（基础数学专业论文）单形中若干几何不等式及其应用.pdf

中文摘要 摘要 本文主要利用代数方法和几何不等式理论，研究了凸几何与距离几何中有关单 形的几个重要的几何不等式问题，建立了若干几何不等式，并分别给出了它们的应 用全文共分三章 第一章，首先介绍了几何不等式的发展，尤其近二十年来在我国的发展；给出 了与本论文相关的些基本概念，最后论述了本文研究的主要内容 第二章，主要研究了有关单形中著名的欧拉不等式的高维推广和改进的问题， 建立了涉及单形外接球半径，内切求半径以及内点到各侧面距离的新的若干几何不 等式，作为特例，对n 维e u e r 不等式进行了新的推广和改进 第三章，主要研究了关于单形体积的若干几何不等式问题，建立了涉及两个不 关联单形的体积的几何不等式，作为特例，获得关于垂足单形体积的不等式另外， 还建立了关于垂足单形体积的类新的几何不等式，并给出了它的应用本章第三 节建立了有关单形与其内接单形体积的一个结果，作为其应用，获得了n 维m e n e l a u s 定理而且，还建立了关于单形的切点单形与旁心单形体积的一个几何不等式 关键词。几何不等式；单形；内点；e u e r 不等式；体积 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类号- 5 1 k 0 5 ，5 1 k 1 6 中图分类号。0 1 8 4 英文摘要 a b s t r a c t t h i st h e s i sr e s e a r c h e ss o m ei m p o r t a n tp r o b l e m so fg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rs i m p l e x i ne o n v e xg e o m e t r ya n dd i s t a n c eg e o m e t r yb yu s i n ga i l a l y t i cm e t h o da n dt h e o r yo fg e o - m e t r i ci n e q u a l i t y s o m eg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sa r ee s t a b l i s h e d ，a n dt h e i ra p p l i c a t i o n sa r e g i v e n t h et h e s i sc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1i n t r o d u c e sd e v e l o p m e n ta n ds i g n i f i c a n c eo fg e o m e t r i ci n e q u a l i t y ，e s p e - td a l l yi t sd e v e l o p m e n ti nc h i n ai nl a s t2 0y e a r s a n dt h e n ，w eg i v es o m eb a s i cc o n c e p t s c o n c e r n i n gs i m p l e x ，a n dt h i st h e s i s sm a i na s p e c t 8a tt h ee n d o fc h a p t e r1 c h a p t e r2r e s e a r c h e sc o n j e c t u r ea n di m p r o v e m e n to fn - d i m e n s i o ne u l e ri n e q u a l i t y ，s o m eg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rt h ec i r c u m r a d i n sa n di n r a d i n so fs i m p l e xa n d d i s t a n c eo f i t si n t e r i o rp o i n tt os i d ef a c e sa r ee s t a b i s h e d ，w h i c ha l la r en e wi m p r o v e m e n t so fe u l e r i n e q u a l i t y a p p l i c a t i o n c h a p t e r3r e s e a r c h e