（基础数学专业论文）时滞lotkavolterra扩散系统的分支与周期解.pdf

兰州大学研究生学位论文第1 页 摘要 近年来，分支问题的研究已成为动力系统中的重要研究课题之一，并在力 学、物理学、化学、生物学、生态学、控制、数值计算、工程技术以及经济学 和社会科学中得到广泛的应用本文主要考虑由下面偏泛函微分方程描述的二 维l o t k a - v o l t e r r a 系统 的周期解和分支问题 在没有扩散影响时，以时滞丁作为分支参数，通过分析系统在正平衡点处线性 化系统的特征方程，获得了正平衡点渐近稳定的充分条件以及在它周围分支出周 期解的条件另外，通过使用时滞微分方程的规范形理论和中心流形约化，获得了 确定周期解h o p f ：分支的方向、分支周期解稳定性和周期等性质的显式算法通过 使用一个拓扑的全局存在性结果，还给出了分支周期解的全局存在性结果表明在 时滞的第二个临界值以后，系统总是存在一个非常数周期解 当具有扩散影响和n e u m a n n 边界条件时，通过在空间齐次正平衡点处线性化 系统和分析相应的特征方程，研究了正平衡点的渐近稳定性和系统存在h o p f ：分支 的条件另外，通过使用偏泛函微分方程的规范形理论和中心流形约化，获得了决 定空间齐次周期解h o p f 型) 支的方向、分支周期解的稳定性和周期等的显式公式 通过这一显式算法，给出了分支周期解在中心流形上轨道渐近稳定和不稳定的充 分条件同时，通过一些数值模拟验证了文中所得结论的正确性 在具有扩散影响和d i r i c h l e t 边界条件时，首先利用隐含数定理获得了系统存在 正平衡解的条件和正平衡解的渐近表达式通过在系统唯一的正平衡解处线性化 系统和分析相应的特征方程，发现在时滞等于零时该正平衡解是渐近稳定的，当时 滞逐渐增大到某个临界值时该正平衡解将失去稳定性而且在该平衡解处分支出空 间非齐次的周期解随着时滞的进一步增大，在另一系列临界值处，虽然正平衡解 一直处于不稳定状态，但系统仍能够在正平衡解处分支出空间非齐次的周期解对 于h o p f ：分支的方向和分支周期解的性质，利用偏泛函微分方程的规范形理论和中 心流形约化给出了描述这些性质的显式算法根据这一算法，发现在时滞的第一个 临界值处通过h o p f ：分 支产生的周期解在中心流形上是轨道渐近稳定的，而在其它 临界值处通过h o p f ：分支产生的周期解在中心流形上是不稳定的同样对于所得理 论结果给予了数值验证 关键词：扩散；时滞；稳定性；h o p f ：分支；规范形；中心流形约化；周期解；全局 存在性 功硼 r 0 一 一 心0蚴唧 + 一 一功 r 一 一 酢绯毗蚴 一 + h 您 “ + + 西如 i i = 毗砚 ，-i，、【 兰州大学研究生学位论文 第1 i 页 a bs t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo fb i f u r c a t i o np r o b l e m sh a sb e e no n eo fi m p o r t a n t s u b j e c t si nd y n a m i c a ls y s t e m sa n dh a sb e e na p p l i e de x t e n s i v e l yi nm a n yf i e l d ss u c h a sm e c h a n i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , e c o l o g y , c o n t r o l ，n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s ， e n g i n e e r i n gt e c h n o l o g ya n de c o n o m i c sa n ds o c i a ls c i e n c e se t c i nt h i st h e s i sw e c o n s i d e rm a i n l yp e r i o d i cs o l u t i o n sa n db i f u r c a t i o np r o b l e m so ft h et w o - d i m e n s i o n a l l o t k a - v o l t e r r as y s t e md e s c r i b e db yt h ef o l l o w i n gp a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ， j ? a t = d l u z x + u r l a n u ( t t ，。) + a 1 2 v ( t l z ) l ， iv t = 如+ v r 2 + a 2 1 u ( t l z ) 一a 2 2 v ( t 一下，z ) 】 i nt h ea b s