（工程力学专业论文）无衍射波束在声学领域的可行性研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 本文研究了无衍射波束在声学领域的可行性。首先从理论上探讨了无衍射波束的可 行性。基于b e s s e l 权重函数的一般化理论模型，对以某种基带信号及其对应的相位调制 信号为权重函数的无衍射声场的时空特性进行了研究，给出了平面声源条件下为产生声 学定向能脉冲序列( a d e p t ) 所需的声源振幅分布及其辐射声场的解析表达式，计算得 出了理想状况下的瞬时b e s s e l 脉冲的声场，对理想状况下的无衍射声束进行了可行性分 析。理论分析表明，理想介质条件下，满足一定形式的声源分布，激励声场具备类似光 学中的无衍射特性，而对于高振幅的非线性吸收和可能伴随的冲击波形成则破坏了这样 一种效果。由于这种理论的出发点为理想介质的标量波动方程，且理论分析一般只针对 无限大孔径声源进行研究，距实际应用有一定的距离。为了研究真实介质中有限孔径平 面声源的无衍射声场特性，需要借助一定的数值模拟手段。接下来，本文又对考虑介质 热粘性吸收效果，衍射效果，非线性效果条件下的数值模拟方法进行了初步探讨，给出 了非线性声学条件下无衍射声束可行性分析。采用了h a m i l t o nm f 等人于上世纪9 0 年代 开发的基于增强k z k 方程的时域非线性声学计算模型( 该模型使用目前非线性计算声学 领域流行的算子分解思想) ，对无衍射声场进行了数值模拟。由于模型可用于模拟实际 介质中任意振幅和相位分布的平面活塞和聚焦活塞声源的辐射声场，本文在计算中计入 了非线性、衍射、频散和热秸性吸收作用。无衍射声束对应的声源分布是较为复杂的， 模拟中须仔细根据声源参数和介质参数估计模拟计算的规模设定一定的时空步长，使用 此类数值模拟方法研究无衍射声束较理论方法而言扩大了研究范围。最后，可以看出， 无衍射声波在声学领域是可行的。 关键词：无衍射，声弹，瞬时贝塞尔脉冲，热粘性吸收 第1 页 里堕型兰垫查奎兰翌垄兰堕兰竺丝苎 a b s t r a c t t l l i sp a p e rh a ss t u d i e dt h ef e a s i b i l i t yo fn o n - d i f f r a c t i n gb e a m sa p p l i e di nt h ea c o u s t i c w a v ef i e l d s f i r s t , ag e n e r a lt h e o r e t i c a la p p r o a c hi sp r e s e n t e dt oi n v e s t i g a t et h ef e a s i b i l i t yo f t h e n o n - d i f f r a c t i n gb e a m s n 忙t h e s i sf o c u s e so nt h en o r m a lt h e o r e t i c a lm o d e lo ft h eb e s s e l a r b i t r a r yw e i g h t f u n c t i o n a p p r o a c ht oi n v e s t i g a t e t h e s p a c e - t i m ep r o p e r t i e s o ft h e n o n - d i f f r a c t i n ga c o u s t i cw a v ef i e l d s ，w h i c ht a k es o m eb a s e b a n da n dm o d u l a t e dc a r r i e rs i n g l e a sa l la r b i t r a r yw e i g h tf u n c t i o n 1 1 1 ed i s t r i b u t i o no fa c o u s t i cs o u i c ) ea m p l i t u d ea n dc l o s e df o r m e x p r e s s i o n sf o rr a d i a n ta c o u s t i cw a v ef i e l dt og e n e r a t ea c o u s t i cd i r e c t e d - e n e r g yp u l s et r a i n s ( a d e p t ) i np l a n a rs o i 黜a r et h e nd e v e l o p e d n l e f i e l d so f t h ea c o u s t i ct r a n s i e n tb e s s e lb e a m s h a sb e e nc a l c u l a t e do u ta n da n a l y s i st h ef e a s i b i l i t yo ft h en o n - d i f f r a c t i n ga c o u s