（基础数学专业论文）关于酉范数不等式与幂等算子线性组合相关问题研究.pdf

关于酉范数不等式与幂等算子线性组合 相关问题研究 王月清 摘要算子理论产生于2 0 世纪初，由于其在数学和其它科学中的广泛应用， 所以在2 0 世纪的前三十年就得到了很大的发展本文研究的内容分别是酉范数 不等式，幂等算子线性组合的幂等性及希尔伯特空间中算子对的稳定性的问题 这些内容都是算子论和算子代数中的热点问题 本文共分四章： 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义及其一些比较著名的或 已知的一些定理等首先我们介绍了一些符号的表示意义，接着引入了算子近似 点谱，正算子，m o o r e - p e n r o s e 广义逆等概念，而后给出一些广泛熟知的定理如 l y a p u n o v 定理，极分解定理。谱定理等 第二章我们对f k i t t a n e c h 在文献【1 】中的结果进行推广也就是，如果a “= 1 ，n ) 是复可分希尔伯特空间上的n 个正算子且是任意一个酉不变范数， 那么 2 1 1 l o 墨l a , i i i o 饕1 ( a 一 件1 ) + i i io 冬l ( a ioa , ) i i i + o 冬l ( 衅a 再lo a 1 1 ) t i i ， 其中a 。+ l = a 1 并且 ( 坠1a ) o o l l i i i i o l l a , i lt2 1 1 1 0 l 1 ；a 弄l + 2 1 1 1 e l l _ a a 嚣2 川+ + 2 j l l e l l a 4 三堡：! ：【1 2 | + ，( t 1 ) o 坠1 a 碡；叭 其中 a n + i = a i 陋k 一n ，= n 燃 第三章我们使用算子矩阵分块的技巧，从另一个方面刻画两个和三个幂等算 子线性组合的幂等性特别的，我们在第三节中用分块技巧给出了三个非零两两 可相互可交换的幂等矩阵线性组合的幂等性的充要条件，覆盖了h o z d e m i r ，a y 0 z b a n 在【4 】中给出的结论 第四章我们对希尔伯特空间上的算子对( a ，b ) 进行研究得出了算子对( a ，b ) 正稳定化的一些等价命题，那就是如果a 日( 咒) ，b s ( i c ，7 t ) 满足0 ( a ，b ) 。 那么下列命题等价： ( 1 ) 算子对( a ，b ) 是正稳定化的； ( 2 ) 存在一个正可逆算子矩阵 日= ( 明t f tt 1 2 ) b ( 丸e l c ) 使得 a t t l + h l a 4 + b h ；+ h 2 b 啦 ( 3 ) 存在一个正可逆算子h 1 日) 和一个有界线性算子凰eb ( 1 c ，w ) 使得 a 日l + 日l a + + 口月；+ h 2 b + 0 同时也得出；存在一个自伴可逆算子1 t l b ( n ) 和一个有界线性算子日2 b ( j c ，7 - i ) 使得 a 日l + 马且+ b 磁+ h 2 b + 0 当且仅当存在一个x 日，咒) 使得盯( a + b x ) n c o = o 关键词：算子矩阵可控算子幂等算子线性组合酉范数不等式 i i r e s e a r c ho ni n e q u l i t i e so fu n i t a r i l yi n v a r i a n t n o r m so f o p e r a t o r sa n di d e m p o t e n c y o fl i n e a r c o m b i n a t i o no fi d e m p o t e n t s a b s t r a c tt h e s t u d yo fo p e r a t o rt h e o r yb e g a n i n2 0 t hc e n t u r y s i n c ei ti su s e d w i d e l yi nm a t h e m a t i c sa n do t h e rs i n e n t i f i cb r a n c h e s ，i tg o tg r e a td e v e l o p m e n ta t t h eb e g i n n i n go ft h e2 0 t hc e n t u r y i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yi n e q u a l i t i e so fu n i t a r i l y i n v a r i a n tn o r m so f o p e r a t o r s ，i d e m p o t e n c yo f l i n e a rc o m b i n a t i o no fi d e m p o t e n t sa n d t h ep r o