e n c eo fd i f f u s i o ne f f e c t s ，b yr e g a r d i n gt h ed e l a yta st h eb i f u r c a t i o n p a r a m e t e ra n da n a l y z i n gt h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n so ft h el i n e a r i z e ds y s t e mo ft h e o r i g i n a ls y s t e ma tt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gt h a t t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dt h ec o n d i t i o n sg u a r a n t e e i n g t h a tt h es y s t e mc a nb i f u r c a t ep e r i o d i cs o l u t i o n sf r o mt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r e e s t a b l i s h e d i na d d i t i o n b ya p p l y i n gt h en o r m a lf o r mt h e o r ya n dt h ec e n t e rm a n i f o l d r e d u c t i o nf o rd e l a y e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a ne x p l i c i ta l g o r i t h md e t e r m i n i n gt h e d i r e c t i o n o f h o p f b i f u r c a t i o n ，t h es t a b i l i t y a n d p e r i o d o f b i f u r c a t e d p e r i o d i cs o l u t i o n s i s 西y e n f i n a l l y , b yu s i n gat o p o l o g i c a lg l o b a le x i s t e n c er e s u l t ，w eg i v et h eg l o b a l e x i s t e n c eo fb i f u r c a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n sa n di ti sf o u n dt h a tt h es y s t e me x i s t s a l w a y sa n o n c o n s t a n tp e r i o d i cs o l u t i o na f t e rt h es e c o n dc r i t i c a lv a l u eo ft h ed e l a y i nt h ep r e s e n c eo fd i f f u s i o ne f f e c t sa n dn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，b yl i n - e a r i z i n gt h es y s t e ma tt h es p a t i a lh o m o g e n e o u sp o s i t i v ee q u i l i b r i u ma n da n a l y z i n g t h ec o r r e s p o n d i n gc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ，t h es t a b i l i t yo fp o s i t i v ee q u i l i b r i u mi s s t u d i e da n dt h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h es y s t e mu n d e r g o e sah o p fb i f u r c a t i o n o fp e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，b yu s i n gt h en o r m a lf o r mt h e o r y a n dt h ec e n t e rm a n i f o l dr e d u c t i o nf o rp