（基础数学专业论文）几类展开的联系及其误差和函数.pdf

独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果，也不包含为获得江苏大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：前哞 1 一彳 必i f 幸爿，扣 几类展开的联系及其误差和函数 t h er e l a t i o n sa m o n go fs e v e r a le x p a n s i o n sa n dt h e i r e r r o r - s u mf u n c t i o n s 姓 2 0 11 年6 月 一个数有很多种表示方式，诸如我们非常熟悉的十进制展开、一 展开、连分数展开以及l i i r o t h 展开等。任意的数x 【o ，1 ) 都可以展开成上 述展开中的任一种。很久以前，人们已经很深入地研究了这些表示方 式。 本文主要研究了几类展开序列之间的联系，以及各类展开误差和 函数的一些性质，包括介值性定理、积分值和图的豪斯道夫维数。 第一章绪论中我们简单介绍本文的研究背景和意义。从数的性质 出发，阐述数的表示方式的意义。更进一步地，介绍数的表示理论与 分形之间的联系，同时给出豪斯道夫测度和维数的定义。 第二章主要介绍了数的几类展开形式，详细、完整地介绍几类展开 形式的迭代关系和展开方法。 第三章着重讨论任意两种展开形式之间的联系。这里我们主要讨论 无理数的展开形式，因为对于任意的有理数，展开序列是有限的，只 要使用迭代关系计算即可得到展开序列。而任意无理数的展开序列都 是无限的。 第四章给出各类展开的误差和函数的定义，介绍它的一些基本性 质，给出他们的介值性定理，计算他们的积分值并计算出其图的豪斯 道夫维数。 关键词：豪斯道夫维数，收敛因子，无理数，十进制展开，误差和函 数，展开序列 几类展开的联系及其误差和函数 an u m b e rh a sm a n yk i n d so f e x p r e s s i o n s ，s u c ha sw e a r ev e r yf a m i l i a rt od e c i m a l e x p a n s i o n ，p - e x p a n s i o n ，c o n t i n u e de x p a n s i o na n dl r o t he x p a n s i o n a r b i t r a r yn u m b e r x 【0 ，1 ) c a ns p r e a di n t oa n yt h ea b o v ee x p a n s i o n s al o n gt i m ea g o ，p e o p l eh a v ed e e p s t u d i e dt h e s ee x p r e s s i o n s t h i sp a p e rs t u d i e st h er e l a t i o n sa m o n go fs e v e r a le x p a n s i o ns e r i e s a n di n t r o d u c e s o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e i re r r o r - s u mf u n c t i o n s t h ei n t e r m e d i a t ev a l u et h e o r e m ， i n t e g r a lq u a n t i t ya n dh a u s d o r f fd i m e n s i o no fg r a p hf o rt h e ma r ea l s od e t e r m i n e d i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h i sp a p e r f r o mt h en a t u r eo fan u m b e r , i l l u s t r a t et h es i g n i f i c a n c eo ft h ee x p r e s s i o n so ft h en u m b e r f u r t h e rm o r e ，i n t r o d u c et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ee x p r e s s i o n so fan u m b e ra n df r a c t a