b l e mo fo p e r a t o rp a i r si nh i l b e r ts p a c e t h e s ep r o b l e m sa r ea l lr e dp o i n t s o no p e r a t o ra l g e b r aa n d o p e r a t o rt h e o r y t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s c h a p t e r1 m a i n l yi n t r o d u c e ss o m en o t a - t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n ds o m ew e l l k n o w nt h e o r e m s f i r s t l y , w eg i v es o m et e c h n o l o g i e s a n dn o t a t i o n s ，a n di n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fa p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r u m ，p o s - i t i v eo p e r a t o r ，m o o r e - p e n r o s ei n v e r s ee t c s u b s e q u e n t l yw eg i v es o m ew e l l - k n o w n t h e o r e m ss u c ha st h el y a p u n o vt h e o r e m ，p o l a rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e ma n ds p e c t r a l t h e o r e m i nc h a p t e r2w eg e n e r a l i z et h er e s u l t so f 1 】t h a ti s ，i fa i ( i = 1 ，n ) a r e p o s i t i v eo p e r a t o r s o i la s e p a r a b l ec o m p l e x 7 i l b e r ts p a c ea n dm i s a n yu n i t a r i l y i n v a r i a n tn o r m ，t h e n 2 1 1 i o 坠。a , i i ls o 墨。( a i a l + ) + 1 1jo 坠。( a ioa t ) + o 墨1 ( a f a 鼻1 o a ? a 鑫。) w h e r ea n + l2 a 1 a n d ( 墨。a i ) oo l l i s o 坠。a ：+ 2 1 1 i o l l a i a 矗1 + 2 1 1 1 0 l l a 一a h 一2 + + 2 1 1 1 5 l l a ；a 三! 二! = 叫 + ，( 札) l il o 冬。a ；j 4 嚣； a ( i = 1 ，n ) ，( ) = 0 礼i so d d 1 n i se v e n ( 1 ) ( 2 ) i nc h a p t e r3b y u s i n gt h et e c h n i q u e so fb l o c ko p e r a t o rm a t r i c e s ，w eh a v ec h a r a c t e r i s et h ei d e m p o t e n c yo ft w oa n dt h r e ei d e m p o t e n t s e s p e c i a l l y , u s i n gt h et e c h n i q u e so f b l o c ko p e r a t o rm a t r i c e s ，w eh a v eo b t a i n e dac o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o n so f i i i + n a ereo nw i d e m p o t e n c yo fl i n e a rc o m b i n a t i o n so ft h r e en o n z e r om u t u a l l yc o m m u t a t i v ei d e m p o t e n t s ，h a v ec o v e r e dt h er e s u l t si nf 4 】 i nc h a p t e r4w ed i s c u s st h