（基础数学专业论文）辛三代数的幂零根.pdf

摘要 本文给出了辛三代数幂零的定义，详细讨论了辛三代数与其生成的的根 基，幂零根基的关系。并且具体给出了辛三代数的两种根基的关系式。 关键词： 辛三代数，啊已由k 幂零垆缸 2 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h e p r e s e n tp a p e r ，w eg i v e t h ed e f i n i t i o no fn i l p o t e n to fs y m p l e c t i c a l g e b r a s a n di np r o g r e s s o ft h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i po f r a d i c a la n dn i lr a d i c a lo fas y m p l e c t i ca l g e b r aa n di t 。sl i et r i p l es y s t e m i n a d d i t i o n ，t h er e l a t i v ee q u a t i o na ft w or a d i c a l a fa s y m p l e c t i ca l g e b r a is g i v e n k e yw a r d s ：s y m p l e e t i ca l g e b r a ， s o l v a b l e ， n i l p o t e n t i i 一1 1 啊孵下_ _ _ _ 一 河北大学硕士学位论文 i n t r o d u c t i o n n l cs y m p l e c t i ca l g e b r aw a sf i r s tn o t e db yj r f a u l k n e ra n dj cf e r r a ri n19 7 2 f a u l k e r t r , j r ，h a dc o n s t r u c t e da l lk i n d so f l i ea l g e b r a sf r o mac l a s so f t e r n a r ya l g e b r ai n1 9 7 1 a n d a tt h es a m et i m e ，f e r r a r ，j c a l s oh a dd o n em u c hw o r ko nf r e u d e n t h a lt r i p l e s y s t e m s s y m p l e c t i ca l g e b r as t u d i e dh e r ei s ag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s so f t e r n a r ya l g e b r a sg i v e ni n 【1 】，w h i c hi s ，i nt u r n ，av a r i a t i o no ff r e u d e t h a lt r i p l es y s t e m si n 2 】i na n o t h e rw o r d ， s y m p l e c t i ea l g e b r ai s t h ec o m b i n a t i o nf o r mo ft e r n a r ya l g e b r a sa n dt h ef r u d e n t h a l t r i p l e s y s t e m s n l ea d v a n t a g e o ft h el a t e s ta l g e b r ai st h a ti ti sd e f i n e d b y i d e n t i t i e sa n dh e n c ea d m i t d i r e c ts l i m s h 3 】，t h ea u t h o r sh a v e s h o w nu st h a ts e m i s i m p l e s y m p l e c t i ca l g e b r a s a r et h ed i r e c t s u m o f s i m p l ea l g e b r a si nc h a r a c t e r i s t i c0 ，a n d r e l a t e di n t r i n s i cn o t i o n so f s o l v a b i l i t ya n d s e m i s i m p l i c t yo f as y m p l e c t i ca l g e b r a t ot h ep a r a l l e ln o t i o n si nal i e t r i p l es y s t e m c o n s t r u c t e d f r o mt h es y m p l e c t i c a l g e b r ao f c h a r a e t e r i s t i c0 m o r e o v e r b yu s i n g t h i sr e l a t i o n ，t h e ys h o w n n st h a ta s e m i s i m p l es y m p l e c t i ca l g e b r a o f c h a r a c t e r i s t i c0h a sn o n d e g e n e r a t et r a c ef o r m i na d d i t i o n ，t h ec l a s s i f i c a t i o no f b a l a n c e d s i m p l es y m p l e c t i ca l g e b r a i sg i v e nv i aar e d u c t i o n t ot h ec l a s s i f i c a t i o no ff r e u d e n t h a lt r i p l es y s t e m si n 【6 1 6 i ti sw e l lk n o w nt h a tt h en o t i o no ft h er a d i c a l ( f o re x a m p l e ，n i lr a d i c a le c t ) p l a ya l l i m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo fa l g e b r a sa n dt r i p i es y s t e m