（工程力学专业论文）分形节理岩体强度和变形尺寸效应规律的试验研究.pdf

青岛理工大学工学硕士学位论文 摘要 岩体内部结构的非均质性为确定现场工程岩体的真实力学参数及其尺度效应 带来了困难，而研究发现节理的分布是符合分形规律的。所以本文将分形理论与 相似理论相结合，通过研究实验室内相似尺寸试件强度和变形的尺度效应规律和 其随分形维数的变化规律，对被模拟的现场实际岩体工程进行指导。这样既省力 又省钱，方便快捷，因地制宜。据有巨大的理论和实际意义。 本文将理论与实践相结合，取得了如下成果： 1 ) 改进了使用相似材料模拟分形节理的技术环节。 2 ) 扩大了分形节理岩体单轴抗压强度、变形模量和泊松比尺度效应的试验研 究范围，并且得到了它们随尺寸变化的基本规律。 3 ) 通过模拟试验初步分析了分形节理岩体抗压强度和变形模量随节理分布分 形维数的变化规律。 4 ) 得到了综合考虑尺度和分维影响下分形节理岩体抗压强度和变形模量的变 化规律。 5 ) 通过编制m a t l a b 程序，提出了尺寸和分维同时变化时，分形节理岩体抗压 强度和变形模量的数学模型。 经验算，实验范围内我们所模拟岩体的函数值和试验值的误差在工程允许的 范围之内，因此该表达式可以对现场的实际岩体进行指导，同时也为进一步研究 打下了坚实的基础。 关键词：分形理论分形维数节理分形节理岩体相似理论尺度效应 青岛理工大学工学硕士学位论文 a bs t r a c t r o c km a s s e si sn o th o m o g e n e o u s ，s oi tm a k e sd i f f i c u l tt oc o n f i r mr e a lm e c h a n i c s p a r a m e t e r sa n dt h e i rs i z ee f f e c t ，i th a sb e e nr e s e a r h e da n dp r o v e dt h a tj o i n t sd i s t r i b u t i o n a c c o r d sw i t hf r a c t a lr e g u l a t i o n s c o m b i n i n gf r a c t a lt h e o r ya n ds i m i l a rt h e o r y , t h i sp a p e r i n s t r u c t sa c t u a lr o c km a s se n g i n e e r i n gw h i c hi ss i m u l a t e d ，a c c o r d i n gt or e s e a r c h i n gt h e s t r e n g t ha n dd e f o r m a t i o ns i z ee f f e c tr u l e sa n dv a r y i n gr u l e sa l o n gw i 血t h ef r a c t a l d i m e n s i o no fs i m i l a rs i z eb l o c k sa t t a i n e di nt h el a b 1 1 1 i sm e t h o dh a sm a n ym e r i t s ，s u c h a sc o n v e n i e n t ，e c o n o m i c a l i th a se n o r m o u sa c a d e m i ca n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e t l l i sp a p e ra t t a i n sf o l l o w i n ga c h i e v e m e n t sb yc o m b i n i n gt h e o r ya n dp r a c t i c e ： 1 ) mp a p e ri m p r o v e dt e c h n o l o g yp a r t so fu s m gs i m i l a rm a t e r i a lt os i m u l a t e f r a c t a lj o i n t s 2 ) mp a p e rm o r es t u d i e dt h es i z ee f f e c to fu n i a x i a lc o m p r e s s i v es t r e n g t h ， d e f o r m a t i o nm o d u l u sa n dp o i s s o nr a t i oo fr o c km a s s e sw h i c hh a v ef r a c t a lj o i n t sa n d a t t a i n e dt h e i rb a s i cr u l e sa