eo p e r a t o rp a i r s ( a ，日) i n ? - i l b e r ts p a c e w eg e tt h a t i fa b ( n ) ， b 召( 尼，7 - ) s u c ht h a t0 z ( a ，b ) ，t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s a r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) t h ep a i r ( a ，b ) i sp o s i t i v es t a b i l i z a b l e ； ( 2 ) t h e r ee x i s t sap o s i t i v ei n v e r t i b l eo p e r a t o rm a t r i x 日= ( 磊：) 删。矧蟛 、 。 s u c ht h a t a 日l + 皿+ b 蟛+ 娲b 0 ； ( 3 ) t h e r ee x i s t sap o s i t i v ei n v e r t i b l eo p e r a t o r 皿b ( 7 4 ) a n d 玩口( 肥，w ) s u c ht h a t a h 、+ h i a ? + b h ；+ h 2 b “ 0 a n dw eh a v eo b t a i n e dt h a t t h e r ee x i s t sah e r m i t i a ni n v e r t i b l eo p e r a t o r 1 b ( u ) a n d 凰召( ，咒) s u c ht h a t a h l h 1 a ? + b h ；+ h 2 b 0 i f a n do n l y i f t h e r e d s t sa x s ( n ，庀) s u c h t h a ta ( a + b x ) f l c o = 0 k e y w o r d s ：o p e r a t o rm a t r i x ，c o n t r o l l a b l eo p e r a t o rp a i r ，l i n e a rc o m b i n a t i o no f i d e m p o t e n t s ，i n e q u a l i t i e so nu n i t a r i l yi n v a r i a n tn o r m s i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机 构的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：雌 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范 大学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕 西师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论 文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库 进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名 型啦 前言 算子理论产生于二十世纪初。由于其在数学和其它科学中的广泛应用，所以 在二十世纪的前三十年就得到了很大的发展，并很快成为一门独立的学科，= 十 世纪六十年代以后，不仅算子理论本身有了深入的发展，而且算子理论还深入到 了矩阵论，微分方程，最优化理论，统计学等众多数学分支，更值得注意的是它 在量子力学，物理学等许多领域都获得了广泛的应用，已经成为研究自然科学与 工程技术理论不可缺少的重要研究工具 不等式是数学中很早被研究的问题之一，今天它在数学各个领域里起着重 要的作用并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研究颁域不等式理论是从 c f g u a s s ，a l ，c a u c h y 奠定近似方法的理论基础开始发展起来的1943 年g h h a z y ，j ，e l i t t l e - w o o d 和g p o l y a 出版丁经典著作不等式使得不 等式从孤立公式的汇集发展成为系统的科学随着算子论与算子代数的不断发 展，不等式的理论也逐渐渗透进来，井成为泛函分析中的热点问题r b h 8 t i a ， f k i t t a n e h ，t y a m a z a k i 。