（基础数学专业论文）经理股票期权再定价的最优性及可再定价经理股票期权的价值.pdf

摘要 本文研究经理股票期权的价值和经理股票期权再定价的最优性 本文的主要内容包括： ( 1 ) 我们分别利用b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型和确定性等价模型 讨论不可再定价经理股票期权对公司的经理成本及其对经理的经济 价值； ( 2 ) 我们通过建立均衡契约模型讨论经理股票期权再定价的最优 性； 3 ) 我们分别利用b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型和确定性等价模型 讨论可再定价经理股票期权对公司的经理成本及其对经理的经济价 值 关键词：经理股票期权，经济成本，经济价值，再定价，最优性 a b s t r a c t t h e p r e s e n td i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht h eo p t i m a l i t yo ft h er e p r i c i n g o fe x e c u t i v es t o c ko p t i o n sa n dt h ev a l u eo fr e s e t t a b l ee x e c u t i v es t o c k o p t i o n s t h ec o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e ： ( 1 ) w er e s p e c t i v e l yd i s c u s st h ee c o n o m i c c o s to fn o n - r e s e t t a b l ee x e c u t i v e s t o c ko p t i o n st ot h ec o m p a n ya n dt h ee c o n o m i cv a l u eo ft h e mt ot h e e x e c u t i v e ， b yu s i n gt h eb l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e la n dt h ec e r t a i n t y - e q u i v a l e n c e m o d d ； ( 2 ) w ed i 8 c w t h eo p t i m a l i t yo ft h er e p f i c i n go fe x e c u t i v es t o c ko p t i o n s b ye s t a b l i s h i n ga ne q u i l i b r i u mc o n t r a c t i n gm o d e l ； ( 3 ) w jr 目p e c t i 、，e l yd i s c u s s t h ee e o n o m i cc o s to fr e s e t t a b l ee x e c u t i v es t o c k o p t i o n st ot h ec o m p a n ya n dt h ee c o n o m i cv a l u eo ft h e mt ot h ee x e c u t i v e b y u s i n gt h eb l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i gm o d e la n dt h ec e x t a i n t y - e q u i v a l e n c e m o d e l k e y w o r d s ：e x e c u t i v es t o c ko p t i o n s ，e c o n o m i cc o s t ，e c o n o m i cv a l u e ，r e p r i c - i n g ，o p t i m a l i t y 2 引言 作为一组连续的有附加条件的合约，经理股票期权在优化经理 报酬体系，提高企业经济绩效的过程中发挥了重要作用自从1 9 5 2 年美国的p f i z e r 公司推出世界上第一个股票期权计划到其迅猛发展 