（基础数学专业论文）泛函微分方程解的振动性与零点分布.pdf

中文摘要 论文题目： 专业： 博士生： 指导教师： 泛函微分方程解的振动性与零点分布 基础数学 吴洪武 徐远通 中文摘要 本篇博士论文讨论了二阶非线性常微分方程、高阶非线性泛函微分方程以及时 标( t i m es c a r e s ) 上的动态方程等的振动性态和渐近性态，并进一步研究了一阶泛函微分方 程和中立型微分方程解的零点分布本文所得结果推广了已有文献中相应的结论，并且可 应用于以前所不能处理的若干情形此外还通过一些实例、说明了相应准则的应用全文 共为五章 第一章为综述简要回顾常微分方程、泛函微分疔- 程及时标上的动态方程等的振动理 论的发展与现状同时介绍了本文的主要工作 第二章利用广义r i c c a t i 技巧、积分平均技巧以及微分不等式理论讨论了一类二阶非 线性常微分方程的振动性，得到了若干新的振动准则，并讨论了该方程具有强迫项时解的 渐近性态同时，利用推广的g r o n w a l l 不等式，讨论了一类二阶非线性扰动微分方程的振动 性并得到若干新的振动准则 第三章通过考虑一类对s 的偏导数不一定非正的h ( ，s ) ( s ) 型函数，结合积分平均技巧 与i l a r d y 不等式，分别讨论了一类高阶非线性泛函微分方程以及具阻尼项的高阶非线性泛 函微分方程的振动性，得到了这些方程新的振动准则 第四章讨论了一阶泛函微分方程解的零点分布改进了一阶滞后型泛函微分方程在解 的零点间距离的上界估计的结果，并将此结果推广到一阶中立型泛函微分方程 第五章讨论建立在时标( t i m es c a l e s ) 上的二阶非线性动态方程及一类中立型动态方程 的振动准则所得结果即使对与之相应的差分方程和微分方程也是新的 关键词：泛函微分方程中立型振动性，零点分布时标动态方程 第i 页共9 5 页 博士学位论文 英文摘要 t i t l e ：0 s c i l l a t i o ua n dt h ed i s j h d o no fz e t 0 8o ts o l l 【t i o n s o ff u n e t i o n a ld i f f e r e n t i a te q u a t ；i o n s m a j o r t p l i i 。em a t h e m a t i c s n a t l r e ：w uh o n g w u s u p e rv i s o r ：p r o f e s s o rx uy u a n t o n g a b s t r a c t t h i sp i idt h e s i si sm a i n l vc o n c o lu e dw i t ht i l eo s c i l l a t o r ya n da s y m p t o t i cb e h a v k a l o t s e c o n d 一o r d e rn o n l i n e a re l d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h i g h e ro r d ern o n l i n e a rf u n c t k ) 1 1 4 i c t i f f e r e n t i a le q l l a t i o n sa n dd g n a l n i c e q u a t i o n so nt i m es c a l e s ，a n dt h ed i s t r i b u t i o no fz e t ( ho f o h t t i o n so ff i r s t o r d e rf ur t c t i o n a ld i f f c r e n t i a le q u a t i o nn i l ( it h eu e u a lf ll n c t i o t t a ld i f i e r c l l t i “ ? q n a t i o n t i l er e s u l t so ft h i sr e p o r ti m p t e v ee x t e t t d 、u n i f ya n dc o n l p l e m e n tuu u i ll ) ( 、1 o t e x i s t i n g t e s u l t sa n d t h e y a l s oh a n d l ean l t l l l h c ro fc r i s e sn o tc o v e ie db yk n o x , v le t t ( ! r i as o n l c i n t e r e s t i n ge x a n l p l e sa r ei n c h t d e dt os h o wt h ev e r s a t i l i t yo fo t l l r e s u l t s t h i sp hd t h e