s i ts e e m s t ob ei n t e r e s t i n gf o ru st o k n o wt h en i lr a d i c a lb e h a v e si ns y m p l e c t i ca l g e b r a s t h u si nt h i sa r t i c l e ，w ei n v e s t i g a t et h e n i lr a d i c a lo f s y m p l e c t i ca l g e b r a i ns e c t i o n2 ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fn i lr a d i c a la n di n v e s t i g a t et h er e l a t i o no fn i lr a d i c a l b e t w e e ns y m p l e c t i ca l g e b r aua n dt h el i et r i p l es y s t e m 由( u ) c o n s t r u c t e df r o mu a n dw e a l s op r o v es o m en o t i o n sp a r a l l e lt ot h el i e t r i p l es y s t e m s i ns e c t i o n3 , w eh a v ep r o v es e v e r a l r e l a t i v ef o r m u l a sa b o u tt w or a d i c a l s t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w e s h a l lb ec o n c e r n e dw i t h a l g e b r a sa n dt r i p l es y s t e m s w h i c ha r e f m i t ed i m e n s i o n a lo v e raf i e l d 由o fc h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n tf r o m2o r3 ，u n l e s so v e r w i s e s p e d i f i e d 辛三代数的幂零根 1 p r e l i m i n a r y w es h a l lc o l l e c ti nt h i ss e c t i o nv a d o u sr e s u l t st h a tw i l lb en e e d e di nt h es e q u e l i fui sa t e r n a r ya l g e b r a w i t ht r i l i n e a r p r o d u c tx y zs a t i s f y i n g u ( 1 1 ) l ( x ，y ) - l ( y x ) = r ( x ，y ) 一r ( y x ) ( w ed e n o t et h ec o m m o n v a l u e b ys ( x ，y ) ) ( 1 2 ) s ( x ，y ) r ( z ，w 户r ( s ( x ，y ) z ，w ) = r ( z ，s ( x ，y ) 、) = r ( z ，w ) s ( x ，y ) ( 1 3 ) 【r ( z ，w ) ，r ( x ，y ) 2 r ( r ( z ，w ) x ，y ) + r ( x ，r ( w , z ) y ) f o ra l lx ，y , z ，w u ，w h e r ex y z = r ( y , z ) x = l ( x ，y ) z w e s a yt h a tu i sf ls y m p l e c t i ca l g e b r a e x a m p l e l e t ub eav e c t o rs p a c ew i t hn o n d e g e n e r a t es k e w f o r m ，w i t hp r o d u c t d e f i n e db y x y z = ：1 2 ( z + y ，疹x + y ) t h e nub e c o m e sa s y m p l e e t i ca l g e b r a al i et r i p l es y s t e m ( l t s ) i sav e c t o rs p a c eto v e raf i e l d o ，w i 也t e r n a r yc o m p o s i t i o n 【x y ，z 】, w h i c hi st r i l i n e a ra n d s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gi d e n t i t i e s ( 1 4 ) 【x ，y ，z 】= 【y , x ，z 【x ，x ，y 】= 0 ( 1 5 ) 【x ，y , z 】+ 【y , z ，x 】+ k x ，y 】= 0 ( 1 6 ) i x ，y ，【z ，v ，w 】= 【i x ，y ，z 】，v ，w 】+ 【z ，i x ，y ，v 】，w + 【z ，v ，【x , y ，w 】 f o r x ，y ，z ，v ，w t i n 【3 】，t h ea u t h o r sh a v ec o n s t r u c t e dal i et r i p l es y s t e mf r o mas y m p l e c t i ea l g e b r a ，a s f o l l o w i n g ： l e tub ea s y m p l e c t i ea l g e b r a ，s e t 由( u ) = u ou - w h e r eu - i sas e c o n d c o p y o f u ，l e t t i = x i + y - i 中( u ) ，w i t hx i , y i u ，a n dd e f i n e ( 1 7 ) f h h t 3 气x l x 2 弘x 1 x ，y ，x 3 x 2 y i x 2 x 3 y 1 ) ( y l y 2 x ，- y i y ，x 2 + 孔y 2 x l - y 2 y 3 x 】) t h e n 2 河北大学硕士学位论文 ( 中( u ) ，【，】) b e c o m e sal i et r i p l es y s t e ms a r i s f y i n g ( 1 8 ) 【t ts 】= 0 ( 1 9 ) ( t a t d + t a t l 】+ 【t 3 t 。