（基础数学专业论文）迭代函数方程解析理论的研究.pdf

山东大学硕士学位论文 迭代函数方程解析理论的研究 刘凌霞 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 动力系统就是要研究个决定性系统的状态变量随时间变化的规律根 据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示 的离散动力系统许多物理，力学生物学以及天文学问题的数学模型都是离 散的迭代过程描述的动力系统的许多问题都可以化为迭代函数方程漫长的 历史沉淀使迭代函数方程成为与微分方程，差分方程、积分方程及动力系统紧 密相关的现代数学分支，在实验科学和工程科学研究中起着重要作用迭代函 数方程伴随着迭代理论的发展。从巴贝奇、阿贝尔等数学家开始至今，已经形 成了个理论体系本文在绪论中介绍了函数迭代的特性及其在现实生活中 的应用迭代与动力系统的概念，离散动力系统与连续动力系统的概念、迭代 函数方程的基本形式、迭代根问题、不变曲线问题及d a v i e 引理，并且简要介 绍了近几年在迭代函数方程方面的研究成果 迭代函数方程作为现实世界中抽象出来的一种十分重要的模型，具有广 泛的现实意义和应用背景，一直受到数学家们的广泛关注在实验中常常通过 对初始状态到当前状态的记录，来分析系统运动的规律本文的第二章用优级 数方法讨论了多项式型迭代函数方程解析解的存在性以前在这方面的工作 要求未知函数在其不动点处的线性化特征值n 不在单位圆周上或在单位圆周 上但满足d i o p h a n t i n e 条件我们突破了d i o p h a n t i n e 条件的限制，在。是 单位根的情形以及n 在单位圆周上但不满足d i o p h a n t i n e 条件的情形，用比 d i o p h a n t i n e 条件更弱的条件b r j l l n o 条件给出了解析解结果 迭代是自然界乃至人类生活中的一种普遍现象迭代函数方程是函数复 合与迭代的产物，和微分方程一样都是函数方程的特殊类型准确地讲，迭 代函数方程就是由未知函数和复合运算构成的恒等式平面映射的不变睡线 在离散动力系统的周期稳定性理论中扮演着重要的角色，研究平面映射的不 变曲线的存在性具有重要的意义本文的第三章讨论了两类平面映射的解析 不变曲线l l p - 维复离散动力系统的解析不变曲线和一类平面映射在共振点附 近的解析不变曲线的存在性本章首先将平面映射不变曲线的存在性化为等 m 山东大学硕士学位论文 价的迭代函数方程解的存在性，然后利用s c h r & i e r 变换把迭代函数方程化为 不含未知函数迭代的非线性函数方程，再利用优级数方法得到解析解的存在 性本章同样利用b r j u n o 条件给出了解析解结果 关键词，迭代。迭代函数方程，优级数，解析解，不变曲线 山东大学硕士学位论文 a n al _ y t i ct h e o r yo fi t e ra t e f u n c t i o n a le q u a t i o n s l i ul i n g x i a s c h o o l 吖m a 巩e m a h c sa n d 跏t e ms c i e n c e s , 肌d o 御u n i v e r s i t y , j i n a n , 跏d n 如n 岛e 5 0 w o , p r c h i n a a b s t r a c t t h ep u r p o s eo fd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r yi st os t u d yr u l e so fc h a n g ei n s t a t ew h i c hd e p e n d so nt i m e u s u a l l yt h e r ea l et w ob a s i cf o r m so fd y n a m i c a l s y s t e m s ：c o n t i n u o u s 由删c a ls y s t e i n sd e s c r i b e db yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d d i s c r e t ed y n 锄i c a ls y s t e m sd e s c r i b e db yi t e r a t i o no fm a p p i n g s m a n ym a t h e - n m t i c a lm o d e l si np h y s i c s ，m e c h a n i c s ，b i o l o g ya n da s t r o n o m ya r eg i v e ni ns u c h f o r m s m a n yp r o b l e m so fd y n a m i c a ls y s t e m sc b er e d u c e dt oa ni t e r a t i v e f u n c t i o n a le q u a t i o n st h r o u g hy e a r so fd e v e l o p m e n t ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a - t i o n sh a v eb e c o m eab r a n c ho fm o d e mm a t h e m a t i c st h a ta l ec l o s e l yr e l a t e dt o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o n sa n dd y n a m i c a l s y s t e m s ，p l a y i n ga ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo f e x p e r i m e n t a ls c i e n c ea n d e l l - g i n e e r i n g s i n c em a t h e m a t i c i a n sl i k eb a b b a g e ，a b e le t c ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a l e q u a t i o n sh a v ef o r m e dat h e o r y 日y b t e mw i t ht h ed e v e l o p m e n to fi t e r a t i v et h e - o r y i nt h ei n t r o d u c t i o np a r to ft h et h e s i s ，t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n da p p l i c a t i o n s o ff u n c t i o n a li t e r a t i o n ，t h ec o n c e p t so fi t e r a t i o n sa n dd y n a m i c a ls y s t e m s ，t h e c o n c e p t so f d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m sa n dc o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ，t h e b a s i cf o r m so fi t e r a t i v ee q u a t i o n sa n dt h ep r o b l e m so fi t e r a t i v er o o t sa n di n - v a r i a n tc u r v e 9a n dd a v i el e m m aa r ei n t r o d u c e d ab r i e fi n t r o d u c t i o ni sa l s o g i v e na b o u t t h ea c h i e v e m e n t sm a d ei nt h ef i e l do f i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n s i nr e c e n ty e a r s a sa ni m p o r t a n tm o d e la b s t r a c t e df r o mt h er e a lw o r l d ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a l e q u a t i o n sa r eo fw i d eo p e r a t i o ns i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，b e - i n ga l w a y sc o n c e r n e db ym a t h e m a t i c i a n s i ne x p e r i m e n t ，t h ea n a l y s i so ft h e r e g u l a t i o no fs y s t e ms p o r ti sa l w a y sc a r r i e do u tb ym e a n so ft h er e c o r d sm a d e v 山东大学硕士学位论文 f r o mi n i t i a l i z a t i o nt oc u r r e n ts t a t e i nc h a p t e r2 ，e x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n s o fap o l y n o m i a l - l i k ei t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o nn e a rr e s o n a n c ea r ed i s c u s s e d b ym e a n so fm a j o r a n ts e r i e s p r e v