（基础数学专业论文）两类三角插值问题的研究.pdf

宁夏大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 本学位论文主要讨论修正的三角插值多项式和一类反周期函数的插值问题第二章为了改善 l a g r a n g e 插值多项式的收敛性，我们利用一点修正和两点修正构造出两类不同的三角多项式算子 w n ( f ；r ，2 ) 和日，( ，；r ，z ) ，证明了这两类算子分别对每个以2 为周期的连续的偶函数和奇函数 ，p ) 都能在全实轴上一致收敛，并且讨论了其逼近度第三章通过用积分多项式算予p ( ，) 代替微 分多项式算子p ( d ) 。讨论了以，r 为周期的反周期函数插值及反周期函数的2 一周期( 0 ，p f f ) ) 插值， 得到了解存在的条件。并给出了对应条件下解的显式表达式 关键词：三角插值，修正，逼近，偶函数， 奇函数，积分算子( 0 ，p ( 功，反周期函数， 高阶差分 一i i 塞圣查耋璧圭兰堡篓兰!i茎圣塑茎 a b s t r a c t t h et h i sm a i n l yd i s c u s s e st h ei n t e r p o l a t i o np r o b l e mf o rm o d i f i e dt r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o np o l y n c h m i a la n d o n ek i n d o f t r i g o n o m e t r i c i n t e r p o l a t i o n o f a n t i - p e r i o d i c f u n c t i o n i n t h es e c o n d c h a p t e r , i n o r d e r t oi m p r o v et h ec o n v e r g e n c eo r d e ro f l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o np o l y n o m i a l ，o n ep o i n ta n dt w op o i n tm o d i f i e d m e t h o da r eu s e dt oo n n s t 】 u c tw h i c ht w ok i n d so ft r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o no p e r a t o rh ，n ( ，；r $ ) a n d k ( ，；r ，2 ) ，p r o v e dt h a tt h e yc o n v e r g e n c eu n i f o r m l yo nt h ew h o l er e a la x i sf o rc o n t i n u o u sc v e na n do d d f u n c t i o n w i t h2 p e r i o d i c a n d d i s c u s s e d t h e a p p r o x i m a t i o n o r d e r i n t h e t h i r d c h a p t e r , b y u s i n g t h e i n t e g e r p o l y n o m i a lo p e r a t o rp ( ，) r e p l a c i n gt h ed i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a lo p e r a t o rp ( d ) ，t h e ( 0 ，p ( j ) ) l a c u n a r y a n t i - p e r i o d i ct r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o na n dt h e2 - p e r i o d i c ( 0 ，p ( 聊l a c u n a r a n t i p e r i o d i ct r i g o n o m c t r i ci n t e r p o l a t i o na t es m d i c d t h ec o n d i t i o no ft h es o l u t i o na ”o b t a i n e d , a n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o ni sg o t i nt h ec o r r e s p o n d i n gc o n d i t i o n k e yw o r d s ：t