（基础数学专业论文）到辛群的多重调和映射.pdf

摘要 摘要 本文研究了从连通复流形膨到辛群印( 聊的多重调和映射，将已有的到酉 群的多重调和映射和到李群( 酉群和辛群) 的调和映射的相关概念和结论推广至 到辛群的多重调和映射上，其中给出了相应的辛一实性条件、辛n - u n i t o n 、辛一扩 张n - u n i t o n 和辛一旗因子等概念，并引入了相应的d r e s s i n g 作用和b a c k l u n d 变换， 主要证明了任何一个辛- n - u n i t o n 可以唯一分解为有限个形如仞一矿矛一矿) 的 辛一旗因子的乘积，因此任何一个辛- n - u n i t o n 可由一个o - u n i t o n 通过纯代数的方 法构造而得，并且证明了它的极小辛u n i t o n 数不大于，丽极小u n i t o n 数不大 于2 一l 。 一 关键词多重调和映射，辛实性条件，辛n - u n i t o n ，辛扩张n - u n i t o n ，辛一旗因 子，极小辛- u n i t o n 数，极小u n i t o n 数 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ep l u r i b a r m o n i cm a p s 矗d mac o n n e c t e dc o m p l e xm a n i f o l dmi n t ot h e s y m p l e c t i cg r o u p ss p ( n ) a r cs t u d i e d s o m ec o n c e p t sa n dr e s u l t so np l u r i h a n n o n i c m a p si n t ot h eu n i t a r yg r o u p sa n dh a n n o m cm a p si n t ot h eu n i t a r yg r o u p sa n dt h e s y m p l e c t i cg r o u p sa r cg e n e r a l i z e dt ot h ec o n d i t i o no f t h ep l u r i h a n n o n i cm a p si n t ot h e s y m p l e c t i cg r o u p s t h ec o r r e s p o n d i n gc o n c e p t so ft h es y m p l e c t i c - r e a l i t yc o n d i t i o n , s y m p l e c t i c - n - u n i t o n ，s y m p l e c t i ce x t e n d e d - n - u n i t o n , s y m p l c c t i c - f l a gf a c t o r , d r e s s i n g a c t i o na n dt h es y m p l c c t i cb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s 黜i n t r o d u c e d f i n a l l y ，i ti s p r o v e dt h a ta n ys y m p l e c t i c - n - u n i t o nc a nb ef a c t o r i z e di n t ot h ep r o d u c to ft h ef m i t e s y m p l e c t i c f l a g f a c t o r si nt h ef o r mo f ( 筇一万1 ) ( 牙一牙) ，t h a ti st o s a y ，a n y s y m p l e c t i c - n - u n i t o nc a n b eo b t a i n e df r o mao - a n i t o nb yp u r e l ya l g e b r a i co p e r a t i o n s ， a n di ti sa l s op r o v e dt h a t t h em i n i m a l s y m p l e e t i e u n i t o nn u