（基础数学专业论文）几类平面多项式系统的分岔分析.pdf

摘要 零文主要运用微分方程定性理论和分贫方法，研究了几类平蠢多项式系 统的定性问题全文内容共分为五章 第一章是绪论，介绍了分翁理论的发展历史和研究现状，以及全文所用到 的一魑有关分岔和稳定性理论的基本概念和引理，并麓要介绍了本文的主要 工作 第二章讨论了一类；系统在1 3 t 0 条件下的全部奇点的性态，然后利用 h o p f 分贫豹理论证明了极戳环的存在唯一性，同时给出h h c 2 , - y2 墨p t o 及a p o 条件下的全局结构 第三章研究了一类鼋系统产h o p f 分岔的充分条件；同时通过分析系 统的无穷远奇点，给出了原点d ( o ，o ) 为全局中心时的所有可能的全局结构 在第四章中，我髓稠用分岔理论研究了一类h a m i l t o n 系统奁瘫次莸动下 的闭轨分岔，由此得到了三个判定复合极限环的存在唯一性和稳定性的定理， 同时还研究了分岔极限环的个数问题和分布问题，从而推，r 已肖的部分结 果 在第五章，我们运用分箭方法，通过分析未扰系统的同宿轨在破裂以后其 稳定滚形和不稳定滚形之滴豹相对位置，磺究了一类三次微分系统豹极袋环 的存在性问题，给出了至少产生一个极限环的条件，从而补充和推广了前人已 有的结果 关键词：极限繇，h o p f 分岔，闭孰凳贫，潮宿分岔，全局结构 a b s t 黜c t i nt h i sp a p e r , b yu s i n gt h eq u a l i t a t i v et h e o r i e sa n db i f u r c a t i o nm e t h o do f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s e v e r a lp l a n a rp o l y n o m i a ls y s t e m sa r es t u d i e d ， q u a l i t a t i v eb e h a v i o r so ft r a j e c t o r i e sa r eo b t a i n e d t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t so ff i v e c h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n ，i nw h i c hw ei n t r o d u c et h ed e v e l o p i n g h i s t o r y a n dt h e p r e s e n tp r o g r e s so fb i f u r c a t i o nt h e o r i e s ，s o m e f u n d a m e n t a l d e f i n i t i o n sa n dl e m m a so fd y n a m i c ss y s t e m ss u c ha sb i f u r c a t i o na n ds t a b i l i t y t h e o r yt h a tc a nb eu s e di nt h i sp a p e r , a n db r i e f l yr e p r e s e n tt h em a i nw o r k so ft h e t h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e t h eb e h a v i o r so fa l lt h es i n g u l a rp o i n t so fac l a s so f e ；s y s t e ma r es t u d i e dw h e n 卢0 a n dt h e nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f