（基础数学专业论文）三维minkowski空间中的平移曲面.pdf

。一 ，n1dn 1 r a n s l a t l o ns u r i a c e sl n t h r e e - d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e b y l ic h u n x i u s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i uh u i l i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y o c t o b e r2 0 0 7 l ； 0 _ 1 独创性l 声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：橛秀 日期：训7 ) 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 。 在三维欧氏空间中，平移曲面只有一类然而在三维m i n k o w s k i 空间中，根据它所 平移的方向的不同，平移曲面可以分为六类，当然每一类的性质都有待具体研究 本文主要研究了三维m i n k o w s k i 空间中的沿类空和类光方向平移的平移曲面尤其 是在伪正交标架下，当其高斯曲率和平均曲率满足一定关系时，平移曲面的具体表达形 式 关键词：m i n k o w s k i 空间；平移曲面；平均曲率；高斯曲率；伪正交标架 i i i i 1 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t r n d 一 。1 r a n s l a t i o ns u r l a c e si n t h r e e - - d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e a bs t r a c t t w oh u n d r e dy e a r sa g o ，e u c l i d e a ns p a c e ，w h i c hc a nr e f l e c tt h er e a lw o r l dt os o m e e x t e n t s ，h a sb e e nt h o u g h tt h eo n l yr i g h ts p a c e m a nk n e wl i t t l ea b o u tn o n e u c l i d e a ns p a c e a t t h eb e g i n n i n go ft h en i n e t e e n t hc e n t u r y , m a t h e m a t i c i a n sf o u n dt h er e a s o n a b i l i t yo ft h e p s e u d o - e u c l i d e a ns p a c e a f t e rt h a t ，p s e u d o e u c l i d e a ns p a c eh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tt o p i c t h et h r e e - d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c ei sr e s e a r c h e dw i d e l y t h e r ea r et w of r a m e sw h i c ha r et h eo r t h o g o n a lf l a m ea n dt h ep s e u d o - o r t h o g o n a lf r a m e i nt h ep s e u d o - e u c l i d e a ns p a c e w ec a nc h o o s et h ep r o p e rf r a m et os t u d yt h ec u r v e sa n d s u r f a c e s i nt h i sa r t i c l e ，w ec h o o s et h ep s e u d o o r t h o g o n a lf r a m et os t u d yt h et r a n s l a t i o ns u r f a c e s w h i c ht r a n s l a t ea l o n gt h es p a c e l i k ea n dt h el i g h t l i k ed i r e c t i o n s w em a i n l yd i s c u s st h e p r o