r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o n ，a p p r o x i m a t i o n , e v e nf u n c t i o n ，o d df u n c t i o n , t r i g o n o - m e t r i c ( 0 ，p ( 聊i n t e r p o l a t i o n ，a n t i - p e r i o d i cf u n c t i o n , h i g h e r - o r d e r d i f f e r e n c e i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：时间：抽0 年9 玛 o h 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：垒筵 导师签名： 垩差篁丝 时间：j ，碑争月o 日 时间：d 年中月t o 日 宁夏大学硕士学位论文 第章前言 第一章前言 函数逼近论的发展已超过了百年的时间，它已经成为现代数学的重要分支自1 8 5 9 年 c h e b y s h e v 提出最佳逼近的特征定理和1 8 8 5 年w e i e r s t r a s si i ，a 建立了关于连续函数可以用多项式 逼近的定理以来，函数逼近论作为- - f l 独立的学科开始发展上世纪在j a c k s o n ，s n b e m s t e i n 以及 前苏联逼近论学派的工作者i “1 的一系列深刻工作推动了逼近论的蓬勃发展，使逼近论的思想和 方法渗透了几乎所有学科1 9 8 3 年沈燮昌在文献( 7 】对函数逼近论的发展史做了一个较为详尽的 总结和概括，其中指出函数逼近论不仅研究实函数域上的多项式逼近问题，而且还研究其他函数诸 如有理函数、指数函数、无理函数、逐段多项式的最佳逼近问题以及复数域上各种函数系的逼近 和最佳逼近问题前人所作的工作明确了函数逼近论的研究目标就是用简单可计算函数对一般函 数的逼近。并进一步考虑这种逼近程度和如何刻画逼近函数本身的特性 函数的插值逼近研究的是如何构造一个函数( 如代数多项式、三角多项式、指数型整函数 等) 使之在节点处与被插函数( 甚至包括其导函数) 的值一致并且研究这种函数对被插值函数的各 种逼近性质 插值问题是计算数学中的一个基本问题，同时它也是一个十分经典的数学问题插值概念最 早是在公元5 4 4 6 1 0 年间由我国数学家刘焯首先提出的，1 9 8 3 年函数逼近论专家沈燮昌在文 献 8 ，9 】对多项式插值给出了综述，而著名数学家j s z a b a d o s 和ev e r t e s i 的专著 i n t e r p o l a t i o no f f u n c t i o n s ( w o r l ds c i e n t i f i c 。1 9 9 0 ) 对插值理论近4 0 年来的进展作了总结近年来我国著名学者谢 庭藩，周颂平，刘永平，孙燮华，何甲兴等人对三角插值逼近做出了许多创造性的工作本学位论文 第二章主要构造并研究了两类三角插值多项式，使它们分别对每个以2 丌为周期的连续的偶函数 或奇函数，( z ) 都能在全实轴上一致收敛，且达到最佳收敛阶 上世纪6 0 年代以来，a s h a r m a ，a k v a r m a j s z a b a d o s 等著名数学家对缺项插值包括三角多 项式和整函数插值进行了大量的研究，给出了一系列插值算子正则性的充要条件，例如1 1 0 16 】，我 国著名学者刘永平。孙燮华，王梅英等人也在近年做出一系列出色的工作，如【l 蛐4 】我的学位论 文在第三章受文献【3 7 ，3 8 】的启发，通过用积分多项式算予p ( j ) 代替微分多项式算子p ( o ) ，研究 了反周期函数三角插值问题 宁夏大学硕士学位论文第二章修正的三角插值多项式 第二章修正的三角插值多项式 随着现代科学技术发展的需要，函数逼近理论的研究已经成为逼近论和计算数学的研究热 点之一用代数和三角多项式来逼近函数是数值逼近中十分有效的工具，而l a g r a n g e 插值多项 式在数值逼近中占有更为重要位置，并且在自然科学和工程技术中的应用也是十分广泛的，但是 l a g r a n g e 插值多项式并非对所有的连续函数都一致收敛由于其在实际应用中的重要性，所以如何 改善其收敛性就成了研究的主要内容，由文献【2 5 可以知道，前苏联数学家s n b e r n s t e i n 用三种不 同的方法改善其收敛性，具体方法如下： ( 1 ) 适当的提高l a g r a n g e 插值多项式的次数，构造出一致收敛的插值多项式 ( 2 ) 加权平均l a g r a n g e 插值基函数，构造出一致收敛的插值多项式 ( 3 ) 修正些l a g r g e 插值条件，构造出一致收敛的插值多项式 s n b e m s t e i n 于1 9 3 0 年在哈尔科夫召开的4 全苏数学代表大会”上提出了著名的 s n b e m s t e i n 问题：对任意的连续函数，( z ) 和 ( 1 a 2 ) ，能否构造出一个次数m ( m ) 的 插值多项式，在给定的n 个点处等于，( z ) ，且当n o o 函数一致收敛到，缸) ? 