（基础数学专业论文）几乎三角hopf代数和hopf代数的galois扩张.pdf

中文摘要 本篇论文主要分为两部分在第一部分中，我们考虑了代数闭域七上满 足舻1 r c ( h o h ) 的有限维半单余半单拟三角h o p f 代数( 日，r ) ，若记 b = r 字( 扩，r 字) ，则b 是h 的个极小交换余交换子h o p f 代数我 们证明了当b 是奇数维时，日上有个三角屉矩阵，因此h 实际上是个 三角的h o p f 代数，即日可以看作某个群代数的t w i s th o p f 代数；当b 是偶 数维时，日可以看成个交换群代数和个三角h o p f 代数的扩张我们用 例子说明几乎三角h o p f 代数并不总是三角的进步。我们还讨论了( 日，r ) 上的d r i n f e l dd o u b l e 及其对偶的几乎三角等性质，并且用双积给出了几乎三 角h o p f 代数的刻画 设h 是域上的余半单h o p f 代数，a 为双代数且日在a 上有余作 用，在论文的第三章我们证明了当a 是其余不变量的g a l o i s 余中心扩张时， j 4 上有h 0 p f 代数结构当且仅当它的余不变量子双代数是h o p f 代数 英文摘要 t h i st h e s i sc o n c l u d e st w om a i np a r t s f i r s t w ec o n s i d 盯af i n i t ed i - m e n s i o n a ls e m i s i m p l ec o s e m i s i m p l eq u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a ( 日，r ) w i t h 铲1 r c ( ho 日) ( w et e r mt h i st y p eo fh o p fa l g e b r a sa sa l m o s t - t r i a n g u l a r ) o v e ra na l g e b r a i c a l l yd o s e df i e l d 七w ew r i t eb ybt h ev e c t o rs p a c eg e n e r a t e d b yt h el e f tt e n s o r a n do f 舻1 r t h e nbi sas u b - h o p fa l g e b r ao fh w ep r o v e d t h a tw h e nd i mbi 8o d d hh a sat r i a n g u l a rs t m c t u r ea n dc a nh eo b t a i n e df r o m ag r o u pa l g e b r ab yt w i s t i n gi t su s u a lc o m u l t i p l i c a t i o n 【e g 叫；w h e nd i mbi s e v e n ，何i sa ne x t e n s i o no fa na b e l i a ng r o u pa l g e b r aa n dat r i g l l l a rh o p f a l g e b r a ，a n dm a yn o tb et r i a n g u l a r i ng e n e r a l ，a na l m o s t - t r i a n g u l a rh o p f a l g e b r ac a nb ev i e w e da sac o c y c l eb i e r o p r o d u c t l e tab eab i a l g e b r ao v e raf i e l d 七a n dac o s e m i s i m p l eh o p fa l g e b r ah c o a c t so i la ai 8g a l o i so y e ri t si n v a r i a n t s i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s w ep r o v et h a ti ft h eh o p fg a l o i se x t e n s i o ni sc o c e n t r a l ，a n dt h ei n v a r i a n t si sa h o p fa l g e b r at h e na i si t s e l fah o p fa l g e b r a l 第一章前言 h o p f 代数是h h o p f1 9 4 1 年在研究连通l i e 群的同调群和上同调群时 引入的，同期也出现于g 工k a c 及其同事所作的群对偶的文章中直到1 9 6 5 年，在文献【m m 】中， m i l n o r 和m o o r e 给出了比较系统的h o p f 代数的理 论 1 9 6 9 年，s w e e d l e r 在专著【s l ，6 9 】h o p fa l g e b r a s 中系统地介绍 了h o p f 代数的基本概念和研究成果，其所蕴涵的思想方法常被后来研究工作 者所引用d r i n f e l d 在1 9 8 6 年国际数学家大会上作了个报告q u a n t u m g r o u p s d r 8 7 。