的半个世纪以来，如何对经理股票期权正确定价一直是经济学者讨 论的焦点长期以来几乎所有学术研究和实际操作都是采用标准期 权定价模型( 如b l a c k - s c h o l e 6 模型，二叉树模型) 来确定经理股票 期权的价值但是由于经理股票期权本身的特异性以及经理层的特 殊性，使得经理股票期权的实际情况与标准期权定价模蛩的假设条 件不相符合，因而其估算结果未必是对经理股票期权价值的正确估 计h a l l 与m u r p h y ( 2 0 0 2 ) 1 1 以及m e u l b r o e k ( 2 0 0 1 ) 1 2 1 等人通过研究发 现经理股票期权的价值通常是小于b l a c k - s c h o l e s 价值的 当我们讨论经理股票期权的价值时，首先应该区分两个十分重 要的概念t 经理股票期权对公司( 股东) 的经济成本以及经理股票期 权对经理的经济价值经理股票期权对公司的经济成本是指公司如 果不将股票期权授予经理而在公开市场上将其出售给公司外部的非 限制性市场投资者所能得劲的价值这个价值类似于公司外部投资 者购买普通股票期权的价值c a r p e n t e r ( 1 9 9 8 ) 【3 】，h a l l 与m u r p h y ( 2 0 0 2 ) 等学者认为，运用标准期权定价模型对经理股票期权价值的研究正 是从公司( 股东) 的角度度量了经理股票期权的经济成本经理股票 期权对于经理的经济价值就是经理对于股票期权的私人认知价值， 这个概念在一定程度上代表了股票期权对经理的期望效用和满足程 度l a m b e r t ，l a r c k e r 与v e r r e c c h i a ( 1 9 9 1 ) 4 ，h a l l 与m u r p h y ( 2 0 0 2 ) 都 曾利用确定性等价模型研究过这一价值由于经理的风险厌恶性以 及经理股票期权的非让渡性和非对冲性，使得经理股票期权对公司 的经济成本与其对经理的经济价值之间产生了差异本文首先总结 前人的研究成果，剩用b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型和确定性等价模 型分别讨论了不可再定价经理股票期权对公司的经济成本及其对经 理的经济价值 典型的经理股票期权授予管理者以一个固定的执行价格购买一 4 定数量股票的权利，这个执行价格通常是期权授予时股票的市场价 格为了确保经理股票期权激励的可靠性，期权的执行价格在期权 的有效期内不宜改变但是一些公司保留了变更期权条款，包括改 变执行价格的权力事实上，许多公司在股票价格持续低迷的情况 下都降低了期权的执行价格我们注意到期权执行价格的变更( 即 再定价) 在国外已经引起学术界的密切关注，成为近期经理股票期 权的研究热点从1 9 9 7 年到1 9 9 9 年期间，有1 1 篇关于期权再定价的 文章出现在华尔街杂志上金融经济学杂志、会计学与 经济学杂志和金融学杂志等一流学术刊物也在近期陆续发表 了一系列关于期权再定价的研究成果，特别是金融经济学杂志 在2 0 0 0 年5 7 期上发表了4 篇讨论期权再定价的论文 过去期权再定价的实证研究表明t 期权再定价几乎完全是期权 执行价格的调低，它一般发生在公司绩效持续下降的情况下，基本 上不受行业或市场因素的影响，与系统风险无关；期权再定价的公 司中内部董事的比例明显较高。但内部人股权比例与再定价无关； 此外，实证研究还发现，公司的规模越小，经理的控制权越大，期 权再定价的频率就越高这些结果表明期权再定价不是一个激励上 的必要调整或个保留人才的策略，而是经理对股东财富的剥夺 相对照地，期权再定价在特殊情况下的实证研究f 9 ，1 0 1 没有发现再 定价中隐含的代理同题尽管实证研究对期权再定价持否定态度， 但是，期权再定价在一般情况下的理论研究f 1 1 ，1 2 】认为，荐定价同 时存在正激励效应和负反馈效应，其合理与否取决于哪种效应相对 占优，a c h a t y a ，j o h n 和s u n d a r a m ( 2 0 0 0 ) 1 2 曾经通过建立均衡契约 模型讨论过经理股票期权再定价的最优性，但他们讨论的情形较为 简单，且只考虑到代理人的激励相容约束而未考虑代理人的参与约 束本文第二章将通过建立一个均衡契约模型，充分考虑代理人的 激励相容约束和参与约束来讨论更为一般情形下经理股票期权再定 价的最优性 目前尚缺少关于可再定价经理股票期权价值的研究在本文的 