（基础数学专业论文）中立型时滞微分方程的振动理论.pdf

中文摘要 中立型时滞微分方程可以用来描述许多自然现象，在物理，生物，生态等诸多领域 有非常广泛的应用，许多现象都需要用中立型微分方程作为它们的数学模型，因而对中 立型时滞微分方程进行研究无论在理论上还是在实践中都有非常重要的意义而振动性 是中立型微分方程中重要的研究领域近年来，国内外许多学者对一阶，高阶，线性，非 线性，单时滞，多时滞中立型微分方程的振动性都做了深入的研究，也得到了许多很好 的结果本文分为两章主要讨论一阶和高阶中立型时滞微分方程的振动性 第一章分别考虑具有多时滞变系数一阶中立型微分方程 象一p ( t ) y ( t r ) 】+ 啦( t ) 可( t 一以) = 0 ，t t o ， ( 1 1 1 ) 和一类具有正负系数一阶中立型微分方程 丢一喇剪( t n ) 】却( 批一r ) 一q ( t ) y ( t 一= 0 ，t t o ( 1 圳 的振动性，分别得到了这两个方程所有解振动的一些充分条件，推广了相关文献中的相 关结论 第二章分别考虑带有分布型偏差变元的偶数阶非线性中立型微分方程 m ” 一 杀卵) + 萎荆卿刊 + z 巾忑f b ( “) 】) 排) = o ，t 狐 ( 2 - 1 1 ) 和带有振动系数的高阶中立型非线性强制微分方程 荔) ( t ) + a ( t ) 可( 兀( t ) ) + 毋( t ) 办( t ，y ( t ，乃( 剀= s ，t t o ， ( 2 2 1 ) 的振动性。分别得到了这两个方程所有解振动的一些充分条件，推广了相关文献中的相 关结论 关键词，中立型时滞微分方程；振动解；最终正解；变系数；分布型偏差变元 中图分类号t0 1 7 5 a b s t r a c t n e u t r a ld d a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo f t e nu t i l i 2 e dt od e s c r i b em a n yn a t u r a lp h p n o m e n am da p p l i e dt om a n yf i e l d ss u c h p h y s i c s b i o l o g y a n de c o l o 岛7 n e u t r a ld i f f e r e n - t i a le q u a t i o n sa r eu s e dt oa c t 勰t h e i rm a t h e m a t i c a lm o d e li nm a n yc a s es oi tks i g n i f i c a n t t oi n v t l g a t et h en e n t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o s h o w e v e r ，o s c i l l a t i o nb e h a v i o u ri s 8 0 l l l em a i nr e s e a r s hf i e l d si nn e u t r a ld i f f e r e n t i me q u a t i o n s r e c e n t l y ，m a a ys c h o l a r sa b - o r a ds t u d yt h eo s c i l l a t i o nb e h a v i o mf o rf i r s to r d e r ，h i g h 口o r d e r i h n e a r ，n o n l i n e a r ，o l l ed e - l a y , s e v e r a ld e l a y su e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sp a p e ri n c l u d e st w oc h a p t e r s w e m i d l yc o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o no ff i r s to r d e ra n dh i g h e ro r d e rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nt h ef i r s tc h a n p t e r w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o nb e h a v i o u io fs d l u t i o n sf o rf i r s to r d e r