l i m i t c y c l e i s p r o v e db yu s i n g t h e h o p f b i f u r c a t i o n t h e o r y ；w h e n 江| 2 , - r 2 墨声 0 ，h t 0c 0 , h t 0 , h i 0 c 0 , h i 0 图1 2 2 注：对于只有一条轨线还是有无数条轨线进入奇点d 的判别问题可用下面的 引理1 2 4 来判定 7 西北大学硕士学位论文 引理1 2 4 吲设口一吼是g p ) - o 的l f 重根，沩奇数，g 慨) h 魄) c o ，号，号满 足如下条件： ；p ：) 一妒( r ，b 1 c ( d s ：一吼i ，争( r ，0 2 ) 一以，吼l c ( r o z - o , i 并且当，- 1 时，号，专，c ( r ) - 。蛾r o ；而f ，1 时，妒，。( ，。“l 妒一。( r ”1 l r - o ， 则系统( 1 2 2 ) 只有唯一的轨线沿一一b 进入奇点d 注：对多项式系统，引理1 2 5 的结论自然成立 若口一嚷满足g 瓴) - o ( 反) - o ，则有下面的引理成立 引理i 2 5 矧如果系统( 1 2 2 ) 满足： ( 1 ) 母b ，y ) 一d p 。l v b ，y ) 一d p 。) ，当r o 时； ( 2 ) 当o 工2 + y 2 一或小一万且 s d ( o ) 由一个双蚺扇形和一个椭 是叠o 爨鬻形錾戚，毽1 。囊5 秘强1 ，2 寺蚴如。今靴小。 辩于系统a o ，戳当蚤充分小时，存在髂拆蘑数y 一缸满 i o )92l( t y，0 一如 - t t ，yp ： 、 + 鞋b g + 基 y # 聋 良 + 鞋 寿+ b i x y 呶 一 一 幽一础妙一露 西北大学硕士学位论文 足：b ) + b k ，妒b ) ) - o ，b 1 c 6 令妒b ) 一q ：g ，妒g ) ) 一口。+ 口b ) ，其中 吼一o ，七22 ；6 g ) - 呓b 五“1 1 n ，2 ，0 ，妒b ) ) 一b s x 。+ d b ”) 贝f j 有以下推论： 推论l 2 1 a l ：在定理1 2 9 和定理1 2 1 0 中，若用和毋去分别代替一和以， l t 和工：所围成的环域，并且系统在d 内无奇点如果当时问t 增加时从。和：出 注i ：l t 和l ：可以部分的由轨线构成，甚至上面可以出现有限个奇点，只要保证 注2 ：d 的内边界( 不妨设为工。) 可以缩为一个不稳定( 稳定) 的奇点 伊 蚰3 隆a ) “ 其中g ，y ) 足2 ，a 一仇， ) r t , k o 设p ，q 关于其变元为c ( r 1 ) 类的， 较一般地，设 0 时( 1 2 1 0 ) 以0 ( 0 ，o ) 为奇点，且其一次近似系统以d ( o ，o ) 为中 伊出n 如) + 嘶朋川 m ) 肛6 以h a ) y + q 2 b a ) u “ 其中，q ：从x , y 的二次项开始，( 1 2 1 1 ) 的一次近似系统有特征根口n ) 玷以) ，设 a ( o ) o ，6 ( o ) o ( 6 ( o ) t o 时可类似讨论i 1 l 西北大学硕士学位论文 引理l z j o i s 设a - 0 时( 1 2 1 1 ) 以d ( 0 o ) 为稳定( 不稳定) 的阶细焦点，则当 a fo 且川充分小而使d ( 0 ，o ) 变为( 1 2 1 1 ) 的不稳定( 稳定) 焦点时，在d ( o o ) 外围邻 引理1 2 1 1 | s l 设a - 0 时 o ，使得叫4 ) 一0 中) 一o ，则当h 充分小时，系统 ( 1 2 1 2 ) 在x 2 + y 2 一心2 的邻域内必有惟一的复合极限环，且当a 驴，( 4 ) t o 时，该 极限环稳定，而当a 西，( 4 b0 时，该极限环不稳定 穴同宿轨线的稳足性及经扰动后戟点的稳定流形与不稳足流形的相互位 置判定 考虑平面自治系统 。