m i t o 等著名学者在关于矩阵和算子的范数不等式方 面做出了许多优秀的工作关于他们的工作可参考文献【6 】f 1 9 i 不等式理论关于 算子单调函数的研究有着广泛的物理背景 e p 、v i n g e r 的工作对于量子力学， h a m b u r g e r 矩问题等的解决有很大的帮助( 见文献f 17 】) 在本文中，我们利用相 似于文献f 1 j 1 中的思想对f k i t t a n c h 关于某些酉不变范数的结果进行了推广 由于幂等矩阵线性组合的幂等性问题在概率统计理论中有着重要的作用，所 以近年来有关幂等矩阵线性组合问题的研究吸引了国内外许多的学者( 参考文献 ( 2 0 i 1 2 3 ) 比如最近。j k 。b a k s a l a r y + o m b 8 k s m a r y 在文献f 1 6 l 中给出了两个幂 等矩阵线性组合的的非奇异性与系数的选取无关随后，hk d u ，c y d e n g ， x y y a o 在文献 1 7 l 中给出了希尔伯特空间中的两个幂等算子线性组合的可逆 性也与系数的选取无关2000 年，j k 1 3 a k s a l a r y ，o m b a k s a l a r y 在文献 f 2 1 中给出了两个幂等矩阵线性组合的幂等性的刻画之后关于幂等矩阵线性组 合幂等性的研究变成了热点问题例如z 在文献【3 】中，o m b a k s m a r y 给出了 三个非零互不相同的幂等矩阵a ( i = 1 ，2 ，3 ) 并且a 2 和a 3 满足且。= 群0 = 1 ，2 ，3 ) 和如如= o = 也a ：线性组合幂等性的刻画那么本文中，我们使用算子 矩阵分块的技巧，从另一个方面刻画两个和三个幂等算子线性组合的幂等性，特 别的，我们在第三章第三节中用分块技巧给出了三个非零两两可相互可交换的幂 等矩阵线性组合幂等性的充要条件 我们都知道，l y a p u n o v 定理在矩阵论和连续动力系统中扮演着重要的角色 近些年来，在矩阵论范围内对l y a p u n o v 定理以及相关的事实进行了广泛的讨论 ( 鏖考文献 2 4 一【27 】) 例如，h o n g - k ed u 在【2 4 】中使用算子论的技巧，证明了在一 般希尔伯特空间中，l y a p u n o v 定理也同样的成立，最近，c f e r r e i r a 和f c s i l v a 在【2 5 】中把l y a p u n o v 定理推广到了矩阵对上给出了矩阵对( a ，b ) 正稳定化的 一些等价命题，其中以是p p 阶矩阵，口是p g 阶矩阵在本章第二节中， 我们对希尔伯特空间上的算子对( a ，b ) 进行研究得出了算子对( a ，日) 正稳定化 的一些等价命题，那就是如果a 嚣) ，b 8 ( 刽) 满足0 e ( 且，口) 那么 下列命题等价： ( 1 ) 算子对( a ，b ) 是正稳定化的； ( 2 ) 存在一个正可逆算子矩阵 口= ( 磊h 2 ) e 日c w $ 聊 蟛， 使得 a 日l + 丑i a + b h + 2 b + o ； ( 3 ) 存在一个正可逆算子噩b ( n ) 和一个有界线性算子z r 2 蓐( 苊，w ) 使得 a 髓+ 皿a + 扫磁+ 避b o 同时也得出：存在一个自伴可逆算子- 1 尽) 和一个有界线性算子飓 嚣( ，钟) 使得 a h l + h t a + b h ；+ h 2 8 1 0 当且仅当存在一个x 嚣，咒) 使得口似+ b x ) nc o = d 2 第一章预备知识 1 1 基本概念 设爿表示一个无穷维的复可分7 - 1 i l b e r t 空间，b ( h ) 表示无穷维的复可分 7 i l b e r t 空间上的有界线性算子组成的全体令c 表示复数域，r 表示实数域， z 表示整数集，表示咒上的单位算子 ( ，) 和”1 1 分别表示复可分7 i l b e r t 空间咒上的内积和范数，设a 舀( w ) ，令冗( a ) 和( 一) 分别表示算子a 的值 域和零空间，一+ 表示a 的伴随石表示一个集合的闭包，( ) 表示集合 的凸包，历( 尼) 表示集合尼的凸闭包d i m a r 表示空闯a 厂的维数，1 表 示空间的正交补，口表示空集 定义1 1 1 5 】设a 8 ( w ) ，2 , 4 为w 的子空间。如果a m m 则称m 是 的不变子空间，如果a m s 川且a a 4 1 朋1 则称州为a 的约化子空间 定义1 1 2 1 5 】设t b ( 7 ) 如果 c 使得t 一 是不可逆的，称 为? 的一个谱点记口( 叨= c ：a t 是不可逆的 ，口( t ) 称为t 的谱 定义1 1 3 f 5 l 设t b ( 7 ) ，称r ( 砷= s u “：口( ? ) 为t 的谱半径 定义1 1 4 i 目设a f ( “) ，如果对 c 存在咒上的单位向量列 t 。 使得 1 1 似一a ) 巩8 o 协- - q ) ，称a 为 的一个近似谱点，记p ( ) = c ， 存在咒上的单位向量列 z 。) 