（基础数学专业论文）正曲率子流形的拓扑球面定理.pdf

浙江大学硕士学位论文 正曲率子流形的拓扑球面定理 摘要 定理a ：设m n 是f 时p ( c ) 中的n 维紧致定向子流形，其中c o 若m 的截面曲率 m n 、- 1 娶2 一c 0 。， 定理b ：设m 几是f n + p ( c ) 中的n 维紧致定向子流形，其中c o 若m 的截曲率满 三+ 罟矿 定理c ：设m n 是f n + p ( c ) 中的礼( n 4 ) 维紧致定向子流形，c + h 2 0 ，日是 丽高( c + 硝， 对于所有0 0 i ft h es e c t i o n a lc u r v a t u r eo fms a t i s f i e s ： k m 丢+ 詈矿 t h e n ( 1 ) mi sh o m e o m o r p h i ct oas p h e r ei f 佗3 ； f 2 ) mi sd i f f e o m o r p h i ct oas p h e r i c a ls p a c ef o r mi fn = 3 i nt h i sp a p e r , w ea l s og e tah o m o l o g yv a n i s h i n gt h e o r e m ： t h e o r e mc ：l e tm nb eac o m p a c t ，o r i e n t e dn ( n 4 ) - d i m e n s i o n a ls u b m a n i f o l di n p + p ( c ) ，c + h 2 d e n o t eb yht h em e a nc u r v a t u r eo fm n i ft h es e c t i o n a lc u r v a t u r e o fms a t i s f i e s ： k m 丽篙( c + ， f o ra l l0 m 等c ， s 塑型杀辉考产， t h e nmi sc o m p a c t ，a n di t sf u n d a m e n t a lg r o u pi sf i n i t e ( 1 ) mi sh o m e o m o r p h i ct oas p h e r ei fn 4 ； ( 2 ) mi sd i f f e o m o r p h i ct oas p h e r i c a ls p a c ef o r mi f 佗= 3 k e yw o r d s ：s u b m a n i f o l d s ，s e c t i o n a l c u r v a t u r e ，m e a nc u r v a t u r e ，h o m o l o g yg r o u p ，s t a b l e c u r r e n t s n 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 第1 章引言 1 1背景介绍 了流形的曲率与拓扑一直是整体微分几何中的一个重要问题，在1 9 7 3 年， h b l a w s o n 和j s i m o n s 得到了紧致子流形的同调群消没定理： 定理1 1 ( 【6 】) ：设m n 是铲+ p ( 1 ) 中的n 维紧致子流形，若对于任意的z m ，切 空间e m 的任何幺正标架场 e i ) 都满足： n q 2 l i b ( e i ，e k ) l l 一( b ( e i , e i ) ，b ( e 彬七) ) 】 q ( n 一口) ， k = q + li = 1 其中g 是整数，k o 口 n ，则峨( m ；z ) = - 一g ( m ；z ) = 0 ，h i ( m ；z ) 是m 的 第i 个整系数同调群 他们还证明了关于第二基本形式模长平方s 的拓扑球面定理： 定理1 2 ( 【6 】) ：设m n 是s n 却中扎维紧致浸入子流形若第二基本形式模长平方s 满足s m i n n 一1 ，2 v - 石- 7 - - f ) ，则m 是同伦球面 特别地，应用广义p o i n c a r 6 猜想，当n 5 f i s 2 圻再了时，m 同胚于标准 球面 这篇文章发表之后，引发了关于s 、r i c c i 曲率、截面曲率的拓扑球面定理的 研究1 9 9 7 年，k s h i o h a m a 和h x u 证明了常曲率空间形式中完备子流形的最佳拓 扑球面定理 定理1 3 ( 【1 0 】) ：设m n 是p + p ( c ) 中的定向完备子流形，c o 若 a ( m ) ：= s u p ( s o ( n ，h ，c ) ) 3 时，m n 同胚于s n ； ( 2 ) 当n = 3 时，m n 微分同胚于正常曲率空间形式 1 9 8 5 年，e e l e u n g i t y 明了欧式空间p + p 中光滑紧致子流形的相关结果，推 导出m 是一个同伦球面： 定理1 5 ( 【4 】) ：设光滑紧致黎曼流形m n 等距浸入于欧式空间渺+ p ，若对于m 中 任何点p t t l t v m 内的单位正交向量x ，y 有k ( x ，y ) i i b ( x ，y ) 1 1 2 ，则m 同胚于球 面其d p k ( x ，y ) 表示由x ，y 所张成的平截面的对应的截面曲率，b 是m 的第二 基本形式 1 2 主要定理 一n 、- - 1 娶2 一c 。