l ， a n dg i v et h ed e f i n i t i o n so fh a u s d o r r fm e a s u r ea n dd i m e n s i o n i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yi n t r o d u c es e v e r a le x p a n s i o n so fan u m b e gd e t a i l e d i n t r o d u c ei t e r a t i v er e l a t i o n sa n de x p a n s i o nt e c h n i q u eo ft h e m i nc h a p t e r3 ，e m p h a s i z e st od i s c u s st h er e l a t i o n so fa n yt w oe x p a n s i o ns e r i e s h e r e ，w em a i n l yd i c u s st h ei r r a t i o n a lf o r mo fe x p a n s i o ns e r i e s b e c a u s ef o ra n yr a t i o n a l ， e x p a n s i o ns e r i e sa r ef i n i t e i fu s e di t e r a t i v er e l a t i o n s ，w ec a ng e tt h ee x p a n s i o ns e r i e s b u t ，t h ee x p a n s i o ns e r i e so fa n yi r r a t i o n a la r ei n f i n i t e i nc h a p t e r4 ，w ed e f i n et h ee r r o r - s u mf u n c t i o n so fa l lk i n d so fe x p a n s i o n s ， i n t r o d u c es o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e m ，g i v et h e f ti n t e r m e d i a t ev a l u et h e o r e m a n d t h e i ri n t e g r a lv a l u ea n dh a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h e i rg r a p h sa r ea l s od e t e r m i n e d k e yw o r d s ：h a u s d o r f fd i m e n s i o n ，c o n v e r g e n c ef a c t o r ，i r r a t i o n a ln u m b e r ，d e c i m a l e x p a n s i o n ，e r r o r - s u mf u n c t i o n ，e x p a n s i o ns e r i e s ! i i 几类展开的联系及其误差和函数 i v r。_-_-_-_。_-。1。 江苏大学硕士学位论文 目录 第一章绪论 1 1 1 研究背景及意义”1 1 2 豪斯道夫测度及其维数“1 第二章几类展开的介绍 4 2 1l i i r o t h 展开4 2 2 以p 为基的展开8 2 3 一展开9 2 4 连分数展开1 0 2 5 本章小结1 2 第三章几类展开之间的联系 3 1 无理数的l i i r o t h 展开序列和十进制展开序列- 1 3 3 2 无理数的连分数和十进制展开1 8 3 3 展开和连分数展开2 0 3 4 本章小结2 1 第四章几类展开的误差和函数 4 1l i i r o t h 展开的误差和函数2 2 4 2 交错项l i i r o t h 展开的误差和函数2 3 4 3 连分数展丌的误差和函数2 4 4 4 以p 为基展开的误差和函数2 6 4 5 展开的误差和函数3 1 4 6 本章小结3 3 结束语 参考文献 致谢 在校期间发表论文 3 4 3 5 3 7 3 8 v 江苏大学硕士学位论文 1 1研究背景及意义 第一章绪论 数的表示理论是数论中重要且热门的研究分支，早在十七、十八世纪的许多 大科学家都研究过诸如展开、l i i r o t h 展开和连分数展开等数的表示方法，任何 一种数的表示方法都可以反映出这个数的性质。