使得j f ( a 一 ) ”0 ( n o 。) ) ，称为口n p 似) 为a 的近似点谱 定义1 1 5 i q 设t f ) 若玎= r e 则称t 为正规算子； 若t + = z 则称t 为自伴算子； 若刀+ = t t = j ( 等价于t + = t _ 1 ) ，则称? 为酉算子； 若t = p = t 2 ，则称丁为正交投影算子 定义1 1 6 5 】设t 口( w ) 如果对于任意的z 咒都有( m ，z ) 0 ，则称， 是一个正算子，记作t 0 定义1 1 7 5 如果一个希尔伯特空间上的有界线性算子e 满足曰2 = e ， 那么我们称e 是一个幂等算子如果一个幂等算子p 满足k e r ( p ) = r a n ( p ) 1 ， 那么我们称尸是一个正交投影 定义1 1 8 i 叫设a 口( 咒) ，如果存在a + 口( w ) 使得 a a + a = a ，a + 4 a 十= a + ，a a + = ( a a + ) ，a + a = ( a 十a ) + 那么我们称4 + 是a 的m o o r e p e n r o s e 逆； 3 若a 2 = a + ，那么我们称4 是一个广义投影； 若a 2 = a 十，那么我们称a 是一个超广义投影 1 2 预备定理 命题1 2 1 | 5 】设t 8 ( 咒) ，则以下结论成立： ( 1 ) t 是正规算子当且仅当f i t x l i = j i t z l l ( v x w ) ( 2 ) t 是自伴算子当且仅当( n ，x ) r ( v x 7 - ) ( 3 ) t 是酉算子当且仅当t ：w - - 4 孔是等距同构。 ( 4 ) t 是正交投影算子当且仅当存在正交分解7 t = 7 - 1 1o 咒 ，咒1 是咒的闭 子空间，? 是从咒到咒的投影算子 定理1 2 2 ( 5 】设t 3 ( 7 - ) ( 1 ) 若? 是正规算予，则r ( t ) = l i t l l ( 2 ) 若t 是自伴算子，则a ( t ) c r ( 3 ) 若丁是酉算子，则o ( t ) cs 1 ：= a ec ：= 1 ， 定理1 2 3 【5 j 如果a 日( 咒) 是正规的，那么有r ( a ) = f f a m 定理1 2 4 【5 l 设t b ( n ) 是正算子，则存在唯一正算子a b ( m ) ，使得 以2 = t ，称a 为t 的平方根。记作t 且当丁与s 可交换时，r 亦于s 可交 换 定理1 2 5 【5 l 设e 是希尔伯特空间讫上的任意一个幂等算子，m = r a n ( e ) 和a f = k e r ( e ) 那么 ( 1 ) e 是一个幂等算予当且仅当j f 是一个幂等算子； ( 2 ) m = k e r ( 1 一e ) ，= r a n ( 一e ) 并且m ，是咒上的闭线性子空 间； ( 3 ) m n a f = 0 并且3 1 + = 7 t 定理1 ，2 6 f 5 j ( 极分解定理) 设a t 3 ( u ) ，则存在一个部分等距算子c ，使辱导 冗) 为其的起始空间，n ( a ) 为终止空间，且满足a = u i a 定理1 2 7 f 5 如果a 召) ，如果a c ，那么下列命题等价： ( 1 ) ag 如，( a ) ； ( 2 ) a f ( a a ) = o ) 并且n ( a a ) 是闭集； 4 ( 3 ) 存在一个常数c 0 使得对所有z 咒有j i ( a a ) z | | c 恻| 定理1 2 8 5 】如果张是一个希尔伯特空间并且是一个复数域c 上的紧 子集，那么一定存在一个算子a 8 ( 咒) 使得a ( a ) = 定理1 2 9 5 1 设a 是任意c + 一代数，令。是一4 中的一个正规元，如果( 。) 由a 与1 生成的交换口一代数，则p ：g p ( n ) ) _ ( n ) 是口代数间的同构 定义，( o ) 三p ( s ) 那么，g p ( o ) ) ，则映射，h ，( o ) 称为a 的函数演算 定理1 2 1 0 ( 5 i 设4 是一个b a n a c h 一代数，a a 并且a ( a ) = 五u r 2 ，其 中兀和五是互不相交的非空闭集，那么存在非平凡幂等元e a 使得 ( 1 ) 如果b a = a b ，那么b e = e b ； ( 2 ) 如果a l = 垃e 并且a 2 = 8 ( 1 一e ) ，那么a = a 1 + 口2 并且a l a 2 = 0 2 a l = 0 ； ( 3 ) a ( a 1 ) = 五o o ) ，a ( a 2 ) = r 2 0 0 使得a x + x 0 的充要条件是a 的特征值完全落在复平面的右半 开平面内 5 第二章酉范数不等式 2 。