（应用数学专业论文）cantor集结构及其相应分形维数计算的研究.pdf

摘要 本文主要研究的是以经典三分c a n t o r 集为基础，通过变形，推广 和改变，得到三类广义c a n t o r 集，进而对他们的维数和测度进行研究， 主要创新点有： ( 一) 对广义三分c a n t o r 集进行了研究，主要结果有：( 1 ) 建立了其 盒维数的计算公式，由此得到了此类c a n t o r 集的维数；( 2 ) 证明广义三 分c a n t o r 集的h a u s d o r f 坝9 度等于1 ；( 3 ) 建立了一种计算分离和刚接触的 分形盒维数的计算方法。 ( 二) 对齐次( 2 n 一1 ) 分c a n t o r 集进行了研究，主要结果有：( 1 ) 证明了 齐次c a n t o r 集x o ，r o 的算术和仍然是齐次c a n t o r 集；( 2 ) 建立了齐次 c a n t o r 集x o ，r o 和它们的算术和x - + y 的h a u s d o r f f 维数的关系式；( 3 ) 建立了齐次c a n t o r 集t ，l 和x + l 的h a u s d o r f | 预0 度的关系式。 ( - - ) 对具有重叠结构的c a n t o r 集进行了研究，建立了不完全重叠的 c a n t o r 集的h a u s d o r f f 维数的计算公式。 关键词分形，c a n t o r 集，h a u s d o r f f 维数，h a u s d o m 测度，盒维数，齐 次，重叠 a b s t r a c t t h et h e s i si sd e v o t e dt ot h r e ek i n d so fc a n t o rs e t st h a ta r ec h a n g e da n dp r o m o t e db a s e do nt h ec l a s s i c sc a n t o rs e t s ，t h e nr e s e a r c ho nt h e i rd i m e n s i o n sa n dm e a s u r e m a i nn e wp o i n t s ： f i r s t ，ac l a s so fg e n e r a l3 - p a r tc a n t o rs e ti ss t u d i e d m a i n c o n c l u n s i o n s ：( 1 ) t h ef o r m u l ao fi t sb o xd i m e n s i o ni se s t a b l i s h e d ；( 2 ) t h e h a u s d o r f fm e a s u r eo ft h es e ti sp r o v e d ；( 3 ) an e wm e t h o dt oc a l c u l a t et h e b o xd i m e n s i o no f s e p a r a t e da n dc o n t a c t e df r a c t a l si so b t a i n e d s e c o n d ，t h eh o m o g e n e o u sc a n t o rs e t sa r es t u d i e d m a i nc o n c l u s i o n s ： ( 1 ) t h ea r i t h m e t i cs u mo ft w oh o m o g e n e o u sc a n t o rs e t sl a n d 匕i ss t i l l ah o m o g e n e o u sc a n t o rs e t ；( 2 ) t l l er e l a t i o n s h i p a m o n g 以，a n d t + l i so b t a i n e d ；( 3 ) mr e l a t i o n s h i p a m o n g 艺，艺a n d 以+ 匕i s o b t a i n e d t h i r d ，o v e r l a pc a n t o rs e ti ss t u d i e d t h ef o r m u l ao fh a u s d o r f f d i m e n s i o no fi n c o m p l e t e l yo v e r l a pc a n t o rs e