（基础数学专业论文）一类cartanhartogs域的kahlereinstein度量.pdf

摘要 本文考虑殷慰萍与r o o s 引入的第一类c a r t a n h a r t o g s 域 斫( r ，m ，凡；k 1 = 叫c 。，z r ，( t n ，n ) ：i i 叫1 1 2 o ) 这里r 1 ( m ，n ) 表示华罗庚意义下的第一类c a r t a n 域，其中d e t 表示行列式，z 表 示z 的共轭，上标表示矩阵的转置，r ，m ，n 为自然数，i 表示复空间c 7 的范 r 数，即q = ( q l ，q 2 ，聃) c ，则1 2 = i 吼1 2 对c “中任何有界拟凸域， c h e n g - y a u 和m o k - y a u 证明其存在唯一的完备的k a h l e r - e i n s t e i n 度量殷慰萍巴 求出c a r t a n - h a r t o g s 域k 的b e r g m a n 核函数，从而易知域m 是有界拟凸域，存 在唯一完备的k a h l e r e i n s t e i n 度量除有界齐性域外，在经典的不变度量中，能给 出完备k i i h l e r - e i n s t e i n 度量的显表达式的拟凸域极少 本文中，我们利用域的全纯自同构子群及全纯自同构下的不变函数，通过 特殊的技巧，将高阶非线性的复m o n g e - a m p b r e 方程化为一常微分方程，由方程的 隐式解得到生成函数并得到其k i i h l e r - e i n s t e i n 度量的显表达式，进一步得出了当 k 取某些特殊值时，c a r t a n - h a r t o g s 域m 的一类完备的k i h l e r - e i n s t e i n 度量的 显表达式以及全纯截曲率及其估计，并由此给出了其完备的k 戤h l e r - e i n s t e i n 度量 与k o b a y a s h i 度量的比较定理 关键词： c a r t a n - h a r t o g s 域k j i h l e r - e i n s t e i n 度量全纯截曲率全纯 自同构群比较定理 i i 摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rc a r t m - h a r t o g sd o m a i no ft h ef o l l o w i n gt y p ew h i c h i si n t r o d u c e db ty i nw e i p i n ga n dr o o s h ( r ，m ，札；) = w c 7 ，z r d m ，n ) ：ij 叫8 2 o ， w h e r er ( 弧n ) i st h ef i r s tc a r t a nd o m a i ni nt h es e n s eo fl o o - k e n gh u a ，d e t i n d i c a t e st h ed e t e r m i n a t e 。z i n d i c a t e st h ec o n j u g a t ea n dt r a n s p o s eo fz ，r ，m ，a n d na r ep o s i t i v ei n t e g e rn u m b e r s ，ki sap o s i t i v er e a ln u m b e r | 1i st h es t a n d a r d h e r m i t i a nn o r mi nc 7 ，i e t 7 = ( q 1 ，7 2 ，m ) c r ，t h e n m 1 2 = h c h e n g - y a ua n dm o k y a uh a v es h o w e dt h a ta n yb o u n d e dp s e u d o - c o n v e xd o m a i ni n c “h a sau n i q u ec o m p l e t ek i i h l e r e i n s t e i nm e t r i c t h eb e r g m a nk e r n mf u n c t i o n s o i lc a f t a n h a r t o g sd o m a i n sa r eo b t a i n e di ne x p l i c i tf o r m u l a sb yy i nw e i p i n g ，s o w ec a ne a s i l yp r o v et h a thi sab o u n d e dp s e u d o - c o n v e xd o m a i n i ti sv e r yd i f f i c