i o u sw o r k sr e q u i r ea t h ee i g e n v a l u eo ft h e l i n e a r i z a t i o no ft h eu n k n o w nf u n c t i o na ti t sf i x e dp o i n t i sn o to nt h eu n i tc i r - c l eo rl i e so nt h ec i r c l ew i t ht h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n w eb r e a kt h r o u g ht h e r e s t r i c t i o no fd i o p h a n t i n ec o n d i t i o na n do b t a i nr e s u l t so fa n a l y t i cs o l u t i o n si n t h ec a s eo fu n i t1 o o tna n dt h ec a s et h a tal i e so nt h ec i r c l eb u td o e s n ts a t i s f i e d w i t ht h ed i o p h a a t i n ec o n d i t i o n ，u s i n gt h ew e a k e rc o n d i t i o nt h a nd i o p h a n t i n e c o n d i t i o n - - b r j u n oc o n d i t i o n i t e r a t i o ni sag e n e r a lp h e n o m e n o ni nn a t u r a la n dh u m a nl i f e i t e r a t i v e f u n c t i o n a le q u a t i o n sa r et h eo u t c o m eo ff u n c t i o nc o m p o u n da n di t e r a t i o n ， a n d ，j u s tl i k ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a r eas p e c i a lt y p eo ff u n c t i o ne q u a t i o n s a c c u r a t e l ys p e a k i n g ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n sa l et h ei d e n t i c a le q u a t i o n f o r m e db yu n k n o w nf u n c t i o n sa n dc o m p o u n do p e r a t i o n i n v a r i a n tc i l r v e 8o f t h ea r e am a p sp l a ya ni m p o r t a n tr o l e i nt h et h e o r yo fp e r i o d i cs t a b i l i t yo f d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s i nc h a p t e r3 ，t w ok i n d so fp l a n a rm a p p i n g si e a n a l y t i ci n v a r i a n t si nat w od i m e n s i o n a lc o m p l e xd i s c r e t ed y n a m i e a ls y s t e m a n de x i s t e n c eo fa n a l y t i ci n v a r i a n tc u r v e sf o rap l a n a rm a p p i n gn e a rr e s o n a n c e a r ed i s s o n s s e d w br e d u c et h ee x i s t e n c eo fa n a l y t i ci n v a r i a n tc u r v e st ot h ee x - i s t e n c eo fa ni t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o nb ym e a n so fm a j o r a n ts e r i e s t h e n u t h es c h r 拉i e rt r a n s f o r m a t i o nt oc h a u g et h ei t e r a t i v eh m c t i o n a le q u a _ t i o nt oa n o t h e rw i t h o u ti t e r a t o ft h eu n k n o w nf u n c t i o n f u r t h e r