c c o r d i n gt os i z ec h a n g e 3 ) mp a p e ra n a l y z e dt h eb a s i cr u l e so fu n i a x i a lc o m p r e s s i v es 廿e n g t h a n d d e f o r m a t i o nm o d u l u so fr o c km a s s e sw h i c hh a v ef r a c t a lj o i n t sv a r y i n ga l o n gw i t h f r a e t a ld i m e n s i o no f r o c km a s s e sj o i n t sd i s t r i b u t i n g 4 ) mp a p e ra n a l y z e dt h eb a s i cr u l e so fu n i a x i a lc o m p r e s s i v es t r e n g t h a n d d e f o r m a t i o nm o d u l u so fr o c km a s s e sb ys y n t h e t i c a l l yc o n s i d e r i n gs i z ee f f e c ta n df r a c t a l d i m e n s i o n 5 ) mp a p e rp u tf o r w a r dt h ec o m p r e s s i v es t r e n g t ha n dd e f o r m a t i o nm o d u l u so ft h e f r a c t a lj o i n t sr o c km a s s e sm a t h e m a t i c a lm o d e la l o n gw i t hs i z ea n df r a c t a ld i m e n s i o n v a r y i n gb ym a k i n gm a t l a bp r o g r a m b yc h e c k i n gc o m p u t a t i o n sw ek n e ws i m u l a t e dr o c km a s s e se r r o rb e t w e e n f u n c t i o n v a l u ea n de x a m i n a t i o nv a l u ew a sw i t h i nt h er a n g eo fe n g i n e e r i n gp e r m i s s i o n s ot h e f u n c t i o ne x p r e s s i o nc o u l di n s t r u c ta c t u a lr o c km a s se n g i n e e r i n gw h i c hi ss i m u l a t e d ，a l s o e s t a b l i s h e daf i r mf o u n d a t i o nf o rt h ef l l 血e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：f r a c t a lt h e o r y , f r a c t a ld i m e n s i o n ，j o i n t s ，f r a c t a lj o i n t sr o c km a s s e s ，s i m i l a r t h e o r y , s i z ee f f e c t i i 青岛理工大学工学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 引言 尺寸效应指的是在材料的性能测试中，一些性能参数随着材料结构尺寸的变 化而发生变化的现象。它是准脆性材料( 包括岩石、冰、各种复合材料、增韧陶瓷、 混凝土) 的固有特征。由岩体试件的模拟试验得到的力学参数不但依赖于材料性质， 而且与试件尺寸有关，这就是岩体的力学参数的尺寸效应。它包括强度、变形、 应力、应变、渗流等多方面内容。一般随着尺寸增长，岩体性质趋于一个极限值。 使岩体性质尺度无关的最小体积称为代表性单元体r e v ( r e p r e s e n t a t i v ee l e m e n t a r y v o l u m e ) 【1 】o 岩体是地质作用过程中，经受过变形，遭受过破坏，形成一定的岩石成分和 结构、赋存于一定的地质环境中，并作为力学作用研究对象的地质体 2 1 。它是由各 种结构面和被结构面切割而成的岩块共同组成的综合体。岩体中包含有大小不等、 方向不同、性质各异的节理和裂隙，它们同时赋存于地应力环境中，且具有多相 性。