从而把h o p f 代数与具有深刻物理背景的量子群联系起来 现在，h o p f 代数已经成为数学家和物理学家共同关心的研究对象，这方面 在于它是一类十分广泛的代数系统，涵盖了群代数，l i e 代数的包络代数等 多种代数结构；另一方面在于它与众多其它领域有着密切的联系，如代数几何 中的仿射群概型( a 届u l eg r o u ps c h e m e s ) ，l i e 理论，g a l o i s 理论代数表示 论，代数群以及量子群等近年的研究也揭示了h o p f 代数在数学物理中的深 刻应用，例如，一方面，从拟三角h o p f 代数、余拟三角h o p f 代数的表示出 发可以构造量子y a n g - b a x t e r 方程的解；另一方面，从个量子y a n g - b a x t e r 方程的解出发可以通过f r t 的构造方法得到一个拟三角h o p f 代数 h o p f 代数的研究主要集中在以下三个方面- 一是研究h o p f 代数本身的 结构和分类问题以及它上面的模和余模的结构，如m a s c h k e 定理，n i c h o l s - z o e l l e r 定理，h o p f 模基本定理有限维h c 。p f 代数的p r o b e n i t m 性，h o p f 代数的同调理论等；二是研究带有附加结构的、在物理上有着重要应用的几 类h o p f 代数，如拟三角h o p f 代数余拟三角h 0 p f 代数等；三是研究一类较 h o p f 代数结构弱但与h o p f 代数紧密相关的代数，如辫子h o p f 代数扭h o p f 代数，q u a s i - h o p f 代数w e a kh o p f 代数双p r o b e n i u s 代数( b i - e r o b e n i u s 代数) d o u b l ep r o b e n i u s 代数，m u l t i p l i e rh o p f 代数等当然这三方面是 相互紧密结合的 本论文主要分为两部分，第一部分就是研究带有附加结构的h o p f 代数 的分类问题，第二部分是研究h o p f - g a l o i s 扩张的有关问题，我们利用h o p f g a l o i s 扩张来研究h o p f 代数的结构问题 1 1 几乎三角h o p f 代数 有限维h o p f 代数的分类问题是整个h o p f 代数理论中最重要的问题之 一，同时，对一种代数结构进行分类也是一项比较艰难的工作从h o p f 代数 产生以来直到最近才有一些比较好的关于h b p f 代数分类的结果这些结果主 要分为两种，一种是研究具有特定维数的h o p f 代数，例如，z h u 在文章【z 】 中证明了特征为零的代数闭域上的p ( p 是素数) 维h o p f 代数是平凡的( 群代 数) ；m a s u o k a 【m a s 9 5 ，m a s 9 6 l 证明了代数闭域上的半单矿维的h o p f 代数 是群代数；a n d e r u s l d e w i t s h ，s c h n e i d e r a s 9 8 8 证明了p o i n t e d 非余半单矿 维的h o p f 代数是t a f t 代数，因此。特征为零代数闭域上的矿维的h o p f 代数 只有群代数和t a f t 代数；a n d e r u s k i e w t s h ，s c h n e i d e r a s g s b ，c a e n e p e e | ， d a s c a l e s c u 【c d 】，s t e f a n 和o y s t e t e n s o 】等人同时分类了特征为零的代数 闭域上的非半单p o i n t e d 矿维h o p f 代数，证明了p 4 维h 0 p f 代数有无限多 类，从而否定了k a p a n s k y 的个猜想；e t i n g o f 等给出了特征为零的代数闭 域上的半单p 口维n o p f 代数都是群代数或群代数的对偶等等第二种是研究 具有某种特殊性质或特殊结构的h o p f 代数的分类例如，s c h n e i d e r 等人一 直致力于p o i n t e dh o p f 代数的分类。