为解决这个问题，s n b e m s t e i n1 2 6 1 给出了上述第三种方法构造了一个多项式算子q 。( ，；z ) 该算子对每个连续函数f ( x ) 都一致收敛1 9 9 3 年朱来义在文献【2 7 研究了这个算子的收敛阶，指 出q 。( ，；$ ) 对于连续函数f ( x ) 的收敛阶没有达到最佳，而且容易证明q 。( ，；) 的收敛阶不会超 过三为了迸一步改善其结果，许多学者傲了大量的工作( 如文献 2 8 ，2 9 j ) ，使该问题得到了较好 的解决1 9 9 6 年何甲兴用不同的方法构造了一个三角插值多项式很好的解决了s n b e m s t e i n 问 题，其后李风军f 3 l 】也采用类似的方法构造了三角插值多项式，并且讨论了其逼近性质本章在文 献【3 2 的启发下采用一点修正和两点修正的方法构造出了两类不同的三角多项式算子，使其分别 对每个以2 7 r 为周期的连续的偶函数和奇函数，( z ) 都能在全实轴上一致收敛，并且进一步研究了 它们的逼近度 2 1 一点修正的偶三角插值多项式 2 1 1 基本溉念和主要定理 令 设f ( x ) c k 且为偶函数，取结点组 $ k ：丝，k ：0 0 ，1 一，2 ，川$ k2 一，2 ，z ，川 n c k ( z ) = ( c 0 8 z c o s x 0 ) ( c 0 8 x c o s z k 一1 ) ( c o s z c o s z k + 1 ) ( c o s x c o s z n ) i 一丽s m 而x a 鄙m n z ， k = 0 ( 一1 ) 1 而s i 而n xs 丽i n n 葡z ，= l ，2 一1 ， ( 2 1 ) 【( 一1 ) ”1 碗s l 。高x s 再i n 而n z ， k = n 一2 一 宁夏大学硕士学位论文 第二章修正的三角插值多项式 于是有 n c k ( ) = ，( z k ) “( z ) ( 2 2 ) 七= 0 这样就得到一个不高于n 阶的偶三角插值多项式且满足插值条件 c _ ( 以) = ，( 戤) ， i = 1 ，2 ，n 根f a b e r 定理知道：c 二( z ) 并非对每个以2 ，r 为周期的偶函数f ( x ) 都能在全实轴上一致收 敛为改善它的收敛性，本文用s n b e r n s t e i n 第三种方法，即放弃某些插值条件，对式( 2 2 ) 进行修 正，得到一点修正的偶三角插值多项式- ( ，；qz ) ( r 为自然数) 1 ( ，r 功具体构造如下： 给定偶数2 1 ( f 为自然数) ，将结点组x o 2 l 按2 1 分成若干组不妨设分为g 组。即 有n = 2 1 q + ，0 口s2 z 若能被2 整除且 = 2 z t ，令 如h = f ( x 2 z , ) + 翰t ，t = 0 ，1 ，2 ，口 其中 ：击墨(一1)pzx；f(b2ttz x ；f ( z 2 t ( t 一1 ) + p ) 。若k 不能被2 1 整除时，则令 其中 = 击( 一1 ) p一1 ) + ，) 。若不能被整除时，则令 口= = 1 a k = ，( z ) ， 于是( ，；r 1z ) 可以表示为 n w n ( f ；r , ) = a k c ( $ ) k f f i o 本币主璺结果如f ： 定理2 1 1 对任意给定的以2 为周期的连续偶函数，( ) ，极限等式。l 。i r a o o w n ( f ；r , 砷= ，( z ) 在 全实轴上一致成立 定理2 1 2 设f ( x ) 嘿。且为偶函数，0 s r 一1 ，则有 叫觚垆m 肛d f 砉町，孙 其中“0 ”与，n ，f ，u ) 无关，u ( ，0 ) ，为函数，o ( ) 的连续模 定理2 1 3 设f ( x ) q 。且为偶函数，则有 i w 。( f i r 垆他) i = 。 ( 砉蚶0 ) ，拟1 + k ( 瑚) ； 其中“0 ”与马n ，f 0 ) 无关，h ( $ ) 为l e b e s g u e 函数，即有a 。( 。) = c 0 ) 一3 一 圭塞奎耋堡圭兰堡篁奎 量三耋丝里墼三叁堡堡茎堡圣 2 1 2 引理 引理以下估计式成立 。