（基础数学专业论文）高维空间的beltrami方程组.pdf

摘要 摘要 本文考虑高维空间b e l t r a m i 方程组 d 。，( z ) 日( z ) d ，( z ) = j ( z ，) 2 几i d 在矩阵h ( z ) s ( n ) 满足一致椭圆型条件的假设下，利用能量和变分方法，得到了 b e l t r a m i 方程组对应的齐次椭圆方程 d 4 ( z ，d ，( z ) ) = o ， 并得到了算子么满足的l i p s c h i t z 条件，单调性条件和p 一1 次齐次性条件利用所得 到的齐次椭圆方程，得到了b e l t r a m i 方程组广义解的c a c c i o p p o h 型不等式如果我们 在高维空间r 几( n 2 ) 的子区域q 中，用外代数的方法考虑b e l t r a i n i 方程组，这里 h ( z ) s ( 凡) 是正定，对称且行列式值为1 的矩阵，心是单位阵，就可以得到一系列 的方程 关键词b e l t r a m i 方程组； 能量泛函；c a c c i o p p o u 不等式；外代数；外幂 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n c e r n st h eh i g h d i m e l l s i o n a lb e l t r a m is y s t e m d ，( z ) 日( z ) d ，( z ) = j ( z ，) 2 n i d b ya s 8 u m i n gt h em a t r i x 日( z ) s ( n ) s a t i s f i e st h eu n i f o r m l ye l l i p t i cc o n d i t i o n q i f l 2 ( 日( z ) ，f ) p i 1 2 u s i n ge n e r g yf u n c t i o n a la n dv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，w ed e r i v et h a td ，( z ) s a t i s 丘e sah o - m o g e n e o u se u i p t i ce q u a t i o n d + 4 ( z ，d ，( z ) ) = o t h ec a c c i o p p o l ii n e q u a l i t yo fg e n e r a l i z e ds o l u t i o n so ft h eb e l t r a m i8 y s t e mi so b t a i n e d i fw ec o n s i d e rb e l t r a m is y s t e mi nh i g h - d i m e n s i o n a ld o m a i n sqcr n ，n 2 ，w h e r ei d i st h ei d e n t i t ym a t r i xa n dh ( z ) s ( n ) i sa nn nm a t r i x ：p o s i t i v e ，s y m m e t r i cw i t h d e t e r m i n a n t1 ，u s i n gt h et e c h n i q u eo fe 赋e r i o ra l g e b r a ac o u p l eo fr e l a t e de q u a t i o n sa r e d e r i v e d k e y w o r d s b e l t r a m is y s t e m ； e n e r g yf u n c t i o n a l l ；c a c c i o p p o l ii n e q u a l i t y ； e ) ( t e r i o r a l g e b r a ； e x t e r i o rp o w e r i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：! 雪蒸 日期：巡! 年上月之一日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密叮。 ( 请在以上相应方格内打“) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 名绵参阅协k b 跏；豸谢钮 ) - 的学位论文，是我个人在导师鳓趔指导并与导师合作下取得的研究成果，研 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：垒亘薹 作者签名：垒里垄 导师签名： 日期：z 芝星年上月l 日 日期：鲨竺呈年l 月上日 日期：逊芷年厶月上日 c h a p t e r1 i n t r o d l l r t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n l e tqb ea no p e ns u b s e to fr n ，n22 c o n s i d e ram a p p i n g ，= ( ，1 ，n ) 彤1 ，n ( q ，舯) d e n o t eb yd ，( z ) = ( 筹) 1 i ，j na n dj ( z ，) = d e td l 厂( z ) t h ej a c o b i a n m a t r i xa n dt h ej a c o b i a nd e t e r m i n a n to f ，r e s p e c t i v e l y d e n o t eb yd 厂( z ) a n dd 一1 ，( z ) t h et r a n s p o s ea n dt h ei n v e r s eo fd ，( z ) f o rt w dm a t r i c e sa ，b r ，n ，w ed e f i n et h e i n n e rp r o d u c to faa n db b y ( a ，b ) = t y a c e ( a 2 b ) = ， 陆a c e ( b 。