a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n e x p l i c i ta l g o r i t h md e t e r m i n i n gt h ed i r e c t i o no fh o p fb i f u r c a t i o no fs p a t i a lh o m o g e - n e o n sp e r i o d i cs o l u t i o n s ，t h es t a b i l i t ya n dp e r i o do fb i f u r c a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n s i sg i v e n i nv i e wo ft h i sa l g o r i t h m ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gt h a tt h eb i - f u r c a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo r b i t a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n du n s t a b l eo nt h e c e n t e rm a n i f o l da r eo b t a i n e d m e a n w h i l e ，t ov e r i f yt h et h e o r e t i c a lc o n c l u s i o n so b - t a i n e di nt h i sp a r t ，s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ea l s oi n c l u d e d w h e nt h e r ea r ed i f f u s i o ne f f e c t sa n dd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w ef i r s t l y o b t a i nt h ec o n d i t i o n ss u c ht h a tt h es y s t e me x i s t sp o s i t i v ee q u i l i b r i u ms o l u t i o n sa n d g i v et h ea s y m p t o t i ce x p r e s s i o no ft h e s ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ms o l u t i o n s s e c o n d l y , b y l i n e a r i z i n gt h es y s t e ma tt h eu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ms o l u t i o na n da n a l y z i n gt h e 兰州大学研究生学位论文第i 页 a s s o c i a t e dc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n i ti sf o u n dt h a tt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ms o l u t i o n i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ew h e nt h ed e l a ye q u a l st oz e r oa n dw h e ni t i si n c r e a s e dt o c e r t a i nc r i t i c a lv a l u e t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ms o l u t i o nw i l l l o s 8t h es t a b i l i t ya n d as p a t i a l l yh e t e r o h o m o g e n e o u sp e r i o d i cs o l u t i o nw i l lb i f u r c a t ef r o mt h i sp o s i t i v e e q u i l i b r i u ms o l u t i o n w “ht h ef u r t h e ri n c r e a s eo fd e l a y , a ta n o t h e rs e q u e n c eo fc r i t - i