（基础数学专业论文）相对拓扑压和非紧集合的拓扑压.pdf

摘要 摘要 本文探讨了拓扑动力系统中有关拓扑压的一些问题，定义了两种势函 数( 次可加和渐近次可加) 相对于一个开覆盖的拓扑纤维压和拓扑条件 压，证明了纤维压和条件压的三个局部变分原理本文的核心内容也就 是对三个局部变分原理的证明 在第一章中，回顾了熵和拓扑压的发展历程； 在第二章中，我们将重述一些经典的定义及引理； 在第三章中，我们讨论了纤维压和条件压的局部变分原理，准 确地，对给定的因子映射7 r ：( x ，t ) 一( s ) ，“c 殳，和 厂c ( x ，r ，t ) 罗( 或厂瓯( x ，i r ，t ) ) ： ( 1 ) p ( t ，厂，1 , 1y ) = m yp ( t ，厂，“i 可) = 婵黔、p ( t ，厂，纠iz ) ； l ，朋( k s ) ( 2 ) p ( t ，厂，“i ) = m a x u e m ( x ，r ) ，丌。p ： i nc h a p t e r4 ，w eg i v es o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft o p o l o g i c a lp r e s s u r e f o rn o n - c o m p a c ts e t s ，a n dp r o v eat h e o r e mf o raf a c t o rm a p w ec a n a p p l yi tt os y m b o l i cs p a c e sa n dd i m e n s i o nt h e o r y k e y w o r d s ：( a s y m p t o t i c a l l y ) s u b - a d d i t i v ep o t e n t i a l ；t o p o l o g i c a l p r e s s u r e ；l o c a lv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ；n o n - c o m p a c ts e t s ；c o n f o r m a l r e p e l l e r ；b s d i m e n s i o n 第一章引言 设( x ，t ) 是一个拓扑动力系统( 简记为t d s ) ，其中x 是紧致度量空间， t ：x _ x 是连续满射我们知道，熵是动力系统的基础经典的测度熵和拓扑 熵分别在【1 ，【2 】中被引进，相应的经典的变分原理在【3 】， 4 】中完成证明接下来， 定义的新的测度熵和拓扑熵及两者之间的变分原理的证明在动力系统的研究中倍 受关注 在1 9 7 1 年，b o w e n 5 】考虑到因子映射丌：( x ，t ) _ ( s ) ，并且证明了 h ( t ) h ( s ) + s u ph ( t ，7 r - 1 ( 耖) ) ， 其中h ( t ，k ) 表示x 的紧子集k 的拓扑熵 在1 9 7 7 年，l e d r a p p i e r 和w a i t e r s 6 在b o w e n 的工作下证明了下面的相对变 分原理： ， s u ph v ( t ) = 钆( s ) + h ( t ，i r - 1 ( ) ) 咖( 可) p ：肛0 7 r l = p ，l ， 其中k ( t ) 表示对于t 不变的测度p 的t 的测度熵近几年来，t d o w n a x o w i c z 和j s e r a f i n 7 1 在紧致非度量空间中完成了三个条件变分原理的证明，并获得了 一些在紧致空间中成立的结果w h u a n g 的学生将b o w e n 5 中的结果推广到非 紧集的拓扑熵并得到 乞( te ) h l ( si7 r ( e ) ) + s u p h ( t ，7 1 - 1 ( 可) ) ”y 拓扑压是拓扑熵的一种推广首先，由d r u e l l e 在文献【8 中引入，后来，p w a l t e r s 在 9 】中给出了深一步的研究拓扑压与拓扑熵相比，应用甚为广泛，因 为在对系统性质的研究中，它可以提供给我们更多的方法和信息有关拓扑熵的 一些问题仍然可以推广到拓扑压上来考虑，具体细节可以参照【1 0 ，9 】在【9 】9 中， w a l t e r s 将熵的变分原理推广得到了压的变分原理： ， p ( t ，f ) = s u p 札( t ) + f d # ) ， p 【x ，2 ) ，x 其中，是x 上的实值连续函数，p ( t ，厂) 是，的拓扑压在【6 】6 中，w a l t e r s 进一 步研究了相对于因子映射7 r ：( x ，t ) 一( ys ) 的条件压，并且证明了压的更一般 1 第一章引言 化的相对变分原理： pt s u