ss o m eg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rv o l u m e so fs i m p l e x ac l a s s o fg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rv o l u m e si n v o l v i n gt w os i m p l i c e sa n dt h e i ri n t e r i o rp o i n t sa r e e s t a b l i s h e d i na d d i t i n n ，w eg e ts o m ei n e q u a l i t i e sf o rv o l u m e so fas i m p l e xa n di t sp e d a l s i m p l 哗a st h e i ra p p l i c a t i o n s 。w ec a ng e tac l a s so fi n e q u a l i t i e so nt h ev o l u m e so fs i m - p l e xa n di t sp e d a ls i m p l e x ，8 0 m ek n o w ni n e q u a l i t i e so nt h ev o l u m e so fs i m p l e xa n d i t s p e d a ls i m p l e xa r ei m p r o v e d i np a r t3 w eo b t a i nar e s e to nt h ev o l u m eo fi t si n s c r i b e d s i m p l e x ，a ss p e c i a lc a s e ，w eg e tn - d i m e n s i o n a lm e n e l a u st h e o r e m i na d d i t i o n ，w ee s t a b l i s h a ni n e q u a l i t yf o rt h ev o l u m e so ft h et a n g e n tp o i n t ss i m p l e xa n dt h ee s c e n t e r ss i m p l e x k e y w o r d s ：g e o m e t r i ci n e q u a l i t y , s i m p l e x ，i n t e r i o rp o i n t ，e u l e ri n e q u a l i t y , v o l u m e s m r ( 2 0 0 0 ) s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：5 1 k 0 5 ；5 1 k 1 6 i i 符号说明 符号说明 n 维欧氏空间 n 维单形 单形的顶点 单形顶点a 所对的侧面一1 单形) 单形的侧面 的面积 单形的棱长 单形的外接球半径 单形的内切球半径 单形的体积 与单形有相同外接球半径的正则单形体积 单形的所有对棱所成角的算术平均值 单形的外心 单形的内心 单形的重心 单形的内部点 单形内点p 到侧面 的距离 驴 a 晟 肋 r r y p d ， g p 也 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：。备f 雾多， 签字日期：h 一7 年够月。咿日 学位论文版权使用授权书 本每位论文作者完全了解芝多艘出芬有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阆和 借阋。本人授权礞蝴以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：崭彦丘导师签名= 椤谬阂 签字日期：呻 年乒月卫日签字日期：加。_ 7 年4 - 月二。日 f 学位论童作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 单形中若干几何不等式及其应用 第一章绪论 本章简单概述了几何不等式的发展，给出了单形中与本文有关的基本概念，最 后介绍了本文研究的主要内容 1 1 几何不等式在中国的发展 2 0 世纪前，几何不等式的发展比较缓慢，到了2 0 世纪几何不等式这门学科有了 快速的发展2 0 世纪5 0 年代b l u m e n t h a ll m 的专著t h e o r ya n da p p l i c a t i o n so f d i s t a n c eg e o m e t r y 问世1 9 6 9 年，b o t t e m ao 等对到那时为止的成果作了一个很好 的总结，搜集了4 - 0 0 多个平面几何中的不等式，出了一本g 咖e t r i ci n e q u a l i t i e s ， 此书由单鹰译为中文版几何不等式。