t i cw a v eb e a m s i d e a l l yh a sb e e na n a l y s e d f r o mt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s ，i ni d e a lm e d i u m , t h es t i m u l a t i n g a c o u s t i cw a v ef i e l d sh a v et h ep r o p e r t i e so fn o n - d i f f r a c t i n gb e a m sl i k ei no p t i c st os o m e d i s t r i b u t i o no ft h ea c o u s t i cs o u r c e b u tt h en o n l i n e a ra b s o r p t i o na n dp o s s i b l ya c c o m p a n i e d s o c kw a v eo f t h eh i g ha m p l i t u d ed e s t r o yt h ee f f e c t t h et h e o r yi so b t a i n e df r o mt h es c a l a rw a v e e q u a t i o ni ni d e a lm e d i u m n ”t h e o r e t i c a la n a l y s i ss t u d i e dt h ei n f i n i t ep l a n a ra p e r t u r e ss o u r c e l i m i t e d l y i t s h o u l du s en u m e r i c a ls i m u l a t i n gm e t h o d st o g e t t h e p r o p e r t i e s o ft h e n o n - d i f f r a c t i n ga c o u s t i cw a v ef i e l d sf r o mt h el i m i t e dp l a n a ra p e a u r e ss o u r c e si nr e a lm e d i u m t i l i sp a p e rd i s c u s st h en u m e r i c a ls i m u l a t i n gm e t h o d sp r i m a r i l ya c c o u n t i n gt ot h et h e r m o v i s c o u sa b s o r p t i o ne f f e c t s t h ed i f f r a c t i o ne f f e c t sa n dt h en o n l i n e a re f f e c t so ft h em e d i u m 1 1 l e n o n - d i f f r a c t i n ga c o u s t i cw a v ef i e l di ss i m u l a t e du s i n gt i m ed o m a i nn o n l i n e a r i t ya c o u s t i c s c a l c u l a t i n gm o d e lb a s e do ne n h a n c e dk z ke q u a t i o nd e v e l o p e db yh a m i l t o nm f e ta 1 i n 1 9 9 0 s t a k i n gi n t oa c c o u n tt h a tt h i sm o d e lc a l lb eu s e dt os i m u l a t et h er a d i a t i n ga c o u s t i cw a v e f i e l di nr e a lm e d i u mo fp l a n a rp i s t o na n df o c u sp i s t o na c o u s t i cs o u r c e sw i t hr a n d o ma m p l i t u d e a n dp h a s ed i s t r i b u t i o n t h en o n l i n e a r i t y ，d i f f r a c t i o n , r e l a x a t i o na n dt h e r m ov i s c o u sa b s o r p t i o n e f f e c t sa r ei n e l u d e di nt h ec a l c u l a t i o n i nv i e wo ft h ec o m p l i c a t i o no ft h ea c o u s t i cd i s t r i b u t i o n c o r