p( ，札( r ) + 厂d 肛) = p ( l 厂，7 r - 1 ( 秒) ) d 正，( ) ， p ：p o 丌一1 兰王， j xj y 其中p ( t ，k ) 表示x 的紧子集k 的压我们注意到上述结果是文献【9 】9 中的 变分原理的一种推广 近来，动力系统的复杂性已经成为局部熵理论的更为深刻的特征熵的概念的 局部化是在拓扑空间和测度空间中通过定义熵对或熵串( 甚至熵集和熵点) 来实 现，这里有关的结果可以参见文献【1 1 】，【1 2 】为理解两种局部熵之间的关系，一些 作者研究了它们之间的局部变分原理在【1 2 】中，f b l a n c h a r d ，e g l a s n e r 和b h o s t 证明了对于给定的t d s ( x ，t ) 和x 的开覆盖“，存在一个不变测度p ，使 得i n f a 别h u ( l0 1 ) ( e “) 为了探究这个等式i n f n 别h u ( 丁，a ) = h ( t ，甜) 是否 成立，r o m a g o n o l i 2 1 】引入了两种测度熵尼去( t ，“) 和k ( t ，“) ，同时证明了 九i ( t ，“) 危右( z 纠) ， m a x h ；( t ，“) = h ( t ，“) p 接下来，g l a s n e r 和w e i s s 2 2 】证明了 m a x 砝( z “) = h ( t ，w ) ， p 这就完成了相对于一个开覆盖的拓扑熵的局部变分原理的证明 最近几年，沿袭 r o m a g o n o f i 的思想，w h u a n g ，x y e 和g z h a n g 2 3 】定义 了相对于因子映射丌：( x ，t ) _ ( s ) 和覆盖的两种测度条件熵，即k ( t ，“iy ) 和硅( t ，“ly ) ，并且证明了 危i ( t ，“iy ) = 危右( z “ly ) ， m a x 九吉( t ，甜iy ) = h ( t ，“iy ) p 在2 0 0 7 年，为了研究局部压，w h u a n g 和y y i 2 4 】引进了一种相对于开覆盖的 拓扑压的新定义，并且证明了对于任意给定开覆盖的压的局部变分原理k y a h ， f z e n g 和g z h a n g 在【2 7 】中讨论了可加性函数拓扑压的局部变分原理 本篇论文的目的是推广和丰富以上结果分别到( 渐近) 次可加函数序列的相对 拓扑压和非紧压 2 第二章预备知识 2 1次可加与渐近次可加函数序列 设( x ，t ) 是t d s ，j r = 厶：x _ r ) 甚l 是定义在x 上的实值连续函数序 列m ( x ) 表示x 上所有b o r e l 概率测度组成的集合，m ( x ，t ) 是m ( x ) 中 所有t 不变的测度组成的集合，而m e ( x ，t ) 是m ( x ，t ) 中的遍历测度组成的 集合这里m ( x ) 和m ( x ，t ) 在弱。拓扑下是凸的紧致度量空间，m 。( x ，t ) 是m ( x ，t ) 的g 6 集合在本节里，我们将引入两类定义在( x ，t ) 上的实值连续 函数序列：次可加函数序列和渐近次可加函数序列 紧致度量空间z 上的实值函数，称为上半连续的，如果以下两个等价条件之 一成立： ( a 1 ) l i ms u p ：，- + 孑f ( z 。) ，( z ) ，对每个z z ； ( a 2 ) 对任意r r ，集合 z z ：，( z ) r 是闭集 由( a 2 ) 知，对一族上半连续函数 五】 卧i n f i ， 仍为上半连续函数；有限个上半 连续函数【 ) 翟1 的和函数銎l 以及m a x l s i n 均为上半连续函数关于上 半连续函数更多的实用结果参见d o w n a r o w i c z 7 参考w h u a n g 预留本f 4 0 】，我们给出以下的相关定义及一些结论 设c ( x ，r ) = 歹：厂= 厶) 罂1 是定义在x 上的实值连续函数序列) 对任 意尸= 厶】黯l ，9 = 鲰】黯1 c ( x ，酞) 和a ，b r ，下定义： 妒+ b g = a a + ) 黑1 显然a t + 孵c ( x ，r ) o o 因此c ( x ，r ) 是实线性空间 对任意厂= 厶 甚1 c ( x ，r ) 。o ，下定义： = s 础u p 剌s u p 掣i i i m = l i m s u 嘤s u x p 掣l 显然，存在厂c ( x ，r ) o o ，使得i i 芦| i = l i 歹i l l i m = + 3 第二章预备知识 令c ( x ，瓞) 尹= 厂c ( x ，r ) ：i iy - i l 0 ， 存在琏n ，使得对任意k 琏，可找到常数瓯，。 