例如，我们熟悉展开，它和一 个基数系统相对应，很好的体现了这个数与基数系统的相互作用。同时也能很好 的体现数的性质，即一个数是有理数和无理数只需看它的展开序列为何种形式。 再如，连分数展开则是从数的本身性质出发构建的一种表示方法。一个数是有理 数还是无理数只需看连分数表示是有限的还是无限的。另外，连分数可以在任意 小的误差下逼近所表示的数，并且可以知道，连分数的收敛因子是表示数的最佳 逼近。数学是最基础的一门学科，任何高深的理论，都离不开数学作为支架。而 数又是数学最基本的研究对象，也是在一切科学技术和社会领域必不可少的工具。 而分形又通常可以用数的表示理论中的术语来定义。例如，三分康托集是由o 和1 之间的，在以3 为底的展开式中，只包含数字0 和数字2 的数构成的。而我 们知道三分康托集的豪斯道夫维数为l o g ，2 。 1 2 豪斯道夫测度及其维数 豪斯道夫测度是分形几何中最基本的概念之一。豪斯道夫测度将传统几何( 例 如：e u c l i d 几何、r i e m a n n 几何) 中规则几何形体的长度、面积和体积的概念，以 及整数维空间q b l e b e s q u e $ i j 度的概念和计算方法推广到非整数维空间中。首先回顾 一下定义。 如果 u ， 为可数( 或有限) 个直径不超过万的集构成的覆盖f 的集类，即 f c u u ，且对每一个，都有0 | u ；i 0 ，定义 r 1 h j ( f ) = i i l f iu 片：妙，) 为f 的万一覆盖 ( 1 2 1 ) l i = ij 当万减小时，式( 1 2 1 ) 中能覆盖f 的集类是减少的，从而下确界r h j ( f ) 随着增 几类展开的联系及其误差和函数 加，且当万哼0 时趋于一个极限( 可能为有限，也可能为无穷) ，记 h 5 伊) = l h n h ；伊) ( 1 2 2 ) 对尺“中的任何子集f 这个极限都存在( 极限值可以是0 或0 0 ) ，我们称h 5 俨) 为f 的s 一维豪斯道夫测度。 根据维豪斯道夫测度的定义( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 可知，对于任意给定的集合e 和 0 艿 1 ，h j s ) 是s 的减函数，从而维豪斯道夫测度日5 但) 也是s 的减函数。进 一步证明可以得到结论：若ec r “，则存在唯一的一个实数s o 【o ，n 】，使得 h = 信酆当s 讲s o l , j ( 1 2 3 ) 图1 1 集e 的h5 但) 对j 的图h a u s d o r f f 维数d i m 爿但) 是使得从0 0 “跳跃”到0 发生的s 的数值 由此可知，h5 但) 关于s 的图( 图1 1 ) 表明，存在s 的一个临界点使得日5 陋) 从0 0 “跳跃 到0 这一临界值称为e 的维豪斯道夫维数，记为d i m h 但) 精确地 d i m ，但) = i n f s ：h 5 但) = o = s u p s ：h5 但) = o o ( 1 2 4 ) 当s = d i m he 时，即当s 取e 的h a u s d o r f f 维数时，e 的h a u s d o r f f i 贝l j 度h 5 但) 可以为零或者无穷或者满足： 0 h 5 但) | ，都有0 1 。定义一燹换易如卜： ( x ) = f l x ( m o d l ) 。 r e n y i 在文献【8 】中提到对于每一个z 【0 9 1 ) 都有一个一展开如下： z = 等+ 字+ 等一”】p ， 这里对于每个咒1 都有吃( 力= 玛俨1 ( x ) ，h a 口】表示不超过口的最大整数。注意 玑 0 一一枷，实弛因为z = 喜每善= 器，这罩的x 可放大 p 1 1 。这样我们记以：= 【0 ，器】。一般来说对于吃 ) 。，l ，【】 ，可能存在 o o k 几种诸如x = 号的展开形式。当是一个整数时，这就是上面所提到的以p 为 基的展开。 因为- 展开的展开式不一定唯一，下面我们来讨论一下，对于给定的z 【0 ，1 ) ， 展开的不同形式区别在哪里。为此我们先介绍几种展开，更详细的介绍可见参 考文献【9 】。在这之前，我们先定义序列的有限和无限以及两个数列大小的比较方 法。如果一个序列包含无穷多个非零元素，则称之为无限序列，否则则称为有限 序列。如果，l n ，对于f 刀，都有吼= b ，_ r a 。 吃，则我们记0 ，) ( 口。) ， 我们称之为字典排序。 g r e e d y 展开：对于任意的工山，它的- 展开的序列 ) 菩关于字典排序法是 最大的，则称序列 ) 譬是g r e e d y 序列，称z = 喜等是g r e e d y 展开。 