ti se s t a b l i s h e d k e yw o r d s f r a c t a l ，c a n t o rs e t ，h a u s d o r f fd i m e n s i o n ，h a u s d o r f f m e a s u r e ，b o xd i m e n s i o n ，h o m o g e n e o u sc a n t o rs e t s ，o v e r l a p i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名：上l 缢_ 虹一日期：掣年么月盖日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：生继虹导师签名勉日期：睹卫月2 红 硕士学位论文第章绪论 1 1 分形理论的产生与发展 第一章绪论 菲线性混沌与分形理论酶基本葱想起源子2 0 世纪韧，发展壮大于2 0 世纪8 0 年 代后这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，被认为是继 相对论、量子力学之后，2 0 世纪人类认识世界和改造世界的最富有剖造性的科学 领域的第三次大革命【l 捌。 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的研究对象是自然界 和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体【3 ，4 】。分形理论的数学基础是 分形几何学。 分形理论的发展大致可分为以下三个除段【2 ，5 ，6 】。 第一个阶段大致为1 8 7 5 年至1 9 2 5 年，1 8 7 2 年w e i e r s t r a s s 证明了一种处处连续但 处处不可导丞数的存在，这一结采在当时曾弓| 超极大的震动，但人们认为他给出 的函数是极为“病态的情形。同年，c a n t o r 6 l 入了一种全不连通的紧集c a n t o r 三分集。1 9 0 4 年，v k o c h 通过初等方法构造了一种处处不可微的连续曲线( 邵： k o c h l 趱线) ，该曲线是第一个人为构造的具有自相似结构( 即：局部与整体相似) 的 例子。之后，p e a n o 又构造出填充平面的曲线，这导致了后来拓扑维数的引入。当 时，人们认为上述集合在传统的研究中是可以忽略的，只把它们当作是一些特殊 情况即可。但进一步的研究结果表明，这类集合在很多重要问题( 如：三角级数的 唯一性) 的研究中不仅不能忽略，恧且起着非常重要的终用。 1 9 1 3 年，一类极为典型的随机分形集( 分形集包括确定分形集和随机分形集 两种 布朗运动轨迹，开始受到物理学家们的重视。p e r r i n 在对布朗运动轨迹 进行了深入研究之后，明确指出：布朗运动作为运动曲线不具有导数。为此，w i e n e r 建立了布朗运动的概率模型。 渐渐媳，人们对这类群病态的集合产生了兴趣。但是，在对其进行深入研 究之前，必须首先知道该如何度量这些集合。最然，传统的欧氏测度对此无能为 力，只好尝试其它方法。为此，h a u s d o r f f 于1 9 1 9 年引入了h a u s d o r f 恻度和h a u s d o r f f 维数，这为维数理论的建立奠定了基础 7 】。 第二个阶段大致为1 9 2 6 年到1 9 7 5 年，在这拳个世纪墨，人们主要对分形集的 性质进行了深入研究，而且将研究范围扩大到数学的许多分支中。其中，b e s i e o v i t c h 及其他学者研究了分形集的局部性质和结构等，他们的研究结果极大地丰富了分 形几何理论。同时，k o l m o g o r o v 等人对分形集维数的研究，使维数理论得到了迸 步发展并日臻成熟。 硕士学位论文 第一章绪论 尽管在此阶段分形的研究得出了许多重要结果，并使这一学科在理论上初见 雏形，但是绝大部分工作仅局限于纯数学理论的研究，而未与其它学科发生联系。 与此同时，物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形几何有关的 问题，迫切需要新的思想与有效的工具来解决。正是在这种形势下，m a n d e l b r o t 以其独特的思想，f 12 0 世纪6 0 年代以来，系统、深入、创造性地研究了海岸线的 结构、具有强噪声干扰的电子通讯、月球的表面、银河系中星体的分布、地貌生 成的几何性质等自然界中典型的分形现象，并取得了一系列令人瞩目的成果。