n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec a e t f i c i e n s 爰由( 封一f ( ) y p r ) 十啦o ) o 一以) = o ，t 如， ( 1 1 1 ) a n d 陋to r d e rn e u r a ld i f f e r e n t i a le q n a t i o nw i t np o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e a sr e = s p e c - t i v e l y 丢一喇p ( t r ) + p ( 蝴一r ) 一口( 愀一，) = o ，t 确， ( 1 2 1 ) s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o nb e h a v i o u ro fs o l u t i o n r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l y , w ee x t e n dr e s u l t si nt h ea o c i a t e dp a p e r ， i nt h es e c o n dc h a p t e r w sc o n s i d e rt h eo s c i f l a t i o nb e h a v i o u rf o r * b w e no r d e rn e u t r a l e q u a t i o n sw i t hd i s t r i b u t e dd e v i a t i n ga r g u m e n g t sr e s p e c t i v e l y 朋 m i b 象十萎锄( h ) 】+ 上巾怎如滔洲球) 0 例。， ( 2 1 1 ) a n dh i g h e so r d e rn e u t r a lt y p en o n l i n e a rf o r c e dd _ i f l ：e r e n t i a le q u a t i o nw i t ho s c i u a t i n gc o e f - 舭i e n t s 去p ( f ) m ) + 壹础) 如) 】+ 壹啪) 加以f ，q ( ) ) ) = 郇) ，h ( 2 2 1 ) 4=1somes u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o nb e h a v i o u ro fs o l u t i o n sa r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l y , w ee x t e n dr e s u l t si nt h ea s s o c i a t e dp a p e r k e y w o r d s ：n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；o s c i l l a t i o ns o l u t i o n ；e v e n t u a l l yp o s - r i v es o l u t i o n ；v a r i a b l ec o e 伍c i e n s ；d i s t r i b u t e dd e v i a t i n ga r g u m e n t s c l c ：0 1 7 5 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指 导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。 如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相 关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的 文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的成果。 