m b e ro fa n y s y m p l e c t i c - n - u n i t o ni sn o tl a r g e rt h a nn a n di t sm i n i m a lu n i t o nn u m b e r i sn o tl a r g e r t h a n2 n 1 k e yw o r d s ：p l u r i h a n n o n i cm a p ，s y m p l e c t i c - r e a l i t yc o n d i t i o n , s y m p l c c t i c - n - u n i t o n , s y m p l e e t i cc x t e n d c d - n - u n i t o n , s y m p l e e t i e - f l a gf a c t o r , m i n i m a ls y m p l e e t i cu n i t o n n u m b e r , m i n i m a lt m i t o nn u m b e r 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文：学校有权提供目录检索以及提 供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国 家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为口 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学位论文作者签名： 年月 曰 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月 f 1 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位 论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开 发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法律责任由本人承担。 签名： 年月日 引言 引言 整体微分几何是现代数学的重要分支，其中，运用可积系统理论研究几何问 题已成为当前国内外十分活跃的研究领域之一。它与众多的其他数学分支密切相 关，如：拓扑学、李代数、群表示论、多复变函数论、非线性分析等，此外，它 还与理论物理相沟通。也与生物工程、数量经济等有联系。因此，对该项目的研 究，不仅有促进数学学科发展的理论意义，也有着广阔的应用前景。 调和映射和孤立子理论中的达布交换自2 0 世纪7 0 年代开始流行，至今已发 展成为比较完备的理论体系，许多中外数学工作者已经在这个领域做了大量工 作。1 9 8 5 年在文献 1 中u l e n b c e k 将l a x 对，谱理论、环路群作用、d r e s s i n g 作 用、b a c k l u n d 变换等方法成功应用于从单连通区域到李群( 酉群) 和复g 笛锄啪 流形的调和映射，首次提出了酉子( u n i t o n ) 的概念，而且说明了任何一个单连 通区域qc 球2 u 扣 到酉群的具有有限u n i t o n 数的调和映射可以分解为有限个 u n i t o n 的乘积，从而开创了一个新的研究方法和研究领域。随后在1 9 8 8 年g v a l l i 给出了因子化的简化方法，在文献【7 】中j o l l l l c w o o d 通过降低能量的方法给出了 调和映身l l f ：s 2 寸q ( c ”) 新的因子化构造方法，后来他又在文献【8 】中给出了通 过积分变换和只包含一个代数算子的算法从有限的全纯映射序列 z ：s 2 一q 。( c ) 构造出所有的调和映射，：一u ( ，) 。谷超豪和胡和生引入了 达布变换的方法，达布矩阵的显式表达被用来从一个已知调和映射构造出新的调 和映射，利用奇异达布变换和重整化过程给出了构造瑚i t 的纯代数的显式方 法。随后利用奇异达布变换得到任意秩的旗因子，利用这些旗因子可以给出新的 因子化定理。