b 】2 0 ( 1 1 0 ) 【t 3 2 k k 】= l i t 】t 南】0 k 1 + i t 3 【t i t 2 t 4 】t 5 】+ 【t 3 t 4 t l h t 5 】 f o ra l l t ，s ，咖( u ) ，i = l ，2 ，3 ，4 ，5 d e f i n i t i o n l 1 l e t t b e a l t s ，as u b s p a c e l i sc a l l e da l l i d e a l i n t ，i f l ，t ，t 】i d e f i n i t i o n1 2l e tib ea l li d e a li nt ，s e t i 1 = 【t ，i ，i 】，i 。= 【t ，i 秘”，f 】i d e a l ii ss o l v a d l e ，i ft h e r ee x i s t sa p o s i t i v e i n t e g e rm s u c ht h a ti ( m k0 d e f m i t i o n1 3f o ral i et r i p l e s y s t e mt ，w es e tl ( t ，dt o b et h el i n e a r s p a no f l ( x ，y ) s , w h e r el ( x ，y ) z = 辟y z 】，f o ra l lx ，y , z t s e t l = t $ l f r ，d ，d e f i n e t h e o p e r a t i o n i nl b y 【a + l ( x ，y ) ，b + l ( z ，w ) 】爿。( x ，y ) b l ( 蜀w ) a + l ( a ，b ) + 【l ( x ，y ) ，l ( z ，w ) 】， f o ra l la , b ，x ，y ，z ，w e t ，t h e n ( l ，f ， ) b e c o m e sa l i ea l g e b r a ，w ec a l li tt h es t a n d a r di m b e d d i n g l i ea l g e b r ao f t a sw ek n o wt h i sd e f i n i t i o ni se q u i v a l e n t 幻t h eo n ei n 【7 】 d e f i n i t i o n1 4a ni d e a lbo fa s y m p l e c t i ca l g b r a ui s s u b s p a c e s u c ht h a t u b u c _ b ，u u b c - ba n db u u c b d e f i n i t i o n1 5k b 1a n db 2 b e s u h s p a c e s o f a t e r n a r ya l g e b r au ，s e t b i + b f b , o ) a ，( 2 芦坤) ，w b e m b a = u ，s 3 i s s y m m e t r i c g r o u p o f d e g r e e 3 d e f i n e n t b ( n ) b yb ( 。l - b ，b 时) = b 。k b ，a n dc a l l 锄i d e a lb s o l v a b l ei f b “l = 0f o rs o m eo g e n e r a l i z i n gt h ec o n c l u s i o n s i n1 3 】，t h e nw eh a v e p r o p o s i t i o n1 6s u p p o s eb ，b a r ei d e a l so fu ( i = l ，2 ) ，t h e n 辛三f 数的幂零根 ( i ) 中( b 帕) = ( 中( b ) ) ( “ ( 2 ) b i a n db 2a r es o l v a b l ei d e a l so fu ，t h e ns oi sb 1 + b 2 ( 3 ) t h es o l v a b i l i t y o f u ，中( u ) a n d l ( 中( u ) ) = 中( u ) 。l ( ( 中( u ) ，m ( u ) ) i se q u i v a l e n t h e n c e ，i fu i sf i n i t ed i m e n s i o n a l ，o n em a yd e f i n et h er a d i c a lo f u ，g ( u ) ，t ob et h em a x i m a l s o l v a b l ei d e a lo f u ，a n ds a yu i ss e m i s i m p l e i f r ( u ) = o d e f i n i t i o n l 7 1 8 】l e t rb ea n i d e a l i na l t s t s e t r o = r ， 酣2 【矸一，t ，r + i r ，t i r “】，i d e a lr i sn i l p o t e n ti ft h e r ee x i s t sap o s i t i v ei n t e g e rns u c ht h a t r k 0 s i m i l a rt ot h ec a s eo fs o l v a b i l i t y ，t h e r ei sau n i q u em a x i m a ln i l p o t e n ti d e a li ntw h o s e d i m e n s i o ni sf i n i t e w ec a l li tn i lr a d i c a la n dd e n o t ei tb y n r ( t ) t h e o r e m1 8 【8 】f o ral i et r i p l es y s t e mta n di t ss t a n d a r de m b e d d i n ga l g e b r al ，w e h a v e ( i ) n r ( l ) nt = n r ( 1 ) ( i i ) n r = j ( n r 盯) ) o n r ( t ) w h e r e j ( r ) ：= a 仨l ( t ，t ) 1a t n r 盯) ) ，n r ( d ( r e s p n r ( l ) ) i s t h en i lr a d i c a lo f t ( r e s p l ) 2 n i lr a d i c a l i nt h i ss e c t i o n ，w es h a l ld e f i n et h en i lr a d i c a lf o ras y m p l e c t i ca l g e b r aa n di n v e s t i g a t ei t l e t a 】a n d a 2 b e i d e a l s o f u ，w ep u t a 3 = u a n d d e f i n e a 1 + a 2 = a 叫) a 。