（基础数学专业论文）有限群的xss半置换子群.pdf

m j 气 芝 摘要 利用子群的置换性来研究群的结构是一种十分有效的方法，在这方面已经获得 了很多丰富的结果本文引入x 一8 8 - 半置换子群的概念；设g 为有限群，x 为群 g 的非空子集，h g 称日在g 中是x 一8 8 - 半置换的，如果日在g 中有一个 补充t ，且对任意pi | t i ，只要p ，i h i ) = 1 ，就存在z x ，使得日p = p 日，其中 p 7 r ( t ) ，pe s y l p ( t ) 并主要从素数幂阶子群的x 一8 8 一半置换性来刻画群的p 幂 零性和p 超可解性，以及一个群属于给定群系的条件 本文主要包含四个小节： 第一节：介绍了本文的研究背景 第二节：介绍文中常用的数学符号，基本概念和引理 第三节：利用s y l o w 子群的极大子群、伽极大子群的x 一8 8 一半置换性给出一个 群为p 幂零群的若干充分条件 第四节：利用s y l o w 子群的极大子群、2 - 极大子群的x 一8 8 - 半置换性给出一个 群为p 超可解群、以及一个群属于给定群系的若干充要条件 关键词：x 一8 8 一半置换子群p 幂零群p 超可解群饱和群系 一 f j 气 一 a b s t r a c t i t i sa ne f f e c t i v ew a yt os t u d yt h ec o n s t r u c t i o no ff i n i t eg r o u pu s i n gt h ep e r - m u t a b l es u b g r o u pa n dv a r i o u sf i n d i n g sh a v eb e e na c h i e v e d t h ec o n c e p to fx s s s e m i p e r m u t a b l es u b g r o u pi si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n d xa n o n e m p t ys u b s e to fg as u b g r o u ph o fgi ss a i dt ob ex - s s - s e m i p e r m u t a b l e i ngi fhh a sas u p p l e m e n tti ngs u c ht h a thi sx p e r m u t a b l ew i t he v e r ys y l o w p - s u b g r o u p so ft w i t hp ，i 驯) = 1a n d p 丌( g ) i nt h i sp a p e r ，b yu s i n gt h ex s s - s e m i p e r m u t a b i l i t yo fs u b g r o u p so fp r i m ep o w e ro r d e r ，s o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sw h i c hi m p l yaf i n i t eg r o u pt ob e l o n gt oag i v e nf o r m a t i o no rp - n i l p o t e n t g r o u po rp - s u p e r s o l u a b l eg r o u pw i l lb eo b t a i n e d t h ep a p e rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gf o u rs e c t i o n s ： i ns e c t i o no n e ：w ei n t r o d u c es o m eb a c k g r o u n d so fo u rr e s e a r c h i ns e c t i o nt w o ：w ei n t r o d u c es o m es y m b o l s ，b a s i cc o n c e p t s ，a n dl e m m au s e di n t h i sp a p e r i ns e c t i o nt h r e e ：w i t hx s s s e m i p e r m u t a b i l i t yo fm a x i m a ls u b g r o u p so rn - m a x i m a l s u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p s ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fp - n i l p o t e n tg r o u p sa r e o b t a i n e d i ns e c t i o nf o u r ：w i t hx s s - s e m i p e r m u t a b i l i t yo fm a x i m a ls u b g r o u p so r2 - m a x i m a l s u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p s ，s o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sw h i c hi m p l y af i n i t eg r o u pt ob e l o n gt oag i v e nf o r m a t i o no rp - s u p e r s o l u a b l eg r o u pa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：x - s s - s e m i p e r m u t a b l es u b g r o u p sp - n i l p o t e n tg r o u p sp - s u p e r s o l u a b l eg r o u p ss a t u r a t e df o r m a t i o n 目录 英文摘要i i 1 引言1 2 预备知识3 3x s s 半置换子群与有限群的p 幂零性7 4x s s 一半置换子群与有限群的p 超可解性1 4 5 问题与讨论2 0 参考文献2 1 鼍 留 攻读硕士学位期间发表的论文2 3 致谢2 4 1 西南大学硕士学位论文引言 1引言 在有限群的研究过程中，探讨各种群的结构始终是群论研究的一个主要任务 而利用群的各类子群所具有的特殊性质来研究群的结构是一个让许多人都非常感兴 趣的课题其中极大子群、极小子群、子群的正规性、置换性等在有限群的研究中扮 演着重要的角色 众所周知，如果a b = b a ，那么称g 的子群a 和b 为可置换的；如果a 和 g 的任意子群都可置换，那么称a 为g 的置换子群1 1 】或拟正规子群 2 1 置换子群 有许多经典的结果，比如，o r e 2 1 证明了：拟正规子群一定是次正规子群i t 6 、 s t 6 p 3 1 证明了：无核拟正规子群必为幂零群作为拟正规子群的推广，k e g e l 4 l 和 d e s l 【i n 【5 】引进了8 一拟正规子群( 即和所有s y l o w 子群可置换的子群) ，得到了一些类 似的结果陈重穆 6 1 进一步减弱拟正规、8 拟正规的条件，引进了半正规、s 一半正 规子群群g 的一个子群a 称为半正规的，若对任意的b g ，只要( 1 a l ，l b l ) = 1 ， 就有a b = b a a 称为8 一半正规的，若对任意的p l l a l ，只要p ，i a i ) = 1 ，就有 a p = 尸a ，其中pe s y l ( g ) 张勤海吲分别称半正规子群和s - 半正规子群为半置换 子群和s - 半置换子群利用半置换和8 一半置换性，人们已经获得了许多重要的成果 ( 参见 6 】一 1 0 】) ，比如，陈重穆 6 1 证明了：若群g 的非循环s y l o w 子群的极大子群在 g 中s - 半置换，则g 为超可解群 然而，一般情况下，尽管对群g 的子群a 和b 有a b b a ，但可能存在某一 个元素z g 使得a b z = b z a 基于这种考虑，近年来，郭文彬、s h u mkp 和 s k i b aan 教授引入了x 置换子群f l l 】、x 一半置换子群【1 2 】的概念；设x 是群g 的一个非空子集，群g 的一个子群a 称为在g 中x 一置换的，若对于g 的任意子 群b ，存在z g 使得a b z = b z a 群g 的一个子群a 称为在g 中x 一半置换 的，若a 在g 中有一个补充t ，使得a 与t 的所有子群x 一置换利用子群x 一置 换性和x 一半置换性已经获得了许多引人注目的成果( 参见 1 1 一【1 7 】) ；作为x 一置换 子群和x 一半置换子群的推广，石磊、郝利平分别引进了x - s - 置换子群【1 8 】和x 一8 一 半置换子群【1 9 】的概念：设x 是群g 的非空子集，群g 的一个子群a 称为在g 中 x 一8 一置换的，若a 与g 的任意s y l o w 子群x 一置换；群g 的一个子群a 称为在g 1 西南大学硕士学位论文引言 中x s - 半置换的，若a 在g 中有个补充t ，使得a 与t 的所有s y l o w 子群x 一 置换利用这种新概念和技术也得到了一些类似于前人的结果 作为以上研究的继续，我f f l 弓l 进了下列新概念： 定义1 1 设g 