通 过这些研究，m a n d d b r o t 深刻意识到，传统数学中被认为是“病态的一分形集，其 实是大自然中具有“粗糙和自相似一形态的事物的非常合适的数学模型。因此， m a n d e l b r o t 把具有“粗糙和自相似 特点的各种不规则图形、函数或点集统称为分 形，并且找到了描述它们的数学模型【1 7 】。这标志着分形思想已经产生，说明有 必要建立一门以分形为研究对象的新几何学。 第三个阶段大致为1 9 7 5 年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展， 并形成独立学科的阶段。m a n d e l b r o t 涉及众多学科，加上他善于把各学科联系起来， 从具体的、个别的问题中发现抽象的、一般的共性，最终形成了分形思想。1 9 7 5 年，m a n d e l b r o t 在总结前人研究结果的基础上，发表了他划时代的专著分形： 形状、机遇和维数。在此著作中，第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、 意义和方法。这标志着分形几何作为- f 独立的学科正式诞生，从而把分形理论 推进到一个更为迅猛发展的阶段。 自1 9 7 5 年以来，分形理论无论是在数学基础还是在应用方面都有较快的发展。 由于分形几何极强的应用性，它在物理的相变理论，材料的结构与控制，力学中 的断裂与破坏，高分子链的聚合，模式识别，自然图形的模拟，酶的生长等领域 取得了令人瞩目的成就。由于应用学科和计算机制图的推动，分形的数学理论也 得以迅速发展，并且目的更明确，思想更深入。近年来，在维数的估计与算法， 分形集的生成结构，分形的随机理论，动力系统的吸引子理论与分形的局部结构 方面已获得较深入的结果，其势方兴未艾。在此期间，国际上分形研究也异常活跃， 相关著作纷纷问世，数学、物理、化学及生物学中的分形论文与日俱增。同时， 国际分形专题会议此起彼伏。在国内，分形研究起步较晚，但进展较快。目前， 分形理论已逐步渗透到了社会生产的各个领域，人们也开始意识到分形理论的重 要性。 今天，混沌分形理论已经与计算机科学理论等领域相结合，这种结合使人们 对一些久悬未解的基本难题的研究取得了突破性进展，在探索、描述及研究客观 世界的复杂性方面也发挥了巨大作用【2 7 】。其作用几乎涉及到整个自然科学和社 会科学。混沌分形已被认为是研究非线性复杂问题最好的一种语言和工具。并受 硕士学位论文 第一章绪论 到各国政府及学者的重视和公认，成为举世瞩因的学术热点。我国”匡家攀登计划竹 中有关非线性科学、纳米材料科学、生命科学等项目中，就列举了有关混沌分形 理论的五个专题。搿国家自然科学基金荐中也列出混沌分形理论及其应雳的内容， 并指出这是一项具有跨学科前沿交叉性特点的基础性和应用性的研究，具有广阔 的应用前景。 分形理论的发展是迅猛的，分形的思想和方法正日益影响着现代社会的生活 和活动，随着分形的广泛应用，一些掰的数学方法和数学工具被不断提出，所有 这些都显示了分形理论的强大生命力。 1 2 分形理论对现代科学的作用和影晌 分形几何是现代数学的一个重要分支，是当代非线性科学中的一个活跃领域， 特别是描述混沌运动的死何语言。由于世界的本质是非线性的，丽漉沌现象又是 随处可见，因此分形几何的应用领域是非常广泛的【5 ，6 】。分形几何把人, f r i l l 入了 对现实世界不规则露何体的探索，如蜿蜒睦拆的海岸线、美丽的雷花冰晶，它们 无论怎样放大来看，都如同原来那样复杂( 自相似性) ，必须用分数维去度量， 这样就意味着完全否定了分形的平滑程度，分形是处处不可微的。丽数学作为专 门研究量与形的变化规律的独立学科，其微积分和级数的概念均是基于局部性、 光滑和线性化的。此时传统数学的解析方法已几乎无能为力，丽实验数学则开创 了非线性科学研究的新途径【5 ，7 】。 分形几何中的结构自相似概念，在信息论、控制论和系统论的巨大冲击之下， 迅速扩展到形态、功能、信息、时闻等方面，升华为一种新的科学方法论一分 形论。它是一种辩证的思维方法和认识方法，它与近年产生的耗散结构、突变论 和协同学，在许多方面协调一致。又葛系统论相辅相成，形成互於。 