1 9 9 1 年北京大学出版社出版1 9 8 8 年， m i t r i n o v i cd s 等著的r e c e n ta d v a n c e si ng e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s 已经是一本包 含3 0 0 0 多个不等式的大部头的著作1 9 9 1 年，陈计与m i t r i n o v i cd s 等写的补 遗又增添了1 9 8 7 - 1 9 9 0 年中出现的1 4 7 个不等式 近二十多年来，几何不等式的研究蓬勃发展，速度之快令人吃惊，我国的数学 工作者在高维几何主要是凸体几何不等式研究中获得了不少深刻结果，特别是高维 单形及其不等式理论领域内所取得的先进成果居世界领先地位我国几何不等式的 研究在8 0 年代走向高潮自1 9 7 9 年由中国科学技术大学常庚哲教授和彭家贵教授 把n e u b e r g - p e d o e 不等式首先介绍到我国之后，激起了我国许多人的兴趣，促使几 何不等式的研究工作在我国的蓬勃发展随后。张景中院士、杨路教授于1 9 8 1 年首 先将n e u b e r g - p e d o e 不等式推广到n 维欧氏空间，他们不仅研究平面问题，而且对 2 第一章绪论 高维空间的几何不等式作了开拓性的工作无论平面或者高维的几何不等式，我国 都有深入的研究前者以陈计王振、李文志、石世昌、陈胜利、刘健等先生的文 章为代表，后者以张景中，杨路、张i 莹苏化明，左铨如、毛其吉，冷岗松杨 世国等先生的文章为代表这些工作或技巧精湛，或思想新颖，其中有不少深刻的 结果，居世界领先地位，已经引起国内外数学同行的关注 1 2 单形的基本概念 在平面几何中，三角形占据着极为重要的地位。它是平面中最简单的多边形， 人们从中归结出一系列著名的定理、公式和不等式，人们用这些定理。公式不等 式来探求平面几何中的各类问题如果将平面中的三角形向高维欧氏空间推广，便 提出了单纯形( 简称单形) 问题的研究课题单形是高维欧氏空间中最简单的几何 图形，它有一系列优美的特殊性质既可从中归结出一系列定理、公式。不等式， 也可运用它来探求高维欧氏空间乃至常曲率空间中的各类问题 1 单形的有关概念 定义1 2 1 【1 】设a 1 ，a 2 ，a + l 曼n ) 是n 维欧氏空间驴中线性无关的点 ( 即个向量赢= 五五( i = 2 ，3 ，k + 1 ) 是线性无关的) ，则点集 k 4 - 1 k + l q = x l x = 鼋，九= 1 ，o ) 扛= 2i = 2 称为以a l ，也，a k + l 为顶点( 或以向量动，a 南为支撑棱) 的k 维单形，为方 便，常记维单形为q k = e a ( k + 1 f a i ，a 2 ，a k + l 3 单形中若干几何不等式及其应用 在此，需要说明的是，如果a l ，也，a 女+ l 不是线性无关的，则称维单形是 退化的，其维数小于k ，那么它的大于k 一1 维的体积约定为零本文若提到单形 是女维的，都是指k 维非退化的 定义1 2 ，2 【q 维单形吼= e a 1 1 中，由顶点 a l ，a 2 ，a 一1 ，a + 1 ，a k + 1 ) 所支撑的一i 维单形称之为a 所对的侧( 界) 面。记为五o = 1 ，2 ，k + 1 ) ， 维单形有+ 1 个顶点和k + 1 个侧面；由 与办所成的角称为维单形的内= 面角，记为( i , j = l ，2 ，k + 1 ，i j ) ；由顶点a 向所对的侧面五引垂线，垂 足为凰，则称i 石或i 为侧面 上的高，记为旭0 = 1 ，2 ，k + 1 ) ；连结两顶点 的线段称为单形的棱其中，所有棱长皆相等的单形称为正则单形 例如，三角形是二维单形；正四面体是个三维正则单形，每个四面体都有四 个顶点四个侧面，每个侧面都是一个二维单形即三角形 定义1 2 ，3 1 1 】驴中任意n + 1 个不共t l i 维超平面的点确定的n 一1 维超球 面称为以这n + 1 个点为顶点所构成的单形的外接超球面( 本文简称为外接球) 。