生： 0 2 1 3 ) 1 夕一g b ，) ，l 及其扰动系统 s ：矧y ) + + p 戮gp 嚣 。m z - 1 夕- g 仁， 。b ，y ，鼋x ”7 其中，g ，0 ，g o c 1 ；工，y r 1 ；p r 1 ，叮尺，七乏o 引理1 2 ”【7 1 日假设1 系统( 1 2 1 3 ) 存在同宿于鞍点d ( 0 o ) 的同宿轨己，p 为l 上任意一点，过p 作( 1 2 1 3 ) 的横截线1 ，与在p 点的外法向单位向量元共线2 扰 动系统( 1 2 1 4 ) 在d ( o ，o ) 点附近的鞍点为万，过万的稳定流形。石与不稳定流形 w 。石与l 的交点分别为只，置则在小扰动下，从只点到只点的有向距离 d 眈，只) ( 丽与引司向时为正) 为： 也聃驴萨砉丽叫+ o ( p ) ( 1 z ) 其中j i ，序i 厶k ( 居。矾l 。d f 为m c l n i k o v i $ i 1 3 本文的主要工作 一、陈文登于1 9 9 4 年在文献 3 3 】中对如下的系统： p 。一+ 懈? 他地 ( 1 舢) 1 夕- 工( 1 一职2 ) u ” 在m 一再) 0 时进行了定性分析，得出系统( 1 3 1 1 存在周期解的充分条件 西北大学硕士学位论文 本文在第二章中主要研究了当mto , ni 一1 时即考虑了微分系统 其中一t 0 f 膏- y + y 3 一尸仁，y l p - 吖+ a y + 砌，2 + 】，3 q ( x ，y l 本文第二章运用定性分析和分岔的方法，研究了此系统的有限远奇点d ( 0 ，0 ) 和无穷远奇点的性态作了研究，并且给出了系统( 1 3 2 ) 在川t 2 ，一i 1r 2 卢t o 及 口- y 一0 条件下的全局结构图 二、在平面三次系统中，最为简单的一类方程为 对；系统的研究，大量结论集中于口，- b 3 - b 4i o 的情形 在4 ，- b 3 - b , o 条件下，以下文章又在新的限制下进行研究1 9 9 0 年王现在 文献 3 5 中在6 2 0 的情形下进行了研究：1 9 7 6 年a l i n o 等人在文献 3 6 中研究 t a l 一6 l1 0 条件下的极限环的存在唯一性：1 9 8 6 年l iz h o n g 】【i 在文献 3 7 中研究 了在a 。- 一1 ，以i 0 条件下的极限环的存在唯一性：1 9 9 1 年王现在文献 3 8 中在 b zi o 且全平面内只有原点为奇点条件下证明了系统极限环的唯一性：1 9 9 3 年和 1 9 9 4 年邱雅分别在文献 3 9 和 4 0 3 中就6 l - o , a 2 0 的情形得到了较为完整的 结论；1 9 8 6 年马知恩在文献 4 1 中就6 l 一0 的情形得到了较为完整的结论：1 9 9 9 年 金铁英在文献 4 2 与2 0 0 0 年谢向东在文献 4 3 中均就4 。- 0 的情形进行了讨论 且有了一些结果而2 0 0 3 年杨字俊在文献 4 4 中就6 i - b ：i 以- o 且n l ，4 ：，如同 号的情形下，讨论了它的极限环的存在唯一性及分岔问题；2 0 0 4 年谢向东在文献 4 5 中取消了文献 4 4 中的一些限制后进一步研究了该系统，证明了该系统的极 限环的唯一性，从而得到了更完整的结论；2 0 0 5 年邱树林在文献 4 6 中就 1 4 n ， y 6 + 2 矽以 + y 2 x6+x 以 + 2 y 口+ 彤 口+ 2 x4 + 锣 + y 吖 _ i 出一出咖一出 西北大学硕士学位论文 a 3 - b 4 0 且6 l 一0 , b 2 e r 的情形作了较系统的结果 本文第三章研究了在4 ，- b i - 以一0 r a 。