（基础数学专业论文）散度型椭圆方程解的正则性问题.pdf

摘要 摘要 本文主要研究两类散度型椭圆方程解的正则性问题。一类是右端函数属 于w 一，( p 一( q ) 的解的正则性估计，另一类是右端函数属于m ( n ) 的正则性估 计。全文共分为三章。 第一章是绪论部分，主要介绍关于此类问题的几个经典结果，并指出本文 主要研究的方程系数要满足的条件。并就存在的结果提出将要解决的问题。 第二章主要研究了右端函数属于w - a ( p 一) ( n ) 的d i r i c h l e t 问题。在这一章 中，我们采用h o d g e 分解的方法，得出如下的结论：存在常数6 0 = 6 0 ( m ) o ，使得：当os e o ，只g 三( p 一5 ) 。( q ，r ) 时，下j 盔_ d i r i c h l e t l h 题： ：安v = 击”f 篓苫q 牟口 忙刊幻e ：譬q 都存在唯一解且满足关系式： “ ”1 1 w s ( n ) c l l f a l l 意。九n ，r 。) 与s 无关) 第三章主要研究了右端函数属于m ( q ) 的方程的解的情况，但只针对二维空 间和p = 2 给出了解的正则性估计。即：下述d 试c h l d 问题： 牌卜“：苫n 存在解u 埘2 ( q ) 且满足关系式 札岫，2 ) ( n ) 曼c n ) 关键词：日d 由e 分解w 0 0 1 , 2 ) 空间，弼”空问，下则性估计。 一 垒! 璺竺! a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st w or e g u l a rp r o b l e m so nt h es o l u t i o n so ft h ee l l i p t i ce q u a t i o n si nd i v e r g e n c ef o r m o n ei sa b o u tt h ee q u a t i o n sw i t h 打曲th a n ds i d ei n w 。【9 。) ( q ) ，t h eo t h e ri sc o n c e r n i n gw i t ht h ed i r i c h l t t sp r o b l e mi n v o l v i n gm e a s u r e d a t a t h ep a p e rc o n s i s t so f t h r e ec h a p t e r s t h e f i r s ! c h a p t e rm a i n l yr e c a l l st h ec l a s s i c a lr e s u l t sa b o u tt h i sk i n do fe q u a t i o n s ，a n dp o i n t so u tw h i c hc o n d i t i o n st h ec o e f f i c i e n t sn e e ds a t i s r yi nt h i sp a p e l o nt h ee x i s t ， i n gr e s u l t sw es h o wt h en e wb e i n gs o l v e dp r o b l e m s t h es e c o n dc h a p t e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h ed i r i c h l d t ，sp r o b l e mw i t hn # t h a n d s i d ei nw 。1 9 。( q ) i nt h i sc h a p t e r , av e r yg o o dr e g u l a re s t i m a t ei sg i v e nb yh o d g e d e c o m p o s i t i o n i no t h e rw o r d s ：t h e r ee x i s t sc o = e o ( m ) 0 , s u c ht h a tf o r0 s o a n df ，g l ( v 1 ) ( q ，r ) ，e a c ho f t h et w o p r o b l e m s ： h a sau n i q u es o l u t i o na n d ： u d i v ：a 。( x ，v u = d 抛只i 。