外 接球球心称为单形的外心；在单形内部与单形的所有侧面都相切的超球面称为单 形的内切超球面( 本文简称为内切球) ，内切球球心称为单形的内心；在单形外侧 与单形的一个侧面相切，并且与其余侧面的延展面都相切的超球面称为单形的傍 切超球面( 本文简称为傍切球) ，傍切球球心称为单形的傍心特别，与侧面 相 切而与其他侧面延展面相切的傍切球称为第 个傍切球 4 第一章绪论 2 重心坐标系 在中学阶段，我们已经很熟悉直角坐标系，它是由互相垂直且相交于原点的数 轴所构成的下面我们将接触到另外种定义的坐标系，那就是重心坐标系 定义1 2 4 【1 1 设驴中的n 维单形n 。= ( 1 ) = a l ，a 2 ，+ 1 ) ，m 是 正”中的任意一点，记单形 a s ，a 2 ，a 一1 ，m ，a + 1 ，如+ 1 ) 的n 维带号体积为 k0 = 1 ，2 ，t l + 1 ) ，则我们把n + 1 个单形的带号体积之比 ：k ：k + l = p l ：蜥+ l 叫做点m 的重心坐标( 或点m 的体积坐标) ，单形叫做坐标单形坐标单形连同 重心坐标称为重心坐标系，并且我们把点m 的萤b 坐枥对已为( 卢l ：p 2 - ：脚+ 1 ) ， 本文简记为( p 1 ，化，脚+ 1 ) 若点m 在坐标单形内部，约定m 0 ( i = l ，2 ，n + 1 ) ；若点m 在坐标单 形侧面五( i = l ，2 ，n + 1 ) 上，则地= 0 定义1 2 5 1 1 】设五”中点m 在坐标单形下的重心坐标为“l ，地，脚+ 1 ) 令 丸= 箸l ，o = 1 ，2 ，n + 1 ) 以 i = 1 则称( a 1 ，a 2 ，a f l + 1 ) 为点m 的规范重心坐标 性质1 2 1 【1 】设伊中点m 在坐标单形= a ( 1 ) 下的规范重心坐标 为( a 1 ， 2 ，h + 1 ) ，单形 a 1 ，a 2 ，a “m ，a + l ，厶+ 1 ) 的n 维带号体积为 5 单形中若干几何不等式及其应用 ( i = 1 ，2 ，一，n + 1 ) ，则 丸= 兽( 2 卅1 ) 1 3 本文主要研究内容 1 7 6 5 年，e u e r 研究了三角形的外接球半径与内切球半径之间的关系，获得 了著名的e u l e r 不等式1 9 7 9 年著名的几何学家m s ，k l a m k i n 将二维情形的e u l e r 不等式推广到n 维情形，建立了n 维e u l e r 不等式我国数学工作者对n 维情形 下的e u l e r 不等式做了进一步的研究，对其再作了改进和推广本文( 第二章) 利 用代数方法和几何不等式理论，对n 维e u l e r 不等式做了更深入的研究，建立了涉 及单形内点到各侧面的距离以及外接球半径之间的几何不等式，作为其特例，对n 维e u l e r 不等式作了新的加强和推广另外还获得了涉及单形及其内接单形的外接 球半径以及其内点到各侧面距离之间的若干几何不等式，并作为其应用，同样对n 维e u l e r 不等式作了新的加强和推广 本文( 第三章) 应用解析方法和几何不等式理论研究了酽中n 维单形体积有 关的几何不等式问题第一节，建立了涉及两个单形的体积的几何不等式以及单形 与其垂足单形体积的一类几何不等式，并分别给出了它们的应用第二节，利用度 量几何的理论与方法，研究了酽中n 维单形体积问题，获得了有关单形与其内接 单形体积的一个结果，作为其应用，获得了n 维情形的m e n e l a u s 定理另外，还建 立了关于单形的切点单形与旁心单形体积的一个几何不等式 6 1 = k 州曲 第二章欧拉不等式的改进 第二章欧拉不等式的改进 本章主要研究了涉及单形内点到各侧面距离的几何不等式，作为特例分别对 n 维e u l e r 不等式作了新的改进和推广 2 1 引言 设n 维欧氏空间驴中n 维单形o 。的顶点集r = a 1 ，a 2 ，厶+ 1 ) ，体积为 y ，各棱长为肋= i a a j i ( 1s i t ；r 等号成立当且仅当单形正则 1 9 8 5 年，m s k l a m k i n 在文【4 j 中推广了他的结果，得到 等号成立当且仅当单形正则 r 2 2 n 2 r 2 + i 葫1 2 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 如果以表示与已知单形n 。