p e r t i e so ft h et r a n s l a t i o ns u r f a c e sw h o s eg a u s s c u r v a t u r ea n dm e a nc u r v a t u r es a t i s f ys o m e c e r t a i nr e l a t i o n s k e yw o r d s ：m i n k o w s k is p a c e ；t r a n s l a t i o ns u r f a c e s ；m e a nc u r v a t u r e ；g a u s sc u r v a t u r e ； p s e u d o o r t h o g o n a lf r a m e v f f“弋， 0漕 东北大学硕士学位论文 独创性声明。 摘要一 a b s w a c t 第一章引言 1 1 数学的发展和非欧几何的诞生 1 1 1 数学是科学的大门和钥匙 1 1 2 非欧几何的产生过程 1 1 3 非欧几何的意义一 1 1 4 黎曼几何 1 2 微分几何的产生和发展简述3 1 3m i n k o w s k i 空间的产生4 1 4 本文的主要内容，研究目的及意义5 第二章预备知识。7 2 1n 维m i n k o w s k i 空间7 2 2n 维m i n k o w s k i 空间中的向量7 2 3n 维m i n k o w s k i 空间中的标架8 2 4 三维m i n k o w s k i 空间中的内积、外积8 2 5 三维m i n k o w s k i 空间中的曲线一1 0 2 6 三维m i n k o w s k i 空间中的曲面1 1 2 6 1 曲面的基本量1 1 2 6 2 曲面的高斯曲率11 2 6 3 曲面的平均曲率1 2 2 6 4 曲面的分类1 2 2 7 平移曲面1 3 2 7 1 欧氏空间中的平移曲面1 3 2 7 2 三维m i n l ( o w s k i 空间中的平移曲面1 3 第三章主要结论1 5 目录 东北大学硕士学位论文 - _ - - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - _ _ _ _ _ _ - - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - 一一 3 1 高斯曲率与平均曲率满足线性关系，即旅+ 6 + c = 0 的平移曲面一1 7 3 1 1k = 0 的情况一1 7 3 1 2h = 0 的情况1 8 3 1 3 k - - c ( 常e ) 0 的情况1 9 3 1 4 h - - c ( 常数) 0 的情况2 0 3 1 5a k + 坍= 0 的情况2 2 3 1 6a k + 勰+ c = 0 的情况2 4 3 2 高斯曲率与平均曲率满足平方关系日2 = k 的平移曲面2 5 第四章总结2 7 参考文献。2 9 致谓 3l 东北大学硕士学位论文 第一章引言 第一章引言 1 1 数学的发展和非欧几何的诞生 1 1 1 数学是科学的大门和钥匙 数学：它赋予自己的发现以生命；它令思维活跃，精神升华；它烛照我们的内心， 消除了我们与生俱来的蒙昧与无知 数学不仅为研究自然界提供科学的方法和工具，而且已广泛渗透到了人类文化发展 的众多领域数学对人类文明的贡献是显而易见的，万有引力定律和爱因斯坦的相对论， 都是数学的思维方式的体现海王星的发现是数学计算的胜利，还有电磁波的发现等等 都离不开数学 数学作为人类思维的表达方式，反映了人们积极进取的意志，数学作为一种文化已 经成为人类文明进步的标志 数学之发展依赖于数和几何两方面的发展数学真正的第一步是由几何迈出的几 何最早起源于古代埃及和古代巴比伦时期但是直到公元前6 0 0 年到3 0 0 年，古希腊人 才竖起了欧氏几何大厦古希腊数学家欧几里德写下了人类历史上的光辉巨著几何原 本欧几里德几何，自公元前3 世纪建立以后，直到1 9 世纪初叶的两千多年间，一直 是数学的经典十九世纪以前的数学家几乎都相信欧几里德几何即真理，是现实物质空 间的正确反映和理解，其结论令人信服，其推理方法是无懈可击的 1 1 2 非欧几何的产生过程 欧几里德几何自公元前3 世纪建立以后，直到1 9 世纪初叶的两于多年问，人们虽 始终坚信它是正确的，但是对于第五平行公设( 平行线公设) 一直存在着疑惑，他们在 第五平行公设上投入了大量的精力，一直对这个小污点心存烦恼怎样才能使它确信无 疑昵? 怎样才能使几何的演绎体系更加完美? 