0 ( 与厂，七，有关) 满足： 胁) 曼掣+ 眦慨v n v z 懿 j = o 命题2 1 1 设，t ) 是t d s ，歹= ) 器1 e ( x ，r ) 尹则 ( 1 ) 对任意p m ( x ，t ) ， 只( p ) = ，l i r a - 1f xf 。( z ) 咖( z ) = ，i n f - 1f x f ( z ) 毗( z ) ； ( 2 ) 只：m ( x ，t ) 一r u - - 0 0 ) 是上半连续的，并且对任意p 朋( x ，t ) ，存 在c r ，使得只( p ) c ； ( 3 ) 对p 朋( x ，t ) ，设p = l 。( x ，e d m ( o ) 是p 的遍历分解则 只( p ) = 只( p ) d m ( p ) ； j m 8 ( x ，t ) ( 4 ) 对任意m n 且m 0 ，设肛m ( x ，p ) 则刀( ) = m 只( p ) 这里= 厶m ) 黯1 ，p = z2 三：2 弓 命题2 1 2 设( x ，t ) 是t d s ，歹= 厶) 黑1 l ( x ，r ，t ) 则 ( 1 ) 对p m ( x ，t ) ，只( p ) = l i _ + 元1 厶，竹( z ) 缸( z ) ； ( 2 ) 只：m ( x ，t ) _ ru 【一o o ) 是上半连续的，并且存在c 酞，使得 对vp m ( x ，t ) ，有五( p ) c ； ( 3 ) 对p m ( x ，t ) ，设肛= 凡。( x ，t ) o d i n ( o ) 是p 的遍历分解则 只( p ) = 兀( p ) d m ( p ) ； j m 。忧，t ) 第二章预备知识 ( 4 ) 对任意m 0 ，设p m ( x ，p 。) 则歹? ) = m 只( p ) 引理2 1 3 设( x ，t ) 是t d s ，厂c ( x ，i r ，t ) 7 ( 或厂童( x ，r ，t ) ) 对 于m ( x ) 中的概率测度序列 ) 忙0 0l ，其中= 石1 扛n - 0 1 ot ，且 ，甚lc m ) ，如果 啦) cn ，满足批；一肛( 啦_ ) ，那么肛朋，t ) ，并且 l i i ；n s u p 去上厶( z ) d ( z ) 只( n 2 2 测度条件熵 本节中，我们将重述一些经典的定义及引理 设( x ，t ) 是t d s ，给出q ，p 致，p m ( x ) 和口一代数4c 召( x ) 则 以( 口) = 一p ( a ) l 。g 肛( a ) ， a 口 玩( 口i4 ) = - - e ( x ai , 4 ) l o ge ( x ai4 ) 批， a a 。 吼( qi 卢) = 吼( o lvp ) 一日0 ( p ) ， 以( 口lp v4 ) = 吼( qvp 4 ) 一风( pl4 ) 其中e ( x a4 ) 是4 的特征函数地的条件期望不难看出，吼( 乜lp ) ( 或吼( qi4 ) ) 关于。递增，关于p ( 或4 ) 递减 定义2 2 1 设7 r ：( x ，t ) _ ( rs ) 是因子映射，p m ( x ，t ) 和q 玖则 下定义相对于因子系统( s ) 的口的测度条件熵： h u ( t , qi v ) = = 竹l i m 。1 ，。h u ( a l7 r 一1 ( 8 ( y ) ) ) = = n i n = ：f 1 ，。h u ( a n 7 f - 1 ( b ( y ) ) ) 进一步，定义相对于因子系统( fs ) 的( x ，zp ) 的测度条件熵： 札( t ，xiy ) = s u ph u ( e o t y ) 注2 2 1 对o t p x ，( 正qiy ) = i n f v 印xi i 如2 1 击耳( q 竹i7 r - 1 ( y ) ) 6 第二章预备知识 沿袭r o m a g n o l i 在 2 1 】中的思想，w h u a n g 在 2 3 】中引入了下面两种类型的 相对于覆盖的测度条件熵 定义2 2 2 对p 朋( x ) 和“c k ，令 瓯l 】，) _ n 嚣剐巩( 口i 丌。1 ( 召( y ) ) ) 注2 2 2 对o l 欧，我们可以将巩( 口iy ) 的许多性质推广到吼iy ) 设p m ( x ) ，对v “，v c 支，以下性质成立： ( 1 ) 0 巩似iy ) l o g 似) 这里) 表示“的所有子覆盖中基数最小 的子覆盖的元素个数： ( 2 ) 若甜y ，则吼( 甜iy ) 风( yiy ) ； ( 3 ) 也( “vvly ) 吼( 甜iy ) + 吼( yly ) ； ( 4 ) 吼( t _ 1 ( “) iy ) = t t v p ( 甜iy ) 瓯( “iy ) 由此可知，对p m ( x ，t ) 和“c x ，吼似iy ) 具有次可加性 定义2 2 3 若p m ( x ，t ) 和“敛，则下定义“的两种测度条件熵： 11 酊“iy ) 2 