在文献【4 】f 5 仲贺群、沈一兵讨论了到辛群的调和映射，并弓l , k y 引言 辛u n i t o n 、辛扩张解等概念，类似地构造了辛旗因子、d r e s s i n g 作用、用辛b a c k l u n d 变换和达布变换通过代数方法从已知u n i t o n 构造新的辛扩张u n i t o n ，并证明了具 有有限u n i t o n 数的到辛群的调和映射可以因子化为有限个辛u n i t o n 的乘积。随 后又构造了到四元g - r a s s m a l m 流形的调和映射利用奇异达布变换建立了四元 g r a s s m a n n 流形的因子分解并给出了其极小u n i t o n 数的上界估计。东瑜昕给出了 通过奇异达布变换构造到李群的一般旗变换的唯一方法，这些旗变换为建立 g - u n i t o n 的因子化提供了可能。 多重调和映射是黎曼面上调和映射的自然推广，1 9 8 9 年在文献【2 】中y o h n i t a 和g v a l l i 将u l e n b e c k 的理论运用到多重调和映射，给出了从单连通紧致复流形 到一类酉群的多重调和映射的唯一因子分解定理，这样就能从一个全纯映射得到 这类多重调和映射。此外他们还提出了亚纯多重调和映射的概念，并得到了相关 的分解定理。程启元和东瑜听在文献【3 】中给出了一些从k a h e r 流形到酉群的多 重调和映射的因子分解定理，并得到了一些关于极小m i l t o n 数上界的很好的结 论。 在本文的第一章中，我们将把上述关于到酉群的多重调和映射的相关结论做 一系统的整理，并模仿文献 1 i 3 1 a 相应的到酉群的多重调和映射的d r e s s i n g 作用 和b a c l d u n d 变换，随后介绍它的因子分解定理和关于其极小u n i t o n 数的相关的 结论。 在本文的第二章中，我们将具体研究了从连通复流形m 到辛群印( r ) 的多 重调和映射匆：掰寸s p ( n ) ，并给出了相应的辛一实性条件、辛- n - u n i t o n 、辛一扩 张n - m i l t o n 等概念，类似地构造了辛旗因子、d r e s s i n g 作用和辛b a c k l u n d 变换， 证明了每个辛- n - u n i t o n 可唯一分解为有限个形如协1 1 ) ( 后一铲) 的辛一旗因子 2 引言 的乘积，并且其极小辛- u n i t o n 数不大于，而极小u n i t o n 数不大于2 n 一1 。主 要结论如下： 定理2 2 2 设厂e 哂，则有d r e s s i n g 作用广：刑”- 倒4 ，且存在唯一 r ：m 一毋，使得，。2 = ，( 五归2 r 。 定理2 2 8 设矿：膨4 印( j v ) 是一个多重调和映射，而，乃是h e r m i t e 投影 且满足而石= ( 开万：) 。，则通过解下列关于届：m x c “- - * r j ( i = 1 ，2 ) 且满足初始 条件元( p ) = 码，p c m 的方程组 砩= ( 1 一盯( 口) ) 杰西砰一o 一口) 砰西磊 否元= ( 1 一口) 幺( 嘭+ 厩) 对一( 1 一仃位) ) 砖( 呓+ 廊磊) 幺 我们可得到一列新的关于参数口c 的到s p ( n ) 的多重调和映射，其中 = 百三爿岛。而新的多重调和映射可表示为 。 尹= 豆垆( 墨一群) ( j 吃一弦晕) 其忙篙榴d 小s p ( o 。 定理2 3 5 任意辛- n - u n i t o n 妒：m - s p ( n ) cu ( 2 n ) n - - j 韬em 上分解为 矿= ( 届一甜x 厦一群) ( 见一o ：x l 一厨) 其中( 屈，矗) 是仍一。的辛一旗因子，而每个纪= 。( 属一) ( 卮一厅) ：肘- - ) s p ( 9 是多重调和的，m = m 、s ，s 是个d i i n c s 拼一2 的解析子集，印( 忉是 一个常值矩阵。 。 定理2 4 5 设矿：m 斗印( ) c u ( 2 n ) 是一个具有有限u n i t o n 数的多重调 和映射，则伊的极小辛- u n i t o n 数满足历( 伊) s ，且研( p ) 2 n 一1 。 第一章到酉群的多重调和映射 第一章到酉群的多重调和映射 1 1 复流形问的调和映射及多重调和映射 设m 和是殆复流形，和，是对应的殆复结构，那么m 和的切空问的 复化空间按j 和厂可分解为特征空间的直和 t m c = 肼( 1 0 t m ( o , l 和= t n o , 0 删o ，1 若一：m n 是光滑映射，我们因此可以定义 鲫：t m 1 o 斗z 1 ，“，孙：t m o _ 1 一z ( 1 o 鳙：掰( i ，o ) 州o ，i ，嚣：掰( 一t n o 1 使得 a 妒i 。