总的来说，对第五公设的研究可以归为两 大类，其一，是试图找到更为自明的公设或命题来代替第五公设；其二，是试图从其它 公设、公理出发推出第五公设，从而使它成为一个定理在非欧几何确立之前，许多数 学家已经初步的形成了这样的认识：第一，第五公设是不可能证明的；第二，存在着与 欧氏几何完全不同的没有矛盾的逻辑体系经过了漫长的时间旅途，最终登上最高峰的 第一章引言 东北大学硕士学位论文 非欧几何创立人是三位数学家：高斯，波约伊和罗巴切夫斯基高斯最早意识到平行公 设应独立于其它公设，高斯认为逻辑上可以选择一个与其矛盾的公理并与其它公理结合 而演绎一套新的几何理论波约伊和罗巴切夫斯基通过详细地构造出一个平行公设不成 立的几何学解决了这个问题建立了一个有关点、线等相容的“几何”体系其中的命 题是由一组公设演绎导出的，但该组的平行公设是用和它相反的一个公设来代替的，这 样的体系称为非欧几里德几何高斯，波约伊和罗巴切夫斯基可以说是非欧几何的创始 人 事实上，非欧几何并没有推翻欧氏几何，欧氏几何依然是成立的，正确的欧氏几 何和非欧几何都可以同等的表示物质空间非欧几何的诞生打破了两千多年欧几里德几 何一统天下的局面，从根本上改变了人们的几何观非欧几何的创立，改变了欧氏几何 是描述物质空间的唯一真理的看法 1 1 3 非欧几何的意义 非欧几何的产生，引起了数学家们对几何基础的研究，从而从根本上改变了人们的 几何观念，扩大了几何学的研究对象，使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空 间，即更一般的空间形式可以说，非欧几何的产生是数学从以直观为基础的时代进入 以理性为基础的时代的重要标志 非欧几何的产生引起了一些重要的数学分支的产生如数的概念，分析基础，数学 基础等，公理化方法也获得进一步的完善 非欧几何学的创立，为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具，而相 对论结合物理学带来了一场深刻的革命，使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃 非欧几何学使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期数学家们从根本上改变 了对数学性质的理解 1 1 4 黎曼几何 非欧几何从发展到获得普遍接受，经历了曲折的道路要达到这一目标，需要确实 地建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义 黎曼在扩展几何远景这一方面起了不可估量地作用他在1 8 5 4 年发表了论作为 几何基础的假设文章里用到了有关物理空间的最可靠的事实，开创了关于可能的空间 2 、ih狷 东北大学硕士学位论文 第一章引言 的更深刻的研究，在罗巴切夫斯基等人的思想上建立了一种更广泛的几何黎曼注意到 一条直线是无限的，实验不能让我们确认物理直线的无限性如果改变相应的欧几里德 几何中的相关理论，并且假设那没有平行线，则可以演绎出另一种非欧几何，就是现在 所谓的黎曼几何黎曼心中想的是一个构形可以改变的几何，决定几何距离的公式必然 从一点到另一点是改变着的，或带有变化的曲率的空间罗巴切夫斯基几何以及欧氏几 何都只不过是这种几何的特例近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用，在数 学中也是一个重要的工具 1 2 微分几何的产生和发展简述 早期的微分几何是以微分学在几何方面的应用的面貌出现的微分几何学肇始于1 7 世纪微积分的创立，到1 9 世纪后半期发展成为- - f - j 独立的学科古典微分几何是应用 微分学的方法研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点的性质的学科牛顿和莱布尼茨在 发明微积分的同时已经认识到函数的导数等同于曲线的曲率现代微分几何已发展成主 要应用分析的方法研究空间( 微分流形) 的几何性质的学科 微分几何的创始人已经利用微积分研究曲线的曲率，拐点，渐伸线，渐缩线等而获 得了属于微分几何范畴的部分结果但微分几何成为独立的数学分支主要是在1 8 世 纪1 7 3 1 年十八岁的法国青年数学家克洛发表关于双重曲率的研究，开创了空间曲 线理论，是建立微积分的重要一步1 8 世纪是微积分发展的关键时期，也是微分几何的 酝酿时期欧拉是微分几何的重要奠基人早在1 7 3 6 年就引进了平面曲线的内在坐标 公式概念，即以弧长作为曲线上的点的坐标，从而开始了曲线的内在几何学的研究 在曲面论方面，他曾引入曲面上的法曲率，总曲率，关于法曲率的欧拉公式以及球 面映射等，成为微分几何学发展的一个里程碑 1 8 世纪蒙日发表的文章的特点是与微分方程的紧密结合，曲线与曲面的各种性质用 微分方程来表示，有共同几何性质或用同一种方法生成的一簇曲面应满足一个偏微分方 程 1 9 世纪上半期有关微分几何的内容已相当丰富，其中包括挠率概念，梅尼埃定理， 罗得里格定理及弗雷内公式的证明，但是对微分几何作出实质性发展的是高斯内在几何 的思想 在高斯之前微分几何不仅没有脱离微积分应用的范畴，而且几何曲面总是同外围三 nr，“。