最后一章，我们利用b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型和确定性等价模型 5 分别讨论了可再定价情形下经理股票期权对公司的经济成本及其对 经理的经济价值 6 第一章不可再定价经理股票期权的价值 本章我们总结前人研究成果分别讨论不可再定价经理股票期权 对公司的经济成本及其对经理的经济价值的度量 1 经理股票期权对公司的经济成本 本节运用欧式看涨期权定价公式给出了不可再定价经理股票期 权对公司的经济成本 1 ( ；7 3 年，b i a r , k 和s c h o l e 6 5 1 推导出著名的基于不支付红利股票 的欧式看涨、看跌期权的b l a c k - s c h o l e s 定价公式同年，m e r t o n 6 也 推导出基于连续支付红利率的股票的欧式看涨、看跌期权的b l a c k - s c h o l e s 定价公式c u r p e n t e r ( 1 9 9 8 ) ，h a l l 与m u r p h y ( 2 0 0 2 ) 认为，运用 标准期权定价模型对经理股票期权价值的研究正是从公司( 股东) 的角度度量了经理股票期权的经济成本这里我们运用m e r t o n 推导 的关于欧式看涨期权定价的结论来估算经理股票期权对公司的经济 成本 定理1 1 假设： ( 1 ) o 时刻公司授予经理执行价格为x ，到期e l 为t ( 年) 的经 理股票期权； ( 2 ) 每个期权只能用于购买一股股票； ( 3 ) 0 时刻公司股票价格为s ，股票收益率为p ，股票价格波动 率为，公司股票支付连续红利，红利率为q ； ( 4 ) 无风险利率为r ( 均指连续复利) ； ( 5 ) 在0 时刻后任何未来时刻r 股票价格岛服从对数正态分布： l n s 一妒( 1 n s + ( p 一0 2 2 一q ) t , a v t ) 则0 时刻每个经理股票期权对公司的经济成本为： 其中 c = s e e r n ( d i ) 一x e 。7 池) d 】；i n ( s x ) + ( r ，- ：q + a t 2 一) t 盯、t 7 d 2 = 型坐荡掣塑= d 1 - o 打 2 经理股票期权对经理的经济价值 本节我们总结h a l l 与m u r p h y ( 2 0 0 2 ) 的结论，利用确定性等价模 型并结合资本资产定价模型( c a p m ) 8 i 来讨论不可再定价经理股票 期权对经理的经济价值 确定性等价方法的核心思想在于t 一个无风险的投资组合所给 出的效用就是期望回报率本身【1 3 】由于在选择有风险的或无风险 的投资组合时，可以把投资组合的效用值看成是无风险投资的回报 率，因而投资组合的确定性等价回报率就是使投资者感到同等满足 的无风险投资组合的回报率根据这一原理。经理接受经理股票期 权时总财富带给他的期望效用应等同于领取一定量的确定收入时总 财富带给他的期望效用，那么这一定量的确定收入就是经理放弃期 权的机会成本，也即经理股票期权对经理的经济价值 由资本资产定价模型( c a p m ) ，我们知道公司股票的年收益率 = r + 卢( r m r ) 这里卢表示公司的市场b e t a 系数，它是公司 资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率的比值 旷= e 一1 表示无风险资产的年收益率表示市场资产组合的年 收益率，公司股票的收益率用连续复利表示为： p = l ( 1 + n ) = i n ( 1 + r 聿+ p ( t k r ) ) = l n ( e 7 + p ( r 。一e r + 1 ) ) 定理1 2 假设t ( 1 ) 经理是风险回避者，其相对风险厌恶为a ( n 0 ) ，在0 时刻 经理拥有初始财富w ，并且经理将w 全部投资于无风险资产； ( 2 ) 设效用函数为： 唧，2 黔裁加删 ( 3 ) o 时刻公司授予经理o t 个执行价格为x ，到期日为t ( 年) 的经理股票期权； 8 ( 4 ) 每个期权只能用于购买一股股票； ( 5 ) o 时刻公司股票价格为s ，股票收益率为p ，股票价格波动 率为a ，公司股票支付连续红利，红利率为口； ( 6 ) 无风险利率为r ( 均指连续复利) ； ( 7 ) 在0 时刻后任何未来时刻r 股票价格s f 服从对数正态分布： l n 5 f t 一庐( 1 s + 一盯2 2 一口) l 口 t ) 则( 1 ) 当a = 1 时初始授予的经理股票期权对经理的经济价值为： a = e x p ( h ( w e ”+ a m a x ( o ，岛一x ) ) f ( s t ) d s t r t ) 一w ( 2 ) 当。 