u l t t ow r i t ed o w nt h ec o m p l e t ek g h l e r e i n s t e i nm e t r i cw i t he x p l i c i tf o r m so fv e r yf e w p s e u d o - c o n v e xd o m a i n se x c e p to nb o u n d e dh o m o g e n e o u sd o m a i n s i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gt h ea u t o m o r p h i s ms u b g r o u po f ”a n dt h eb i - h o l o m o r p h i c i n v a r i a n c e ，w er e d u c et h eh i g h e rd i m e n s i o n a ln o n - l i n e a rc o m p l e xm o n g e - a m p 4 r e e q u a t i o n o rt h em e t r i ct o a l lo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb yu s i n gs o l n es p e c i a l s k i l l 、w eo b t a i nt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no fma n di t se x p l i c i tf o r m sk g h l e r e i n s t e i n m e t r i co nc a t t a n h a r t o g sd o m a i n ，a n dw eg i v et h ee x p l i c i tf o r m so ft h ec o m p l e t e k i h l e r - e i n s t e i nm e t r i cw h e ni ns o m es p e c i a lc a s e so fk ，t h eh o l o m o r p h i cs e c t i o n a l c u r v a t u r eo ft h ei m m r i a n tk a h l e r e i n s t e i nm e t r i co ni t i nt h i sc a s e s w eg e tt h e u p p e ra n dl o w e rb o u n d so ft h eh o l o m o r p h i c s e c t i o n a lc u r v a t u r e ，a n dw eo b t a i nt h e c o m p a r i s o nt h e o r e mo fc o m p l e t ek g h l e r e i n s t e i nm e t r i ca n dk o b a y a s h im e t r i c 首都师范大学位论文原创性声明 y8 6 8 9 7 6 本人郑重矽明：所呈交的学位沦文，足本人在导师的指导下，独立进行研究 j ? 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：丑硝朽 日期：如韶年弓月j 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：至譬随瞻 日期：玉即睁月j 日 序言 由于广义相对论方面的兴趣，k i i h l e r e i n s t e i n 度量显的特别重要，拟投射簇上的 r i c e i 曲率为常数的完备的k ；i h l e r e i n s t e i n 度量在各种几何中应用都比较广泛对 c 竹中任何有界拟凸域nc h e n g - y a u 1 1 和m o k 、，a u 【2 1 证明存在唯一完备的k a h l e t e i n s t e i n 度量设该度量为 剐扣i 妻硒出而， , j = l 0 2 9 。 则函数g 是复m o n g e - a m p a r e 方程的下列d i r i c h l e t 边值问题的唯一解： j ，a e t ( 魏) 甜刊9 ，z 蚀 l ，：o 。