一致，即映射度不变而在经典的教科书中总是采取重心重 分( 如江泽涵拓扑学引论 1 3 】，l e f s c h e t z i n t r o d u c t i o nt ot o p o b g y 1 4 ) ，对每一单 形进行重分，这就使得在证明b r o u w e r 度的组合不变性时，必须使用d - l d = 1 ( d d - 1 是重分映射及其逆) 这个结论当然l e f s c h e t z i n t r o d u c t i o nt ot o p o l o g y 在证明中 也考虑到重一5 - 重分是不必要的，对一般的重分也应该可以证明b r o u w e r 度的组合不 变性实际上，这样处理更容易理解组合不变性作为整体性质的实质，不会因为局部 变化而全局变化同时这样的步骤又是在有限步完成的，所以只要说明在每一步都不 变就可以了，不存在考虑极限情况这也是组合方法的特点，将连续的问题转化为离 散的有限的同题 b r o u w e r 度是荷兰著名数学家，组合拓扑学的另一位奠基人一一e ，j b r o u w e r 在证明击m ( 五_ ) = n 时 x a l o 。考虑n 一维球面的自映射时( 认为是有定向的) ，发 现将露一维球面割分为复形之后，利用连续变换的单纯逼近，实际上是局部的线性逼 近，转化为一个组合问题，得出相空间中每一个点被原像空间单形覆盖的。代数和 是一常数p 该常数p 称为自映射的映射度，也就是更一般的闭曲面闻的映射度一一 b r o u w e r 度【l q ，i 衡】 b r a u w e r 通过引进复形间映射类和映射度等概念，第一次处理所谓的一个流形上的向 量场的奇点【2 1 】同时证明了偶维球上的连续向量场必定至少有一个奇点，而且得到了 关于不动点的基本定理；n 一维单形到其自身的连续变换至少有一个不动点由于这 3 西北大学硕士学位论文 些定理又很强的几何意义，在处理分析问题中有着重要的应用，尤其是在研究非线性 算子的定性理论已成为最强有力的工具之一嘲，几乎现在任何本非线性泛函分析教 材中都会有相当的章节介绍b r o u w e r 度理论掌握p o i n c a r 和b r o u w e r 的思想的 那些数学家，已经把拓扑扩展到很大的范围，使得它成为今天数学的最活跃的领域之 一【矧本文的工作就是对b r o u w e r 度的定义，即组合不变性，以及同伦不变性的简 化证明，体会组合拓扑的方法思想 4 西北大学硕士学位论文 第二章日一连通空间的可乘性 2 1 引言 一个局部同胚映射何时是同胚? 这是一个拓扑学中非常有趣而且重要的问题，曾 经有许多著名的数学家如h c a f t a n ，j h a d a m a n d ，s b a n a c h ，s m a z u r ，e e i l e n b e r g 都进 行深入研究在上世纪八十年代，文献【5 1 中引入的日一连通空间一一从任意连通的 空间到y 上的p r o p e r 局部同胚是同胚，是一种有着广泛应用的空间类，关于日一连 通空闭的。代数性质，文献圈指出两个豆一连通空闯的乘积，若其中一个空问是 紧的，则乘积空间还是日一连通的，使用的是解析拓扑的方法；在2 0 0 4 年。文献【1o 】 用点集拓扑的方法给出上述结论一个直观的证明，并且得出关于无限乘积也成立的结 论而紧性的要求确实是严格了一些，本章就是考虑将其中一个空间是紧的这一条件 进行适当减弱为仿紧或局部紧时，我们发现日一连通空间仍然具有可乘性，即乘积空 间仍是日一连通的在证明中使用的是点集拓扑学的方法，由于这个方法适于使用归 纳法，所以我们指出在相同的条件下，日一连通是可数可乘的 2 2定义及已有结论 注；下文所考虑的映射均为连续的；拓扑空间均为疋的，即t t a u s d r 0 1 f 空间； 记号# 厂1 ( y ) 表示集合，4 ( f ) 的势；c l ( a ) 表示集合a 的闭包 定义2 1 【5 | ：映射，：x y 称为p r o p e r 的指y 中每一紧集g 的原像- i ( c ) 在 x 中仍是紧的 定义2 2 【5 】：映射，：x y 称为局部同胚指，对每一个点z x ，存在z 的个 开邻域y ，l y ：v 一( v ) 是同胚 定义2 3 嘲：拓扑空间y 称为日一连通的指，从任意连通的空间到y 上的p r o p e r 局部同胚是同胚 定义2 4 【5 】：映射p ：x y 称为投射指，对每一个点3 ，y ，存在的开邻 5 西北大学硕士学位论文 域v 使得p - 1 ( y ) = u 蝌鼠是x 中一族互不交的开集 ) 7 西北大学硕士学位论文 是广1 ( ) 到 上的p r o p e r 局部同胚。且f - i ( ) = 砰u 印，其中砰，酵均与 同胚对z 砰u 霹，若z 酵 且l p n k l o ，定义i n d ( z ) = 1 ；反之z l ，定义饥d ( z ) = 2 因为， 是满射，所以当取遍y 中每一个点时，对x 中的每一个点z ，i n z ( x ) 都有定义 同时，我们进一步指出工p ，三字只有一个j b 或【j g ) 相交，即对x 中的每一个 点x , i n d ( z ) 是唯一确定的事实上，反设工j 1 2 n k l o ，且l j l 2 n 鲍0 由于 l j l 2 n l 挈= 0 ，就存在x 不同的两个点z ，z l ，其中$ l p n k l ，f l f n j g ， 考虑，( ) ，( 一) ，我们则得到以下矛盾，一方面，( z ) = ，( 一) 不能成立，因为l j l 2 ， 和 同胚。即二f ，与 是一一对应的；，( 功，( 一) 则 导致下面的矛盾， ，p ) ，厂) c ，( 二产n 硒) u ，( 上产n k l ) c ，( ( 三 u 爹) n 硒) 。，i f ( x ) ，( 一) ) c ，( ( 上r 船u l 字) n 硒) c ，( 噩) n ，( 盛2 u 上挚) = ( m 。，抛) ) 显然是矛 盾的 适当调整三擎标号，使得 暇) = i ( i = l ，2 ) 令五= 扛x ：翻注( 砖= 磅8 = 1 ，2 ) 。则x = x 1 u 恐，且x l n x 2 = 0 下面我们将证明五，j ，2 是相互隔离的，那 样就与x 是连通矛盾，接下来我们先证明j h ，j 岛在x 中是相互隔离的，然后再证明 硒，硷分别在五，局的内部，最后证明墨，恐是相互隔离的， 由定理2 3 可知，( x ，) 是y 的复迭空间，任取f = ( m l ，忽) ，存在 耖的开邻域。使得i - l ( ) = 仉- u 0 = 2 ，其中，( z 1 ) = ，( 护) = ，仉- ，是 的互不相交的同胚像，同时还可以使得，- 1 ( ) n 0 0cz 尹，( i = 1 ，2 ) 。这样 我们得到 的个开覆盖c = n ：， ) 由于 与埘j 同胚，而 如是仿紧的，所以 也是仿紧的，故存在g 的个局部有限的开加细覆盖= k 。n ：如 ，口玎( j 是指标集) 由于是局部有限的，则对每一z 1 k x ，存在z 1 的开邻域d 。，( 不妨取 晚，co x l ) ，( o l ，) n 仅与的有限个元素相交，记为 v 缸n ：屈i ，i = 1 ，2 ，恐 同时，因为x 是乃的，对z 1 k 1 ，z 各鲍分 别存在相应的不交的开邻域晓- ，有，( u d 盔) 3k n 实际上，令 d 刍= ，一1 ( ? ) n o ；，d 噍= f - 1 ( & 轰) n ( k ) ，其中，0 1 ) = 玑，( z 轰) = 8 西北大学硕士学位论文 觚，i = 1 ，2 ，n ，；= 毛= 只( ，( 仉，) ) np 1 ( ，( q 蕾) ) ，2 = 岛( ，( 仉- ) ) ，毳= p 2 ( f ( 0 4 ) ) 由此可得z 1 的邻域晓- = n 圣，晓t ，同时记w = ，( 晓，) ，则- 1 ( w ) = 谚，u 岛，其中护k 2 ，( ) = y ，所以乩e 0 1 。