熙麦以妒i 】，) 2 籍云玩iy ) ， 允右( t ，“iy ) _ a 蒜洲巩( t ，“iy ) 注2 2 3 易证：k ( 正“ly ) h + ( t , b lly ) 事实上，w h u a n g 在【2 3 】已经证 明了h + p ( t ，甜iy ) = 九一p ( t ，甜iy ) 因此，我们可记为： k ( z “iy ) = 砖( t ，“jy ) 引理2 2 1 1 2 3 】设7 r ：( x ，t ) _ ( s ) 是因子映射，肛m ( x ，t ) 则对 w ，v c x ，以下性质成立： ( 1 ) 九p ( t m ，“my ) = m h p ( t ，甜iy ) ； ( 2 ) 危p ( t ，“vyy ) p ( t ，, 4iy ) + ( t ，viy ) ； ( 3 ) 若“y ，则7 u ( t ，甜jy ) h i , ( t ，viy ) ； ( 4 ) 札( t ，xiy ) = s u p u 以h l , ( t ，甜iy ) 引理2 2 2 1 2 3 ( 遍历分解) 设7 r ：( x ，t ) _ ( s ) 是因子映射，p m ( x ，t ) 和“白若p = 凡。( x ，r ) o d m ( o ) 是p 的遍历分解则 ， 札( z “iy ) = h o ( t ，“iy ) d m ( o ) j m 。( x ，t ) 7 第二章预备知识 引理2 2 3 2 3 】设7 r ：( x ，t ) _ ( ks ) 是因子映射和o t 以，则 ( 1 ) 函数执) ( qy ) 在m ( x ) 上是凹的； ( 2 ) 函数 f ( t ，aiy ) 在m ( x ，t ) 是仿射的 引理2 2 4 2 3 】设7 r ：( x ，t ) _ ( ks ) 是因子映射，o t 吸，且口的元素是x 的既开又闭的子集，则 ( 1 ) 甄) ( 口iy ) 在m ( x ，t ) 上是上半连续的； ( 2 ) k ) ( 正口】厂) 在m ( x ，t ) 是上半连续的 引理2 2 5 设g ：段_ r 是单调的，即：对vq ，p 玖，o t p ，g ( a ) g ( 卢) 则 a e t ，i x 螺冽g ( 口) = a i e n g g ( q ) ，a 别、 。、7 其中“= 巩，】c o ，令 = o e 取：口= 4 1 ，a m ，a ic 以，i = 1 ，2 ，m 证明：见【1 4 ，引理2 】 8 第三章两种势函数的纤维压和条件压 3 1 次可加函数序列的拓扑纤维压和条件压 设( x ，t ) 是t d s ，e ( x ) 是x 的所有b o r e l 子集构成的集族本文中x 的 覆盖是x 的一个有 混b o r e l 子集族，且这些子集的并是x x 的分割是x 的 一个覆盖，但它的元素是两两不交的我们用以，欧和c 殳分别表示x 的所有 覆盖的集合，所有分割的集合和所有开覆盖的集合设4 ，爿是x 的两个子集 族，则称爿比4 细( 记为“4 ) ，如果的每个元素，存在a a ，使 得a ca 记a va = an a ：a a ，a 7 爿) ，t _ 1 a = 丁- 1 ( a ) ：a 4 同时，对m ，n n ，镌= v 警mt a ，a n = 粕 设( x ，t ) 和( s ) 是两个拓扑动力系统如果存在一个连续满射7 r ：x y ， 使得7 r0 t = s 07 r ，那么就称7 r 为一个因子映射此时称( s ) 为( x ，t ) 的一个 拓扑因子 定义3 1 1 对厂c ( x ，r ，t ) 7 ，a 暖和y y ，令 卯帅) 2 暑晋毋如 其中，“是由x 的开子集组成的有限集族，其满足7 r - i ( 可) cu 爿和爿 则下定义对给定y 的相对于4 的歹的拓扑纤维压： p ( t ，ai 可) = l i m s u p 砉l o g r ( z 厂，ai 可) 注3 1 1 由于x 的分割 7 r 一1 白) ：y y 是上半连续的，因此，容易验 证r ( t ，厂，4i ) 在y 上是上半连续的 注3 1 2 由定义2 1 1 可得，定义在y 上的函数序列 l o g r ( t ，厂，ai ) ) n 具 有次可加性，即：对vy y 和m n ，有 r + m ( t ，aiy ) r ( t ，芦，aiy ) p 仇( t ，歹，as n ( y ) ) l i t 由k i n g m a n 次可加遍历定理【1 0 】，我们得到以下结果： 若m ( s ) ，则p ( t ，歹，ai 可) = l i i i h 。