， z a d 伍鸿熙 3 】指出在四类经典的不变度量中( i i p ：b e r g n m n 度量，c a r a t h 6 0 d o r y 度量，k o b a y a s h i 度量，k g h l e r - e i n s t , e i n 度量) ，由于k i i h l e r - e i n s t e i n 度量的证明是复杂的非构造性的， 因而除了齐性域外要写出k i i h l e r e i n s t e i n 度量的显表达式极为困难但是k g h l e r e i n s t e i n 度量的显表达式对研究域的边界不变量和渐近性质很有帮助，因此把满足 上述边值问题的显式解求出来是很有意义的任何k 柚l e r - e i n s t e i n 度量的不变量都 给出了复结构的内蕴不变量，所以k g h l e r - e i n s t e i n 度量的主要用途之一是提供了研 究复流形的重要解析工具 设n 是一有界对称域，我们定义h a r t o g s 域q 为： 建= “叩，z ) c ”q ：l 叩1 1 2 o ， n ( z ，牙) = d e t ( i z 学。) 击，z 岛，其中d e t 表示行列式，z 表示z 的共轭，上标 2序言 t 表示矩阵的转置，m ，n ，为正整数，j 【f 为正实数则i2 为段慰萍与r o o s 引入的第一 类c a r t , a n h a r t o g s 域 4 1 ： h ( r ， l ，n ；k ) = 1 1 1 c ，z r 1 ( m n ) ：i i 山 1 2 “ o ) ， 其中r 为正整数，c a r t a n h a r t o g s 域是华罗庚域的特殊情形文献【4 ，6 】给出了h 的b e r g m a n 核函数，由此易知它的b e r g = i i l a n 核函数是穷竭的，因而域v ，为有界拟 凸域，存在唯一的完备的k a h l e r e i n s t e i n 度量通常对于完备的k ；i h l e r - e i n s t e i n 度 量的显表达式只有在有界齐性域的情况下才得知，它就是b e r g m a n 度量，至于非齐 性域，所知结果极少当r = l 时，即w 是一个复数时，王安 7 】利用c a r t a n - h a r t o g s 域的全纯自同构群，以及一些全纯不变量，将复m o n g e - a m p 6 r e 方程化为一常微分 方程由方程的隐式解构造出生成函数，从丽得到c a r t a n - h a r t o g s 域当w c ，k 取特殊值时，其相应的完备的k i i h l e r - e i n s t e i n 度量的显表达式而当r 1 时，即 w 是一个r 维复向量时，此时的复m o n g e - a m p 6 r e 方程是高度非线性偏微分方程， 要显式得到它的满足边值问题的唯一解特别困难，不能利用r = 1 时的方法去求 在这种情况下，我们通过特殊的技巧，将复m o n g e - a m p e r e 方程化为一常微分方程， 由方程的隐式解可构造出生成函数，从而得到c a f t a n h a r t o g s 域的k 5 h l e r - e i n s t e i n 度量，并求出了当参数取某些特殊值时，c a r t a n - h a r t o g s 域巧( r ，m ，n ；k ) 的一类 完备的k i i h l e r - e i n s t e i n 度量的显表达式，由此我们提供了一种在非齐性域上计算 完备的k a h l e r e i n s t e i n 度量的方法进一步我们求出了在该度量下的全纯截曲率 u 【( 。，”) ，d ( z w ) ，并得到其上，下界的估计，由u ( ：， ) ，d ( = ，w ) 】有负的上界，根据 m h e i n s 2 0 】的一个结果，我们得到了碍( t m ，t l ；k ) 的完备的k g , h l e r e i n s t e i n 度量 和k o b a y a s h i 度量的比较定理由于k a m e r e i n s t e i n 度量和k o b a y a s h i 度量的关 系所知甚少，因此我们的结果是很有意义的 第一章给出了第一类c a r t a n h a r t o g s 域的k a h l e r e i n s t e i n 度量的生成函数的 隐表达式，进一步在第二章中给出了当取特殊值时，域h 的一类完备的k g 。h l e r e i n s t e i n 度量的显表达式第三章求出了在度量下该域的全纯截曲率及估计，由此 得到了完备的k a h l e r - e i n s t e i n 度量与k o b a y a s h i 度薰的比较定理 第一章第一类c a r t a n - h a r t o g s 域的 k i h l e r e i n s t e i n 度量 定义l 如果复流形q 的每一点有一坐标邻域及对z 与i 的解析函数圣( z ，乏) 使得 炉絮掣，詹= i 壹, j = l 糍掣d z 面z j 2 硒， ( g q ) 1 0 ，r ( z ，协；z 0 ，u ) a u t ( y 1 ) ， r 叫z ，蝠- ) = ( 盥铲) ， 则有 t ( z ， ；- z , 面) = 【j f t ( z + ， + ；旁，面+ ) 石 如：z 证显然，当z = 0 时，垂( z ， ；牙，面) 是怕1 1 2 的某个函数l ( 1 1 w l l 2 ) 根据典型域的理论【9 j ，我们可以得到 i z + 君= ( 刁) 一1 ( i z 或) 一1 ( i z 乏) ( i z o 字) a 一1 d e t ( 1 一z 可) = d e t ( i 一磊菘) d e t ( i z 乏) f d e t ( i 一 嘁) r 2 这里 而 第 垦兰：鲞! 