0 ， 定理1 6 ( 【1 】) ：设( m ，夕) 是s ( 1 ) 中的n 维紧致极小了流形，若对于任意的幺正标 壹妻ke j , e k ) 哩掣，k 掣， 2 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 特别地，若对所有e j ，e 七已m ( z m ) ，j 丢成 立，则m 是同伦球面其中k ( x ，y ) 表示由疋m 中的幺正切向量x ，y 所张成平面 的截面曲率 我们还得到了下述定理： 定理b ：设m n 是p + p ( c ) 中的n 维紧致定向子流形，其中c o 若m 的截曲率满 足： k m 三+ n _ 8 h 2 ， 则 ( 1 ) 当礼3 时，m 同胚于球面； ( 2 ) 当n = 3 时，m 微分同胚于球面空间形式 推论1 1 ：设m n 是伊+ p ( 1 ) 中的礼维紧致定向的极小子流形若m 的截面曲率满 足： k m 丢， 则 ( 1 ) 当n 3 时，m 同胚于球面； ( 2 ) 当钆= 3 时，m 微分同胚于球面空间形式 本文在定理a 的证明过程中还得到了一个同调群消没定理： 定理c ：设m n 是f n + p ( c ) 中的礼( 礼4 ) 维紧致定向子流形，c + h 2 0 ，日是 m ”的平均曲率若m 的截面曲率满足： 砌 丽墨( c + ， 对于所有0 l i t = c ， s 垫型杀鉴蔷产， 则m 是紧致的，基本群是有限的 ( 1 ) 当佗= 3 时，m 微分同胚于一球面空间形式； ( 2 ) 当礼4 时，m 同胚于标准球面 本文是在导师许洪伟教授的精心指导下完成的，借此机会我对导师两年来 在专业上的悉心指导和热情鼓励，以及生活上无微不至的关怀，表示衷心的感 谢同时，导师严谨的治学态度和广搏的学术修养对我产生了深刻的影响，必将 使我受益终身 4 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 21 基本公式 第2 章预备知识 在本文中，设m n 是p + p ( c ) 中的n 维定向子流形，其中c 0 在f 叶p ( c ) 中选 取幺正标架场 e 1 ，e 2 ，e n + p ) ，使得限制在m 上时， e 1 ，e 2 ，) 是m 的切 向量，_ e n + l ，一，e n ) 是m 的法向量场 若不做特殊说明，我们约定以下记号的取值范围为： 1 a ，b ，c ，n + p ， 1 i ，j ，k ，n ， n + 1 口，p ，一y ，礼+ p 设 蝴) 是标架场 e a ) 的对偶标架， u a b ) ， m a b ) 分别是f 肼p ( c ) 的联络1 一形式、 曲率形式，则f 肼p ( c ) 的结构方程为： 咖a = 一 d a b aw b ，o i a b + 啪a = 0 ， b 幽a b = 一蝴c a u j c b + 垂肖b ，中a b = 专k a b c d o d c a ( d d ， c。c d 限制到m 上，有： 根据c a r t a n 弓l 理，我们得到： k a b c d + 心b d c = 0 “k = 0 严蜴屿，蝇= 吆 j 其中是m 的第二基本形式于是m 上的结构方程为： 蛳= 一咄j 八屿，哟+ 畸i = 0 ， j 灿严一咄膏aw k j + q 坊q 巧= 专嘞删七八， kk f 尼州= 列+ ( 幄晦一h i 嚣h j ) ， 也如p = 一u 。1 八p + q 。p ，q q p = 砉r 。肚f u 南八， 1砖f 5 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 r 嘶f _ 玩例+ ( 幌危g 一九忽象) ， i b = 驰。w j 。e 0 ，= 云1 帽e 。