（基础数学专业论文）有序banach空间半线性发展方程的周期解.pdf

摘要 本文讨论了有序b a n a c h 空间e 中半线性发展方程 ( t ) + a u ( t ) = f ( t ，u ( t ) ，u ( t ) ) ， t r u 一周期解的存在性其中a 为e 中的闭线性算子，一a 生成了岛一半群t ( t ) 0 0 ) ，( ，u ，v ) ：r x e e e 连续，关于t 以u 为周期 本文利用拟上下解方法与正算子半群理论，并借助于单调迭代方法及不动点定理获 得了半线性发展方程u 一周期解的存在性另一方面，我们对相应的线性发展方程建立了 周期解的存在唯一性，并对周期解算子的谱半径作了精确估计，利用此估计我们仅在序条 件下获得了半线性发展方程”周期解的存在唯一性所得的结果概括、统一及推广了 常微分方程、偏微分方程及b a n a c h 空间常微分方程中的若干结论 关键词：b a n a c h 空间；半线性发展方程；正。一半群；周期解；正规锥；拟上解；拟 下u 一解：非紧性测度 中图分类号：0 1 7 5 2 5 1 l a b s t r a c t t h i sp a p e rd m c m st h ee x i s t e n c eo fu p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s u 7 0 ) + a u ( t ) = f ( t ，u 0 ) ，u c t ) ) ， t r ， i na l lo r d e r e db a n a c hs p a c ee w h e r eai sad o s e dl i n e ro p e r a t o ri ne ，- ag e n e r a t e sa 岛一 s e m i g r o u p t ( t ) ( t 0 ) o nea n df ( t ，n ， ) ：r x e e _ + ei s ac o n t i n u o u sm a p p i n gw h i c hi s ，一p e r i o d i ci nt i nt h i sp a p e r ，t h eq u a s i - u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o da n dt h ep o s i t i v eo p e r a t o r ss e m i g r o u p st h e o r ya r ea p p l i e dt op e r i o d i cs o l u t i o np r o b l e m sf o rs e m i l i n e a re v o l u t i o n se q u a t i o n s t h e r e 8 u l t 8o nt h ee x i s t e n c eo fw - p e r i o d i cs o l u t i o na r eo b t a i n e db yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m a n dt h em o n o t o n ei t e r a t i o ns c h e m e o nt h eo t h e rh a n d ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l to f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o ra s s o c i a t e dl i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o ni se s t a b l i s h e d ，a n dt h es p e c t r a lr a d i u s o fp e r i o d i cr e s o l v e n to p e r a t o ri sa c c u r a t e l ye s t i m a t e d w i t ht h ea i do ft h ee s t i m a t i o nt h ee x i s - t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t so fp e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e db yu s i n gt h ec o n d i t i o no fo r d e r t h ep r e s e n tr e s