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互亲的无平方因子敦组的计效 中文提要 互素的无平方因子数组的计数 中文提要 互素及无平方因子数是数论中非常基本的概念本文研究了互素的无 平方因子数的计数问题对于不大于的任意三个数，他们两两互索且其中 有个是无平方因子数，记这样的数组的个数为j 4 t ( z ) ，若三个数都是无平方 因子数，记数组的个数为也( z ) 我们在文中给出了a - ( 和a 3 ( z ) 的渐近公 式 关键词：互素，无平方因子数，渐近公式 作者；张中华 指导老师：余红兵 c o u n t i n go fc o p r i m e a n ds q u a 胁白盼t r i p l e s a b s t r a c t c o u n t i n go fc o p r i m ea n ds q u a r e f r e et r i p l e s a b s t r a c t c o p r i m ea n ds q u a r e - f r e en u m b e ra r et w oe l e m e n t a r yc o n c e p t si n n u m b e rt h e o r y w eh a v es t u d i e dt h ec o u n t i n go fc o p r i m es q u a r e - f r e e n u m b e r si nt h i sp a p e r f o rt h r e ea r b i t r a r i l ya n di n d e p e n d e n t l ys e l e c t e d i n t e g e r sn o te x c e e d i n gz ，l e ta l ( x ) d e n o t et h en u m b e r o ft r i p l e s ( a ，6 ，c ) ， w h e r e 口，b ，ca r ep a i r w i s ec o p r i m ea n d 口i ss q u a r e - f l e e l e ta 3 ( x ) d e n o t e t h en u m b e ro ft r i p l e s ( 口，b ，c ) i fb ，b ，ca r ep a i r w i s ec o p r i m ea n da r ea l l s q u a r e - 觚e w e 昏v et w oa s y m p t o t i cf o r m u l a sa b o u ta i ) a n da 3 ( x ) i n t h i sp a p e r k e y w o r d s ：c o p r i m e ，s q u a r e - f r e e ，a s y m p t o t i cf o r m u l a w r i t t e nb yz h a n gz h o n g h u a s u p e r v i s e db yp r o f y uh o n g b i n g i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明t 所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承担 本声明的法律责任 研究生签名 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文 的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名 导师签名 幺驾 呵勺 ，f ：，一 必 竹 互素的无平方因子敦组的计效 第章敦论函数的基础知识 第一章数论函数的基础知识 1 1 数论函数 定义在整数上的复值函数，称为数论函数数论函数是数论中重要的研究对象 1 1 1数论函数积性的定义 定义1 1 若在m ，n 互( m ，n ) = 1 ( 即m ，n 互素) 时，数论函数f ( n ) 满足 则称f ( n ) 为积性函数 1 i 2 几个基本的数论函数 f ( m n ) = f ( m ) f c - r z ) ( 1 1 ) ( 1 ) m i j b i u s 函数u c n ) 定义1 2 在上， r1 ， n = l ， p ( n ) = ( 一1 ) r ，n = p l 办，p 1 ，m 是两两不同的素数， ( 1 2 ) 【0 ， 其他 由定义容易推出p ( n ) 是积性函数 定理1 1 如果n 1 ，我们有 萋删= 嘲= 恬筹- - 。