在工程实践中人们早就发现了尺度作用的存在。如开挖或维护大尺度地下空 间的困难比小尺度大的多：构筑大坝的困难与坝高增加成2 次或3 次幂的比例增 加。还有不少学者已认识到选择不同尺寸的岩体试件进行试验时，其强度和变形 有相当大的差别。这些现象按传统的弹性理论或弹塑性理论无法解释或解释是远 远不够的。如文【3 】介绍，r o c k a 和d a s i l v 于1 9 7 0 年， s h r o e d e 于1 9 7 4 年， b i e n i a l w s k i 于1 9 7 9 年在进行岩体的现场原位试验时，就发现了这个问题，认识到 原位试验结果的分散性很大程度上是尺寸效应的缘故。文 4 】的研究表明，当岩体 试样尺寸大于三倍典型节理迹长时，其试验的相对误差才可接受。因此，如何相 对准确地估计岩体的强度和变形参数，对于实际工程的设计和施工，以及准确地 估计岩体工程的变形和稳定都是十分重要的。文【4 】的研究同时也表明，在实践中， 如何做到三倍于节理迹长的原位试验，无论是选点、试验方法还是设备的使用上， 都是难以实现的。为此，考虑到如此大的现场原位试验的困难，人们试图利用模 型试验的方法来研究岩体的力学参数【5 l ，如m u l l e r 和p a c h e r ( 1 9 6 5 年) ，b r o w n ( 1 9 7 1 年) ，e i n s t e i n ( 1 9 7 4 年) 和周维垣( 1 9 8 8 年) 、朱可善( 1 9 8 9 年) 和朱维申( 1 9 9 4 年) 、潘 一山和魏建明等( 2 0 0 2 年) 【6 。这些试验一般是建立在试件加载破坏的基础之上的， 这对常规岩体力学参数的选取和确定，起到了很好的促进作用。 青岛理工大学工学硕士学位论文 1 2 课题的提出 完整岩体的强度指标可由现场采集的岩石试件在实验室测得，即用岩石强度 指标代替岩体强度。而破碎的节理岩体的强度指标，一般由现场试验方法测得。 其中，岩体单轴抗压强度一般采用原位试验直接测定，也可结合声波测试技术， 根据弹性波在岩体中和在均质岩块中的传播速度，由岩块单轴抗压强度间接估算。 可见，在实际工程中，由于破碎岩体中选取和测试反映岩体特性的大试件相当困 难且试验费用很贵，采用上述方法测定岩体强度指标是不经济、不现实的。 岩石或称为岩石材料( r o c km a t e r i a l ) 系指由天然岩体中切割制成的岩石样品， 已知样品的最大尺寸为2 7 6 c m 。岩石由于其生成条件及生成后亿万年地质构造作用 及大气风化作用，在岩石内部形成各种类型的空隙、微裂隙及肉眼可见的各种缺 陷，它们直接影响岩石的物理力学性质【8 i 。我们通常所进行的岩石强度试验所采用 的试件是完整的岩块，不包含节理裂隙。因为在一个小试样中的节理、裂隙是随 机的，不具有代表性。要想获得岩体的强度，就要作含有节理、裂隙的试件的强 度试验，需进行现场大型原位试验唧。 在岩体结构、赋存环境相同的条件下，岩体尺寸大小是影响岩体力学参数的重 要因素。当岩体体积大到某一值矿时，岩体力学参数不再随体积而变化，体积小 于矿时，岩体力学参数随岩体体积而波动。此矿即为岩体表征单元体积 r e v ( r e p r e s e n t a t i v ee l e m e n t a r yv o l u m e ) 。在岩体工程设计中，若无连续性好的大的 地质构造时，理应采用岩体强度指标，而不能使用岩石强度指标。因此，确定r e v 的尺度，了解尺度效应规律，无疑是解决岩体工程设计可靠性的关键环节。但是， 由于现场取样的局限性，研究岩体强度、变形等尺度效应的试验工作提出的技术 和经济要求通常是难以接受的。所以岩体强度与变形尺度效应研究的重点在于如 何能够根据小试件试验结果得到尺度效应规律。而研究小尺寸试件的尺寸效应的 前提是能够确定其中的节理分布规律。 岩体中节理的分布具有随机性，岩体强度具有明显的各向异性。但是在岩体强 度与变形的尺度效应研究中，如何考虑节理因素没有得到解决。大量的实际工作 经验和已有的研究成果表明，可以从几何概率观点对节理岩体进行研究。即在平 面内将岩体视为被几组具有不同分布特征的节理面随机切割成的平面多边形集合 体。因此获得如下认同：同一构造区中，节理面在空间的分布特征由节理迹长、 2 青岛理工大学工学硕士学位论文 间距、倾向、倾角、张开度等几何参数决定。岩体节理的空间分布大多具有自相 似特征，利用这种自相似性，可以通过小范围的节理网络统计，来推求更大范围 的节理网络发育特征。这种自相似性其实就是分形性，也是本论文所运用的主要 工具之一。也正是通过这一重要的性质，才解决了本论文中的节理分布规律的确 定问题。 1 3 国内外研究现状及水平 尺寸效应是岩体的结构效应之一，由于其重要的理论和实际意义，吸引了诸多 的研究者，也取得了令人瞩目的成就。 1 3 1 尺度效应的规律 到目前为止，已经进行过的总量不太大的岩石单向抗压强度试验结果表明， 可以获得一些具有共性的尺寸效应的规律： 1 ) 形状完全相似的、由同一种岩石加工成的岩石样品的单向抗压强度随尺寸 增大而明显减小。 