为有限群，x 为群g 的非空子集，h g 称日在g 中是 x 一8 8 - 半置换的，如果日在g 中有一个补充t ，且对任意pll t i ，只要p ，l h i ) = 1 ， 就存在z x ，使得日p = p $ h ，其中p 7 r ( t ) ，尸e s y l p ( t ) 显然x _ s - 半置换子群为x s s _ 半置换子群，反之则不然例如：设g = a b ， 其中a = ( a l a 5 = 1 ) ，b = a u t ( a ) = ( b i b 4 = 1 ) 且a b = a 2 取h = ( 6 2 ) ，x = 1 ，则日 在g 中的补充只有g 由于ae s y l 5 ( g ) 且a 里g ，故日a = a 日而( a a b ) e s y l 2 ( g ) 却有h ( a 3 b ) ( a 3 b ) h 从而日为g 的x 8 8 - 半置换子群但不是g 的x - s - 半置换 子群 由此可知，我们的概念是对前人概念的一种推广，具有较大的广泛性 本文主要从s y l o w 子群入手，利用子群的x s s 一半置换性来刻画群的p 幂零性 和矿超可解性，以及一个群属于给定群系的条件 2 o = 1 ，2 ，n 一个群类厂称为一个群系，若满足下列两个条件： ( 1 ) 若g 厂，则g 的所有同态像也在厂中 ( 2 ) 设n 璺g ，m 翼g ，若g n 厂，g m 厂，则g nn m 厂 若g o ( g ) 尸时总有g 厂，则称群系厂为饱和群系显然超可解群类“是 一个饱和群系 引理2 1 1 2 引如果g = a b ，p 7 r ( g ) ，那么分别存在如e s y l p ( a ) ，s pe s y l p ( b ) ， g p s y l p ( g ) ，使得g p = 4 b p 引理2 2 【1 4 1 设a 和b 是g 的真子群且g = a b ，则对所有z g 有g = a b z 但g a 小 引理2 3 设g 为有限群，x 是群g 的非空子集，日g ，塑g ，k g ，若 日为g 的x 一8 8 一半置换子群，则： ( 1 ) 如果日k g ，x k 那么日为k 的x 一3 争半置换子群 ( 2 ) 如果日为p 群，那么日为g n 的x a - s 争半置换子群 ( 3 ) 设7 r 为素数集合，为g 的7 r ，一子群，且日为g 的开子群，则日 为g 的x n n - s s 一半置换子群 ( 4 ) 如果t x s 。( 日) 且h n a ( x ) ，那么对任意g g 有t g 咒。( 日) ( 5 ) 如果x d g ，那么日为g 的d - s s 一半置换子群 证明( 1 ) 由定义知，设t 为日在g 中的一个补充，即g = 日t 从而k = k a h t = h ( k m t ) = h t l ，其中t 1 = k a t 故乃为日在k 中的个补充任取 qe s y l p ( t a ) 且( p ，i h i ) = 1 由s y l o w 定理知，存在ye s y l p ( t ) 使得q y 从而 3 西南大学硕士学位论文 预备知识 由条件知，存在z x 使得日y z = p 日由于x k 且q k ，所以yn k = q ， 且pnk = ( 尸从而日驴= q z h ，即对任意qe s y l p ( t 1 ) 且当，i h i ) = 1 时均 存在z x ，使得日驴= q z h 故日为k 的x 一8 8 - 半置换子群 ( 2 ) 由定义知，设t 为日在g 中的一个补充即g = 日t 则t 川显然为 h n | n 在g i n 中镝一7 祷梵，即g = h n n t n f n 任取b ne s y l q 旺n | n 、) 且( q ，f h n i ) = 1 因为日为p 群，所以( 口，p ) = 1 不妨设b n = y ，其 中ye s y l g ( t ) 由引理2 1 知，分别存在正e s y l 口( t ) ，ge s y l q ( n ) 使得五口= ze s y l q ( t n ) 姚s y l o w 衰熟。祧t n t n | n 。垛yn | n = 崾n | n 丫n = ( 五) 删= t ：q n n ( t t ) 而由条件知，存在z x 使得日( 霉) z = ( 霉) z 日从而 h n | n 心n | n 丫n = h n | n 唧| n f = h ! 孽n | n = 1 警h n | n = y n | n 丫n 日，即日为g n 的x n n - s s 半置换子群 ( 3 ) 由( 2 ) 证明过程可知， ( 3 ) 显然成立 ( 4 ) 若t k 。