垫! ! ! ! ! ：旦! ! ! ! 壁墼塑垦! ! ! ! ! ：垦! ! ! ! 生! 壁垦5 由引理2 、l ( x ) 在a u t ( y ，) f - - 。，缈( 五”；z ，而) 取主值 强 d 旦弧 嘲 = a 磋 器 。啦 o ， 一一一 笙二童 塑二堂g 垫! ! 兰璺：旦堡! ! 旦壁塑盟鉴垫! 里! ：呈! 翌壁! 也鏖垦一 证显然( i ) “( z ，毗牙面) 也是h 的不变的k i i - e r 度量的生成函数 冈 a 2 l o g 圣“( z ，训；z 塑1 d 2 l o g 中( z ，；z o z i o 强j 义，。 u ( 堡塑! 慧窘) 。，从而，上式 。 设面( z ，w 、乏，面) 生成的度量为 d s 2 = d ( z ，训) 丁( z ，w ；一z ，面) d ( z ，w ) 。 币吖zw ；z ，而) 生成的度量为 则 蜕2 = d ( z ，w ) t a z ，w ；g ，面) 砸而 g ( z u i ：z ，面) = ( a 2 l o g 中吖z ，w 8 z t 娩i 0 = u t ( z ，训；z ，面) 。= 1 ，2 ，j = 1 ，2 ， 从而圣“( z 州z ，面) 生成的度量下的r i c c i 曲率为 因 d d ，l + o g ，d e t t i , ( z , w ；z , w ) d d l o g 中j ( z ，w ；- 2 ，面) d d l o g d e t t ( z ， “d d l o g 西( z ，w ；一z ，面) d ：d = 1 0 g d e t t ( z , w ：；，z , 面一) ：a d d l o g 中( z ，训，z ，丽) 则( 1 式：一a “ 定理2 。令西( z ，训；牙，面) = g ( x ) d e t ( i z z ) i 帮 丁= r ( z ，叫；z ，y 5 ) = ( a 2 l o g 圣f z ，w l z堕) 8 z i 0 5 j ( 1 ) 、 动一 、 功一 第一章 第一类c a r t a n - h a r t o g s 域的k 萏h l e r e i n s t e i n 度量 则d 8 2 = d ( z ，w ) t d ( z , w ) t 是域蚱的p d c c i 曲率为一( + 1 ) 的k a h l e r - e i n s t e i n 度 量的充要条件是g ( x ) ：伊e 铲( r 一番t ) _ x “，其中y 是下列问题的解； p 吖7 ( 一南) r - 1 x = 丢r - 1 白( 一志) 1 炉州“托 【y ( o ) = 高 ( 2 j 这里 一【争r h j + 志 ( 志) “， 1 2 0 、7 ，( r j 一 ) r ( r + 1 ) 一( 一r + 7 + 1 ) f ( r j + 1 ) f ( j + 1 ) a = k ( m + n ) + r ，i = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，- 一， 证( 辛) 根据引理4 所以 t ( z ， ；z ，面) = j f t o ( o ， ；o ，自尹) 了 d e 0l o g - 西弘( z , w ；- z , 面) = i蛐陆za e t ( 塑铲 而 d e t j f o ；z = d e t ( i z 旁) 一( “+ “+ ；) 下面我们计算r ( 。，扩；。，矿) = ( 堡塑譬铲) 为方便起见，我们用w 代 即我们首先要求出下列度量方阵的值 死= 望：! ! 墨! ! 兰! 竺j 至! 里2 o z 。扼日 翌! ! ! ! 里( 兰! 型i 至! 里2 o w 糖8 翌：! 堡! ( 星：竺i 至! 里2 o z 口掘i 翌! ! g ! ! 兰! 竺j 星! 塑 a 训t a 奶z = 0 8 蔓二童整二茎旦竺! ! 璺：旦竺! ! 暨苎塑垦垫堡! 曼! 磐! 璺! 鏖墨 其中 a = 1 ，2 ，- 一，一r ，口= 1 ，2 ，- ，一r ，i = 1 2 ，一，r ，j = 1 ，2 ，。