2 ) 岩石强度随其尺寸增大而单调减小并趋于该种岩石的最小强度值。尺寸再 增大，其强度不变，此时岩石强度即为岩体强度。 3 ) 岩石中天然缺陷的数量、贯通性及其分布规律对尺寸效应有明显影响。 1 3 2 主要的研究方法 近几年来，岩石强度尺寸效应越来越受到从事岩土工程的专家学者的重视，人 们也在不断地探寻新方法以揭示其产生的机理，主要归结为： 1 ) 试验研究方法 岩石材料的强度尺寸效应同内在物理机制密切相关，故在试验研究中，要运用 c t 、电镜扫描( s e m ) 、声发射( a e ) 等先进技术，从微观与细观层次上对岩石破坏过 程区的成核、扩展及集结等破坏机制进行定量研究，揭示其在不同尺寸下的破坏 机制的差异。自w e i b u l l 1 0 1 ( 1 9 3 9 年) 对岩石材料强度尺寸效应进行了系统研究之 后，许多不同领域的研究工作者都对此进行了大量研究。基于试验研究的基础上， 对岩石强度与尺寸之间的关系主要结论有： ( 1 ) 单轴压缩下，岩石强度与尺寸无关。这种观点忽视了岩石材料的非均质 性。 ( 2 ) 单轴压缩下，岩石强度随着尺寸的增大而减小。这是普遍认同的一种观点。 青岛理工大学工学硕士学位论文 ( 3 ) 岩石在无围压作用下，通常表现为张破裂；在中等围压作用下，通常表现 为剪破裂；在高围压作用下，通常表现为塑性变形。这就是说，增大围压能使得 岩石由脆性逐步向延性转化，因而减小岩石强度的尺寸效应，这已为众多实验结 果所证实。 2 ) 理论分析方法 引入新理论、新观点，研究不同尺寸下岩石的损伤规律，以进一步探明岩石 强度尺寸效应的内在机理。如1 9 7 3 年，m a n d e l b r o tb b 【1 刁创立了分形几何学，在 以后的几十年里，分形几何学在岩石力学中得到了广泛应用；1 9 9 6 1 9 9 7 年， a u b e r t i n & s i m o n 1 3 】将m i s e s s c h l e i c h e r 强度准则与d r u c k e r - p r a g e r 强度准则统一起 来，得到了m s d p u 强度准则。 3 ) 数值模拟方法 采用一些新的分析手段，如非局部损伤理论等，实现对岩石内在微缺陷的产 生、扩展以及交汇过程的计算机模拟，分析不同尺寸下岩石强度的变化，探寻其 尺寸效应的规律。如2 0 0 0 年，唐春安等人运用r f p a 软件对五种高宽比相同但尺 寸不同的完整岩石的单轴抗压强度试验进行了数值模拟，并利用这一数值模拟研 究了强度与尺寸之间的关系。 1 4 尺度效应的影响因素 影响尺度效应的原因是多方面的，从内因和外因考虑可概括为8 种。 1 ) 岩石性质：矿物成分的性质、尺寸、数量差异较大和分布不均，使岩石非 均质性增强时，尺度效应增大；脆性材料的尺度效应大，延性材料的尺度效应小。 2 ) 节理或裂隙的性质：节理裂隙的密度、长度、形态、开1 ：3 、表面粗糙度和 充填情况等随尺度变化较大时，尺度效应明显。r e v 的大小和形状与节理的密度和 分布的方向性密切相关；节理稀疏且闭合好时，可能测不到尺度效应。 3 ) 试验类型：如张性试验比压缩试验的尺度效应大。 4 ) 试件形状：如长细比增加，可增加不稳定性的脆性破坏，尺度效应增大。 5 ) 试件加工：小试件的完整性好，强度偏高，大试件的表面裂纹容易在加工 中进一步遭到破坏，强度偏低。 6 ) 应力状态：围压小时，尺度效应大；围压大时，尺度效应小。岩石和试验 机之间的直径与性质不匹配引起的应力集中也影响尺度效应。 4 青岛理工大学工学硕士学位论文 7 ) 加载条件，简化方式，位移测点选择不当也可能影响尺度效应。 8 ) 尺度变化引起的破坏方式的改变：虽然尺度增加，增加了裂纹发生的概率， 使强度降低，但尺度减小，增加了面积一体积比，使表面缺陷产生应力集中，也 会使强度降低。小尺度试件的效应反常可由此解释。其次增大试件会增大裂纹扩 展的不稳定性，导致强度降低。节理密度不随尺度增加时的尺度效应可由此解释。 1 5 研究的目的和意义 由于岩体结构内部含有节理、裂隙等缺陷，这就为确定现场实际工程岩体的 真实力学参数及其尺度效应带来了困难，同时这也是岩石力学与工程的一个重要 课题。探寻岩石强度尺寸效应产生的内在机理，通过实验室测定的小尺寸岩石试 件的强度来预测岩体强度，是岩石力学的重要研究课题。 本论文所进行的研究要达到的目的： 1 ) 改进使用相似材料模拟分形节理的技术环节。 2 ) 扩大分形节理岩体单轴抗压强度、变形模量和泊松比尺度效应的试验研究 范围，从而得到它们随尺寸变化的基本规律。 3 ) 通过模拟试验初步分析分形节理岩体抗压强度、变形模量和泊松比随节理 分布分形维数的变化规律。 4 ) 得到综合考虑尺度和分维影响下分形节理岩体抗压强度和变形模量的变化 规律。 5 ) 通过编制m a t l a b 程序，提出尺寸和分维同时变化时，分形节理岩体抗压强 度和变形模量的数学模型。 