e t i n g o f 和g e l a k i 在三角h o p f 代数方 面做了许多工作 d r i n f e l d 在8 0 年代中期【d r 8 7 1 引入了拟三角h o p f 代数的概念这一概 念的引入。马上引起了数学以及物理学家的极大关注，因为h o p f 代数上的一 个拟三角结构可以提供数学物理中著名的量子y a n g - b a x t e r 方程的解也就 是说，如果( h ，r ) 是一个拟三角h o p f 代数，则r = 尉1 or ( 2 h9h 满足如下的量子y a n g - b a x t e r 方程 r 1 2 r l s r z 3 = r r t 3 r 1 2 其中，r 1 2 = 尉1 o r ( 2 0 1 ，r 1 3 = 硝1 0 1 8 r ( ”，= 1 固崩1 ) o 硝“ 用范畴的语言来讲，拟三角h o p f 代数的表示范畴是辫子r i g i d 范畴，其辫子结 构恰好给出了量子y a n g - b a x t e r 方程的解进一步，如果这个范畴是三角的， 称该拟三角h o p f 代数是三角的，( 皿r ) 是三角的当且仅当r 2 1 r = 1 0 1 由于拟三角h o p f 代数是一类具有深刻物理背景的h o p f 代数，而且，d r i n f e l d 证明了任意一个有限维h o p f 代数都可以嵌入到一个有限维拟三角h o p f 代数 中，因此拟三角h o p f 代数在h o p f 代数研究中占有重要的地位，所以拟三角 h o p f 代数的分类对于h o p f 代数的分类有重要的作用 在文献 e g 0 0 ，e g 9 8 ，g e 0 2 】中，e t i n g o f 和g e l l l d 利用g r o u p - t h e o r e t i c a l 2 d a t a 完全解决了代数闭域上的有限维半单余半单三角h o p f 代数的分类问题， 他们证明了代数闭域上的有限维半单余半单三角h o p f 代数的同构类和同构类 集( g ，日，k “) 是对应的，这里g 是阶为的任意群，日是g 的个 子群，y 是日的个维数是( i h i ) 的投射表示，u 是g 中个中心元 通过对应，我们可以认为任意一个代数闭域上的有限维半单余半单三角 h o p f 代数都可以看作是个群代数的t w i s th o p f 代数。 在本文中我们将刻划比三角的更加广泛的一类拟三角h o p f 代数，它满足 r 2 1 r c ( h 圆h ) = c ( h ) o g ( 明，这里c ( h o 日) 表示日固仃的中心， 我们称这样的( 日，固是个几乎三角h o p f 代数 本论文的第一章是前言，第二章研究几乎三角h o p f 代数我们首先研究 在什么条件下几乎三角h o p f 代数是三角的在半单余半单三角的情况下，根 据已知结果，该h o p f 代数必是群代数的t w i s th o p f 代数，我们证明了下面的 定理 定理2 2 7 设( h ，固是代数闭域上的有限维半单余半单几乎三角h o p f 代 数，r b = 印1 r 及b = r 2 日，兄警) ，则有 ( 1 ) p r 是砖称均 t f 缈bcc ( h ) 是日的一个交换，余交换的子极小拟三角i t o p f 代数 f 习如果d i m b 是奇数，则存在b 上的r 一矩阵r 1 ，使得( 日冗l r ) 是 三角h o p f 代数，因此 ； ( ，r ) 型 【g 1 1 以，( ) ： ) 是一个有限群代数的t w i s th o p f 代数，这里j 1 k g lok g l 是g l 上的一个 t w i s t “j 如果d i m b 是偶数，则存在b 上的r 一矩阵r l ，使得( h ，r l r ) 是几乎三角t i o p f 代数，此时r = r l 冗是日上的r 一矩阵，而且，相应与 r = r i r 的交换余交换子h o p f 代数日的维数是d i m b = 2 l ，这里l 取非负 整数 从上面的定理可以看到，当b 的维数是偶数时，不能证明几乎三角h o p f 代数是三角的，接下来我们用一个熟知的双积 口的构造i g e 9 8 来证明的确 存在一个是几乎三角的但不是三角的h o p f 代数 3 命题2 2 1 0 设p 是一个奇素数，假定基域中舍有p 次和4 次本原单位 根记i 为4 次奉原单位根则双积a 2 p = 【( 6 ) 】k i h ) 】是一个几乎三角 t t o p f 代数，它的r 一矩阵为 r ：壹等( 1 。曲圆( 1 。吮 1 k = o 并且a 2 。上没有三角结构 然后，我们又研究了几乎三角h o p f 代数的d r i n f e l dd o u b l e 及其对偶的 性质，我们得到了下面两个结果 萄；翩2 2 1 2 设日为域上的有限维h o p 代数，d ( h ) 是日上的l n f e l d d o u b l e 。