0 ，d 1 时初始授予的经理股票期权对经理的经济价值为： a ；e x p ( f + 。( w e c r + a m a x ( o , s t - - x ) ) i - a f ( s t ) d s t r t ) w 1 一a 下面我们对定理1 2 进行证明 0 时刻公司授予经理n 个期权这样，在t 时刻经理的总财富 为： w t = w e r t + a m a x ( o ，秭一x ) 如果以现金支付a 代替o t 个经理股票期权，并且经理将a 全部 投资于无风险资产，那么在t 年末经理的总财富为： 吩= ( w + a ) ， 由于 肛= l n ( 1 + n ) = l n ( 1 + r + p ( r m 一广) ) = l n ( e + p ( 一e r + 1 ) ) 所以丁时刻公司股票价格岛服从对数正态分布： l n s t 一咖( 1 s + ( 1 n ( e 7 + 卢( r m e + 1 ) ) 一a 2 2 一g ) e 口、亍) 所以曲的密度函数为： ，( 踯) ： 而1 e 印( 一堕墅生曼= 蜮盟甓笨丛业! 丝丑熊) ( 岛 o ) l0 ( 岛0 ) 如果a 是a 个经理股票期权的确定性等价收入，即期权对经理 的经济价值，那么我们得到： e 【厂( w 筝) l = e w ( w ) 1 即： 厂u ( w ) f ( s t ) d s t = j ( ”u ( ) 舾) d 曲 ( 1 2 1 ) 下面就不同。的讨论( 1 2 ，1 ) 的解a ： 情形( 1 ) n = 1 效用函数取u ( w ) = l n w 由( 1 2 1 ) 可得： 上“l n ( ( w + a ) e ”) f ( s , r ) d s t = 上“1 n ( e 盯+ a m a x ( 0 ，岛一x ) ) l ( s r ) d s t 即； l 丑( ( w + a ) ) = f 。i n ( w e 口+ 。m a x ( o ，岛一x ) ) y ( s t ) d s r 所以 a = e 印( 上“l n ( e ”+ 口m a x ( 0 ，岛一x ) ) f ( s t ) d s t r t ) 一 情形( 2 ) ；口 o ，口1 效用函数取u ( ) = 七w 1 由( 1 ，2 1 ) 可得t j ( ”击( ( + a ) ) 1 一。，( 曲) 撕= j ( “击( e 口 + o e m a x ( 0 ，曲一x ) ) 1 - 4 f ( s r ) d s t 即： 11 - - a ( ( w + a ) e ，r ) = 厂1 - - 兰a ( w e r + 。m a x ( o ，岛一x ) ) “f ( b t ) d s t 所以 = 吲, f + 。 ( w e 。r + a m a l x ( o i , s t _ - - x ) ) i - 一f ( s t ) d s t r t ) 一 至此得到了我们的结论 第二章经理股票期权再定价的最优性 a c h a y a ，j o h n 和s u n d a r a m ( 2 0 0 0 ) 通过建立均衡契约模型讨论过经 理股票期权再定价的最优性，但是在他们建立的模型中只考虑了代 理人的激励相容约束而未考虑到代理人的参与约束，本章将利用他 们的模型，并充分考虑代理人的激励相容约束和参与约束，讨论经 理股票期权再定价的最优性在最后我们讨论了一般化的再定价 l 模型的建立 设期权的到期日为马，并将期权的有效期分为两个阶段( 在有 效期内考虑一个中间时刻正，这里0 n 马) 公司所有权属 于委托入，委托人雇佣经理( 称为代理入) ，并且这个雇佣关系在 期权有效期里一直保持不变设经理在每个阶段所有可选择的行动 组合a = 【o ，司( 这里行动代表经理的工作努力水平) a c h a y a ，j o h n 和s u n d a r a m ( 2 0 0 0 ) 的模型考虑的情形较为简单，他们设0 时刻股票 价格为1 ，并且委托人持股数量为1 这里我们设0 时刻股票价格 为s ，并且设委托人持有的公司股票总数为z 在0 时刻，经理选 择行动a a ，然后在噩时刻，可以观察到股票价格由s 变化至 $ s u ，s d ( 0 d 1 t ，为便于分析，假设u d 1 ) 如果 。