w eo b t a i n t h ee x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n so fs u c ha ne q u a t i o nb ym e 眦so fm a j o r a n t s e r i e s w eo b t a i nr e s u l t so fa n a l y t i cs o l u t i o n su s i n gb 1 , j u n oc o n d i t i o ne q u a l l yi n t h i sc h a p t e r k e yw o r d s ：i t e r a t i o n ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n s ，m a j o r a n ts e r i e s ， a n a l y t i cs o l u t i o n s ，i n v a r i a n tc u r v e s 山东大学硕士学位论文 ，i ( 。) r q n r c s l f ( m ，下，z ，w ) w ( m ，一z ) 符号说明 ，( z ) 的竹次迭代 无理数集 自然数集 实数集 复数集 单位圆 与常数m 和r 有关的函数f ( z ，w ) 与常数肘和r 有关的函数( z ) 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：趟盔肇 e t 期： 丝! 垒i 旦丛日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：壶l 盘整导师签名：日 期： 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 所谓迭代，可看作同运算或操作的多次重复自然数的乘法a x k ，可看作 加法运算，即k 个a 的累加，或函数，扛) = x + a 的迭代在j p 上的线性变换a 的多次重复下，空间j p 中任意一点z 将生成动态轨迹z ，血，a 2 z ，a 3 z 迭代产生了动力系统，迭代产生了复杂性 迭代是自然界和人类社会中的普遍现象大量的物理、力学，生物学以 及天文学问题的数学模型都是由连续的和离散的迭代过程描述的因此，研 究映射迭代描述的离散运动是现代动力系统的重要课题许多惊人的发现都 是通过对映射迭代的研究而产生的例如，作为2 0 世纪最重要的成就之一的 k a m 理论，其主要方法就是映射的迭代；在离散动力系统中研究映射的倍周 期分岔时，描述倍周期分岔的普适性的具体表现就是重正化群方程，即费根鲍 姆( f e i g e n b a u m ) 函数方程【5 】： 一 9 ( z ) = - g l q ( - 兰) ，g ( o ) = 1 ， u 这就是个迭代函数方程微分方程中的不变流形。h a m i l t o n 系统中的不变 环面和不变曲线，都可归结为对迭代函数方程的研究因此，研究迭代的规律 非常重要 1 1 迭代 若y 是u 的函数，即y = ，( u ) ，而u 又是x 的函数，即t = 9 ( z ) ，则称y 为 x 的复合函数，记为y = ，( 9 ( z ) ) 或y = f og ( 岳) 一些简单的初等函数经过复 合，会变得十分复杂同个函数f ( x ) 的多次复合，( ，( 。) ) ，( ，( ，( z ) ) ) ， 称为函数f ( x ) 的迭代为简便起见，记 ，1 ( 。) = ，( z ) ，“( z ) = ，( ，l 一1 ( z ) ) 特别地，记，0 ( z ) i z 迭代是复杂的看似简单的函数，( = 一护和，p ) = s i n x ，其n 次迭 代的函数性质不仅十分复杂，而且当n 0 0 时的极限行为还会出现许多意想 不到的事情非线性函数的复杂性常常通过迭代而被放大了 迭代是普遍的在经济生活中。如果本金p 以利率r 借贷n 年，若按复 利累计，其总和应为厶= p ( 1 - i - r ) “显然，“是函数口( z ) = o ( 1 4 - r ) 的迭 代在科学实验中，我们常常通过对初始状态到当前状态的记录，来分析系统 山东大学硕士学位论文 运动的规律x 射线的透射，流体的渗流、生物体的生长计算机的运行等 过程中都包含了迭代现象在数学中。切递推关系都是迭代等差数列和等 比数列当然是迭代的产物微分方程解的p i c a r d 逼近就是个迭代过程考 虑c a u c h y 问题 j 五d z ( ) = 巾，z ( t ) ) ， 【z ( t o ) = x o 其p i c a r d 序列t $ 。