q u a s i - g r e e d y 展开：对于任意的x o ，它的一展开的序列( q ) 。关于字 典排序法是最大无限的，则称序列( 口f ) 。是q u a s i - g r e e d y 序列，称z = 等是 - - 1 q u a s i g r e e d y 展开。显然这里应去掉0 ，因为0 不存在无限的展开。 9 几类展开的联系及其误差和函数 另外，我们记1 的q u a s i g r e e d y 展开的序列为( ) 。 显然对于戈j 口 0 ，当x 的g r e e d y 展开为无限时，则x 的g r e e d y 展开和 q u a s i g r e e d y 展开是完全一致的。而若z 厶 o 的g r e e d y 展开是有限的并且吃为 它的最后一个非零元素，那么x 的q u a s i g r e e d y 展开序列为如下形式： ( a i ) 。= 魄既一。吃一，这里阮一：= 吃- 1 。 例如，如果等于黄金比例g # 旦笋且x = 去+ 古+ 歹1 ，那么( 呸) = ( 1 。) 。， ) 暮= 1 1 1 0 ”和“) g = 1 0 0 ) 。 更详细的介绍请参见参考文献【8 】和【2 7 】。 2 4 连分数展开 设为整数，a l , 口2 ，a m 为m 个正整数，称 a0 + 1 al + a2 + 1 口s + 瓦了 1 1 + zm 为有限连分数，记作 。若m o o ，则称为无限连分数，记作 。通称为连分数。 此类展开可以按照如下的规律得到：即对于任意的实数x ，连分数规则就是把 x 分成整数部分和分数部分，即x = a 。+ x o ( z j lo - x o 1 ) 。如果而0 ，则 把圭分成整数部分和分数部分，也就是三= 口。+ 五。如此下去，如果而0 ，则 二= 。+ 鼍+ 。如果x 是无理数，这个过程将会无限下去；如果x 是有理数，则对 于某个刀，会使得= 0 ，则这样的过程就会结束。数口。，口1 ，口：，称为x 的偏商。由 上面的规律可知，a o , a q ，a 2 ，都为整数且对于i 1 ，都有a ，1 。我们定义下面的 1 0 江苏大学硕士学位论文 算子r 来表示毛到坼，的变换：即对于工( o ，1 ) ( 此时= 。) ，我们定义戥为三的 分数部分，也就是戥：1 一 妻 。所以如果五。，就有氟。= 巩。 以下我们只讨论口0 ：o 的情况。设盟= ，o n 小。其中见和吼 q n 是互质的整数且吼1 。盟称为连分数 的第一个渐近分数。如果设 吼 卫。= l 玑。= 0 ，= o 署a q o = 1 ，那么就有如下的性质： ( 1 ) 性质1 ：对于刀2 ，都有见= a n p n 一1 + 见一2 和吼= a n 吼一1 + q n 一2 ； ( 2 ) 性质2 ：见一l 吼一n 吼一l = ( 一1 ) 一； ( 3 ) 性质3 ：x ：盟监。 吼+ 吼一1 吒 在文献【1 0 】定理( 5 1 ) 和( 5 2 ) 中证明了有理数和无理数的连分数展开形式： ( i )有限连分数表示一个有理数； ( i i )任意有理数倪，均可展成有限连分数； ( i i i ) 对于无限连分数 ，设鲁为其第刀个渐近分数，则熙等存 在且为一无理数。 例3 ：求西6 7 的连分数展开。 解： 生292 + 旦29 一壶29 一走2 2 99 = 2 + 耳= 2 + 3 + 手 例4 ：求 的值。 解：设这个值为p ，因为 = 。 毒2 几类展开的联系及其误差和函数 陬1 ，1 m 1 + = 1 小万1 。 1 + 所彬岳1 - 0 ，胁学。由m1 ，于胁学。 2 5 本章小结 在本章中，我们主要介绍了数的四种展开形式，这些形式在数论和分形中都 会广泛的遇到。无论是有理数还是无理数都可以以任何一种形式展开，这就非常 的奇妙了。自然而然的我们就会考虑，这些展开形式之间存在在某种关联吗? 既 然丝为x 的截断，我们还会对x 和盟之间的关系产生浓厚的兴趣。 q 。 q 。 1 2 江苏大学硕士学位论文 第三章几类展开之间的联系 在这一章中，我们将讨论上述四种展开之间的联系，由于每一类展开的形式 都是固定的，其主要的联系就是展开序列存在如何的关系。 3 1无理数的l i i r o t h 展开序列和十进制展开序列 在第二章中，我们介绍了l i i r o t h 展开和十进制畏开，我们知道对于任意的有 理数，它的l i i r o t h 展开和十进制展开都是有限的。通过简单的计算，我们就可以 写出他们的序列形式。在这里我们只要对于无限展开的情形，也就是当任意 x 【0 ，1 ) 为无理数时，他们之间的联系。 