u l t sg e n e r a l i z e ，u n i f ya n de x t e n dt h er e l e v a n tc o n c l u s i o n si no r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n da b s t r a c to r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e y w o r d s ： b a n a c hs p a c e ；s e m i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；p o s i t i v ec o - s e m i g r o u p s ；p e - r i o d i cs o l u t i o n , n o r m a lc o n v e x - c o n e ；u p p e rw - q u n s i s o l u t i o n ；l o w e rw - q u a s i s o l u t i o n ；m e a s u r eo f n o n c o m p a c t n e s s m 1 毛( 2 0 0 6 ) s u b j e c tc l a s s i c a t l o n ：0 1 7 5 2 5 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名： 查! ! 垄 日期： 塑生垒兰鱼竺旦 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名彦。筮导师签名：垄五! 銎日期： 。t _ j b 刖一吾 抽象空间微分方程理论是近3 0 年来发展起来的一个新的数学分支，它把微分方程理 论与泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究抽象空间中的微分方程一方面，抽 象微分方程是一种无穷维系统，它与有限维空间中的常微分方程有着本质的区别，因而有 限维空间常微分方程的许多结论和方法对抽象微分方程不再适用i i 一 2 1 如古典常微分 方程理论中p e a n o 存在性定理就不再成立了，即在无穷维b a n a c h 空间的情形，非线性项 的连续性保证不了解的存在性为了获得无穷维常微分方程的可解性，人们一般提出了 三类条件，一类是紧性条件，一类是耗散性g - 牛【l 卜 3 1 ，一类是序条件，但耗散性条件适用 于一种非常特殊的情形另一方面，许多研究领域的发展为抽象常微分方程提供了广阔 的应用背景例如，在临界点理论中起重要作用的形变引理和下降流方法，就是建立在 b a n a c h 空间常微分方程解的性质的基础上的：后来人们又利用b a n a c h 空间常微分方程 理论证明了许多新的不动点定理，研究了非线性算子特征值的性质；近年来无穷维线性和 非线性控制理论的迅速发展也广泛地应用了抽象空间中微分方程理论正因如此，抽象空 问微分方程理论研究越来越受到国内外学者的广泛关注，研究成果层出不穷 抽象空间微分方程内容丰富，应用范围广，其中抽象半线性发展方程是近年来研究比 较活跃的主题之一这是因为在实际应用领域里，有许多数学物理方程，如波动方程、微 分动力系统、抛物型方程、热传导方程、s c h r s d i n g e r 方程、反应扩散方程等1 4 可以用 半群方法将之化为一个b a n a c h 空间中的抽象微分方程，该方程含有一个无界线性算子 项与一个非线性项之叠加，从而可以化为抽象半线性发展方程而统一处理之另一方面， 在抽象半线性发展方程的研究中，对数学也提出了许多挑战性的问题尤其是抽象半线性 发展方程周期解的存在性问题 s l ，因而正引起愈来愈多的数学工作者和工作技术人员的 浓厚兴趣 本文的主要目的是讨论b a n a c h 空间半线性发展方程周期解的存在性及唯一性关 于b a n a c h 空间半线性发展方程周期解问题的存在性已有一些结果，见文献【4 ， 7 卜 1 0 1 等文蚓首次将上、下解方法引入到有序b a n a c h 空间中的半线性发展方程，获得了半 线性发展方程整体解与正解的存在性文【7 】通过对线性方程周期解算子的估计，在非线 性项，( t ，u ) 关于ul i p 连续的条件下，获得了发展方程周期解的存在唯一性，取消了以 前言 往对a 为解析半群的生成元并有紧预解式的假定文【8 】利用正算子半群理论与上、下 解方法在 ( i ) 一a 生成的岛一半群丁( t ) 0 0 ) 为紧半群 ( i i ) k 为正则锥，半群t ( t ) 在t 0 上按算子范数连续 这2 