l 引言 关于算子不等式的研究是非常广泛的，因为算子不等式能体现或蕴涵算子本 身的一些性质关于一个算子a 的交换子a a a 小的著名的不等式 a j j 2 一j j a 2j j j i a + a a a + jj j i a i l 2 的研究被很多学者关注( 参见 6 】，【1 1 】) f k i t t a n e c h 在文献 1 】和【6 】中给出了上面 不等式的第一个不等式的证明，并且对两个希尔伯特空间上的正算子，有 a o b j 一h a b i i i i a b a + b l ls i a e b i i + i i a b 那么本章的第二节我们将对f k i t t a n e c h 在文献【1 】1 中的结果进行推广也就 是，如果a i ( i = l ，n ) 是复可分希尔伯特空间上的n 个正算子且是任意 一个酉不变范数，那么 2 1 1 i o 坠- a , i ij o 叁l ( a i a 件。) | i + o 翟l ( a i o a i ) ) l f 其中a 。+ l = a 1 并且 其中 l 1 11 o 冬1 ( a ；a l loa a 嚣1 ) ( ：。a i ) oo i lj i l l e l - 1 a l + 2 川。翟1 a ；1 4 鑫1l 1 1 11 2 。饕1 4 ；a 耳2 + + 2 i i i o ? = 1 4 7 a 玉! = ! ；蛐 f ( n ) i i l 5 t a i a 嚣； 一忙小刊川垆b 篇 2 2 酉范数不等式的推广 定义2 2 1 【3 对于定义在8 ( 咒) 上的一个范数，如果对于嚣) 每一 个算子t 和所有的酉算子u 和矿都有们v = i i i t l lj ，那么称m 是酉不 变范数 6 对于酉不变范数，我们有下面的一些基本的性质 i i i s l l i = f i i s + = i l l s l l l l ， i i s e t = i i i s e t l l l ， o ：。s i s = l i l e ：, ：。譬& i i l l s 卜| t i l l = i l i s t 肌 其中_ s 和t 属于8 ( 张) 和l s i = ( s 4 固 证明( a ) 由算子的极分解可知s = s i s i ，所以s + = s l u 并且f s i = u + s 那 么 i l s l l l = l i l u t s l l l sl i i i s l l l ；并且l i i s l l l ；_ l i i u 酬 si l s l t f 所以l i l s l l i = i l l s l t l l 同样的，我们可以得到p = f i i i s l l l l ( b ) 通过( a ) 我们有s + s = s l u + u l s ，因此s + s = s 1 2 和s s + = u l s t 2 u + ，那 么f i l s s + sf i i i s l 2 = i i i s 4 s i l l 另一个方面，s = u + u i s l 2 u + u = u + s s u ， 那么s + s f ! s s + i 1 所以l l s s | i f = l i i s + s i l l ( d ) 通过s 4 = u + s u 洲川 卜 纠 同样由 所以 ( e ) 通过( d ) 我们可以直接得到 ( f ) 令s = 成立 那么我们有s s 4 = 7 是一个酉算子所以 s s t 00 0 0 s 2 s i 0 0 00 0 最鹾 姒 ，1o。j i m s 0 心 孵t = 姒 卜 侧 忙 刚 s 列 。 忪 删 峪 i 且并 s 0 0 r | l 0 t s 0 于 她沦结 1、，j o 扩，o 那 ，1，j 1j o s 0矿s 0 rl 1j 1ij 0 广 0 扩 l，o s 0 rl r，；【 = 1j_llj 1，j 0 u 0 酽 ，0 r【s o f|舱 ，卜于 结 0 s s 0 r。l 有觚我 o p s 0 -，l s o _。l l 一 一 1ij 0 s s o ril r，一ii 幺 么 那 0 0 ；又 0 0 ；0o岛：0 s 00 和s s s ：s l o0 o s i s 2 o 0 o 0o 0 岛s 通过酉不变范数的性质( b ) 我们有s 9 = o 冬。& 譬= i i i s + s lj i = o 坠。譬& ( g ) 由算子的极分解我们知i s l i t t l t l = u s t + v il i ill s t 4 = i i i i u i s i t i v + 定理2 2 2 ，如果a d i = 1 ，凡) 都是艿傅) 上的正算子并且m 川是任意一 个酉不变范数，那么 2 | l l o 是1 4 i 5j | i o 坠1 ( a i a i + 1 ) | | i ，m + i t l o l i ( a ：o a ) + o 墨l t 、a 。r a 。5 + ioa ? a 吾1 ， 。7 其中a 。