f c o = 0 上面我们定义的边缘算子是代数拓扑中的个基本概念，显然边缘算子f 是由链 群c 口到伊- 1 的同态同时对于边缘算子f 有个非常重要的结论； 引理2 ：对于复形k 中的任意p 维链c p ，f f c t , = 0 这个引理由f 的定义及引理1 可立刻得到 本节最后给出非常重要的概念一一闭链 定义3 2 6 ：如果个p 维链伊的边缘链f o = 0 ，则驴叫做个p 维闭链 由于边缘算子是线性的，故所有闭链形成p 维链群的一个子群，叫做k 的p 维闭链 群，记作乙( ) 由引理2 可知，所有的边缘链都是闭链。 3 ，3 几何复形，复形问的几个重要映射 上一节介绍了单纯复形的一些基本知识，但是要解决拓扑度的问题还是不够的， 因为仅有抽象的复形只能考虑顶点间的映射，无法与连续映射联系，所以我们在介绍 1 4 西北大学硕士学位论文 复形间映射前，还需再补充关于几何复形的一些知识 定义3 3 1 ：重心坐标，重心坐标系设口o ，口1 ，o p 是n 维欧式空间驴中占据 最广位置的p + 1 个点( 即如1 ，扩口2 ，a o a p 这p 个向量是线性无关的) ，p s ”因而 它们张成个p 维超平面驴故驴的任个点z 唯一决定一组实数( 知，a l ，) ， 满足式子z = 知一+ a x a l + + d p ，知+ a l + + = l ；而且反之，这样的一 组实数唯一地决定酽的一个点因而这组有序的p + 1 个实数形成点善所在驴的 一种坐标，叫作重心坐标。而且这有次序地点组a 0 ，口1 ，矿叫作五妒中的个重心 坐标系 定义3 3 2 ：几何单形设a 0 ，a 1 ，口p 是竹维欧式空间五”中占据最广位置的 p + 1 个点，p 乱，命。= 知n 0 + a 1 1 + + 口p ，其中实数知，a 1 ，满足下列 两组条件； 知+ a l + + = 1 ( 1 ) 知 0 ，a l 0 ， 0( 2 ) 五，中这样的点z 的集合叫作个p 维单纯形，简称为p 维单形，记作( 0 0 ，一，扩) 或矿，点a 0 ，n 1 ，口p 叫作矿的顶点； 若将( 2 ) 式改为 0 ，a l 0 ，0( 2 ) 则称为臼j 单形，记为扩；若我们将( 2 ) 式中当i = i l ，屯，哆一。时，用丸= o 代替 九 0 ，这就得到由啦。，“ l ，1 2 ，讧口，这q 个顶点张成的q 维单形嵋称为闭单 形矿的q 维面；则o 维单形就是顶点，l 维单形称为棱实际上p 维闭单形唧可以 视为它的所有面的并，对于单形的定向与上节用顶点的排列进行分组是一样的 定义3 3 3 ：几何复形单纯多面体k 是有限个驴中单形的形成的集合，满足以 下两个条件， ( f ) 任意单形口k 的面还在中； ( i i ) 任意两个单形的交是空集 复形k 的维数定义也与前相同，即k 中最高单形的维数若取k 中所有单形之 并的集合称为单纯多面体，简称多面体，记为lki 】5 西北大学硕士学位论文 由上述定义发现，对于任意单形，复形，都可以构造相应的几何单形、几何复形与 其同构，所以下面讨论的复形均为定向的几何复形，以下不再强调，同时约定一个单 形中存在两各以上的相同顶点，认为是0 接下来我们开始考虑复形之间的映射 定义3 3 4 ：单纯映射设a = 他) ，b = b ) 分别是复形冠工的所有顶点的 集合，t 是由a 到b 的一个映射，使得对j r 中每一单形口= 啦毗。在映射t 下t ( 口) l 简单说来就是将中单形映射为l 中的单形由于是几何复形，按重心 坐标将t 扩张为多面体上的映射，就称