学位2 0 辫0 黝砺7 年与月 l 日 一阶中立型时滞截分方程的振动性 第一章一阶中立型时滞微分方程的振动性 近年来，时滞微分方程受到许多国内外学者和专家的关注，并有不少专著出版，见 【1 - 2 例如i g y & ia n dg l a d 勰【1 】 l h e r b e ，q k o n ga n db g z h a n g 2 】分别在其专 著中系统地研究和总结了时滞微分方程的振动性特别的，对于一阶中立型方程的振动 性已经有了许多不同的充分性判据，参见文献p 1 5 j 本章第一节研究方程 云一p ( t ) ( 一r ) 】+ ) y o 一引= 0 ，南， ( 1 1 1 ) 许多学者如g y f i r ia n dl a d f 1 】，c x q i a na n dl a d a s 5 】等已经给出了当m = l 时方程 ( 1 1 1 ) 振动的充分性条件，而这些振动性结果是在假设7q 1 ( t ) a s = o o 的前提下成立 ，m j 幻 的本节将时滞多元，在假设f q t ( s ) c t s = o o 的前提下得到方程( 1 1 1 ) 振动的充 分性判据 本章第二节研究方程 j l 云一n ( 娜一n ) 】+ p ( 蝴一一一q ( t ) y ( t 一力= 0 ，t t o ， ( 1 2 1 ) 当f = 1 时，方程( 1 2 1 ) 的很多振动结果都需要如下的假设条件- 囟( s ) 一口( s r + 盯) 】d s = o 。， 或者 f 扫( s ) _ 如一丁+ 盯) 】唧已r p p ( 一咖一r + 矿) 】叫d s = 0 0 ， 这里p = m a x r l ，7 本节的主要目的是在不需要上述条件的情况下建立方程( 1 2 1 ) 振 动的新的充分性条件 l 1 具有多时滞变系数一阶中立型微分方程的振动性 在文【4 】中研究了方程 爰p ( p 加) 卵一r ) + 卵一伊) 娟t 岛， 的解的振动性，本节考虑 爰一p ( t ) f ( t r ) + 妻舔( t ) f ( t - 以) ：0 岛， ( 1 1 1 ) z 中立型时帚擞分方程的掘动理论 这里 b 舔c ( t o ，o o ) ，r + ) ，一以r + ，l = l ，2 ，m ( 1 1 2 ) 定义1 1 若方程( 1 1 1 ) 的一个解有任意大的零点，则称其为方程( 1 1 1 ) 的振动勰， 否则称为非振动鳃 定义1 2 若方程( 1 1 1 ) 的每个解都振动，则称方程( 1 1 1 ) 振动 为方便起见，在本节中，如无特殊说明，总假定关于函数的不等式都是指对充分大 的t 成立 在建立本节的主要结论之前，先给出以下引理 引理1 1 1 设( i ，l ，2 ) 成立，p ( t ) 1 ，且 f 静胁一 令u c t ) 是方程( 1 1 1 ) 的个最终正解，设 则最终有= ( ) 0 ，使得 p ( t 一以) q ( t ) r q t ( t 一一，t = 1 ，2 ，m ( 1 1 6 ) ( i ) 如果r 1 ，则方程( 1 1 1 ) 的所有解振动； ( i i ) 如果r 1 ，且下列条件之一成立t 志崆厂”砉如+ r ) 幽 i 1 ， ( 1 1 7 ) 高崆z 善如+ r 胁i ， ( l 1 7 ) ，件h 一口m 志曾j ( 若 ) d s “， ( l l 8 ) 其中盯= ，卿以 ，则方程( 1 1 ，1 ) 的所有解振动 1 l m 证明 反证法若方程( 1 1 1 ) 有个最终正解! ，( t ) ，设z ( t ) 如( 1 1 4 ) 式，则由引理 1 1 1 得2 ( t ) 1 ，由( 1 1 9 ) 式可得 邪一1 以m ) 一；姜绯刊础+ r 刊。 令叫( # ) = z ( t ) 一：1 z 传+ r ) ，易证埘他) o ，”( t ) o 对于任意正整数件，有 。( ) = w ( ) + 爵1 。( + r ) = 婶) + 嘉卜( ，) + 而1z ( t + 2 r ) = t t ，o ) + 杀( + 丁) + 志础+ 2 r ) = 埘( 茚+ 蕊1 叫( 蚪力+ 孬1 卸( t + 2 r ) + + 而1 ( t + n r ) + 赤z o + ( n + 1 ) r ) 0 ，自然数 1 = 1 ( i = 1 ，2 ，f ) ，和r t o ，满足t f n = ro = 1 ，2 ，f ) ，r ( r + 后r ) 1 ，七= o ，1 ，2 ， i = l 若( 是方程( 1 2 1 ) 的一个最终正解，且设 d 刈。卜；郇冶( t 咄) - 一帅如o 叫， ( 1 删 ，i i = 则一( t ) 0 ，z ( t ) 0 证明从方程( 1 2 1 ) ，我们有 ( e ) = 一 p ( 磅- q ( t 一1 - + 矿) 】，o 一，- ) 0 下证z ( t ) 0 否则z ( ) 0 ，那么存在丁t o ，和卢 0 ，满足tz ( t ) p 0 ，t z 因 此 卵) 0 先选取乃t 满足当5 咒时，鲈( 5 ) b + p 2 放当s 【丑，t 2 时，我们有 y ( s ) 0 ，自然数( i = 1 ，2 ，f ) ，和 t t o ，满足 ； = ro = 1 ，2 ，z ) ，忍( r + 后r ) l ，k = o ，1 ，2 ， 由文献f l l 】引理1 的证明过程，可以得出( r + 女7 - ) 一一o 。 