- o 时的e 系统 ( 1 3 3 ) 伊+ 世( 1 卅2 l q 3 q 争一y 舴一( ) 2 ) 一 喜二堪置磷棼j 捌q ”，苦砂陟“哪值b h 旷 的闭轨分俞的存在惟一性和稳定性，从而得到相应的三个判定定理利用这些定理 我们就可以很容易的判定出系统可以分岔出多少个复合极限环以及这些复合极 限环的稳定性和相对分布位置这样我们就推广了文献【7 】中的结果 四、关于三次微分系统的极限环的存在性问题的研究，通常是通过适当的变换 2 砂以 + y 2 z 吒 + 秒屯 + 2 r 4+ 旁 + y 吖 i i 出出方出 西北大学硕士学位论文 化方程为l i e n a r d 形式以后，再利用定性的方法来讨论杨宇俊于2 0 0 4 年在文献1 3 0 】 就是利用上述的方法研究了如下一类三次微分系统的极限环的存在性问题，即研 究了系统 。叫+ 疵+ 舻+ 删+ n y 2 + 缸2 弘 ( 1 3 6 ) p 。而 在m ，同号条件下，当6 t o 和o 0 时，( 2 3 2 ) 有 四个解：“。- ”：o ，鸭一圭0 + i l “。- 吾0 一i ) ：( b ) 当，一。时，( 2 3 2 ) 有四 个解：“i 。群2 o ，扯3 委y ：( e ) 当a l o 时 ，( 2 3 2 ) 有四个 解：“l - h 2 一3m - 0 于是我们可得到如下定理： 定理2 3 1 ：( i ) 若，o 一丢r 2t t o ，则系统4 2 3 1 ) 有奇点 彳( o ，咄口( 抄础) ，c ( 拉压j 。) ：若一l y z 舢删系统 ( 2 - 3 1 ) 有两个奇点4 ( o ，o x 口( 扣) ：若po 卢一i 1 r 2 ，则系统( 2 3 1 ) 只有唯 - a ( o , o ) ：( i i ) 若，- o , p o ，则系统( 2 3 1 ) 只有唯一的奇点彳( o o ) ： ( i i i 尚t o ，一i 1 r 2t 舢，则黼2 3 - ) 有奇点4 ( 0 ，。1 b 渺+ 压l 。) c ( 抄压l o ) ：若2 毗。，则系统( 2 s - 1 ) 有两个奇点 爿( 0 。x 口( 三y ，o ) ：若r t o 声t i i y 2 ，则系统( 2 3 1 ) 只有唯一的奇点一( 0 。) 定理2 | 3 2 ：_ ( 0 o ) 为退化奇点 证明：利用f ，伽蛳盯方法来判定爿( o o ) 的奇点类型 对于系统( 2 3 1 ) ，由于在d ( o o ) 点的妇6 册行列式为零，m 一2 ，席- 4 , mt 厅， 故 日p ) 一s 日( ( 1 + 卢) c 2 0 一i lg p ) 。s i i l 口0 一( 1 + 卢) c 潞2 p ) 。令g p ) 0 ，得 0 - o 氟由于日( 0 ) - 芦，h 仁) - - p ，所以0 o , o a t 均为特殊方向又由于 g p ) - c o s o 一( 1 + 户) c o s 3 0 + 2 ( 1 + , 8 ) c o s o s i n 2 0 所以h ( o ) g ( o ) 一一声2 o ， 月仁) g 仁) 一声2t o 根据引理1 2 3 知，角域。- 缸，一】o r “1 ，例“l 和 ：移，一l o ，l p 一万i c 1 是第1 i 型法域4 2 3 1 ) 的第一个方程知，对一 1 9 西北大学硕士学位论文 切常点掣t 0 在法域l 内仅有一条正半轨进入奇点4 ，在法域2 内仅有一条 4 f 负半轨进入奇点a 由系统( 2 3 1 ) 的第二个方程易见z 0 为轨线，所以负向和正 向进入奇点a 点的轨线就分别是负、 正半轴因此彳( o o ) 是退化奇点( 如 图2 3 1 所示) 证毕 圜2 3 1 定理2 3 3 ：( i ) 当r ，0 ，一i 1r 2t 卢t o 时，b “，o ) 是稳定结点，c 0 ，o ) 是鞍 点： ( i i ) 当y ，o ，一丢y 2 一声t o 时，b ( u 。，o ) 为鞍结点： ( i i i ) 当rt0 ，一y2 o ，鼋鸭5 压，o ，p 2 一钾- 一再卜o ，所以 口咖) 是稳定黼”三d 一再b 0 ，此时q 一叫5 压to ，所以c 咖) 是黼 ( i i ) 当r ，o ，一三y2 - 卢t o ，o 一三，2t 卢( o 时，虬- j l r ，o ，此时g o ，所以 b ( u ；0 ) 是高阶奇点此时系统( 2 3 5 ) 化为 西北大学硕士学位论文 肛，一2 二_ 小k 2 - u ，厶制 悟一一一一三膨3 _ u 3 z - - 以 y 3 z + v b ) “。 