r e s p o n d i n gt ot h en o n - d i f f r a c t i n gs o u n db e a m s ，t h et i m ea n ds p a c es t e ps e t t i n gm u s ta c c o r d t ot h ee v a l u a t e ds c a l eo fs o u n da n dm e d i u mp a r a m e t e r s c o m p a r e dt ot h et h e o r e t i c a lm e t h o d s ， t h en u m e r i c a ls i m u l a t i n gm e t h o d se x p a n d st h er e s e a r c hr a n g e a tl a s t ，t h en o n - d i f f r a c t i n g b e a m si sf e a s i b l ei na c o u s t i c k e y w o r d s ：n o n d i f f r a c t i n g ，a c o u s t i cb u l l e t s ，t r a n s i e n tb e s s e lb e a m s t h e r m ov i s c o u s a b s o r p t i o n 第1 i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：丕堑盟遗壅查夏堂鱼堡盟互盈蝗叠壅 学位论文作者签名：二障日期：仞讲年f 月妒 学位论文版权使用授权书一 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防稃学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：歪堑熬选塞查虚堂鱼缝鳗互盈性巫峦 学位论文作者签名：刁坠鑫日期：弘形否年，月旷日 作者指导教师签名：! ! 逸 日期：训年，月，r 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 无衍射声波概念的提出 对于光波来说，光波遇到障碍物而能绕过它再传播，从而引起光强的重新分布，这种 现象就是光的衍射 1 1 。衍射是一种常见的物理现象，它对所有传统的波场都有影响。例如， 一束准直的、单色的光束在自由空间传播瑞利距离z r 后( z r = p k ，其中k 是波长，是光 束初始半径) ，就明显地衍射扩散。波动的衍射本质导致波束在传播方向上随着尺寸的扩大， 波场强度降低。 理想的无衍射光束则是在垂直于传播方向的任意平面内初始光场分布不变，即光束强 度及尺寸不随传播距离变化的光束。为了寻找这种光束，人们做了许多努力。1 9 8 3 年， b f i t t i n g h a m l 2 l 发现了一簇新的m a x w e l l 自由空间波动方程解，它描述的波以光速传播并始终 保持聚焦状态，但这些解对应的波具有无限能量，只有理论意义而不能具体实现。1 9 8 5 年， z i o l k o w s k i p l 推导出自由空间波动方程新的精确解，并随后在水中以声波的形式演示了近 似无衍射波的传播。1 9 8 7 年，d u r n i n i 4 i 提出了自由空问标量波动方程零阶b e s s e l 函数形式的 解，并通过实验证明了此解对应的波具有近似的无衍射特性。1 9 9 4 年，r s c h i n q 从数学上 得到了更容易实现的、修正的无衍射b e s s e l 光束解。 由于无衍射光束具有很好的应用前景，人们对其理论算法及实现方法做了大量研究并 取得了一定的成果。 l 1 2 对于声波来说，由于球面波的声波强度为 6 1 ：1 = l 去，声波强度与距离的平方 2 , o c r 成反比，可以看出声波在自由空间强度衰减得很快。因此无衍射声波的研究是比较有价值 的。 在此基础上，我们认为在垂直于传播方向的任意平面内初始声场的分布不变的声波即 为理想的无衍射声波。 1 2 无衍射技术的国内外研究现状 无衍射光束【7 - 8 】的研究现状：无衍射光束的概念自1 9 8 7 年提出后，其理论研究、实现 及应用受到了人们的极大关注。成为现代光学研究的一个热点问题。至今，发展比较成熟， 研究成果较多，各种文献资料和参考书也较多。1 9 8 7 年d u r n i n 【4 1 等人首次将平面光波入射 到一个极细的圆环上，用透镜聚焦，在其焦平面上获得近似b e s s e l 光束【9 _ l ”，但这种方法 的最大的缺点是转换效率太低，随后的几年发展出许多产生近似b e s s e l 光束的方法，如可 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 编程空间光调制器法：f a b r y p e r o t 腔分离空间频率，再用细圆环选频法1 1 2 “l ；计算全息法 1 7 - 2 1 】；角锥法 2 2 - 2 s j 等等，各种实现方法各有优缺点。 