有相同外接球半径的正则单形的体积，由于 7 单形中若干几何不等式及其应用 不小于的体积v ，文【5 】对上式作了改进，得到 形乏( 兽) 南n 2 r 2 + l o 研1 2 等号成立当且仅当单形正则 文【6 】将( 2 1 ) 作了另外的推广，得到 r 2 舻r 2 + i 碡1 2 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 等号成立当且仅当单形正则 设舭搿为棱氐a 与棱钆山所成的角，令巩，叫；生型专出，( n ) = 里n 两 文( 7 】获得如下结果 r 2 ( c s c o k ，玎j ) 击m ) n 2 r 2 + l 甜1 2 等号成立当且仅当单形正则 在上式的约定下，文1 8 1 进一步获得 冗2 ( e o k ，州) - 击l ( ) n 2 r 2 + i 厨1 2 r 2 ( e s e o k ，i j l ) 击m ) 2 , 2 + k l - - 舀1 2 等号成立当且仅当单形正则 设0 为单形的所有对棱所成角的算术平均值，文【9 】获得 等号成立当且仅当单形正则 r 2 c s 甜n 2 r 2 8 ( 2 5 ) 第二幸欧拉不等式的改进 最近，文【1 0 】对上式进一步改进，获得 铲2c s c 0 n 2 r 2 + l 贺1 2 r 2 c s c 0 舻r 2 + i 甜1 2 评_ c s c 0 舻r 2 + 扣曹1 2 其中等号成立当且仅当单形q 。正则 设p 为单形0 ，l 内部任一点，工g e r b e r 1 1 1 建立了涉及单形内点的结果 n + 1 矿+ 1 i id 舻+ 1 等号成立当且仅当单形正则且内点p 为的中心 特别，当内点取单形内心时便得到著名的n 维e u l e r 不等式；r 继l g e r b e r 之后，文【1 2 】一【2 0 】都建立了涉及单形内点的一些几何不等式 设忍= l 窳i ，文f 1 2 1 与文【1 3 | 分别获得 ，n + 1 一 击三碍2 2 , 些o t l 嘶，i _ l - + i 葡1 2 薹磺礓赡。硌。硌，2 而n 2 n ( n 圣+ l d i d 2 应一a d i + t “1 ) 2 磺礓赡t 硌l 瑶+ ，2i 万( 乙 应一“- ) 2 等号成立当且仅当单形正则 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 一嘶丐1 彤j ，爻i - - j 欲磊7 如下；冗筒不； 一一、”“ n 刍+ l 西2 石2 + ( n 矿- 1 ) n a 等号成立当且仅当单形正则且内点p 为n 。的中心 9 单形中若干几何不等式及其应用 令 对于正整数女，文【1 5 】证得 增篆。丽1 堋+ 1 ) h 【刍+ 掣l 脚= ( 等) 南( 增斜i i 。- 嘶) 赤 文【16 】对不等式( 2 2 ) 也作了推广和加强，获得 #n2n2(“+1噍)南+io-plr2i ii o - p 1 2( 噍) 南+ 2 r 2 2 n 2 ( i id i ) 雨2 + i o - - 0 1 2 n 十1 i = 1 等号成立当且仅当单形正则且内点p 为的中心 设点饯在侧面，上，以顶点集一= q ，如，心+ 1 ) 支撑的单形称为单 形的内接单形的棱长为如= 1 4 群i ( 1 i 可毒药，容易看出不等式( 2 1 4 ) 改进了不等式( 2 3 ) ；不等 式( 2 1 5 ) 改进了( 2 2 ) ；又i 1 ，所以( 2 1 6 ) 进一步改进了( 2 6 ) 定理2 2 2设p 为e n 中n 维单形n 。内部任一点，成立不等式 铲( 兽) 赤 她( 昙) 南n + l 庐+ i o - - a 1 。 r 2 甜) 糟舻矿+ i o - - d l n - i l 2 2 等号成立当且仅当单形正则且p 为其中心 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 容易看出，不等式( 2 1 7 ) - ( 2 1 9 ) 都改进了( 2 9 ) 在定理2 2 2 中取内点p 为单形 内心时，有 推论2 2 2对驴中n 维单形成立 譬2 ( 兽) 南舻r 2 + i 甜1 2 舻( 熹) 击舻r 2 + 阅2 月2 ( c s 。口) 点n 2 r 2 + l z 范1 2 等号成立当且仅当单形正则 容易看出，( 2 2 0 ) 一( 2 2 2 ) 改进了( 2 4 ) ，而且( 2 2 2 ) 进一步改进了( 2 ” ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 薇 叫毛。 