对于任意x 【0 ，1 ) 为无理数时，由第二章可知，它都可以展开成如下的无限 l i i r o t h 序列的形式： x = ! + ! 一+ + ! 一+ ( 3 1 1 ) x=+一+l31， o l o a ( x x a , 一a ) a 2 q 似q 一1 ) a n l ( x x a 一1 一1 ) 此式即为x 的l 五厂d 砌序列，我们把它简记为z = 【q o ) ，口。o ) ，l 。( 3 1 1 ) 式有 限的截断即为 趔：上+ ! + + ! 。 吼( x )口1 ( 力a ，o ) “( 功一1 ) a ：( 工)a l ( z ) ( q ) 一1 ) a n - 1 ( 矽( 口“( x ) 一1 ) a 。( x ) 由此我们可得 吼( x ) = q ( z ) ( 口1 ( x ) 一1 ) a 。一1 ( x ) ( 口。一1 ( x ) 一1 ) a 。( x ) 。 ( 3 1 2 ) 又因为( a n 一，( x ) - 1 ) a 。( 力2 ，则可得到如下的结论： q 。( x ) = a l ( x x a l ( x ) 一1 ) a 。一1 ( x ) ( 口。一l ( x ) 一1 ) a 。( x ) 2 吼一lx ) 。 ( 3 1 3 ) 则我们连续的地应用这种不等关系，我们可得：对于所有的0 七n ，都有 q n ( x ) 2 - k 吼( 功。 ( 3 1 4 ) 令l ( a 。o ) ，a 。 ) ) = w 【o ，1 ) ：吼( w ) = 吼( z ) ，1 七，l 】，且我们称之为x 的 l i i r o t h 展开的n 阶基本区间。我们有如下的式子成，： ( 加。，响) ) i2 丽丽万可1 葡丽去。( 3 1 5 ) 几类展开的联系及其误差和函数 对于上述无理数x 【0 ，1 ) ，它也会有如下的十进制展开形式：即 x ：三堕+ 三互垒害+ + 三生呈2 + 。 l o1 u l u ” 这里对于所有的i 1 ，都有q o ) 0 ，1 ，2 ，9 。 同样的，我们令 厂( 毛( 力，乞( 力，巳( x ”= w 【o ，1 ) ：& ( w ) = & ( x ) ，1 k 以 ，且 称之为x 的十进制展开的n 阶基本区间。显然的， 地啪喇，= 常+ 害+ + 辔，等+ 警警+ 扣 所以我们可以得到：p ( q ( 力，乞( x ) ，巳( x ) ) i2 击。 对于无理数z 【o ，1 ) ，吒( z ) 表示x 的豇r d 觑序列中由x 的十进制中前，z 项确定 的一个定数，可以用如下的式子来说明： 吒( 力= m a x m ：j ( 毛( x ) ，乞( x ) ，巳( x ”c ，( q ( 力，a 。( x ) ) 。， 由屯( 工) 的定义可知，对于任一无理数x 【o ，1 ) ，都有 o 毛o ) 屯( z ) 并且，熟吒( 石) = + 。 ( 3 - 1 6 ) 对于某一无理数工【0 ，1 ) ，令 。( x ) ：l i mi n f 望鱼世， ( z ) ：l i ms u p 生旦世，这里的吼( x ) 如式 ( 3 1 2 ) 定义。又如果厦( z ) = + ) ，那么我们就记这个共同的值为( z ) 。 下面我们给出两个定理，这也是l i i r o t h 展开序列和十进制展开序列之间的主 要联系。定理内容如下： 定理3 1 1 ：对于任意的无理数z 【0 ，1 ) ，都有下面的两个式子成立： 1 1 翟p 业n = 器，l i 哗业n = 器。 。一+ * 1 尾( x ) 。 一- * ( x ) 定理3 1 2 ：假设有无理数x 【0 ，1 ) 使得屈( 工) + ) ，那么对于任意的 屈o ) 名o ) ，都存在序列饥，z 1 使得 觋堡竽= 丁l o g l o 。 为了证明上述两个定理，我们需要先做以下的工作。 性质3 1 3 ：令任一无理数z 【o ，1 ) ，那么对于任意的n 1 ，都有下面结论成立： 1 4 江苏大学硕士学位论文 坐纽迎l 。9 1 0 和坐趔1 0 9 1 0 。 证明：对于任一无理数x 【0 ，1 ) f f 【i n 1 ，注意到 屯( 功= m a x m ：j ( q ( 工) ， i f 2 ) ，毛o ) ) cj r ( 口1 ( x ) ，a 。o ) ) ， n - - f 知，l j ( c 。( x ) ，s ：( 石) ， f i n ( x ) ) i l l ( a l ( x ) ，口。( ，) ( 工) ) l 。 