( 日) ，则由引理2 2 知，对任意g g ，均有g = h t = 日p ， 从而p 为日的一个补充易知存在h h ，使得t g = t 任取p s y b ( t ) 且，l h i ) = 1 ，其中p 7 r ( t ) 则p 圹1e s y l p ( t ) ，由假设知，存在z x ，使得 h ( p h - 1 ) 茹= ( p h - 1 ) z h 从而【h ( p a - 1 ) z p = ( p h - 1 ) 2 h i ，即日尸一= p 扩h 由于 h n g ( x ) ，故矿x ，从而t g 咒。( 日) ( 5 ) 由定义知显然成立 引理2 4 如果g 的一个p 子群p 在g 中x 一8 8 一半置换，其中x 望g ，那么p 与群g 的每个s y l o w 口子群x 一置换，其中q p 证明由假设知存在t 咒。( p ) 使得g = p t = t 尸，且对任意q 1e s y l q ( t ) ，其 中g p ，p 与q 1 是x 一置换的任取qe s y l 口( g ) ( g p ) ，则q 与q 1 共轭，从而存 在g = t p ，t e p p ，使得q = q 显然q ie s y l q ( t ) ，故由假设知存在z x 使 得p ( q ) z = ( q i ) $ p 从而( 尸q ) p g ，即p q t l x p g 因为x 璺g ，所以妒x 令护= x l ，即x p = p x l ，那么p 驴1 = p q t l p x l = p q t l z p g ，所以p 与群g 的每一 个s y l o w 口- 子群都x 一置换 引理2 5 【1 0 1 设g 为有限群，p 是i g i 的素因子，且( i g i ，p 1 ) = 1 ，p 为g 的 s y l o wp - 子群，若p 的极大子群在g 中s - 半置换，则g 为p 幂零群 4 预备知识 引理2 6 1 1 5 i 设和l 是群g 的正规子群，令叫l 是n l l 的一个s y l o wp - 子群，m l 是纠l 的一个极大子群如果昂是pn 的一个s y l o wp - 子群， 则昂是的一个s y l o wp - 子群并满足d = m nn n 昂是。的一个极大子群且 m = l d 引理2 7 【1 9 1 设g 是群，只q 分别是g 的p 子群和口- 子群，其中p ，q 是l g l 的不 同素因子如果l 是g 的个次正规子群且p q = q p ，那么p q n l = ( p a l ) ( q a l ) 引理2 8 ( 1 4 ，引理3 1 3 1 ) 设a ，b 是群g 的子群满足g a b 且a b $ = b 2 a ， 对所有x g ，那么g 有一个真正规子群使得或者a 或者b 引理2 9 【捌设g 是一个群，p 是一个素数满足矿+ 1ti g l ，其中正整数佗1 如果( i g i ，p 一1 ) 铲一1 ) ( p - 一1 ) ) = 1 ，那么g 为p 幂零群 引理2 1 0 设p 是群g 的s y l o wp - 子群，其中p 7 r ( g ) 且“g l ，p 一1 ) = 1 若 p 的每个极大子群在g 中均有p 幂零补充，则g 是p 幂零群 证明设r 为p 的个极大子群若p 1 = 1 ，则i p i = p 由n c ( p ) c c ( p ) 1 由 定理条件，h 在g 中有p 幂零补充丑，设甄是五的正规h a l l 一子群，则 g = 只五= p 1 地( k 1 ) = 1 g ( 甄) 若k 1qg ，则g 为p 幂零群若( 1 钓g ， 则p ( k 1 ) = g ( 尬) np 1 ) ，其中l 是g 的唯一极小初等交换正规 子群，为g 的极大子群设n pe s y l p ( n ) ，则g p = l n pe s y l p ( g ) 显然g p 非 循环取只为g p 的包含的极大子群由定理条件知，p 1 在g 中x 一8 8 - 半 置换，即存在t 咒。( p 1 ) 使得g = r t ，且对任意五s y l q ( t ) ，其中g r ( t ) 且q p ，均存在z x 使得只t 2 = 譬只易知l 1 = ln 最为l 的极大子群 且l 1 = ln 只= l n p 1 巧塑p 1 巧，即譬n g ( l 1 ) 而l 1 = l f 7p 1 翼q 显然 t qe s y l g ( g ) ，从而l 1 塑g 即有l 1 = 1 ，故i l i = p ，矛盾于是定理得证 引理2 1 2 ( 1 3 ，引理3 5 】) 设是群g 的非平凡正规子群，若n 圣( g ) = 1 ， 则f ( ) = l 1 l 2 xl t ，其中l i ( i = 1 ，2 ，t ) 为g 的极小正规子群 引理2 1 3 设g 是一个群，p 7 r ( g ) 且( i c l ，p 1 ) = 1 ，则g 是p 超可解群 当且仅当g 为p 幂零群 证明显然p - 幂零群为p 超可解群若g 为p 超可解群，则g 的任一主因子h k 或为p 阶循环群或为矿群当h k 为p 