如何得到现场实际工程岩体真实的力学参数，是岩石力学与工程的一个重要 课题。如果通过大量的现场原位试验来确定，则既费力又费钱，而且也不能做到 真正的原样试验。但是如果通过室内的小试件试验直接说明工程岩体的真实性状， 则是既省力又省钱，方便快捷，因地制宜。因而，通过实验室里的相似材料模型 试验，对岩体力学性质的尺寸效应的规律进行研究，以获得工程岩体力学性质( 强 度、变形参数) 的预测方法是十分必要的，而且也具有巨大的理论和实际意义。 青岛理工大学工学硕士学位论文 第2 章岩体分形节理的计算机模拟 2 1 分形几何的基本内容 2 1 1 分形几何的提出 在以往的生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世界的几何学是欧几里 德几何学，以及解析几何、射影几何、微分几何等，它们能有效地对规整几何图 形进行描述，使人们千百年来生产实践的有力工具。 但是随着社会的发展，人们逐渐感受到用传统几何并不能包罗万象地描述大 自然中所有的对象，如海岸线、山形、河川、岩石、断裂、树木、森林、云团、 闪电等等。 19 7 5 年，m a n d e l b r o t 首次提出了几何分维和分形( f r a e t a l ) 几何，分形的意思是 不规则、支离破碎。与传统几何学相比，分图形具有自相似性和递归性，易于计 算机迭代，擅长描述自然界普遍存在的景物。 2 1 2 分形的定义 分形几何是“混沌理论 几何，是七十年代发展起来的一个新的数学分支， 被描述为自然几何。自然特性很少以欧式几何的形式表现他们的形状如直线、三 角形、正方形等，而是常常作为混沌无序的形式考虑。欧氏几何与分形几何的比 较( 见表2 1 ) 【1 4 、1 5 1 。云、树、山脉、海岸线和岩石节理等都不是设计建造的，而 是未知的和随机力量联合作用的结果。几乎所有的都是不表现为经典几何概念， 而必须用分形几何来表示。近年来，分形几何在科学上的地位已变得越来越重要， 分形的思想和方法正日益影响着现代社会的生活，分形的理论已广泛应用于自然 科学和社会科学中。 表2 1 欧氏几何与分形几何的比较 欧氏几何 分形几何 历史2 0 0 0 多年最近2 0 多年间 对象人造物体适于自然形态 尺度 可用特定的比例及尺寸度量没有特定的比例和尺寸，有无限细节性 方法公式，基本元素算法( 递归，迭代) 维数0 及正整数( 1 或2 或3 )一般是分数( 可以是整数) 6 青岛理工大学工学硕士学位论文 事实上对于分形，目前还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗 略的说，分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。 m a n d e l b r o t 建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合，或者具有 某种意义下的自相似的集合。 f a l c o n e r 认为，分形的定义应该以与生物学家给出“生命”的定义类似的方法 给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，将分形看成具有 如下性质的集合f ： 1 ) f 具有精细结构，即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节； 2 ) f 是不规则的，以至于它的整体和局部不能用传统的几何语言来描述； 3 ) f 通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义上的： 4 ) f 在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数； 5 ) 在大多数令人感兴趣的情况下，分形集f 可用非常简单的方法定义，或许 是以递归方法产生【1 6 1 。 可见，这一定义基本包括了m a n d e l b r o t 的思想，同时又有一些新的知识和发 展。事实上随着分形研究工作的不断深入，其意义一直在不断延伸，李厚强从五 个方面作了概括【1 7 】： 1 ) 分形既可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息 构架起来的数理 模型； 2 ) 分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似，也可以只有其中某 一方面的自相似： 3 ) 自相似可以是严格的，也可以是统计性的，自然界的大多数分形都具有统 计意义的自相似： 4 ) 自相似性有层次结构上的差异，数学中的分形具有无限嵌套的层次结构， 而自然界中的分形只有有限层次嵌套，且在进入到一定层次结构后才有分形规律 ( 通常是幂率) ； 5 ) 相似性有级别( 即使用生成元或放大倍数) 上的差异，级别最高的是整体， 最低的是0 级生成元。