c a lv a l u e so fd e l a y , a l t h o u g ht h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ms o l u t i o ni sa l w a y su n s t a b l e ，a s p a t i a l l yh e t e r o h o m o g e n e o u sp e r i o d i cs o l u t i o nc a na l s ob i f u r c a t ef r o mt h i sp o s i t i v e e q u i l i b r i u ms o l u t i o n f o rt h ed i r e c t i o no fh c i p fb i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t ya n dp c - r i o do fb i f u r c a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n s w eg i v ea ne x p l i c i ta l g o r i t h mf o rd e t e r m i n i n g t h e s ep r o p e r t i e sb yu s i n gt h en o r m a lf o r mt h e o r ya n dt h ec e n t e rm a n i f o l dr e d u c t i o n f o rp a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a c c o r d i n gt ot h i sa l g o r i t h m ，i ti ss h o w n t h a tt h eb i f u r c a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n st h r o u g hh o p fb i f u r c a t i o n sa tt h ef i r s tc r i t i c a l v a l u eo fd e l a ya r eo r b i t a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo nt h ec e n t e rm a n i f o l da n dt h eb i - f u r c a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n st h r o u g hh o p fb i f u r c a t i o n sa to t h e rc r i t i c a lv a l u e so f d e l a y a r eu n s t a b l e s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ea l s og i v e nt ov e r i f yo u rt h e o r e t i c a l r e s u l t s k e y w o r d s ：d i f f u s i o n ；d e l a y ；s t a b i l i t y ；h o p fb i f u r c a t i o n ；n o r m a lf o r m ；c e n t e r m a n i f o l dr e d u c t i o n ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；g l o b a le x i s t e n c e 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所 取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等， 均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 本论文作者签名：趣鱼车 日期：放：璺：丝 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大 学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向 国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人 授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或 与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 力、 论文作者签名：趟鱼叠导师签名：名叠! 