( 2 ) a ( ，) m w h e r e s 3i 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p l e t e s t h ep r o o f s i m i l a r l y , w e c a nd e v e l o ps o m es o l v a b l er e l a t i v ec o n c l u s i o n sa n do b t a i nt h es o l v a b l e r a d i c a l sr e l a t i o nb e t w e e nu a n d 中( u ) t h e o r e m2 7l e tub ea s y m p l e c t i ca l g e b r aa n d 巾( u ) b eal i et r i p l es y s t e m c o n s t r u c t e df r o mu b y ( 1 7 ) ，t h e n 由( r ( u ”= r ( 由( u ) ) w h e r e 中( r ( u ) ) 碲州) + 取u ) ，r ( 中( u ) ) i st h es o l v a b l er a d i c a lo f 中( u ) ，a n dr ( u ) i s s o l v a b l et h er a d i c a lo f u p r o o f s u p p o s et h e r ee x i s t sa ni n t e g e r ns u c ht h a t 。( u 户0 ，n a m e l y u r ( u y r ( u ) “) + i t ( u ) 。恹( u ) “) + r ( u ) 。) r ( u ) “u = o t h e n b yp r o p o s i t i o n1 6i ns e c t i o n1a n d t h ed e f i n i t i o no f s o l v a b i l i t yo f l i et r i p l es y s t e m ， w e g e t 由( r ( u ) ) 呻中( u ) m ( r ( u ) ) 】+ 巾( r ( u ) ) 巾c o ) 巾( r ( u ) ) 1 = ( r c u ) 0 4 - r ( u ) 。) ) c o + u - r ( u 卜r “) 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ca l g e b r au t h en i lr a d i c a ln r ( u ) i si n c l u d e di n t h es o l v a b l er a d i c a lr ( u ) t h e o r e m3 1 1 8 】l e tr f o b et h es o l v a b l er a d i c a lo fal i et r i p l e s y s t e mt ，t h e nw e h a v e r ( 1 ) ，t ，t 】+ t t r ( t ) l c n 。c r ) t h e o r e m3 2l e tub ea s y m p l e c t i ca l g e b r a a n dr ( u ) b et h er a d i c a lo f u ，t h e nw eh a v e u u r ( u ) + r ( u ) u u _ c n r ( u ) p r o o f b yt h e o r e m3 1 w e h a v e 【( r ( u ) + r ( u ) 3 ( u + u 一) ( u + u ) 】+ 【( u + u 。) ( u + u ) ( r ( u ) + r ( u ) ) 】互n r ( u ) + n r ( u ) “ u s i n g ( 1 7 ) w eo b t a i n u u r ( u ) + r ( u ) u u a n r ( u ) t h i sc o m p l e t et h ep r o o f s p e c i a l l y ，i n 【10 1 t h ea u t h o r h a s p r o v e t h a t t h e o r e m3 3e a c hd i f f e r e n t i a t i o ndo fas e m i s i m p l es y m p l e c t i ca l g e b r aui st h ef o r mo f a ( x ，”，w h e r ea ( x ，y 产r ( x ，y ) + r ( y x ) 8 河北大学硕士学位论文 n o ww ec o m b i n e3 2w i t h3 3a n do b t a i n c o r o l l a r y3 4 l e tub es e m i s i m p l es y m p l e c t i ca l g e b r aa n ddb ea n yd i f f e r e n t i a t i o no f u ，t h e n d r ( u ) c _ n r ( u ) i no r d e rt og oo nt h ef o l l o w i n g i n v e s t i g a t i o n i ti sn e c e s s a r yt op r o v i d et h eg e n e r a l i z a t i o no f l e i b n i z sf o r m u l a f i r s t l y w h o s e v a l i d i t y c a nb e e a s i l ye s t a b l i s h e d 【7 t h e n f o re a c h d i f f e r e n t i a t i o ndo f t h e a l g e b r au h o l d st h ee q u a l