，r 已知e ( z ，叫；牙，面) ：g ) d e t ( i z 矛) 尘苗肄，我们记 h = l o g g ( n 肚筹，肚舞，y 圳x + 志 由x 的定义 l o g 西= h 十志( 1 0 9 x 同时 1 0 9 圣= 丑一普l o g d e t ( i 一厉) 对l o g 求偏导得 百0 l o gc i , = ( 肌志) 差 a l o g 西 ! ，f a x 可i2 “面 对l o g 求二次偏导得 麓= ( 一志舻，o xa c g i x + ( 肌尚一0 2 x 石 丽0 2 l o g 雪= ( n 南舻o xo x j + ( 舢志一) 器 0 讹2 l o 钷g 。i 圳筹差删鑫0 毗钷口舷口a 毗。鼬i 毖p 丽0 2 l o g 圳箍篆删器a 诎莉 掘j 札知i 掘j 整二童蔓二耋望竺! ! 坐婪竺! 堡! 堕塑鉴垫堡! 量! 塑! ! 坐鏖重 9 其中 a = 1 2 ，一，一r ，卢= 1 ，2 ，- 一，一r ，i = 1 ，2 ，r ，j = 1 ，2 ，一一，r 其中 又由行列式求导公式知 其中 8 x8 x a 如a z h 8 x8 x 掘日扼m z - g 。) 一i k l 动 z 可) 1 z i ：d n = 1 ，2 ，一r ，卢= 1 ，2 ，一r ， = 1 ，2 ，一，m ，f = l ，2 ，一，n ，s = 1 ，2 ，一，m ，= 1 ，2 由x 的定义可知 o x i 一 瓦l o xi 面l 2q 篆l = 甏l 。= 篆l = 笔l = 。a i a l i 锄i 如“i 两0 2 瓦x = 耳1 瓦0 x t r ( i 一疗) 一1 i * t 动+ 刊x ( i 一刃) o = 1 2 - = l ，2 ，一，m ，f = 1 ，2 经计算可得 z z 。) 一z i h ( i z 牙) 一1 i 旁】 n r 。8 = 1 ，2 。，n r n ，s = 1 ，2 ，m ，t = 1 ，2 ，n 一 一 o o 打 x x ，一 ，一 1 0 茎二童堑= 耋堡竺! ! 璺：坚竺! ! 暨堕塑鉴! ! 坦堡! 磐! ! ! ! 塞量 其中 瓦0 删2 x 。= 一0 2 xz = o = o z k l 0 2 kt = 铷 a z 。a 劾i ：o “k ” 器卜02xozo z k t o 面：l i z = o = 。掘j i 。：o 石0 2 x z = o 一0 2 x o w i o 乏。tb = 。 a s t i ：= o 一0 2 x _ o w i o 面j 妇。6 日i 。= o ” o t = 1 ，2 ，一，j 一r ，卢= 1 s = 1 ，2 ，m ， = 1 ，2 ，一，竹，t = 1 ，2 ，。，r ，j = 1 ，2 ，一，r = m 点朋) 其中 h 吲”+ 删= y xi _ y 一志) p p y 一志) 一z 又由引理4 t ( z ，t u ；- z ，面) = j f t o ( o ，矿；o ，秽) - t ， 所以 a e t ? = ( 矿7y 一高) 1 俐“蚺衙( m + 峨1 棚， n21 i = m2l | | ，七 l | i ? l 吼 一 f 0 | | 一 鼬 堕二童堕二壅曼竺! ! 璺：望竺! ! 暨篁堕坚垫! ! ! ：望! ! ! ! 曼! 廑星 l l 所以 则 而d s 2 ：d ( z ，) 丁( z ，w ；z ，面) 面i 可的r i c c i 曲率为一( + 1 ) ，即 一些d d l o 筹gz 等等z 一( + 1 ) ，西( ， ；，面) 、4 d e t t = 西( z ，训；z ，面) + 1 由y = x h 7 + 高得到 肚( y 一志) 一， 日：f 。( r - 南) x - l d x + c 1 a 日2 j c而) g ( x ) = e h = e c l e f x ( y 一南) x 一1 “x 由( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 式，可得 ( 丢) “( y 一而、，r - - 1 螂却叫“删+ 1 ) 肿耐r y _ 一r n a + i 、r - 1 y x _ ( r _ 1 ) = q e ( + 1 ) 铲( y 一南) 一蹦 这里c l 为任意常数，q 为任意正常数 上式两边对x 求导有 卜7 ( y 一志) 1 1 1 - 进一步有 ( 4 ) ( 5 ) 唧y y - 南) “一卜y 7 ( y 一志) ”1 x 刈钏y n - r y , ( y 一志) ， 带爿 一 一 y ，_ 厂， 炉 矿 叶 + 一一 1 2 壹二主j 受兰坠旦塑塑墨生望螋苎盟墨垫! 呈! 里! 竺! ! 垫重量 所以 卜( ，一南) 1 x 1 三嚣剥高铿撼晰，2 萎桀粼( 一志) ”。一州矗v 严甲( y 一高) 1 x 2 r - 1 矿者高鉴丽( 一南) “y 堋c 令 白2 矿焉斋咎， 从而可知y 满足 p 吖y - 志) ”1 x = 霎白( 一南) 。