n nz n i nq o n 挑2 “一”8 w e 【n ) 9 8 ，一g 8 l 芦( p - 】，( n ，r 。) ( c 与抚关) t h et h i r dc h a p t e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h ed i r i c h l d t sp r o b l e mi n v o l v i n gm e a s u r e d a t a b u to n l yi nt w od i m e n s i o n sa n do nt h ec a s ep = 2 ，t h er e g u l a re s t i m a t ef o rs o l u t i o n s i sg i v e n i no t h e rw o r d s ，t h ef o l l o w i n gd i l i c h l 6 t sp r o b l e m ： 。d i v 地a ( x ，砜卜“晰i n 苫q g d l v 嘶扎 d ，il，c、【 a b s t r a c t h a sas o l u t i o n “w ，o o l , 2 ) ( q ) a f l d 埘( 2 ) sc q ) k e yw o r d s ：h o d g ed e c o m p o s i t i o n ，w r r 0 0 1 , 2 ) ( q ) s p a c e ，嘲1 ”( 哟s p a c e ，r e g u l a re s t i m a t e s u i 第一章绪论 第一章绪论 近年来，许多人在椭圆型方程解的存在唯一性及其解的i f 则性估计 方面做了大量的工作，通过对系数的限制和对解的重新定义，他们给出 了大量的文章，如关于带有b 肘( ) 或者v m 0 系数的椭圆型方程可以参考文 献 2 】， 6 】，【7 】， 9 】，【1 8 】， 2 2 等。在解的定义方面：文献【1 和【5 中提到了所 谓的e n t r o p y 解；文献 2 0 仲提到了所谓的r e n o r m a l i z e d 解；本文中采用的是一般 的用试验函数来定义的解，在有些文章中也被称为弱解或很弱解。 本文受文献【3 】和u 2 】的启发，进一步考察下述d i r i c h l e t 问题： ，v u ) = 。，i n n r ” 0oa n 射而且满足下面的( 1 2 ) 和( 1 3 ) 。 对任意的f r 是可测的 对几乎处处的x q 是连续的 存在常数m 1 ，p 1 ，对几乎处处的。q ，和任意的f ，r l r n ，有 ii n ( z ，) 一n ( z ，q ) i m i 一即i 一一1 ( 1 3 ) 击i 一卵i ， io ( z ，0 ) = 0 下文中的ncr n 默认为r n 中带有一定光滑条件的有界开集( 如g 1 边 界) 。m ( f 1 ) 表示q 上的有限测度的集合。 对，m ( q ) ，札被称为问题( 1 i ) 的解，如果满足： ( 1 4 ) f “蝴”( q ) ， 、矗n ( z ，v u ) v v d x v v c 铲( n ) | | 映 9 0 成u 个 是 1 1 l 胪 z m j f ，1 0 ， ) 2 q 姐 批里这 第一章绪论 若，w - i , 一( q ) ，文献【1 9 中已经给出问题( 1 ，1 ) 存在唯一解乱满足 s ， 蒹孑舞一 0 ，p ( 2 一嘉，】，使得：对任意r v ，吲 m ，都有 n ( z ，f ) f n f f p ，日( z ，0 ) = 0 ( 2 ) 存在函数6 ( z ) p ( q ) ，= 击，k 20 ，使得：对几乎处处的z n ，任意的 r ，都有：l a ( x ，) 1 墨k ( b ( ) + l 1 9 1 ) ( 3 ) 存在常数s 之0 ，1 ( s 一1 ) ( ( 一1 ) ) 1 ) ，k 0 ，及函数d ( x ) l 1 ( q ) 使得：( n ( z ，) 一a ( x ：q ) ) 悖一叼) ( 1 p ( z ， ，叩) ) 慷一卵1 8 ，对几乎处处的。q ， 任意的f ，r l r ，0 卢( z ，f ，町) ( 矗5 。( 3 7 ) + 吲+ 7 ) 成立 得到西个结果 昌：若，m ( n ) ，则问题( 1 1 ) 存在解扎喇9 ( q ) ，1 q 器( p 一1 ) 岛：对p n ，1 r o 卵。町2 利用与 3 】巾不同的方法得到f 面三个结果 s l ：若，m ( f 2 ) ，则问题( 1 1 ) 存在解嘣9 ( s 2 ) ，1sq 可= 丛n - 二1 卫 ：x 十2 一面1 p n ，若l 邝叼i ，l l 1 ( q ) ，则问题( 1 1 ) 存在解“哪4 ( q ) 其中：口= 可n ( v 丁1 ) 从文献 1 9 到文献【3 】和 4 】，关于散度型椭圆方程解的问题，解决的近 乎完美。在这一问题上想得到更好的结果，方法之一是把系数条件加强， 使方程的系数更特殊化，如参考文献【2 】，【6 】， 7 】， 9 】等，考察的就是带 有b m o 或者v m o 系数的椭圆型方程。方法之二是考虑对解的估计是否可以 更进一步，使得估计更精确，比如参考文献 1 0 】就是考虑的局部v m 0 解。 本文受到参考文献【3 和【1 2 】的启发，在条件( 1 2 ) 和( 1 _ 3 ) 下，考虑右端函数 在w o ，( p 一) f q ) 和m ( q ) 上的两个f 则性估计式。 