= 乳，那么在b 时刻股票价格变为s u 2 或s u d ；如果。= s d ，那 么在如时刻股票价格变为s d u 或s d 2 在丑时刻股票价格。实现 之后，经理选择他的第二阶段的行动如果z = s u ，经理选择的行 动记为钆；如果。= s d 。经理选择的行动记为 置和乃时刻的股票价格实现的概率依赖于经理选择的行动给 定经理选择的第一阶段行动o 。在乃时刻实现s u 的概率为p ( n ) ， 实现跗的概率为q ( n ) = 1 一v ( a ) 如果在丑时刻观察到股票价格 为钆，给定经理选择的第二阶段行动，贝! l 在b 时刻实现s 矿 的概率为p ( ) ，实现s u d 的概率为g ) = l p ( ) 同样，如果 在蜀时刻观察到股票价格为。= s d ，给定经理选择的第二阶段行 动a d ，则在噩时刻实现s d u 的概率为p ( a d ) ，实现s d 2 的概率为 q ( a d ) = 1 一p ( a a ) 关于股票价格变化的描述，参见图2 1 经理在每个阶段的行动n 需要支付成本c ( n ) 记 w = ( 。，t 吨曲”如， d d ) 为经理的收入矢量，四个分量分别代表b 时刻四条不同股票价格路 线实现时经理的收入经理的目标是在0 时刻选择初始行动n 及噩 时刻股价实现s u ( 或s d ) 后选择行动0 t ( 或a d ) 以最大化其收入 的贴现值为简化分析，我们假设股票不支付红利，且设无风险利 率为0 s s s “2 s u d s d u s d 2 囝2 1 股票价格的变化 委托人考虑到经理对期权授予后的行动策略，选择一个收入矢 量w 以最大化除支付经理薪酬外委托人的初始期望收益 给定经理的收入矢量w = ( 姚。，哦d ，u i 如，钮越) 和经理选择的行动 矢量a = ( n ，) ，则经理在结点鼬获得的期望收入为： 玩= p ( 。) 埘。+ 粤( 口。) 。d c ( 凸。) 类似地，经理在结点阢获得的期望收入为： u d = p ( o d ) 埘“+ 口( 蚰) t j “一c ( n d ) 1 2 这样，就得到经理的初始期望收入为： 矿( 吐，瓯，以) = p ( 。) 巩+ 口( ) 巩一c ( q ) 相应地，给定经理的收入矢量w 和经理选择的行动矢量4 ，则 委托人在结点s u 获得的期望收益为t k = p ( b 。) ( f s t 2 一。) + q ( c k ) ( 1 s u d t 吨d ) 类似地，委托人在结点s d 获得的期望收益为： = p ( a d ) ( 1 s d u 一 m ) + q ( a 4 ) ( i s d 2 一 “) 这样就得到委托人的初始期望收益为： v = p ( 8 ) k + q ( d ) k 为便于分析，假设经理的收入都从委托人授予的期权中获得， 而不考虑经理获得的其他现金和股票奖励但要强调的是，我们这 样做得出的结论在更一般的情形下仍成立 由于在实际中，绝大部分的经理股票期权都是平价授予，因此 在分析中假设初始授予的经理股票期权的执行价格为s 这样，如 果在有效期内不发生再定价，那么在乃时刻，经理的收入矢量各分 量分别为： t l l v , a ；a m a x ( o ，乳2 一s ) = a s ( 舻一1 ) t = a m a x ( o ，s u d s ) = o( 2 1 + 1 ) t = a m a x ( o ，s d u s ) = 0 ”谢= a m a x ( o ，s d 2 一s ) = 0 在实际中，期权再定价几乎完全是期权执行价格的调低，一般 发生在公司绩效持续下降酚情况下，并且期权再定价一般都是平价 的因此这里我们考虑在五时刻如果股票价格为s d 时委托人将初 始授予的n 个执行价格为s 的期权再定价为了个执行价格为删的 1 3 期权例期日不变) 于是，在执行再定价的情形下，经理在死时刻 的收入矢量各分量为： t 吨m = 口m a x ( o ，s u 2 一s ) = a s ( t 上2 1 ) ” d = a m a x ( o ，s u d s ) = 0( 2 1 2 ) 埘扎= 7 m a x ( o ，s d u s d ) = 7 s d ( u 一1 ) ”削= 吖m a x ( o ，s d 2 一s d ) = 0 下面我们记讨论的均衡契约模型为( w ，a 她以v , p ，c ) 2 线性模型 这一节假设瓦 o ) 另外我们还假设七 i s ( u d d 2 ) ( 如果没有这个限制，则委托人付给 代理人任何正收入都是不利的) 值得注意的是，这个模型不能区 别新的期权给予和已有期权的再定价因此，在本文中假设在死时 刻没有新的期权授予 2 1 不可再定价情况下的均衡 委托人的目的是最大化其初始期望收益但是，委托人这样做的 时候，面临着来自代理人的两个约束第一个约束是代理人的激励 相容约束( i n c e n t i v ec o m p a t i b i l i t yc o n s t r a i n t ) ：在任何的激励合同下，代 理人总是选择使自己的期望收入最大化的行动第二个约束是参与 约束( p a r t i c i p a t i o nc o n s t r a i n t ) ( 也称个入理性约束，i n d i v i d u a lr a t i o n a l i t y c o n s t r a i n t ) ，即代理人从接受合同中得到的期望收入不能小于不接受 合同时能得到的市场收入水平( 这里也就隐含地假定代理人市场是 完全竞争的，这样假定的方便之处是排除了委托人与代理人之间的 讨价还价) 【14 】 定理2 1 在不可再定价情况下得到的线性模型( w ，a ，理，uv , p ，c ) 的均衡结果为， 一可+ 蜥l 十动 o 。孺葡衙 y = - ：s t 2 + 瓦( 1 一面) l s u d + ( 1 一瓦) f s d 2 一航( 1 + 西) 一= u a u = 可 a = ( _ ，瓦，0 ) 证明：首先考虑经理的激励相容约束 给定a ，经理在正时刻的收入结算由( 2 1 1 ) 给出因此在结点 钆，经理的行动选择是下面最优问题的解： 。m a x q ( a a s ( “。一1 ) 一o ) 于是解之得t = ：( ( 。a s s ( ( 。u ：2 一- 1 1 ) ) q k ) 2 。2 1 从而 巩= 0 c s ( ( u a 2 s 一( u 1 2 ) - 一1 玩) k ( 。) s ( u 2 1 ) 七) ( 2 2 2 ) i ，一j i s u d ( a s ( u 2 1 ) 0 ，所以委托人只能选择o t 使得巩k 由于k 0 ，这种情况只有 在乩 0 的条件下发生由( 2 2 2 ) 可知巩= 孤s ( u 2 1 ) 一梳。因此 巩k 当且仅当 ，、 。 ! ! ! 塑 ”一甜( t 2 1 ) 另外，由( 2 2 2 ) ，o t 同样满足a s ( u 2 1 ) k 同时，由( 2 2 9 ) ，a 还必须满足 瓦仉一梳可 h u i s 2 a s ( t 2 一1 ) 一梳可 所以 a 黼 由于 u + k a ( 1 + 西)k ( i + - ) 铲s ( u 2 1 ) n s ( u 2 1 1 因此从委托人的利益出发，应该选择 u + 掘f 1 + 劫 0 2 i 否面奇 从上面的分析，在不可再定价情形下的均衡结果为： 移+ 瓦( 1 + - ) 0 2 i 呵万二丁 并且委托人的初始期望收益为 v = _ l 乳2 - i - 瓦( 1 一- ) f s t 正d + ( 1 一西) f s d 2 一梳( 1 + _ ) 一等 经理的初始期望收入为： u = 可 在这一均衡中，经理选择的初始行动为瓦，在结点钆选择行动瓦， 在结点s d 选择行动0 2 2 再定价的最优性 现在我们考虑执行再定价的情形这时经理在孔时刻的收入结 算由( 2 1 2 ) 给出 定理2 2 在执行再定价情况下得到的线性模型( w ，a 崩u ，u p ，c ) 的均衡结果为： 0 2 1 丐而= 矿 k s ( d u - d ) 什 v = _ 2 f s 铲+ 缸( 1 一a ) l s u d + ( 1 一瓦) 2 t s d 2 2 k 5 一善 【，：移 a = ( d ，商，_ ) 证明t 在结点s d ，经理的行动选择a a 是下面最优问题的解 * m _ a x 闸( a r s m 一1 ) 一女。) 于是解之得： 驴0 隘 t s d ( u - i ) ， 艋) 还要考虑经理的参与约束，即： u 可 考虑到经理的行动选择，委托人需要解决选择。的最优问题： 墨龋( 。( 。) k ( a ) + ( 1 一。