阶循环群时，有v c c ( 日k ) - - a u t c ( h k ) 而i a u t g ( h k ) i = p 一1 且( i v l ，p 一1 ) = 1 故有g = c a ( h k ) ，从而h k z ( g k ) ，因此g 为p 幂零群 6 西南大学硕士学位论文 x s s 一半置换子群与有限群的矿幂零性 3x 一8 8 一半置换子群与有限群的少幂零性 定理3 1 设p 是群g 的一个s y l o wp - 子群，p 丌( g ) ，且( i g i ，p 一1 ) = 1 令 x = 0 乡p ( g ) ，若p 的每个极大子群均在g 中x 一8 8 一半置换，则g 为p 幂零群 证明假设定理不真，且设g 为一个极小阶反例那么 ( 1 ) o p , ( g ) = 1 若( g ) l ，则由引理2 3 ( 3 ) 易知a o 尹, ( a ) 满足定理条由g 的选择知， a l o p , ( a ) 为p 幂零群，从而g 为少幂零群，矛盾故o p ( g ) = 1 ( 2 ) g 有唯一的极小正规子群且g n 为p 幂零的，n 菇西( g ) 设为g 的极小正规子群由引理2 3 ( 2 ) ，( 5 ) 可知，g n 满足定理条件故 由g 为极小反例知，g n 为p 幂零群由于所有的p 幂零群的群类为饱和群系， 故是g 的唯一的极小正规子群，且n 菇西( g ) ( 3 ) g 为矿可解群，且为p 群 由( 2 ) 可知，我们只需证为p 可解群即可若不是p 可解的，则由( 1 ) 和( 2 ) 知x = 1 ，进而由引理2 4 可知p 的每个极大子群均在g 中s - 半置换故再 由引理2 5 可知g 为p 幂零群，矛盾故为p 可解群再由g n 为少幂零群 知，g 为p - , - j - 解群且由( 1 ) 可知。刍( g ) 1 ，从而n 0 p ( g ) ，即为p 群 ( 4 ) 极小反例不存在 由( 2 ) ( 3 ) 知g = n l u ，其中m 为g 的极大子群由于n 菇西( g ) ，故n 菇 垂( p ) 于是存在p 的极大子群只使得n 菇只，即p = n 只由定理条件知只在g 中x 一8 8 一半置换，即存在t 五。( p 1 ) 使得g = 只t ，且对任意q6 s y l q ( t ) ( q p ) ，均 存在z x 使得只驴= q z r 显然qe s y l 口( g ) 又因为n 只= n p l q z 塑只q 霉， 即驴n a ( np 1 ) ，且n 只塑p ，所以nt i 塑g 由于是极小正规子群，故 n 1 1 = 1 或者n 且= n 若nr = 1 ，则由n 只为极大子群知i n l = p 但g n 为p 幂零的，设k n 为g n 的正规p 补，由s c h u r - z a s s e n h a u s 定理知 k = n k l ，其中硒为g 的h a l l 一子群，而l k ：( 1 i = p 且( i g l ，p 一1 ) = 1 知坼 c h a rk 璺g ，故托9g ，从而g 为p 幂零群，矛盾若n 只= n ，则n 最矛 盾故极小反例不存在，从而g 为少幂零群 1 西南大学硕士学位论文 x 一8 , 8 一半置换子群与有限群的p 幂零性 推论3 2 设g 为有限群，p 丌( g ) ，且( 1 g i ，p 一1 ) = 1 ，n 塑g ，且g n 是p 幂零的令x = g ( ) 若尸的每个极大子群均在g 中x s s - 半置换，则g 是 少幂零群，其中pe s y l p ( n ) 证明对群g 的阶用归纳法 由引理2 3 ( 1 ) 及定理3 1 可知，为p 幂零群设为的正规p 补，则 n v 鱼g 若1 ，则由引理2 3 ( 3 ) ，( 5 ) 可知，g n v 满足定理条件，从而由归纳 假设知g 为p 幂零群故g 为p - 幂零群 下设 = 1 ，则n = 尸即为少群设马，为g 的正规p 补由s c h u r - z a s s e n h a u s 定理知，存在日的h a l l 一子群k ，使得h = k n 显然o v p ( ) 吩p ( 日) 故由引理2 1 ( 1 ) ，( 5 ) 和定理3 1 知，日为p 幂零群则kc h a rh 塑g ，从 而k 塑g ，即g 为p 幂零群 推论3 3 设g 为有限群，p 为l g i 最小素因子，尸s y l p ( g ) 若尸的每个极 大子群均在g 中g - s s 一半置换，则g 为p 幂零群 。 