种情形下讨论了半线性发展方程 ( t ) + a u ( t ) = f ( t ，“( ) ) ，t r( 0 - i ) 的廿周期解的存在性其中a 为e 中的闭线性算子，一a 生成了c o 半群t ( t ) o ) ， f ：r x e e 连续，关于t 以u 为周期 当v 0 ，训o c 1 t ( o ，叫，e ) n g ( 【o ，w 】，d ) ) 为方程( 0 - 1 ) 的下、上u 一解且，满足下列 条件( p ) 时 ( p ) jc 0 ，对v 6 , w v o ，撕l ，当叫口时，有 f ( t ，叫( 亡) ) 一，( t ， ( ) ) 一g ( ( 亡) 一 0 ) ) ，v t f 0 ，u 1 获得了方程( 0 - 1 ) 的最大”周期m i l d 解和最小u 一周期m i l d 解的存在性；而文【9 l 也在 上述2 种情形下用类似的方法讨论了半线性发展方程周期边值问题 札，( ? + a ? ? 2 ，( 亡，u ( 亡) ，u o ) ) ， o u ， ( o _ 2 ) it t ( o ) = u ( u ) ， 的耦合周期解的存在性，当方程( 0 - 2 ) 存在拟上、下解且，为周期混合单调的连续函数 时，给出了方程的最大、最小耦合拟周期解的存在性结果最近文【i o 在不使用条件( i ) 与( i i ) 的情形下利用半序理论与上、下解的单调迭代方法在弱序列完备空间中讨论了半 线性发展方程( 0 - i ) 的整体解与周期解的存在性而本文主要讨论了半线性发展方程 t ，+ a u ( t ) = ，( t ，u ( t ) ，u ) ) ，t r( 0 - 3 ) 的”周期解的存在性及唯一性当，( t ，u ，”) = ，( t ，牡) 时即得文【8 】中主要结论；当 f ( t ，u ，”) = f ( t ， ) 时，我们得到另一类满足减性条件的半线性发展方程的周期解存在定 理及唯一性定理因而本文的目的是改进和推广已有的这些工作，我们在较弱的条件下 得到了b a a a c h 空间半线性发展方程周期解的存在性结果，推广了上述作者的工作 我们使用的主要工具是半序理论，正算子半群理论，非紧性测度，不动点定理及拟上 下解方法，本文将这方面的结果整理在1 中 在5 2 中我们利用正算子半群理论与拟上、下解的单调迭代方法，在岛一半群t ( t ) 为紧半群的情形下，讨论了半线性发展方程周期解的存在性，主要推广了文1 8 1 一1 9 】中的相 前言 应结果尤其是改进了文【9 】中结果，我们获得了半线性发展方程的周期解，而文f 9 1 仅得 到了方程的耦合周期解另外我们在半群t ( t ) 在t 0 上按算子范数连续，而不要求耳 为正则锥的情形下，利用凝聚映射的不动点定理依然得到了半线性发展方程周期解的存 在性 在3 中我们通过计算对应线性发展方程周期解的周期解算子的谱半径，仅用序条件 在方程拟上、下解存在和不假定拟上、下解存在的情形下，利用单调迭代方法获得了半 线性发展方程周期解的存在唯一性，是对文【7 l 一【lo 】中结果的进一步完善 在4 中我们利用5 2 ，3 中半线性发展方程周期解存在的抽象结果，讨论了n 阶微分 动力系统以及抛物型偏微分方程周期解的存在性及唯一性，概括和推广了常微分方程与 偏微分方程中的若干结论 3 1 准备知识 本节我们给出一些与本文相关的基本概念和引理，本节的所有内容均为引录，读者可 参考所列文献以获得更为详细的内容 一锥与半序 我们熟知b a u a c h 空间中的序结构与闭凸锥是两个等价的概念，一个序关系总可由 一个闭凸锥引出( 见文【1 卜【2 1 ) 设e 为b a n a c h 空间，k 为e 中的闭凸锥，则可由k 引 出e 中的序关系x y 营y 一$ k ，使e 按“”构成有序b a n a c h 空间此时锥 k = 忙e f z 称为e 的正元锥以后我们使用的半序总由一个锥引出，给出了一 个闭锥，就意味着确定了一个半序 e 中闭凸锥k 称为正规锥，是指：存在常数n 0 ，使得当0 y 时，有 0 0 n 1 1y i i ，其中为正规常数一 令i = 【0 ，叫，记c ( i ，e ) 为定义于i 取值于e 的抽象连续函数按范数i i “l _ i ：d 。