， 第一章引言东北大学硕士学位论文 维欧氏空间相联系高斯证明了曲面的第一基本形式就是完全确定了曲面的高斯曲 率他说：“如果一个弯曲的曲面可展开到任何另外的曲面上去，则每点的曲率是保持 不变的”他所阐述的内蕴几何的思想为微分几何的发展奠定了基础 对高斯内在几何思想作出重要发展的是黎曼1 8 5 4 年黎曼在题为关于几何基础的 假设的演讲中，将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广为任何空间的内蕴几何他 把1 1 维空间称做一个流形，n 维流形中的一个点可以用n 个参数五，x 2 ，x 。的一组特定 值表示，这些参数叫做流形的坐标黎曼从定义两个邻近点的距离出发，假定这个微小 距离的平方是一个二次微分齐式凼2 = g u d x ；d x j 其中岛是坐标五，艺，的函数， 岛= 岛这个表达式后来以“黎曼度量”著称 历史跨入2 0 世纪，大科学家爱因斯坦建立了狭义相对论和广义相对论，得到了数 学家格罗斯曼的帮助，反过来又促进了微分几何的发展 数学的发展总是由低级向高级，由局部向整体进行的大范围微分几何的崛起就是 一个典型的例证当代微分几何的主要问题是整体性的，即研究空间或流形的整体性质 的关系我们所熟悉的欧几里德空间只是其中的局部情形，大批数学家正在开垦的是非 直观的神秘空间，甚至是无穷维空间他们已经有了大量新成果，但同时又出现更多的 新问题这预示着大范围微分几何这一领域有着强大的生命力，是一座未来世纪的数学 宝库 1 3min k o w s ki 空间的产生 m i n k o w s k i 空间最先是由俄国数学家m i n k o w s k i 在2 0 世纪初提出的1 9 0 5 年， e i n s t e i n 创立了狭义相对论，所用的数学工具是l o r e n t z 坐标变换m i n k o w s k i 考虑到可 以用非欧空间的想法来理解l o r e n t z 和e i n s t e i n 的工作，他认为时间和空间的概念可以 被结合在一个四维时空结构中这种结构后来被称为“m i n k o w s k iw o r l d ”这些工作为 狭义相对论提供了骨架掀起了研究m i n k o w s k i 空间的热潮欧氏空间是大家接触比较 早的，所以对于其中一些几何性质的研究已很丰富了而m i n k o w s k i 空间作为一种新的 空间结构，其中的内涵比较丰富，当中的一些结论也与欧氏空间大不一样，大部分内容 有待重新定义和研究我们可以借助于欧氏空间的相似方法来研究m i n k o w s k i 空间，得 到一些新的结论，从而填补这个领域的空白现在大家对m i n k o w s k i 空间比较感兴趣， 4 东北大学硕士学位论文 第一章引言 都在努力消除对这个空间的未知程度 1 4 本文的主要内容，研究目的及意义 几何学发展到现在，经历了欧氏几何，非欧几何的发展阶段它们之问的区别主要 是在于度量定义的不同2 0 世纪8 0 年代以后，人们对伪欧氏空间中的曲线和曲面进行 了广泛的研究，但是这些研究基本上都是在正交标架下进行的曲面的性质主要取决于 其高斯曲率和平均曲率，所以研究曲面的高斯曲率和平均曲率之间的关系，也就是 w e i n g a r t e n 型曲面有着重要的意义f r a n k id i l l e n 分别在1 9 9 9 年和2 0 0 6 年对直纹 w e i n g a r t e n 曲面进行了研究我的导师，刘会立教授在1 9 9 9 年对沿两个类空方向和一 个类空一个类时方向平移的平移曲面进行了研究，并对常平均曲率和常高斯曲率的平移 曲面进行了分类 在三维m i n k o w s k i 空间中，平移曲面根据它所平移的方向的不同，可以分为六类本 文主要是在三维m i n k o w s k i 空间中，在伪正交标架下对于沿类空和类光方向平移的平移 曲面进行了研究由此我们可以对三维m i n k o w s k i 空间的平移曲面有一定的新的认识， 同时也可以看到伪正交标架这种不常用的标架在研究不定度量空间中所起的作用 5 量，0 b i n w 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 n 维m in k o w s ki 空间 贝i n1 7 - - 幺一、( 一， ( ，= 1 ，2 ，刀) ，使得 岛= 2 岛2 0 i j 1 i j 2 ，m f = = l ， 【一1 i = = m + 1 ，n ， g o 的值为1 的数目为m ，为- 1 的数目为p ，则所+ p = n 若m 和p 中任意一个为零，则此时的空间称为n 维欧氏空间，记为f 若朋和p 均不为零，则此时的空间为n 维伪欧氏空间( 或l o r e n t z 空f n 3 ) ，记为霹 特别地，p = 1 时，称向量空间y 