+ l = a 1 证明首先我们有 ( 2 a 1 02 a 2 0 - o2 以。0 0 o0 ) = ( ( a 1 一a 2 ) o ( a 2 a 3 j0 0 ( a 。一a 1 ) 0 0 ，- 00 )( 4 ) + ( ( a l + a 2 ) o ( a 2 + , 4 a ) o - 0 ( a 。+ a 1 ) 0 0 o o ) 所以，通过酉不变范数的其本性质和范数的三角不等式我们可以得到 2 1 1 f ( ( d l l a i ) o ( o 冬。o 川fsi i i ( $ l 。( a ；一4 件- ) ) o ( o 墨。o 川i ，。、 + i i i ( * l ，( a + a n - ) ) o ( o 坠l o ) 1 1 1 7 = 卜辫池m _ 。g = 划 8 ( i = 】，2 ，n ) 应用性质( b ) 到算子e l 。s ，我们有 j l l ( e l l ( a i + a i + 1 ) ) o ( o 鳌。o ) = o 冬l ( ( a i + a i + 1 ) oo ) l lj = o 坠，s s ) l l = o 冬t s i & ) t t i r c 。墨。 ；。1 ，r c 。冬。 a 芷以j a ；吾1 1 ， = f ( 。冬- a 气a ? a ；三轰，f ) 1 = ( o 鍪1 ( a 玉1l a ? 1 0 a ? 1 a 11 ) ) 显然，。冬。l ；。1l 是一个酉算子，那么 i i ( e t _ - 1 ( a i + a + - ) ) o ( e l l o ) l l i 11i1 l i l e t = 1 ( a i c a i + - ) + i i l e l 。( a 鑫l a ? oa ? a i ，) 通过范数的酉不变性质还有性质( d ) ，可得 小。譬1 ( a i + a i + 1 ) ) o ( e l l o ) 1 1 11 sl l i e ? _ - l ( a ：o a ；+ 1 ) + i l l e ? = 1 ( a 鼻1 a ? oa ；a 丑。) l11l = o 冬。( a i o a 。) + j l l e l ，( a ；a 。oa ? a 二1 ) 1 1 j 9 ( 6 ) l邻。1iij 。吃a ，町 ， o l a a 如：m ；m 川 a ：钟 。一潍，p小 o ，ri【一舭a d 孙叫絮霉。 o岔一； 警小别k 尝 i一22 f =r0l 如：弘 o ；喈 雠 。ao小武k小旋帅 0 r，l i 如o o 1 2 2 rl1，j l 、i u。弼如，1叫o ，钟，lr溺o a 如 4 ， k a。纠。 ；j a a 0 0 。d d r，lr，lq h 喇1叱啦k慨 所以我们得到 即 2 1 1 1 ( e 7 = 。a ) o ( o 仁n - o ) 1 1 js i ( o - ( a ；一a “) ) o ( o 娶。o ) i 】j 】 + l l l , v t = ，( a i o a ) + o 坠，( a i 4 鼻loa ；a 二，) i l l ， ( 1 0 ) 2 1 1 t ( 0 7 = 。a 。) 川茎( o 坠。( a i a i + 1 ) ) 1 1 i 111l + l l l , v t = 。( a o a ) + f i i o l - 。( a ；a 五。oa ；a 暑1 ) 其中a 。+ 1 = a 1 当竹= 2 ，这个不等式就简化为 2 1 i a e b 0 0 0o l l i i i i ( a b ) o ( a b ) o0 0 0 fj | + i l i a o a o b o b i i ( 1 1 ) + a b ；o a ；b o a b ；o a ；曰； 并且这个不等式作用在一般的常见范数n j 下，它就变为 m a x ( 1 l a i i ，i i b i i ) 一 i a b j l i i i a b i i ( 1 2 ) 定理2 2 3 设“是一个复分希尔伯特空间如果a i ( i = 1 ，n ) 都是b ( u ) 上的正算子并且是任意一个酉不变范数，那么 川( 坠。a i ) o0 i f f + 引2 1 “1 1 畦。8 = 描黜i 。4 - 糍池；以三一i ， l a 亍以嚣2 川+ 2 o 冬l a ；以i ，。一。一i 。j p ”7 + f ( n ) i l l e l a ；a 嚣 j | ， 其中 k ；圳小，咄m ，= 0 嚣 1 0 证明如果s = f 耋! j ；：；j ，那么s + s = c c 嚣。a ；，。并且 a l 。a n 。 a 2 。a n l 。 a 。 ( ( 忙nla ；) oo ) l l f = s + 剐= s s + 子，。 a a ； a a 1 = | | f | a ；a 2i a 1 l 一1 11 1 i 【a 嘉a fa 矗a ；- a 。 