a ) ，a n di a i = ( a ，a ) 1 2 ab a s i ca l s s u m p t i o ni n t h i sp a p e ri sj ( z ，) o ，i e ，i sa no r i e n t a t i o n p r e s e r v i n g m a p p i n g c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gb e l t r a m is ”t e m d 2 ，( z ) 日( z ) d ，( z ) = ，( z ，) 2 n i d ， ( 1 1 ) w h e r ei di st h ei d e n t i t ym a t r 议a n d 日( z ) s ( n ) i sa nn nm a t r i x ：p o s i t i v e ，s y m m e t r i c w i t hd e t e r m i n a n t1 ，a n ds a t i s f i e st h ef o u o w i n gc o n d i t i o n q l 1 2 ( h ( z ) f ，) p i f l 2 f 6 ra l l 鼢a n d0 qsp o o e ，t h e n 埘i saw 西g h t e df u n c t i o n d e 矗n i t i o n1 1 【10 】af u n c t i o n 乱w 乞：( q ) w i t hm a x 1 ，p 一1 ) r pi sc a u e da v e 巧w e a ks o l u t i o n0 f ( 1 5 ) ，i ff o ra l l 眩南( q ) ，w eh a v e 上( ，v u ) ，v 州z = 。 ( 1 6 ) h e r e ”v e uw e a k ”i n d i c a t e st h a tt h ei n t e g e b i l i t ye x p o n e n tro ft 正c a nb es m a l l e rt h a n t h en a t u r a le x p o n e n tp w h e n e v e r 兰l ，t h ec h a r a c t e ro fv e 可w e a ks o l u t i o nt o ( 1 2 ) h a sb e e nc o n s t r u c t e d b u tt h er e s u l t 遮v e r yf e w ，w h e nui 8af u c t i o n s ow eh a e d e f i n i t i o n1 2 1 1 1af u n c t i o nu w 2 ( q ，u ) w i t hm 口z 1 ，p 一1 ) r pi sc a l l e d av e 珂w e a ks 。l u t i o n0 f ( 1 5 ) ，i ff 缸a u 以南( q ，u ) ，仳s a t i s 丘e s ( 1 6 ) ，( z ) i 眩( q ，r n ) i 8ag e n e r 甜i z e d8 0 l u t i o no ft h eb e l t r a m is y s t e m d 2 ，( z ) d ，( z ) = z n ( z ) g ( z ) ， t h e nw ec a l l i tq u a s i r e g u l a rm a p p i n g ，w h e r eg ( z ) s ( n ) i sa nn nm a t r i x ：p o s i t i v e ， s y m m e t r i cw i t hd e t e r m i n a n t1 ，a n dt h e r ee ) ( i s t s 栅op o s i t i v ec o n s t a n t s0 入1 入2 o 。， t h e n 入1l 1 2 ( g ( z ) 危，九) 入2l 九1 2 ， 口e q ，v r ， i n 5 ，8 】，i ti sp r o v e dt h a te v e 巧c o m p o n e n tf u n c t i o nu = ，( z ) ( 1 = 1 ，2 ，n ) o f ，i 8a w e a k l y8 0 l u t i o no ft h ea - h 锄o n i ce q u a t i o n ( 1 5 ) ，w h e r e a ( z ，v u ( z ) ) = ( g 1 ( z ) v u ( z ) ，v u ( z ) ) tg - 1 ( z ) v u ( z ) n z ( 1 7 ) i f ，w 翟( q ，r 一) ( 1 p o 。) i 8ag e n e r a l i z e ds o l u t i o no ft h eb e l t r a m is y s t e m ，a n d w ec a l l i tw e a l 【l yq u a u s i r e g u l a rm a p p i n g ，t h e ne v e r yc o m p o n e n tf u n c t i o n 牡= ，( z ) ( t = 二 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 ，2 ，n ) o f ，i sav e 巧、鹏a ks o l u t i o no f t h ea h a m o n i ce q u t i o n ( 1 5 ) ，w h e r e4 ( z ，v u ( z ) ) i sa s ( 1 7 ) i n 1 2 】，i tc o n s i d e r e db e l t r a m ie q u a t i o nw i t hd o u b l ec h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e so fq u a s i r e 皆 u l am a p p i n g ， d 。