s i s i s c o i n l ) o s e , do ff i v ec h a p t e r s 【n c h a p t e ri ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r l c a lb a c k g r o u n da n dt h er e c e n td e v e l o p m e n to f u r d i n a i yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f u n c t i u n a d i f f e r e l l i a le q t t a t f o n sa n dd y u a m i ee q u a l ；i o n so i l t i m es c a l e st h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r ea l s ob r i e f l yi n t r o d u c e d 【i l c h a p t e ri i ，b yu s i n gt h eg e n e r a h z c dr i e c a t it e c h n k l u e ，t h ea v e r a g i n gt e c h n i q u ea n d d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s n e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs e c o n d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e da n da s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rf o rc e de q u a t i o n si sa l s od i s c u s s e d t h e n b yu s i n gt h eg e n e r a l i z e do r o r l w a l li n e q u a l i t i e s ，t h eo s e i t t a t i o nf o r s e c o n d o r d e , s e l f - a d j o i u t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd i s c u s s e da n dn o wo s c i l l a t i o ne li t e r i aa r eo b t a i n e d i nc h a p t e rl i i ，b y c o n s i d e r i n gf u n c t i o n sf t ( t ，s ) k ( s ) t h a tm s 5 u o th a 1an o u p o s i t i v e p m t i md e r i v a t i v e0 nsa n de m p l o y i n gi n t e g r a la v e la g r o gt c c h n i q t t ea n dh a r d yi n e c t u a i t ；、t h e o s c i l l a t i o nf o rae l a s so fh i g ho r r l e rn o m i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t l o l l sa n t h i g ho t d e ru o l l 1 i n c t l t d a m p e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o a si sd i s c u s s e d i l e wo s c i l l a t i o nc r l t e l 、i aa r ee s t a t ) l i s h e c 【 第i i 页、共9 5 页博士学位论文 英文摘葵 nc h a p t e ri v ，t h ed i s t r i b u t i o no fz e r o so fs o l u t i o n so ft h ef i r s t 。