在自然科学的备个领域里，人们都尝试运用分形论，从数理化、天地生到医 工农等领域都获得了许多新认识和新进展，如物理中的湍流与相变，化学中的高 分子链、催化剂表面、凝胶，天文学中的星团分布、宇宙大尺度结构，地学中的 渗流、地貌演化，地理中的河流与水系，医学中人体组织结构( 如血管、肺、心 脏等静分形描述) ，材料的损伤断裂，石油开采中的掘进 由此可见，分形论的提出，对科学的认识论和方法论有下述深远意义：分形论 揭示了整体与部分之闻的内在联系，找到了从部分过渡捌整体的媒奔和桥梁，说 明了部分与整体之间的信息“同构；分形与混沌的普遍性和密切联系打破了学 科间条块分割的局西，使各个领域的思想家团结到一起，为播述j # 线性复杂系统 提供了简单的几何语言，使科学家对系统的思维方法从线性进展到非线性。并与 系统论互补，揭示了系统多层面、多视角、多维度的联系方式，从一个新的层面 3 硕士学位论文第一章绪论 深化和丰富了局部与整体之间的辩证关系，为人们认识世界提供了一种新的方法 论，使人们得以从局部认识整体，从有限中认识无限，从非规则中认识规则，从 混沌中认识有序【11 1 5 。 分形与混沌动力系统理论进一步丰富和深化了唯物辩证法关于普遍联系和世 界统一性原理。分形论从一个特定层面直接揭示了宇宙的统一图景，而分形与动 力系统可以共同对世界物质统一性从时态与历时性两个维度上展开说明：动力系 统理论说明，自然界中蕴含着历史的演化与嬗变的信息；另一方面，分形元与分 形系统之间普遍的信息同构关系编织了一张世界统一的网络。 总之，过去2 0 多年来人们对确定性混沌和分形的研究不仅对整个自然科学而 且对哲学体系也带来了巨大的冲击，可能成为产生变革的持久动力，无疑将在人 类探索自然的实践中起着开阔眼界、解放思想的作用。 需要强调指出的是，当代科学对混沌、分形的研究仍处于具体分析阶段，尚 未奠定统一的理论基础，因而对它们的深入研究还有待于科学的进一步发展。对 这些问题进行广泛、深入和细致的研究，无论是在理论上还是在造福人类的应用 上都具有重大而深远的意义，它们代表了时代发展的方向。可以预言，2 l 世纪将 是非线性科学迅猛发展的时代。 1 3 分形研究的现状与展望 1 3 1 关于数学分形的研究 在分形的数学理论研究领域，即所谓数学分形的研究领域，近年来的主要工 作包括以下几个方面【1 ，6 】。 1 分形集的构造与维数刻画 主要研究各种经典分形集的构造，如自相似集的构造、自仿射集的构造、各 种递归集的构造等等。其中，作为函数图像的分形集的构造是比较令人感兴趣的 一类问题，构造方法基本上可分为三类- ( 1 ) 有解析表达式( 比如级数形式) ，如著名的w e i e r s t r a s s 型函数； ( 2 ) 递归产生的函数曲线； ( a ) 几何递归，这方面比较著名的例子有v o nl 幻c h 曲线、p e a n o 曲线等。 ( b ) 函数递归，这方面最有代表性的就是分形插值函数( f r a c t a l i n t e r p o l a t i o nf u n o t i o n s f i f s ) ，关于f i f s 的理论与应用方面的研究工作 已有很多，但存在的问题仍然不少。几何递归与函数递归在本质上是 相通的，在一定条件下可以相互转化。 ( 3 ) 算术分形，用算术方法产生的分形函数，主要是由p 进小数来定义的。 4 硕士学位论文第一_ 喾绪论 比较著名的例子有b u s h 型函数，v a nd e rw a s e r d e n 函数是另一种用算术方法产生的 无处可微连续函数的例子。应当指出的是，用算术方法产生的分形函数在很多情 形下是最简单、最优美的无处可微连续遁数的饲子。 在目前的情况下，对分形集的刻画方法仍然主要靠维数，如h a u s d o r f f 维数、 盒维数、自相似维数、关联维数等【1 霸。不同的维数戆在一定程度土驮不同侧面 反映集合的复杂程度，包括几何复杂性和统计复杂性等。 2 。分形集形成的动力学特征刻画 从迭代理论可以看到，作为吸引子的分形集中的每一点至少对应一个符号序 列。换句话说，符号序列的复杂性在局部的意义下刻画了分形集的复杂性状和动 力学特征。因此，分形几何的这方面研究与代换序列、自动机理论以及遍历理论 等数学分支的研究是紧密相联的【5 】。 在研究分形集的动力学特征刻蕊方匠，毒瓣滤薤撼潍和8 蠲戚锣等人开创的迭 代函数系统( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ，i f s ) 理论是十分重要的研究工具 2 1 0 。 3 。分形构造的逆阂题 分形构造的逆问题是分形几何研究中十分重要的一个方面。而关于i f s 构造的 逆问题研究则是这方面最主要的内容。因为i f s 构造逆问题的研究在图像、数据压 缩方面有缀重要的意义。i f s 的作用是，把少量的( 原始数据) 特征值还原为大量的 原始数据，但是进行图像、数据压缩，单有这点是不够的。