堇n ，万1 毛( r ；) i + 1 c 卅嘶，卸 砉嘉妄( 沙，i + l c k + i ( x 圳州； l c 2 “( z ) + c 盈( t 1 ) + 却扛) i = d ( 1 ) ； q 1 i c 2 “( 。) + c 2 l ( t 1 ) + 劫一l ) i = d ( 1 ) t = o1 0 = = 1 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 证明：由于式( 2 5 ) ( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) 的证明方法是相同的，故在这里只证明式( 2 8 ) ，记i = 2 1 t ，j = 2 t ( t 一1 ) + 物一1 ，由 及式( 2 1 ) ，有 而2 s i n x = o o t 字+ 喊半，c 霉一c 0 s z 七 z z s i n 芋l ls i n 半i ， i c l ( 功一勺( z ) = i 警c 2s i n z2 s i n o c o s $ 一c o b q c o s z c o s 勺 = i 警s m 孚c 毒一毒， = l 警咖孚( 蕊壶洋) 21 1 ”“彳。五毛夏再j 先令0 z ，r ，对于给定的z 在 2 i t ) 墨。中，设x 2 1 t 。离z 最近，同时不妨设x 2 1 t o 于x 2 1 垴2 证明方法是相同的) 使用式( 2 9 ) 和 如t x k - - i - - 。i = s i n 南_ 0 ( 而1 ) ； 呈z 8 i n z z ，0 s s 丌- r ( z ) = d ( 1 ) ，k = 0 ，1 ，2 ，n d 一 ( 2 9 ) z ( 对 ( 2 1 0 ) 宁夏大学硕士学位论文第二章修正的三角插值多项式 于是有 k ( 。) - c j ( z ) l = ( + + ) l c i ( z ) 一勺( z ) i = 。( t 毛o - 1 骊!。亳：而石与刃)卸( 毛雨再砑“+ 。互：而石与刃) = d ( 1 ) 对于一曼。0 由于0 ) 是偶函数。可以采用相同的方法估计其结果，综上分析可知式( 2 8 ) 在一，r 卫 r 内j 揽立 2 1 3 定理证明 由定理2 1 2 司知定理2 1 1 成立，故f 面只证明定理2 1 2 证明：令 ；，c z ，= 砉c 一，件1 ( ：) ，。+ t ”； v 抓加萎rc 矿1 ( 小川蛾 厶z ，。) = ；( z ，( z ) + v r h f ( 功) ； 其中h = 吾，当，( z ) 是偶函数时，厶；，( z ) 也是偶函数，因此可以规定 一讥= 学= ，甜肚学一+ t n竹 其中= 0 ，1 ，2 ，n ，i 是任意的自然数 由式( 2 4 ) 就有 w 0 ( ，；r 功一，( z ) = m ) “( z ) + b 2 t t c 2 1 t ( z ) 一m ) ：壹m 漉+ 妻扭他如c i - r圹他) = l ，( z k ) 讯o ) + 万u n ，( z t ) “z ) 一，白) l lk 1 0 k = o 。 j + ；1 i a ；f ( x 2 i ( t 1 ) + 2 p ) ( c 2 n ( z ) 一c w o 1 ) + 2 p ( ) ) 一5 一 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 口 1 一击辞m 2 l ( t - 1 ) + 却一1 ) ( 咖( 一c 2 哪一1 ) + 2 p l ( ) ) t = o 一# 1 一砉厶；，( 印) 勺( 。) l z = 2 1 q - - i 一 垒0 用p ( ) 表示与( x ) 具最小偏差且阶数不高于t l 的三角多项式，于是有 l p ( z ) 一，( z ) i 联( ，) ， ( 2 1 4 ) 这里l ；：( ，) 是，( z ) 的最佳逼近，根据厶x ，( z ) 的定义和性质及文献【3 3 】可以知道a l 。c z ) 也是次 数不超过n 的偶三角多项式，从而有p ( z ) 和厶( ) 与它们自身的内插多项式重合，即有 n ( 厶劬o t ) + p ( $ i ) ) “p ) = 厶和( $ ) + p ( z ) ( 2 1 5 ) b = o 先估计a ，由式( 2 1 5 ) 有 a = 三n 嘉厶掰) _ p 黼) + 喜如叫训腆0 + 刍( 厶；p ( z ) 一厶：，( 。) ) + ( p ( z ) 一，( z ) ) ) + f i n - 一r ，( z ) 耻孔静珀刊嘲峙1 善r ( 卅1 ( ：) 酬卅删) + ； 扣嘶刍争广1 ( 小一卅删) = 孔n 驴- - r 训嘶) ) ( 刍善rc 舻1 ( ：) 酬卅删) + 西1b 三n + 。( m t ) 一p ( 引) ( 万1 r s = l ( 1 ) 件1 ( ：) 如) + ( 圳) l 七= n r + l 。 7 + ； 砉c 地m 川c 丢争广1 ( ：) 嘶) ) + 孔妻- p ( k = r + l珀，c 去争) t + 1 ( ：k 卅州硼) ， + ； ( m t ) 。t ) ) ( 砉( 一1 ) 件1 ( ： ( z ) 协( z ) ) ， 。 。t = 1 7 6 一 功 。