无衍射声波的研究现状：无衍射声波在国内的研究比较少，基本上是一片空白。在国 际上，无衍射声学“子弹”在美国和俄罗斯的声学武器开发中都被提到。1 9 8 3 年， b r i t t i n g h a m p 】得到了均匀介质中m a x w e l l 方程的一个特殊解并将其称为f o c u sw a v e m o d e ( f w m ) ，该解理论上对应于g a u s s i a n 波束，解中包含一个参数，其在一种极端下对 应于准横向的平面波，另一种极端下对应空间截断的脉冲波。理论上，该波束在自由空间 中传播时，其峰值和波形保持不变。随后，z i o l k o w s k i 3 j 对f w m 解中的参数加入一个权重 函数并积分，得到了新的特殊解。他将该解用于求解均匀介质中的m a x w e l l 方程，得到了 定向能脉冲序歹j j ( e d e p t ) , 用于求解自由空间的标量声波方程，得到了声学定向能脉冲序 列( a d e p t ) 。由于克服了普通波束传播过程中的衍射作用而具有定向特性，对无衍射波束 的研究工作得到了人们的极大关注。1 9 8 7 年，d u m i n l 4 l 给出了h e l m h o l t z 方程的一组新的 非奇异解，称为b e s s e l 波束。他指出对于有限开口的具有b e s s e l 函数形式截断面的平面波 束谐波场，其断面将保持下去，空间横向宽度比由无限孔径谐波场的理论结果小得多。为 了验证其结论，h s u e t a l 给出了谐波b e s s e l 波束超声传感器的实验结果。对于水中3 6 m h z 的振动源( 孔径约为十几厘米) 。其声场能在2 0 - 1 7 0 r a m 范围内保持2 5 3 5 m m 的半值宽 度。l u 和g r e e n l e a f 给出了平面有限孔径x 波的试验和数值模拟结果。为了定量的研究无 衍射声弹的声场分布，s t e p a n i s h e n “冽等给出了一般化的理论模型，通过对b e s s e l 权重函 数进行f o u r i e r 和h i l b e r t 变换，得到无衍射声场的表达式为一个一般化的卷积形式： e ( p ，z ，f ) = w ( f ) 固，( 岛z ，f ) 其中p ( p ，乙r ) ，为轴对称声场的声压( p 为声源的径向距离， z 为声轴方向。f 为时间) 。s t e p a n i s h e n 讲述了瞬时b e s s e l 脉冲声弹的产生，由近场到远 场的声场，以及一般化的模态脉冲响应的傅立叶变换。 1 3 课题研究的目的和意义 目前，低频大功率声源的理论分析和初步实验研究表明声能定向是相关专题领域的一 个难点问题，通过探讨无衍射概念在声学中的可行性，有助于为解决这一难点问题提供切 实可行的技术途径。据俄罗斯某声学研究机构报道，其研究成功了一种篮球大小的定向声 能发生装置，能够大幅度的提高声能的定向传播距离，但未透露相关的技术细节。通过对 相关声传播实用技术资料的比较分析，通过类似于无衍射光束的形成方式来达到此种作用 效果是很有可能的，因为从波动力学的角度来看，声波与光波的传播具有定的相似性。 本文将借助s t e p a n i s h e n z 6j 等给出的一般无衍射声学框架，从一般的声学波动方程出 发，探讨理论上满足无衍射概念要求的声源分布条件，研究接近实际情况的有限孔径平面 声源满足无衍射声场声源分布条件的理论结果，并计算得出其对应的辐射声场。并应用 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 k z k 程序，对无衍射声波进行数值模拟。出以上研究内容为光学中的无衍射概念向声 学中的无衍射实际应用积累了重要的数据和技术资料。 1 4 本文的主要研究内容 本文的主要内容有以下几个方面： ( 1 ) 从理论上说明无衍射声波是可以实现的； ( 2 ) 分析了平面孔径的无衍射声源的经验公式： ( 3 ) 计算出了由无衍射孔径声源所辐射出的声场； ( 4 ) 基于仿真程序，计算出了数值模拟的无衍射声源分布所对应的声场。用k z k 程序从数值模拟的角度来证明无衍射是可行的。 本文共分为5 章。第一章为绪论，扼要介绍了无衍射技术的国内外研究现状、课题研 究的目的和意义、本文的主要研究内容。第二章介绍了无衍射光束与无衍射声波，提出了 无衍射声波的概念。第三章介绍了s t e p a n i s h e n 提出的由平面孔径产生的b e s s e l 脉冲模型， 并在此模型的基础上，对声场进行计算。第四章基于k z k 方程，对粘热介质有限振幅脉 冲声束辐射声场进行数值模拟，讲述了该算法的基本思想和在本文中参数的选择，并对其 结果进行比较。第五章为工作总结。 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章无衍射光束与无衍射声波 2 1 引言 对于任何波动现象来说，衍射都是存在和不可逾越的，光也不例外。一个波长为五的 场，如果其横向尺寸为a ，则它在自由空间中经过距离石口2 2 ( 为瑞利长度) 后将由于衍 射而明显扩散。