o r d e r m e t i o n a l d i f i ) r e n t i a le q u a t i o nw i t hv a li a b l ed e l a y si ss t u d i e dt h ee s t i l n a t ef o rt h ed i s t a n c eb e t w e e a d j a c e l l tz e r o so fo s c i l l a t o r ys o l u t i o n so ft h ea b o v ee q u a 1 ；i o n i s i m p r o v e d t h ei e s u l t sar f ， g e n e r a l i z e dt of i r s t o r d e rn e u t r a li m c t i o n a ld i f f e r e t t t i a le q u a t i o n c h a p t e rvi s e o l l e e l n e dw i t ho s c i l l a t i o np r o p e r t i e so fs c c o t t do l d m n o n l i n e a rd y n a m j d e l a ye q u a t i o n sa n dn e u t r a ld y n a l n i ed e l a ye q u a t i o n s0 1 1 _ t i m es c a l e s t h er e s u l t se x t e u d s o n i ck n o w nr e s u l t sf o rd i f l ) ! r e n e ee q u a t i o n sa n d d i f f e r e n r , i a e q u u t i o n s k e yw o r d s ：t u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n e u t r a l o s c i l l a t i o n ，t h ed i s t ii b u t i o no f w u h o a g w u 0 0 7 两1 6 ：g o u t 第i i i 页共9 5 页博士学位论文 第一章综述 第一章综述 振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支，也是近十几年来定性理论研究中十分 活跃的方向在科学技术领域中有着非常广泛的应用众所周知由gs t u r m 建立的齐次二 阶线性微分方程解的零点分布的比较理论和分离理论为微分方程振动理论的研究奠定了 基础随着这一方向的深入发展它的研究内容及研究方法大大地丰富了研究方向也被 国内外学者扩展到泛函微分方程、差分方程、偏微分方程及时标上的动态方程下面分别 简述常微分方程，泛函微分方程，及时标上的动态方程的振动性问题产生的历史背景发展 现状及本文的主要工作 1 1 常微分方程的振动性 有关常微分方程解的初值问题的存在唯一陛及解的延拓性问题在一般常微分方程的 著作f l j f 2 1 中均可找到详细的讨论我们将要讨沦的主要问题是微分方程解的振动性及渐 近性问题考虑椰十微分方程 f 。”( ) 一，( ，x ( o r ( e ) 一z “一”( f ) ) = 0 ， 2 如0 1 i - 1 ) n 阶微分方程( 1 一1 ) 的一个解是指一个函数。1 c ”( l ，x 1 ，r ) ，其中l o ，同时 在 t ! 。) 上满足方程( 1 1 ) 方程c t 一1 ) 的解z ( ) 称为非平凡的( 或正则的) ，如果( ) 可以延 拓于某一半无限区间( 互，j ，r ) 且对任意的t2 瓦如，p f f ( 圳f2t 20 如 果z o 【) ；( ) 是方程( 1 1 ) 的解，则称z ( 】( c ) 为方程( 1 1 ) 的平凡解方程( 1 1 ) 的一个非平凡解称 为振动的，如果z ( ) 的零点集合是无界的否则称它为非振动的方程( 1 1 ) 称为振动的、如 果它的任何非平凡解都是振动的：方程( 1 1 ) 称为非振动的如果它的任何非平凡解都是非 振动的有关常微分方程振动的理论请参阅专著烈 l 8 3 6 年，s t t t r m 在研究热传导方程时提出二阶线性常微分方程 r ”( t ) + d o , ：c t ) = 【) 芝t o 0( 1 - 2 ) 的振动性问题其中q ( ) 是( o ，。) 上的连续函数进而对一股的二阶线性微分方程 ( ：r ( t ) ( f ) 】7 + q ( ) z ( ) = 0 、 三t o20 ，it - 3 ) 其中r ( f ) r m ) 是c o ，x ) 上的连续函数建立起振动理论中最基本也是最重要的s t i t n n 比较定 理1 4 1 1 6 】t g s t m m 比较定理可得至l j s t u r m 零点分离定理即方程( 1 - 3 1 的任何两个线性无关 蔫l 页共9 5 页博士学位论史 l 1 常微分方程的振动性 解的零点是彼此交错的因此方程( 1 3 ) 的任何非平凡解，或者全部振动或者全都非振动 事实上s t u r m k e 较定理和零点分离定理已由e l b e r t 7 和l i1 8 推广到如下的二阶半线性微 分方程 ，( ) i 。