为n 维m i n k o w s k i 空间，记为研 2 2n 维min k o w s ki 空间中的向量 设曰是n 维m i n k o w s k i 空间，任取向量口曰，且口0 ， ( 口，口 0 ，则称为类空向量； ( 口，口) = o ，则称口为类光向量； ( 口，口) o ，则称口为类时向量 东北大学硕士学位论文 空间中有两种常用的标架： n ；i = 甩，j = 1 ， f g ，设口= 五，x z ，x 3 ， 1；0零 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 我们记 口= l 芰羹i ，f 妻乃x l l , i 儿x 2 口2 = ( 口，口) ， 其中s 2 = 1 若向量口，夕的外积为零向量，则称口，平行 性质l 8 1 日中不存在两两正交的类时向量 性质2 叫若曰中的一类空向量和类时向量正交，则其作外积所得的向量为类空向 性质3 t 8 1 在三个线性无关的非零向量构成的标架中，若有一个是类光向量，则该 性质4 8 1 曰中若两个类光向量垂直，则这两个向量线性相关 注意：无论取正交标架还是伪正交标架，设厂= z 1 ，z 2 ，乙) ，都有 砂y = 瞳卦 定理1 8 1 设口，是霹中的任意向量，则有 ( 口夕) 厂= ( 厂) 口= ( y 口) - = 一( 口) y = - ( y x 4 ) 口= 一( 口x y ) 定理2 嘲设口，) ，是霹中的任意非类光向量，则有 ( 口) 厂= ( 厂) 口一( 口厂) 定理3 8 1 设口，y ，万是日中的任意非类光向量，则有 第二章预备知识 东北大学硕士学位论文 ( 口) ( y 万) = i ：；：喜1 特别地当口= y ，= 艿时，有 ( 口) 2 = ( 口) 2 一口2 2 当然，如果我们把内积定义成其它形式，外积也要随之改变，我们再在这种情况下 讨论曲面，它又会有一些新的结果 我们定义内积如下： 口= 墨此+ m + x 3 y 3 ： 相应的外积定义如下： 口夕= 0 ，则称，= ，g ) 为类空曲线； 口口 0 ，则称尸= ，g ) 为第一类类空曲线； 0 ，则称尸= ，0 ) 为第二类类空曲线； = 0 ，则称，= ，0 ) 为第三类类空曲线。 1 0 d r 2 = d r d r = # 如2 + 2 气r , d u d v + r 孑d v 2 ， ( 2 1 ) 称( 2 1 ) 为曲面s 的第一基本形式用 i ：e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 表示 其中 e = 誓；f = 吒；g = 杉 ( 2 2 ) 为曲面s 的第一基本量 定义2 6 1 2 设c 2 类曲面s 的方程为，= r ( u ，1 ，) ( 对于s 上的类空类时点，设，2 为法 向量) 则有 n d 2 ，= 刀r d u 2 + 2 n r 。d u d v + n r 。, d v 2 ， ( 2 3 ) 称( 2 3 ) 为曲面的第二基本形式用 i i = 上咖2 + 2 m d u d v + n d v 2 ( 2 4 ) 表示 l = k t n ；m = 占刀；n = 占，z 厂w ( 2 5 ) 为曲面s 的第二基本量，其中i e g f 2 l = s ( e g f 2 ) 2 6 2 曲面的高斯曲率 定义2 6 2 设c 2 类曲面的方程为，= r ( u ，1 ，) ，它的第一、第二基本量分别为e ，f ，g 和 l ，m ，n 称 k = 告等 ， 第二章预备知识东北大学硕士学位论文 为曲面s 的高斯曲率，其中e g f 2 0 2 6 3 曲面的平均曲率 定义2 6 3 设c 2 类曲面s 的方程为，= r ( u ，1 ，) ，它的第一、第二基本量分别为e ，f ，g 帮l 。m n 。 称 肚堡2 ( m 筹f 筹 一 2 ) 为曲面s 的平均曲率，其中e g f 2 0 ( 2 7 ) 当然本论文中讨论的都是e g f 2 0 的情况，而e g f 2 = 0 的情况在这里不研究 2 6 4 曲面的分类 定义2 6 4 1 设，= ，( x ，y ) 是霹中的曲面，i = e d x 2 + 2 f a & 4 v + c 4 , 2 为曲面的第一基 本形式，则。= ( ；笔) 称为曲面的诱导度量矩阵 定义2 6 4 2 设，= ，( x ，y ) 是辟中的曲面，i = e d x 2 + 2 f d x d y + g d y 2 为曲面的第一基 本形式，其诱导度量矩阵。