，= 曼+ 曼歹和动i 。，。，= 查妒+ 互歹 并且不难验证 互歹= 西和曼歹= 查 一个光滑映射妒称为全纯的当且仅当蓟= o ，而称为反全纯的当且仅当 鲥= 0 进而，如果：( 膨，g ) 寸( ，国还是殆h c r m i t e 流形，其中g 和i j | 分别是其上 的度量张量场，我们定义的部分能量密度如下 口 ) = 鲥1 2 l g t hf 舻万和，( ) 刊互矿1 2 = g t h 口带万 其中和蜉分别是坌妒和动的局部表示。因此妒的能量密度可表示为 删) = p ( 彩+ p ) 。如果膨紧致，则我们令 e ( 妒) = lp ( ) 匕和f ) = lp 。 ) 因此的能量泛函为e ( ) = e ) + f ( 矿) 。显然妒是全纯的当且仅当e 。 ) = o ， 4 第一章到酉群的多重调和映射 而妒是反全纯的当且仅当e ( ) = 0 。 定义1 1 1 映射：肼一n 称为调和的，如果妒的能量泛函e ( 矿) 取得极值。 在文献 8 】中我们可知，一个光滑映射妒：m 哼是调和的当且仅当妒满足 e u l e r - l a g r a n g e 方程，即f ( ) = 0 ，其中f ( ) = 一d 即= t r a c e v d 妒称为妒的张力场。 多重调和映射是黎曼面上调和映射的自然推广，本文的主旨是讨论到辛群 印( ) 的多重调和映射，我们先给出多重调和映射的一般概念。 设m 是一个m 维连通的复流形，是一个n 维连通的黎曼流形，妒：m 斗n 是一个光滑映射，则映射的微分可复线性扩张为d 缈：t m 。- t n c ，由上可知却 能分解为 a 矽：丁m 1 ，o 寸t n c 和劫：t m 0 1 斗t n c 现利用诱导联络v ，和t m o , o ) 上的万算子定义a 9 的( 0 , 1 ) - 型外微分为 ( 瑶a 咖( z ) = v 多( a 烈z ) ) 一a 吠百旷z ) ( 1 1 1 ) 其中z ，w c 。( t m 1 ，叼) 。 定义1 1 2 若光滑映射伊满足d 。a q t = 0 ，则称妒是一个多重调和映射。 由上我们立即可得，一个光滑映射妒：m - - n 是多重调和的当且仅当对于任 意全纯曲线l ：c m ，复合映射妒。l 总是调和的。 1 2 到酉群的多重调和映射 以下我们主要参照文献【2 】【3 】介绍到酉群的多重调和映射。设 u ( ) = xg l ( n ，c ) l 石= 石- 1 代表阶酉群，其对应的李代数则可表示为 甜( ) = 一( ，c ) i a = - a 我们假定g ”= m c ”代表m 上的平凡丛。 设尹：肘一u ( ) 是光滑映射，声是u ( ) 上的m a m e r - c a r t a n 形式，令 5 第一章到酉群的多重调和映射 q = 三伊p 是膨上取值于材( ) 的1 一形式，则我们利用上的复结构举办解： = 或+ 口：，其中和西分别是r 肘o f - n a ( c ”) 和r m 0 1 o e n d ( c ”) 中 的截面。根据文献【2 】，我们可得 引理1 2 i 嘲存在光滑映射伊：m 斗u ( ) 且是多重调和的当且仅当 百口：+ 【口j 西】= o 和a 西+ 【以人口：】= o ( 1 2 1 ) 容易验证 ( ) + = 以和( 西) 。= ( 1 2 2 ) 现令 口 = ( 1 一万1 ) 西+ ( 1 一a ) 西 ( 1 2 3 ) 其中且e c = c 、 o ) ，考虑线性方程组 西：比= ( 1 2 4 ) 其中呜：m g 互( ，c ) 光滑。根据( 1 2 3 ) ，( 1 2 4 ) 可改写成 a p = ( 1 一f 1 ) o 。以和否o = ( 1 一a ) m ( 1 2 5 ) 则( 1 2 1 ) 等价于( 1 2 5 ) 的可积条件。 根据文献【2 】【3 】，我们有 定理1 2 2 【2 1 3 1 若m 单连通，p m 是一个固定点，矿：m 专u ( 即是多重 调和的，则存在唯一的映射m ：c x m g l ( n ，c ) ，使得西。( 力= o ( 无p ) = 川i 满足m ：；j - 此时由( 1 2 2 ) 和( 1 2 5 ) ，我们可得a ( o 。( j ) ) = 承o 。嘭 j ) ) = o ，其中 口( 力= ( 乃一。这样o 。满足 。 