日期：垫霞：生! 堕 兰州大学研究生学位论文第1 页 第一章引言 第一节l o t k a - v o l t e r r a 系统的研究概况以及本文 研究问题的提出 数学生态学作为一门重要的学科在1 6 世纪就已经开始萌芽，直至u 1 9 0 0 年意大利 著名数学家v o l t e r r a 在罗马大学的一次题为“应用数学于生物和社会科学的尝试” 的演讲才为生物数学的发展奠定了一个里程碑尤其是l o t k a 4 8 和v o l t e r r a 8 0 分 别在研究化学反应和解释f i n m e 港鱼群变化规律时提出著名的l o t k a - v o l t e r r a 模型 后，生物数学的发展进入了一个新阶段但由于战争的原因，使得剐刚兴起的数学 生态学以及更广泛的生物数学未能得到健康发展直到2 0 世纪5 0 年代，电子计算机 的出现又重新激励了生物数学的发展并且此后生物数学的研究己成为一个非常流 行的研究课题，尤其在近3 0 多年来，生物数学的研究得到了蓬勃发展 人们最初对生物数学的认识和研究是从人口数量增长的研究开始的，其中最 早且最为著名的工作要数英国的神父m a l t h u s 4 芒e 1 7 9 8 年提出的人口几何级数增长理 论【5 8 1 由于m a l t h u s 忽略了有限的资源对种群增长的影响，因此他所建立的人口 增长模型便很快被人们提出了质疑1 8 3 8 年，p f v e r h u l s t 7 9 在他的同事a ，l j q u e t e l e t 6 5 所提出的增长阻抗概念的启发下，提出了单种群的l o g i s t i c 方程 警训， ，一料 n ， 其中u ( t ) 表示t 时刻的种群密度；r 0 叫做内禀增长率且表示种群个体的平均出生 率和死亡率之差，它反映了物种内在的特性；k 0 n q 做环境的容纳量且反映了资 源丰富的程度模型( 1 ，1 ) 的动力学行为十分简单，它有两个平衡点让= 0 和t = k ， 而且珏= k 全局渐近稳定，“= o 不稳定【6 2 】 虽然方程( 1 1 ) 能够较客观地反映一些单种群的增长规律，但仍存在一些不合 理的地方，因此方程( 1 1 ) 己被许多学者做了修改f 1 1 ，2 5 ，6 9 】此外，方程( 1 1 ) 的 一个重要缺陷是它忽略了种群繁殖的妊娠期或幼年到成年的成熟期，为此，e m w r i g h t 8 3 1 ，h u t c h i n s o n 3 4 ，w a n g e r s k y 和c u n n i n g h a m 8 1 l 提出了具有确定( 或离 散) 时滞的l o 幽t i c 方程 掣删， 1 一掣】， z ， 模型( 1 2 ) 也可作为单种群完全年龄结构的近似描述，参看文献【2 6 1 ，r o 时滞 的引入使得模型( 1 2 ) 成为一个无穷维的动力系统而且相应的动力学分析变得十 分复杂【2 4 ，6 2 ，8 4 关于模型( 1 2 ) 的研究，m a y 6 0 表明n r r e - 1 时模型( 1 2 ) 0 兰州大学研究生学位论文第2 页 平衡态= k 是指数稳定的，当e - 1 0 ，z q ，r 1n 【牡0 ，) = 0 ，正) ，( t ，z ) 【一r ，o 】q ， 、。 其中d o 表示种群的扩散率，qcr m 为具有光滑边界的有界区域 为了表示种群在其所处区域边界处的流动情况，还需要对模型( 1 4 ) 补充适 当的边界条件，如n e u m a n n 边界条件和d i r i c h l e t 边界条件在这些边界条件下的 模型( 1 4 ) 已被许多学者做了广泛深入的研究1 7 ，2 3 ，3 1 ，3 2 ，6 2 ，8 4 ，8 7 1 比如， g r e e n 和s t e c h 2 3 在1 9 8 1 年研究了模型( 1 4 ) 在d i r i c h l e t 边界条件下正平衡解的存 在性和局部渐近稳定性h u a n g 在文献f 3 1 1 中对g r e e n 和s t e c h 的结果作出了改进 而且在文献【3 2 1 中研究了正平衡解的全局渐近稳定性随后在1 9 9 6 年，b u s e n b e r g 和h u a n g 7 研究了在d i r i c h l e t 边界条件下时滞对模型( 1 4 ) 正平衡解稳定性的影 响以及在平衡点失去稳定性时产生周期解的h o p f 分支的条件对于同样的问题， y o s h i d a 8 7 和w l l i s 4 1 对模型( 1 。