冗是标准的r 一矩阵。则下列结论等价， n ，( d ( 聊，冗) 是几乎三角h o p f 代数， 例h 是交换和余交换的，并且作为h o p f 代数d ( h ) = h 固h 命题2 2 1 5 设口是城k 上的一个有限维h o p f 代敷，d ( h ) 是h 上的 d r i n f e l dd o u b l e 。则下列结论等价。 p ，( d ( h ) ，冗) 是几乎三角h o p f 代数， 例存在r = r ( 1 or ( 2 h oh 和r = 犀1 o r ( h + oh ， 使得( ，r ) 和( 圩，r ) 是几乎三角h o p 代数，且 冗= h 。r 2 。删巧dr 1 s 4 ( ) 。 ：删 这里 也 l ，( 巧 l 为皿日+ 上的一组对偶基 我们还研究了双交叉余积的几乎三角结构，把c h e n 在文献 c h e n l 中的 结果应用到几乎三角h o p f 代数上，得到了下面的结果 命题2 2 1 8 设闪p a 是域k 上双交叉余积t t o p f 代数，记冗h 喇9 a oh 酽a 为 冗= 了_ r ( 1 ) s ( 1 ot ( 1 ) r 一1 ( 2 圆s ( 2 旷1 ( 1 or ( 2 ) 一 如果( h 4 酽a ，冗) 是拟三角的，则下列结论等价； 御( h 酽a ，脚是几乎三角h o p f 代数， 例( h ，8 ) 和( a ，t ) 是几乎三角h o p 代数 4 在第2 3 节。我们致力于构造一种双交叉积。并用i a n d 9 6 中类似的双 交叉积来刻画几乎三角h o p f 代数，我们证明了几乎三角h o p f 代数是口和 疗= h b 的双交叉积 定理2 3 1 3 设( 日，r ) 是一个有限维几乎三角h o p f 代数，r 口= 舻1 r ， b = r 9 1 ( ，磁) ，n = h h b + ，则作为凰琅，代数有h ! 占r r 铲。n 。 其中在b 上的作用是平凡的，盯h o r n ( n b ) 和r h m n ( n ，b b ) 是相容的余循环r 0 口c ! ，c m 和t w i a 1 2h o p fg a l o i s 扩张 h o p f 代数的g a l o i s 理论起源于c h a s e - h a r r i s o n - r o s e n b e r g 的关于群在交 换环上的g a l o i s 理论 c h r i 1 9 6 9 年，c h a s e 和s w e e d l e r 把这种理论推广 到h o p f 代数在交换舡代数上的余作用 c s l ，我们这里所指的g a l o i s 理论来 自文献 k t 8 1 j 同群作用在交换环上的g a l o i s 理论一样，h o p f 代数的g a l o i s 理论在h o p f 代数理论中也有非常重要的地位和具体的应用首先，h o p f 代数的g a l o i s 定 义是经典的域上g a l o i s 定义的推广。在域的g a l o i s 定义中。要求有限群g 作 用在域e 上，从h o p f 代数的角度看，群g 的作用可以看作科g 】的对偶代数 的余作用，所以h o p f 代数理论中的g a l o i s 扩张是通过余模作用来定义的 与经典g a l o i s 理论不同的是，在h o p f 理论中一个扩张可以是两个不同h o p f 代数的g a l o i s 扩张【p a y 0 关于h o p f 代数上的g a l o i s 扩张的研究有很多例如，d o i 和t a k e u c h i 【d t 8 6 】把域扩张的正规基定理推广到h o p f 代数上；而s c h n e i d e r s c h 9 0 ，s c h 9 2 则利用这个理论来研究h o p f 代数在其子h o p f 代数上的正规基问题，他证明 了h o p f 代数在一定条件下可以看成是它的同态像的交叉积；d o i 和t a k e u c h i d t 8 9 ，d t 8 6 用g a l o i s 理论来研究相关的h o p f 模理论最近，在研究辫子 h o p f 代数。扭h o p f 代数q u a s i - h o p f 代数w e a kh o p f 代数等上的h o p f g a l o i s 理论方面也有新的突破 运用g a l o i s 理论来建立h o p f 代数的对极( a n t i p o d e ) 的思想很早就有了， n a k a j i m a 在文献i n a 9 1 】中证明了一个双代数a ，看成自身上自然的余模代 数，如果在它的不变量上是g a l o i s 的，则a 上有个对极结构s c l m u e n b u r g 在 文献 s c h 9 7 中证明了任意个双代数如果有个b 忠实平坦的h o p f - g a l o i s 5 扩张，则此双代数就是个h o p f 代数另个有意思的结果是c e g a r r a 在文 献 c 冶0 2 1 中给出；若g 是一个群，a 是域七上的个强g 分次双代数。 