= ( ；5 ) ，若 6 正定时，曲面称为类空曲面； 6 不定时，曲面称为类时曲面5 g 为零( 退化) 时，曲面称为类光曲面，也称为退化曲面 特殊地，在三维m i n k o w s k i 空间中，我们也可以这样对曲面进行分类： 定义2 6 4 3 设，= ，( z ，y ) 是霹中的曲面，z 为曲面的法向量， n n 0 时，即法向量是类空向量，曲面称为类时曲面； ，z n = 0 时，即法向量是类光向量，曲面称为类光曲面，或退化曲面 1 2 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 7 平移曲面 2 7 1 欧氏空间中的平移曲面 一般来说，在欧氏空间中，方程可写成 r ( u ，v ) = ( ，g ( “) + 办( v ) ) 的曲面叫做平移曲面其中g ( “) 和办( v ) 分别是“和1 ，的函数这是沿第一个坐标轴方向 和第二个坐标轴方向平移的平移曲面 2 7 2 三维min k o w s ki 空间中的平移曲面 在三维m i n k o w s k i 空间中，平移曲面的方程可写为 r ( u ，v ) = ( “，v ，厂( “) + g ( v ) ) ， 或 r ( u ，v ) = ( 厂( “) + g ( v ) ，“，v ) ， 其中厂0 ) 和g ( v ) 分别是“，v 的单参数函数 它们分别是沿第一、第二个坐标轴方向和第二、第三个坐标轴方向平移的平移曲 面在欧氏空间中，由于三个坐标轴的对称性，这两种表示没有本质的区别然而在三 维m i n k o w s k i 空间中，坐标轴不是对称的，三个坐标轴方向是不同类型的，所以这两个 表示是两种完全不同类型的平移曲面的方程 在三维m i n k o w s k i 空间中，平移曲面根据平移的方向的不同可分为六类： ( 1 ) 沿两个类空方向平移的平移曲面； ( 2 ) 沿两个类时方向平移的平移曲面； ( 3 ) 沿两个类光方向平移的平移曲面； ( 4 ) 沿类空和类时方向平移的平移曲面： ( 5 ) 沿类空和类光方向平移的平移曲面； ( 6 ) 沿类光和类时方向平移的平移曲面 本文研究的就是第五类平移曲面，即沿类空方向和类光方向平移的平移曲面 -掣“111-i-， t1，ijn 东北大学硕士学位论文第三章主要结论 第三章主要结论 我们在三维m i n k o w s k i 空间取标架 e l , e 2 ，e 3 ) 内积定义如下： ( 口，) = z l y 2 + x 2 y l + x 3 y 3 ； 相应的外积定义如下： 唧= 瓶川x l ，阢x 2 蚓x 3 , 珊 其中口= ( 墨，x 2 ，) e ? ，= ( m ，兄，y 3 ) 霹 使得e l e 2 = e 2 e l = e 3 e 3 = 1 ，e a q = 乞乞= e l e 3 = 乞e 3 = 0 则 龟，p 2 ，e 3 ) 为伪正交 标架其中e 1 ，乞方向为类光方向，e 3 为类空方向 设，：m 2j 霹为三维m i n k o w s k i 空间的平移曲面，其参数方程为 r ( “，v ) = ( 厂( “) + g ( v ) ，甜，v ) ， ( 3 1 ) 其中i ( u ) ，g ( y ) 分别是关于参数甜和1 ，的单参数函数 ( 3 1 ) 是在伪正交标架 e l , e 2 ，巳) 下沿p 2 ，巳方向，即类光和类空方向平移的平移曲面 下面我们计算一下曲面的高斯曲率和平均曲率 ，：f = ( 厂，1 ，0 ) ， o = ( ，0 ，1 ) ， e = 屹吃= 2 f 7 ， f = ，：，= g ， g = 咒咒= 1 则第一基本形式 i = 2 f d u 2 + 2 9 d u d v + d v 2 令 0 吒。1 1 2 = 占( 2 厂一g 吨) 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 其中9 2 = 1 在这里我们主要研究非退化的曲面退化的情况，即 时不研究 法向量 第二基本形式 高斯曲率 2 f 一g “= 0 肛尚2 = ( 厂”，o ，0 ) ， = ( o ，0 ，0 ) ， = ( g ”，0 ，0 ) ， = 占，施疗2 尚、5i z - ，一gj m = 占刀= 0 ， _ 肛鬲与g ，、6l 么，一j i i = 下丝一比z + - 产垒一咖： 占( 2 厂7 一g 心)占( 2 厂7 一g 佗) k ：l n - m 一2 ： e g f z f g ” 占( 2 厂7 一9 7 2 ) 2 。 