考虑到德布洛意的物质波假设，衍射是普遍的，它是量子力学中海森堡测 不准关系的基础。 因此，1 9 8 6 年d l l l j n 在美国光学学会上首次简要报道所谓的无衍射光束 1 3 0 1 ( d i f f r a c t i o n - f r e eb e a m s 或n o n - d i f f r a c t i n gb e a m s ) ，随后在”美国光学学会杂 志，( j o p t s o e a m ) h l 和”物理评论快报”( p h y s i c a lr e v i e wl e t t e r s ) ! ”1 上较详细地阐述无衍射 光束的概念、原理，在实验上获得了近似的无衍射光束，进行了传输实验，他们的这些工 作在光学界引起的广泛重视和争论是不足为奇的。时至今日，无衍射光束的概念有近十年 的历史，回顾它的发展和人们的认识过程，是很有意义的。人们对无衍射光束，或更现实 一点对超衍射( 超分辨) 的兴趣是容易理解的，有其强烈的应用背景，如显微镜( 超分辨) 和能量传输( 超衍射) ，不断有人作出各种努力，我们也希望更全面合理地看待这些尝试。 本章的第二节先介绍无衍射光束的概念；第三节讨论它传输特性；第四节介绍无衍射 声波的概念和发展历程。 鲒2 无衍射光束的基本概念 波动现象满足如下的波动方程： 卜土c ：纠o t 2 ) e ( ；f ) = o ， 式中f 是波速，对于光即是光速。不难证明，下式是波动方程( 2 1 ) 式的严格解1 3 2 1 ： e ( x , y ，2 o ) = e x p 邗z 一国z ) r 4 彳( ) 唧 舷( x c o s # + y s i n 妒) 却 ( 2 2 ) 式中2 + = ( c ) 2 ，4 p ) 是的任意复函数。若为实数，则( 2 1 ) 式表示一类无衍射场， 因为： ，( ，j y ，z 。) ；三 暑i r , ，) | 2 = ，( ，i y ，z = 。) ( 2 3 ) 也就是说，在时间平均的意义上任意= 0 的与z 轴垂直的平面上的场强分布都与z = 0 处的 场强分布相同。 在( 2 2 ) 式中，若爿侈) 与无关，则我们得到一个轴对称的无衍射场( 仅此一个) ： 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 e ( ；，) = e x p 舻z 一耐) 小x p 缸( 瑚s s i i l ) 等 1 = e x p lk p z m t ) l j o ( 印) 其中，p 2 = ，+ y 2 ，山是第一类b e s s e l 函数。当t 2 = o 时，( 2 4 ) 式就是平面波解，而 当0 口国，c 时，( 2 4 ) 式给出无衍射光束解，其横向分布与d p 成反比下降。图2 1 给出强 度分布j 0 2 ( n 妒) 和其包络线( o cl c t p ) 。由于包络线的幅度正比于l c t p ，所以在垂直于z 轴 的任意平面内无衍射光束所含的能量是无限大的，在物理上能量为无限大的光束是不存在 的，因此无衍射光束不是物理上存在的光束，而是一种数学光束。但是，虽然理想的b e s s e l 光束在物理上不存在，截断的b e s s e l 光束却是存在的，其能量是有限的。计算及实验都表 明，截断的无衍射光束仍具有“无衍射”的性质，其横向分布在一定的范围内基本不变( 如 图2 2 ) 。从图2 2 中可以看到，对圆孔( 半径为3 5 m m ) 截断的b e s s e l 光束( 口z 4 0 7 m m - 1 ) 与g a u s s i a n 光束( s w z u = 7 0 p m l 的传输比较。初始时刻两者的光斑大小基本相等。传输 至o 6 m 处时g a u s s i a n i a n 光束明显发散，而b e s s e l 光束基本不变。其中，似) 初始b e s s e l 光束，( b ) 初始g a u s s i a n i a n 光束，( c ) 0 6 m 处的b e s s e l 光束，( d ) 0 6 m 处的g a u s s i a n i a n 光 束，放大了1 0 0 0 倍。另外，( 2 2 ) 式给出的所有光束都是无衍射光束，但一般将光束振幅分 布为j o ( a 纠的光束成为无衍射光束( 或b e s s e l 光束) ，在下面的讨论中，除非特别声明， 我们都遵守这种约定。理想的b e s s e l 光束的传输特性是很平凡的，本文讨论的b e s s e l 光束 或无衍射光束都是指加了某种光阑( 硬边或软边) 限制后的光束。 图2 1j 0 2 ( 印) ( 实线) 及其包图2 2 圆孔( 半径为3 5 m m ) 截断的b e s s e l 光束 络线( 虚线) ，横坐标为印。( 口“4 0 7 m m _ 1 ) 与g a u s s i a n 光束( f r r u u = 7 0 p r o ) 无衍射光束被理解为其横向分布不随传播距离改变的光束，按这种理解，最常用的平 面波也可以看作是无衍射光束，但正如图2 1 所显示的那样，b e s s e l 光束有一个很显著的 特点，即有一个很亮的中心主极大，主极大的宽度可以近似地由1 a 给出，有些文章也将 该宽度作为整个光束的半径，这样在讨论其传输性能时将得出比g a u s s i a n i a n 光束好的结 第5 页 论。