f n 僦 第二章欧拉不等式的改进 定理2 2 3设p 为五n 中n 维单形内部任一点，成立不等式 r 2 ( 兽) 老舻n 娶+ l 卵+ l + 却2 砰( 熹) 南舻n 婪+ l 矿1 + 痢2 2 2 ( 删者- 舻n 娶+ l 妒2 + ；l 觅1 2 等号成立当且仅当单形正则且p 为其中心 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 容易看出，不等式( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) 都对( 2 9 ) 进行了改进在定理2 2 3 中取内点 p 为单形内心时，有 推论2 2 3对驴中n 维单形成立 铲( 兽) 赤n 2 r 2 + 扣，1 2 ( 2 2 6 ) r 2 ( 熹) 南n 2 r 2 + ：i 莉2 ( 2 2 7 ) 舻( 。甜) 舟n 2 7 2 + ：阑2 ( 2 2 8 ) 等号成立当且仅当单形正则 不等式( 2 2 6 ) 一( 2 2 8 ) 都进一步改进了( 2 1 ) ，而且( 2 2 8 ) 加强了( 2 8 ) 2 引理及定理的证明 引理2 2 1 【1 】设e n 中任意一点p 关于坐标单形的重心规范坐标为 ( a 1 ，a 2 ，h + 1 ) ，贝0 有 舻= n 1 2 n n ： ( 2 2 9 ) 单形中若干几何不等式及其应用 l 甜1 2 = 舻一丸砖( 2 3 0 ) 1 勺s n + 1 引理2 2 ，2 f 2 3 】对驴中n 维单形n 。，有 ( 酗“【茄脚1 ) ( 删( 坶一h ，( 2 s - ) 等号成立当且仅当单形n 。正则 引理2 2 3 对驴中n 维单形n 。，有 等号成立当且仅当单形正则 由引理2 2 2 与引理2 2 3 容易得到 引理2 2 4对扩中n 维单形，有 ( 2 3 2 ) ( n + l 硝_ l 【而亲芸丢= 砸】 v n 2 一r ( 2 3 3 ) ( 要硝。1 矸布而酉丽p k ( 2 + 3 3 ) 等号成立当且仅当单形正则 引理2 2 5对驴中n 维单形，有 y 黠臻俨- ， 等号成立当且仅当单形正则 证明。利用单形的体积公式与幂平均不等式有 y 。：( 磊1 n 乙+ 1 只) 。：5 2 ( n + l 最) 。生等竖董砰y 2 = 元备足) 2 2 荔( 萎最) 2 竿萎砰 1 4 ( 2 3 4 ) 第二章欧拉不等式的改进 在( 2 3 0 ) 式中取p 为重心g ，由重心规范坐标的性质可知，( 2 3 0 ) 式中的 = ；南o = l ，2 ，n + 1 ) ，得 砖= ( n + 1 ) 2 ( r 2 一i 石孕1 2 ) ( 竹+ 1 ) 2 r 2 ( 2 3 6 ) 1 i 一 鼍 呦 卅：i 第二章欧拉不等式的改进 再根据( 2 3 2 ) 式可得 舻一i 甜1 2 n n l ( 丐n + 1 ) r n l 2 1 ( n 。- 1 ) y 南冗南 由( 2 4 4 ) ，( 2 4 6 ) 可得 舻一i o - - 夺1 22下nn(n+1)n12(n+1)，瓣r希 纛龆南r 格矾n + l 应) 南 ( 2 t 7 ) 将( 2 2 9 ) 式代入( 2 4 7 ) 即可得到不等式( 2 1 7 ) ；结合( 2 3 4 ) 与( 2 4 7 ) 即可得到不等 式( 2 1 8 ) 结合( 2 3 8 ) 与( 2 4 5 ) 可得 由( 2 3 9 ) 与( 2 4 3 ) 有 ytnnl2(n+1)(n+1)2(删商(j：j也)希 n !，乞 ( 2 4 8 ) 将( 2 4 9 ) 代入( 2 4 8 ) 便可得到不等式( 2 1 9 ) 从证明的过程中容易看出不等式( 2 1 7 ) 一 ( 2 1 9 ) 中等号成立当且仅当单形正则且p 为其中心定理2 2 2 得证 定理2 2 3 的证明利用三角不等式，有 i o - - b 1 2 + 冈1 2 ；( i 甜i + l 薇1 ) 2 ；l 葡1 2 根据上式，并且结合定理2 2 1 与定理2 2 2 容易得到( 2 2 3 ) ( 2 ，2 5 ) 容易看出不等 式( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) 中等号成立当且仅当单形n 。正则且p 为其中心定理2 2 3 得证 1 7 单形中若干几何不等式及其应用 2 3 涉及单形内点及其内接单形的几何不等式及其应用 在前面记号下，设点残在n 维单形n 。侧面 上，以顶点集，= i ，啦，如+ 1 ) 支撑的内接单形为，的棱长为力= a ；i ( 1 i 1 ，所以不等式( 2 5 6 ) 改进了不等式( 2 6 ) 在不等式( 2 5 2 ) 中取p 为内心时，便得到 推论2 3 5设q ：为的内接单形，成立不等式 r a ( r 2 一i o - - 西1 2 ) n + 1 ( c s 甜) 岳舻( n + 1 ) r 2 ( n + 2 ( 2 5 7 ) 1 9 单形中若干几何不等式及其应用 当正则，为其切点单形时等号成立 在( 2 5 7 ) 中取为f k 的切点单形时，则有 推论2 3 6驴中n 维单形成立不等式 冗2 甜) 矗舻r 2 + l 甜1 2 当n 。