y 舳岍十e ly ( o ) = 南 ( 6 ) 其中 阽一( ) r - i - j e j + 志】( 志1 j ；0 i ( 仁) 容易验证若g ) = g + ( 7 一南) x 一1 蚪，y 满足方程( 6 ) ，则由圣生 成的度量下的r i c c i 曲率为一( + 1 ) 注1 ：方程( 6 ) 的解不是唯一的，但是，如果y 是方程( 6 ) 的解，则 9 一而1 ，昭( 丢) “7 ( y 一南) 1 州一琊一刃) - ( 蚤， d e t ( g q ( z ， ) ) = e ( + 1 ) 9 。，”) 的解 第章 第一类c 甜l 1 一i t a r t ( g s 域的k x h l e r e i n s t e n 度量 注2 ：方程( 6 ) 的隐式解为p x = ( ，_ ( 1 其中 p f y l ，。y ”( y 一尚) ”1 d y 。 0 1 高一 。，、7 f1l 1 ， 删p j = 擎r - - 1 ( 一高) 。1 。1 + l + 为任瓤常数 注3 ：定理2 中的l o g 中只有满足复m o n g e a m p & e 方程边值问题的唯一解 时矗s 2 在域kl 是完备的 进一步由定理1 及定理2 ，显然有 定理3 若e ( z 训；乏，面) 满足定理2 ，则中+ 1 ( z ，叫；z ，面) 也是域m 的不变 k = l h l e r e i n s t e i n 度量的生成函数，其生成的度量下的r i c c i 曲率等于1 第二章完备的k i i h l e r e i n s t e i n 度量的显表达式 根据文献讣m 的b e i g m 。m 核函数是多重次调和的、同时出文献f 4 ，6 1 知它还 是穷竭的，从而由文献【8 ，h 是拟凸域，显然有界，所以”是有界拟凸域 定理4 对于第一类c a r c a i l h a n o g s 域h ( r l m ，n ；) ，当k ：! 竺：时，域 玎l + 竹 h 的完备的k g h l e r e i n s t e i n 度量的生成函数是1 咐叩，妒击抵( ，一应一( 去) 丽 证由：型，得a ：n + 1 ，c ：0 这时第一章定理2 中的方程( 2 ) 化为 x y ，：y 2 一y ly 【( 】) 2 l 解出y = 南、其中l + 为任意常数 若取l = 1 ，则y = 击于是 1 一 西( z w ；乏，面) = 高d e t ( i z 碧) 一 特别耵+ = ( 去) 而吐 中( z , w ：z r o ，：击a e tc i - z 乏+ 一( 去) 黼 下面我们要证明中】( z ，叫：z ，面) 是下列边值问题的解： 中( z ，“，；z ，面) 。+ 1 ，( z ，w ) 圻， ( z w ) 0 h 艇肛+ 1 ) 们川嵩篡 8 面乏 ， 筹一 盟沈 b 一 一z 俨一 ，义五 帕 叫 ，、【 量；章完备的k i h l e r e i n s t e i n 度量的显表达式1 5 显然由定理2 有 d e tf翌! ! ! ! ! ! ! 兰! 竺；至! 翌1 0 z 。扼8 中l ( z ，埘：孑，面) + x t v ( z ，i ，j h 成立若点( 孑，面) a h ，且面0 时，( 三，面) 为强拟凸点，当( z ，训 m ，且( z 叫) _ ( j ，面) 时，有x _ l ，t 七一+ 。，而此时d e t ( i z 2 。) _ i i 罚 1 1 2 一 0 因此在强拟凸点上，有m 1 ( z ，叫；z ，面) _ + o 。，( z ，叫) r 嘶 若点( i ，面) o ，而面= 0 时，( 三，o ) 为弱拟凸点、当( z ，w ) h ，且( z ，) 。 ( 三、o ) 时，有i 与 l ，d e t ( 1 一z 2 。) 一o ，d e t ( 1 一z 乏) 女一+ o o ，即在弱拟凸 点上，也有中1 ( z ， ；z ，面) 一+ 。，( z ，) 一a y ，这就证明了l o g 垂1 ( z ，；z ，韬) 是 m o n g e - a m p 6 r e 方程的边值问题( 8 ) 的解，所以m 的完备的k g h l e r - e i n s t e i n 度量 的生成函数为圣l ( z ；乏面) 进一步，由引理4 及第章内容，我们有 t ( z ，w ，z ，面) = j 月o t ( o ， + ，0 ，矿) 不 = z ( 专1y 。而。：。+ y ，) 了k 其中y = 丁妥，而我们已知。k r 竺1 o z 岛：2 a 。 f i z z 1 1 d 一1 ( z 0 = z = 去抵”z - - 石t ，_ z * 1e ( 万w f 等w ) z o = z = d e t ( t z 旁) 一击u 从而我们得到了该度量的显表达式为 d s 2 = ( d z ，d 协) 玎瘌 第二章完备韵k 最h l e r - e i n s t e i n 度置的显表达式 其中 t = 7 1 1 1 t 1 2 ) ， n1=丢【(i一2z。)