因为在进行数据还原 之，毖须首先获得原始数据的特征值。如何麸大量静原始数据中提取出特征值( h p ： i f s 构造逆问题) 成为关键，这个问题比较棘手，到目前为止，仍然没有很有效的 解决方法，僵其重要性不言嚣喻。 1 3 2 分形应用的若干研究领域 分形几何的应用研究比理论研究更为引入注日，很难再有另外- - f - j 学科能在 这么短的时间内渗透到如此之多的学科中并产生重要的影响【2 ，5 】。一般来说，分 形几何的应用性研究包含以下几个方面。 i 在图像、数据压缩方面的研究 分形理论在图像、数据压缩技术中发挥了重要作用。b a r n s l e y ，c o l l a g e 等应用 迭代函数系统编码在分形信息压缩方面做了有益的尝试。2 0 世纪8 0 年代末，美国 数学家b a 弱髂l e y 提出了一种利用图像本身豹复杂性中包含的叁相似性进行压缩编 码的新方法。b a r n s l e y 和s l o a n 在一篇文章中令人惊讶地宣称，利用他们的方法对 静止图像压缩可获褥高达1 0 0 0 0 ：1 的压缩比。这瀑然在从事图像压缩的人群中引起 了极大的震动。 分形图像压缩编码方法适用于二值图和灰度( 彩色) 图像，其理论基础就是前面 5 硕士学位论文第一章绪论 所提到的迭代函数系统( i f s ) 理论。从目前的实际情况来看，分形图像压缩的效果 远非像b a m s l e y 等人所宣称的那样令人满意。事实上，在分形图像压缩的理论研究 方面还存在着不少问题，但作为一种新的图像编码框架，其前景仍是十分光明的。 2 分形在计算机图形学中的应用 作为“t h eg e o m e t r yo f n a t u r e ，分形几何在描述自然界的真实特征和细节 纹理方面具有特殊的作用。因此，分形技术是计算机真实感几何造型方面十分活 跃并且有效的方法和手段。同时，计算机的应用也大大地推动了分形理论的发展， 并形成了一种新的研究领域：计算机实验数学【5 】。目前，国外已经推出多种不同 的以分形技术为特征的计算机绘图软件，而且在许多产品设计中也用到了分形的 思想和方法。混沌分形理论在信息压缩、传送及自然景观的模拟中发挥了重要作 用。 3 分形在社会科学中的应用 近年来，分形在社会科学中的研究也取得了很大进展。分形作为一种工具和 其它非线性方法一道被用来刻画社会、经济领域中的各种复杂现象，取得了一系 列新的进展。“分形认识论一和“分形方法论一的雏形正在逐步形成中。 1 3 - 3 分形几何研究面临的重大突破 近几年是分形研究的低潮时期，理论界和应用界都期待着分形理论的研究能 有大的突破。目前，分形研究在以下几点面临重要的突破【7 】。 ( 1 ) 建立完善的分形几何学体系。包括数学上“分形空间的建立，应用中分 形对象与范畴的划分以及分形集的特征判定等等。 ( 2 ) 建立分数阶微积分理论的完整体系。微积分是经典数学中最重要的概念之 一，但经典的微积分理论不适用于分形几何的研究，因为分形对象是非光 滑的。另一方面，人们已经发现，分形集往往存在分数阶的导数，而且这 种分数阶导数对于刻画分形对象有重要的作用，因此分数阶微积分理论可 能是新的研究分形几何的工具。 ( 3 ) 分形发生学理论体系的建立。弄清分形集是如何产生的对于理论和应用两 方面的研究都是十分重要的。分形发生学将主要对分形集生成的机理进行 研究，探索分形集发展、演化的规律，用动力系统的观点对分形集的复杂 性进行刻画。 1 4 本文研究的主要内容及意义 近些年来，分形的应用范围越来越大，譬如分形在生产，医学，社会，广告 业的应用，这些方面好的论文层出不穷，但相对而言，分形理论知识的研究就少 6 硕士学位论文 第一章绪论 的多了，但是理论是应用的基础，只有分形的理论知识逐渐趋子完善，分形的应 用才能扩展到更宽更广更深的范围。 本文是以经典三分c a n t o r 集为基础，通过变形，推广和改交，得到了兰类广义 c a n t o r s ：( 1 ) 广义三分c a n t o r s ：( 2 ) 齐次( 2 n - 1 ) c a n t o r 集：( 3 ) 具有重叠结构的 c a n t o r 集，分别在本文的第三章，第四章和第五章有详细的研究。 在第三章中，对广义三分c a n t o r 集进行了研究，建立了其盒维数的计算公式， 由此褥到了此类c a n t o r 集的维数，接着证明了广义三分c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度等 予l ，这样的结论可以推广到广义( 2 n - 1 ) c a n t o r 集上，更重要的是建立了一种计算 分离和刚接触的分形盒维数的计算方法。 