正则时等号成立 容易看出，不等式( 2 5 8 ) 改进了不等式( 2 7 ) 定理2 3 2条件同定理2 3 i ，成立不等式 爿酽( 兽) 击矿n i l + l 也 l = j f 舻( 嘉) 击矿n + l 也 硝舻甜) 格- 矿n + ld i 当正则，p 为其内心且为其切点单形时等号成立 在定理2 3 2 中取p 为单形内心时，容易得到 推论2 3 7设为的内接单形，成立不等式 硝舻( 兽) 击矿r l 爿矽( 嘉) 击- 矿r 州 爿舻( 甜) 者t l “r “+ 1 当正则，为其切点单形时等号成立 2 0 ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) 第二章欧拉不等式的改进 更特别，当为单形f k 的切点单形时，有 推论2 , 3 8 俨中n 维单形成立不等式 r 一 c 、v y ，- - - 南 r ( n r ) - - - d 可 ( 2 ，6 5 ) ( 2 6 6 ) 当正则时等号成立 容易看出，不等式( 2 6 5 ) 与( 2 6 6 ) 改进了( 2 1 ) 若在定理2 3 2 中取为单 形的切点单形时，就有 推论2 3 9设p 为五”中n 维单形内部任意一点，则成立不等式 酽r ( 兽) 由 矿- r ( 尝) 击扩n i i + l d i = j n 4 - 1 酽r 2 甜) 者矿也 ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) 当正则时等号成立 容易看出，不等式( 2 6 7 ) 一( 2 6 9 ) 进一步改进了( 2 5 4 ) ，从而由t l 维e u l e r 不等 式可知，不等式( 2 6 7 ) 一( 2 6 9 ) 进一步改进了不等式( 2 9 ) 2 引理及定理的证明 引理2 , 3 1 嘲设o n = a x ，a 2 ，a n 为驴中有限点集( n n ) ，g n 中任取 也 州：l 单形中若干几何不等式及其应用 + 1 个顶点a 。，a 。，a 。生成的维单形的体积为k 。t 。“+ 。，记 肌= 曙咖饥。 1 s l 一 i k + l 妄 则有 筹2 龋m 时呶渤) ( 2 7 0 ) 当且仅当o n 等量惯轴时等号成立 引理2 3 2 1 2 6 1 对驴中n 维单形成立不等式 n + l 砰丽n 3 瓣nv 2 ( - 1 ) 喜碍 ( 2 7 1 ) 里砰石石：厩蚤碍， ( 2 7 1 ) 引理2 3 3e n 中n 维单形与其内接单形之间成立不等式 ( 力2 ) ( 砰) 2n 2 ( n + x ) v 2 ( 2 7 2 ) 等号成立当且仅当为内部任一点p 关于的垂足单形，且鲁一一锫。 其中k 是n 维单形a 1 a l p a + 1 如+ l 的体积0 = 1 ，2 ，n + 1 ) 证明t设驴中任一点m 关于坐标单形的重心规范坐标为( l ，沁，k + 1 ) ， 其中凡= k y 一1 0 = 1 ，2 ，n + 1 ) ，n 善+ l 九= 1 ，k 是单形( f ) = a 1 a 一1 m a + 1 厶+ 1 的体积对酽中任一点q ，有面：岂丸积，由此可得 i = 1 利用上式有 n + l 九虿五2 ：塞丸( 虿砑+ 丽面) 2 ：n l + l k q 肘2 + 2 虿动蔓九砺茗+ n + l 丽五2九虿五2 = 丸( 虿砑+ 丽面) 2 = l k q 肘+ 2 虿动九砺茗+ 丽刁 i = 1 i = 1i = 1 i = 1i = 1 i | 耐 一蕊 m 州h = 窳 州：l 第二章欧拉不等式的改进 ：耐+ n + l a ；窳2 i = 1 在( 2 7 3 ) 式中取q = a j ，并两边乘以，得 上式两边对指标j 求和，并利用n + l ：1 ，得 = 1 ，t l + 1 ) ( 2 7 3 ) 丸j 啊2 ：n + l 丸窳2 ( 2 7 4 )丸j 啊2 = 丸窳2( 2 7 4 ) 1 i j n + l i = 1 对任意给定的一组正数z i ( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ，在驴中取一点p ，使点p 关于 内接单形的重心规范坐标为( m ，码，。) 。其中x ：甄( 謦q ) - - ，利用式 ( 2 7 4 ) ，有，。 x 碍如2 = n - i - i a ：司2 。