( t ) ) 如下定义 ix o ( t ) ：ix 0 ， l ( ) = x o + e ( s ，一l ( s ) ) 幽 它是算子 r x ( t ) ：= x o + ，( s ，z ( s ) ) d 5 j 缸 迭代产生的因此微分方程的数值解就是用迭代的方法来研究微分方程在分 析向量场时我们常常讨论返回映射或p o n c a r d 映射饲如微分系统 j 害= p ( t y ) 【警= q ( t ，z ，y ) 其中p q 是连续可微的且关于t 具有周期t 设其关于初始条件z ( o ) = f ，u ( o ) = q 的解记为z ( 亡；f ，q ) ，( 如f ，”) 那么，( f ，q ) 一0 ( 正f ，町) ，( e ，7 ) ) 定义了个连续映射i i ：r 2 一舻，称为p o i n c a r g 映射通过这样的方法把 问题化成映射的迭代来解决因此，把迭代的数学原理搞清楚是十分必要的 1 2 迭代与动力系统 我们常常把一些相互联系并不断变化发展的事物称作一个系统这些事 物，既可以是自然科学中的某些物质，也可以是社会客体和组织等抽象的事 物个系统如果其历史和未来完全由某一时刻的状态所确定，或者说只要知 道它在某一时刻的状态。就能准确的预测它的未来的命运并能回溯它历史发 展过程，则称之为决定性系统动力系统就是要研究个决定性系统的状态变 量随时间变化的规律根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动 力系统和由映射迭代揭示的离散动力系统以迭代为背景的离散动力系统的 研究始于一百多年以前，由数学家e s c h r s d e r ，n h a b e l 、b b a b b a g e 等 人创立了迭代论在近代自然科学如物理学、化学，天文学，力学等学科的关 注和推动下，动力系统理论，尤其是关于迭代动力系统的理论发展十分迅速， 山东大学硕士学位论文 取得了一些重大发现如关于周期性的s h a x k o v s k y 序、关于分岔的f e i g e n b a u m 现象、关于运动复杂性的s m a l e 马蹄等。所有这些都极大的促进了动力系统 的发展 设x 是个集合，和g 是定义在x 上的自映射，o g 表示映射， 和g 的复合，即 ( ，0 9 ) ( z ) ：= ，( 9 ( z ) ) ， $ x 由此便可得到迭代的定义 定义1 2 1 设，：x x 是桌合x 到自身的一个映射，记 厂。( z ) = ，o p 一1 ( z ) ，0 ( z ) = $ 其中竹为正整数，称广( z ) 为，( z ) 的忭次迭代，并称n 为，l 的迭代指 数从定义可见， 。 f = i d lr0 p = 忡 其中记表示恒同映射，映射的迭代构成了个半群。如果，是拓扑空间x 上 的连续映射，其迭代被认为是构成了一个离散半动力系统 ，t i ：n z + ) ，如 果，在x 上是个同胚，其迭代构成了个离散动力系统 广：n z ) 定义1 2 2 一个映射( ，z ) ：r x x 称为集合x 上的一个流，如 果对1 ，如r ，z x ( i ) ( o ，z ) = z ， ( n ) 庐( t l + t 2 ，z ) = ( t l ，( 如，z ) ) 如果上述t 仅在r ，+ 上有定义，则称( ，z ) 为一个半流 定义中的集合x 如果是拓扑空间，而( t ，z ) 连续，这时我们称为x 上 的个连续( 半) 动力系统如果x 上有伊微分结构，且( t ，z ) 也是r 阶连续 可微，则称为矿流，对连续流进行离散采样，即若上述定义中的t z ( z + ) ，记 f ( z ) = ( 1 ，z ) ，其中( 1 ，z ) 称为流的时间1 一映射，则称 j 啸ik z ( z + ) 为x 上的一个离散( 半) 动力系统反之，映射f ：i j ，如果有妒( t ，z ) ，使 得( 1 ，茹) = f ( z ) ，则称f 可嵌入流( 半流) 嵌入流就是要把离散的轨道连 起来，把，的迭代指数推广到实数 迭代作为决定性过程的数学模型，有着鲜明的实际背景，事实上人们在生 活中常常遇到这样的系统系统在时刻t 的状态五由其在初始时刻如和初 始状态五。及差t t o 决定 五= f ( t 一如，) 山东大学硕士学位论文 如果我们每隔个时间单位作一次观测，则第n + 1 次观测到的状态咒。+ ，= f ( k + l k ，五。) 由于t r 件l t n = 1 ，记f ( x ) = f ( 1 ，x ) ，则我们有噩。+ 。= j m + 1 ( 五。) ，即化为迭代因此，通过对f 的迭代的研究，可以预测系统在未 来的状态和发展趋势我们还可以对微分方程的解曲线通过时间l 一映射化 为迭代来进行研究，事实上微分方程的许多定性问题都可以化为拓扑空间上 的连续映射的迭代来处理 1 3 迭代函数方程 迭代函数方程理论是一个历史悠久，内容丰富、应用及其广泛的数学分 支广义地说，迭代函数方程就是由未知函数和复合运算构成的恒等式这种 函数方程的一个特点是除了基本的代数运算外，它以未知函数的迭代作为其 基本的运算形式迭代函数方程是函数复合与迭代的产物，和微分方程一样都 是函数方程的一种特殊类型自从有了运算就有了方程的问题，而且方程的求 解往往在理论上更复杂、在技术上更困难、在应用上更广泛 迭代函数方程作为现实世界中抽象出来一种十分重要的模型，具有广泛 的现实意义和应用背景，一直受到数学家们的广泛关注函数方程的形式多种 多样，包括s c h r s d e r 方程 ( f ( z ) ) = c h ( x ) 和a b e l 方程 ( ，( z ) ) = ( z ) + b 它们在h a r t m a n 线性化和嵌人流的理论中扮演非常重要的角色此外，讨论 拓扑共轭关系的方程 h ( f 扛) ) = g ( ( $ ) ) ， 和幂函数化的b s t t c h e r 方程 ( f ( z ) ) = ( ( z ) ) p ， 以及更一般的方程 f ( x ， ( 功， ( ，1 0 ) ) ， ( 厶p ) ) ) = 0 ， 都是人们所关心的 4 e ： 。