一+ o o ) 这与y ( t ) 是最 终正解矛盾因此z ( t ) 0 引理得证 下面给出本节的主要结论 定理1 2 1假设条件( a 1 ) 成立，且 ( a 2 ) p ( t ) o ，g ( f ) o ，且1 罂蓼f 【p ( 曲一g p r + 口) 】 o ， ( a 3 ) 存在函致啦( t ) e ( t o ，+ 。o 】，r + ) ， = 1 ，2 ，2 ，对每个l 满足 r ( t - n 囟( ) 一9 0 一f + 】啦( t ) p p 一) 一g 一r + 矿一亿) ； ( 山) 存在芷连续函数日( t ) 满足q 璺蟛仁，日( s ) d s o 则方程( 1 2 1 ) 的切解都振动，如果存在z 当t t 时，下列任意个条件成立， ( i ) 驯i n 加f 。南瞎础网h 蛔( 入 。日( s ) d s ) + ； p ( t ) 一她一r + 盯) 】唧o 【，日( s ) 哟) 1 ； ( i i ) 。况i a 瑚f 南 窑邮) 一n ) 一雄一，+ 盯一训e x p 。耶) d s ) + p 州t 一下刊】e x po 即) d s ) ) 1 ； ( i i 钆i n f 南( 善酬善邮刊o ( 卜2 小e ( t - - t + o - - 列) + 一如) 叫t r + 圹一训 e x p o 。即) d s ) + p 叫卜r 刊 e x p o ，郧) 凼) ) 1 一阶中立型时滞徽分方程的据动性 证明 否则，着方程( 1 2 1 ) 有一个最终正解可( t ) ，设z ( t ) 如( 1 2 2 ) 式，则由引理 1 2 1 得z ( t ) 0 ，e c t ) 0 且z ( t ) 扩( 功，当t 噩t o 由方程( 1 2 1 ) ，条件( a 2 ) ，( a 3 ) ， 我们有 一函( t ) 一g o 一丁+ 矿) 】! ，0 一r ) l - p ( o q ( t 一7 - + 力 0 0 - f ) + n o r ) v c t - - t - - p i ) ) i = l l 一囟( t ) - q ( t - r + o r ) z ( t r ) 一囟( t ) 一q ( t - 7 + 口) 1 n ( t r ) ( t t - - r d ) t = l f 一【p ( 一g o r + 口) z 一种一啦 ) p ( t - n ) - q ( t - 一心) 】f o r n ) 1 = 1 l - p ( 0 - q ( t - z + 旷) 一一+ 啦( t ) o r ) ， i = l ( t ) 乏二a i ( t ) 一o - - r i ) 一囟9 ) 一q ( t 一7 i + 矿) 】z 一，- ) ( 1 2 5 ) l = 1 则a ( t ) 0 由( 1 2 5 ) 式可以诱导出 椰坝”妻啦( t 州卜以) 日( t 心) e x p ( 【。冲) 日( s ) 如) 也垆a ( t - z + a ) e x p ( 仁，) 日( s ) 幽) 【p 一g ( t - r + a ) e x p ( 仁，坤) 酢) d s ) ， ( i ) 从条件( i ) 知，存在个6 ( 0 ，1 ) 满足 s 。；畴。南 喜础埘t n ，唧o 。耶) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) + 页1 p - q ( t r 刊】e x p o 仁，踯) 幽) ) 1 ( 1 2 8 ) 另一方面，由( a 2 ) 和( 1 2 7 ) 式，我们有 1 妲擎，a ( s ) 日( s ) 幽 0 则( 1 2 9 ) 式与( 1 2 8 ) 式矛盾 ( i i ) 由( 1 2 6 ) 式知遭a ( t ) - c t ) p ( t ) 一口o r + 盯) ，则代入( 1 2 6 ) 式，有 砟网力若郇) p ( t n ) 一口( t - - r - l - a - - r i ) 】e x p ( i ：。郴旧s ) 哟 + 【p 刊t r 刊 唧( 仁，冰) 即) d ：) ( 1 2 1 0 ) ( i i i ) 由( 1 2 1 0 ) 式，有a ( t ) 日( t ) 壹。b 。) 囟。一r t ) 一口 一，+ 仃一r ) 】+ p ( t ) 一口( t - t + q ) ， = i 则代入( 1 2 6 ) 式，有 a ( t ) 日( t ) 圭皿( f ) 圭啦。一n ) ( p 一2 n ) 一g ( t 一丁+ 盯一2 n ) ) + 一r ) 一q ( t - r + a - n ) ) e x p ( 仁。