1 , 幽n 7 证明见【1 ，p 2 5 1 ( 1 3 ) 定义1 3 对于自然数n ，如果存在素数p i n ，但矿c n ，则称n 为无平方因子数 定理1 2 如果，l l ，我们有 p 2 ( n ) = u c d ) 水l “ ( 1 4 ) 互索的无平方因子数组的计致 第一章敦论函数的基础知识 证明假定n = q 2 r , 其中r 是无平方因子数。则 d 2 i n 甘d 旧 结合定理1 1 ，有 即 所以有 ( 2 ) e u l e r 函数妒( n ) 磊础) = 丢脚= b ；i ： 舻hd l 口 71 三脚= r n 无平方因子， 荫平方因子 矿( n ) = e p ( d ) 舻i n 口 定义1 4 设f l 是正整数，l ，2 ，n 中与n 互素的数的个数记作妒( n ) ，称为f 纯e r 函数 定理1 3 如果n 1 ，我们有 妒( n ) - e 棚。p ( d 污 ( ) 棚n _ 证明见【1 ，p 2 6 1 定理1 4 如果n l ，我们有 妒( n ) - - - - - n 暴( 1 一砂1 l 6 纠n 4 证明见【l ，p 2 7 由定理1 4 很容易推出妒( n ) 是积性函数 ( 3 ) 除数函数r ( n ) 2 互素的无平方因子数组的计数 第一章数论函数的基础知识 定义1 5 下( 他) 为n 的正约数的个数，即 丁( n ) = 1 胡n 下面的定理1 5 归于g p s l y a ，这是关于积性函数的个基本结果 ( 1 7 ) 定理1 5 设，是个积性函数，0 ，若! i m ，( 矿) 1 10 白是任意素数，七为 l r i + 任意正整数) ，则，坚器，( n ) = 0 证明将p 的幂记作叮，由坐巴，( 矿) = o 即船，( g ) = o 可知，使得i f ( q ) l 1 的口只有有限个 令a = i f ( q ) l ，则a 为个常数( 若为空积。则定义a = 1 ) 对任意e 0 存在q n ，当口 q 时，有h f ( q ) l 云 设 毋= q ：i ，( g ) i 1 ) ， = g ：) i 云 ， 岛= q ：云 0 ，有 恩筹= 熙等。 因为七；l o g e 2 l o g 矿= l o g 矿，所以 熙筹岛学= 恩( 警+ 嘉) - 0 由于r ( n ) 是积性函效，根据p 6 1 y a 定理，即得到 1 i m 盟：o 口 ( 4 ) 数论函数u ( n ) 定义1 6u ( n ) 表示整数n 的紊因子的个数，即 u ( 行) 一 a n n - - - - ：p 。1 ”p r “ ( - 。) 定理1 7 若( m ，n ) = 1 ，则有 w ( m n ) = u ( 竹t ) + u ( n ) ( 1 1 0 ) 证明设m = p l a - 如“，n = g l 赢m 风，由于( m ，帕一1 ，故a ，吼为互不相同 的素数，则 u ( m ) = 8 ，u ( n ) 一t ， w c m n ) 一s + t ， 从而w ( m n ) = u ( m ) + u ( n ) 口 这个定理表明对任意实数o 0 ，函数( 4 ) 是积性函数 4 互素的无乎方因子敦组的计数 第一章效论函数的基础知识 1 2 a b e l 求和公式，d i r i c h l e t 级数，e l d e r 积 定理1 8 ( a b e l 等式) 对任数论函数口( n ) ，令 a ( z ) = b ( n ) ， 当z 1 时，a ( z ) = 0 假设，在区间b ，司上有连续导数。其中0 o ， f ( s ) = 警，矿 o ， n f f i l n - 篁l 。 g = 耋警， 其中口，b r 则在这两个级数的绝对收敛半平面内，有 娜( 8 ) = 耋警， ( 1 1 2 ) 其中7 l ) = ，( d ) g ( 羞) 棚住 _ f ( s ) g ( s ) = ，( m ) 仃厂9 ( , 0 n 1 ”l = ln = l 0 0 = ，( m ) 9 ( n ) ( 竹m ) 一 因为是绝对收敛的，所以可以把这两个级数乘在一起，并且可以任何方式重排各项而 和不变于是 1 2 3e u l e r 积 = h ( k ) k 1 = l ；子盟 鲁 定理1 1 1 设f 是积性的数论函数。