级别越接近，则越相似，级别相差越大，相似性差异越大， 可用无标度区或标度区不变范围来表示【1 8 1 。 青岛理工大学工学硕士学位论文 2 1 3 几种分形维数的定义及计算 分形几何研究的图形比欧氏几何更为复杂，这种复杂性是用分维来刻画的。 正如用整数维数来刻画欧氏几何中的对象一样，点是零维、直线是一维、平面是 二维、空间是三维。当测量几何图形的长度、面积、体积时，分别用单位长度的 线段、单位面积的正方形和单位体积的立方体去度量，即一维图形用一维尺度测 量，二维图形用二维尺度测量。若用线段来测量二维、三维图形，其结果为无穷， 说明尺度太“细 ，若以立方体为尺度测量二维、一维图形，则结果为零，说明尺 度太“粗”。因此在测量集合时，其测量结果与所用的尺度有关。欧氏几何中图形 的测量只有整数维的尺度，而对于v o nk o c h 曲线一维尺度太细，二维尺度太粗， 因此应把它看成是一维与二维之间的几何图形，只有用非整数维的尺度去测量才 能准确地、定量地表现v o nk o c h 曲线的复杂程度。 目前还没有对所有分形都适用的维数定义，统称那些取非整数值的维数为分 维数，或分形维数。关于分维数已有多种定义：以下简要介绍几种分形维数的定 义及计算【1 9 、2 0 】： 1 ) 豪斯道夫维数 在被使用的多种多样的“分形维数”中，以c a r a t h e o d o r y 构造为基础的豪斯 道夫定义是最古老的也可能是最重要的一种。豪斯道夫维数具有对任何集都有定 义的特点。由于它是建立在相对比较容易处理的测度概念的基础上，因此在数学 上也是较方便的。它的主要缺点是在很多情况下用计算的方法很难计算或估计它 的值。 对于r n 中的任意子集f ，若s 为一非负数，且任意8 0 ，可定义： 飓s = 峨蜊8 ：u i 为f 的6 - 覆盖 ( 2 2 ) i = l 即在所有可能的直径不超过6 的覆盖中，取这些直径的s 次方的和的最小值。 当6 减少时，上式中的覆盖类是减少的，所以下限值咖随之增加，且当6 专。 时趋于一个极限值，该极限可以是( 通常是) 0 或o d 。记， 铲= l i m h s s ( 2 3 ) d + o 称萨为f 的h a u s d o r f f 澳1 度。 当8 s ，显然有， 8 青岛理工大学工学硕士学位论文 时妒酬s ( 2 4 ) 两边取下确界有心妒风s ，令6 专o ，可见对于t s ，若b s s ( f ) = ( 2 - 5 ) 其中，瞬譬象舞f f ( 2 - 6 ) 当s = d i m h f 时，h s ( f ) 可以是0 ，或满足0 哟 o o 。 例如f 是r 3 中单位半径的圆盘，由长度、面积、体积的性质知，一= l e n g t h ( f ) = 0 0 ，0 砰= ( 1 4 沁a r e a ( f ) o o ；印= ( 1 6 ) n v o l ( f ) = 0 ，所以，如果s 2 时，哟= 0 ，即d i m h f = 2 。 2 ) 盒维数 计盒维数或称盒维数( b o x c o u n t i n go rb o xd i m e n s i o n ) 是应用最为广泛的维 数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的数学计算及经验估计相对容易一些。 对这种维数的研究可以追溯到2 0 世纪3 0 年代，并且对它赋予各种各样不同的称 呼：k o l m o g o r o v 熵、熵维数、度量维数、对数密度等。我们恒称它为盒维数或盒 计维数以避免混乱。 设f 是r n 上任一非空的有界子集，6 ( 乃是直径最大为6 ，可以覆盖，的集的 最少个数，则f 的下、上盒维数分别定义为： d i m 口f ：l i m 攀( 2 - 7 ) 一 。；矿一l 0 9 0 研2 画等( 2 - s )声埘 一。一 如果这两个值相等，则称这共同的值为f 的盒计维数或盒维数，记为： d i m s f 2l 睁等( 2 - 9 ) 舢o一- ”与” 对于艄，进一步讨论得知，可为下列五种情况之一： ( 1 ) 覆盖f 的半径为6 的最少闭球数； ( 2 ) 覆盖f 的边长为6 的最少立方体数； ( 3 ) 与，相交的6 网立方体的个数； 9 青岛理工大学工学硕士学位论文 ( 4 ) 覆盖f 的直径最大为6 的集的最少个数； ( 5 ) 球心在f 上半径为6 的相互不交球的最多个数。 可以证明，计盒维数大于或等于h a u s d o r f f , 即d i m hf d i m 矗f _ 0 ，设x o ，x l ，x 2 ， ， x 肼是c 上的点，且满足对七= 1 ，2 ，m ，i x 。一x i = 万，m s ( c ) 为点x 1 ， ， 的最大数目，则分规维数定义为： 仇= l 蜘掣u ( 2 - 1 5 ) 艿剐 一o 若 从定义知，这类似于前述求海岸线维数的方法，相当于从起点用跨距为6 的分 青岛理工大学工学硕士学位论文 规在c 上依次往前分得的步数。