元1l o gp n ( t ，厂，a | y ) 1 2 一n e 注3 1 3 若a ，彳殴，且4 “，则p ( t ，芦，a1 秒) p ( t ，厂，a ly ) 9 第三章两种势函数的纤维压和条件压 引理3 1 1 对任意y r 佗n 和a 职，有 r ( t ，ai ) = 1 n i y z v s u p e 删 其中，v 是x 的有限子集族，其满足- 1 ( 秒) cuy 和v a n 对v 氏，设口是由v 生成的b o r e l 分割，则定义：p + ( v ) = f l 玖：p y 且p 的每个元素都是a 的一些元素的并) ，易见p + ( v ) 是有限集 下面引理的证明与【2 4 ，引理2 1 】类似 引理3 1 2 设丌：( x ，t ) _ ( y is ) 是因子映射，丁= ( 厶) 甚1 e ( x ，r ，t ) 7 ，y e x 贝u 对v 佗n 和y y ，有 i n ffs u pe 厶( 茁) ：m i ny 、 s u p e a ( 引 卢奴，卢v 舌吕惦b n 霄一1 ( 掣) 胀p ( v ) - b 6 b 霉b n 丌一1 ( 暑，) 由定义3 1 1 ，引理3 1 1 以及引理3 1 2 ，对v 甜c 殳和n n ， 即一“i 沪p 磊霉嚣坳) 删 定义3 1 2 若a 破，m ( y ) ，令 r ( t ，4i ) = z l 。g r ( t ，歹，af 可) d ) 由注3 1 2 ，当v m ( s ) 时，p n ( t ，歹，ai ) 具有次可加性则下定义对任 意给定的相对于a 的，的拓扑纤维压：对朋( ks ) ， p ( z 厂，4i ) = n i n 2 f 1 n p , 。( t , , t ，4i 王，) ( = n l 。i m 1 n p n ( t ，厂，4i 王，) 注3 1 4 由注2 1 1 及【7 ，附录( a s ) 】知，p n ( t ，厂，ai ) 在朋( k s ) 上是上半 连续的从而p ( t ，尸，ai ) 在h 4 ( y ) 上是上半连续的 注3 1 5 由注2 1 1 及单调收敛定理，有 p ( t ，厂，ai ) = p ( z 厂，aiy ) d u ( y ) - ，y 特别地，p ( e 厂，4i ) 在朋( k s ) 上是仿射的 注3 1 6 由定义3 1 1 和定义3 1 2 ，对m z + ，有 p p ，p ，印i ) = m p ( t ，歹，a 1 0 第三章两种势函数的纤维压和条件压 定义3 1 3 对任意y y 和芦c ( x ，r ，刃，我们称p ( t ，厂，xiy ) 为对给 定y 的厂的拓扑纤维压，如果 p ( t ，芦，xiy ) = s u pp ( t ，芦，ai 可) a c o 对任意z ，m ( s ) 和厂c ( x ，r ，t ) 7 ，我们称p ( t ，歹，xi ) 为相对于 的厂的拓扑纤维压，如果 p ( 正，xi ) = s u p 尸( z 歹，al ) a e c o 注3 1 7 设( a ) 箍1cc o ，且( a ) 器1 满足：a 1 a 2 a 则 p ( t ，歹，xjy ) = l i mp ( t ，厂，厶1 秒) ， p ( t ，厂，xi ) = l i mp ( t ，尸， i ) ， 从而p ( z 丁，xi ) = 矗p ( t ，丁，xly ) d v ( y ) 接下来，我们将定义相对于开覆盖4 的次可加函数序列厂的拓扑条件压 定义3 1 4 对v 礼n ，令 r ( t ，厂，么ly ) = s u p r ( t ，ay ) ， y e y 则下定义对给定因子系统( s ) 的相对于4 的厂的拓扑条件压： 1 p ( t ，厂，4y ) = l i m 二l o g r ( t ，厂，4y ) n _ o 。n 进而，令 p ( t ，xiy ) = s u pp ( t ，歹，aiy ) ， 4 嚷 则称之为对给定因子系统( vs ) 的厂的拓扑条件压 下面我们讨论相对于开覆盖4 的次可加函数序列歹的拓扑纤维压与条件压 之间的关系参考 2 7 ，定理2 1 】，我们可得到下面的定理 定理3 1 1 ( 局部外变分原理) 设7 r ：( x ，t ) 一( ks ) 是因子映射，则对任 意厂= 一o 。则 札( t ，甜iy ) + 兀缸) p ( t ，丁，甜i ) 证明：设肛= 止如咖( 可) 是肛相对于分割= t r - 1 ( y ) ：y y ) 的分解， 且只( 肛) 一o 。 因为7 r 是紧致可分空间上的连续函数，故可以选择测度地，使得对v y ， 满足地何_ 1 ( 秒) ) = 1 断言对vy c x ，瓯( y ly ) = 止吼，( v ) 咖( 可) 断言的证明：在【2 4 】中，w h u a n g 已经证明：对v 入m ( x ) ，风( v ) = m i n t ，o , ( v ) h x ( p ) 1 2 第三章两种势函数的纤维压和条件压 设p ( y ) = 胁，尾，角) ，则对每个i = 1 ，2 ，8 ，令 a i = y ：风。