( ) i “一t 7 ( t ) j7 + q ( t ) l x ( t ) l 一1 z ( ) = 0 ， q 0 t2t o2 0 ， ( 1 4 ) 方程( 1 3 ) 的振动性态与r i c c a t i 方程有着密切的关系，表现为如下的定理( 可参阅3 ) ： 定理l1 如果r ( ) ，q ( ) 是( o ，o c ) f ：g j 连续函数j t rc t ) 0 ，那么方程( 1 3 ) 为非振动的 充分必要条件是1 1 i e e a t i 方程 0 ，t o20 在某一区间f t o ，。c ) 上存在连续可微的解“f ) 对于二阶的线性以及半线性微分方程，虽然有着重要的s t m m 比较定理，但它并没有明 确地告诉人们，方程在什么情况下会振动或非振动因此人们开始寻找各种确保方程振动 的条件，发现许多重要的振动准则都涉及到系数函数q ( ) 的可积性这方面的具代表性的工 作可见 9 - 1 1 】，其中作者分别得到了如下的确保方程( 1 2 ) 振动的条件： i i m q ( s ) d s = f o 三0 ，( 1 - 5 ) j o 舰r f 咖) d r d s = 。蛇。， ( 1 。) 一o o l i r a 。噶；f r a c r ，d r d s l i r a 罂r 如，d r d s 。，2 。- ， 上面的条件( 1 5 ) 被w i n t n e r 和b i g h t o n 推广到自共轭的微分方程f l 一3 ) ，得到如下 w i n t r i e r l i g h t o n 型准则( 1 2 ： 定理1 2 假设r ( ) g ( ，( o ，。) ) 如( 高妊 则方程f 1 3 ) 的所有解都是振动的 q ( t ) c ( 1 ，r ) 如果对于某- - t o 0 有 ，c 且熙小( 8 ) “8 2 ” 利用r i c c t 。t i 方程的形式特点，结合积分平均和完全平方技巧，建立关于二阶线性齐次 微分方程的振动性判别定理恳一种很有效的方法1 9 7 8 年，k a m e n e v 1 3 利用此类方法改 进t w h ，t n e r 1 0 中的条件f 1 6 ) 得到了所谓的i 2 ，a p ( t ) c 1 ( i t o ) ，( 0 ，) ) 如果 n r p t s t l 一志与茅( n _ 1 ) 小) - ( ) p ， 2 d s o 是常数对于方程( 1 - 8 ) ，已有很好的结果( 可见( 3 1 ) ：若? l 4 ，则方程( 1 8 ) 振 动；若1 l 4 ，则方程( 1 8 ) 非振动1 9 9 9 年m a n o j t o v i c 2 1 ：利用广义r i c c a t i 变换及积分平 均技巧将上述结果推广到了方程( 1 4 ) 并且能应用到欧拉方程其主要结果可表述为如下 的定理 定理l5 设d = f ( ，s ) ：t s2t o 1 5 l c ( o ，r ) ，满足h ( t ) = 0 ，2t o g ( t ，s ) 0 ，( t ，s ) d f t h ( t ，s ) 关于s 的偏导数非正又设 ( f s ) c ( d ，r t ) ，满足 一掣( ，s ) ：l s ) h ( t s ) p ，( ，s ) d 如果存在非减函数p ( ) c 1 ( t o ，) ，( 0 ，。) ) 使得 【罂n 志肌即咖( s ) 如) p f s l ，( s ) 【n4 - 1 ) ”+ 1 ) t l 吖t s ) 则方程f 1 - 4 ) 是振动的 ( ”，s 1 - 篙，( 如) ) d s - 。 第：j 页共9 5 页薄士学位论文 【i 常微分方程的振珈性 但在m a l l o i l o v i c 的振动准则中要求条件( ) 是非减函数且须满足h ( t ，s ) 关于s 的偏导数 非正在2 0 0 1 年，w a n g 2 2 j 去掉了这些限制得到同样的结果最近a y a n l a l , l t f l t i r y a k i1 2 3 1 针 对如下非线性方程建立了振动准则 p 0 ) 中( z ( ) ) 妒( 7 0 ) ) j 7 + q ( f ) 妒( z ( ) ) = 0 ， 芝t o 【l - g ) 其中r ( f ) q ( t ) c ( 。) ，r ) ，巾c ( r ，r ) ，k o 1 他们的主要结果可表述为如下的定理： 定理16 设d o = ( ，s ) ：t s ，d = ( ，s ) ：t2s t o ，h c ( d ，r ) ， h c ( d o ，r 】满足如下条件 ( i ) h ( t ，t ) = 0 t2t o ；h ( t s ) 0 ，( t ，s ) d ： ( i i ) f f ( t ，s ) 关于s 连续且偏导数t i e k ： ( i i i ) o h ( t 、s ) o s = h ( t ，s ) f h ( ，s ) 1 q ( t ，s ) d o 如果存在非减函数p ( ) c 。