1 - 2 预备知识 1 2 1 极大8 0 b o l e v 空间 在这一部分我们将介绍一个e l s o b o l e v 空间稍大一点的空l 日j ，在文献1 1 3 中 这个空间被命名为极大s o b o l e v 空间。首先我们回忆一下文献 1 4 d o s o b o l e v 空间 是如何定义的。 l ：设u l l 。( q ) ，q 是复指标，则 称为u 的n 阶弱导( 记u d 。“) ，如果 一3 一 解在薛 题 问则 鼎 驴 籽卷 =飞” 1 ， l q l ( f 1 ) ：，1 ( q ) ：州ll 口) l s 卵嘛! ，( 点l 卵一8 如) 去 o ，使得：当h 匈，fg l 2 一。( n ，r ) 时，在假设 ( 1 2 ) 和p = 2 时的假设( 1 3 ) 之下，下述d i r i c h l e t i b 题： 和 都存在唯一解且满足关系式 ( c 与无关) ，d i v a ( x ，v “) = d i 口p lu 哦，2 。( q ) ( 1 - 2 4 ) l u 一 l 喇。一c ( n ) c l i f g 8 弘一s 【n ，r ”) 5 g j j ”x v c ! i 地怫 ” d ，lij(1l 第一章绪论 定理1 2 5 ：对任意的，l 1 ( n ) ，存在，l “( “_ 1 ) ( n ) ，使得：d i v f f ，日 满足： ( 斋一s ) 上i f p d x c ( ) l q i 肛肌怕w i l f l l i , ) 任意1 墨s 0 ，使得：当ose g o ，e g l ( p e ) ( n ，r n ) 串t ，问题( 1 3 + 1 ) 和( 1 3 2 ) 都存在唯一解，且满足关系式： ( 1 3 3 ) 1 1 t , - v i i 喇，。( n ) c l i f a l l - l ；r ；_ 。) ，f n 纠、( a 与无关) 6 第一章绪论 定理b ：在假设( 1 2 ) 和p = 2 时的假设( 1 3 ) t ，下述d i r i c h l e t 问题 s 锄僻邓篓誓舻 存在解“m ( q ) 且满足 7 第二章右端函数属t w - 1 , ( p e ) 白f j d i r i c h l e t i h 题 第二章右端函数属于彬- 1 , 眵一) 的d i r i c h l e t 问题 在参考文献 1 9 】巾，作者主要是运用大量泛函分析方而的知识从映射的角 度来证明散度型椭圆方程解的存在与唯一性，虽然得出了解是存在的也是唯一 的结论，但对于解的具体估计式却是没有的，而且解的范围限于州p ( q ) 内。在 这一章里，我将引进参考文献【1 7 】中介绍的日o d g e 分解的理论，用这理论，我 们得到了关于右端函数属于w - 1 , ( p 叫( q 1 ( 0 e 5 0 ) 的d i r i c h l e t 问题的i f 则性 结果，并进一步证明了方程的解在叼9 。( q ) ，( 0 兰e 印) t 的存在唯一性。 本章共分为两节。2 1 节介绍了本章证明中的关键性理论一一日o d g e 分解的 稳定性理论。2 ，2 节给出定理a 的详细证明，把证明的思路分为三个步骤：第一 步，先假设解存在，利用h o d g e 分解证明估计式( 1 3 3 ) 成立；第二步，利用文 献 1 9 1 q b 的结果和估计式( 1 3 3 ) 证明解在w g 一。f n ) 中存在。第三步，利用得到 的估计式简单说明解的唯一性。 2 1 h o d g e 分解的稳定性理论 本节我们主要介绍在qc 剧7 上的h o d g e 分解理论。 令g = g ( z ，可) 是qcr 的g r e e n f f l 数，对于 c 铲( n ) ，积分 ( 2 1 )( z ) = c ( z ，y ) h ( y ) d y j f t x t p o i s s o n i t ：# 程a u = 的边界为o 的解。若 = d i v f ，f = ( f 1 ，f 2 ，f ) c 铲n 皿。：c 2 2 ，u c z ，：一( v 。c ( x ，可，f c ，d y()u ( z ) = 一v 。，可) f ( ) 所以有： ( 2 3 )v u ( z ) = 一v 。v y g ( z ，掣) f ( 9 ) d = ( k n f ) ( 。) 把疋n f 作为f 在梯度域上的j 下交投影，则尼n ：l 2 ( q ，r ) 一上2 ( n ，r ) 的连续性 是显然易证的。下面我们给出几个与之相关的记号和概念； 注记2 1 0 2 ：秒( n ，r ) 表示梯度算子v 札：g 铲( q ) 一( n ，彤。) ( 1 r o o ) 的 值域的闭包。 第二章右端函数属于w 。