郴) 耶) d s ) ( 1 2 1 1 ) + p ( t ) 一g ( t - ，- + a ) e x p ( ，) 耶) d s ) 类似于( i ) 的证明，如果条件( i i ) 满足，从( 1 2 1 0 ) 式可以完成证明；如果条件( i i i ) 满 足，从( 1 2 1 1 ) 式可以完成证明定理得证 由于矿，且矿 i ，z 0 ，我们从定理1 2 1 得到下面推论 推论1 2 1 假设条件( a t ) 一( 凡) 成立，且 嘲赤 妻础) 日沪小棚h ( t m ) 仁，耶) 如) l ， 则方程( 1 2 1 ) 的所有解都振动 定理1 2 2 假设条件( a t ) 一( ) 成立，且 ( a 5 ) 令k o ) = t n ，p ( t ) = t tt t o ，l = 1 ，2 ，f ， 则方程( 1 2 i ) 的切解都振动，如果存在z 当t t 时，下列任意一个条件成立t i n 瑚f 赤 圭i = 1 哟，而筹害煮等苦圭号岛日c 硝，唧o 。，日c s ) 幽) + ；) 刊搀) 刊 e x po 厶，耶) 出) ) l ； ( i i ) i n f ，。南 妾蝴啦) - q 讣叫唧o h 如) 也旷m ) ；叫e x p o e ) 耶) 6 f s ) ) 1 1 0 中立型时滞微分方程的振动理论 证明否则，看方程( 1 2 1 ) 有一个最终止解9 ( 扎荚似于足理1 2 1 朗让明辽槿， 可以推导出 z 船) 妻榔) ) 燕耘甏祭以州啪叫旷如扣小m 啪 ( 1 2 1 2 ) 令 砸) 刖一鬻，t 丑， 则a ( t ) 0 ，且由( 1 2 ，1 2 ) 式可以推导出 砟妻础) ) 赢精甏游糍娜瓣悯f j 厂h d t ) 郴删d s ) + p ( o - 口( + 剜e x p ( 厶) 踯) 如) ， ( l 2 1 3 ) 囟( 力一批) + 口) 】e x p ( 厶a ( s ) 置( 8 ) 幽) ， ( 1 2 1 4 ) 从( 1 2 1 4 ) 式，有a ( t ) h ( t ) p ( t ) 一q ( g ( t ) 4 - 驴) ，代入( 1 2 1 3 ) 式，有 酢善懈批) 叫北m ) 唧( z 。( t ) 狮删如) + p ( t ) 一舭) + 盯) 唧( 厶a ( s ) 日( j ) 哟。( 1 0 2 1 5 ) 类似于定理1 2 1 的证明，如果条件( i ) 满足，从( 1 2 1 3 ) 式可以完成证明；如果条件( i i ) t l i , t t ，从( 1 2 1 5 ) 式可以完成证明定理得证 类似于推论1 2 1 ，我们从定理1 2 2 得到下i l i t f i 仓 t t i 仓1 2 2 假设条件( a 1 ) 一( a 5 ) 成立。且 螂南 喜雠，赢缟程特眦， + e 【p ( 。) 一g ( 9 ( 。) + j ) 】z ( ) 日( 8 ) 出) 1 ， 则方程( 1 2 1 ) 的所有解都振动 注本节得到的两个充分性条件以及两个充分性推论是对文【9 】中研究的方程的简 单推广t 文【9 】中方程( 1 2 1 ) 的振动结果都需要如下的假设条件， f 【p ( 3 ) 一。( s - r + o ) 唧以p p 叫岬+ 叫d 川幽一一2 一n 以， 这是个充分条件本节在不需要上述条件的情况下建立方程( 1 2 1 ) 振动的新的充分性 条件同时，本节对文【l o 进行了改进t 文【1 0 l 中当l = 2 时给定的系数都是正的，而 本节研究的方程既有正系数。也有负系数 高阶中立型时滞微分方程的振动性 第二章高阶中立型时滞微分方程的振动性 高阶中立型微分方程解的振动性已经受到许多专家和学者的关注，见文【：62 7 1 2 1 带有分布型偏差变元的偶数阶非线性中立型微分方程的振动性 在文【1 6 】中，研究了方程 ，机，6 券+ 4 t ) y ( t - + 弛，l q ( t ，剑) 曲( f ) = 0 ，t 独， 本节考虑形式更一般的方程 _ d 三i 口( t ) 掣( t ) + 乏二c , ( t ) y ( t - 矗) + i ( t ，矿睁( t ，) 】) d 矿健) = 0 ，t t o ，( 2 1 t 1 ) 一 i = i 。 本节总假定t ( i ) 珏是偶数，口( t ) c ( 【t o ，) ，l p ) ，c l ( t ) g ( ，o o ) ，r ) ，矗 0 ，i ；1 ，2 ，m ； ( i i ) f ( t ，己y ) c ( t o ，) 【口，6 】xr ，r ) ； ( i i i ) g ( t ， ) c ( t o ，o 。) k6 】，r ) ，g ( t ，f ) g ( t ，f ) 分别对变量t 和f 是不减的；并 且1 i m 斌9 ( ，f ) = o o ，f 【口，6 】； ( i v ) 盯( f ) ( a ，6 i ，r ) 是不减的 引理2 1 1 设( t ) g ”( ，o o ) ，皿+ ) 如果对充分大的t ，在任意区间陋l ，+ o 。) ， g ( “) ( ) 是最终定号的，t l 岛，则存在一个乞t o 和整数t ( o z 哟，当暑，( t ) 0 时 ，l + 2 为偶数；或者当暑，( “( t ) 0 时r i + f 为奇数，满足对任意t 岛时， z 0 时，( ) ( ) 0 ，k = 0 ，1 ，f 一1 ； f n 一1 时，( 一1 ) 件七3 ，( 专0 ) 0 ，k = f ，1 + 1 ，；一1 下面给出本节的主要结论 情形i 口( t ) 1 ，0 q ( t ) 1 ，其中任意c i ( t ) o ，i = l ，2 ，m 定理2 1 1 设存在最终不为零的q ( t ， ) g ( 陋o ，o o ) 【a ，q ，r + ) 和f ( ! ，) c ( 噩，嘲 满足 f ( t ，y ) s g n y q ( t ，) f ( 9 ) s 夕删， 掣独可 o ， 其中a 是常数，如果 f z 6 端 一壹i = 1 龇钏出一 则方程( 2 1 1 ) 所有解振动 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 1 2 中立型时滞徽分方程曲振动理论 证明 设y ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个最终正解。由( i i i ) 存在一个t 1 t o 满足当 t t l ，f i a ，6 】，有y ( t 一疋) 0 ，y b ( t ，) 】 0 ，i = 1 ，2 ，m 设 m z ( t ) = n ( t ) 口( t ) + q ( t ) y c t - n ) ， ( 2 1 5 ) i = 1 从( 2 1 5 ) 有弘b ( 钏= 型丛生塑二至鎏凿警矗堕必，故从( z 1 1 ) - ( 2 1 3 ) ， 有 0 = ：( “( t ) + ( t ，y q ( t ，钏) d f ( ) 。 2 ( “( t ) + q ( ，f ) f 白囟( t ， ) i ) d 口幢) 别+ a z 6 揣 龇钏一喜龇钏栅舟h 帆) 由0 q ( t ) 1 和q ( t ，f ) 的假设，有z ( t ) o ，z ( n ( t ) o ，t t 1 ，并且z ( n ( t ) 最终 不为零，由引理2 1 1 ，存在一个t 2 t l 和一个奇数z ( o 0 ，t t 2 ( 2 1 6 ) 由( 2 1 6 ) 和z ( t ) y ( t ) ，有4 q ( t ，f ) 】 。b ( t ，f ) 一n 】y ! q ( t ，f ) 一矗】，l = 1 ，2 ，m 因 此 批m z 6 若鹣 1 一娄龇钏m 北。 ( 2 l 7 ) 存在如t 2 ，满足z ( t 3 ) 0 ，由( i i ) ，存在个充分大的t 满足a ( t ，f ) t 3 ，t 正【n ，6 】 因此，由于一( z ) 0 ，有2 夕( t ，f ) 。( 3 ) ，t e f 【a ，6 】从( 2 1 7 ) 有 沁m 柏) z 6 老褊 1 - 砉曲 酬。， 上式两端从t 到t ( t 积分，有 少叫d “协捌如) f z 6 老湍 1 _ 喜曲( s 钏眠 令t o 。，由( 2 1 4 ) 得到z 加一1 ) ( t ) 一一o o ，这与( 2 1 6 ) 矛盾 如果( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个最终负解，令茹( t ) = 一可( t ) ，则。( t ) 是方程 杀+ 喜妣( h ) + z 6 他和【g 化钏) 姚) _ o ，狐( 2 1 1 ) 高阶中立型时滞教分方程的振动性 的个最终正解这里，( f ，f ，z l q ( t ，钏) i 一，( ，f ，一正b ( t ，) 】) 从( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 有 ，。( t ， ，z b ( t ，f ) j ) 兰- ( t ，f ，- z l q ( t ，f ) 】) q ( t ，f ) ( 一f ( 一z k ( c ，f ) 】) ) q ( t ，f ) f ( x l q ( t ，f ) 】) 则方程( 2 1 1 ) 满足定理2 1 1 的条件，利用上面的方法可以得到矛盾定理得证 定理2 1 2 设( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 成立，9 ( t ，对t 存在连续偏导数若存在妒( t ) c 7 ( 肛o ，o o ) ，r + ) 和常数m 0 ，其中i p ( t ) 对变量t 是单调递增的满足 f ) f 糕神一喜比( s ，钏酬沪眦) 卜o o ( 2 ) 则方程( 2 1 1 ) 所有解振动 证明设p ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的个最终正解，与定理2 1 1 的证明相同，存在亡2 t l 满足( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 由( i i i ) 有9 ( t ，a ) g ( t ，毒) ，t 如，f b ，6 】由于z ( t ) 是递增和 ( 2 1 7 ) ，有 批m 出酬z 6 老溉 - 一妻i 龇钏】删 = 1 令钳( = 帮，则叫o ) 。