( 。) ) u ) ( 2 - 3 3 ) 这里我们分四种情形讨论均衡中的口：( 1 ) 荭，n _ i ( 2 ) 苞，g = 石；( 3 ) 氐= 面，n ( 4 ) 吼。= 西，口= 西 情形( 1 ) ： 西，a 瓦此时 = o 。s ( u 广2 - 1 ) 胪警2 r 一口2 亍 当然同时还必须满足 。 s ( u 2 - t ) ( 2 3 4 ) 和 以( o ) 梳 ( 2 3 5 ) 如果( 2 3 4 ) 和( 2 3 5 ) 都成立，则 吼= 掣 k ：! s 砌+ 巡( 兰! 二! 筮二粤二竺：里竺二竺 这样问题( 2 3 3 ) 就变成： 。m 。a x 】( s d 2 + s 3 ( z u 2 - 1 ) 2 ( 斛( u d d 2 ) + 耐s ( t 2 1 ) ( 铲一 d - - 。2 s ( 铲一1 ) 2 ) ) 于是解之得； 。= 3 l s ( u ：- u d ) + 4 9 1 1 2 s 丽2 ( u 万：- j u d 广) 2 + 3 2 k i s ( u d - 一d 2 ) 2 由于u 驴，而此时u = 鲥2 k 坐，所以a 还必须满足 n 磊 因此这种情形下委托入的选择是 q = m a x ( 3 1 s ( u 2 - u d ) + 9 1 2 s 6 2 j ( l u u 2 - 一u l d j ) 2 + 3 2 k l s ( u d - d 2 ) 2 ， 塑黑) (2r36)s( u 2 1 、7 但如果( 2 3 4 ) 或( 2 3 5 ) 中有一个不成立，则这种情形下不能达到均 衡 情形( 2 ) ： 再，o = 西这种情况必须满足 n 里一 (237)s(n 2 而已知苞 1 ，所以这一情形可不 予考虑 和 情形( 3 ) ：= d ，o 瓦此时n = 警当然还必须满足 a 菇b ( 2 t ) 巩( 口) 梳( 2 3 1 0 ) 如果( 2 3 9 ) 和( 2 3 1 0 ) 都成立，则 巩= 孤s ( u 2 1 ) 一；腊 k = 瓦( z s u 2 一口s ( “2 一1 ) ) + ( 1 一 d ) l s u d 这样问题( 2 3 3 ) 就变成： o m e a 】【 o , t l ( 一i 1a 2 _ 2 s 2 ( 铲一1 ) 2q - a ( i 1 西( 1 一西) t s a t d ( u 2 一1 ) + ；- 2 l s 2 u 2 ( 护一1 ) 一；西c 妒护( u 2 - 1 ) + ；矛s ( u 2 1 ) ) + j - 2 z s 铲一；矿f s “2 一i _ 2 ( 1 一面) z s u d ) 于是解之得： a = 去( ( 1 一西) l s u d + _ 2 乳2 + ；矛一i s d 2 ) 由于u 可，而此时u = 鼍竽，所以n 还必须满足 彤孺丽 。s ( u 2 - 1 ) 因此这种情形下委托人的选择是 a x ( 丽b ( ( 1 删汹剃+ 舢，器) ( 2 。1 1 ) 但是如果( 2 3 9 ) 或( 2 3 1 0 ) 有一个不成立，则这种情形下不能达到均 衡 情形( 4 ) ：口t = 西，。= 西这时必须满足 o s ( u 2 - 1 ) ( 2 3 1 2 ) 和 巩( d ) 舾 ( 2 3 1 3 ) 如果( 2 3 1 2 ) 和( 2 3 1 3 ) 都成立，则 儿= 孤s ( 铲一1 ) 一：膣 ( 2 3 1 4 ) k = 西( 1 s u 2 一q s ( u 2 1 ) ) + ( 1 一商) l s u d 由( 2 3 1 2 ) ，( 2 3 1 3 ) 和( 2 3 1 4 ) 我们可知： a 器 这时问题( 2 3 ，3 ) 变成： 。m a x ( 矛( i s u 2 一口s ( u 2 - 1 ) ) + 瓦( 1 一西) z 删+ ( 1 一瓦) l s d 2 ) 于是解之得： 一女f _ + 2 x - 、j o 5 丽丽 由于u 可，而此时u = _ 2 a s ( u 2 1 ) 一 脚一 膪，所以。还必须 。