因为翻译的问题，国内文献中又称为除法维、分 配维等。根据定义不难得之，分规维数一般大于计盒维数。 2 2 分形节理模拟原理 分形几何问世之后，经过几十年的努力，人们已经证实节理的表面粗糙性【2 1 1 、 节理长度分布 2 2 1 、间距分布 2 3 1 、空间分布瞄】以及岩石的损伤演化【2 5 】等符合分形规 律，还认为这些分形性在成因上有其一定的力学依据。由于现场取样的局限性， 进行此项研究必须用计算机模拟法。文【2 6 】曾证实，空间随机分布、负指数长度分 布的模拟节理具有分形性，并研究了节理密度、组数、平均长度等对组合节理“密 度性”和“相互连通性 的影响。文【2 7 】则发现，将节理分组分析，每组节理中点 符合聚集分形规律，提出了模拟实际节理分布的缩格法，但并未讨论这种模拟节 理的整体分形性。 本论文所使用的程序解决了如何运用计算机模拟反映客观实际的岩体节理及 其分布的问题。过去由于缺乏描述节理形态及其分布的合适数学方法，处理方法 比较简单，模拟结果与实际情况差别较大。分形几何问世后，为节理模拟提供了 新的数学工具。于是就有了本模拟节理分布的程序【2 羽的诞生。本章主要以有关模 拟原理为基础，建立有限尺度口明分形节理及其分布模拟【3 0 1 的数学模型，讨论这种 分形的盒计维数分析方法，检验模拟结果【3 1 1 的分形性。 2 2 1 分形维数及其有效尺度区 节理分形f 3 2 3 3 1 依据研究对象和目的的不同而有多种不同定义，通常用得较多 的是数盒子法，即覆盖分形子集的尺度为x 的非空盒子数n 满足： ) = q p( 2 1 6 ) 所以 d = ( 1 0 9 c - l o g n ) l o g x ( 2 - 17 ) 式中d 为盒计维数，c 为常数。 与纯数学意义上的分形不同，自然分形为统计自相似口4 1 ，且仅在一定尺度范 围有效尺度内成立。显然，有效尺度越宽，l o g n l o b r 线性越好，分形性就 越好。 设相邻盒子尺度之比x l 娩= 芦对应的非空盒子数之比l 飓= 1 ，由 ( 2 1 6 ) 式知 1 2 青岛理工大学工学硕士学位论文 8=，(2-18) 由于1 d 2 ，取7 = 2 ，当d = 2 时，= 4 ，则当d = 1 时，= 2 。其中前 者发生于盒子尺度过大区，后者可能发生于尺度过小区。因此，定义盒计维数时， 应在2 口或r 时，可得： 1 口蹦瓦 ( 2 2 3 ) 因此，已知d 1 、n r 、埘，可求得口、a 、b 、劬，在( 、n r ) 之 间随机选取节理数量 谚，由式( 2 - 2 2 ) 可完成一次节理长度抽样。 2 2 3 2 负指数长度分布 负指数分布过去被认为是节理长度分布的主要形式之一，应用较多。它来源 于泊松分布，表达式为： 1 4 青岛理工大学工学硕士学位论文 n u , ( x ) = c t p e 知( 2 - 2 4 ) 若x 在( 0 ，o o ) 上取值，x 。为平均长度，c 矿为节理数量。对于( a ，b ) 上的长 度分布，设坼 ，上式可表达为： = n r e 而( 2 - 2 5 ) i p 口j 铲等( 2 - 2 6 ) h l 工 l ，= ( 口+ x o ) + e 知 当b a 或n r 时有 ( 2 - 2 6 ) 代入( 2 2 7 ) 可得： 口= _ 鲁 ( 2 - 2 8 ) “嚣 再由式( 2 - 2 4 ) 得： x = 柚瓦n r + 口 ( 2 - 2 9 ) 所以，已知口、坼、m m 、三用，可求得a 、b ，在在( 、n r ) 之间随机选 取节理数量蜥，由式( 2 - 2 9 ) 可完成一次节理长度抽样。 2 2 4 一元线性回归分析 假设尺度为x 【i 】，覆盖分形子集的非空盒子数为y e i ，根据盒计维数定义，我 们可以根据一元线性回归分析原理求出盒计维数值，并检验它们的相关性口7 _ 羽。 设有n 对实际观测值( x i ，y i ) ，i = l ，2 ，n ，将每一对数据( x i ，y i ) 看作平面上 青岛理工大学工学硕士学位论文 一个点的坐标，若这些点大体上散布在某条直线的周围，也就是说x 与y 之间存 在某种线性关系，并设所求的回归直线方程为1 ：多= a = b x ，则 i y ，一夕，i - - l y ，一( 口+ 魄) l 就表示点( x i ，y i ) 到直线1 沿着y 轴方向的距离，于是 q ( 口，6 ) ：杰0 y ，一( 口+ 嘛) 俨就表示直线l 沿着y 轴方向的距离，于是不同的直线而 变化，或者说，是随着不同的a 与b 而变化的。我们的思想是找一条直线，使该 直线同n 个点的距离平方和最小，数学上就处理为：要找两个数a 、6 ，使二元 函数q 伍b ) 在a _ a ，b - 6 处达到最小。