( pr ) 7 的d 打i c h l d 问题 注记2 1 0 1 3 ：若s 2 是光滑的，则瓦n 可连续的延拓到所有的p ( n ，r ) ，v u = k 2 f 可延拓到对f l ( q ，r ) ，给日d p o i s s o n 方程“= 的边界为o 的 解u ，v u 口( 【2 ，r ) ，1 r o o 。 注记2 】o 4 ：区域qcr ”称为是正则的，如果算子k n 在所有的口( f 2 ，r ) 上是 有界的。( 1 r 1 ，- 1 0 ( c - 与p ，q 无 关，只与q 有关) ，使得：l i f l l l 。( n ) c i i f l l ”( a ) 。 9 星三童鱼堂笪塑昼! 堡：! ! ：! 塑望! ! 堑! 生! 塑壁 证明：利用h 6 1 d e r 不等式， ，| | 。，= ( ( i ，l a d z ) j ( l i f i d z ) ；i n l 注意到：p q l ，则：0 冒= i 1 一i 1 1 。令g = m n 。 1 ，l a l ，我们得到 结论得证。 下面分三步证明定理a ： f i l l ，s 刚川l ，( o 】 证明：s t e p i ：假设问题( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 的解已经存在，下面我们来证明估计 式( 1 3 3 ) 成立。事实上：由定理2 1 1 ，对于乱一口w d 9 8 ( n ) ，0 e 1 ，存在妒 武氍( n ) ，h l 譬( q ，r 。) ，击曲：0 ，使得： ( 2 2 1 )i v u x t v i 一( v u v v ) = v 西+ h ( 2 2 2 ) i l h l l 篙兰c l e l l l w v v 1 一- 。e 则有： 。 上 ( 巾，v 旷f ) 一( n ( 印 ) 一g ) ，v ”如= o 将f 2 2 1 ) 4 a ，即z 1 0 ： d x j n f 如+ 上 出 + 上 出 1 0 第二章右端函数属丁- 1 ，( p e ) d i r i c h l e t i b 题 利用佰计工( ( 1 3 j 利引埋2 2 0 1 ) 5 h 6 1 d e r d 、寺瓦，开汪思到：【p - e j 【1 一j 0 ，使得：吲 0 ，所以p 一 p 7 ，对 任意f l ( v 。( n ，r ) c y ( q ，r 。) ，由参考文献 1 9 1 ，则：问题( 1 3 1 ) 存在 解u 喇。( n ) c 懈”5 ( q ) 。 s t e p 3 ：由估计式( 1 3 3 ) ，解的唯一性是显然的。事实上： 1 2 塑三童查端函数属于m ( n ) 的d z r i c h 晗涧题 第三章 右端函数属于m ( 2 ) 的d 打i c f e t 问题 3 1 引言 本章主要讨论二维空间罩的下述d i r i c h l e t 问题： 慨， d i v a ( x ，乳) = “。i n n 萧萨 对于该问题，我们用逼近的方法去研究。逼近的方法在数学中有着很广泛 的应用，总是把一个并不具备很好性质的函数或者空间通过好函数或好空 间去逼近，得到许多好的性质。所以首先我们将p 正则化为厶，进而通过 对d i r i c h l e t 问题： 。， 竺掣卜 。0 礼z 的解。删2 ( q ) 的讨论，再通过逼近，得到我们的结果。 文献【1 0 介绍了一种将p 正则化的方法，其实关于这种方法的详细情况还是 在文献 1 4 1 中。 在逼近的过程中，我们需要用到 v 札。) 的l 1 收敛性，这一问题的证明主要 受文献【3 的启发。 而关于问题( 3 2 ) 的解的情况已经在文献 1 2 】中做了详细的证明，我要做的主 要工作就是怎样通过逼近把 1 2 】中的结论推广到现在的情况。 3 - 2 测度的正则化 本节主要是通过文献 1 4 1 q b 介绍的正则化方法，利用磨光算子将一 个r a d o n 澳0 度磨光成一个曙函数，并通过一个命题证明了磨光后得到的函 数与原测度的关系。 设p m ( q ) ，令口c 铲( 蜀( o ) ) ，盯0 ，r “a ( z ) d z = 1 ，q ( z ) = j n o ( j z ) ，称这样的函数盯为软化子或磨光算子，它的一个典型例子是由下 翌三童查塑堕塑旦至丝( 型盟旦! ：堑! 堡! 哩望 式给出的函数口： 巾，= 印赫蓦： 其中c 选得使厶”o ( z ) d z = 1 。则p 的正则化由下面的积分给出： 厶( z ) = 上o a 。一”) d “( ) 其中假定j 1 d i s t ( x ，a q ) 。显然，如果j 1 d i s t ( x ，a q ) ，则对任何的q c c n ，f j c 铲( q ) ，且具有下面的性质。 前越3 2 1 ：止恤) 仕，仲思义r 仪驭到p p j ，且伺：i i 乃i l l l ( q ) s l 圳。 证明：对任意的妒g 伊( n ) ，首先我们要证： 上以( z ) 妒( 。) 如一上妒( 。) 中( z ) u o 。) 事实上： z 秀( 。) 妒( z ) 妇一o 妒( 。) 