令一言r 3 z + l ，0 ，：) 一0 ( 2 3 7 ) 由隐函数定理可解出满足z ( o ) 一j ( o ) - o 的：一z “) ，令z - z 0 ) 一口：“2 + 0 3 u 3 + 代入( 2 3 7 ) ，比较同类项系数确定q o 一2 3 ) 后得z - z 0 ) 一0 代入m 0 ，z ) 中得 垂仁，z 0 ) ) - 一 r 2 一3 一口4 由引理1 2 6 可知，肼2 g 一了1 ，2 to 所以 斗4 口0 。，o ) 为鞍结点，其轨线结构如图1 2 5 ( i i i ) 当，t o 一 y 2 t ，t or ，o 一y 2 p t o 时，“，- 丢0 + i ) t o ，此时 q - u ；i to ，所以丑“，o ) 是鞍点：砧委d 一石) co ，此时 p h 丑d 一3 压) to ，q 一叫：压，o ，p 2 _ 勺- 三h ：d + 压卜o ，所以 c “，o ) 是不稳定结点 ( i v ) 当r t 0 一i 1r 2 - 声t o 时。q - i 1r ，o 此时q - o ，所以b 0 。，o ) 是高阶奇点 其判定完全如，o , p - 一i r 时的情形一样，可知此时口( “；o ) 为鞍结点 2 4 当h t2 ，一 r 2 芦 o 或口，不同时为零，令 d ；一一， i y y ， 譬一口歹+ 声万2 一r 歹3 ， 4 f 于是乱l 一乱t 捌l + y 2 地所以翘眦出l ( 2 1 2 ) 出h 2 y 。 ( 2 1 2 y 定理2 4 2 ：若口，o ，y c 0 ，则系统( 2 1 2 ) 存在唯的稳定极限环r 0 ，且当 西筑大学硕士学位论文 口- o n e ，e 收缩趋于原点；当球一2 对，如扩张；岔- o 辩，o ( o o ) 戆稳定的缨焦 点 证明：8 ，o , a 州l 时，d 如是不稳定辍焦点当聪一o , r o 时，o ( o ，o ) 是一 阶稳定细焦点，由引理1 2 1 0 ，对于充分小的a ，0 ，系统( 2 1 2 ) 在d ( o ，0 ) 附近至少 存在一个稳定的极睽环r ，b a o 对，r 戆予原点。 由引理1 2 1 1 知，系统( 2 1 固的极限环r o 怒唯一的麒对于系统 犯l 。舔砖，罗) 一y + y 3 ，安睡，y 一嚷+ 哿+ 参眇2 + 拶3 ，手慧 巨o p 射? 缈，矿陋舢， 故系统( 2 i 2 ) 构成关予参数a 的旋转向量场；r 0 是顺对钳的正 龟稳定极限环，由囱 量场的瓒论知，当口增大时，l 单调扩大 定璞2 柏：若a c0 ，o ，则系统 2 1 渤存在难一的不稳定极限环e ，且当 牡一。孵，t 收缩趋予原点；当a 一_ 2 时，e 扩张；口- o 时，d o o ) 是不稳定的细焦 点 证明：其证明与定理2 4 2 的证明类似，敞略证 下瑟怒系统g 1 2 ) 在l a | t2 一 y 2 王声 0 2 乏a - y o 条 擎下静念弱结擒圈； 一0 n 2 ，r o ， 卢。一 y 2 一第二名譬 。2 孑0 a = r - o 田2 4 1 2 5 本章小结 本章运用定性分析和分岔的方法研究了系统( 2 1 2 ) 在卢t0 条件的全局所有 奇点的类型和h o p f 分岔问题，并给出了系统( 2 1 2 ) 在h ( 2 , - r 2 口t o 及 口一r - 0 条件下的全局结构图但对于芦t 0 条件下的全局分析未能作出判断，仍 有待今后对此另作详细讨论，以便弥补此章不足之处 q o 、， ( 芦 2、， 2 书 西北大学硕士学位论文 第三章一类e 系统的全局分析和h o p f 分岔 3 1问题的提出 近年来，平面三次系统的研究倍受人们的关注，大量的学者在这