，( z ) 何( z ) d ，( z ) = j ( z ，) 吾g ( z ) ， w h e r e 日( z ) ，g ( z ) i sa nn nm a t r i x ：p o s i t i v e ，s y m m e t r i cw i t hd e t e r m i n a n t1 i f q 1 川2 ( g ( z ) ，) 伪2 ， q 2 i 叩1 2 ( h ( z ) 7 7 ，7 7 ) 历i7 7 1 2 ， f o ra 1 1 ，7 7 r na n d0 q 1 历 o o ，0 q 2 仍 o 。，o b t a i nc o r r e s p o n d i n g q u a s i l i n e a re q u a t i o n 出 4 ( z ，d ，) = b ( z ，d ，) ， w h e r ea ( z ，“) = ( 学) 2 宇g 一1 u ，b ( z ，d ，) = ( j ( z ，) d 一1 ，e l ，【( e ) 。( 日一1 ( z ) 一 日一1 ( z o ) ) e 】) a n ds a t i s 6 e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ： 击( 爰) 孚吲州k ，击( 鲁) 孚蚓n ，k 舻，。 瞅邶删m ( 鲁闱酬铲1 i n 【9 】，1 w a n i e ct p r o v e dt h a ti f ，v 矿2 1 6 ( q ，r 一) i sag e n e r a l i z e ds 0 1 u t i o no ft h e b e l t r a m is y s t e m ，t h e n “，= ，如影1 八影2 八八够旬，= ( i 1 ，i 2 ，t 1 ) ，1 z n ，l i 1 ，i 2 ，赴n ，i sav e r yw e a ks o l u t i o no ft h e 芦卜h a m o n i ce q u a t i o n 扩a ( z ，砒，) = o i n 1 3 】，u s i n gt h et e c h n i q u eo fe x t e r i o ra l g e b r at ob e l t r a i l l ie q u a t i o nw i t hd o u b l e c h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e s ，i to b t a i n e dt h ef o l l0 _ w i n gr e s u l t s ： i f ，2 ( q ，r 几) i sag e n e r a l i z e ds o l u t i o n ，t h e nd u = 够n 八 够白，( 1 i l i l n ，l f n ) i saw e a ks o l u t i o no ft h ef b u o w i n ga h a r m o n i ce q u a t i o n 矿a ( 。，如) = d + b ( z ，d ，) ， ad i s s f i r t a t i o nf o rt h ed p g r p eo fm so fh e b e iu n i v e r s i t y w h e r e a n d 俐u ) - ( 警闸- 1 ( 州u ， j e i ( z ，d ，) = j ( z ，) d 磊1 ，( z ) 啄1 ( z ) 一晦1 ( 铷) 】如7 ， w h e r e 磷( z ) i s t h ee l e m e n to fm a t r i x 晦1 ( z ) a n dl i e si nd i a g o n a l ，w h e r e ，= ( i 1 ， d e 6 n i t i o n1 3 【8 ，9 ，1 2 ，1 4 1 7 1 w 色c a l l ，h a s6 n i t ed i s t o r t i o n ，i fm a p p i n gi 厂：q r n s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s 1 ，w 2 ( q ，酣) ； 2 t h e r ee ) ( i s t su n i f o r m l yb o u n d e df u n c t i o n ( z ) 1 ，a e b o u n d e d ，t h e n ，s a t i s 丘e s t h ef 0 1 1 0 w i n gd i s t o r t i o ni n e q u a l i t y d ，i n k ( z ) ，( z ，) o e q ， w h e r eld ，id e n o t e 8d i 艉r e n t i a ln o mo f ，j ( z ，) d e n o t e st h ej a c o b i a l ld e t e r m i n a n to f ，i nr e c e n ty e a r 8 ，o nt h eb a u s i so ft h ew o r b 5 】o fr ，e s h e t n y a ky ug ，p e o p l ep r o m o t e m a p p i n go fb o u n d e dd i s t o r t i o nt om a p p i n go f 丘n i t ed i s t o r t i o n m o n o g r a p h 1 1 】p r o v e dt h a te v e 珂c o o r d i n a t ef u n c t i o n ，( i = 1 ，2 ，n ) o ft h e m a p p i n go ff i n i t ed i 8 t o r t i o n ，8 a t i s 矗e d 也u a ( 毛v “) = o s oe i t h e rm a p p i n g sw i t hf i n i t ed i s t o r t i o no rb e l t r a m ie q u a t i o ni sc l o s l yr e l a t e dt o a h a m o n i ce q u a t i o n o nt h eo n eh