( y ) = 吼，慨) ) ， 则 a 1 ，a 2 ，a 。) c y 作b 1a 1 ，b 2 = a 2 a 1 ，玩= a 。( u 蓦a ) ，下令 毒 ，y = u 7 r 。1 ( 鼠) nb ：b 屈) p x ， i = 1 贝0 ，y ：v ，对vi = 1 ，2 ，8 ，若可b i ，贝0 丑0 。( ，y ) = 月0 ，( 屈) = j e i 0 ，( v ) 因此 巩( viy ) i - i ( 7i - 1 ( b ( y ) ) ) = 巩，( 7 ) 咖( 矽) = | h ( v ) d p ( y 蒜上( p ) d ( ) 一卢陬，y 删”7 i 臼净y 。 = 廪风i 丌。1 ( b ( y ) ) ) 卢p x 、 = 吼( viy ) 这即完成了断言的证明 对v 扎n 和y y ，由引理3 1 2 ，存在岛尹似“) ，使得 r ( 正尸，“iy ) = s u p e ，n ( 引 赢x e b n t r 。1 ( f ) 由断言 “( t , b t y ) + 只( p ) = 一l i m 1 h u ( g n l y ) + ，l i m - i x a ( z ) 咖( z ) = l i r a - n ljy(hzn-+00i v 。( 甜n ) + 如( 厶) ) 咖( ! ，) 对v b 岛和y y ，其满足bn , i f - 1 ( ! ，) 乃，令 q ( b ，y ) = s u p f n ( x ) ：z bn7 1 - - 1 ( 可) ) ， 1 3 第三章两种势函数的纤维压和条件压 则 r ( t ，酎i 可) = e a 妙 b 风 进而由引理3 2 2 以及风甜n ，得 因此 吼。( 纠n ) + 如( 厶) i - ，( 岛) + z v ( 厶) 一如( b ) l o gt z 可( b ) + a ( b ，可) 弘( b ) b e ；岛b e 岛 = 如( b ) ( q ( b ，) 一l o g # u ( b ) ) b e ；岛 l o gf e a ( b ， 口助 = l o g r ( t ，“i ! ，) 札( t ，“iy ) 十五( p ) 熙三上l 。g r 厂，“i 可) 咖( ) = n l 。i m 三n p n ( t ，芦，甜i ) n _ 7 z = p ( t ，“l ) 至此我们完成了命题的证明 引理3 2 3 设7 r ：( x ，t ) 一( vs ) 是因子映射，丁= 厶) 藩1 c ( x ，r ，t ) 7 ，y y 和1 , 4 政假设k n ，以及 o z k ：1 是x 的k 个 比纠细的既开又闭的有限分割则对v n ，存在有限子集风c7 r - 1 ( y ) ，满足 对每个1 f k ，( q f ) 的每个原子至多包含了b n 中的一个点，并且 fe，(霉pn(t,f歹,z4 y ) 毒晶 n 命题3 2 2 设7 r ：( x ，t ) 一( k s ) 是因子映射，其中( x ，t ) 是可逆的零维动 力系统，厂= 厶) 器1 c ( x ，r ，t ) 7 和“c x 如果i ，m ( y s ) ，可y 是l 的生成点，即：当n 0 0 时，n 1 信n - - 0 1 西| 一 假设p ( t ，厂，uiy ) 一o 。那么，存在p m ( x ，t ) ，满足7 r op = ，使得 当只( 肛) 一o o ，有 p ( t ，iy ) h i , ( t ，1 4ly ) + 只( p ) 1 4 第三章两种势函数的纤维压和条件压 证明：设“= 仉，玑) ，定义： 翻+ = q p x ：q = a 1 ，a 2 ，a ) ，ac 阢，i = 1 ，2 ，s ) 因为x 是零维空间，此时x 的既开又闭的子集的全体为可数集且它们构成 了x 的一组可数基这样甜+ 中由既开又闭的子集构成的分割的全体是一个可数 集，用 铆：2 1 ) 表示这个可数集的一个枚举 设n n 由引理4 3 ，存在有限子集3 c ? r - 1 ( ) ，使得 f e ) p ( t , y , u i y ) ( 3 1 ) z 一一 、 7 并且，对v 1 f n ，( 口z ) n 的每个原子至多包含了风中的一个点 设是原子测度，且 一z 风e 厶( z ) 如 一笔z 笔e b u 筹 厶 。 设p n = 石1 忙n - 0 1f 0o n ，则丌0o n = 毛，7 ro 鲰= 石1 n 侍- 0 16 s i 掣 选择自然数集n 的一子列 ) ，使得 l o g ( z 尸，纠iy ) 一尸( e 户，纠fy ) ， 且p n ；_ 肛，则p m ( x ，t ) ，且7 rop = 固定2 n ，设n 2 因为( q z ) n 的每个原子至多包含了鼠中的一个点同时， 假设肛n 是7 1 - - 1 ( y ) 上的测度，满足脚( 7 r _ 1 ( 可) ) = 1 因此，由的定义，引理3 2 2 及式( 3 1 ) ，得 吼。