s ， 山东大学硕士学位论文 如果v = f ( x ) 是平面映射t 的不变曲线，则有讥= ，( z 1 ) 从而可得不变曲 线方程 ，( 妒 ，0 ) ) ) = 9 ( z ，( 动) ( 1 3 4 ) 关于不变曲线方程早期的工作基本上总结在两本专著 7 】和【2 8 】中在解析解 的研究方面，1 9 6 9 年，d i a m o n d 6 6 讨论了方程 ，扛+ ，( ) = ，( 甸( 1 + p 铲) + f p ， ) ) 的解析解的存在性1 9 8 5 年，m c c a r t h y r 【6 7 】研究了方程 ，( ，( z ) ) 一2 c ( x ) + z = 0( 1 3 5 ) 的连续通解 1 9 9 5 年，司建国1 6 8 】研究了一类平面映射的不变曲线方程 f 0 + ，( z ) ) ；户( ，( z ) ) 的解析解的存在性最近，司建国，王新平和张伟年【7 司又研究了方程 f ( x + ，扛) ) = ，( ) + g ( x ) + h ( x + ， ) )( 1 3 6 ) 的解析解的存在性本论文突破了传统的d i o p h a n t i n e 条件的限制，利用比 d i o p h a n t i n e 条件更弱的b r j u n o 条件讨论了( 1 3 6 ) 的局部解析解的存在性 以前在这方面的工作要求未知函数在其不动点处的线性化特征值口不 在单位圆周上或在单位圆周上但满足d i o p h a n t i n e 条件在本章我们突破了 d i o p h a n t i n e 条件的限制，在n 是单位根的情形以厦口在单位圆周上但不满 足d i o p h a n t i n e 条件的情形，用比d i o p h a a t i n e 条件更弱的条件一b r j l l n o 条 件给出了解析解结果 下面介绍d i o p h a n t i n e 条件 n = e 2 ，r ”，其中口r q ，且存在常数e 0 和口 0 满足i q ”一1 l - 1 n - a , v n 1 假设下列条件 ( h 1 ) 0 j 口i 1 ( h 2 ) 口= 沙砷，其中0 r q 是个b r j u n o ，即日( 口) = e 堡警 o o ， g 一- - - - - o p k l a d 表示0 的连分数展开的部分分数数列，则我们称n 满足b r j u n o 条件 山东大学硕士学位论文 ( h 3 ) a = e 知幻，p ，其中常数p n 且p 2 ，叮ez o ) ，n e 2 a * ，对 v 1 k s p 一1 ，f z o 当q 1 ) 时，表明n 在单位圆s l 的内部，( h 2 ) 和( h 3 ) 表示a 在 单位圆周上，当特征值处于单位圆周上时收敛性是很复杂的 对任意个有理数e ，令吲表示它的整数部分，p ) = 口一吲表示它的 小数部分，于是对任意个无理数e 有- - 4 唯一的高斯连分数表示 口= a o + 8 0 = n 0 + 磊_ 1 f 瓦= 我们简记为目= 【a o ，o l ，】，其中数列 口j ) 和他) 通过以下方法得到 ( 口) d o = 吲，a o = p ) ( 6 ) ，i = 【击】，如= 石1 ) ，n = l ，2 下面我们定义数 列 ) 。和 。： q - 2 = 1 ，q - 1 = 0 ，= n i 一1 + 一2 p 一2 = 0 ，p - i = 1 ，砌= 口，l 加一1 + 一2 易证- 靠= ，口1 ，】因此，对任意的口r q ，函数b ( a ) = 生! 0 是个常数，则0 = ，a 1 ，】是一个b r j u n o 数，但 不是个d i o p h a n t i n e 数，因此，条件f h 2 ) 包含了d i o p h a n t i n e 条件和o t 在 共振点附近的情况b r j u n o 条件比d i o p h a n t i n e 条件弱，因此需要引入d a v i e 引理，在引入该引理以前，我们先回顾一下相关的知识【9 7 】 令a k = 协0 | 棚去) ，最= m a x q k ，9 宁) ，仉= 爱，令伐是 j 0 的集合，j 满足j a k 或对某个j 1 ，如a k 满足如一矗 最，且当 j l 2 i a 2 i + 3 1 3 l + + 竹l k i 且( h 2 ) 满足， 则对任意的r g ，辅助方程偿j 印在原点的邻城内有解析解( z ) ，满足 妒( o ) = 0 ，( o ) = ， 证明t 固定一个r c 显然，如果r = 0 时，( 2 1 5 ) 有一个平凡解 ( 力i0 现假设f 0 我们要寻找( 2 1 5 ) 的形如 0 0 ( z ) = h ( 2 2 1 ) r a = l 的幂级数解分别将f 和( 力的幂级数( 2 1 6 ) 和( 2 2 1 ) 代入( 2 1 5 ) 并 比较系数可得 ( a 1 a + a 2 a 2 + + k 扩一8 ) b l = 0 ，( 2 2 2 ) ( a 1 a m + a 2 n “十+ k n ”一5 ) k =吼岛。