在第四章中，对齐次( 2 n - 1 ) 分c a n t o r 集进行了研究，主要结果有：( 1 ) 证臻了 齐次c a n t o r 集以，圪的算术和仍然是齐次c a n t o r 集；( 2 ) 建立了齐次c a n t o r 集以， 匕翮它们懿算术移邑+ 艺的h a u s d o r f l 罐数的关系式；3 ) 建立了齐次c a n t o r 集五， 圪和以+ 匕i 拘h a u s d o m 测度的关系式。 在第五章中，对具有重叠结构的c a n t o r 集遴行了研究，到目前为盘，对于重叠 结构的分形的研究非常的少，至今也没有得到一类完整的结果。在本章中，试探 性的研究了一维空间上具有重叠结构的c a n t o r 集，建立了不完全重叠的c a n t o r 集的 h a u s d o r t 摊数的计算公式。 董。5 本章小结 本章简单介绍了论文的研究背景、内容概述及其现实意义。其主要内容包括： ( 1 ) 分形理论的产生与发展。壶予本文的研究对象( 帮：广义c a n t o r s ) 就是一类 典型的迭代分形图，因此，要了解其研究背景，首先要弄清楚分 形理论熬来源； ( 2 ) 分形理论对现代科学的作用和影响以及分形研究的现状； ( 3 ) 分形理论面临的一些重大突破； 。 ( 4 ) 本文研究的内容及其现实意义。 7 硕士学位论文第二章分形理论的数学基础 2 1 分形的定义 第二章分形理论的数学基础 何谓分形呢? 事实上，到目前为止分形还没有严格的数学定义，只能给出描 述性的定义。粗略地说，分形是对没有特征长度( 所谓特征长度，是指所考虑的集 合对象所包含的各种长度的代表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征长 度) ，但具有一定意义下的自相似性的结构的总称【8 】。自相似性，即某种结构或过 程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局 部性质或局部结构与整体相似 1 0 ，l1 1 。按照统计的观点，分形在通常的几何变换 下具有不变性，即它的每一部分经过平移、旋转、缩放变换后与其它的任意部分 相似。 分形( f i a c t a l ) 的概念，最初是由美国i b m 公司的数学家b e n o i t b m a n d e l b r o t 弓i 入的，意为破碎的，不规则的【1 】。曾经有人尝试给出分形的严格的数学定义，但是 所提出的定义都不够全面和精确。因此，下面给出分形的描述性定义。 定义2 1 1 【1 捌分形f 是具有以下性质的集合： ( 1 ) f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节； ( 2 ) f 是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述； ( 3 ) f 通常有某种自相似性，可能是近似的或统计的； ( 4 ) f 在某种方式下定义的分形维数，通常大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在大多数情况下，f 可以由非常简单的方式定义，可以由迭代产生。 为了让大家对分形的自相似性及构造过程有个直观的了解，下面给出一经典 分形k o c h 曲线的构造过程( 如图2 1 1 所示) ，并简单说明其构造原理。k o c h 曲线， 是h e l g ev o nk o c h 于1 9 0 4 年构造的 4 】。其构造步骤为：首先，将一单位线段三等分， 并截去中间的1 3 部分，代之以边长为1 3 的6 0 。角；然后，再对每一条1 3 长的线 段重复上述过程，直至无穷，所得曲线即为k o c h 曲线。k o c h 曲线是包含于有界区 域内的无限长曲线，它是数学领域中处处连续、处处不可微曲线的典型代表。 硕士学位论文第二章分形理论的数学基础 2 2 分形空间 图2 1 。lk o c h 曲线的构造过程 很多科学阀题的研究都是在一个假定的理想环境中进行豹。分形问题也不例 外，它是在一个完备的度量空间( 即：分形空间) 中进行研究的 2 。在给出分形空 闻的定义之前，需要首先介缨以下概念 圭- 6 】： 定义2 2 1 设( 爿，力是完备度量空间，对任意的x e x ，任意的b ，( ，称 夕( x ，君) = 越 p ( 而岁 ：罗b 为点x 到露的距离。