芦 = 宁夏大学硕士学位论文第二苹修正的三角插值多项式 根据式( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 4 ) 可得 d i = 0 ( e ( ，) ) ； 同理根据式( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 4 ) 可得 d 2 = d ( e ：( ，) ) ； 利用高阶差分与导数之间的关系： q , ( z ) = ( 一1 ) ( 斋) f o ) ( 乩z 6 蚪纸 v ；，扛) = 一( h - - 7 ”- i ) 。，o ( ) ， z j h f 2 弼 m u 有 万l u j h m ) = 击争”( y = 譬( 南) 静1 ) t = 。悟( ，o ) ，抖 其中0 j r - 1 ，+ f f - j - i ) h 1 ( i ，扛+ ( r - - l - - j ) ) 一 ， + ( r - j - i - 1 ) ) ) ( ；1 - j ) ( ，u k l l ) - ，。k 1 2 ) ) f i l z + ( r - i ) h ，z + p - j i i ) h f 1 2 x + ( r - i 1 ) ， l v ：f ( 加。净( ，o ) ，廿 因此就有 d 3 = p 1 - r m m ( 尹，：) ) 综合d i ，d 2 d 3 的估计就可以证得 q = 。 联( ，) + 石1w 希1 ) 由式( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) ( 2 1 6 ) 有 a = 。净( ，孙i = 2 , 3 , 4 当，( 砷c 2 。时，由j a c k s o n 定理有 磁( ，) = l o ，( ( ，( f ”，；) 一7 一 f 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 宁夏大学硕士学位论文第二章修正的三角插值多项式 由式( 2 1 7 ) ，综合g ，q ，岛，o ，定理2 1 2 便得到证明 定理2 1 _ 3 的证明 仍然设p ( x ) 表示，扛) 具有最小偏差且次数不高于n 阶的三角多项式，于是有 i ( ，；r ，z ) 一，扛) = ，( z t ) c - ( 功+ b 。“晚“( 功- - f ( x ) = w c - g , z ) + o ) 一，( z ) ) ) b 2 1 t c 嬲扛) 由式( 2 1 4 ) ，( 2 1 7 ) 可得 。- = 。( 吉u ( ，。，：) ( ，+ k ( z ) ) ) ， 由b 2 ：t 的定义和式( 2 1 6 ) 可以的到 g 2 d 2 = ( 一1 ) 嘉厶，( 锄( h ) + 1 ) 咖( z ) t = o4 = 1 。 = 。净护，舢z ) ) ， 综合i ) l 和d 2 的估计，定理2 1 3 便得到证明 一8 一 叻 。闩 = 宁夏大学硕士学位论文第二章修正的三角插值多项式 2 2 两点修正的奇三角插值多项式 2 2 1 基本概念和主要定理 上节采用一点修正的方法解决了b e m s t e m 问题，本节将采用两点修正的方法解决b e m s t e m 问题 设，( $ ) q 且为奇函数，取结点组 z k ：要，：1 ，2 ，柚 。k 2 i 万， 2 。1 ，。 n 以此作为插值结点的l a g r a n g e 三角插值多项式的基函数为 叫加高著羞磬毒砉嚣高饕善篆岩耸篆焉岩亳 = ( 一1 ) 一1 s i n x ks i n ( n + 1 ) x ( n + 1 ) ( c o s x c o s 。k ) ( 2 1 8 ) n & ( 功= 他椭( z ) ， ( 2 1 9 ) k = 1 这样便得到不高于n 阶的奇三角插值多项式，且它满足下面的插值性质： 晶( ，；) = ，( z ) k = 1 ，2 ，t , 在本节中利用两点修正构造三角多项式算子风。( ，；r ，。) ，具体构造如下： 给定偶数2 1 ( f 为自然数) 将结点组l ，2 ，z 。按2 1 分成若干组，不妨设分为8 组，即 有n = 2 1 s + 口( 0 sq 2 t ) ，在每组的第2 拈一2 ，2 f t l ( t = l ，2 ，5 ) 结点处令 其中吲( 加嘉查( 叫巾( ：) 他+ ( i - s + 1 ) 坝n 弓吲扑1 i 【叫表示取整碱 a c x ) 为函数，( 。) 在z 处步长为h 的r 阶差分 于是皿。( ，；r ，。) 可以表示为 9 ” 2 2 g g 以 以 磁 + + 力 d 卜 卜 现 现 “ “ = = 以 q 印 印 十 以 以 勉 现 “ “ r h r h 。一。一 + + 力 d 一 一 观 却 “ 凡 = = 以 恐 恐 劢g 力叫r 。 i 动 n ， 宁夏大学硕士学位论文 第二章修正的三角插值多项式 当女= 2 i t 一2 时，f k 由式( 2 2 0 ) 给出，当= 2 i t 一1 时，最由式( 2 2 1 ) 给出给出，在其它结点处 取最= f ( z k ) 本节主要结果如下： 定理2 2 1 对任意给定的以2 丌为周期的连续奇函数，( $ ) ，极限等式。