注3 4 在定理3 1 及推论3 2 中去掉条件( i g i ，p 一1 ) = 1 结论不一定成立例 如取g = 岛，x = 1 ，p = 3 由于g 的s y l o w3 - 子群的极大子群为1 ，当然在g 中 x 一8 8 - 半置换，但是g 不是3 - 幂零群 定理3 5 设p 为i g l 的一个奇素因子，pe s y l p ( g ) ，并令x = o p , p ( g ) 如果 g ( p ) 是p 幂零的，并且p 的每一个极大子群均在g 中x s s - 半置换，那么g 是 p 幂零群 证明假设定理不真，设g 为一个极小阶反例那么 ( 1 ) 0 p ，( g ) = 1 若0 p ，( g ) 1 ，则由引理2 3 ( 3 ) 易知g o , ，( g ) 满足定理条件于是由g 的选 择知，a o v ( c ) 为p - 幂零群，从而g 为p 幂零群，矛盾故o v ( a ) = 1 ( 2 ) 如果p h g ，则日为p 幂零群 由定理条件知，显然有h ( p ) n a ( p ) ，故由( p ) 为p 幂零群知，n h ( p ) 为p 幂零群另外，x = o v p ( g ) p h ，故由引理2 3 ( 1 ) 和( 5 ) 知日满足定理 条件，由g 的选择知日为p 幂零群 ( 3 ) a 是可解群 8 西南大学硕士学位论文x s s 一半置换子群与有限群的p 幂零性 令m = n a ( z ( ，( 尸) ) ) ，其中j ( p ) 为p 的t h o m p s o n 子群显然p m 若m g ，则由( 2 ) 知，m 为p 幂零群由【2 1 ，第章，定理5 1 】，g 为 p 幂零群，矛盾故1 n = z ( 了( 尸) ) 塑g 考虑g n ，显然a n 满足定理条 件由g 的极小性，g n 为p 幂零群，从而g 为p 可解群由文 2 5 ，推论 2 】知，存在qe s y l 口( g ) ，( q p ) ，使得p q g 若p q g ，则q 塑p q 故 q c g ( d p ( g ) ) d p ( g ) ，矛盾从而g = p q ，即g 为可解群 ( 4 ) a 有唯一的极小正规子群，且n = d p ( g ) p 任取为g 的极小正规子群易知g n 满足定理条件，由g 的极小性知，g n 为p 幂零群由于所有的p 幂零群的群类为饱和群系，故为群g 的唯一的极小正 规子群，且圣( g ) = 1 显然n q ( g ) f ( g ) c o ( n ) 因为西( g ) = 1 ，所以存在 g 的极大子群m 使得g = 卅m 于是c c ( n ) = c c ( n ) n m = n ( c a ( n ) nm ) 易知c c ( n ) nm 笪g 故c g ( n ) nm = 1 ，从而n = c g ( n ) ，即n = d p ( g ) 若p = n ，则g = g ( ) = g ( 尸) 为p 幂零群，矛盾从而n = o p ( g ) p ( 5 ) i n i = p 由( 4 ) 可知，设i n i = 矿( 扎为自然数) 由于西( g ) = 1 ，从而n 菇圣( g ) ，也即 n 菇西( p ) 故存在p 的极大子群p l 使得n 菇r ，且p = 1 1 n 由定理条件知p 1 在 g 中x 一8 8 一半置换设t 五。( 只) ，则对任意qe s y l 口( t ) ，其中q 7 r ( t ) ( 口p ) ，均 存在z x 使得只铲= 驴1 1 而np l = np 1 q 霉塑只q z ，故q z n c ( n n l 1 ) 又因为n 只鱼p 故易知n 只璺g 从而n 毋= 1 或者n 片= n 但 n 菇只，故n 只= 1 ，即i p i = 1 只n i = 1 只i i n i ，从而i n i = p ( 6 ) 极小反例不存在 由( 5 ) 知，g c c ( n ) = n a ( n ) c c ( n ) 。a u t ( n ) 釜名一1 而由( 4 ) 知q ( g ) = c g ( d p ( g ) ) ，所以l g i p = i c c ( n ) l p = i q ( g ) | 但这与0 p ( g ) p ( 若i h i = p ，则易知g 为p 幂零群) 若矿“十1 日i ，则由g h 为p 幂零群知g h = 【m h i p h ，其中尸s y l p ( g ) 故m 塑g 且矿“fi m i 从而由引理2 9 知，m 为p 幂零群而m 的正规p 补 也为g 的正规p 补，矛盾故矿+ 1 1 1 日i ( 4 ) 最终矛盾 由( 2 ) 知，存在g 的极大子群m 使得g = f h i m 取蛑e s y $ ( m ) ，则 g p = 坞he s y l a g ) 由l g p ：坞i = i h l 矿“知，取g 0 为g p 的包含坞 的伽极大子群从而g o 在g 中x s s - 半置换，即存在t 恐。