4 ) 在n e u m a n n 边界条件下的情形给予了研究至于模 型( 1 4 ) 在无界区域上行波解的研究可参看文献 6 2 】 实际上，大多数生态环境中生存的种群往往不止一种，这些物种由于受季节变 化、年龄结构、空间分布等因素的影响往往以复杂的模式相互作用，这些相互作 用主要表现为以下三种不同类型： 竞争关系种群在利用共同资源方面是竞争的一个物种数量越多，对其它 物种就越不利由于竞争作为进化的限制性因素具有极其重要的作用，因此一直受 到人们极大的关注 兰州大学研究生学位论文第3 页 互惠关系物种之间彼此相互受益如蜜蜂与花朵闻的互惠合作，藻类和真 菌问的共生、寄居蟹和海葵间的奇特伙伴关系就属于这一类型 食饵捕食关系捕食者从食饵获利但对食饵没有好处，食饵既是捕食者的资 源也是捕食者进行扩散的工具 l o t j 【a 和v o l t e r r a 最初的模型是基于两种群的食饵一捕食关系两建立的。假设 考虑的生态环境中只有食饵和捕食者两种群且除了捕食者涉猎食饵种群外每 个种群对自身的发展不具制约作用，他们获得了最简单的两种群食饵捕食关系 的l o t k a - v o l t e r r a 模型 ( 1 5 ) 其中( ) 和口( t ) 分别表示食饵和捕食者在t 时刻的种群密度，n 0 表示食饵种群的 内禀增长率，7 2 0 表示捕食者的死亡率，d 1 2 o 表示单位时间内捕食者对食饵的 捕获率且n 2 1 o 表示捕食者捕获的食饵向捕食者的转化率 虽然模型( 1 5 ) 可以解释一些生态学现象，如f i n m e 港鱼群的变化规律，但由于 在建模时忽略了种群内部的竞争机制，即所谓的密度制约作用1 5 2 l ，因此模型( 1 5 ) 有 许多不合理的地方比如在缺乏捕食者种群时，食饵种群的增长满足m a l t h u s 方 程圣= 酊实际上，当没有捕食者种群且食饵种群为争夺有限资源而生存时，一个 更加合理的模型应当d h l o g i s t i c 方程来描述【6 2 1 由于种群内部的竞争会导致该种 群的增长率降低，假设此时种群的减少和该种群的数量成正比，那么描述两种群食 饵捕食关系的l o t k a - v o l t e r r a 系统应当为 ( 1 6 ) 其中0 1 1 和n 2 2 均为正的常数 受模型( 1 6 ) 的启发，两种群相互作用的l o t k a - v o l t e r r a 模型的一般形式可写为 ( 1 7 ) 其中r i ，a , j ( i ，j = 1 ，2 ) 均为实的常数，r i ( i = 1 ，2 ) 分别表示两种群的内禀增长率， a l l 和。2 2 分别称为种内作用系数且体现两种群的种内竞争作用，口1 2 和0 2 1 分别称为 种间作用系数且体现两种群的相互作用 模型( 1 7 ) 按其中系数的取值可以分别体现两种群问的各种相互关系，如果每 一种群的存在对另一种群的增长产生抑制作用，如相互捕杀和共同竞争资源，那 么应该有a 1 2 0 时，模型( 1 7 ) 体现的是两种群间的互惠合作关系，而 当1 1 1 2 0 2 l 0 ，如 o 分别表示两种群的扩散系数，o ( i ，j = 1 ，2 ) 为常数 且ncr m 为一具有光滑边界的有界区域为了体现种群在所生存的区域q 边 界处的流动情况，系统( 1 8 ) 还应当包括适当的边界条件，如n e u m a n n 边界条件 和d i r i c h l e t 边界条件更一般的，当一个生态环境中生存更多的种群时，这些种群间 的各种相互作用可以用下面的偏泛函微分方程组来描述： 掣= 哦让t ( 抽) 讹( 拈) 【r ，。n ；- u j ( t 一，。) 】po 胙q ，( 1 9 ) l 蛳( f ，善) = 也( t ，z ) ，( t ，z ) 【- l 0 】q ，i = 1 ，2 ，n ， 其中忙l 。m 幻a x 。 嘞 在没有扩散影响时，系统( 1 9 ) 变为下面的常泛函微分方程系统 蛾( t ) 2 地( t ) 卜+ 1 u j ( t 一勺) j ，t o ，z g1 1 1 0 ) 系统( 1 1 0 ) 的动力学行为已被许多学者进行了广泛的研究【4 ，5 ，8 ，2 0 ，2 1 ，2 8 ，2 9 ，3 7 ， 4 0 ，4 l ，5 0 ，5 1 ，5 2 ，5 3 ，6 8 ，7 4 ，7 5 ，7 7 ，7 8 ，8 2 ，8 8 ，9 0 l 比如在没时滞时，文献i s ，5 2 获 砒砒 嚣i寮岬乏h 邮渺 小 帕讹 骝蜘 啦啦 卜 卅卅 加 咄地 巩篡嚣攀端 兰州大学研究生学位论文第5 页 得了系统( 1 1 0 ) 芷平衡点全局渐近稳定的充分条件；文献f 7 4 ，7 5 1 研究了系统( 1 1 0 ) 为 循环竞争系统时的时空混沌运动当时滞出现后，时滞对系统动力学的影响一直 是困惑人们的一大难题，近来文献【2 9 ，3 7 ，7 7 ，7 8 ，8 2 】研究了小时滞对系统( 1 1 0 ) 动 力学的影响例如文献【2 9 】表明在两种群合作的情形，如果非时滞的系统有正的全 局吸引子且相应的时滞系统是一致持久的，那么时滞系统当时滞充分小时有相同 的全局吸引子，文献【7 7 ，7 8 】获得了在小时滞情形竞争系统的全局吸引性问题文 献 3 7 ，8 2 】表明了对时滞竞争和食饵一捕食者系统而言，在一般情况下如果非时滞系 