其中，f ) 为x 的非空紧子集 空间。 由于艿的紧性，所以定义2 。2 1 中的最小值是存在的。 定义2 2 。2 如栗a f ( x ) 是度量空闯( 鼍力的子集，则么的艿一平行体以，是 指与彳的距离小于艿的点的闭集，即：以= x 舔x ：p ( x , a ) 艿 定义2 2 3 设，力是完备度量空闻，任意么，b f ( x ) ，则称矗口 1 ) 个相同的且与彳相似的部分，则称a 为自相似集，且如果每部分与么的 相似比为，= ( 1 忉古，则称d 为自相似集么的自相似维数，记为d i m sa = d ，则 。= ，彳= 器= 一面l o g n 虽然相似维数计算起来即方便又简单， 只有严格自相似的分形才能定义这个维数， 严格自相似的，例如海岸线，山的轮廓。 2 3 2 维数之间的关系 但是它的适用范围却是有限的，因为 而在实际中，大多数分形图形都不是 定理2 3 2 1 设集合彳是度量空间( 尺d 几) 的有界子集，其中d 为正整数， d i m a d i m 口a 定理2 3 3 n 1 1 在定理2 3 2 的条件下，若么是严格自相似的，则有 d i m ，a = d i m a = d i m 量a 还有其他一些维数在此就不做详细说明了。 2 4 自相似集 由于本文的研究涉及到自相似集， 的一些结果做个说明。 自相似集 1 1 - 1 7 最典型的分形， h u t c h i n s o n 系统的研究 4 。 所以有必要对相关的知识和别人已经做出 它们最初是由m o r a n 引出的 9 ，然后由 定义2 4 1 n 别设d 是r ”的闭子集，映射s ：d 专d 称为d 上的压缩映射，如果 存在实数c ，0 c 1 满足i s ( x ) - s ( y ) l c i x - y i ，对所有的石，j ，d ，如果等号成 立，a pi s ( x ) - s ( y ) i = c l x - y j ，则称s 是相似映射，本文只考虑相似映射。 定理2 4 1 n 2 1 设墨，最，已是d c 彤上的一组相似映射，满足：i s ( x ) 一s o ) i = qi x - y l ，x ，y dj | o q l ，对任意的f ，则 ( 1 ) 存在唯一的非空紧集f ，即墨的不变集，满足，2 型鼍( f ) ，集合f 也称 为自相似集； 1 2 硕士学位论文 第二章分形理论的数学基础 ( 2 ) 设、壬，是一类非空紧集族，如果在甲上定义一个映射：s ( d = u 墨( d ，且 t - 1 设为s 的k 次迭代，由s o ( d = e ，s ( d = s ( s h ( e ”给出，k 1 ，则 f = n ( d ，对任意的e e 、壬，有墨( e ) c e 对所有的f 都成立。 k - i 我们称相似映射族墨0sf m ) 满足开集条件( o p e ns e tc o n d i t i o n ) 简记o s c ， 如果存在非空有界开集矿，使得u 墨( y ) c y 且s , ( r ) n s a r ) = a ，f j ，1 f ，j 再 如果，是由自相似映射墨( 1 f m ) 产生的不交集，我们就说，满足o s c 若不满 足开集条件，则相应的自相似集的性质的研究将困难得多，此亦是当前分形几何 研究中很活跃的课题。 设q 是墨的比例因子，墨由：。0 = l 定义2 4 1 给出，则s 称为自相似集，的 _104 相似维数，用d i m 表示。,f 定理2 4 2 n 帕设比例因子为c f 的自相似映射墨( 1 fs 搠) 在f 上满足开集条 件，如果f 是由s ( 1 f m ) 产生的自相似集，则： ( 1 ) d i m 。f = d i m 。f = d i m =s，s是由定义2给出的；,f 41 ( 2 ) ，是一个自相似集，即意味着0 h ( f ) 0 0 d i m f ，d i m 。f ，d i m 。f ，分别表示h a u s d o r f f 维数，盒维数和自相似维数，且 日5 是j 维h a u s d o r f f 测度，对于定义和性质我们可以参照 1 2 5 本章小结 这一章介绍了一些分形相关的数学知识，为后面的讨论奠定了理论基础。本 章主要内容包括： ( 1 ) 分形描述性定义的给出； ( 2 ) 分形空间的引入； ( 3 ) 几种常见分形维数的定义以及分形维数之间的一些简单关系； ( 4 ) 自相似集的介绍。 