鬻 医此这种情形下委托人的选择是 a = 叫蔫，等器等， 偿s 1 5 ) o2 m 旺【商万商，1 两声j 矿) ( 2 3 但是如果( 2 3 1 2 ) 或( 2 3 1 3 ) 有一个不成立，则这种情形下不能 达到均衡 在以上可能出现的几种情形中，口取得不同的最优解然后再 比较a 取这些值及o = 0 时目标函数n ( n ) k ( ) + ( 1 一n ) ) 的值， 使目标函数最大化的a 值就是不可再定价情形下的均衡结果 3 2 再定价的最优性 现在我们考虑执行再定价的情形 定理2 3 在线性二次模型( w ，a ，n ，以v , p ，c ) 中，如果在结点 s d 执行再定价，则再定价后委托人选择的最优的经理股票期权数量 为： ，一j 黼( 2 艋l s d 4 u d ) ) 4 2 3 1 6 ) 【而( 2 舾 l s d ( u d ) ) ( 2 3 1 7 ) 证明：在结点s d ，经理的行动选择n a 是下面最优问题的解： m a x l ( a 3 , s ( d u “) 一i k a 2 ) 于是解之得： ( 7 ) ：m i n ( - ? s ( d u - d ) ， 而，y 的选择在于解决下面的最优同题t 翼鼢( n ) “s 8 u 一7 s ( d u d ) ) + 4 1 一n ) ) z s 扩) 于是解之得： 1 ：f 糕( 2 k n 例( u d ) ) 。【志( 2 梳 i s 川d ( u - ) ) 回 玑一j 璺镯 型( 2 舾l s d ( u d ) ) ( 2 _ 3 1 8 ) w 一1 艋( 2 艋 l s d 2 ，这时如果按( 2 3 1 6 ) 进行再定价，对委托人和代理人都是有利的。 当2 艋 0 显然由k z s d 2 这时如果按( 2 3 1 7 ) 进行再定价对委托人和代理人也都是 有利的 但是由于在执行再定价情形下经理在结点s d 的期望收入严格 大于不可再定价情形下经理的期望收入，这对经理的第一阶段行动 选择有负反馈效应，也就是会降低经理在第一阶段努力工作的积极 性这样委托人对初始授予经理的期权数量也应做相应调整 这里同样要考虑经理的激励相容约束 对任意的a ，由( 2 3 1 ) ，( 2 3 1 8 ) ，( 2 3 2 ) 和( 2 3 1 9 ) 分别给出巩( 口) ，u d ， k ( a ) 和k 设o ( a ) 是下面最优问题的解： 1 雩最毛趣玩 ) + ( 1 一西阮一言女) 如十学黼 同时我们还必须考虑经理的参与约束，即： u 可 口巩( n ) + ( 1 一口) 如一l k a 2 于是在执行再定价情形下的均衡中，委托人考虑到经理的激励相容 约束和参与约柬，必须解决下面的选择q 的最优阊题： 罂龋( 8 ( n ) k ( 。) + ( 1 一。( a ) ) k ) 为了求得均衡中的q ，我们对2 兢兰1 s d ( u d ) 和2 姬 i s d ( u d ) 两种情况分别可以分五种情形进行讨论t( 1 ) a = o ，( 2 h 磊，o a 西；( 3 ) 口。 西，a = 孬；( 4 ) o 。= - 0 a 石；( 5 ) c k = 瓦，a = 西 在两种情况下对a 的求解的讨论与3 1 类似但要注意的是每种 情形中均衡是否能够达到依赖于其前提假设是否成立把各种可能 出现的情形进行讨论后，比较各种可能出现的情形下所得目标函数 n ( n ) k ( a ) + ( 1 一a ( a ) ) u 的值，取使得目标函数值最大化的。值就是 可再定价情形下的均衡结果 4 再定价的一般化 前面我们考虑的再定价在t l 时刻股票价格降至s d 时一定发 生这一节我们考虑更一般情况下的再定价，即委托人选择一个在 噩时刻股票价格降至s d 时进行再定价的概率” 这样，委托人考虑到经理的激励相容约束和参与约束，必须考 虑三个量的选择：初始授予经理的期权数量口，在结点s d 再定价 的概率z 和再定价后的期权数量1 一般化的再定价其实也包括前 面考虑的两种情况如果”= 0 或7 = 0 ，就变成不可再定价的情 况；如果”= 1 ，就变成再定价一定执行的情况 首先考虑到经理的激励相容约束给定( o l ，”，7 ) ，在结点s d 不 执行再定价时经理的收入结算由( 2 1 1 ) 给出，在结点s d 不执行再 定价时经理的收入结算由( 2 1 2 ) 给出因此我们可以计算出r 1 经理在结点s “的最大化其期望收入行动选择，以及经理 的期望收入和委托人的期望收益k ； 2 在结点s d 不执行再定价的情况下，经理在结点黝的最大化 其期望收入的行动选择。2 ，以及此时经理的期望收入叼和委托人 的期望收益w ； 3 在结点s d 执行再定价的情况下，经理在结点s d 的最大化其 期望收入的行动选择n ；，以及此时经理的期望收入叼和委托