m = m - 1 ( 1 2 6 ) 以上( 1 2 6 称为多重调和映射妒的实性条件。反之，我们有 定理1 2 3 若光滑映射母：c + x m - - g l ( n ，c ) 满足实性条件( 1 2 6 ) 且 6 第一章到酉群的多重调和映射 中j 胜= ( 1 - ) + ( 1 一a ) 。，其中。，。与a 无关，则。一i ：m _ u ( ) 满足 ( 1 2 1 ) ，即钆是到酉群u ( ) 的多重调和映射。 证明：根据文献( 2 】可知m 一。是多重调和的，又o _ 满足实性条件( 1 2 6 ) 且 盯( 一1 ) = 一1 ，所以西：l = o ：，即。一。是到酉群【，( 奶的多重调和映射。 事实上，若：满足( 1 2 6 ) ，则对于任意的a ，有口( = ( 乃一= a ，故 此时j ( p ) e ( ，( ) 。 我们称以上的中：c m 斗g l ( n ，c ) 为多重调和映射矿的扩张解。由于o j 关于五全纯，故可展开为 。= 疋铲 口t 其中瓦：肘( 2 c ) 。若o 。还满足实性条件( 1 2 6 ) ，则此刻实性条件等价 于 o - l = 艺矿 1 3 扩张u n i t o n 上的d r e s s i n g 作用和b a c k l u n d 变换 ( 1 2 7 ) 由于固定p e m ，似a ，p ) 是关于a 的全纯映射，因此类似文献 1 ，我们可 以讨论有理l o o p 群在多重调和映射上的作用。 设a 。g = ，i ，：c uc l “斗g 是全纯映射 ，其中= 研l l 五i - 占 且 g = g l ( n ，c ) ， a 。+ g = ，l ，在 2 峰及l ，g q 足烽佃上全纯 ，并简记为x 一， m - g = ，1 ，在占嗣2 1 1 ) 维的高维复流形，在构造旗因子的时候可能会产生奇 点集，因此我们设叩是由线性映射t o 的核丛丝编= m x k e r t o 所诱导的在 m = m 、s 上的全纯子丛，其中s 是一个肘i - i 抟d i m c s m 一2 的解析子集。设 是到全纯子丛叩上的丛投影，根据文献 2 我们有 引理1 4 4 嘲映射面4 = z 一1 叱( + 五砖) ：m - - + g l ( n ，c ) c ) 是定义 于膨上的满足实性条件( 1 2 。6 ) 的扩张解，且i 玩具有l a u r c n t 展式 ( 1 4 2 ) 第一章到酉群的多重调和映射 其中五c ，爰= 瓦+ l + 互砖( 0 ；- - 0 ，n i ) r 有r o ( 西) = c ”。进一步还可知， 在肘上任何一个稠密开子集上的点有m 威磊 r a n k t o 。 通过以上引理1 4 4 我们可知，由n i | i l i t o n 舻可以得到一个新的多重调和映 射多= 西一l ：肘一u ( ) ，且其极小u n i t o n 数m ( 痧) 不大于n - 1 。不断重复以上过 程，我们可得到_ 多重调和映射序列，设为“= 尹，“) = 庐，矿”，”， 伊o ) - - a e ，( ) 。由于在重复的每一步过程中都会产生奇点集，因此不妨假设s 是所有这些奇点集的并集。总结以上，由文献 2 我们可得 定理1 4 5 f 2 1 设是一个雕维单连通紧致复流形。矿：膨- - u o v ) 是一个 多重调和映射，则妒在m 、s 上具有唯一分解 伊= 口( 乃一7 r 产) ( 乃一对) ( 一万 ) ( 1 4 3 ) 且巧一才：m 、s g ，( c ”) ( f = l ，n ) ，其中 ( 1 ) s 是m 中一个d 毗s s m 一2 的解析子集， ( 2 ) 每个映射矿= d ( 而一砰) 似一才) ：膨、s 斗u ( 柳o = l ，功是多重 调和的， ( 3 ) 每个以一开是“的旗因子， ( 4 ) 伊的极小u n i t o n 数m ( 矿) 满足m ( 妒) 胛 g i ( 2 n ，c ) ( 2 ) o i = ， ， ( 3 ) 西。= q 矿，其中q 戳 r ) 是常值矩阵 ( 4 ) 母。满足辛一实性条件( 2 1 6 ) 则称尹是一个辛n - u n i t o n ，相应的m 2 称为辛一扩张n - u n i t o n 。 令毋= 厂且且，满足八五) = p ( 动 ，鲥”= 所有辛一扩张n - u n i t o n ， 1 6 第二章到辛群的多重调和映射 刑= l 掰“一类似文献 1 4 ，我们有 定理2 2 2 设厂毋，则有d r e s s i n g 作用厂：刑4 寸9 , 1 ”，且存在唯一 r ：m - - - c b ，使得f m = 厂( a ) m 4 r i 。 