a n d ，t h ed e v e l o p m e n to fm a p p i n g so ff i n i t ed i s t o r t i o n a n db e l t r a m ie q u a t i o nd e p e n d so nt h ed e v e l o p m e n to fe q u a t i o n o nt h eo t h e rh a n d ， t h er e s e a r c ho fm a p p i n g so f 丘n i t ed i s t o r t i o na j l db e l t r a m ie q u a t i o na l s op r o m o t e st h e d e v e l o p m e i l to fp a r t i a ld i 珏l e r e n t i a le q u a t i o n sa n dp r o v i d e sn e wi d e a i nt h i sp a p e r ，r es t u d yt h eb e l t r a m is y s t e m ( 1 1 ) w i t ht h ec o n d i t i o n ( 1 2 ) w 色u s e e n e r g yf u n c t i o n a la n dt h ev 缸i a t i o n “m e t h o l st od e r i v eac o r r e s p o n d i n gh o m o g e n e o u s e l l i p t i ce ( 1 u a t i o n d 4 ( z ，d ，( z ) ) = o ， 4 - c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n a n dw h e n 粤= 1 ，t h eo p e r a t o r4s a t i s 丘e st h el i p s c h i t z ，m o n o t o n i c i t ya n dh o m o g e n e o u s c o n d i t i o n s w 色a l s od e r i v eac o u p l eo fr e l a t e de q u a t i o n su s i n gt h et e c h n i q u eo fe x t e r i o r a l g e b r a ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm so fh p b e iu n i v p r s i t y c h a p t e r2 p r e l i m i n a r yl e m m a s l e te 1 ，e 2 ，e 几d e n o t et h e8 t a n d a r do r d e r e db a s i s0 fr ” f b r 掣= 0 ，1 ，n w ed e n o t eb y = 八2 ( r 几) t h el i n e a rs p a c eo fa uz v e c t o r s ，s p a n n e db yt h ee x t e r i o r p r o d u c t se ，= e 1 八e 2 八八e ，c o r r e s p o n d i n gt oa l lo r d e r e d 肛t u p l e s ，= ( i 1 ，i 2 ，i ) ， 1 l i 2 n t h u s 八o = ra n d 八1 = r n w bu s ea c o i e n t i o nt h a t 八2 = o ) i fz 佗 f o rq = q ，e ，a n dp = p ，e ，t h ei n n e rp r o d u c ti n 八2i sd e f i n e db y ( q ，p ) = q 7 p ， w h e r et h es u m m a t i o ni st a k e no v e ra l ld t u p l e s ，= ( t 1 ，i ) t h eh o d g es t a ro p e r a t o r i sa1 i n e a ro p e r a t o r 木：八2 + 八n 一2d e f i n e db yt h er u l e s a n d 木1 = e 1 八e 2 八e n 口八宰p = p 八木q =( q ，p ) 爿c1 f o ra uq ，p 八2 o n ee a s i l ys e et h a t 木木= ( 一1 ) 2 ( n 一。) o n 八。 t h en o 珊o fa 八i st h e n l qj 2 = ( q ，q ) = 木( q 半a ) = r d e n o t eb yd 7 ( q ，八。) a ud i 舵r e n t i a l 厶f o r l sw h o s ec o e 伍c i e n t sa r es c l l w a r t zd i s t m b u t i o i l so nr w bs h a um a k eu s e0 ft h ee ) ( 七e r i o rd e r i v a t i v e d ：d 7 ( q ，。) _ d 7 ( q ，件1 ) ， a n di t sf o r m a la d j o i n to p e r a t o r d e n o t e z = o ，1 ，n ， 扩= ( 一1 ) “+ ，- c 出：( q ，m ) 一( q ，。) d + = ( d + ，d + ，d + ) 6 - c h a p t p r2 p r p l i m i n a r yl e m m a s af u n d a m e n t a lc o n c e p to fe x t e r i o ra l g e b r ai st h ed u a ls p a c ev 7 ，i tc o n s i s t so fa 1 1 l i n e a rf u n c t i o n a l so fv s u c hl