， i , j ，qn ，i 其中b ，r 五3 k l ，r a p k l 分别是m 的第二基本形式、平均曲率向量、曲率张量分量 和法曲率张量分量，k a b c d 是f n + p ( c ) 的曲率张量分量 设s ，h 分别是m 的第二基本形式的长度平方与平均曲率，则： 再令 有： s = i t b i l 2 = ( 九嚣) 2 日- l | 钏= 去 玩= ( 弓) ，咒= z r 风= 鹾， i & = z r 硬= ( 寺) i , j 砭= n 2 h 2 ，& = s nq 再设夕是m 的黎曼度量， o d 是任一局部标架， = ( 晚，岛) ，( g 巧) = ( 鲂) 则对于任意x m 和单位向量y 瓦m ，定义： r i c m ( y ) = 夕叼( r ( 侠，y ) y ，巳) = g i j r ( o j ，o i ，y ) ， 称为在z 点沿y 方向的r i c c i 曲率，其中冗是m 的黎曼曲率张量特别地，在幺正标 架场 勖) 下，沿e i 的r i c c if 曲率为： r i c m ( e i ) = 吩铆= 兄彬j jj 定义2 1 ：r i c c i 变换的迹p ：= 忍i = 局刎称为( m ，9 ) 的纯量曲率或数 i = 1i = 1j = 1 量曲率那么，根据g a u s s 方程有： p = n ( n 一1 ) c + n 2 h 2 一s 6 ( 2 1 ) 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 第3 章正截曲率子流形的拓扑球面定理 3 1几个引理 要证明定理a ，我们需要以下几个关键引理： 引理3 1 ：若紧致定向曲面m 2 的g a u s s i 拄t 率非负，但不恒为零，则m 必同胚于球 面 引理3 2 ( 【6 】) ：设m n 是f n + p ( c ) 中的n 维紧致子流形，若对于任意的z m ，切 空间正m 的任何幺正标架场 e i ) 都有： n q 2 l ib ( e 舻惫) | l _ ( b ( e 印t ) ，b ( e 舭七) ) 】 q ( n 一口) c 成立，其中q 是整数，0 q 佗，则乩( m ；z ) = 风一口( m ；z ) = 0 引理3 3 ：设( ) n n 是n 礼的对称矩阵，他2 若 则对于0 g 佗，记 有：f z - i y 一2 n 当且仅当x l l = x 2 2 = = k 几及粕= 。，1 i 歹 q ，x 艇= 0 ，口+ 1 k f 竹时，取“= ” 引理3 3 的证明：我们将m l a g r a n g e 乘了法求f 的最大值 先约定几个符号的取值范围： 1 i ，j q ，q + 1 k ，l n ，1 a ，b n 设厂= 磁+ 入( x t + 虬七一y ) i kik + p 磁+ x 磊+ 2 磙+ 2 x 弓+ 2 x 磊一司 ki 岛 i j k l 对每一个变量x a b 求偏导，瓦o f = 。，得到以下等式： 入+ 2 “x f = 0 ，1 冬i q 7 ( 3 1 ) z | | 礴 n 汹 n 脚 y= k 竹嘲 2 派 x n 1 七g 甜 | | f 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 入+ 2 “x 七七= 0 ，q + 1 k 佗 2 ( 2 肛+ 1 ) x 七一0 ，1 i q ，q + 1 k n 4 峰x t j 4 # x k l 0 ，1 i j q 0 ，q + 1 k l n 对( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 式求和： ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) x i i ( 3 1 ) + x k 七( 3 2 ) + x 七( 3 3 ) + 如( 3 4 ) + x k z ( 3 5 ) ik i , k i j k l 得到： 2 壤+ a y + 2 # z = 0 i k 所以f 的极值是一垒2 y 一弘z c a s ei ：肛= 0 根据式( 3 1 ) ( 3 2 ) 和( 3 3 ) 有： k 七= 0 ，i = 1 ，g ；k = q + 1 ，n 并且a = 0 ，可以看出这个极值是最小值 c n s ei i ：p = 一三根据式( 3 4 ) ( 3 5 ) ，有： x j = 0 ，1 i 而n - 1 ( c + 日2 ) ，则： 飓( m ；z ) = = 风一2 ( m ；z ) = 0 引理3 4 的证明：首先根据m y e r s 定理知：m n 是紧致的，丌1 ( m ) 是有限的 令r = n q 根据g a u s s 方程，我们有： ( ) 2 一螺】_ c 一尼缈 ( 3 6 ) 设仡= i n f k m ( p ，7 r ) ，砌是m 的截面曲率，丌是耳m 的一个二维平面，p m ， 则如i j k 则： 佗 g ：f 二_ 一 七= g + 1 g b ( e i ，e k ) 1 1 2 一( b ( e i ，e ) ，b ( e k ，e 七) ) 】一q r c ( 3 7 ) 2e ( 幄) 2 一h i 笔h k 一q r c nk = q + li = 1 n k = q + li = 1 礼 q 竹 q ( 喙) 2 + e l ( h 1 ) i k2 一h i g h k ) 一q r c ak = q + 1i = 1 k = q + 1i = 1 o n q n q ( 幄) 2 + ( c r 触知) 一q r c n 南= 口+ 1i = 1k = q + l = 1 n q n q = ( 喙) 2 一尼枞 q k = q + li = lk = q + 1i = 1 由式( 3 6 ) ，引理3 3 及冗i j 巧仡得 g 墨丢e ( s o 一鲁) + 口r k 丢( s 扣 一n h 2 1 + q r n n 一1 ) c + n 2 h 2 一r n h 2 】+ q r v ； 冬三咖一1 ) ( c + h 2 ) 一 扣( r t - - 1 ) + q r 】k 9 2 。