由式( 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 知： l l 一 兰一：l 1 0 “a l ( x ) ( q ( 力一1 ) 口k ( ，) ( x ) ( 口k ( x ) 一1 ) a l ( x ) ( a 1 ( 工) 一1 ) 吼。( ，) ( 石) q k ( x ) ( x ) 对不等式两边取对数，可得尘坠邋1 。9 1 0 。 甩 注意到，( 毛( x ) ，占： ) ，巳o ) ) 伍i ( a 。( 工) ，口k ( 。) + 。( x ) ) ，这样我们知道至少 ，( q ( x ) ，岛( z ) ，( 工) ) 的一个端点不属于，( 口。( x ) ，( x ) + 。( x ) ) 。不失一般性，我们 假设， ( 工) ，乞( x ) ，巳( x ) ) 的左端点不包含在，( 口l ( x ) ，( 工) + 。( 石”中，也就是说， i ( a ，o ) ，( ，) + 。( x ) ) 的左端点包含在，( q ( z ) ，乞 ) ，巳 ”中。我们知道 l ( a 。o ) ，( 。) + 。( z ”可分解成k n ( x ) + 2 阶可数个基本区间，并且这些区间 l ( a 。( x ) ，( ，卜。( z ) ，1 ) ，l ( a 。( 工) ，( ，) + 。 ) ，2 ) ，是按照从左向右排列的。 又因为x t ，( 毛( 砷，乞( 力，巳( z ) ) n ，( q ( z ) ，( 。川( 神，( ，卜：( x ) ) ，我们可得 ，( 口l o ) ，a k ( ，) + 1 ( z ) ，a k ( 。) ( x ) 一1 ) c - 厂 ( 力，乞( 力，毛( z ) ) 。 又由式( 3 1 3 ) ，我们有 1 ， 1 一 + l o ) - 4 ( x ) 。 因此，吒( x ) + 3 吒十。( x ) 一4 + 1 ，也就是吒+ ) 一吒( z ) 6 。再由式( 3 1 6 ) ，我 们就得到了结论。 推论3 1 5 ：令x 【0 , 1 ) 为一无理数，那么对于任一给定的整数m 0 ，都有 紫p 错( 力，l i 掣错咧m 证明：对于f 岛( z ) + m ，存在刀使得屯( 力+ 历i k 。o ) + 肌，所以有 揣辔t l o g 绲( x ) 而k n + 1 ( x ) + m 鬻棚 7 ，毛+ 1 + 肌毛+ 所 f 吒+ m毛+ 1 + m 注意至| j 溉锗_ 1 由式( 3 1 7 ) 的左半部分，可以得到： l i n l i n f 竺等掣l 卸i i l f 鱼掣：厦 ) 。 n 。 吒【石) + m ” 毗讯对确。的子序列慨都有l 唧警咧班 运用类似的方法，由式( 3 1 7 ) 的右半部分，可以得到： 刖= 警p 半唑p 鬻。 由此可以得到l i m s u p 生譬衅：( 功。证毕。 n _ o o 庀。( z ) + m 定理3 1 1 的证明：由性质3 1 3 ，我们有： l i m i n f 掣1 i m s u p 地 1 0 9 1 0 ， ( 3 1 8 ) n - - o o k ( z ) 一1n 。 唑p 专铲- 唧半蛐鲫， ， 1 6 江苏大学硕士学位论文 l o g q k 。( ，卜3 ( x ) l im i n f ! ! ! 芝! ： i - - + 0 0 吒( x ) + 3 1 ：一1 0 9 q t ( 。) + 3 ( 力 n - - + o u p 0 1 券茅 k 。i zj 十j 由式( 3 1 8 ) 、( 3 1 1 0 ) 和推论3 1 5 ，我们得到： l i m s u p 地：l o g 1 0 。 i - - - ，0 0n p u ) 由式( 3 1 9 ) 、( 3 1 1 0 ) 和推论3 1 5 ，我们得到： l i mi n fk n ( x - - - - - - ! ) ：l 0 9 1 _ _ 塑o 。 这样，就完成了定理3 1 1 的证明。 ( 3 1 1 0 ) 定理3 1 2 的证明：如果五= 屈( z ) 或者兄= ( 工) ，那么由定理3 1 1 ，结论是显然 的。 现在我们假设屈( x ) 允 地和型 l o g l _ _ _ _ 0 0 s tt。 九 墨 乞 乙 一0 0 。 对任意的z 1 ，令 可以得到 一= i i l i n 优：s l m 1 ，都有 l i m 生盟：! 竺曼! q 。 “_ 。 n 2 【x ) 连分数展开序列和十进制展开序列同样可以用两个定理来说明。 定理3 2 4 ：对于任意的无理数z 【0 ，1 ) ，都有 紫p 业n = 罴2 a ，- t l - ，0 0 掣= 端2 f l 。 月_ 。 ( z ) 7 以 。