i n e a rf u n c t i o n a la r ec a l l e dc o v e c t o r s t c ie a c hb a s i sf o rv s a ye 1 ，e ，l ，t h e r ec o r r e s p o n d sad u a lb a s i se 1 ，e 几f o rv 7 ，w h e r ee ( 勺) = 1f o ri = 歹 a n d0o t h e r w i s e ac o v a r i a n t 肛t e n s o r ，z = 1 ，2 ，o nvi ss i m p l yam u l t i l i n e a rm a p 妒：v v _ r n o t et h a tt h es e t ，r ，( y ) o fa 1 1c o n v a r i a n tt e n s o r so fd e g r e ei sal i n e a rs p a c eo fd i m e n s i o n n t h et e n s o rp r o d u c t 妒。矽，w h e r e 妒i sa 粤t e n s o ra n d 矽i sa 乜t e n s o r ，i st h ec o b a r i a n t ( z + 七) t e n s o r ，d i 矗n e db y ( 妒。妒) ( 1 ，魄，u 1 ，u 七) = 妒( u 1 ，魄) 砂( u 1 ，u 七) f b ra nn nm a t r i xa ，t h ez t he x 七e r i o rp o w - e r ( a l s oc a u e dp u l l b a c k ) o fai st h e l i n e a ro p e r a t o r d e 丘n e db y a 脊：a 象：八_ 。 a 孝( a 1 q 2 八 q f ) = a q l a q 2 八八4 a f o rq 1 ，a 2 ，啦八1 t h e 肌he x t e r i o rp o w e ro p e r a t o rh a sm a n yn i c ep r o p e r t i e s ，c h i e f 锄o n gt h e ma r e t h ef o l l o w i n gi d e n t i t i e s ： f b ra l la ，b r ，na n da r ( 4 b ) 群= b 孝a 孝， ( a 。) 书= ( a 襻) 。= a ， ( a 孝) 一1 = ( a 一1 ) 襻= a ；1 ， ( a a ) 孝= a 2 a 孝， i no r d e rt op r o 、r et h e o r e m3 1 ，w en e e dt h ef o l l o w i n gl e m m a l e m m a2 1 l e t 日s ( n ) ，t h e nf 6 ra 1 1 y1 z na n da r ，n ，w eh a v e ( 碟) n 2 。d e ta ( a 错，日毒a 孝) n 泓 p r o o fs i n e e 日s ( n ) ，t h e nt h e r ee ) ( i s t sa no r t h o g o n a lm a t r i xda n dad i a g o n a l m a t r 恢r = d i a g ( 7 l ，伪，) w i t hd e tr = 1 ，s u c ht h a t 日= d 。r 2 0 = 佰循，w h e r e 7 ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r p eo fm so fh 幽e iu n i v e r s i t y 、耳= d 2 r d w bi n t r o d u c eau s e f u li n e q u a l i t yf o m 7 ，( 9 3 8 ) 】， ( 碟) 七1 4 篓1 2 。冬( 磷) l a 雾1 2 南，1 笆七礼 t a l ( e 七= n ( n o t et h a ta 善= d e ta ) ，w eh a e t h a ti s t h e r e f o r e ( 磷) nd e ta 2 2 i a 关l 孙 ( 碟) n 2 2d e ta i a 关i n 肥= i a 襻l n ( 嘭) n 2 2d e ta = ( 碟) n 2 2d e t ( a 万) i ( a 万) 襻l n = i 、俘嚣a 孝i n = ( 、俘瓦a 孝，、侄嚣a 孝) n 2 2 = ( a 襻，日孝a 孝) n 龀 t h ep r o o fo fl e m m a2 1h a sb e e nc o m p l e t e d t h ef o l l o w i n gl e m m ac o m e s & o m 7 ，l e m m a4 7 2 l e m m a2 2 i f ，夕1 ，n ( q ，) a n d ，= 夕o na qi nt h es o b 0 1 e vs e n s e ，t h e n 上j ( z ，夕) 如= 上j ( z ，) 如 c h a p t p r3 t hc - h i g h d i m e n s i o n a lb e l t r a m is y s t e m c h a p t e r3 t h eh i g h d i m e n s i o n a lb e l t r a m is y s t e m i nt h i sc h a p t e r ，w eu s ee n e r g yf u n c t i o n a la n dv a r i a t i o n a lm e t h o d sa n dd e r i v et h a t d ，( z ) s a t i s 6 e sah o m o g e n e o u se u i p t i ce q u a t i o n t h ec a c c i o p p o l ii n e q u a l i t yo fg e n e r a l - i z e ds o h l t i o n so ft h eb e l t r a m is v s t e mi so b t a i n e d t h e o r e m3 1 s u p p o s et h a t ，= ( ，1 ，2 ，广) 彤1 ，n ( q ，r n ) b eag e n e r a l i z e d s o l u t i o no ft h eb e l t r a m is y s t e m ( 1 1 ) ，t h e n d + 么( z ，d ，( z ) ) = o( 3 1 ) i nt h ed i s t r i b u t i o n a ls e n s e ，w h e r e4 ( z ，a ) ：q r n n _ 八2 ( 1 粤n ) i sg i v e nb y 4 ( z ，a ) = ( 4 知坶a ) 。