汹 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓3 1 、球面定理 因为当n 4 和口 l 时，9 7 n ；所以当k n 佗十- - l l ( c + h 2 ) 时，有：g 0 那么，结合引理3 2 ，知：对于任何1 q ，r o 若m 的截 曲率满足 差+ 詈酽 则峨( m ；z ) = 4 一q ( m ；z ) = 0 ，对于任何1 q n 一1 证明：把3 6 式代入3 7 式得到 g = q r c 一2 r 枞+ ( 嘬) ( 螺) 】 七= g + 1i = 1 n 后= 口+ 1 i = 1 a r c - 2 n qr 枞+ 五1 ( n 嘬+ q 螺) 2 = q r c 一2 时者竹2 日2 当佗4 ，1 口 n 一1 时，有q r n 则 g 邪一2 州互c + n 8h 2 ) + 三礼2 日2 = 丢( n - q r ) 御 0 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 于是，根据引理3 2 失1 1 ：对于1 q 0 ，故m 的基本群是有限的根据定理a 的证明过程，可以说 明m 是一个同调球面然后考虑m 的通用黎曼覆盖廊，得出廊同胚于球面，从而 证明m 也同胚于一个球面 3 4 定理c 的证明 此定理的证明与引理3 4 的证明有相似之处 定n c 的证明：对于固定的m ( 0 ，几) ，q + 7 = n ， g = 2 ( 幌) 2 一 o t e t q r c n k = q + li = 1 n k = q + l = 1 竹 q n q = ( 幄) 2 + 【( 坛) 2 一虼嘬 ) _ 孵 o t 丢e ( s o o t ( 喙) 2 一兄姗 i = 1 k = q + li = 1 t 2 一丝1 + q r n = 去( s n h 2 ) + q r n = 去h ( n 一1 ) c + n 2 h 2 一r n h 2 + q r n 三n ( n - 1 ) ( c + 日2 ) 一 三n ( 礼一1 ) + 口r 】k 0 在z ( m ，礼一m ) 或( n m ，m ) 时的最值， f m 。z = f ( m ) = f ( n m ) 所以：v q m ，n m ) ，恒有g o 于是根据引理3 2 得到h o ( m ；z ) = 0 12 n 咐 七 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 第4 章具常数量曲率子流形的拓扑球面定理 40 1两个重要的不等式 为证明定理d ，需要准备以下一些引理： 引理4 1 ：i r a = a 巧) ，i ，j = 1 ，n 是对称( 佗n ) 矩阵，n 2 令a z 一 打a ，a 2 = ( ) 2 ，则： i ，j ( ) 2 一知肌去 礼( n 一1 ) a 2 2 ( 竹一1 ) ( a ) 2 + ( 几一2 ) v - 元_ l l a ，i v n a 2 - ( a 1 ) 2 证明：方法与引理3 3 之证明雷同，用l a g r a n g e 乘子法求( o 伽) 2 一a 1 0 n 钆的最大 t 值设 ，= ( a i n ) 2 一a ，。n n + a ( 。乱n + n 扩a a ) i i c n + 肛( n ：n + 2 n 乙+ 2 。毛+ 。毳一a 2 ) ， i 几l k l _ n - 1 i c n 对每一个变量。巧求导，茜= 。，得到一系列等式： 2 n n n a 1 + 入+ 2 # a n 扎= 0 ， 2 a i n + 4 # a i n = 0 ，i 佗 入+ 2 p a i l = 0 ，i n 4 p a k l = 0 ，1 k l n 一1 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 情n 1 弘= 0 ，2 ( 4 3 ) 知：a = 0 ，于是n n n = a 1 2 ，a 溉= 0 ，i 扎我们有： ( 。伽) 2 _ a l a n _ a q t 1 情形2 肛= 一去，由( 4 1 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 分别得到： a n 扎= a 1 一入， a i i = 入，i n ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 a k l = 0 ，1 k 2 ，则a = 0 ， ( 。