且每个齐次分支a 。是a 的子余代数，此时a 是个h o p f 代数当且仅当 a i 是个有限维h o p f 代数c e g a r r a 的证明主要依据是文献 c e 0 1 】中的 m o n o i d a l 范畴中的分次扩张理论，也就是说，他是用范畴的语言来证明h o p f 代数的有关结果 在h o p f 代数理论中有一个经典的结论；个群g 分次代数a ，可以看 作k g 上的余模代数，并且a a 1 = a c o ( g ) 上是g a a o i s 的当且仅当a 是强分 次的 我们的出发点是先试图用h o p f 代数的知识来证明c e g a r r a 的结果。然后 再把他的结果推广到任意h 0 p f 代数日的g a l o i s 扩张上，我们得到了下面的 主要结果t 定理3 5 设日是域k 上的一个h o p f 代敷，a 是k 上的一个双代数， r ：a + 日是t t o p f 代数满同态，满足7 c ( a ( t ) ) 0 8 ( 砷= 7 r ( o ( 2 ) ) o o ( 1 ) ，则 有t 以，b = a 。何佃 r 诱导的h 的余作用的不变量，是a 的一个子双代 数 ( 2 ) k b 上a | h k 毛余专心h o 西正合扎 r 剀如果h 是余半单的且a 在b 上是g a l o i , s 的，则a 是一个h o p 代 数当且仅当b 是h o p 代数 因此，c a g a r r a 的结论可以看作是h o p fg a l o i s 扩张的一个特例 6 第二章几乎三角h o p f 代数 本章第一节给出了关于h o p f 代数和几乎三角h o p f 代数的预备知识，以 备后用第二节给出了我们的主要结果我们先刻画了关于几乎三角h o p f 代 数的拟三角结构；接下来给出了一个h o p f 代数是几乎三角h o p f 代数，但这 个h o p f 代数却不是三角的最后，我们给出了几乎三角h o p f 代数的一些性 质在第三节中。我们用一种双积来亥0 画几乎三角h o p f 代数 2 1 预备知识 本文中我们总假设女是个域除非特别指出，所有的映射都是b 线性 的，所有的代数。余代数都是南上的代数和余代数用c ( a ) 表示代数a 的 中心 定义2 1 1 ( 【m ，p 1 】) 有单位元的七一结合代数是一个女一向量空间a 和两 个七线性映射m ：a o a _ + 和1 ：女_ 。对任意u a 满足 r 砂结合性，m ( m o i d ) = m ( i a o m ) ； r 圳单位性；m ( u o i d ) ( 1 0 n ) = d = m ( i d 固“) ( 0 0 1 ) 对偶地，有“余代数的定义 ： 定义2 1 2 ( 【m ，p 1 1 ) 一余代数是- - # - 一向量空间c 和两个一线性映射 a ：c _ c 圆g 和：g _ + 。满足 口j 余结合性，( a 8 i d ) = ( i d 固) ； r 缈余单位性；忙o f d ) = i d = ( i d o ) 对于任意一个余代数e 及任意的c c ，我们采用s w e e d l e r 的“s i g m a n o t a t i o n ”，记a ( c ) = 。( 1 ) oc 【2 ) ，参看文献s w 6 9 设g 是余代数， 是代数，则日咖( ca ) 对于如下卷积( c o n v o l u t i o n p r o d u c t ) 成为一个代数； ( ，9 ) ( c ) = m ( f o g ) ( ( c ) ) ，v f , g o m ( aa ) ，c c 7 注意到h o r n ( u , a ) 的单位元是雠特别地，记= h o m ( a ，k ) 定义2 1 3 如果( 甄m ，u ) 是一个代数。 ( ! r ，0 是一个余代数， 且，是代数映射，则称( 日，r r i ，t ，) 是一个双代数如果还存在 s h o m ( h ，h ) 使得s i d = 惦= i d s ，则称( h ，m ，t ，岛印是 h o p 代敷。