平均曲率 ，一l g 一2 m f + n es ( 2 弩”+ 厂”) - = t 一= - _ = = = _ _ = = = ；= = = = = = = 2 ( m f 2 ) 2 ( 2 f 7 一g 吃) 瓜三7 丽 有了高斯曲率和平均曲率的方程，下面我们就针对高斯曲率和平均曲率满足的关系 式，对沿类光和类空方向平移的平移曲面进行讨论首先，我们对高斯曲率和平均曲率 满足线性关系时的平移曲面进行讨论 1 6 因此 证明：当k = 0 时，即 由此得 或 可知，此曲面是平面或柱面 g ( 2 f 与g _ o ， 7 一 陀) 厂留”= 0 = 0 g ”= 0 因为若厂”= 0 ，那么f 是常数我们可以设厂= a u + b ，其中口，b 是常数，则平移 曲面的方程可写成 ，( 甜，v ) = ( 口“+ 6 + g ( v ) ，“，v ) = ( g ( v ) + 6 ，0 ，v ) + 甜( 口，1 ，0 ) ， 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 其中( 口，1 ，o ) 是常向量，所以这样的平移曲面是柱面 当g ”= 0 时，同理可证曲面也是柱面 当然若厂”= 0 ，g ”= 0 同时成立平移曲面的方程是 r ( u ，1 ，) = ( 伽+ 6 v ，“，v ) ， 其中口，b 是常数可以看出此平移曲面是平面 3 1 2h = 0 的情况 当口= 0 ，b 0 ，c = 0 时，即日= 0 ，我们有 定理3 2 设s 是霹中的一个平移曲面，( 甜，v ) = ( 厂( “) + g ( v ) ，甜，v ) ，如果它的平均曲 率h = 0 ，那么它是下列情况之一： ( 1 ) 半回或柱回； ( 2 ) 厂( 砧) ，g ( v ) 为 厂( 甜) = q e - 加+ c 2 ， g ( v ) = 鲁v 2 + 6 l v + 6 2 ， 中a ，6 l ，6 2 ，q ，c 2 r 证明：当日= 0 时，即 坐丝兰坠：o 2 ( 2 f 7 一g 眩) 占( 2 厂7 一g 瞳) 2 f g 七f 1 = 0 下分两种情况讨论： 若厂= 0 ，则f ”= 0 ，f 等于常数，则g 为v 的任意函数那么 r ( u ，v ) = ( c + g ( v ) ，甜，v ) 1 8 东北大学硕士学位论文 第三章主要结论 是柱面 若f 7 0 ，则 2 9 - f 万 j 若上式成立，则等式左右必须分别等于常数 若常数是零，则f ”= 0 ，g ”= 0 ，那么此平移曲面是平面 若常数不是零时，设常数为么，解得 f ( u ) = q e - 舢+ 乞， g ( v ) = , 4 4 v 2 + 6 1 1 ，+ 6 2 ， 其中a ，6 1 ，6 2 ，q ，乞r 3 1 3k = c f 常数1 0 的怕f 况 当口o ，b = o ，c o 时，即k = c ( 常数) 0 ，我们有 定理3 3 设s 是曰中一个平移曲面，( 甜，v ) = ( 厂( 甜) + g ( v ) ，甜，v ) ，则其高斯曲率不可 能为非零常数 证明： 当高斯曲率k = c ( 常数) o 时，即 右与圯 2 ， 则 危”= c f ( 2 厂7 一g 2 ) 2 ， ( 3 3 ) 两边分别对v 求导得 厂弩”= 4 c s ( 2 厂7 一g 陀) g 童” ( 3 4 ) 由c 0 知，f ”0 且g ”0 由( 3 3 ) 知g ”0 f i t ( 3 3 ) 和( 3 4 ) 消掉厂”得 尘：笙二 一= 一 g ”- 4 9 g ” 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 即 盘婺+ g ，z ：2 f ， g ” 。 此方程左边是关于1 ，的函数，而右边是关于“的函数，故若等式成立，只能两边同时等 于一个常数聊所以厂，= m ，那么厂”= 0 但是由最初始的式子( 3 2 ) 知，若厂”= 0 ，则 c = 0 ，矛盾，此种情况不存在即不存在高斯曲率恒为常数的平移曲面 3 1 4 h = c ( 常数) o 的情况 当口= 0 ，6 o ，c o 时，即h = c ( 常数) ，我们有 定理3 4 设s 是曰中平移曲面，( 甜，v ) = ( 厂( 甜) + g ( v ) ，z f ，v ) ，若它的平均曲率为非零 常数c ，那么它只能是柱面，且厂( 站) 和g ( v ) 为下列情况之一： ( 1 ) g ( v ) = m 。v + ， m ) = 一丽1 + 芋啪； g ( v ) = 吉压面唧 z ( u ) = n l u + n 2 ， 其中q ，乞，m 1 ，m 2 ，啊，r ，z l 0 证明：当h ：c 0 时。即 缈= 占( 2 厂一g 坨) ，上式可简化为 5 ) 对v 求导得 = c 丝笔盟：c ， 2 c 0 2 ( 3 5 ) 得 4 占( 2 厂7 彳) - 去( 一2 ) 占( 2 厂, - e ) l - 5 = 1 c “+ q ， 1 产面b + 吾， 厂2 南+ 鲁甜+ c j 2 一 g ”0 时，那么厂7 的各项系数不全为零，则厂只能为常数，并且由( 3 5 ) 知f 不 为零设厂= 啊0 ，则f ”= 0 ，另l v z , 解这个微分方程 h = 占强g ” 占( 2 n a - g 比) r c n l g g ” s ( 2 一g 陀) j 2 l = c = 9 7 c ， 东北大学硕士学位论文 若它的高斯曲率和 d1，nii， 东北大学硕士学位论文 第三章主要结论 口垒：；+ 6 一三! 