- s xl l u ( t ) 0 构成b a n a c h 空间，若e 为有序b a a a c h 空间，设其正元锥为k ，则c ( i ，e ) 按序关 系u 墨口甘u ( t ) ( ) ，t i ，亦为有序b a n a c h 空间，以后c ( i ，e ) 中的半序“墨”总是 这样；j 1 2 - 显然该半序由c ( i ，e ) 中的闭凸锥k o = u c ( x ，e ) l u k ，t j ) 引出，当 k 为正规锥时，甄亦为正规锥，且正规常数相同 设e 为有序b a n a c h 空间，z ，y e ，z 曼y ，以后记陋，y 】= t e i xsus 可) ，称为 e 中的序区间，而对也， c ( i ，切，u ”，阻， 表示c ( z ，e ) 中的序区间 二非紧性测度 定义1 1 设e 是实b a n a c h 空间，s 是e 中的有界集，令 n a ( s ) = i i l f 6 o l s = ub _ f ，d i a m ( b t ) 5 , i = 1 ，2 ，) ， 显然，0 q ( s ) + o 。皿( s ) 叫做s 的k t t r a t o w s k i 非紧性测度，其中d i a m ( b ) 表示子集 鼠的直径 非紧性测度o ( ) 具有如下的基本性质 ( i ) n ( s ) = 0 甘s 为相对紧集； 4 i 准备知识 ( i i ) s c t 兮a ( s ) s n ( t ) ； ( i i i ) a ( s - - ) = o ( s ) ； ( i v ) a ( sut ) m a x 口( s ) ，口( t ) ) ； ( v ) a ( a s ) = i o i o ( s ) ，其中a s = z l z = 伽，u s ) ； ( v i ) a ( s + t ) 口( 回+ n ( t ) ，其中s + t = z i 。= y + u ，y6 墨“t ) ； ( v i i ) o ( 历s ) = o ( s ) 其中s ，t 表示e 中有界集，a 是实数 这些性质见文 2 ，此外我们还需要与非紧性测度有关的下列一些结果 引理1 1 设b c e 有界，t ：e e 为线性有界算子，则a ( t ( b ) ) 0 及实数6 ，使 0 t ( t ) 峪m e 以，t 0 ， ( 2 - 3 ) 对线性发展方程周期问题，有如下结果 引理2 1 设一a 生成的正c o - 半群? ( t ) o 0 ) 指数稳定，则线性发展方程周期问题 f ( t ) + a 钍o ) 1 。( o ) ：u ) 8 ( 2 4 ) 2 半线性发展方程周期解的存在性 对v h c ( i ，e ) 存在唯一m 耐解p ( h ) c ( s ，e ) ，且 i ) 若h c 1 ( ，e ) ，则p ( 砷c 1 ( j ，e ) n c ( r ，e 1 ) 为( 2 _ 4 ) 的古典解 i i ) 若h ( t ) 0 ，则p ( h ) 0 该引理见文 8 之定理2 1 ， 以下我们用拟上下解的单调迭代方法讨论方程( 2 - 1 ) 的”周期解的存在性 定义2 1 若存在珈( t ) ，w o ( t ) g 1 ( ，e ) n c ( z ，目) ，对v t i 满足条件： 嵋( t ) + a v o ( t ) ，( f ，咖( t ) ，t c j 0 ( t ) ) ， v o ( o ) 咖) ， t 诺( t ) + a w o ( t ) ，( t ，t ( t ) ，t b ( t ) ) ，w o ( o ) 2 ”o ( u ) 则称，叫。为方程( 2 1 ) 的拟下、上u 一解；若上述4 式均取等号，则称 o ，锄。为方程 ( 2 - 1 ) 的拟u 一周期解；进而，着v 0 = w 0 ：= 钍o ，则称“o 为方程( 2 - 1 ) 的u 一周期解 二主要结果 定理2 1 设e 为有序b a n a c h 空问，k 为其正规锥，一a 生成的正岛一半群t ( 亡) 0 0 ) 为紧半群，：ixe xe f 连续，关于t 以u 为周期若方程陋1 ) 存在拟下、上u 一解 v 0 ， o ；且咖sw 0 ，非线性项f ( t ，牡， ) 在序区间【? j 0 ，2 1 ) 0 上满足假设： ( h 1 ) 了常数c 0 ，对v 地，耽，叫0 】0 = 1 ，2 ) ，当u 1 u 2 ，仉v 2 时，有 s ( t ，u 2 ，t b ) 一s ( t ，1 5 1 ，v 1 ) - c ( u 2 一1 ) ， v t ， 则半线性发展方程( 2 _ 1 ) 在，w o 上存在虽小、最大拟u 周期m i l d 解对( 矿，) ， t 0 0 】x ，蚓，且有 = l i m ，锄+ = l i r a 如n( 2 - 5 ) 其中 ”。( f ) = s 0 ) b ( t k 一1 ，t 一1 ) + s ( 亡一s ) ( ，0 ， o n 一1 ( s ) ，叫。一l ( s ) ) + e 铒。