( g o ) 使得g = g o t ， 且对任意qe s y l q ( t ) ，其中q p ，均存在z x 使得g o 驴= q $ g o 显然 10 西南大学硕士学位论文x 一8 8 - 半置换子群与有限群的p 幂零性 s 鸡( m ) = s y l q ( t ) ( q p ) 故g o m = g o ( 坞，q i q s 儿( m ) ，q p ) g 由m 的 极大性知g o m = m 或g o m = g 若g o m = g ，则l g ：g o i = l g o m ：g o i = l m ：mng o i = i m ：鸩i 为一数， 矛盾 若g o m = m ，则g o m 从而l g p ：m p l = 矿即日为矿阶初等交换群，与 ( 3 ) 矛盾 从而极小反例不存在，故g 为p 幂零群 定理3 8 设x 是群g 的可解正规子群，p 7 r ( g ) 且( 1 g l ，p 一1 ) = 1 则g 是 p 幂零群当且仅当存在翼g 使得g n 是p 幂零的，并且的s y l o wp - 子群的 在g 中无p 幂零补充的极大子群在g 中x 一8 8 一半置换 证明必要性显然，只需证明充分性假设充分性不成立，并设g 为极小阶反 例，那么 ( 1 ) 对任意1 h q g 有g h 为p 幂零群 设p h = h n p h s 儿( h n h ) ，其中s 儿( ) ，局日为p 日的极大子 群，则由引理2 6 知，最h = h 1 h ，其中1 为的极大子群若1 在g 中有 少幂零补充t ，则由t 驯日笺叫tn 日知，日1 h 在g h 中亦有p 幂零补充 若1 在g 中x 一8 8 - 半置换，则由引理2 3 ( 2 ) 知，日1 h 在g h 中x h h - s s 一 半置换，显然( g h ) ( h n h ) 垡g h n 竺( g n ) ( h n n ) ，故日日和g h 满 足定理条件，由g 的极小性知g h 为p 幂零群 ( 2 ) a 有唯一的极小正规子群l 且圣( g ) = 1 由于所有的少幂零群的群类是饱和群系，由( 1 ) 知( 2 ) 成立 ( 3 ) g 可解且g = ，i l l m ，l = c c ( l ) = q ( g ) = f ( g ) ，m 为g 的一个p 幂零 极大子群 若g 非可解，则由( 1 ) 知x = 1 任取坼e s y l p ( n ) ，其中p 7 r ( ) 若p 的极大子群只都在g 中有p 幂零补充t ，则由n = nn 只t = 只( nt ) 知， 只在中亦有p 幂零补充由引理2 1 0 知为p 幂零的，从而g 可解，矛 盾故存在的一个极大子群只使得r 在g 中x 一8 8 一半置换由定理条件， 存在t 咒。( 片) 使得g = b t 且对任意qe s y l q ( t ) ，其中q p 且q 7 r ( t ) ， 1 1 x 一8 8 一半置换子群与有限群的p 幂零性 一个极小次正规子群，则由( 1 ) 知k 是一个非交换单 驴e s y l g ( t b ) ，且由引理2 3 ( 4 ) 知p 咒8 ( r ) ，从而 p 1 q 。nk = ( 毋nk ) ( q 口nk ) = ( 只nk ) ( qnk ) 。 而由引理2 8 知k 菲单，矛盾，故g 可解其它部分 ( 4 ) l 不是的s y l o wp - 子群 若l 是的s y l o wp - 子群，设l 1 是l 的极大子群，则l l 在g 中或者有一 个p 幂零补充或者x 一8 8 一半置换若l 1 在g 中有p 幂零补充t ，则l = ln g = l nl 1 t = l 1 ( ln t ) ，所以1 lnt 显然lnt 塑l t = g 于是由l 的极小性知 ln t = l ，也即l t ，从而t = g ，矛盾因此，有t 咒。( l 1 ) 使得g = l 1 t ， 且对于任意qe s y l g ( t ) ，其中q 7 r ( t ) 且q p ，均存在z x 使得l i q 。= 驴l 1 而l 1 为己1 驴的次正规s y l o w 子群，因此驴n c ( l 1 ) 由于i l ：l 1i = p ，且 由j o r d a n - h s l d e r 定理知l 1 里g p ( 其中g p 为g 的s y l o wp - 子群) ，故l 1 翼g ，从 而l 1 = 1 ，即i l i = p 但g l 为p 幂零的，设叫l 为g l 的正规p 补，由 s c h u r z a s s e n h a u s 定理知k = l 甄，其中甄为g 的h a l l 矿子群，而i k ：甄l = p 且( i g l ，p 一1 ) = 1 知甄c h a rk 里g ，故凰塑g ，从而g 为p 幂零群，矛盾 ( 5 ) 最终矛盾 设p s y l p ( ) ，显然p 的每个包含l 的极大子群在g 中有p 幂零补充若 p 的每个不包含l 的极大子群在g 中也有p - 幂零补充，则由引理2 1 0 知为p 幂零的设为的正规p 补若1 ，则mc h a rn 鱼g ，从而l m ， 矛盾故为p 群，从而n q ( g ) = l ，由( 4 ) 知，亦矛盾故p 有一个极 大子群只在g 中x 一8 8 - 半置换即存在t 咒。