妇 = f 上上q 扣一，) 咖( 可) 妒( z ) 如一上妒( 们咖( 可) f = f 上上j 盯( j 扛一可) ) 咖( 可) 妒( z ) 出一上妒( 可) 舡( f ) l = lj ! ：盯c z ，妒e 可+ ；，d p e 可，d z 一：妒c 可) d p c 可，l 墨上上晔) l 幽+ ；) 刊洲州枷。 = 上上酬妒i 俐如 c 上；厶叱皿伽) 蔓三至鱼塑堕塑星王丝! 堕塑里! ! ! ! 型! ! 唑墼 g 型她。oo 。) j 具甲例裂弟一7 j 、，寺瓦科西利用j 甲f l a 定埋。 其次，对任何的q c cn ， 上，i h ( 圳如= 厶t z o - j ( z 刊州驯如 上二灿( m 刊) 删m ) 2 丘m 旷水：，上，灿汉一鲫删) 正艄厶，o - 捌， = 川( b ；( q ) ) 一( 一) 0 一o 。) 1 l 芳 l 1 ( n ，) l 弘l ( q 7 ) ( 其中：b ( “) 一 萝：d i s l ( y ，n ) ；) ) 最后，将“通过在q 外定义为0 延拓到整个r 上，则应用上述结果到r ， 我们就得到： fj 矗怯( n ) 川( n ) 诈毕 3 3 v u 。1 的l 1 收敛性 本节给出问题( 3 2 ) 的解的收敛性，即下面的定理3 3 3 。首先我们给出几个 本节需要的定理，具体证明请参考文献1 1 4 2 6 等。 定理3 3 1 ：( k o n d r a c h o v 紧性定理) ( 1 ) 若p 0 ，当 一o 。时，有 p ( z ：i ，t ；( z ) 一，( z ) l ) ) * 0 定理3 3 3 ：令u 。是问题( 3 2 ) 的解，厶是弘按n 3 2 节的正则化，且存在常 数e ( q ，m ，q ) 0 ，b 0 ，使得：l l u n0 嘛a c os 口 0 ， f e ，s 9 ( s ) = s ，一e 墨5 【叫 s ) 1 1 一； + ( 2 m b l n l ) i 1 e i l 1 7 篁三皇查塑堕垫壁! 丝! 竺! 盟旦! ! 三! 型壁凹墼 2 c l x n ：i 札。一u 。1 e l l - ；+ c 1 c ( 这罩：q = ( 2 m b l qj ) ；) 由定理3 - 3 2 和( 3 2 2 ) 式，则乱。是依测度的柯西列。( 参考文献 2 5 】) 存在n 。( e ) 。，使得：上i v 珏n v 乜m l 如曼a e ；+ e v u 。 是l 1 ( n ) 中的柯西列。设：v u 。一v u i n l 1 ( n ) 对g ) 1 1 一； l n l 。+ 2 c l z q ：l v 札。( z ) 一v 札( z ) 1 ) 1 1 一； v 妊。一v u i n l 1 ( q ) ， v 依测度收敛至l v u v u 。一v u i n l q ( f 1 ) ， 钍。 在蛾9 内准紧” 3 4 定理b 的证明 本节主要给出下述d i c h r i c h l e t l n 题 存在解的证明 ( 3 1 ) 窘：v 曲2 儿：苫毒譬 一1 8 一 nv ，厶 第三章右端函数属丁( q ) 的d i r i c h l e t 问题 证明：设，j ( z ) 足“( z ) 按照3 2 节的f 则化，根据定理1 2 2 ，存在( z ) w ，0 0 1 , 2 ) ( q ) 是 下述d i c h r i c h l e t 问题： ( 3 2 )d i 口。( z ，v “j ) 2 乃i n n 、 l 哟= 0 ， 矾2 的解。由定理1 2 3 和命题3 2 1 ，则有 u j l l w ：渤c l i 疗i i l ，( n ) sc 眺2 ) w o l , 2 ) a ) = 8 1 z p l _ q 2 ( 2 _ a ) bi v u ，即刁； 所以： e 任n n l q 2 ，i l v u j l l 加( n ) c ( 2 q ) 一；i p l ( q ) 由定理3 ，3 _ 3 的证明我们可以得到： 存在u 蛾，a ( q ) ，使得：一1 1 i n 螺1 。( q ) ( j o 。) ， i l w l l 驯c ( 2 一q ) 一i 1 ( g 与q 无关) ( ( 2 一a ) f a i v u l 9 如) i 曼g ( c 与a 无关) 在上式的两端对1 q 2 取上确界，n n n ：“啊2 ( q ) 而啦( z ) 嚼2 ( q ) 是问题( 3 | 2 ) 的解，所以我们有： 上n ( 坍嘞vq o d x = 上办岫却谨( n ) 在等式的两端，令j 一0 3 利用命题3 2 1 ，五( 茁) 在分布意义下收敛到p ( z ) 右端可以得到： 互出) 如( 。) 1 9 第三章右端函数属丁m ( q ) 的d i 7 i c h l e t l h 题 而左端利用定理3 ，3 3 及估计式( 1 2 ) 可以得到： 事实上：我们有 ，。( z ，v n ) v 妒妇 j n 盘( z ，v u j ) v 。