l - + i m 。z k ( ，ir z ) = ，( 动在 全实轴上一致成立 定理2 2 2 设，( z ) c 且为奇函数，0 j r l ，则有 i n 。( f ；- ，( 圳= d f 砉蚶，孙 其中“o ”与，n ， ，o ) 无关，u ( ，o ) ，6 ) 为函数f u ) ( x ) 的连续模 定理2 2 3 设，0 ) c 鲁且为奇函数，则有 风( 肌矿他) l = 。 刍w ，扣+ 州瑚) ， n 其中“0 ”与，n ，d ) 无关，k ( z ) 为l e b e s g u e 函数，即有k 0 ) = 船( ) k = l 定理2 2 4 设，( z ) c 鲁且为奇函数，( ”) 工伽a ，0 a 1 ，则有 1 日n ( 饥圹m ) m 等) 其中。o ”与z ，i ，f ，( 7 ) 无关 2 2 2 主要引理 引理2 2 1 3 4 1下砸估计式成立 耋刍耋( 二) k c 卅c 叫卅一圳- o c - ， 献z ) 一勺( 删= d ( 1 ) ； k l ( z ) 一勺+ l ( $ ) i = o ( 1 ) ； 其中 = 2 i t 一2 ，j = 2 t ( t 一1 ) + 2 p 一2 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 引理2 2 2 若p 0 ) 为阶数不超过n 的三角多项式，则由插值多项式的性质有三角多项式p ( x ) 与它 自身的内插多项式重合，即 n ( 和( k ) + p ( z ) ) 船( z ) = z p ( ) + p ( ) ( 2 2 6 ) = l 一1 0 一 宁夏大学硕士学位论文第二章修正的三角插值多项式 2 2 3 定理证明 由定理2 2 2 知定理2 2 i 成立 定理2 2 2 的证明 由式( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 可得 k ( ，；r l 功一，( ) = 最靠( 砷一，( z ) = ，( z ) 乳( z ) - - f ( m ) + ( 磁t - 2 黝( z ) + t - - i & 2 j t - l ( z ) ) = 耋( m 外硝m ( 垆m ) ) + f ( z z t ( h ) + 2 p 一1 ( $ ) ) ( 蚴t - l ( z ) 一s 2 f ( t - 1 ) 协一l ( z ) ) + ，( z 2 f o 一- ) + 2 p 一：) ( s ：f t 一2 ( z ) 一s 2 1 ( t 1 ) + 却一2 p ) ) 一；，( 唧) 昂( 。) t = lp = l p 竺2 1 s 垒面 ( 2 2 7 ) 首先估计d 1 ，用p ( 口) 表示与( x ) 具有最小偏差的不高于n 阶的三角多项式，由，( $ ) 的周期性即性 质占 ( 筇) = 8 + 。( z ) ，k = 1 ，2 ，n ，有 d l = ( ，扛) + x ，( z k ) ) 巩o ) 一，( z ) = ( ， 女) 一p ( ) + ；( ，( z k ) 一p ( $ k ) ) ) s ) + p ( z ) + ( 。) 一，( z ) = 耋丢( 二) c ，c 硇叫砌如- - 1 ) # + m s k + l + m _ , ) ) + f 和0 ) 一a x f ( x ) + p ( x k ) 一，( z ) ) + ：，( z ) = a e l ； ( 2 2 8 ) 当( x ) 谚。，时。由j a g k o n 定理可知 - ，( 酬= 。净( ，o ) ，孙 ( 2 2 9 ) 塞圣奎耋至圭兰堡丝兰 篁三耋丝里塑三鱼堡堡童堡塞 及引理2 2 1 和引理2 2 2 可得 e - = 。 砉wc ，。，；，) ，e ：= 。 砉u c ，。) ，：，) ， 由于，( z ) c 2 ，利用导数和等距差分之间的关系由 a u ( 功= ( 一1 p 刍( ：) f ( 靠) ， ( 2 - 3 0 ) 其中岛缸+ ( 1 8 ) h ，$ + ( 1 + j 一8 ) ) ，于是有 h i = 捱( ”j ) 嘶+ c l + i - s m i = 刍匿( ” , f ( x + ( i + i - s ) h - 嘲州。砷 = 扣+ 1 匿( 俨h 咄刮 = 。悟( ，抖 综合e l ，e 2 ，e 3 的估计可得 扣。净( ，孙 由引理2 2 i 和式( 2 3 0 ) 及8 k ( x ) = o ( i ) 传= 1 ，2 ，n ) ，可得 函= 。 砉u ( ，。，：) ) ， t = 。