( 只) 使得g = p 1 t ，且对于任 意qe s y l 口( t ) ，其中口7 r ( t ) 且口p ，均存在z x 使得p 1 驴= q z r 由于 ln 只= lnp 1 驴gp 1 驴，故驴g ( ln 只) 显然l 1 = lnp 1 为l 的极大子 群由j o r d a n - h s l d e r 定理知l n 只塑g p ( g p 为g 的s y l o wp - 子群) ，从而l n 只 p ，设pe s y l p ( g ) ，由( 2 ) 知l 菇圣( p ) ， 故存在p 的一个极大子群只使得p = l 只显然np 1 为的某个s y l o w p 子群的极大子群，并且的s y l o wp - 子群非循环，故n 只在g 中x 一8 8 半置换即存在t 咒。( nr ) 使得g = ( nn 只) t ，且对任意qe s y l 口( t ) ， 其中q 7 r ( t ) 且q p ，均存在z x 使得( np 1 ) 驴= q z ( n 只) 而 ln 只= l n ( nn 尸1 ) = ln ( nn 只) 驴里( nn 只) 驴，故q z g ( 三n 只) 显然 己nb 里p ，从而l n 只塑g ，即l l i = p ，矛盾从而i l i = p ( 4 ) 最终矛盾 由( 1 ) 及( 3 ) 知g 厂，矛盾定理得证 注4 2 定理4 1 推广了文 1 8 ，定理3 1 】 推论4 3 设g 为有限群，x 是群g 的可解正规子群，则g 为超可解群当且 仅当存在n 里g 使得g n 为超可解群，且的每个非循环s y l o w 子群的极大子 群在g 中x 8 8 一半置换 1 4 西南大学硕士学位论文x 一8 8 一半置换子群与有限群的p 超可解性 定理4 4 设，是包含超可解群类“的饱和群系，x 是群g 的可解正规子群， 则g 厂当且仅当存在可解正规子群日使得g i h 厂，并且f ( h ) 的每个非循环 s y l o w 子群的极大子群在g 中x 一8 8 - 半置换 证明必要性显然，只需证明充分性假设充分性不成立，并设g 为极小阶反 例，那么 ( 1 ) a 的每个极小正规子群包含在f ( h ) 中 若存在g 的某个极小正规子群使得n 菇f ( 日) ，则n a f ( h ) = 1 且n d h = 1 显然f ( h ) 型f ( h ) n n f ( 日) 竺f ( 日) ，故f ( h ) n n = f ( h n n ) 而 ( g n ) ( h n n ) 竺g h n 笺( g h ) ( h n h ) 易知g n 满足定理条件由g 的 极小性g n 尸从而g 竺g nn 日厂，矛盾 ( 2 ) 圣( g ) = 1 若西( g ) l ，则存在g 的一个极小正规子群使得n 里面( g ) 而f ( h ) n = f ( e ) 同( 1 ) 的证明知g n 厂又n 里圣( g ) 从而g 圣( g ) - ，g 丁，矛 盾 ( 3 ) f ( h ) = l 1 l 2 l 。，其中l i ( i = 1 ，2 ，s ) 是g 的素数阶极小正规 子群 任取p6 s y l p ( f ( h ) ) ，其中p 7 r ( f ( 日) ) ，则尸塑g 由( 2 ) 及引理2 1 2 知， 尸= r l 尼忍，其中r q = 1 ，2 ，t ) 为g 的极小正规子群只需证 i 忍i = p 即可 若p 非循环，则由垂( p ) = 1 知，存在p 的一个极大子群r 使得r 菇只 且p = 忍咒由定理条件，只在g 中x s s - 半置换，即存在t 墨。( 只) 使 得g = r t ，且对任意码6 s y l q ( t ) ，其中口7 r ( t ) 且q p ，均存在z x 使 得只巧= 碍p 1 而rn 尼= rn 只巧翼p 1 譬，即譬n a ( p 1n r ) 另外， i 尼：rn 只i = i r 最：最i = p ，由j o r d a n - h s l d e r 定理知， p 1n 兄里g p ，其中g p 为g 的s y l o wp - 子群显然毛e s y l q ( g ) 故p 1nr 璺g 即只n 忍= 1 ，从而 i r i = p 若尸循环，则显然有| 忍i = p ( 4 ) 最终矛盾 1 5 x s s 一半置换子群与有限群的p 超可解性 由( 3 ) 知c c ( f ( h ) ) = n ( 厶) 而g c c ( l i ) sa u t ( l t ) 且a u t ( l i ) 为循 i = l 环群，故g c c ( l i ) 歹，从而g c g ( f ( h ) ) 歹，亦有g c h ( f ( h ) ) = g hn c c ( f ( h ) ) 厂由f ( h )