为此，令q b ) 分别对a 和b 的两个一阶偏 导数等于零，即， 署= 之孙n 一蚓= o ； 经整理得a = 歹一缸 ( x 一习( y 一刃 6 = 上l 一= ( x - x - - ) 2 其中，i = 丢喜x ，歹= 去喜y ，； 瓦a a = _ 2 喜( 胪口也) = 。 一刀 ( x 一习y 一泛( x 一i ) ( z 一i ) 2 i = 1 打 ( z f 暑l 打 ，l l i ) y i ) 2 如记k = ( x - x - ) c v 。- y ) ；三。= ( x 一i ) 2 ；k = ( y - y ) 2 ； i = 1i = 1i = 1 则6 ：粤， 上x 按最小二乘法求出a 、6 后，要检验x 和y 之间是否存在线性关系，检验的方法 有几种，我们釉相关融r 来检验，其定义如下r - 丽g x y ，喇l 。 2 3 分形节理的计算机模拟 节理计算机模拟程序的基本思路为： 1 ) 输入基本数值，d c 、d l 、k 、i m 、眦、r a k e 、v a r i a t i o n 等； 2 ) 缩格法确定节理中点坐标，节理数由m 嗽确定； 1 6 3 ) 根据确定的节理中点，模拟节理长度分布，节理在固定方向附近呈正态分 布，并在输入参数中增加一个反映角度变化幅值的参数； 4 ) 对所模拟的节理进行数盒子统计，统计出每一尺度范围内有节理的盒子数； 5 ) 根据尺度和统计的盒子数，进行一元线性回归分析； 6 ) 计算并输出一元线性回归分析的结果。 为叙述方便，本章的主要符号及其意义如表2 - 2 所示： 表2 - 2 主要符号及其意义说明 d 分布节理盒计维数 饺节理中点聚集维数 ， 节理中点模拟缩格次数 历 节理长度分形维数 朋每组节理数量 朋最长节理数 厶平均节理长度 力 节理组数 口最长最短节理比 ， l g n l g x 线形相关数 表2 - 3 节理模拟程序中输入的各符号的意义及其取值范围 种子值( 5 位的随机数；3 0 0 0 0 ； s e e d 若取值不同，则节理图不同) b基数，取为固定值2 n o编号，可任意取值 尼节理分组数( 一般取值为1 或2 ) 4 万分盒次数( 7 ) 嬲 最大节理数 d 节理中点的聚集维数( 1 5 d 1 8 ) 仇节理长度维数( 1 5 d l 1 7 ) 三m节理平均长度 h最长节理数( 5 1 2 毫米占1 o 6 5 1 2 毫米占2 9 5 0 3 0 6 5 毫米占3 7 8 0 1 5 一o 3 毫米占2 0 1 o 1 5 毫米占1 1 6 胶结材料：石膏和水泥。其中，石膏为一级熟石膏；水泥为4 2 5 号建筑用硅 酸盐水泥。 节理的模拟：此处采用硫酸纸作为节理的模拟材料。取2 组节理，倾角分别 为4 5 0 和1 3 5 0 ，倾角变化幅值为0 。 对于水泥石膏胶结材料，选用的模拟材料必须在胶结材料初凝前成型，成型 后为了迅速脱模，又希望终凝时间不要太长。为了控制凝结时间，本试验中采用 了浓度为1 的硼砂溶液作为缓凝剂。 本试验中各种材料的比例( 本论文中的比例均为质量比) 及参数如下表： 表3 - 2 水泥石膏相似材料配比表 编号砂胶比水泥石膏比抗压强度( m p a )弹性模量( g p a ) l43 ：76 3 07 2 245 ：54 8 07 o 34 7 ：34 5 06 7 45 3 ：75 o o3 6 55 4 ：64 0 16 5 655 ：53 8 3 3 7 7 56 ：43 3 35 9 857 ：33 0 03 1 注：( d 试验在自然干燥条件下养护7 d 后进行； 试件密度为2 4 9 e m 3 ； 用水量为试件重量的l 6 ； 表中各项数值均为不含节理的试件的参数值。 3 4 4 2 岩性模拟要求 欲模拟的岩石为微晶灰岩，节理发育且充填亮晶方解石，方解石脉对灰岩的 强度影响较大。经室内试验，抗压强度为3 2 2 8 3 3 m p a ，抗弯强度为 3 3 青岛理工大学工学硕士学位论文 1 0 3 7 1 6 4 6 m p a ，弹性模量为( 1 8 8 ) x i o a m p a 。按需要取几何比为l o ，由相似理论 可算出其应力比为1 3 ，则模拟材料的强度范围为抗压强度为2 4 7 6 4 m p a 、抗剪 强度为0 7 9 1 3 0 m p a 、弹性模量为( 0 1 4 0 6 2 ) x 1 0 4 m p a 。故水泥石膏能够满足相似 材料的要求。 青岛理工大学工学硕士学位论文 第4 章分形节理岩体的相似试验 岩体 4 5 “q 结构是非均质的，其内部具有位错、裂隙、孔洞、节理和弱面等缺 陷，这使得实验室测得的岩样强度离散性很大；另一方面，随着岩体试件尺寸的 不同，岩体强度呈现出很大的差异性，这就是岩体强度的尺寸效应。探寻岩体强 度尺寸效应产生的内在机理，通过实验室测定的有节理的相似岩体试件的强度来 预测岩体强度，是岩石力学的重要研究课题。有了前面几章作为铺垫，我们就可 以进行研究岩体尺度效应的相似试验了。 4 1 试验目的 本试验通过第2 章中选定的节理网络分布图，从而确定要模拟