一1。(i一玄z)一1】+xky。22z a r - e 、 z ) 面丽 n 13 云【( i 一 。) 1 。( i z z ) 。】+ k 。 、) e ( z ) 乃2 ：百y 2- 壶e ( z 。 2 耳 i z z ) 。” 疋。= 置：= 罢d e t ( i z 君) 一女耐百丽 马。= 丽x 2 y 2 _ 叫伽+ 丽x y i 这里e ( z ) 见引理3 此时，对非齐性域m 而言，我们找到了一个完备的k i h l e r - e i n s t e i n 度量的显表达式 第三章k i i h l e r - e i n s t e i n 度量和k o b a y a s h i 度量比较 定理 不变度量理论在多复分析中很重要， b e r g m a n 度量，c a r a t h d o d o r y 度量， k o b a y a s h i 度量，k i i h l e r e i n s t e i n 度量是四个经典的不变度量( 见文献3 ，1 0 1 ) 研 究它们之间的关系是一个重要的问题9 中有界域上满足”收缩性质”的不变度 量中，k o b a y a s h i 度量是最大的最近，刘克峰，孙晓峰，丘成桐研究了t e i c h m i i l l e r 空间和模空间的经典度最的等价问题f 1 1 - 1 3 】，证明了在这两个空间中的四个经典度 量是等价的，特别是证明了b e r g m a n 度量和k i i h l e r e i n s t e i n 度量在这两个空间上 是等价的丘成桐猜想( 见文献【1 4 ，1 5 d 殷慰萍等研究了经典度量在华罗庚域上的 等价问题，特别是证明了b e r g m a n 度量和k i h l e r - e i n s t e i n 度量在c a r t a n - h a r t o g s 域是等价的，即丘成桐猜想在c a r t a n h a r t o g s 域上也成立伍鸿熙( 3 指出除有 界齐性域外至今尚未知晓k i h l e r - e i n s t e i n 度量与k o b a y a s h i 度量的关系而在文 献 1 6 19 关于k i i h l e r - e i n s t e i n 度量和k o b a y a s h i 度量的比较定理关键之处是要 证明k a h l e r - e i n s t e i n 度量的全纯截曲率具有负的上界，而且都是在b e r g m a n 度量 和k i i h l e r e i n s t e i n 度量的显表达式求出来的情况下进行的这一章我们给出第一 类c a r t a n - h a r t o g s 域的k a h l e r e i n s t e i n 度量的全纯截曲率的表达式以及上下界的 估计，得到比较定理成立 引理5 设z 为一mxn 矩阵，则有 t r ( z z t z z t ) t r ( z z t ) t r ( z z 。) m t r ( z 穷z 穷) 证若z 为非零矩阵，则存在一mx m 酉方阵u 与一n n 酉方阵y ，使得 z = u a 1 0 0 a 2 0o 00 a l a 2 a 卅0 ，a l 0 o o 0 第三章 k g h l e r e i n s t e i n 度量和k o b a y a s h i 度量比较定理 t r ( z z z 牙) = a j + + a 袅、t r ( z 7 ) t r ( z z ) = a ；+ - + a i 。 由c a u c h y s c h w a r z 不等式可得 所以 a j + + a j 。s ( a j + + a 象) 2s ( a ：+ - + a 麓) t r ( z 7 z 2 。) t r ( z g ) t r ( z 2 ) sm t r ( z 乏z 2 ) 定理5 令的完备的k g h l e r e i n s t e i n 度量为e h ( z ；9 ) ，其k o b w a s h i 度量 为_ r l ，( 。1 1 _ 1 ；y ) ，则当k = 号品等时，存在正常数c ，使得对任意( z ， ) y ，c ， 有 e y , ( z ，w ；y ) c r y , ( z ，u j ；) 由文献f 1 6 2 0 要证明比较定理成立，只需证明k g h l e r - e i n s t e i n 度量的全纯截 曲率具有负的上界 下面我们计算第一类c a r t a n - h a r t o g s 域k ( ，。