统是一致持久和最终有界的，那么相应时滞系统的解也是一致持久和最终有界的， 这表明在这种意义下时滞对竞争和食饵捕食者系统解的有界性和持久性是无害 的然而就合作系统而言，这结论一般来说就不见得能够成立，对相应的例子可 参看文献【9 】 由此可见，关于时滞对系统( 1 9 ) 动力学的影响主要集中在小时滞对系统稳定 性的影响和大时滞对系统解的持久性和有界性的影响至于大时滞对系统( 1 ，9 ) 稳 定性的影响目前的研究结果较少，尤其是高维( 有许多种群) 动力系统和多个时滞 的情形非常复杂，目前仅有极少数的文献就两种群的时滞食饵捕食系统和时滞 竞争系统考虑了这些问题( 【1 9 ，7 2 ，7 3 】) ，通过分析系统在正平衡点处线性化系统 的特征方程和应用泛函微分方程的h o p f ：分支定理，他们表明时滞的增加不仅能够 使正平衡点失去稳定性而且也可以使系统在正平衡点处分支出周期解，此外，他 们还研究了分支的方向和分支周期解的稳定性另外，通过h o p 盼支得到的周期 解般而言是局部的，因此文献f 3 0 ，7 3 】考虑了周期解的全局存在性，文献f 3 0 1 在假 设群落矩阵a = ( 啦j ) 负定的前提下得到了具有相同离散时滞7 _ 的竞争系统( 1 ，1 0 ) 具 有多个r 周期解的结论，我们注意到如果具有相同离散时滞7 的竞争系统( 1 1 0 ) 具 有- r 周期解，那么该周期解一定是系统( 1 1 0 ) 没有时滞时的一个周期解，然而根据文 献 8 ，5 4 口- f f j 知此时系统( 1 1 0 ) 的正平衡点是全局渐近稳定的，这说明有相同离散时 滞r 的竞争系统( 1 1 0 ) 没有周期为丁的周期解尽管如此，已有结果大部分是针对时 滞的食饵捕食系统和时滞的竞争系统，但没有考虑互惠合作的情形鉴于此，在本 文的第一部分我们主要在统一了竞争和互惠合作情形以及具有相同离散时滞的二 维l o t k a - v o l t e r r a 系统( 1 8 ) 中考虑下面的问题： 大时滞对系统( 1 8 ) 动力学行为的影响 在这一部分以时滞作为参数来研究时滞的变化对系统( 1 8 ) 动力学行为的影响 首先通过分析系统( 1 8 ) 在正平衡点处线性化系的统特征方程，我们发现当时滞小 于某个临界值时，系统( 1 8 ) 的正平衡点是渐近稳定的；当时滞穿过第一个临界值后， 正平衡点将失去稳定性而且当时滞在这一临界值的右端附近变化时，在系统( 1 8 ) 的 正平衡点处将通过h o p f ：分支产生一个周期解此外，随着时滞的进一步增加，在时 滞的另一系列临界值附近，虽然正平衡点是不稳定的，但系统( 1 ，8 ) 在该正平衡点处 仍能通过h o p f ：分支产生一个周期解除次之外，利用时滞微分方程的规范形理论和 中心流形约化获得了系统( 1 8 ) 周期解h o p f 分支的规范形，进而利用这规范形研 兰州大学研究生学位论文第6 页 究了上述周期解h o p f ：爿于支的方向和分支周期解的稳定性、周期等性质我们知道 上面提及的周期解仅仅是局部的，即我们只知道这些周期解对于充分接近临界值 的时滞而言是存在的，但对于远离临界值的时滞就不得而知了，因此在这一部分的 剩余部分我们还使用一个拓扑的h o p f f f f 支全局存在性定理研究了上述分支周期解 的全局存在性，研究发现在时滞的第二个临界值后在系统f 1 8 ) 正平衡点的周围至 少存在一个非常数的正周期解上述的研究充分表明了时滞对l o t l 泓v o l t e r r a 系统 动力学行为的重要影响，又一次体现了建立种群模型时考虑时滞的必要性，为更进 一步解释和建立更合乎实际的生态模型提供了重要的理论依据 当时滞和扩散同时出现时，文献【3 8 ，3 9 ，7 l ，7 6 研究了系统( 1 9 ) 的全局渐近稳 定性、持久性和收敛性，众所周知，动力系统的研究不仅包括有界性、持久性、收 敛性和稳定性的研究，而且还应当包括周期现象、分支和混沌的研究尤其是分支 周期解的性质一直是人们较为关注的一个热门研究课题f 1 9 ，8 4 1 因此本文中我们 研究的第二个问题是： 具有扩散和n e u m a n n 边界条件的两种群相互作用的时滞l o t k a - v o l t e r r a 系 统的分支问题 这一部分主要考虑系统( 1 8 ) 在n e u m a n n 边界条件下的分支问题和周期解假 设在没有扩散项和时滞时系统( 1 8 ) 具有一个全局渐近稳定的空闻非齐次正平衡点， 那么通过构造适当的l y p u n o v 泛函，可以证明齐次的n e u m a n n 边界条件对该正平衡 点的稳定性没有任何影响，因此就有必要考虑具有时滞时此类系统的动力学行为 基于这一思想，以时滞作为分支参数且通过分析系统( 1 8 ) 在空间非齐次正平衡点 处线性化系统的特征方程和验证偏泛函微分方程h o p f 分 支定理的条件，获得了系 统( 1 8 ) 正平衡点渐近稳定的参数范围以及在该平衡点处分支出周期解的条件此 外，通过使用偏泛函微分方程的规范形理论和中心流形约化给出了上述h o p f j j 支 的规范形，进而获得了判断这些h o p f 分支方向和分支周期解稳定性和周期的公式 这些研究表明作为时滞的参数对系统动力学的根本性改变以及改变的方向。