s 称为h o p f 代数日的对极 h o p f 代数的最基本的例子是群代数，l i e 代数的包络代数量子群，等 等下面我们简要介绍一下模和余模的定义 设( a ，m ，1 i ) 是个k 代数，个左a 模是个b 向量空间m 和一 个肛线性映射7 ：a o m m ，使得对任意d m 有 7 ( m o i d ) = 7 ( i d o ，y ) ，7 “o t d ) ( 1o a ) = 8 左止模范畴记为 m ，右a 模范畴记为4 i l 朋 设( a ，e ) 是一个缸余代数个右d 余模是一个缸向量空间m 和一个舡线性映射p ：m m 圆g 使得 ( i d 圆) p = ( p 固i d ) p ，( i d o ) p = i d 成立对于任意的左c - 余模月及任意的o a ，我们记p ( 。) = o 一1 ) 圆o 0 ) 对右d 余模a ，记p ( o ) = o f 0 ) o 一1 ) 关于h o p f 代数的更详细的介绍，请参见【a ，d n r ，s w 6 9 ，m a 9 9 和【m o n t 9 3 1 设( em ，p ，s ) 是域上的h o p f 代数，下面我们回顾一下由v d r i n f e l d 【d r 8 7 引入h o p f 代数上的t w i s t 的概念 h o p f 代数日上个t w i s t 是指h o 日上的一个可逆元，满足 ( 圆。d ) ( t ，) ( ，圆1 ) = ( i d 圆) ( t ，) ( 1 固j )( 2 1 1 ) 通常记j = j 1o j 2 ，j - 1 = a ，1 圆舻，并且记j 2oj 1 为j 2 1 对于任意的t w i s tj ，作用e o o1 到( 2 1 1 ) 可以得到t c = 忙圆硼( t ，) = ( i d 固) ( ，) 是七中一个非零元【d t 8 6 特别地，我们可以用c - l j 来正规化，使得 1 = 忙o l d ) ( j ) = ( i d oe ) ( ，) 8 设正日是日中的个可逆元，满足s ( z ) = 1 ，若，是日上的个t w i s t ， 则，= ( 功，( 茁一o 茁一1 ) 也是h 上的个t w i s t ，称j 与，是g a u g e 等 价的 若h o p f 代数日上有个伽i 8 tj ，则可以定义个新的h o p f 代数日7 ， 其中日。与盯有相同的乘法和余单位，它的余乘和对极为。 。( _ 1 1 ) = j - i ( ) j v h s 。( ) = 0 j 1 s ( h ) q j ，v h 日 这里q j = s ( j 1 ) j 2 是h 中的个可逆元，它的逆元为q j l = ，- 1 s ( j - 2 ) 在文献 e g 0 0 和【m o 卅中，作者讨论了群代数的t w i s t 结构，并且用群 代数的t w i s t 代数来刻画了所有的代数闭域上的有限维半单余半单三角h o p f 代数文献【a e g n 】中还给出了对于任意个有限维h o p f 代数，它的余半单 u n i m o d u l a r ，余半单i n v o l u t i v e ，余半单拟三角等性质在它的t w i s th o p f 代数 上保持不变 关于t w i s th o p f 代数还有一些很好的结果，m a j i d 在文献【m 棚】中证明了 y e t t e r - d r i n f e l d 范畴嚣) 和彤) 谚是辫子同构的而m o n t g o m e r y m o n t 0 5 l 则研究了h 上的余模代数和它的t w i s th o p f 代数上的余模代数上的许多一一 对应的性质 现在，我们来回顾关于拟三角h o p f 代数的有关知识和一些基本性质 设h 是任意个h o p f 代数，r = r ( 1 o r ( 2 ) 是hoh 中的一个可 逆元，如果下面的公式成立p = r ) ， ( q t l ) ( r ( 1 ) or ( 2 ) = r ( 1 圆r ( 1 o 硝2 ) r ( 2 ； ( q t 2 ) e ( r ( 1 ) ) 尉2 ) = l ； ( q t 3 ) 兄( 1 o a ( r 2 ) = r 1 ) r ( 1 8 r ( 2 or ( 2 ； ( q t 4 ) ( r ( 2 ) r ( 1 ) = l ； ( q t 5 ) ( o ”( ) ) r = | r ( ( ) ) v h h 称( h ，固是个拟三角h o p f 代数 9 对于任意的p 日。定义线性映射 矗：h 。一h ，厶= 加，硝1 ) 尉2 则( 日，r ) 是个拟三角h o p f 代数当且仅当血：+ 日”是h o p f 代数 映射并且满足下面的( q t 5 ，) ： ( q t 5 ) 如( 1 ) ，l ( 2 ) ) ，i ( 1 ) 厶( p ( 2 ) ) = 瓴2 ) ， ( 1 ) ) 厶( p ( 1 ) ) ( 2 ) ，v p 伊，h 日 对于任意的有限维拟三角h o p f 代数( 日，固，对于所有的p 日+ 。定义 映射， 住：日。9 一日，届( p ) = 妇，威2 ) 彤， 贝对于所有的h 日，矗是h o p f 代数映射且满足 瓴1 ) ，_ i l ( 2 ) ) ( i ) 届吼2 ) ) = 瓴2 ) ，i l ( 1 ) ) 届吼1 ) ) h 2 ) 相应的，对于任意的有限维h o p f 代数日和映射，h o m k ( h + ，日) ，在标准 同构映射h o h - - ，h o m k ( h + ，h ) 下的像的逆毋是日。