此外，正如引言中指出的那样，衍射是普遍存在的，无衍射是不可能的，b e s s e l 光束 的横向分布不随传播距离改变，好象是无衍射，但其实也是衍射的结果。“无衍射”这种说 法本身是错误的( 这也是造成误解的一个主要原因) ，但既然由于历史原因己沿用多年， 我们也采用这种说法，注意应正确理解。 一般讨论的无衍射光束其横截面分布是二维的，如果是一维的，则可得到另一类无衍 射光束，即c o s 光束，或s i n 光束，很容易证明它们是( 2 1 ) 式的解，这就牵涉到一个问题， 如何判断一个光束是否为无衍射光束，邓锡铭等人从光流体模型出发，提出一个简单的判 据n 2 】：一个波动场e ( ，z ) ，如果在某一横截面处处满足( 2 5 ) 式，则它是无衍射光束。 ! 立坠掣：常数 ( 2 5 ) e p ，2 ) 容易证明b e s s e l 光束和c o s 光束都满足( 2 5 ) 式的判据a 2 3 无衍射光束的传输特性 2 3 1 理想的b e s s e l 光束的传输 光束的传输可由c o n ；n s 公式来计算，在轴对称情况下，经传输矩阵口司后有： f 卅办：机( 纠础= 万1e x p 一与笋 ( 别 q 乃 其中 勋p 一1 ，i a r g 到 o ， o ，由此，不难得到： 最c ，= 去唧卜( 一蛊 唧卜2 ( 乞半) 厶( 等) ， 也就是说，b e s s e l 光束经过变换矩阵为 三劫的光学系统后仍为b e s d 光束，但整 个光束扩展了a 倍，振幅为原来1 a 涪，同时出现唧 慨2 ( 学) 卜相位因子。对 于自由空间传输， 罢昙 = 墨； ，( 2 固式简化为： 第6 页 里堕型兰垫查盔兰翌塞圭堕兰垒堡兰 酏力= e x p i k z ( 丢肌吲 ， 可见理想的b e s s e l 光束经自由空间传输后其横向光强分布保持不变。 2 3 2 各种( 近似) 无衍射光束 物理上有意义的无衍射光束都只能是近似的，一般由b e s s e l 光束加各种光阑获得。在 此将各种近似无衍射光束罗列如下： ( a ) 圆孔截断的b e s s e l 光束 由b e s s e l 光束加圆孔硬边光阑后得到，设光阑的半径为a ，则光束的表达式为： 嘶) = 卜：；： ( b ) b e s s e 卜母肌s s i a n 光束 为b e s s e l 函数与g a u s s i a n 函数的乘积，表达式为： 砷m ( 咖2 ， 因为g a u s s i a n 函数以指数形式下降，( 2 1 1 ) 式的光束的总能量是有限的。光束的性质 由口和w 决定。 ( c ) w e b e r 光束 e ( ，) = k - 盯1 7 薏( 口t z ，r ) ) 一- ( 2 2 ) 式中y o ( a r ) 是零阶w e b e r 函数。由于当，寸。时( ，) 趋向无限大，所以( 2 1 2 ) 式必 须在，较小时截断，至于具体的截断位置和截断后的取值并不太重要，后面的讨论将明确 这一点。 ( d ) 超g a u s s i a n - b e s s e l 光束( 简称s g b 光束) 这种光束为b e s s e l 函数和超g a u s s i a n 函数的乘积，可看作是b e s s e i - 旬a u s s i a n 光束的 变种。 嘶m ，斗( 硼 计算表明，当n 取某些值时( 只与乘积口w 有关) ，( 2 1 3 ) 式的s g b 光束具有非常好的 传输性能( 见下面的讨论) 。 ( e ) 加任意光阑的b e s s e l 光束 实际上具有近似无衍射特性的光束并不须有严格的振幅分布，计算表明b e s s e l 光束， 或w e b e r 函数加任意的光阑都在某种程度上具有“无衍射”特性，综合以上几种光束，普遍 第7 页 地可写作： e ( r ) = f ( r ) j o ( 甜)( 2 1 4 a ) 或 e ( r ) = f ( r ) y o ( a r ) ( 2 1 4 b ) 式中，厂( ，) 代表光阑函数，可以是硬边光阑、g a u s s i a n 函数、超g a u s s i a n 函数和三角函数 等m 。注意在( 2 1 4 b ) 中因k ( ，) 在，= o 处为无限大，光阑函数的取值必须使得e p ) 为有限 的。 只考虑二维情况，c o s 光束是一维的，没有b e s s e l 光束的亮的中心极大，实际应用价 值不大。上面只给出几种常用的近似无衍射光束。 2 3 3 近似无衍射光束传输的计算方法 咖，= 砉唧耕 肌咖帐 2 山( 昝协嘲 g ” 蹦 i 章娑茹i ：当f 高 亿岣 p _ 南+ 高”譬 ) u “叫 啡h ) 2 ”2 s ， 昨) = a r c t a n l f ! 