( i t o 。) ，( 0 ，o c ) ) 使得 l i r a s u p x ( t ，t o ) 一7 y ( t ，t o ) = 。， 其中 即纠= 志f 即，咖小) d s 则方程( 1 w 9 1 是振动的 l h ( t ，t o )巳小) r ( s ) * 1 卅s ) 】帅等) p d s 定理1 3 1 6 是常微分方程中利用积分平均方法针对k a m e n e v 型条件的发展关于这一 方法的推广和改进的最新成果不断涌现，可参见 2 4 卜 3 2 1 一般地，这些条件都与q ( ) 在整个 区间上的性态有关，但是，从s t u r m 比较定理，我们知道方程的振动性是一种区间性质，基 于这一观点有不少学者开始建立方程的区间振动准则并把这一性质推广到非线性微分 方程以及带强迫项的非线性微分方程，可参见1 3 3 1 一b o 2 乏其所引用的资料 第4 页共9 5 页博士学位论文 第一章练述 1 2 泛函微分方程的零点分布与振动性 自十八世纪末以来，在连续体力学、种群生态学、电子学、经济学及现代最优控制理 论等领域中提出的数学模型并不仅仅是一般意义上的常微分方程或偏微分方程，在这些现 象中，事物在每个时刻发展变化的趋向不仅依赖于当时的状态而且还与该时刻前或后一 段时间的状态有关反映这一类现象的就是泛函微分方程它是在常微分方程、微分差分 方程、及带有滞后变元的微分方程基础上自然推广而来的二十世纪七十年代以来，时滞 微分方程理论得到了蓬勃发展，有关这方面的理论请参阅专著 4 1 】_ 4 2 】而有关泛函微分方 程的振动理论则清参阅专著1 4 3 一i 4 6 1 对于如下的一阶具常系数及常时滞的泛函微分方程的振动性 ：1 2 ( t ) + q o ( 一r ) = 0 ，t t o ，( 1 一l o ) 其中q ，r r ，目前已经研究得比较清楚【4 3j 一 4 6 ，即方程( 1 一i o ) 所对应的特征方程 一q e 一1 7 = 0 无实根是方程( i - l o ) 振动的充要条件这种振动性质不久既被推广到具常系数及多时滞的 泛函微分方程及中立型微分方程1 4 r l 一5 2 特别地l h e r b e 和vtx u s 3 将这种振动的充 要条件推广到了巴拿赫空间上的抽象中立型泛函系统虽然可以得到上面的充耍条件，但 对于多时滞的泛函微分方程及中立型微分方程判断其特征方程有无实根仍是一个相当困 难的问题而且，这种振动性质也不能推广到如下的变系数及变时滞的泛函微分方程 , 7 2 1 ( ) 4 - q ( t ) x ( t ( t ) ) = 0 ， 2t o ( 1 一1 1 ) 因此，人们开始寻找另外的各种确保方程振动的条件，对于方程( 1 1 1 ) 的振动陛，其中 一个较好的结果可表述为4 3 1 ： ( i ) 如果q ( f ) 0 ，上t t i m 。蟪c ( 。) q ( s ) d 5 则方程( 1 1 1 ) 的所有解振动： ( i i )如果q ( ) 0 ，上 1 i t ns u pf q ( s ) d s 1 ，则方程( 1 一1 1 ) 的所有解振动： ( i i i )如果q ( t ) 0 ，且1 ms u p 后】q ( s ) d s i ， t = h z ：= ( h k l k z ，其中h 0 或 丁_ = 只 ：= u 限( n + 6 ) k ( a + 6 ) + n 其中n ，b 0 = 0 以及 r = f 蚓a z ，其中对所有 z 有k r 且e o ； ( b ) ：0 1 其中等号成立当且仅当义= y 定理2 1 在方程( 2 1 ) 中，假设条件( 。) 和( b ) 成立令d = ( t ，s ) ：s2 o d n = ( ( t s ) ：t 82t o 此外还假设存在函数hec ( d r ) ，h ee ( d n ，只) 和p e c 1 ( o 。) ( 0 。) ) 满足如下三个条件： 第l l 页，共9 5 页博士学位论文 一 ! ：! 三耋三墼斐垒些垡坌查堡塑塑苎竺量塑垫：生 ( i ) 爿【t ，t ) = 0 t o ，h ( ，8 ) 0 ( t ，s ) d ： ( i i )h 在d o 上对第二个变量有连续非正的偏导数： ( i i i ) 一筹( ，s ) 一h ( f ，s ) 勰= ( ，s ) ，( ，s ) d o 如果 u i ns u 。志z 卜咖巾卜掣拙辫卜一， 江。 则方程( 2 1 ) 的所有解都是振动的 让明 筻z ( ) 为万程( 2 _ 1 ) 的非振动解不失一般性，不妨设存在充分大的晶t o 使得 在m ，o 。) 上，z ( t ) o ( 若z ( ) 最终为负可类似证之) 定义 监铲，t 狐 ( 2 _ 3 ) 则对一切芝t o ，从条件( n ) ，( b ) - r 得 w m ) = 叫帅+ 锱) 一( p 叫瞅邢) ) m 圳。i 。 