劫2 一a 1 a n n ( ) 2 = 三( a 2 一a ；) i i c n 故此时a 2 钟 情形3 p o ，p 一三，由( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 分别得到： a i n a l l a k l = 0 ，1 k l n 一1 令秒：n n ，则：垒掣，i n 根据( 4 11 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ，所以可满足： n 一上 解得： 那么： a 2 = y 2 + ( n 一 秒=a 1 土卵v n a 2 - a 2 1 ( a i n ) 2 一a n = o 肌2 一a 1 0 n n = y 2 一a a y ：幽y n a ；一( 几一1 ) a 2 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) = 去 咖一1 ) a 2 2 ( 佗一1 ) a ； 士( 2 一几) v - i - 1 a ，廊) 茎去 0 ， 否则不等式恒成立) ，故( 4 1 5 ) 是最大值根据以上讨论，定理得证 引理4 2 ：a = ( o 订) ，i ，j = 1 ，n 是对称( 佗礼) 矩阵，q + r = t ，口，7 2 是正 整数令： 则 q nn n 抖n 肌= a 1e ( a j j ) 2 = i = 1 k = q + lj = l qq ( o “) 2 一a 1 ( t = 1i = 1) 去 唧五- - 2 q r ( 2 证明：由c a u c h y s c h w a r z 不等式得到： + l q r i 面i a l 五= ( ) 2 + a k k ) 2 昙c 和2 趣m a k k 尸 = 杀( 壹n 。2 一2 似q 。+ 昙( 剐2 1 = 1l = 1 q 记z = n 驴贝j j ( 4 1 6 ) 可整理为： 扛= 1 解得： z 2 一垄a 1 z + 旦( a ，) 2 一竺五0 佗nn g a l 河 n礼 由( 4 1 7 ) 得： qq ( o i i ) 2 一a 1 ( ) i = 1 = 1 垫a ，z 一旦( a 1 ) 2 + 笙五一a 1 z n t t n ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) 浙江大学硕士学位论文 正曲率子流形的拓扑球面定理 ：坚a 1 z q ( a 1 ) 2 + 竺五 ( 4 1 9 ) 讫 nn 当( 口一r ) a l o 时，从( 4 1 8 ) 与( 4 1 9 ) 知： z 2 一a 1 z 竺五 礼 ：一qalz - l 鱼 = l 二一 nn 时，( 4 2 0 ) 取“= ”； 当( 口一r ) a 1 0 等价于 ( n c + 2 ( 佗一1 ) ( z c ) 一1 2 咒- 2 s ) 2 礼一2 不难得到当s o 根据m y e r s 定理知：m 是紧致的，其基本群是 有限的 如果n = 3 ，根据h a m i l t o n 定理，具有正r i c c i 曲率的连通3 维紧致黎曼流形是 微分同胚于一个球面空间形式的 现考虑n 4 ，设q + r = n ，2 q ，r 佗一2 ，贝, l j q r = q ( 1 2 一q ) = n + ( q 一1 ) n q 2 n + ( q 一1 ) ( 口+ 2 ) 一q 2 = n + ( q 一2 ) 佗 n 一1 ， 故痧佗 丽 当q r ，l q r i = q r = n 一2 r n 一2 ；当口 r ，i q r i = r q = n 一2 q n 一2 ，所以i 口一r l ， n f 4 2 3 ) 故结合引理4 2 及文& 和砭( 孔文一砭) 砭( 礼函一瑶) ，我们有： qn口 w= o t k = q + li = 1 o t k = q + l 2 q k = q + l q ( 垓) 2 + i = 1o t q 坛慨 i = 1 ( 壹2 i = 1 2 立( 喙) 2 + 孑1 卜礼文一2 矿t 。2 q 七= 口+ 1i = 1 o t + l q r i 厅l 咒 竺s一萼钆2日2+nn i q r i 歹 n 2 螺) 竺s 一2 q r h 2 + i q - r l v 币v n 2 h 2 ( n s _ n 2 h 2 ) nn 。 = 鲁 s 一2 删+避型日厄丽) x q r 0 ，我们有： h 据j 面) ， 妻壹 2 i | b ( 巳，e 七) l l 一( b ( e i ，e i ) ，b ( ，e 砖) ) 】 q - 篆( n c - f ) g r c k = q + li = 1 那么，结合引理3 2 知：对于任何1 q ，r n 一1 ， ( m ；z ) = 珥( m ；z ) = 0 根据定n a 后半部分的证明，我们马上可以得出结论：m 是一个同调球面，从而 考虑m 的通用黎曼覆盖，可以说明7 r 1 ( m ) = 0 ，于是m 同胚于一个球面 七 e 七 ec qeeb 一 七 eeb 2 叮汹 n 针 七 扎 一 妒m 。