，s ，a 综上定理2 2 2 得以证明 定理2 2 3 的证明 仍然设p ( x ) 为，( 砷具有最小偏差的不高于n 阶的三角多项式，由式( 2 2 0 ) 及( 2 2 1 ) 有 z k ( ，；r ，z ) 一，( 刁 j = ( 风( ，- p iz ) + p ( z ) 一，o ) ) + 磁8 2 1 “( z ) + f ；l t - 2 8 2 黔2 ( ) t = 1t = l 3 垒d i f f i l 当f ( x ) 时，由式( 2 2 9 ) 有 扣。净( ，( ”，| ) ( 1 “) ) 一1 2 一 宁夏大学硕士学位论文 第二章修正的三角插值多项式 由i ，扛) 的定义及式( 2 3 0 ) 得 f , * - - 刍宝( 州。1 rr f ( r ) ( 咖。悟( ，( r ) ，孙 口l 其中已( x 2 t ( t 一1 ) + 2 p 一1 + ( 1 一s ) h ，2 f ( 一1 ) + 2 p - l + ( 1 + r s ) h ) 于是有 如= 。净( ，( ”，扣z ) ) 同理可以证明 如= 。( ，( “，扣。) ) 综上定理2 2 3 得以证明 定理2 2 4 的证明 由式( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 得 l k ( ，；r ，$ ) 一f ( x ) = ( f ( a c k ) 乳( z ) 一，( z ) ) + 砀一8 2 1 t t ( z ) + 磁8 2 1 一( z ) 垒d i n 利用式( 2 2 9 ) 及el 乳( z ) j = o ( 1 n n ) 8 l 可得 k = l j d l is jk 壹= l ( m 沪p ( 砌m ( z ) l + 坼) _ ，( z ) j d l isl ( m k ) 一p ( z - ) ) s e ( z ) l + p ( z ) 一m ) l- = 。 i n n i ) 对于如，d 3 使有定理2 2 2 中估计e 3 得方法及量m ( z ) j ：o ( m n ) i s k = 1 综上定理2 2 4 得以证明 i d 2 1 = 。 等) l a 3 1 = 。( 黑) 一1 3 一 3 1 引言 第三章 反周期函数( o ，p ( 纠三角插值 关于2 r 周期函数的( 0 ，m ) 插值及其双周期情形前人已经做了大量的工作，例如文献 1 2 ，1 3 ，1 5 _ 1 8 ，2 1 1 近年来，f j d e l v o s 等人在文献【3 5 ，3 6 中研究了以1 为周期的反周期函数 的( 0 ，m ) 插值问题，但是这类插值问题要求被插值的函数具有若干阶导数，不适用于被插值函数 在结点处不可导的情况，从而在实际应用中受到很大限制受文献【3 7 ，3 8 】的启发，本章通过用积分 多项式算子p ( o 代替微分多项式算子p ( d ) ，研究反周期函数三角插值问题p ( i ) = f m 的情况已 由何尚琴1 4 0 l 研究 设对任意的$ r 。若， + 口) = 一，( z ) ，则称f ( z ) 是以7 r 为周期的反周期函数 令靠表示最高次数不超过n 的三角多项式空间，则 勺= t p a n 1 ) ，靠= 1 k 一1 + s p a n c o sk x ，s i nk x 令u 。= t r ni t ( x + w ) = t ( ) ) 是以 为周期的三角多项式子空间，则有 蛳= r 0 ，忱t + l = 忱i ， u 2 k + 2 = 忱k + 1 + s l , a n c o s ( 2 k + 1 净，s i n ( 2 k + l 净) 令u ； = t i t ( x + 7 r ) = 一t ( z ) 是以口为周期的反周期的三角多项式子空间，则有 “，手= o ，矗+ l = u 矗+ s p a n c o s ( 2 k + 1 ) ，s i n ( 2 k + 1 m ，u 矗+ 2 = u 矗+ 1 显然 r n = , o n o 砖 令k = 譬，弧= z + 磊，k = 0 ，1 ，n 一1 由文献 3 6 】知，当t l 为偶数时， 二。扛一z k ) 10 sk n l 是“0 1 的一组基，其中 训= ；薹c 坤k ， 当n 为奇数时，t 厶。缸一。k ) 10 k n 1 ) 是“k 一1 的一组基，其中 圳= 磊1 + ；- - 喜c o s z h b z ， 对，( z ) j 嘛，x = c 或x = l ，设0 h 蠡，m 为自然数。定义积分算子j ”： 州加即= 轰仁“，( t ) d t ，”，扛) = i ( i m - - 1 ，0 ) ) ， m 2 由文献 3 3 1 耐f li , n ，( z ) 是，( z ) 的m 阶s t e l d o v 函数 本章将讨论的是以，r 为周期的反周期函数的两类( 0 ，p ( o ) 三角插值问题： p l ：对给定的等距结点x k = 簪( o k n 一1 ) 及任意给定的两组数( o ) n ：- 0 1 ， 凤) 瓮，在什么 条件下存在唯一的t ( ) “也一l ，使得 t ( x k ) = o k ，( p ( j ) 刃( z k ) = 凤 成立? 