o 1 i j s n + l = 1 即 矾巧力2 = ( 毛) ( 毛芦趸2 )(275)n+l 1n + n 1 s t 勺s n + 1 = 1i l l 由于0 一 砰 z 州 疙 z 州：i 譬 一 第二章欧拉不等式的改进 结合( 2 3 8 ) ，( 2 s 1 ) ，( 2 8 2 ) 有 r a ( r 2 一i o - p 1 2 ) l 嵩一( 删州 再将( 2 4 9 ) 代入到( 2 8 3 ) 即可得到不等式( 2 5 1 ) 即 由( 2 8 1 ) 利用算术一几何平均不等式有 ( 2 8 3 ) 高沙喜霹s 舻n 婴+ l 瓴砰5r ，2 ( 毒筹严：舻( 熹n v ) 2 ( 州，万南沙娶霹s 舻娶瓴晟) 2 5 舻( 等万) 2 ”= 舻而) 2 扣“ 而根据( 2 4 8 ) 有 r 2 v 2 _ n n ( n f + 1 ) n + 1 n + l 霹f l p，o c 叫珊弋c 删州簿- y 掣 结合( 2 8 4 ) - q ( 2 8 5 ) 可得 r ，2 ( r 2 一i o - - 0 1 2 r 12 篇y ； 再将( 2 4 9 ) 代入到( 2 8 6 ) 即可得到不等式( 2 5 2 ) 竹+ l i id t = 1 从证明的过程中容易看出当正则，p 为其内心且为其切点单形时不等 式( 2 5 0 ) 一( 2 5 2 ) 中等号成立定理2 3 1 得证 定理2 3 2 的证明结合( 2 3 6 ) ( 2 7 2 ) ，( 2 8 0 ) 容易得到 爿彤- 1l 篇y 2 5 毋 州汹 单形中若干几何不等式及其应用 结合( 2 4 4 ) 与( 2 8 7 ) 式并进行适当整理，可得 栅苎毪描掣墓血 将( 2 2 9 ) 式代入( 2 8 8 ) 即可得到不等式( 2 5 9 ) 即 将( 2 3 4 ) 式代入( 2 8 8 ) 便可得到不等式( 2 j b 0 ) 由( 2 4 9 ) 与( 2 8 7 ) 容易得到 由( 2 1 9 ) 有 结合( 2 8 9 ) 与( 2 9 0 ) 便可得到不定式( 2 6 1 ) 从证明得过程中容易看出，当正则，p 为其中心且为其切点单形时 ( 2 5 9 ) ( 2 6 1 ) 中等号成立定理2 3 2 得证 。妒 州：i 扩南 柳妇 一 以 酽硝 驴 州m r 4 扩 南 甜 一 酽科 庐 州：l n南 研 一 r 第三章关于单形体积的几何不等式及其应用 第三章关于单形体积的几何不等式及其应用 本章主要研究了关于单形体积的几何不等式问题，建立了涉及两个不关联单 形体积的几何不等式以及单形与其垂足单形体积的一类几何不等式，并分别给出了 它们的应用另外，获得了有关内接单形体积的一个结果，作为其特倒获得了n 维 m e n e l a u s 定理另外还建立了切点单形，旁心单形体积的一个不等式 3 1 涉及两个单形体积的几何不等式及其应用 1 引言及主要结果 约定e ”中的两个n 维单形q 。与的体积分别记为y 和，两单形的顶点 集分别为r = a l ，a 2 ，厶+ - ) 与一= 4 ，钙，氍+ 。 ，它们的顶点a 与a ，所 对的侧面 与矗的面积分别为e 与嚣0 = 1 ，2 ，n + 1 ) 任意两个侧面五与乃 和刀与乃所成的内二面角分别为和( ，j = l ，2 ，l + 1 ，i j ) 设p 为单形 n ，l 内部任意一点，由顶点集 p a 。，a 一，a 。) ( 1 i z i 2 i k n + 1 ) 所支 撑的k ( 2 女sn ) 维单形的体积记为v a ( p , a , ，h ) ，顶点集 码。，如，群。) ( 1 血 五 j l + l n + l ，2 l s n ) 所支撑的f 维单形的体积记为v a ，( q ，+ 。) 定义3 1 1 【鹅】设驴中n 维单形的顶点集为r = a 1 ，a 2 ，厶+ 1 ) ，p 为内部的任意一点，自p 向各侧面，t 引垂线，垂足为风0 = 1 ，2 ，n + 1 ) ， 则由顶点集 皿，皿，玩+ 1 ，支撑的n 维单形称为单形关于点p 的垂足 单形，记为喘 2 7 单形中若干几何不等式及其应用 记哦的体积为v 0 。特别，当p 取单形f k 内心时，喘即为的切点 单形，体积记为v t 由顶点集 p ，凰。，日 。，甄。) ( 1 i l i 2 i t n + 1 ) 支撑的( 2s 冬n ) 维单形的面积记为瞻( p 凰。，凰。，愚。) ，特别由顶点集 p ，玩，飓，甄_ 1 凰+ 1 ，岛+ 1 ) ( i = 1 ，2 ，n + 1 ) 支撑的n 维单形的体积筒 记为k i ) 当单形正则时，文献【2 9 】给出了的体积y 与