使得f ( n ) 绝对收敛，则 ，i = l 口 0 0 ，( f 1 ) = i i l + ，( p ) + f ( p 2 ) + ) ( 1 1 3 ) n - = l， 这里的乘积称为级数的e u l e r 积 6 互素的无早方因子数组的计效第一章效论函数的基础知识 证明见【1 ，p 2 3 0 1 根琚足理l 1 1 ，对r es l ，( 【8 ) 碉如f 日g 乘积表不： ( ( 8 2 三嘉 = 耳( 1 + 歹1 + 1 ) 2 耳南 定理1 1 2 薹掣= 怒 证明由于i p ( 佗) i 是积性的，根据由定理i i i ，有 薹掣= h ，( i + 刍) 掣=+ 去) ，i = l ， 一耳等 ( ( s ) 2 币而 定理1 1 3 对于n 1 ，有 ( 1 1 4 ) 口 ”2 旷( d ) 【l 1 5 ) 胡竹 证明由定理1 7 可以推知。列帕是积性的，故由定理i i i ，有 薹- 和g - i ，i ( 1 + 歹2 + 2 + ) n = l p ， = = l + p - * = 翠两1 - p - 予a , = 籍= 器昏，( ( 2 s )e ( 2 s ) ”。 州= b ( d ) l = p 2 ( d ) 胡n d i “ 7 口 坚竺型里塑竺坚竺生塑型竺坠 1 3 几个有关的渐近公式 定理1 1 4 对所有墨21 ，有 r = z l o g z + ( 2 g 1 ) 茹+ o ( 问 n s z 其中c 是脚常数 证明见【l ，p 5 7 - 5 9 定理1 1 5 对所有善l ，有 掣= ；赠刚e l o g 刑 口 掣二耋嬲凳吖! 掣m 二蛩：三二篆荔并基忑i 一弧一魄z + ( 2 g 一1 ) + d ( 嘉) + 工l o g “( 1 0 9 j + ( 2 c _ 1 ) f d ( 1 0 9 d 二。( f 誊) 一；l o 矿z + 2 c l o g 茹+ o ( 1 ) 定理1 1 6 口，6 为任意的两个整数，对所有$ 1 ，有 。三。l = 鲁+ d ( 茁1 0 9 量卜量蟊从田t n 卜l o 搀哦【d 一， 3 丕以固妻1 莓1 d 垒絮笞 8 口 互素的无平方因子敷组的计数 第一章数沦函数的基础知识 2 乏p ( 仲予 2 乏俐荔+ 吻 = 妒乏警+ d ( z 毳争 = 矿耋警一三警倒蝴， = 护( 善+ o ( 三) ) + o 扛l o g z ) 口 定理1 1 7 对所有霉1 ，有 p 2 ( n ) ；叁。+ d ( 同 ( 1 1 9 ) ， n s “ 证明( 参见【2 ，p 2 6 9 - 2 7 0 ) 由定理1 2 ，有 乙旷= p ( 母 n s ； n s ； i - = p ( 回1 = p ( 西自 萨s 罩 ：i i ： 西 “ = $ 磊警一磊m 丕) = 霉薹警一霉丕警删伺 9 口 互素的无平方因子致组的计数第二章 互素的无平方因子致组的计数 第二章互素的无平方因子数组的计数 2 1 引言 由上章的定理l 1 6 1 1 7 可知，两个整数互素的概率为石6 ，个整数为无平方 因子数的概率亦为杀p i e t e rm o r e e 在【3 】中证明了下面三个结果； 1 设g 0 ) 表示正整数载对( 口，6 ) 的个效。其中口，6sz ，口为无平方因子效且与 6 互素。则有 0 1 ( 扣南9 ( 1 一万1 而) + 1 ) 2 设g ( z ) 表示正整数数对( a ，6 ) 的个数，其中a ，bs 。，口，b 均为无平方因子数 且互素，则有 岛( 功= 志9 ( 1 _ 南) + d ( 两 3 、设，3 ( z ) 表示正整数数组( o ，b ，c ) 的个数。其中口，b ，c z ，且两两互素。则有 坼) = 志( 1 一而2 ) + d ( x u l o g u x ) 我们将在本章中给出上述结果的一种推广，即下面两个定理 定理2 1 设a l ( z ) 表示正整数数组( o ，6 c ) 的个数，其中o ，6 ，c z ，口，6 ，c 两两 互素且口为无平方因子数。