叫舶+ 器) 咄- 1 ) m 小坩，i 础 ， ( 2 _ 4 ) 其中l p + l q = 1 将( 2 4 ) 式的变量换成s ，再在两边同乘u 以h ( t ，s ) 且从r ( t 7 0 ) 蛰l t ( t 7 ) 进行积分，从假设( i ) 一( i i i ) 易知 r t u ( t ，s ) p ( s ) q ( 8 ) d s j 丁 s f m 肌+ f m ) 搿) 如 一二细一1 ) h ( t ，s ) 胁( s ) r 一4 帅) ”幽 一仆瓢s s ，错一s 划t ) 印) 一( p _ 1 ) 即，s ) 帅巾川叫坩d s r m ，s ) ) 出 鲫 ，7 1 p 旧卜工扫- 1 徊。，s 晰“咖如) j 1 - 叫“r 幽+ 上陋( c ，s j “s j 浯5 ) 固定 t ，且令 x = ( p l ) h ( t s ) m ( s ) r ( s ) 1 一。 ；i 。( s ) 【， a = q 1 = q 1 一吖( p t ) h ( t ，s ) m ( 8 ) r ( s ) j 1 一。r 刊【 ( ，圳州 w u h o n k w u 0 0 7 c 画1 6 3 t o n i第t 2 页，共9 5 页博士肇位伽童 第二章常傲分方程的振动性 j ( t ，s ) u ( s ) 一( p j ) ，( ts ) f 7 p ( s ) r ( s ) 1 4 f 。( s ) j a ! ! ：；辫 胁m s s ，d s l 使得 t i 掣”击 ( c _ 矿郎s h ，删咖( 广9h ，等忪一 则方程( 2 。1 ) 的所有解都是振动的 定理2 2 在方程( 2 1 ) 中假设函数h 和满足定理2i 中的条件( i ) 一( i i i ) 且设 t ， o ( 若z ( ) 最终为负可类似证之) 定义“( ) 如( 2 3 ) 式所示则类似于定 理2 1 的证明，可得( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式，从而对一切丁t o 有 t 掣。志胁咖巾卜掣黜擀 d s 剑丁。 因此、由( 2 1 0 ) 有 a ( t ) s 。( t ) ，t ，( 2 一1 1 ) 且 1 i 筌9 可南厶h ( 如) p ( 8 ) q ( 8 ) 8 5 a ( ) ( 2 d 2 ) 对一切t t o ，令 f ( 。) 3 而南厶i h ( ) “( 5 ) 如， ，= 稿正m ，揣器志妞 则由( 2 - 5 ) 式和( 2 1 2 ) 式可得 “mi n m ) 一f ( 。) “( 蜀) “t ns l l 9 丽南厶h ( 6 8 ) p ( 8 ) q ( 5 ) 4 5 u ( t o ) 一a ( t o ) 删， 故存在乃t 燃4 h ( t t 1 ) h ( t ，t o ) ”对一切为成立因此由( 2 1 7 ) 式g ( ) 2 肛对一 切而成立，且由“的任意性易知 l i r a g f t ) = 。 一。 、 接下来在( 乃，。) 上考虑序列) 器。，它满足l i r a 。：。且使得 j i m 。【g ( n ) 一f ( t n ) = l i t m 娶l f g ( t ) 一f ( ) 】 根据( 2 + 1 3 ) 式，存在常数a ，使得 o ( t 。) 一f ( t 。) 曼m ， 对一切充分大的7 。成立故从( 2 一i s ) 式有 l i mc ( t 。) = o o 从上式和( 2 - i 9 ) 式可得 l i r a f ( t 。) = o o 故从f 2 1 9 ) 式和( 2 2 0 ) 式可得 器也一志，一； 对一切充分大的，z 成立因此 丛堕、一1 c ( t 。) 7 2 对一切充分大的n 成立上式和( 2 2 1 ) 式表明 p ( t 。) 息生丽高丽2 “ w u h o n g w u 0 0 7 1 6 3 c o i l 第1 5 页共9 5 页 ( 2 1 8 ) f 2 1 9 1 f 2 2 0 1 f 2 2 1 1 f 2 2 2 ) 博士学位论文 2 l 一类二阶非线性微分方程的振动性与渐近性 刃一力回，田h o l d e r x i 、寺瓦，功剐 1 rc n f ( “) 2 而三丽厶d ) u ( s ) i 出 赫z “s ，器如” f 蒜z “喘器群“s r 篇p p 赤t oe 喘嚣铧a s r一( 一1 ) ( p “【日( h ，) n( h ( h ，8 ) ) ( p “l j 因此 若牿5 再p “g ( p “( k ) 一( 一1 ) ( p 。) h ( 。，) n 曼f 啊斋丽r “ 对一切充分大的n 成立于是从( 2 2 2 】式有 p ( s ) r ( s ) l h ( 。，s ) i 一 ( h ( t 。，s ) ) ( p 1 1 p ( s ) r ( s ) i h ( t 。、s ) i p ( h ( “，s ) ) 协1 ) d s d s ，喙志( 1 揣躺舾o 。 