- 2 ) 2 坶a 蟊p = p r o o ft a l 【e 纨h ( 1 粤n ) e x = t e r i o rp o w e ri nb o t hs i d e so f ( 1 1 ) 妒e l d s t h u s t h a ti s ( d ，) 襻爿4 ( d 。，) 书= t ，( z ，) 2 2 n i d 带 ( i d 孝，( d ，) 孝厶嘻( d 。，) 孝) = j ( z ，) 2 2 n ( i d 孝，i d 孝) ( ( d 。，) 孝，巩( d ，) 孝) n 黜= ( ) n 2 2 j ( z ，n( 3 2 ) f o ra u 夕，+ 咏n ( q ，酣) w i t hj ( z ，9 ) o ，w ed e 丘n et h ee n e r 盯f u n c t i o n a lf o r 夕b y 铀】_ 上聊夕) 如， w h e r et h e8 t o r e de n e r g yf u n c t i o n a le ( z ，a ) ：q 时黼一ri sd e 6 n e db y e ( z ，4 ) = ( a 襻，鲰a 孝) n 射 b yv i r t u eo fl e m m a2 1 ，t h ee n e r g yf u n c t i o n a l 引夕】o f9i sn o n n e g a t i v e i i lt h ef o l l o w i n g ，w ep r o v et h a tu n d e rt h es a m eb o u n d a 珂c o n d i t i o n ，t h eg e n e r a l i z e d s 0 1 u t i o n ，o ft h eb e l t r 锄is y 8 t e m ( 1 1 ) t a k e st h em i n i m u me n e r 醪 吼 ad i s s c i r t a t i o nf o rt h pd e g r e eo fm so fh e b e iu n i v e r s i t y i nf a c t ，i f 厂= 夕o na qi nt h es o b 0 1 e vs e n s e ，t h e nb y ( 3 2 ) ，l e m m a s2 2a n d2 1 ，w e h a v e j pp 【，】- ( ( d 2 ，) 舞，坶( d 。，) 书) n 2 。如= ( 碟) n 2 。j ( z ，厂) 如 j q rr j n = ( 碟) n 2 。j ( z ，g ) 如，( ( d 。9 ) 孝，脚( d 。9 ) 孝) n 2 2 如= 引9 】 ，q，q t h u s ，f o ra l l 妒叼n ( q ，r ) a n da u r ，w eh a v l e ，+ 妒】【，】 s o 亡卜【，+ t 妒】a t t a i n si t sm i n i m u mv a l u ea tt h ep o i n tt = o t h u s t h i 8y i e l d s 等掣卜小砑k 坶( 刃扣2 ) 2 坶( 聊k ( 跏如_ 0 t h i si sn o t h i n gb u tt h ed e f i n i t i o no ft h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o no f ( 3 1 ) t h ep r o o fo f t h e o r e m3 1h a sb e e nc o m p l e t e d i no r d e rt op r o v et h e o r e m3 2 ，w en e e dt od e r i v et h el i p s c h i t z ，m o n o t o n i c i t ya n d h o m o g e n e o u sc o n d i t i o n so ft h eo p e r a t o r4w h e nz = 1 i fz = 1 ，t h e nt h eo p e r a t o r4 b e c o m e s 4 ( z ，a ) = ( a ，日a 。) m 一2 ) 2 日 ( 3 3 ) l e t 日= d i r ；d 1w i t hr 1 = d i a g ( 一y 1 ，y 2 ，y n ) b y ( 1 2 ) ，、伍一y 、侈，l = 1 ，2 ，n b yab a s i ci n e q u a l i t y r eh a v e i p 一2 一i ( 1 p 一2 e i 0 1 ) ( i 引+ i 1 ) p 一2 l f 一 、 r ec a nd e r i v et h a t 0 ，f ，( 黼， ( 4 ( z ，a ) 一4 ( z ，b ) ，4 一b 。) =( ( a 。，日a 。) 一2 ) 2 h a 。一( b 。，日b 。) 【n 一2 ) 2 h b 。，a 。一b 。) = ( i 佰卵吨佰a 。一i 佰b p 佰b 。，佰( a 。一b 。) ) 去( i 、百a 。i n 一2 + l 、百b 。i n 一2 ) i 、百( a 。一b 2 ) 1 2 丢q 几2 ( 1 a 。i n 一2 + l b 。l n 一2 ) i a 。一b 。1 2