由z ( 力0 g ( t ，9 t 有z 加一”o ) 一( t ) = 帮+ 鼍端一竺垡丝：! = 二笔轰掣 冬颐；忑十可丽 瑞鬻瑚) z 6 糕 1 - 喜龇钏眦) ， 这里t 满足t 如和函( t ，o ) j 0 ，t t 令m = 。协_ 1 ( 即洳( z o ) 】 0 ，则 邶) 洲z 6 耥 1 - 妻龇f 卅m 巩- ：- 1 ) l i a r ( 上式两端从t 到t ( t 积分，有 球( d f z 6 耥 1 - 喜龇钏绯m 删氓 令t o 。，由( 2 1 8 ) 得到z 一一o o ，这与。( t ) 0 矛盾 如果y 是方程( 2 1 1 ) 自譬个最终负解，类似于定理2 1 1 的证明过程定理得证 情形i i 口( t ) 1 ，一l q ) 0 ，其中任意c i ( t ) o ，i = 1 ，2 ，m 定理2 1 3 设( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 成立，如果 f 小蚓幽= 。o ( 2 1 9 ) 1 4 中立型时滞微分方程的振动理论 则方程( 2 1 1 ) 的一切无界解振动 证明 设可( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个最终正的无界解，由( i i i ) ，存在一个t l t o 满 足当t t l ，f 陋，6 j ，有 一正) 0 ，y l q ( t ， ) 】 0 ，i = l ，2 ，m 令z ( t ) 如( 2 1 5 ) ，由 n ( t ) 1 ，- 1 c ( t ) 0 ，有z ( ) f ( t ) 。则 t 一一一 0 = 。( t ) - i - ，( t ，出( t ，f ) ) d 矿( ) 。扣o ) - i - q ( ，f ) f 白b ( t ，f ) 】) d 一代) j 4 ，bj 4 r 6 。伽( t ) + a q ( t ，) y l q ( t ，f ) 】d 盯( f ) z 加( t ) + a q ，f ) z 曲( t ，f ) 】a b ( f ) ， 能够推出2 ( 幻0 ，否则z ( t ) 0 ，则 a ( ) 可( t ) 一q ( t ) ”( 一以) 0 由( i i i ) 存在t 3 t 2 满足9 ( t ，f ) 正t t a ，f a ，6 】利用z ( t ) 是递增的，t t s ，有4 q ( t ， ) 】。( t ) ，t t 3 ，f 陋，6 】，因此 ，b z ( t ) 一入z ( t ) fq ( t ，) d d ( ) ， ，4 上式两端从t 3 到t ( t t 3 ) 积分，有 r t ，b z ( n - 1 ( ) z 协一1 ( t 3 ) 一a 2 ( q ( s ，f ) d 盯( f ) 出， j r 3j 口 令t o o ，由( 2 1 9 ) 得到一n - 1 ( t ) 一一，这与z 加- 1 ) ( ) 0 矛盾 如果9 ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个最终负的无界解，类似于定理2 1 1 的证明过程定 理得证 注 当一f ( 一掣) f 0 ) 细对所有 0 成立时，有华a 对所有y 0 成 立，但反之不然故当口( t ) 三l ，m = 1 ，就改进了文【1 6 】中的定理1 ，推广了其他结论 因此。本节的方程更具一般性，适用范围更广 2 2 带有振动系数的高阶中立型非线性强制微分方程的振动性 在文【1 8 l 中，研究j - 方程 瞄o ) + p ( t ) y ( r o ) ) n + 皿( t ) 五p ( 以( ) ) ) = s ( t ) ，t t o ， 的振动性，本节考虑形式更一般的方程 杀- ( ) 们) + 壹绯泓坤) ) 】+ 壹o 烈q ) ) ：s ( 饥t ( 2 2 1 ) 一 = lj = 1 高阶中立型时滞徽分方程的振动性 本节中总假定： ( i ) a ( t ) c ( t o ，o 。) ，r 寸) 且为不减函数； ( i i ) v , c t ) ，s ( t ) c ( t o ，o o ) ，r + ) 是振动函数，t =