旧。引 即 n m s u ”志r 喘蹴掣拈。， 这与( 2 8 ) 式相矛盾因此( 2 1 4 ) 式成立所以从( 2 1 1 ) 式有 f 器蜒e 器揪。， 而这与( 2 9 ) i i 辅矛盾 定理22 证毕口 定理2 3 在方程( 2 1 ) 中，假设函数h ， 和p 满足定理21 中的条件( i ) 一( i i i ) 还假设( 2 7 1 式成立并且 if e 1 2 巴碧百云面上。h ( 8 ) p ( 8 ) 口( 3 ) 4 8 【) ( 若z ( ) 最终为负，可类似证之) 定义u ( t ) 如f 2 3 ) 式所示则类似于定 第l 6 页、共9 5 页博士学位论文 第二章常微分方程的振动性 理2t n i 正n ，司得( 2 1 5 ) 式( 2 - 6 ) 式和( 2 - 1 1 ) 式成立，从而对一切丁而，从( 2 2 4 ) 式可知有 “m 。s 。u p g ( 。) 一1 ( 6 ) 】。( ) 一1 i 巴璺万蠢丽厶h ( 。，8 ) p ( 8 ) q ( 5 ) d s ”( 2 - 2 s ) 0 e o 。月l f ，j n 其中f ( t ) 和g f ) 如定理22 中所定义由( 2 2 5 ) 式可得 ( 如) s “r ai n 百而上。h ( 如) p ( s ) q ( s ) 如 也m 。i n r 志f 掣趟筹如 上式和f 2 2 4 ) 式表明 u i t i l r l r 志f 器m 圳 0 ，p ( u ) o r p ( ? z ) 0 下面我们用例子来说明本文准则的应用我们指出文1 7 j _ 2 3 及 9 5 1 一 1 0 2 】中的振动性结 果不能判断如下方程的振动性 例2 1 考虑如下的非线性微分方程 ，。( 1 + e - i 。( 。1 ) i z 7 ( ) l p - - 2 2 7 ( 1 j7 + p b - 3 ( 2 一c o st 1 + 矿一2 s t 【1 t 1l z ( t ) l p - 2 z ( ) = o ( 2 2 8 ) 其中t o21 ，p l ，p l 且a 为常数满足 l( 2 2 9 ) u r a i n r 南f ( 。一势s _ t - t 1 2 1t t o l t i 罂。器d s = l i i ns l l 。掣d s = h ns u - 峋f r o t s t 2 d s 。 接下来，我们讨论下面的强迫方程的解的渐近性行为 p ( ) 巾( z ( t ) ) 妒( z 7 ( ) ) 】+ q ( ) 妒( z ( ) ) = e ( ) 2t o ， ( 2 3 0 ) 其c r ( t ) ，中c ( r ，r ) ，妒( 5 ) 和dr ) 跟( 2 一1 ) 相同n e ( t ) c ( t o ，o q ) ，r ) 定理2 5 在方程( 2 。1 ) 中，假设函数h 和p 满足定理2i 中的条件( i ) 一( i n 还假设( 2 2 ) 式成立并且 1 i m s l l p 志f 即，s ) 俐e ( s ) o ，因此。【o ) 是非振动 的不失一般性不妨设存在充分大的孔r o l a n d t o ，) 上，z ( f ) o ( 若。( ) 最终为负 可类似证之) 定义u ( j 如( 3 ) 式所示则对一切2t o 有 u m ) 一m 卅错) - ( 川) 瑞糕嘉+ 高 鲫m ) + 舞) - ( 川) 搿黼志+ 掣 其中p 2 。i j n 丁b f i z ( t ) l 0 类似于定理2 - 1 的证明，对一切晶有 m 咖如卜等黜撵卜 即，驯+ 击f 即，s ) 小 这表明 ： r r c e ，s ，一c s ，。c s ，一：j ；鬻1 一s w 1 1 【1 【) 【l g w u 【】【j 了 1 6 3c o m 第1 9 页共9 5 页 博士学位论文 ：一!：!三耋三墼斐竺些丝坌童堡篁堡塾丝皇塑塞丝 =6卜sm咖一两vp(s)r(s)lh(t,s)tplds 一： z ，r t ，s ，一c s ，。r s ，一j ! ：； 黼 d 。 ，2 0 ( t ，如) p ( s ) l q ( s ) i 如 o 。h ( t , t o ) l “( 乃) i + 痴。日( 如川 因此， “i t is l l n 志。( 卜咖吣卜笔端辫 d s f t o 上。p ( s ) l q ( s ) + l u ( ) 1 + 砷“鬻9 硫万上。h ( ) p ( s ) ) l d 8 1 取“f ) = t 2 ，h ( t ，s ) = ( 一s ) 4 ，则有 z i 黑一去r ( t - 3 ) 钡咖( s ) 咱例小) r ( 州e 叫帅卜( t = n h 。is 。u 。击 c t s ，4 一丢s 3 ( s z ；) 4 ) 如 孙n s k i - 去卜可11 。，4 拈。 另一方面， “n ls t p 硎面叫t s ) p ( s ) s ) 辄h