g d x j n n v u ) v 妒d x j n 上l n ( x ，v u j ) 叫印“) i l v 妒t 如 曼m 1 v 嘶一v u j l v 妒1 如 j n 茎c l l v u j v , u i i l - f m 一0u 0 0 ) 上。( 茁，v 钍) v 妒如= 上妒咖( z ) v 妒曙( q ) 即：“嘲2 ( q ) 是问题( 3 1 ) 的解，而且满足： l 嚼( n ) c m ( r o 证毕。 注记3 4 0 9 ：定理b 中方程解的唯一性是保证不了的，详例见参考文献【2 4 ，右 端测度为d i r a c 钡1 度。 注记3 4 0 1 0 ：根据定理3 3 3 ，a ( x ，v “。) 一( z ，v u ) i n l 9 ( n )( 1 墨q 2 嘲r ( q ) j n 试验函数的范围更广了，得到的解就更好了。 2 0 参考文献 参考文献 【1 】pb 6 n i l a n ，lb o c c a r d o ，r g a r i e p y , m p i e r r ea n djl v f i z q u e q ，a nl 1 - t h e o r yo fe x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n so fn o n - l i n e a re l l i p t i cs o l u t i o n s a n n s c u o l an o r m s u pp i s af 2 2 ) ， 1 9 9 5 ，2 4 1 - 2 7 3 ， 【2 1m b m m a n t i ，l b r a n d o l i n e ，p - e s t i m a t e sf o rn o n v a r i a t i o n a lh y p o e l l i p t i co p e r a t o r sw i t hv m o c o e f f i c i e n t s t a n sa m e r m a t h s o c , 3 5 2 ( 2 ) ，2 0 0 0 ，7 8 1 - 8 2 2 【3 】l b o c c a r d o ，一g a l l o n e t ，n o n l i n e a re l l i p t i ca n dp a r a b o l i ce q u a t i o n si n v o l v i n gm e a s u r ed a t a f u n c t a n a l , 8 7 ，1 9 8 9 ，1 4 9 1 6 9 【4 】l b o c c a r d o ，tg a l l o n t ，n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hf i g h th a n ds i d em e a s u r e ，c o m m p a r t i a l d i f l e r t i a t e q u a t i o n , 1 7 0o r 力，1 9 9 2 ，6 4 1 6 5 5 ， 【5 】l b o c c a r d o ，tg a l l o u t ，l o r s i n a ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fe n t r o p ys o l u t i o n s f o rn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hm e a s u r ed a t a ，a n n a l e s 妇l t n s t i t n th e n r ip o i n c a r k , 1 3 ，1 9 9 6 ， 5 3 9 5 5 1 1 6 】m c a r o z z a ，g ，m o s c a r i e l f o ，a p a s s a r e l l id in a p o l i ，l i n n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hb m o c o e f f i c i e n t s a t t i a c c a d n a z l i n c e ir e n d 1 0 , 1 9 9 9 ，1 7 2 3 f 7 】g d i f a z i o ，l ve s t i m a t e sf o rd i v e r g e n c ef o r me l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hd i s c o n t i n u o u sc o e f f i c e n t s b o l l u n m a t i t a l a 7 ) 1 0 2 ) 1 9 9 6 4 0 9 - 4 2 