日中的一个元素， 如果( 日，研) 是拟三角h o p f 代数，我们称，决定一个尼矩阵，这种说法等 价于f ：h + + 日c 叩是h o p f 代数同态并且( q t 5 ) 成立 当( 日，r ) 是个拟三角h o p f 代数时，称r 是日上的个戽矩阵，也 称( 日，冗) 具有拟三角结构 假设( h ，r ) 是一个拟三角h o p f 代数，则有【d r 9 0 ： ( 1 ) r 满足量子y a n g - b a x t e r 方程 ( 2 ) ( h ，舻1 = r ( or ( 1 ) 是拟三角h o p f 代数 ( 3 ) r 一1 = ( s 8 f d ) ( 励= ( i d o s 一1 ) ( r ) ( 4 ) ( s o s ) ( 脚= 兄 如果r 满足舻1 r = 1 ，则称( 日，r ) 是三角的( 日，r ) 是三角的等价于 r 2 1 = r 一1 = r 0 ) 圆s ( 硝动) = s ( 尉1 ) 。筇 或者在卷积代数h o m k ( h + ，h ) 中有厶 ，舻- = e l n 设( 日，r ) 是一个拟三角h o p f 代数，并且0 ：h h 是h o p f 代数满同 态，若记硝= ( 0 9 口) ( r ) 。则( 日，彤) 也是个拟三角h o p f 代数 1 0 设( 风兄) 是个拟三角h o p f 代数，记r = 戽1 ) o j p ，b = 硝1 ) ( 俨，硝2 ) 和n = 尉2 ) ( 伊，硝) ) ，则b = i m ( 席) ，= h ( a ) ，所以日和是日的 子h 0 p f 代数而且r a d f o r d p 阻d 9 3 1 还证明了b n = n b 记h n 为由b 和生成的日的子h o p f 代数，则( h r ，r ) 是个拟三角h o p f 代数如果 日= ，则称( 功是极小拟三角h 0 p f 代数对于任意一个拟三角h o p f 代数( 日，硒，若血是同构，则( 日，兄) 是极小拟三角h o p f 代数 如果f ：日日c 叩是h o p f 代数同构并且( q t 5 7 ) 成立，则( 日，r ，) 是 极d , m 三角h o p f 代数需要注意的是，这个结论的逆并不成立，也就是说即 使f ：h + 圩”不是h o p f 代数同构，( h ，硒也可能是极小拟三角h o p f 代数，事实上，对于非平凡h o p f 代效日，它的d r i n f e l dd o u b l ed ( h ) 就是 这样一个例子g e l a k i 证明了如果( 日，r ) 是极小三角h o p f 代数，则，凡是 h o p f 代数同构 g e 9 8 1 2 2 几乎三角h o p f 代数 定义2 2 1 设( h ，r ) 是域k 上的拟三角胁万代数，如果r 2 1 r c ( h ) o e ( 日) ，我们称( 目月) 是几乎三角的 几乎三角h o p f 代数是三角h o p f 代数的非平凡的推广在定义中，我们 要求舻1 r 的前后两个张量部分均在h 的中心之中，但实际上，这个条件还 可以放松我们有下面的引理 ， 引理2 2 2 设( 日，曰) 是域k 上的拟三角h o p f 代数，则( h ，r ) 是几乎三角 舶代数当且仅当r 2 1 r c ( h ) oh 或者r 2 1 r 日o c ( h ) 证明z 必要性是显然的下面假设舻1 r c ( h ) o 日，则对任意的h h 。 有 r 2 r ( 1 ) 圆r ( t ) r ( 2 ) 。( 2 ) = r ( 2 ( 2 ) r 1 r o ) 九( 1 ) r 2 = 岫脚r 1 ( 2 ) 刖r 2 设r 2 1 r = 二n i o6 l ，其中a l o 。是c ( h ) 中的一组基，则有 n n n i _ i l ( 1 ) b i h ( 2 ) = _ i l ( 1 ) 嵋 ( 2 ) 巩 1 = 01 = o 1 1 a i 固6 i 瑚 脚 1 = 0 s ( ( 1 ) ) ，l ( 2 ) mo 以 ( 3 ) s ( ( 1 ) ) ( 2 ) 以o _ 7 l ( 3 ) 6 i = 以 慨 i - - - - o 因此，我们有 a i 。乜 = a i 。 6 i z = 0v - - - 0 由于o l 是线性无关的，可得到b , h = h b ，( v 1 i n ) 即对于任意的i ， 有6 t c ( h ) ，所以舻1 r c ( h ) 固c ( h ) 同理由r 2 1 r 日o c ( h ) 也可以得到舻1 r c ( h ) 圆c ( 日) - 引理2 2 3 令( h ，r ) 是城后上的几乎三角日o p ，代数则r a = j 产r 是冲 称的，并且满足( q t l ) 一( q t 4 ) 证明；因为r 口= r ( 2 ) r ( 1 o r ( 1 ) r ( 2 e ( h ) o e ( 日) ，记r = 冗= r = f ， 则有 r a ( 帮2 ) 。