进一 步表明了参数的变化对于系统动力学的影响，对解释一些在实验室和现实世界中 观察到的现象有着重要的理论意义 当时滞和扩散同时出现且系统具有d i r i c h l e t 边界条件时，由于系统( 1 1 0 ) 的非 平凡平衡解或周期解是空间非齐次的，因此，在这一情形研究系统( 1 1 0 ) 的动力学行 为便是一件十分复杂的任务【3 3 】前面已经指出，当仃= 1 时，系统( 1 1 0 ) ( 即( 1 ，4 ) ) 已 被许多学者做了广泛的研究并且获得了许多的有趣的结论比如，g r e e n 和s t e c h 2 3 研究了模型( 1 4 ) 在d i r i c h l e t 边界条件下正平衡解的存在性和局部渐近稳定性，并且 利用数值模拟的方法发现时滞的增加可以使正平衡解不稳定且能够导致周期解的 出现后来，b u s e n b e r g 和h u a n g 7 对这一问题给予了理论上的研究他们的研究表 明，当单种群生物的出生率比其扩散系数大但不能太大时，在时滞的某个临界值范 围内，模型( 1 4 ) 的正平衡解渐近稳定而且随着时滞的进一步增加平衡解将失去稳 定性，且在时滞的某些临界值处，模型( 1 4 ) 可以在正平衡解的附近分支出一个周期 兰州大学研究生学位论文第7 页 解在时滞的第一个i 临界值处，模型( 1 4 ) 分支出的周期解是稳定的，而在其它临界 值处分支周期解是不稳定的对于两种群的生态模型( 1 8 ) ，最近文献【9 l 】考虑了具 有相同离散时滞的两种群竞争系统中时滞关于动力学的影响事实上，文献 9 1 1 在 研究h o p f ：分支的方向和分支周期解的稳定性时，只是考虑了其中一个非常特殊的 情形鉴于这一原因，在本文的第三部分我们考虑的主要问题是： 具有d i r i c h l e t 边界条件时时滞对系统( 1 8 ) 动力学的影响 在这一部分，主要考虑d i r i c h l e t 边界条件下且有相同离散时滞的两种群相互作 用的时滞扩散系统( 1 ，8 ) 首先利用隐函数定理获得了该系统正平衡解的存在性和 渐近表达式，接着分析了没有时滞时该正平衡解的渐近稳定性且发现这些正平衡 解在没有时滞时是渐近稳定的然后以时滞作为参数分析了上述空间非齐次正平 衡解在时滞大于零时的稳定性和周期解h o p f 分支的存在性为了研究这些h o p f ：5 ， 支的方向和分支周期解的稳定性和周期等问题，还给出了描述这些性质的一个显 式算法根据这一算法，我们发现在时滞的每个临界值处出现的h o p 盼支都是超l 临 界的，且从时滞的第一临界值处通过h o p 盼支产生的周期解在中心流形上是稳定 的，而在其它临界值处产生的分支周期解是不稳定的这部分的研究充分表明 在d i r i c h l e t 边界条件下，时滞和扩散的出现能够使系统表现出更加复杂的动力学行 为，使系统表现出相应常微分方程系统所没有的许多动力学行为比如系统中其它 参数的交化可以使系统在平凡平衡解处出现跨临界( t r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n ) 分支， 同时时滞的出现不但可以使分支出的正平衡解失去稳定性，而且还可以使系统在 正平衡解处分支出空间非齐次的周期解 第二节本文的主要内容介绍 本文的主要任务是研究时滞扩散f k j l o t k a - v o l t e r r a 系统( 1 8 ) 的分支问题由于 在自然界中，分支现象普遍存在，而且它与混沌、突变、分形、拟序结构密切相关， 因此分支现象一直受到数学家、物理学家$ 0 - e 程技术人员的极大关注特别在近 年来分支问题的研究已成为动力系统的重要研究课题之一对分支问题的研究可追 溯到十八世纪以来对天体力学、弹性力学、流体力学和非线性振动的一些失稳现 象的探讨，因此分支问题有着深刻的应用背景但是直到二十世纪七十年代，由于 动力系统、非线性分析和非线性微分方程等方面研究的推动，以及强有力的数值 计算手段的协助，才开始形成分支的数学理论和方法，并在力学、物理学、化学、 生物学、生态学、控制、数值计算、工程技术以及经济学和社会科学中得到广泛 的应用 一般而言，微分动力系统产生分支的根源在于它的结构不稳定性1 4 9 ，而这种 结构不稳定性恰好出现在非线性系统在某个平衡点处线性化系统的特征方程具 有零实部根的情形因此判断一个系统是否存在分支往往需要研究原非线性系 统在某个平衡点处线性化系统的特征方程对于常微分方程系统而言，可以结 兰州大学研究生学位论文第8 页 合r o u t h - h u r w i t z 判别法来确定系统平衡点的稳定性和分支的存在性，但对于时 滞扩散系统，由于时滞和扩散的出现往往会使得一个系统变为无穷维的动力系统， 同时系统在某平衡点处线性化系统的特征方程相应的变成了超越代