( ( 口f ) ni7 1 - - 1 饵( y ) ) ) + z n ( 厶) =吼。( ) ni7 1 - - 1 ( y ) ) + a u ( 厶) ( 斜) ( 厶( z ) 一l o g # n ( m ) ) $ b n = l o g e 胁) 茁b n l o g r ( z 厂，甜iy ) 一l o g n 固定自然数g ，礼，且佗 z ，1 g n 1 设s ( j ) 表示孚的整数部分【孚】， 0 j q 则 s ( j ) - i ( ) n = vt 一r 叶j ( 铆) 4vv t - k a i r = o 詹岛 15 其中岛= o ，l ，歹一1 ，j + s ( j ) q ，j + s ( j ) q + 1 ，扎一1 ，且c a r d s j 2 q 所 以 l o g r ( t ，歹，“ly ) 一l o g n 风。( ( q f ) 忭l7 r 一1 ( 召( y ) ) ) + p n ( 厶) s ( j ) - i 吼。( t 一( t 口 ( a 1 ) 。i7 1 - - 1 ( 召( y ) ) ) + 吼。( vt - k q f l7 1 - - 1 ( b ( y ) ) ) + p 竹( 厶) r = 0 k s u ) - t 日_ 。+ j 。p 。( ( q 1 ) 口i7 r - 1 ( 层( y ) ) ) + p n ( ) + 2 9 l o gs 对歹从0 到口= l 求和，得 q 1 0 9p , 。( t ，厂，所iy ) 一l o g n 刀扣。p 。( ( a 1 ) 口i7 r - 1 ( 8 ( y ) ) ) + 口p 忭( 厶) + 2 q 2 l o g s ( 3 2 ) p = 0 因为风 ( ( q 1 ) 竹l , 7 1 - - 1 ( b ( y ) ) ) 在m ( x ) 上是凹函数故得 去善跏。加( ( 啦) 口一( 召( y ) ) ) 巩) 口旷( 召( y ) ) ) 因而，得 兰l o g p ( t , 尸，“iy ) 也。( ( 啦) a 旷1 ( 艿( y ) ) ) + 弘c a ) + 2 q 2l o g s - + q l o g n ( 3 3 ) 因为啦是既开又闭的分割，故由引理2 2 4 ，得甄) ( ( q z ) 。l7 r _ 1 ( 召( y ) ) ) 在m ( x ) 上是上半连续的在( 3 3 ) 式中，用心代替佗，再令j _ o o ，我们有 妒( t ，厂，“i 可) 唑m 。s u 三一f1 j d + 吼( ( q z ) 4 i 丌- 1 ( 召( y ) ) ) g 兀( p ) + 巩( ( 锄) 口i7 r 一1 ( 召( y ) ) ) ( 3 4 ) 式( 3 4 ) 的两边同除以g ，且令q _ 。，得 p ( 正歹，甜1 秒) h l , ( z iy ) + 只( p ) 1 6 第三章两种势函数的纤维压和条件压 由引理2 2 5 ，有 ( t ，“iy ) = h + ( t , l gi y ) 。口i n “f 。h p ( t ，卢iy ) 2 呈f h p ( t ，q l iy ) 从而。得 p ( t ，厂，甜iy ) 九| 【( t ，“ly ) + 只( p ) 命题3 2 3 设7 r ：( x ，t ) _ ( v s ) 是因子映射，其中( x ，t ) 是可逆的零 维动力系统，芦= 厶) 藩1 c ( x ，r ，t ) 7 和“毁若朋( y s ) ，则存 在p m ( x ，t ) ，满足7 r # = ，使得 九弘( t ，甜ly ) + 只( p ) p ( t ，厂，“l ) 证明：假设朋e ( s ) ，则一口e y 是的生成点因此，我们可找到l y 的生成点y o y ，使得 p ( t ，厂，“i 珈) 厂p ( t ，歹，“1 秒) d ( 秒) = p ( t ，歹，甜i ) 由命题3 2 2 ，存在p m ，t ) 满足7 r p = ，使得 p ( t ，甜iy ) + 兀( p ) p ( t ，歹，“iy o ) p ( l 尸，甜i ) 如果m ( vs ) m 。( ks ) ，设i = l 。( y s ) o d i n ( e ) 是的遍历分解下定 义函数 f ：m ( ls ) 一r ， f ( a ) = s u p h e ( t ，1 4iy ) + 兀( e ) ：e m ( x ，t ) ，7 r ( = 入) va 朋( s ) 则 f ( 8 ) d m ( 8 ) ( k ( t ，甜ly ) + 只( e ) ) d m ( p ) ， ，l c ( k s ) ，m 。