毛j ( 2 - 1 9 ) 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 w ( z ) 、( 2 ) 、r ( z ) 分别为g a u s s i a n 光束在z 处的光束半径、相移和曲率半径。 无衍射光束传输特性的很重要的方面是轴上光强分布，除可用( 2 7 ) 式作数值计算外， 也可以将轴上光强分布表示为l o m m e l 级数，其优点是计算量小p 6 j 。通过具体的计算我们 感到( 2 7 ) 式的数值计算是最有用的，它不仅能给出轴上光强分布，也能给出横向光强分布， 积分是一维的，只要菲涅尔数不是太大，计算量并不太大，在普通的计算机上很容易实现， 而且若在编程方面稍加优化，运算时间不是问题( 如利用计算机的大内存，先将b e s s e l 函 数的值算出，用到它时用查询的方式，可大大提高计算速度) 。 2 4 无衍射声波 无衍射声学“子弹”在美国和俄罗斯的声学武器开发中都被提到。1 9 8 3 年，b r i t t i n g h a m 2 1 得到了均匀介质中m a x w e l l 方程的一个特殊解并将其称为f o c u sw a v em o d e ( f w m ) ，该解 理论上对应于g a u s s i a n i a n 波束，解中包含一个参数，其在一种极端下对应于准横向的平面 波，另一种极端下对应空间截断的脉冲波。理论上，该波束在自由空间中传播时，其峰值 和波形保持不变。随后，z i o l k o w s k i 对f w m 解中的参数加入一个权重函数并积分，得到 了新的特殊解。他将该解用于求解均匀介质中的m a x w e l l 方程，得到了定向能脉冲序列 ( e d e p t ) ；用于求解自由空间的标量声波方程，得到了声学定向能脉冲序列( a d e p t ) 。由 于克服了普通波束传播过程中的衍射作用而具有定向特性，针对无衍射波束的研究工作得 到了人们的极大关注。 1 9 8 7 年，d u r n i n l 4 j 给出了h e l m h o l t z 方程的一组新的非奇异解，称为b e s s e l 波束。他 指出对于有限开口的具有b e s s e l 函数形式截断面的平面波束谐波场，其断面将保持下去， 空间横向宽度比由无限孔径谐波场的理论结果小得多。为了验证其结论，h s u e t a l 给出了谐 波b e s s e l 波束超声传感器的实验结果。对于水中3 6 m h z 的振动源( 孔径约为十几厘米) ， 其声场能在2 肚1 7 0 m m 范围内保持2 5 3 5 m m 的半值宽度。l u 和g r e e n l e a f 最近给出了平 面有限孔径x 波的试验和数值模拟结果。 为了定量化的研究无衍射声弹的声场分布，s t e p a n i s h e n l 2 “8 j 等最近给出了一般化的理 论模型，通过对b e s s e l 权重函数进行f o u r i e r 和h i l b e r t 变换，得到无衍射声场的表达式为 一个一般化的卷积形式：p ( p ，z ，f ) = w p ) o _ ，( p ，z ，f ) 其中p ( p ，z ，f ) 。为轴对称声场的声压 ( p 为声源的径向距离，z 为声轴方向，f 为时间) 。s t e p a n i s h e n 讲述了瞬时b e s s e l 脉冲 声弹的产生，由近场到远场的声场，以及一般化的模态脉冲响应的傅立叶变换。 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章由平面孑l 径产生的b e s s e l 脉冲 本章的目的在于通过实现s t e p a n i s h e n 建立的一种新的描述声弹空间时间特性的一般 化模型从理论上验证无衍射声波是可行的m j 。这里把声弹称为瞬态声学b e s s e l 波束。在第 一部分，提出了s t e p a n i s h e n 所建立的声场瞬态声学b e s s c l 波束的一般理论。通过时域、 f o u r i e r 和h i l b e r t 转换的方法得到了基频和携带调制传输信号的波场。讨论了关于表面积 分公式和空间时间平面孔径的分布是在平面孔径上产生声学瞬时b e s s e l 脉冲必须条件。得 到了由平面孔径产生的相对简单获得声学瞬时b e s s e l 脉冲的空间时间特性的途径。第二部 分表述了瞬态b e s m l 波束的一些特例的解析解表达式。第三部分通过对无衍射声波的声场 进行计算，阐述了声学瞬时b e s s e l 脉冲的一般特性，指出无衍射声波的可行性。最后，对 本章的工作做了一个小结。 3 1 声场瞬态声学b e s s e l 波束的一般理论p 1 波在一个无界理想介质中传播时，可看作是在柱坐标系( ，妒声，f ) 下进行传播，c 是声波 在介质中的传播速度，口是特征长度。标准化参数，在图3 1 柱坐标系( p ，依z ，f ) 中， p = r a ，z = x a 归一化的时间f = c t a 。在压力场p ( 岛z ，f ) 中，在标准的圆柱系统中标准 化的声波方程是： b 易( 喙 + 古鲁+ 导一导 如垆。 ， l 万历l p 历j + 7 瓦万+ 虿一萨l 烈岛仍乙力2 0 ( 3 j ) 图3 1 圆柱在笛卡儿坐标下 通过变量分离法，容易得到自由空间标量波动方程( 3 1 ) 的解 第1 0 页 既 ( p ，仍z ，r ) = , i n ( 1 f i p ) e b 7 吨“”) ( 3 2 ) 其中，南2 + 如2 = 岛2 。 显然，p k , 是一个n 阶无衍射b e s s e l 声束。 ( 1 ) 当n = 0 时，氏 ( 办仍z ，r ) = j o ( 1 q p ) e ( 毛7 屿力是一个轴对称解。这是d u m i n 所提出 的零阶无衍射的b e s s e l 波束。 ( 2 ) 当月= 0 ，毛= 0 时，p k ( p ，仍z ，r ) = p 如( “) 是一个平面波。 ( 3 ) 当毛= q s i l l f ，屯= q c o s f 时，既也( p ，仍z ，f ) = 以( q s i i l 纠e 硝一“卜”是a x i c o n 波束的n 阶无衍射部分【3 7 i 。 先考虑当n ：o 时是a x i c o n 波束的轴对称的无衍射部分。对任意的权重函数( q ) 通过 自由参数q 得到了一类新的解 p ( p ，z ，f ) = 去形( q ) 山( q s i n p ) e 嘶“钟d q ( 3 3 ) 是f o u r i e r 积分的形式。 当p = 0 时，显然 p ( 0 ，z ，f ) = w ( f z c o s 彳) ( 3 4 ) w ( f ) 和矿( q ) 为一个f o u r i e r 变换对，记为w ( f ) 营w ( n ) w ( r ) 5 磊1 肜( q ) e “加 ( 3 5 ) 矿( q ) = w ( r 弘“7 d r ( 3 6 ) 更一般的，p ( p , z ，f 1 可被写做： p ( p ，z ，f ) = _ h ，( f ) o ，( 岛z ，f ) ( 3 7 ) 圆表示卷积 ，z ，f ) = 去山恤s i i l 勿叫“妇 ( 3 8 ) 由方程( 3 8 ) 的积分中，很容易计算得到_ ，( 岛z ，f ) 的封闭解表达式： _ ，( p ，z ，f ) =面砑i 1 忑玎。 h 蟛i p s 血f 当p = o 时，可写作 j ( o ，z ，f ) = a ( r - z c o s ) ( 3 1 0 ) 故在区域一p s i n f + z c o s f f ( p s i n 6 + z c o s 上，j ( p , z ，f ) 不等于零。因此，j ( p , z ，f ) 第1 l 页 在任何空问点上是一个有时问限制的函数，即是一个有限持续时间的函数。根据方程( 3 7 ) ， j ( p , z ，f ) 是对于任意的w ( f ) 相关于p ( d z ，f ) 的脉冲响应函数。 现在考虑w ( r ) 是解析解信号的实数部分： w o ( o - - w ( r ) + j w ( f ) ( 3 1 1 ) w ( f ) 和w ( f ) 为h i l b e r t 变换对 0 ( r ) = w ( f ) 一籍r 假定满足c a u c h y 准则，接下来的f o u r i e r 转换关系为： ( r ) 营睨( q ) 其中 呒( n ) - - 2 形( q ) z f ( q ) u ( n 1 是熟知的海维塞德函数 凇) - ：黜 与，( a z ，r ) 相关的解析信号丘( p ，毛r ) 可被写作： l ( p ，z ，r ) = ，( p ，：，r ) + 扣；( p ，z ，f ) 因为丘( p ，z ，f ) 能被写成如下的逆f o u r i e r 转换形式， 丘( p ，z ，f ) = j o ( n s i - 刍p ) p q ”钟擒 由方程( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 我们得到 j ( d v ) = 昙f 山p 血勿) 咖 q ( - - z c o s f ) d q 由( 3 1 9 ) 中的积分，容易计算得出标准的积分表p 8 i f 0 o r z c o s ( p s i n 氕舭咖 而磊薪o p s i n ( r - z c o s ( ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) i 方i n ( 3 1 9 ) 中的被积函数是关于f z c o s f 的奇函数，所以j ( p ，z ，f ) 可以被写作： 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 j ( p ，z ，f 1 = 0 ：i i 二：；薪p s i n f + = c o s f f 石 ( r z c o s f ) 2 一( p s i n f ) 2 啦 一。 一p s i n f z c o s p s i n f ( 3 2 1 ) ：石；二：孑于- - = i i 丽7 一p s i n f + z c o s f 万 ( f 一瑚s f ) 2 一