i l e a l ：由文献 1 及第一章定理1 3 7n - j 知f 8 0 。= 厂( a ) 西。r 仍是个扩张 2 n - u n t o n 若吼是辛扩张n - u n i t o n ，则厂。西2 仍是个辛一扩张n - u n i t o n 当且仅 当 厂( 五) o z 心= ( 厂( 盯似) ) 叱( 。) 脚) = 厂p ( 丑) ) q ( 如( 舢) ( 2 2 1 ) 由于b i r k h o f f 分解，( 五) o 。= 0 1 ) 巧1 是唯一的，因此上式( 2 2 i ) 等价于 ( 句= ( 盯( 五) ) ，此外还有蜀= ( 心( 舢) 且置：肘一毋。 根据第一章我们称八丑) = 刀+ ( a 弦1 为月中最简因子，其中石是c ”上的 h 锄沁投影，乞( = 篙粼，球c 类似文献 4 中证明我们得到 引理2 2 - 3 f ( a ) s 哂当且仅当h 亏1 即六( a ) = l ，故口中无非平凡的最简因 子。 但是一般的，我们有 引理2 2 4 设而，码是c 州上的h c r m i t e 投影， ( 句= ( 万。+ 乞( a 讲乃+ 乞( 乃- 1 砖) ( 2 2 2 ) 则八五) 毋当且仅当砖= ( 砰乃) 。 证明：因为厂( 五) 满足厂( 彩= 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 1 5 ) 可写成 否兀= ( 兄一瓦。) ，= ( 瓦一无+ 。) 西 ( 2 3 3 ) 其中口= | i l ，行+ 1 且t l 一2 = l i = 瓦“= 瓦+ 2 = 0 。 在文献 2 中我们知道，万是妒的旗因子当且仅当子丛丕在以下不变且互关 于复结构否+ 以全纯，进而铲是庐= 缈一矿) 的旗因子当且仅当子丛垂1 在西下 不变且关于复结构否+ 西全纯，其中嘞= 西+ 苗是由矿决定的膨上的卜形式 第二章到辛群的多重调和映射 引理2 3 2 己知伊：m _ u ( 2 n ) 是一个多重调和映射且具有扩张解 h 中j = 疋俨，又令p ：c 2 ”- * p s c 2 ”是一个h e r m i t e 投影。则互= 地巧p 是尹的 a = - k 旗因子且t = m 。+ 五一) 的u n i t o n 数不大于k + n 。特别地当地军p = 鱼巧对， 也是一个扩张( k + n - 1 ) - u i l i t o n 。 证明；从( 2 3 3 ) 我们可知a 瓦= 瓦及西= o ，因此有 飞q ：o 、& 孓：p = q 。a 乒：p = q 即垄= 地巧p 是关于复结构( c 2 ，石+ ) 的全纯子丛，且以：壅一o ，故万是伊的 旗因子。又因为互= 地巧p g 地巧冬逝乙，故西 = o 。+ 砌1 ) 具有展式 n + l 面。= 舻，因此毒。的u n i t o n 数不大于k + n 。特别地当女坠巧p = 鱼坠巧时， a k + l 互= 地巧，矿= k e r l ，因此瓦矿= o ，即面。是一个扩张( k + n 1 ) 耻l i t o n 。 类似文献【5 】中的方法我们有 引理2 3 3 设尹：膨专s p ( ) c u ( 2 n ) 是一个辛n _ u n i t o n 且具有辛扩张解 ， 0 2 = 乙，其 r a n k t 。= i 。则我们可以构造秩为2 一，( o r a n k t _ 。 证明；因为 由上可知 z 2 。= 。牙+ t + 2 彦1 = 。l + 。2 厅1 j l = 贮。，r 1 + l + l 石= 贮。+ 。+ 1 万 r a n k 碟l r a n k t - h + i r a n k t _ 月 又由( 2 3 2 ) 我们可得 h ( 。铲) = i m ( ：露) i i n 。 故，鲫七j - - 。( i ) “= r a n k 乇“。若r a n k t 。= r a n k 乇+ 1 = r a n k ( t 。+ l + l 石) ，则我们有 i r a ( t _ , “7 r ) gh n t _ n 。又由( 2 3 3 ) 可知 百r = 。口：，a 。= ( 乙一z - + 。) 口：，t _ n a j = o 由此可见! 塾正。既是全纯的又是反全纯的，故地。是c 2 。中的一个常子空间。因 为历