( y ；s ) 厶删叩，刑d m ( p ) = p ( t ，歹，“i ) ( 3 5 ) 断言f ( ) 在m s ) 上是上半连续的有界凹函数 第三章两种势函数的纤维压和条件压 断言的证明：因为x 是零维空间，即矿中存在由既开又闭的分割组成的可数 集 q l ：f 1 ) ，使得对ve m ( x ，t ) ， q l ：l 1 ) 在甜+ 中是l 1 ( x ，召( x ) ，c ) - 稠密的因此，对ve 朋( x ，t ) ，有 。 ” c ( t ，“iy ) = 亨( t ，甜iy ) 2 i n 7 f h e ( t ，q f iy ) 因为q f 是x 的既开又闭的分割，故由引理2 2 4 ，对vz 1 ， ) ( t ，ly ) 在m ( x ，t ) 上是上半连续的，从而k ) ( t ，1 4ly ) 在m ( x ，t ) 上也是上半连续 的由引理2 2 2 ，易得h t ) ( t ，所iy ) 是仿射的 由此证得，f 是上半连续的有界凹函数 我们完成了断言的证明 由断言及( 3 5 ) 式，得 rc f ( u ) = f ( 8 d m ( e ) ) f ( 8 ) d m ( 8 ) p ( t ，厂，“i ) j a 4 8 ( k s )j m 。( k s ) 因为九 ( z 甜jy ) 在州( x ，t ) 上是上半连续的，故存在弘m ( x ，t ) 满 足丌肛= ，使得 札( e “iy ) + 只( 肛) p ( t ，芦，甜i ) 定理3 2 1 ( 局部变分原理) 设7 r ：( x ，t ) _ ( y ，s ) 是因子映射，如果 厂= 厶) 胆o o1 c ( x ，r ，t ) 7 ，对朋( y ；s ) ，那么，当兀( p ) 一o 。时， m a x h p ( t ，甜iy ) + 兀 ) ：p m ( x ，t ) ，t r # = ) = p ( t ，厂，甜i ) 当只) = - - 0 0 时，p ( t ，户，甜i ) = 一 证明：假设只( p ) 一。由命题3 2 1 ，对vp m ( x ，t ) 满足7 r p = ，有 札( 正甜iy ) + 只似) p ( t ，户，“iz ，) 我们可参见文献【1 2 】和 2 4 】，构造一可逆的零维动力系统( z ，r ) 和因子映 射妒：( z ，r ) 一( x ，t ) ，进而，由引理3 2 1 和命题3 2 3 ，存在u m ( z ，r ) 满 足何ov ) - = ，使得 k ( r ，妒一1 ( 纠) iy ) + 厂。妒( 叫) p ( r ，j co 妒，妒一1 ( “) l ) = p ( r ，厂。妒，妒一1 ( “) i 可) d ( ) ，l ， = f p ( t ，尹，“i 可) d ( 可) 1 8 第三章两种势函数的纤维压和条件压 因此，对p 既满足p 妒- 1 ) ， 虬( 冗，卢iy ) + 厂。妒( u ) p ( t ，厂，1 , 1i ) 设p = 叫，则p m ( x ，t ) 满足7 r p = ，对v a 欧，o t 1 4 ，则 妒一1 ( o e ) 耽，妒一1 ( a ) c p - 1 ) ，由引理3 2 1 ，有 h t , ( t ，乜iy ) + 只( p ) = 九u ( 兄，妒一1 ( 0 1 ) iy ) + 丁。妒( u ) p ( t ，“i ) 从而，得 h u ( l 甜iy ) + 只( p ) p ( t ，厂，酣i ) 如果兀( p ) = 一0 0 ，由命题3 2 1 ，p ( t ，厂，纠i ) - - 0 0 ，而由命题3 2 3 ， 得p ( t ，厂，甜i ) 一o o 至此，完成了定理的证明 推论3 2 1 ( 条件压的局部变分原理) 设7 r ：( x ，t ) _ ( s ) 是因子映射， 丁= 厶) 甚l c ( x ，酞，t ) 7 和甜锻则 p ( t ，“iy ) 2 p m m a ( x x ，t ) 札( t ，“iy ) + 只( p ) ) 证明：应用定理3 1 1 和定理3 2 1 可得证 注3 2 1 由推论3 2 1 ，若厂c ( x ，r ，t ) 7 ，“c o ，则存在p m ( x ，印， 使得 h u ( t , i iiy ) + 只( p ) = p ( t ，尸，i iiy ) ( 3 6 ) 设p = l 。( x ，t ) o d i n ( e ) 是p 的遍历分解则由引理2 2 2 和( 3 6 ) 式，有 ( h e ( t ，甜iy ) + 只( 9 ) ) d m ( p ) - ，m e 僻，t ) = h o ( t ，甜iy ) d m ( o ) + 只( 目) d m ( 椤) ，m e ( x ，t ) ，朋。( x ，砷 = 九p ( f ，“iy ) + 只( p ) = p ( t ，尸，“iy ) 第三章两种势函数的纤维压和条件压 因此，存在0 m 。( x ，