能否求出t ( z ) 的明显表达式? p 2 ：对给定的等距结点k = 簪，y k = $ + 磊( osk n 一1 ) 及任意给定的两组 数 o k ，n k ：- - o i ， 反) k n ；- 0 1 ，在什么条件下存在唯一的t ( z ) f ，厶一l ，使得 t 扛k ) = a ：，( p ( j ) t ) ( 弧) = 反 成立? 能否求出t ( 的明显表达式? 3 2 主要引理 引理3 1 1 1 3 6 1 对于任意的t 0 ) u 嘉一l ：若n 为偶数时，则存在唯一的c ，v r n j 。- - 1 ；若n 为奇 数时，则存在唯一的叻，v r “，忭一l ，使得 t ( z ) = s i nn x u r ( x ) + c o sn t 坼( z ) r t - - 1 其中叻，( ) = ( 一1 ) t ( 鲰) l 。忙一珊) ， k = o 引理3 1 2 对m = 1 2 有 n 一1 i ( z ) = ( 一1 ) 。t ( z k ) l 。扛一；t k ) k = o j ”c ，s i j n n h i ”c 0 8 如j ”s i n 如= s i j n n j h ) ”s i n 如 证明：由数学归纳怯和，“的定义容易证明 定义算子：a ：( n ，b p ，( ) ：r r a ，p 。( 7 ) e 4 h = n p ( 7 ( ) e 4 k ，b ，p ( 7 ) e 4 “= 6 擎。( ) e h ， 其中 n ( 。忙) = j 1 【p ( 、s i n ( h n ( n + + k ) k ) ，、+ p ( s i n 石再h ( 酉n - k ) ) ) 】； ( 3 3 ) b p ( o 忙) = 云1 【p ( 错) 一p ( 封) 1 ( 3 4 ) 引理3 1 3 对于t ( z ) 咄一1 ，若n 为偶数，则存在唯一的u r ，v u 是l ；若n 为奇数时，则存在 唯一的u ，场，“k l ，使得 一1 5 一 ( p ( o f ) ( z ) = s i n 他( a ：( 7 ) u 扛) 一口：( 7 y ( z ) ) + c o s n x ( b ：( u ( z ) + a p ( 7 ) y 扛) ) 证明：由欧拉公式和引理3 1 2 及算子a ：( n ，b ：( 1 的定义可得 同理可以证明 p ( ) ( s i n p x e ) f = p s l j ( s i n n x e i k z ) ：薹叫壁学卜矗h + 塞乃 鲎掣芦生 。毛 = 洳篇莩铲川p c 笔等，) 咖谢h + 去( p c 黼，一p c 鬻，) c o s e ；h ； p ( t ) ( c o s n x e 4 。) = c o s n x a p n ( 。) e 4 “一s i n n x b 嚣( 7 ) e h ( 3 6 ) 当t ( x ) “去一l 时，由引理3 1 1 可设t ( z ) = s i n n x u v ( x ) + c o s n x v r ( z ) ，u r ，v t 是e “= 0 ，1 ，2 ，n 一1 ) 的线性组合，再由算子的线性及式( 3 5 ) 和( 3 6 ) 可以证明该引理 3 3 主要定理及证明 定理3 1 1 若p ( 生；# 鲁铲) 一p ( 絮e ；掣) 0 ，则存在唯一的g ( z ) ，日( “磊一- 具有形式： c ( z ) = s i n n x u g ( x ) + c o s k ( z ) ，( 。) = 一( 蟛( 7 ) _ 1 ( 吧。( z ) ； 满足 h ( z ) = s i nn x u m x ) ，u h ( z ) = ( 睇( 1 _ 1 厶( 功 g ( x k ) = 曲，( p ( j ) g ) ( 。k ) = 0 ； 日( z ) = 0 ，( p ( ，) 日) ( f k ) = 南k 证明：由引理3 1 1 ，对g ( 。) ，h ( x ) 岵。一1 存在唯一的，及u n ，v n 满足： c ( z ) = s i n n 。( ) + c 0 8 竹z v o ( z ) ，h ( x ) = s i n 船( z ) + c 0 8 7 t 2 ：( z ) 一1 6 一 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 塞墨奎耋矍圭兰堡篁奎 !堑三塞星星塑里鍪l 垒呈垡! ! 三里堑堡 由引理3 1 3 及式( 3 7 ) 与( 3 8 ) 的第一个插值条件可得 话( z ) = l 。( z ) ，v n ( z ) = 0 ； 由引理3 1 3 和式( 3 7 ) 与( 3 8 ) 的第二个插值条件条件可得 a ：( 。厶，0 ) + b ，p ( 。) u gc x ) = o ，b ：( 1 ) e ，