，m = 2 ，3 2 s t m ，( b ) 鹄 ( 2 2 3 ) 其中2 t 编，( 毛) 熊表示# = 2 ，3 m ，1 1 + 如+ + 如= m 考虑到 a a ( f ) 即s = a l q + 沁a 2 + + k 矿，因此，由( 2 2 2 ) 可选取6 l = r 0 ， 另外从( 2 2 3 ) 可得 ， n li 、 ( 矿一。) ( a l + 太+ 1 。严卜砷蚺) = 吼趣。阮，r n = 2 ，3 、 k lk = 0 7 2 t ! m ，( b ) e a ( 2 2 4 ) 1 0 山东大学硕士学位论文 因为 n-!li n - 1 a - + 九州n 娟4 叫川一z ( i + 1 ) i x , + - t f f i lk - - - - o l扛1 0 ， 于是，对任意取定的6 1 = f 0 ，数列 6 仇) ：釜2 可由( 2 2 4 ) 唯一确定这就 说明( 2 1 5 ) 存在形如( 2 2 1 ) 的形式解 下面我们只需证明级数( 2 2 1 ) 在原点的邻域内收敛即可类似文献【4 5 】 中的证明，可假定 i i 1 ，m = 1 ，2 ( 2 2 5 ) 由( 2 2 4 ) 得 | 0 满足- s p ，m = 1 ，2 ( 2 2 1 1 ) 下面证明z 1 6 m i e ”( m - 1 ) ，m = 1 ，2 其中k ：n r 在d a v i e 引理中巳定义事实上，l b l i = h = q ，我们假定 l 屯i s q e 0 - 1 ) ，j n 一1 由d a v i e 引理及( 2 2 6 ) 得到 i 南。蜓磊) 。椎q - 瓯仇o ”+ 叶酬卜 南e k ( m - 2 ) 2 蜓。舭礁a t 睨观 = 岛 注意到 k ( t l 一1 ) + k ( 1 2 1 ) + + 耳( b - 1 ) s k ( m 一2 ) ( m 一1 ) 十】。g 阳，m 一1 1 i 则 1 6 m is e ”( m 一1 ) 由引理3 2 1 ( a ) 知存在一个宇常数，y 0 ，使得g ( m ) m ( b ( o ) + 7 ) 则有 l k i i f m e ( m - 1 ) 俾p ) 竹) t 于是 毒8 u p ( 1 障) 桌s u p ( t e 簪俾p 竹) = t e b 竹 这表明级数( 2 2 1 ) 的收敛半径至少是( 7 伊( 9 h 吖) 定理2 2 1 得证 下面的定理致力于( h 3 ) 的情况，当( h 3 ) 满足时，n 不仅在c 中的单位 圆上，而且是一个单位根在这种情况既不满足d i o p h a n t i n e 条件。又不满足 b r j u n o 条件证明的思想来自于【8 】首先定义数列 d m ) 。c o ：。： id 1 = h ( 2 2 1 2 ) i d m = r 毋。d l 。巩，m = 2 ，3 ， l2 s t s n ( b ) 其中在定理2 2 1 中定义，r = m a 】【 1 ，l o i 一1 l - 1 ：i = 1 ，2 ，p 一1 川社 1 2 山东大学硕士学位论文 定理2 2 2 假定o t a ( f ) ，i a l i 2 i a 2 i + 3 1 a 3 i + + f l i k i 且( h 3 ) 成立， 并且数列 k ) 箍- 满足6 l = r 和 ，、 ( 扩一o ) ( a l + 葺二九+ 1 n ”0 - k ) 舳) k = y ( m ，口) ，f f l = 2 ，3 ， 、， ( 2 2 1 3 ) 其中 y ( m ，口) = a t6 l 。b t 2 k 2 t m ，( 1 j ) 蠊 则当y ( 印+ 1 ，0 1 ) = 0 。s = 1 ，2 ，时，方程似j 印在原点的邻城内存在 解析解妒( z ) ，使得( o ) = 0 ，( o ) = n 和妒( 哪。1 ) ( o ) = ( 印+ 1 ) ! 正舛1 ，其中 正p + 1 是满足i 正卅1 isp 叶1 的任一常数，数列 d 仇。c o ：l 由偿s 1 e ) 定义 当v ( s p + 1 ，n ) 0 ，8 = 1 ，2 ，时，方程偿j 砂在原点的任何邻域内都 不存在解析解 证明显然，如果r = 0 ，( 2 1 5 ) 有个平凡解( z ) e0 假设f 0 如在 定理2 2 1 中的证明，我们可寻找( 2 1 5 ) 的形如( 2 2 1 ) 幂级数解通过代入并 比较系数，可知( 2 2 4 ) 仍然成立当y ( 印+ 1 ，n ) 0 时因为o t i s - 1 一o t = 0 ， 所以( 2 2 4 ) 的两边不相等，从而方程( 2 1 5 ) 没有形式解 当y ( 印+ 1 ，o ) = 0 时，在( 2 2 4 ) 中相应的a 蚺l 有无穷多种选择，其形 式解形成个具有无穷多个参数的解族我们可任取b 蚪1 = 7 s p + t 使得 l 矗升l i d 卅1 ，s = 1 ，2 ( 2 2 1 4 ) 其中d 印+ 1 在( 2 2 1 2 ) 中被定义以下证明形式解( 2 2 1 ) 在原点的邻域内收 敛首先，考虑到i o t 一1 1 1 - 1 r ，m s p + 1 ，。于是有 i b i r m i l b , ：l i b , t l