则 a z ( z ) - - 志耳( 1 一南m ( 两 ( 2 1 ) 定理2 2 设a 3 ( z ) 表示正整数数组( 口，b ，c ) 的个数，其中口，b ，cs 毛口，b ，c 两两 互素且均为无平方因子数，则 其中为一非零常数 似。) = 高“犰 ( 2 2 ) 互素的无平方因子数组的计致第二章互素的无平方因子数组的计数 2 2 几个引理 则 但 我们需要下面几个引理， 引理2 1 ( 容斥原理 4 ，p 1 3 6 1 ) 设a l ，a 2 ，a 是有限集合，则 n n n i j 4 l u a 2 u u a l = e i a i 一i a n 如i + e e e l a n n & l 证i 口l ， it - = 1 ， t j 一+ ( - 1 ) “一1 i a l n a 2 n n 厶1 ( 2 3 ) 证明用数学归纳法证明 当n = 2 时，容易验证等式2 睾成立下面假设结论对住一l 成立，即有 a 1 u a 2 u u 厶一l i 一 所以 n - i h i t = - i n - i + l a n a j n a t ；lj i j 一+ ( - x ) “l a x n a 2 n n a 。一1 1 a l u a 2 u u f = f ( 4 1 u a 2 u u a 一1 ) u 厶 = i a l u a 2 u u 4 。一1 i + i a i 一| ( a 1 u a 2 u u a 。一1 ) n a n ( a l ua 2 u u a ，卜1 ) n a 。= ( a t n 厶) u ( a 2 n a ) u u ( a 一1 n 厶) ， ( a 1 ua 2 u u 厶一1 ) n 厶l = i ( a l n a ) u ( a 2 n 厶) u u ( 厶一l n a ) = i a x n 厶l + i a 2 n a 。i + + i 九一1 n 厶i i a l n a 2 n 如 - i & n a a n 厶f 一一l 屯一2 na i 一1 n 厶l + + ( - 1 ) “l a l a a 2 n n a n - - ia - - 1 = l a n 厶i - i a n a n 厶l + + ( 一1 ) “i a l a a 2 n n 厶i t-=-i=l j 所以我们得到 n a l u a 2 u u 厶i = i a i t ；l nn 一l a na j l + e e e i a n 山n a k i - lj i 讧l j i j 一+ ( 一1 ) “一1 i a l n a 2 n na i l l l 如 na 饼 试 一 互素的无平方因子数组的计敦第二章互索的无平方因子致组的计数 即结论对n 时也成立 口 引理2 2 ( 切比雪夫不等式) 记霄( 功表示不超过z 的素数的个数，则存在正实 数a l ，a 2 ，使得 a - 南，r ( 坯a 2 亳 证明参见【2 | 2 2 4 口 引理2 3 ( 【3 】引理1 ) 设d 为大于1 的任意整数，令& ( 妨= p ( n ) 2 ，则 z 暴- s d ( x ) = 二_ 丁+ d ( 2 ，饲( 2 4 ) ( ( 2 ) ( 1 + i ) 证明设乃( z ) 表示不超过。且与d 互素的数的个数，则 嘶) = 三【南】 根据定理1 1 ，可得 死( 动 = p ( 乜) “奎坐 = p ( q ) 昏 = l d “ 注意到【予= 三+ d ( 1 ) ，从而有 嘶) 2 三磊躺兰+ d ( 磊俐 由定理1 3 及定理1 1 2 ，可得到 嘶) = z 警+ d ( 棚 根据容斥原理( 引理2 1 ) ， & ( z ) 2 曼p ( m ) 乃( 嘉) 互素的无平方因子数组的计效第二章互素的无平方因子致组的计效 = 曼p ( m ) ( 业m 2 d + d ( ( 田) ) m s 一 = z 竽曼警+ d ( 旧伺 = 善警( 耋譬一互簪) + d ( 舢问 由定理1 1 1 。有 。量，警= 黔嘉， 鲁m 2丛pp 2 7 t m ) l l 。 ；三一 ( ( 2 ) h ( i 一去) 结合定理1 4 ，即得 鼠( z ) = j l + d ( ( 田历) ( 1 + ) 口 引理2 4d l ，d 2 ，d 3 为任意三个整数，若( d l ，d 2 ) = q ，( d l ，d 3 ) = p ，( 如，如) = 7 ，则存 在两两互素的三个整致以，而，两，使得弘l ，列= t 以如，【d 1 ，d 3 】= 城西，阮，d 3 】= t 如如 其中u = 云蓦b ( 这里及以下，陋，引表示整数z ，笋的最小公倍数) 证明因为 ， 凇) 吨舭- ， 所以存在5 1 ，使得d l = 【口，用况，同样的，存在如，而，使得如= 【口，州如，d 3 = p ，啊岛 由于( d l ，d 2 ) = a ，故( b ，用西，1 0 ，啊如) = 口t 从而 ( 西，6 2 ) 一1 ，且( 陋，用，陋，1 j = q 同理 ( 况，如) = l ，且( q ，纠，驴，1 i ；反 ( 如，如) = l ，且( 扛，州，归，1 1 = ，y 互素的无平方因子数组的计数 第二章互察的无平方因子数组的计数 又因为 所以有 从而 ( 【口，明，陋，- y ，归，州) = ( ( 陋，明，陋，州) ，( 陋，用，够，州) ) 一( ( 陋，明，h ，州) ，( 陋，用，汐，卅) ，( 【口，7 】，归，7 1 ) ) ( a ，反7 ) = ( a ，) = ( 口，7 ) = ( ，- y ) 【d - ，划= 瓦d l d 面2 【q ，觑陋，州。 i 一。1 0 2 ：竺垒：竺：鱼垒 ( 口，) ( 口，7 ) a = 赫辘 记札= 矗焉南，则【d t ，列= u 6 t 如同样的，有【d h d 3 = 札6 - 岛，胁，d 3 】一u 如如 口 2 3 定理的证明 定理2 1 的证明根据定理1 1 ，有 州2 磊【南】【南】丽1 2 一p ( d 1 ) p ( 如) p ( d 3 ) p 2 ( 8 ) 口 ；d l i 扣，砷 a 2 i ( a c ) 内i 扣力 = u c d - ) p 池) p ( 如) 矿( 口) 4 唾嫦 2 j ：档 由于 d l | 口j a d 2 营【d l ，d 2 】l 口， l 口f ”r “j l ” 朋以 a t ( 动= 矿( 8 ) 卢( d - ) p 池) p ( 如) 也血出i 。t , d s 。1 1 “尚i h 尚i 。 1 4 互素的无平方因子数组的计敦 第二章 互素的无平方因子效组的计数 i l e 步，我们把a l ( z ) 写戚 a ( 。) _ 象，三小) 【而i 】面知m ) p ( 如) p ( d 3 ) 蹬：2 捶：稿i r 工坤mr 却u 训 注意到 【南】【南1 。商晶+ d ( 南) + d ( 南) ， 从而 ， 一曲装，薹饰，罐誉箫尝簪 陵：矧塞黼；i m 朋肿1 + 0 ( 蹬：蒜互南) ( 2 5 ) 先估计余项，由引理2 4 ，可得 酬磊：似乏k 南 = 2 p 。装。南) = d ( 矿三磊。赢) = d ( 轳互去善_ 丽1 w 2 t , , 3 ) n 口汀q 而以毛s 扛加 曼。1 剐互去确三诤丽1 叫z 2 蒙去。；三；訾 协6 ， 设( q ，p ，7 ) = d ，口= 删，p = d e ，y = d f ，则有 东去= 东懈= 。( 荟0 0 万1 葛而1 ) - d ( t ) 互素的无平方因子敷组的计效第二章互素的无平方因子敦组的计致 结合( 蝎式可知e 鹊式：o ( 护1 0 矿。) 记 以( ) = z 2 盛：糍：l 焉i 【电。屯i # 矿( d ) 互。矿( n ) = 矿( d ) s d ( ， ( 2 - 8 ) 妄， n s z “ w 卅 一 n ) - l 谁) = r 均装。以【d l ，d 4 ) s m “卤) 锱糕筹似1 d 2j s l r 刈l 删，u 硼r 岬，- 刮 一陵墓：矿l i 吲k 而孝肃巧 酬萋【d 1 d 2 1 ( 2 ) e l d i ， + ；)i 屯电1 9，出l 删渺庙n 届i ，) 等象鬣攀导 ” 吲加：az豪a21 t d i ，由l ； l 如，剐 z + + + 扯1 如降，陋1 t 电j - i l l t 屯l h 一。嘉：) 篇糍粉f i ， 仁均 篷! 耋 薹。匝 d 2 】【d l d 3 】阮 d 3 】p l m t 如l ( 1 + ；)l 屯- d 3 l ，纠【d i - 如l ，2 d 曼l = l d 量l = l , 量3 = 1 篇 d z 如l a 糍l 擀1 - 1 筠， ， ，如】阮，d 3 1( 1 + 三) 一似。东，篇糍端孙， i d d z z 胁，蚓 d l ，d 3 】陆，d 3 】( 1 + 三) 1 7 互素的无平方因子数组的计数 第二章互索的无平方因子数组的计数 在( 柙) 式渚求和式中，由于 与、同阶， 蚓m 血l 蕾【出，d a l z 与同阶， d l , 缈d 2 1 。：咎：臣：2 ；： 且 i d l ，出l 4 滗：筘：蹯：2 离 i 如t 屯净。 