i = | f i ( 锥。小卜掣? _ 引 【a i a ；a i a ； o j 钏。酎圳j ja 争o ? - a 【a i a a i a o 令 00 o 1o0 ( 1 4 ) 1j_iltj_illil_litj ，彤。 。暂榭7 酬 a 弘；扫 ，鬈 。髓 r。【 = sc o 1j 0 l 1 0 0 0 i | u 和 1j 12nlin 。m：私；o a a 1 2 2 1 2 2瓣。，澎 ：钟 。镛o，弘；。m ，髯 。舶 r。【 i | 吼 显然u 是一个酉算子，所以 矿口l 现在令 a i 一。a ； 熊4 ； 0 0 a ；鬈 a 3 一a 2 。0 a i 一。鬈 ! a 嚣a ； a ；髯 ( o 各1 a 1 1 a i ) + b z 2 o 1 1 筲a 椰一1 a f a 击a ? 0 o 鬈1 a o 0 a i 一。髯 斌躯 a 1 a z a 2 一a a o a j 一。a ； a a 鬈 a f 鬈 0 a i a j 一， a _ 4 ；一。 髯瑚 o a ：一l 瑚 a t , 。a 3 1 a f 禽 a z1 a , i o a a 挥一1 础 0 0 那么 11 口l = f i i u b l l f i 茎( o 1 a 耳1 以i ) + b z ll 由于u b 2 = ( o 坠l a 各2 a i ) + z b ，其中 b 3 = 0 a 扭 1 1 鬈a ； o 0 o 0 a a i a 滋 o o 0 0 ； l1 a l a 3 一 a 扣； a ；a 0 o ： - a 埘 鸽1 a 1 2 嘲艇 l i 出郴 a ；a 三 o 0 鬈一l a a 0 。艋。镛 ：髯：臂 一 一。雠：群 ：雠，舶 。镌：嘲 一 一 ni n a a i：?123 a a ；钟：钟 。鬈。鬈 鬈。鬈 一 一 0 0 l一23 一，鬈。孵 。冁。雠：钟 5 o ( 0 o 嘲 。暂一。鹭：雒 。a a“掣 ，雠。椰 ，钙。髯 一 一 l 一2 n i n a a 12223 a a 一 1 2 n o 0 4 12l a 一 一 一 1 i n i n 1 2 n a a a lj412 a a a i 一2 n 0 4 l一22 a l1 那么b 川f = f i i u b 2 f l j ( o 坠。a 鼻2 a ) i i + 鼠 通过相同的方法，我们能得到 那么 焉一l = 0 ll a 盂 ； 0 0 0 0 f 髯 0 0 0 0 a 2 一a 3 5 0 鬈一1 a i o0 0o 00 b n 一1 = i i i v 玩一， j 4 # a ? 00 0 a 1 一a 2 。0 00 a 2 一a 3 000 鬈一2 a i 一1 000 0 = o 坠l a 鑫。一l a , 5i i i 所以有， 叭：，a i ) o o t l l s o 墨1 4 i + o 坠。a 1 1 a ? + 川。翟。a 冬。a + + 。翟。a 丢。一。a l l 因为酬f = ，所以我们有 ( ：。a ) oo i l i s o 冬，a , l l l + o 冬1 a 一a h 一。 + o 冬l a ；a 0 ：+ - + o 冬。a ；a 嚣。一。f | 现在我们将证明 。墨l a ；1a 蠢1 ，= 。墨l a ? 1a 嚣1 。一j 其中j n 并且0 js ； 1 3 o o o 0 麟一1 蹦 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) o 0 0 我们知逼 。冬。a ；i a 暑1 。一，= 川( 。叁，a ；4 蠢。一) 。( 。坠，+ ，a ；1 a 弄1 。一， 通过性质( a ) 我们有 1 1 1 。5 。a a 鼻。一j = ( 。葛+ 。a 玉。一，a ；) 。( 。名。a 喜。一j a ；川 由于a 。+ i = a i ，i = 1 ，2 ，n ，我们有 。冬。a ? 1 a 弄1 。一，= ( 。岛+ 。a 至j a ? 1 ) 。( 。毫。a 。一j a ；1 记。岛+ 。a 是j a ；= 。髯a a 玉j 和。墓l a 轰。一j a ；= 。墨n - j + 1 a ? 1a 南1 ，我们有 。坠，a 扭鼻。叫= ( 。哥a ；a 喜j ) 。( 。墨n - j + 。a ? 1 a 导1 ，) = 。墨。a ；1 a 南1 ， 其中j n 并且0 jsi n 所以当n 是奇数时，有 f ij ( e , l 。a 。) oo l l j 。墨1 a i i i i + 2 1 l i e ? = ，a ? 1 a 弄1 。( 1 9 ) + 2 1 1 1 e ： = - a ；砬。+ 2 1 l i e s = 。a f l a 丑1 圳f 当n 是偶数时，有 垒。a ) oo i f 别薏裂黜篇1 箍1 。幽汕| | ， + 2 o 坠l a a 嚣2 川+