1 3 硕士学位论文第三章关于一类广义三分c a n t o r 集的盒维数计算 第三章关于一类广义三分c a n t o r 集的盒维数计算 c a n t o r 集是研究分形几何的一个重要实例，对于经典三分c a n t o r 集的各个维 数及其的性质，应用文献 1 8 2 0 ，2 3 - 2 7 】已经做了详细的探讨。本文用一种不同于 经典c a n t o r 集的构造方法构造了一类广义三分c a n t o r 集，在对此类c a n t o r 集进行 研究时发现想要计算其盒维数却是有点困难，因为在计算盒维数的时候必须要确 定n ( f ，艿) 和直径万。而对于这样一类c a n t o r 集我们很难准确的确定用来覆盖的集 合直径万应该取多少时才能让这样的集合数n ( f ，万) 为最少。针对这样的问题本文 提供了一种方法，不要直接考虑万和n ( f ，万) 的数值，而是间接的利用它们来计算 出盒维数。 3 1 广义三分c a n t o r 集的盒维数的计算 根据文献 2 1 ，由定义( 2 3 3 ) 可知覆盖集彳的最少闭球服从幂定律，即对某个 常数c ，有： n ( f ，万) 茚一( 3 1 1 ) 如下构造广义三分c a n t o r 集 2 1 ，2 2 】： 设g o = 【o ，l 】，第一步将区间 o ，l 】分成3 份，设其第l ，3 个区间长度分别为 o f ，厂 y 且0 = ( ( 3 1 妨 由式( 3 i 2 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 得 职国黼n ( a ，i d + n ( 8 ，) = 照参照抄 ( 3 i 。5 ) 把式( 3 i i ) n ( f ，0 9 削c j 代入( 3 1 5 ) 式，得 西。= 奢1 + d 萼) 叶， 化简即有： l = 矿y ( 3 1 。够 下证存在唯一的j ( o 葶 1 ) 满足( 3 1 6 ) 式。设j i l ( s ) = + 广，有h ( o ) = 2 ， h o ) = a + y l r h 0 ) = 窿5 l n a + y l n y 0 ，口+ 厂 0 ，厂 0 ，口+ 7 = 芝眩f ， 归纳可得： 芝| 砭，i ：妻| 矧：芝| 毫l ；k | ：1 j = lj = lj t i 由此可得： 嚣( 四1 下证： h ( 助惫1 先给出嚣个不等式： 类似文献 1 8 ， 2 1 ， 果： p 2 1 ) ( 3 。2 3 ) 2 2 所给结果的证明，作相应的推广可得到如下结 、， 弓l 理3 2 1 ( 1 - x - 力( 口一曲+ ( ，一y y ，其中o s o ，f ( 墨j ，) 象f ( o ，力= i c l 一夕y 一窿- ( r - y ) 5 ， 同理可得： ，( 而力f ( o y ) 芝f ( o ，0 ) 黑1 - a 一广= 0 ， 即有： ( 1 一x - y ) 4 ( a - 曲5 + ( 厂一y ) 1 7 硕士学位论文第三章关于一类广义三分c a n t o r 集的盒维数计算 引理3 2 2 设u 是闭区间，含有嘴1 ，磁两个基本区间，则： i u n , q 一 1 1 7 a 哳t z l 。- 1 h u n 磁 ( 3 2 3 ) 证明：分两种情况： ( 1 ) u n 嘴1 与u n 氍之一为空集o ，则结论成立。 ( 2 ) 两者均不为空集，令k i = ，则l 嘴1 = a z ，l 磁i = 厂，设f u n 嘴1 i = ( a - x ) l l u n 聪l = 驴- s ) l ，其中o z 口，o y 得 z l u , l l - 2 m c 出于c 黧口工，正( 力= 肛+ ( 1 一力，xs 【o ，l 】， 这里g o ，y o ，a + y = | 邵，其中鑫满足 皇 + = l 。但是定理3 2 1 不能简单推广到三个生成区间的情形，若e = u z ( 毋， t , - 1 z ( 功= 呸x + 靠，i = 1 ，2 ，3 ，0 q l ，其中还须：石( o ) = o ，石( 1 ) = 1 ，z + l ( o ) z ( 1 ) ， i 嚣l ，2 。这时测度可能小于1 ，例如，如果取呸= = 吃= 古，魂= o ，如= 吾，绣= 詈， 这时由维数公式得到葶= 考，考虑 池王】，皤，l 】 为e 的一个覆盖，可得 h = 0 2 ) + ( 1 9 ) i = 学，利用自相似性得：( 研h = 毕 1 3 3 本章小结 本章详细讨论了一类广义三分c a n t o r 集的盒维数及其h a u s d o r f f 测度的求解 过程，其主要内容如下： 1 ) 利用迭代的知识构造