一l ( s ) ) d s ，( 2 - 6 ) j u ( t ) = s ( 0 b ( “v n 一1 ) + j ( s ( t - - 8 ) ( ，( s ，一1 ( s ) ，v n 一1 ( s ) ) + g 一1 ( s ) ) d s ，( 2 - 7 ) 聊川叫一即) ) 1 f 鼬_ s ) ( ，( s 川s ) 吣) ) + 伪( 5 ) ) “( 2 - 8 ) s ( t ) = e - o r t ( 0 ( t o ) ；进一步，在矿与w + 之间至少有一个u 一周期m i l d 解 9 2 半线性发展方程周期解的存在性 证明 不妨设c d ，则一( a + c i ) 生成e 中指数稳定的正岛一半群s ( t ) = e - c t t ( t ) ，且s ( t ) 为紧半群记d = v o ，”o 】，由引理2 1 知，对v h l ，h 2 d ，e 中的线性发 展方程p b v p “，( + 4 让 ) + g 钍o ) = ，p ， “t ) ， 2 0 ) ) 十g 危1 0 ) i 。l ( 2 9 ) lu ( o ) = u ( u ) 存在唯一的m i l d 解： q ( h l ，h 2 ) ( t ) = s ( t ) b ( h l ，h 2 ) + s 0 一s ) ( ，( s ，h i ( s ) ，h 2 ( s ) ) + c h l ( s ) ) d s ( 2 - 1 0 ) 其中 b ( h l ，k ) = ( i s ( u ) ) 一1 s ( u s ) ( ，( s ，h i ( s ) ，k ( s ) ) + c h l ( s ) ) d s ( 2 - 1 1 ) 易见e ：d d c ( i ，e ) 连续，( “，f f ) d xd 为方程( 2 2 ) 的拟m i l d 解对的充要条件 是( 口) 为q 的拟不动点下证由( 2 - 1 0 ) 式定义的算子q 满足： ( 1 ) v o e ( v o ，) ，q ( 0 0 ，如) w o ； 由拟下u 一解的定义，( t ) + a v o ( t ) y ( t ，( t ) ，蛳( t ) ) ，t ，故( t ) + a v o ( t ) + c ( 亡) f ( t ，咖( t ) ，0 0 ( 0 ) + g 咖( t ) ，记上式左端为g ( 0 ，则 ( t ) = s ( t ) v o ( o ) + s 0 一s ) g ( s ) d s 。l ( 2 - 1 2 ) “ 、， 墨s 0 ) t ) 0 ( o ) + fs ( t s ) ( ，( 3 ，t m ( s ) ，t d o ( s ) ) + c t 0 ( s ) ) d s 特别地， o ( 0 2 ) ss ( u ) t b ( o ) + s ( u s ) ( ，( s ，t b 0 ) ，w o ( s ) ) + c v o ( s ) ) d s ， j 0 因为v o ( o ) 如) ，故有 v o ( o ) s ( i s ( u ) ) 一1 s ( u s ) ( ，( s ，t 吣( s ) ，w o ( s ) ) + c v o ( s ) ) d s = b ( v o ，t 咖) 另一方面，由( 2 1 0 ) 式有 i t q ( 珈，w o ) ( t ) = s ( o b ( 口o ，0 0 ) + s ( 亡一s ) ( ，( s ，( s ) ，w o ( s ) ) + c 口o ( s ) ) d s ( 2 - 1 3 ) ( 2 1 3 ) 式与( 2 1 2 ) 式相减有：q ，帅) ( t ) 一v o ( t ) s ( t ) ( u o ，0 0 ) 一( o ) ) 0 ，所以 有，如q ，撕) ，同理可证e ( 0 0 ，v 0 ) w 0 ( 2 ) v t “，饥d ( i = l ，2 ) ，且u 1 u 2 ， 1 v 2 时，q ( “1 ，v 1 ) q ( u 2 ， 2 ) 对v 地，饥d ( i = 1 ，2 ) ，当“1su 2 ，饥v 2 时，由假设( h 1 ) 知： y ( t ，u 1 ( ) ， 1 ( t ) ) + c u l ( t ) f ( t ，u 2 ( t ) ， 2 ( t ) ) + c u b ( t ) ，t i 因为s ( t ) 为正岛一半群，故有 】0 2 半线性发展方程周期解的存在性 j s ( w - 8 ) ( f ( 8 ，1 ( s ) ，口t ( s ) ) + 丸1 ( s ) ) d s 眉s ( u 一3 ) ( ，( 岛u 2 ( s ) ，v 2 ( s ) ) + c u 2 ( s ) ) d s 由半群性质，l i ( s p ) ) “i i = ljs ( n u ) i l m e “( 蛐，故由谱半径知r p ) ) e - ( c - o 1 ， 所以i s ) 有有界逆算子：( ，一s p ) ) - 1 = s ( 一) 显然( i s ( u ) ) - 1 亦为正算子， 故由【2 1 1 ) 式得b ( u l ，v 1 ) b ( u 2 ，v 2 ) 再结合( 2 - 1 0 ) 式有：q ( u 1 ， 1 ) 墨q ( n 2 ， 2 ) 于是 q ( d ，d ) c d f 3 ) q ：d d d 为全连续的 对v 危l h 2 d ，令 一 w ( h l ，h 2 ) ( t ) = s 一s ) ( ，( s ，h i ( s ) ，( 5 ) ) + c h l ( s ) ) d 8 ( 2 - 1 4 ) 则q ( h l ， 2 ) ( t ) = s ( t ) b ( h l ，h 2 ) + w ( h l ，b ) 0 ) ，先证对每个0 t u ，y ( t ) ：= ( 1 ，) ( t ) ：( h i ，圯) dxd ) 为e 中的相对紧集取0 0 ，k ( t ) 总有有限的0 - 网又因为 一 i ii 矿( ， 2 ) ( t ) 一w e ( h i ，h 2 ) ( t ) i i = 1 l s ( t s ) ( ，( s ，h 1 ( s ) ，h e ( s ) ) + c h i ( s ) ) id s j 一e 一 0s ( t - s ) 0 1 l ，( s ，h i ( s ) ，( s ) ) + g h l ( s ) d s j t - - e m m l a 只要e 充分小，则y ( t ) 就有有限的o 一网，从而y ( t ) 为e 中的完全有界集，即为相对紧 集特别地，y ) 也为e 中的相对紧集，进而 b ( h l ，如) ：( h 1 ，h 2 ) d d ) = b ( d ，d ) = u s ( u ) ) - 1 y p ) 为e 中的相对紧集，故 s ( t ) b ( h l ，h 2 ) ：( h i ，h 2 ) d d ) 为y 中相 对紧集 q ( h 1 ，k ) ( t ) ：( h l ， 2 ) dxd ) = s ( t ) b ( h l ，h 2 ) + w ( h l ，h 2 ) ( t ) ：( h i ，如) d d ) l ! 兰丝堡苎垦查塞旦塑堡塑查垄些 且q ( h l ， 。) ( o ) = q ( h l ， 2 ) ( ) = b ( h l ，h 2 ) ，即 q ( h l ， 2 ) ( o ) ：( h i ，h 2 ) d d ) = b ( d ，d ) 相对紧总上可知 q ( ，) ( ) ：( h 1 ，h 2 ) d d ，v t n 为e 中相对紧集 另一方面，对于0 t 1 兰t 2 u ，因为 一1 w ( h l ，h 2 ) ( t 2 ) 一w ( h l ，k ) ( t 1 ) = 7 【s ( t 2 一s ) 一s ( h s ) 1 ( ，( s ，h 1 ( s ) ， 2 ( s ) ) + c h l ( s ) ) d s j 0 ，f 2 + s ( t 2 一s ) ( ，( s ，h i ( s ) ，h 2 ( s ) ) + c h l ( s ) ) d s j 亡l 则 ，t l 0w ( h l ， 2 ) ( 如) 一w ( h l ，k ) ( 1 ) 0 m i i ls ( t 2 一s ) 一s u l 一s ) 0d s + ( 屯一t 1 ) m m l j 0 且以| | s ( t 2 一t l + s ) 一s ( s ) | | d s + ( 亡2 一t 1 ) m m l 山 ( 2 1 7 ) ( 2 1 7 ) 式右端只与t 2 - t l 有关，而与( h l ，k ) 无关由紧半群s ( t ) 在t 0 上按算子范数连 续知，当t 2 - - t l 一0 时，( 2 1 7 ) 式右端趋于零，从而w ( d ，d ) 为y 中等度连续函数簇又由 s ( t ) b ( h l ，h 2 ) ：( h i ， 2 ) d d ) 为y 中相对紧集知， s ( t ) b ( h l ，h 2 ) ：( h i ， 2 ) d d ) 等度连续，故q ( d ，d ) 等度连续综上由a r z e l a - a s c o h 定理知，q ( d ，d ) 在y 中相对紧， 从而0 全连续 ( 4 ) 于是由【1 5 】中定理1 知q 有最小、最大拟不动点( 矿， + ) d d ，即若( - ，动 也为0 的拟不动点，则必有矿s 可 + ， s 可 + 且有( 2 - 5 ) 式及( 2 - 6 ) ，( 2 7 ) 式成 立，此时( 矿，t j + ) 即为半线性发展方程p b v p ( 2 2 ) 的最小、最大拟m i l d 解对 下证半线性发展方程p b v p ( 2 - 2 ) 在卜，w + 】之间至少有一个m i l d 解 作算子驴： j t ( q + “) ( t ) = q ( u ， ) 0 ) = s ( t ) b ( u ，“) + s 0 一s ) ( ，( s ，钍( s ) ，乱( s ) ) + c u ( s ) ) d s 对v u i v 。