，m ，n ；) 完备的k g h l e r e i n s t e i n 度量下的全纯截曲率及其上、下界的估计 由第二章内容知当k ：掣时，第一类c a r t a n h a r t o g s 域m ( r ，m ， ；，f ) m + n 完备的k g h l e r e i n s t , e h _ 】度量的生成函数币】( z ，删乏，面) 、且知此时的度量方阵t ，则 h 在此度量下的全纯截曲率有如下形式： d ( 。，叫) 一盈d 丁+ d t t 一1 i 亍 i 耳j 面。 = = = = 二= 了一 【d ( z ，w ) t d ( z ，训) m 1 其中一= 喜兰觑、五= 善n 墨五。n = m n + r , 丁= c 为度量方阵 因为全纯截曲率在全纯自同构变换下是不变的，对任意的( z ，w ) m ，存在 确a u t ( h ) ，使得f 0 ( z ，w ) = ( o ，州4 ) ，所以，只需计算f ( z ，训) ，d ( z ，训) 在( 0 ，留+ ) 点的值即可为方便，下面的计算中我们以w 代叫”，而当z = 0 时，有怕8 | l = x j 至蛰l 垦墼坐竺! ! 呈兰主! ! ! 壅量塑鉴! 堡螋! ! 壅量堕墼壅堡 1 9 已知 t = 心： v 蜀12 去f ( i z ) 。 ( i 一牙。z ) 。 t t 2 y 万2d e t ( i z - z 。) 一毒岳( z ) t w 1 】+ 等即) t 硒 t 2 1 = z 。= 等d e t ( i 一历，击丽 耻稀机蒜z 下面给出d t , 磊打j t 一1 在点( o ， ) 处的值 打= d t n d t l 2 ) ，聊= f 裟 所以 dd e ta = d e t a t r ( a 一1 d a ) d a 一1 = 一a l d a a 1 d e ( z ) 。= ( t r f ( 1 一刀) 一d z 旁( 1 一膨) 一z i 。l 动， t r ( x j 孝) 一1 d z 穿( i z z ) 一1 1 。万j ，一， t r i ( i z 旁) 一1 d z 君( i z _ ) 一1 i ，。男】) d e ( z ) = ( t r 【( i z z 。) 一1 乏c 泫1 1 l z + ( i 一乏z ) 一1 1 l l d z t ， t r ( ( i z z 。) 一1 勐z 1 1 2 z + ( i z z 。) 一1 1 1 2 d z t ， t r ( i 劢) 一1 j 芋d z i m 。z + ( i 一劢) 一1 1 m 。d z 1 ) 、 、， 一姆一搋 2 0 堕三堂鉴垫堡! ：垦! 竺! 垒! 堕量塑鉴! ! 塑塑! ! 壁量些塾重型 令z = 0 可得 d e ( z ) l z ：o = 0 ，d e ( z ) l z ：0 _ d z d 【( i 一牙z ) 一1 。( i z 。z ) 一1 1 1 z ：o = 0 ，d e t ( i z z ) 一击l z = o = 0 所以，计算可得 继续计算得 到删= 罢砒气 d n 2 i ：0 = 0 d t ：i i z ：o =争出 d t 2 2 1 2 = o = 2 y 3 秽叫面d w + y 2 ( 面d 叫i + 秽d 叫) j d t l l l ：- o ：i y 2 悴+ y ( y 一1 ) ( 1 l d z i l 2 i + 夏2 d z ) + i y ( i 。密踞+ 3 - 2 d z 。i ) + 百2 y 3 i , - r 训- 4 h a 奶2 b ：善l - ( 2 y _ d w t 瓦 + 寇d w )a 奶2 b2 i ( 2 y _ d w 。万 + 万d ”) ：。：y2枷。-：。-t。tddt211 - d = + 磊如) 雨( 2 y ：= 。= 枷叫叫d 孑+ d 。d z ) 第三章k i i h l e r - e i n s t e i n 度量和k o b a y a s h i 度量比较定理 若令 a d 划= y 2 ( 2 y 面瓦t w + 坐卜y 2 ( 蔚加+ 1 l 胪) + 2 y 3 ( i i 础磊孑1 2 + _ d c 3 - 5 w + 面l l d w l l 2 + 伽- - d 叫t 痧d 叫) + 6 y 4 面叫i d - v 州- - - t 1 2 一砷一1 - - t = ( r 嘞n r n ) 注意到 t 一：。：k 1 专。一0 才 ，) t 1 一= 1 珈硫) ) = 一y ( y 。- 1 ) ( - 夏z t 以+ 1 2 i ) 一丢( i 。耐凹+ t z d z 嘲) 一i y 2o 胁酽i 一筹1 ：一罢面d w t 瑟”一i y 2 n - e z - t d w 岛1 = r 。1 2 ( 9 ) r 2 2 ：y i ，31 1 d z i l 2 疗w 一1 y _ 2i i d z i i ( u d w i i耐6 h 。) 一2 y t i i i r