尿1 ) = ( 矗。袁1 ) r s 也就是说， 删r ( 1 ) 刖 r 0 ) r 2 删= 删r r 1 圆刖删r 动 把( r 2 1 ) 。作用到等式的左边，可以得到 r 1 露2 。r 2 席1 = 兄2 r 1 。r 1 r i e r b 是对称的 下面我们证明r b 满足( q t l ) 。 ( a 0 1 ) r b = ( x 0 1 ) r 2 1 冗= ( a 0 1 ) r 2 1 ( 0 1 ) r = 一二( r ( 2 9r ( 2 er ( 1 ) r ( 1 ) ( 袁( 1 固f ( 1 o 庙( 2 于( 2 ) ：f r ( 2 ) 矗( 1 圆r ( 2 ) f 0 ) 圆r ( 1 ) r ( 1 ) 旯( 2 f ( 2 ) = 厂r ( 2 ) 袁( 1 圆硝f ( 1 or ( 1 ) 袁( 2 ) 硝1 ) f ( 2 ) = 硝磺 其中第四个等式是由冗2 1 r c ( h ) 固c ( h ) 推出的，因此冗日满足( q t l ) 而( q t 3 ) 的证明是类似的，( q t 2 ) ，( q t 4 ) 则是显而易见的 - 注2 2 4 在证明中。我们只是用到了r b 的第二部分和r 的第一部分交换， 因此，如果我们只要求r b 的第二个张量部分和尉1 ) 可换，则引理幺2 口也 是成立的 现在我们假设( 日 r ) 是几乎三角h o p f 代数记r b = 舻1 r ，并且令 b = r g ( 日，磁1 ) 命题2 2 5 b 是日的一个交换且余交换的子月皑，代数并且( b ，兄b ) 是极 小拟三角h o # 代数 证明：对于任意的f ，g 护， ( 冗妒，r 譬) ) = ( r g ) ) ， j 学) = r 字圆矗字( ，兄字磁) = 碟 ，r 字) 圆a 妒( 丘，袁字) 乏二r 妒( ，l ，r 铲) o 克字( ，2 ，袁字)一- ” 因此a b b o b ，即b 是一个子余代数 同时，我们有 ( r 伊，r 伊) ) ( 魑( 9 ，鲫) ) = r 掣趔( ，r 黜g 鲫) = r g ( ，。9 ，砖) = r 妒( ，+ g ，硌) b 至此，我们已经证明b 是一个子双代数而s ( b ) b 则可以由r = ( s o s ) ( r ) 得到，这里s 为的对极所以，b 是一个子h o p f 代数 由r b c ( h ) oc ( h ) 可以得到b 自然是交换的，关于余交换我们有 r 掣。r 字= r 字。r 字。r 字r 妒 = fr ( 2 ) r l 戽2 f ( 1 or ( 1 ) r ( 2 ) 戽1 f ( 2 ) _ 一 ：r 硝2 ) r 0 ) o 元( 一1 固露1 f ( 2 月( 1 ) r j _ 一 = q r g o r 字- ，一一 ( b ，冠8 ) 的极小性可由b 的定义直接得到 - 现在，我们进一步假设日是代数闭域上的半单余半单h o p f 代数，则b 是个交换余交换余半单h o p f 代数因此，我们可以假设b 是个交换的 群代数，即b = k g l ，其中g 是个有限交换群因为日是正规子h o p f 代 数，所以h b + 是h o p f 理想，用詹= v b 来表示相应的商h o p f 代数我 们称曰= h b 是圩关于b 的商h o p f 代数 定理2 2 6 设( 日，r ) 是代数闭域上的半单余半单几乎三角h o p 代数则有 h 兰i g l 社，k a l 。作为代数同构，这里g 和g ，都是有限群，科g ，】j 是t w i s t 刀碗，代数 证明t 由命题2 2 5 可知，b 是包含于h 的中心的余交换子h o p f 代数记 曰= h b ，则( 疗，豆) 是个拟三角的半单h o p f 代数，其中袁为r 的商 显然从r 2 1 r b 可以得到启1 屈= 1 ，即( 疗，屈) 是个三角的半单h o p f 代数，由文献 e g 0 0 ，存在群及g ，上的一个t w i s tj ，使得作为h o p f 代 数，( 疗，旯) 岂( k g q 7 ，矗1 j ) 然后，应用s c h n e i d e r 的正规基定理l s c h 9 2 ， 我们可以得到作为代数有：h 型b 枷h 下面我们将给出本论文的另一个主要结果，我们可以看到日的子h o p f 代数b 在胃的结构中有重要的地位 定理2 2 7 设( h ，r ) 是代数闭域上的有限维半单余半单几乎三角h o p 代 数，r 日= 舻1 r 及b = r g ( 日，磺) 则存在b 上的一个r 一矩阵r 1 使得 一j 如果d i m b 是奇数，则( h ，r 1 r ) 是三角h o p 代数，因此 ( 日，r l r ) 鲁(