，矿 ，由q 的混合单调性知， 矿= q ( 矿，叫) q ( “，札) = q + ( ) = q ( u ，u ) q ( 加+ ， + ) = 埘+ 从而由q 的全连续性知，驴：扣+ ，”+ 】一妒， 1 为全连续算子，故由s c h a u d e r 不动点定 理知，q 在i u ，”1 中有不动点u ：q + u = 札 程p b v p ( 2 2 ) 的m i l d 解 即“= q ( “，n ) ，此不动点即为半线性发展方 注1 与文【9 】相比，我们不仅得到了p b v p ( 2 - 2 ) 的最小、最大拟m i l d 解，也得到 了半线性发展方程p b v p ( 2 - 2 ) 的m i l d 解，而文 9 】仅获得方程( 2 - 2 ) 的拟周期解对，因 此定理2 1 在很大程度上改进了文【9 1 9 中的主要结果 1 2 2 半线性发展方程周期解的存在性 定理2 2 设e 为有序b a n a c h 空间，k 为其正规锥，一a 生成的正岛一半群t ( t ) 0 0 ) 为紧半群，：i e e e 连续，关于t 以u 为周期若3 w o e ，w o 0 ，使：，( t ，口，w 0 ) 0 ， a w o s ( t ，w 0 ，口) ，v t 【0 ，u 】且，( t ， t t ， ) 在e 中的序区间p ，z o o 】上满足假设( h 1 ) 则半线性发展方程( 2 - 1 ) 存在正小周期m i l d 解u ：0 札( ) w 0 证明易知= 日与分别为半线性发展方程( 2 - 1 ) 的拟下、上解，从而定 理2 1 的条件满足，故按定理2 1 ，半线性发展方程( 2 - 1 ) 在峨w o 】中存在正u 一周期m i l d 解 一 定理2 3 设e 为有序b a n a c h 空间，k 为其正规锥，一4 生成的正岛一半群t ( t ) 0 ) 为指数稳定的紧半群，：i e e e 连续，关于t 以u 为周期若s ( t ，u ，”) 在c ( i ，e ) 中的任何序区间上满足假设( h 1 ) ，且3 0 a 及h c 1 ( j ，e ) ，h ( t ) 口，使 - - a x h ( t ) f ( t ，一x ，z ) ，f ( t ，z ，- - x ) a x + ( t ) ，忱et 【0 ，u 】 则半线性发展方程( 2 - 1 ) 至少存在一个u 一周期m i l d 解 证明考虑线性发展方程p b v p 幻+ a u ( 站1 q t ) “o ) t el(2-18) i 牡( o ) = 钍( u ) 由0 6 及以下条件： 1 3 2 半线性发展方程周期解的存在性 ( h 2 ) 3 0 l 6 知，- ( a + c i ) 生成b 中指数稳定的正岛一半群 s ( t ) = e - c t t 0 ) 由引理2 1 知，线性发展方程p b v p ( 2 - 9 ) 存在唯一的m i l d 解设q 为 定理2 1 的证明中定义的算子，则有q ：d d c ( z ，e ) 连续并满足： ( i ) v o q ( 咖，w o ) ，q ( w o ，v 0 ) w o ； ( i i ) v m ，啮d ( i = 1 ，2 ) ，且“1 u 2 ，y l v 2 时，q ( u l ， 1 ) q ( “2 ，v 2 ) 作迭代序列： y n = q ( 一1 w n1 ) ，q ( 一1v n1 ) = ，n = 1 ，2 ， ( 2 - 1 9 ) 由( i ) ，( i i ) 及v o w 0 知， 伽 l 7 2 n - - w 。w l w 0 ( 2 - 2 0 ) 而由定理2 1 中的证明知，w ( d ，d ) 为y 中的等度连续簇 另一方面，对v ( h 1 ，h 2 ) d d 由( 2 1 1 ) 式及( 2 - 1 6 ) 式有 0 日( l ，h 2 ) | 1 0 ，及任意的e t 1 t 2 u ，有 6s ( t 2 ) b ( ，h 2 ) 一s ( t i ) s ( h 1 ，h 2 ) i i 0s ( t 2 ) 一s 0 ，) | | ，0 ( t 2 一f 1 - 0 ) 因此 s ( t ) b ( 1 ，h 2 ) ：( h 1 ，h 2 ) d x d ) 在k ，u 】上等度连续又知w ( d ，d ) 在【o ，u 】上等 度连续，因此q ( d ，d ) = s 0 ) b ( h l ，b ) +