n 2 。试 已 一 浙江大学硕士学位论文正曲率子流形的拓扑球面定理 参考文献 【1 】k d e l w o r t h ya n ds r o s e n b e r g ，h o m o t o p ya n dh o m o l o g yv a n i s h i n gt h e o r e m sa n d s t a b i l i t yo fs t o c h a s t i cf l o w s ，g e o m e t r i ca n d f u n c t i o n a la n a l y s i s6 ( 19 9 6 ) ，51 7 8 【2 】h a m i l t o n r ，t h r e em a n i f o l d sw i t hp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e ，j d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , 17 ( 19 8 2 ) 2 5 5 3 0 6 【3 】e f l e u n g ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d si nas p h e r e ，m a t h z ，18 3 ( 19 8 3 ) 7 5 8 6 【4 】e e l e u n g ，o nar e l a t i o nb e t w e e nt h et o p o l o g ya n dt h ei n t r i n s i ca n de x t r i n s i c g e o m e t r i e so fac o m p a c ts u b m a n i f o l d ，p r o c e d i n b u r g hm a t h s o c ( 2 ) 2 8 ( 19 8 5 ) ， n o 3 ，3 0 5 3 11 【5 】e e l e u n g ，a ne s t i m a t eo nt h er i c c ic u r v a t u r eo f as u b m a n i f o l da n ds o m ea p p l i c a t i o n s ，p r o c a m e r m a t h s o c ，11 4 ( 1 9 9 2 ) ，n o 4 ，1 0 5 1 1 0 6 1 【6 】l a w s o n ba n ds i m o n s j ，o ns t a b l ec u r r e n ta n dt h e i ra p p l i c a t i o nt og l o b a lp r o b l e m s i nr e a la n dc o m p l e xg e o m e t r y , a n n o fm a t h ，9 8 ( 19 7 3 ) 4 2 7 4 5 0 【7 】s j e r v e d ，h o m o l o g ys p h e r e sw h i c ha r ec o v e r e db ys p h e r e s ，j l o n d o n m a t h s o c ， 6 ( 19 7 3 ) 3 3 3 3 3 6 【8 】s s h ua n ds l i u ，t h ec u r v a t u r ea n dt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fh y p e r s u r f a c e sw i t h c o n s c t a n ts c a l a rc u r v a r t u r e ，b u l l a u s t r a l m a t h s o c ，7 0 ( 2 0 0 4 ) 3 5 4 4 【9 】s s h ua n ds l i u ，c u r v a t u r ea n dt o p o l o g yo fc o m p a c ts u b m a n i f o l d si nt h eu n i t s p h e r e ，p a c i f i cj m a t h ，2 2 8 ( 2 0 0 6 ) ，n o 2 ，3 71 3 8 6 【10 】k s h i o h a m aa n dh w x u ，t h et o p o l o g i c a ls p h e r et h e o r e mf o rc o m p l e t es u b m a n