( z ) 定理3 2 5 ：假设有无理数ie 【o ，1 ) 使得f 1 ( x ) + ( z ) ，那么对于任意的 屈o ) 兄+ ) ，都存在序列“，z q 使得舰垒竽= 1 0 2 9 允1 _ _ _ 0 _ 0 。 具体的证明过程请参见参考文献 13 。 实际上，在 13 中说到，对于任意的无理数x ，总有屈( 力旦：尝。文献 15 中，f a i v r e 证明了对于任意的兄l 。g 生竽：g ，都存在数x 使得其有l p ，哕常数五。 1 9 9 9 年b a x a 在文献【1 6 】中证明了一个更一般的结论。即对于任意的 g 五五 0 0 ，存在不可数多个互不相等的无理数x 【o ，1 ) ，使得屈( 力= a ) 且 + ( 曲= 五( 力。2 0 0 6 年j w u 【1 7 】进一步改进了b a x a 的结果，证明了：对任意的 1 9 几类展开的联系及其误差和函数 g a 如 0 ，都有下面两式成立： 吒( x ) 一6 l o _ 9 2 f l o g 一1 0 冗 1 翟习菰等。1 吒( 功一6 l o _ 9 2 丁1 0 9 l o 疗 l i m i n f 7 = = = = = = 兰兰= = = ；= 一= 一l 一+ 。 o x 2 n l o g l o g n 3 3 一展开和连分数展开 如果1 的- 展开是有限的，也就是，当吃( 1 ) 0 时，6 q ) = ( , 1 ( 1 ) ，b n ( 1 ) ，0 。) ， 这里的矿表示所有都是w 的序列。我们把这种完全的周期形式 倾( 1 ) ，吃( 1 ) ，吃一( 1 ) ， ( 1 ) 一1 ) ) ”称之为1 的无穷- 展开。如第二章所提到的，这里 的6 ) = ( 岛( 1 ) ，b n ( 1 ) ，0 。) 即是g r e e d y 一展开，而 ( 1 ) ，b 2 ( 1 ) ，吃一。( 1 ) ，蛾( 1 ) 一1 ) ) ” 即为q u a s i - g r e e d y - 展开。 令厶= s u p k o ：对于所有的1 _ 七，玩+ ，( 1 ) = o 】，令 a = g + o o ) ：l i m s u p l , 1 是多项式x ”一x ”1 x 1 江苏大学硕士学位论文 伽2 ) 的正根，那么就称这样的为p i s o t 数。 定理3 3 2 ：【删令a 。那么对所有的无理数 x 芒 z 【0 ，1 ) ：( x ) = 4 - o o ，屈( x ) + o o ， 有- 呱掣掣= 器，- 罂p 华= 丽l o g f l 。 但是对于a ，有没有类似的结论，至今还无法证明也无法否定。 3 4 本章小结 在本章中，我们主要讨论了l i i r o t h 展开和十进制展开、连分数展开和十进制 展开以及一展开和连分数展开他们之间的关系。通过对比，我们可以发现，所得 到的结论基本类似。但是还有很多工作尚未完成，比如l i i r o t h 展开和连分数展开 之间又会有什么样的联系等。 2 1 几类展开的联系及其误差和函数 第四章几类展开的误差和函数 4 1l i i r o t h 展开的误差和函数 对于任意的x ( o ，1 】，令s ( z ) 2 喜 一象等) 并称之为豇，d 历展开的误差和函 数。对于n 1 ，令 见= ( q ，吒，o - , ) n “：对于所有的1 七咒，都有吒芍。 记d = u n ( d o _ a ) 。对于任意的仃= ( q ，0 2 ，吒) 见，记 丸2 i 1 + 碌磊1qq 【q u 吒 1 瓦i 酉二j 瓦j 两 以= 丸+ 碌干万i 泵1 i 面而 我们用j ，表示( 0 ，1 】的子集如下： j 盯= z ( 0 ，1 】：吐( x ) = q ，d 2 ( x ) = 0 2 ，以( z ) = o 3 。 由【3 】定理4 1 4 ，我们可知j 口= ( 凡，吃】。定义 i = 丸，仃d n ，n 玲。 显然的，见= 1 或对于合适的盯，以= 如，。因此佴 = 他 u m 。 引理4 1 1 - z i 当且仅当x 为最终2 周期的。 引理4 1 2 ：( 1 ) 对任意的xe 【0 ，1 1 , 0 s ( x ) 工。 ( 2 ) 对任意的咒1 ， s 2 喜。一豢，+ 砑丽署。 再令i = 八僻，则有 定理4 1 3 ：当x i 时，s ( x ) 左连续而不右连续，当z ( 0 ，1 ) ，时，s ( x ) 连 续。进一步的有! 罂2 s “) 一i 石_ 虿i 2 再而，其中五= 如。 下面是关于s ( x ) 的积分值以及s ( 力的介值性定理。 江苏大学硕士学位论文 定理4 1 4 f s ) 出= i n 五 2 j - 9 孬。 定理4 1 5 ：若0 a b 1 ，s )