所以我们只需要考虑j 和j ：i ( z ) ，下面先估计 ( z ) 我们利用引理2 4 ，有 坼) 1 曲一，精川如问 南， ( d 1 ，如) i ( d 1 ，如) = 1 - ，2 主。鑫。鬻丽1 可 由t 。o 棼- d 镌上蔓1 + ；)e ( 2 亲蔓1 + ；) 2 而右面p l 。l l 巧。氲研 4 纠4 l 衄 。一小志盖赫黔南) 互素的无平方西子致组的计数 第二章互索的无平方因子效组的计致 2 栅一南) 叠画券而 2 南咿南) 叠搞 同样。上式中的内和是关于d l 的积性函数，由定理1 1 1 ，有 - ，、= 南耳( - 一南) 可( ! 一丽1 礤) = - - 。、i l l ( 1 一两2f ) 从而，我们证得 删一丢耳( 卜南) + d ( 两 定理2 2 的证明：我们先将如( 功写成下面的形式t 删2 。嚣。【南】【南1 【南脚) p 2 ( 瞅c ) = p ( d t ) 肛( 如) p ( d 3 ) 矿( 口) 旷( 6 ) 矿( c ) 4 以l 由i “吣a b t ( a - c ) d e l c b , c ) = p ( d ) p ( 如) p ( d 3 ) p 2 ( 口) 矿( 6 ) p 2 ( c ) + 蚰c 垒球2 ：2 l ： = 矿( 口) 矿( 6 ) p 2 ( 咖( d - ) “池) p ( d 3 ) 也出内阻高i t 尚i 1 4 舄i 。 由纠式，可知 口 也( z ) 一似，象，矿( 【d 1 ，d 2 】) p 2 ( a l l ，d 3 】) 矿( 【如，d 。1 ) s d i ，如i ( 南)似l-屯isz_一l，一j 2 ：矧| ： 钆- t 出l ( 面南) 删( 面南) p ( d - ) p ( d 2 ) p ( 如) ( 2 1 5 ) 州习。2 藻孟糌繁锐赫1 ： 互素的无平方因子数组的计效 第二章 互索的无平方因子致组的计致 以垆蠡篇糍笺i i 鬻南i i 1 1pld。 ， 嚣：烈i ：【d 1 ，d 2 】) j 【d l ，d 3 】【如，如j( 1 + ；)( + ：) i如，电is，口mr 口i 如d 一 ， 飓( z ) ；盥掣巡警巡警， 譬：矧： d l ，吲) l 陋，如】胁，d 3 h ( 1 + ：) m 卜l 。, h 。蒜，逝幽镣l a 揽笨筹竺竺， 。如1 9 ，啦j j2 p 1 ，铂1 2 【d 2 ，d 3 l2 则( 嘲式可以写成 也( z ) = 菘币甄( ) + d ( z l 飓( ) ) + d ( 矿飓( z ) ) + d ( z i 甄( z ) ) ( 2 1 6 ) 徘，s 量：鑫幽避举矾 ：笔塞 u 矸蟛蟛 啦屯s 4 量磊箫， o ，p 玎翟鲁笔 钍1 6 f 避蟛 由定理2 1 的证明中，对以( 。) 估计时所得到i 竭式和粥式。可知 恐( = 0 ( 1 ) 现征佰计k 3 【) ，我f 仃有 酢，东鑫巡驾铲l u 2 u 3 ； 。一，：智耋 “” 善聂警箐等等 o ，口，72 ：“ u 1 曰 好 磊警乏箐毳警基等 t 忠 由( 崎) 式，有 4 州“) = ( 2 州“) 2 ( r ( u ) ) 2 似击) 2 = t ， ( 2 1 7 ) 互素的无平方因子致组的计效 第二章互素的无平方因子致组的计数 所以 三竽三六 ， 。( 毳箐) = 。( 基譬) - d ( 确 墓警 o o ，基等 = 隐2 吕： - 卫垃业盟趔鲤丝巡哗巡查l ( 2 2 1 ) m 到她，d 3 l i i 蚓( 1 + 一1i i 由l ( 1 + 氛蹦i i1 + ；1 p l a 。v l l a 。 ) - ， 。如l ， 由l，p i f d 2 ，如1 ， 互索的无平方因子敦组的计数第二章匿索的无平方因子致组的计数 记 k ：尹一! ! ：盟! 生1 2 垡( 堕! 生1 2 兰：( 些：生1 2 些塑1 2 9 生2 些f 生2 为。肛t ，a 4 a ，a 4 a , ，d 3 】 ( 1 + ；) i i ( 1 + ；)(1+：1ih=laa=l a 4 a , d si ii i i i ) 血一 肛l ， ， ，d 3 】( 1 + 兰)( 1 + 兰)( 1 + 一) 纠陬砘j，p l d l ，由l r p i i 出州 ， 蚝( z ) ；_ 盟型丝垃业掣奠地幽g 业幽； 一胁赫= 陆，也】【d ，如l 【d 2 ，如l i i ( 1 + ；) 1 - i ( 1