三! 兰! ；兰：氅：o ( 3 7 ) 占( 2 厂7 一g 佗) 22 ( 2 f 一g 心) 占( 2 厂一g 陀) 缈= 占( 2 厂一g 以) ， 口珲+ 6 掣：0 ， 缈 2 彩盖 旷謦”+ 互16 ( 2 船”+ 厂”) 彩；= o ， 十+ 针m ， q 8 ， ( 3 8 ) 两边对v 求导，并整理得 厂”h ；一竽卜渺刚o ， n 9 ， ( 3 8 ) 和( 3 9 ) 消去厂”整理得 尝缈；g ”= 口占g 窖”， 等( 2 厂，_ 护) 3 彳旷矿= 0 ( 3 1 0 ) ( 3 1 0 ) 是- - 个关于厂的多项式，类似于前边的讨论 设g ”0 ，则厂为常数因为若厂不恒为常数，那么它的各项系数和常数项都应 为零，那么g ”= 0 ，与假设g ”0 矛盾，所以f 7 恒为常数若此常数是零，f 7 = 0 ，那 么平移曲面是柱面，g 为任意函数若此常数不为零，由f 7 兰c o 知f ”= 0 ，从而g ”= 0 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 若g ”= 0 ，则f 7 各项系数全为0 ，f 7 可以任意但由原始式子 口：垒：；+ 6 兰丝：堑二：o 占( 2 厂7 一g 吃) 2 2 ( 2 f 一g 比) 占( 2 7 一g 心) 知厂”= 0 ，那么平移曲面是平面 3 1 6a k + b h + c = 0 的t 青况 当口0 ，b ：g - 0 ，c 0 时，即当a k + 6 日+ c = 0 ，我仃 有 定理3 6 设s 是曰中的一个平移曲面，( 甜，v ) = ( 厂( 甜) + g ( v ) ，甜，1 ，) ，若它的高斯曲率 和平均曲率满足线性关系：槲+ 6 k + c = o ( 拍c 0 ) ，贝, l j f ，g 为下列形式之一： ( 1 ) g ( v ) = r e l y + m 2 ， 巾) = 确6 b 2 + 芋m ； ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) d7-=y-i 解得 解得 2 s ( 2 m g 佗) - g ( v ) = 丢( q 一i ；i i ：i ：而) 当g ”= 0 时，的各项系数都为零设9 7 = 所。则 笪： = + c ：0 ， 2 占( 2 厂1 2 ) - 巾) = 研e 葡b 2 辱啦 定理证毕 考虑完线性关系后，我们再讨论满足h 2 = k 的平移曲面的特征 3 2 高斯曲率与平均曲率满足平方关系h 2 = k 的平移曲面 当日2 = k 时，即 第三章主要结论 东北大学硕士学位论文 ( 2 俺”+ 厂”) 2 4 ( 2 f 一g 眨) 3 厂謦” ( 2 f 7 一g 陀) 2 ( 3 t 6 ) 我们有 定理3 7 设s 是研中一个平移曲面厂( 甜，v ) = ( ( 甜) + g ( v ) ，甜，v ) ，若它的高斯曲率和 平均曲率满足h 2 = k ，则平移曲面一定为平面或柱面 证明：由( 3 1 6 ) 得 焉署珊 ( 3 1 7 ) 对v 求导得 厂砣+ 厂”( _ 4 船”+ 4 9 g ) + 4 厂g2 = o ， ( 3 1 7 ) 厂”( - 4 伯”+ 8 9 g 砣+ 4 9 心g ”) + 8 厂眩g g ”= o ( 3 1 8 ) ( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 消去厂”，整理得 一2 f 7 4 9 ”2 9 ”2 + 厂旧( 4 9 g ”4 9 ”+ 4 9 7 2 9 ”2 9 ”2 一g , 2 9 肿) + 厂陀( g , 2 9 孵2 4 9 门g ”4 9 ”一2 9 g 砣g ”2 + 2 9 g ”4 + g , 2 9 砣g ”) = 0 、7 ， 、 、( 3 1 9 ) ( 3 1 9 ) 是一个关于厂的多项式 当g ”0 时，厂的各项系数不全为零，则f 7 三c c = 0 时，( 3 1 6 ) 自然成立，此平移曲面是柱面 c 0 时，由等式( 3 1 6 ) - 失h g ”= 0 ，矛盾 当g ”= 0 时，则厂的各项系数为零，由( 3 1 6 ) 矢wf ”= 0 ，这样平移曲面是平面 东北大学硕士学位论文 总结 第四章总结 本文对三维m i n k o w s k i 空间中的平移曲面进行了分类，并利用多项式的方法，对沿 类光和类空方向平移的平移曲面进行了研究我们根据高斯曲率和平均曲率之间的关 系，主要是线性关系和平方关系对平移曲面方程的具体表达式进行了推导 本文的研究，使人们对平移曲面有一个新的了解针对本文，还有如下的工作可以 做： 第一：本文对高斯曲率和平均曲率满足线性关系的沿类光和类空方向平移的平移曲 面进行了讨论，那么当它们满足一个一般的函数关系式时，平移曲面会是什么样子呢?