0 8 1g d a tm a s o ，fm u r a t ，l o r s i n a ，a p r i g n e t ，r e n o r m a l i z e ds o l u t i o n so fe l l i p t i ce q u a t i o n s w i t hg e n e r a lm e a s u r ed a t a a n n s c u o l an o r ms u p p i s a , v o l x x v i l i , 1 9 9 9 ，7 4 1 - 8 0 8 f 9 】t d e l ，v e c c h i o ，n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hm e a s u r e d a t a ，p o t e n t i a la n a l , 41 9 9 5 ，1 8 5 2 0 3 【l o 】vf e r o n e ，n f u s s o ，v m os o l u t i o n so fn l a p l a c i a nw i t hm e a s u f ed a t a cr a c a d s c i p i s 。c 3 2 5 , s 6 r i e1 ，1 9 9 7 ，3 6 5 - 3 7 0 i t1 3m f u s c o ，pl l i o n s ，c s b o r d o n e ，s o b o l e vi m b e d d i n gt h e o r e m si nc a s e s p r o c - a m e r m a t h s o c1 2 4 , 1 9 9 6 ，5 6 1 5 6 5 1 1 2 1a f i o r e n z aa n dc s b o r d o n e ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t sf o rs o l u t i o n so fn o n l i n e a r e q u a t i o n w i t h f i g h t h a n ds i d e i n 工1 s t u m a t h 1 2 7 , 1 9 9 8 ，2 2 3 2 3 1 1 13 1l g r e e a ，t 1 w a n i e ea n dc s b o d o n e ，i n v e r t i n gt h ep - h a r m o n i co p e r a t o r m a n u s c r i p t am a t h 9 2 , 1 9 9 7 ，2 4 9 2 5 8 查重塞堂 1 1 4 1 d g i l b a r g a n d n s t m d i n g e r , e l l i p t i c p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f s e c o n d o r d e r s p i n g e r 1 9 8 3 1 5 1 一e w a n i e c ，p r o j e c t i o n s o n t o g r a d i e n t f i e l d s a n d l v - e s t i m a t e f o r d e g e n e r a t e de l l i p t i c o p e r a t o r s s t u d m a t h ，7 5 ，1 9 8 3 ，2 9 3 3 1 2 【1 6 】- 1 w a n i e c ，p - h a r m o n i c t e n s o r sa n d q u a s i r e g u l a r m a p p i n g s a n nm a t h , 1 3 6 ，1 9 9 2 ，5 8 4 6 5 5 f 1 7 】一1 w a n i e c ，c s b o r d o n e ，w e a km i n i m ao f v a r i a t i o n a li n t e g r a l s 上r e i n e a n g r v ”m a t h 4 5 3 1 9 9 4 ，1 4 3 1 6 i 【1 8 】 1 21 w a n i e c ，c s b o r d o n e ，r i e s zt r a n s f o r m sa n de l l ：i p t i cp d e sw i t hv m oc o e f f i c i e n t s ，a n a l m a t h ，7 4 ，1 9 9 8 ，1 8 3 - 2 1 2 【1 9 】j l e m ye t ，j l l i o n s ，q u e l q u e sr 6 s u l t a t sd ev i g i ks i l l l e sp m b l 6 m