（应用数学专业论文）boussinesq方程组的弱解和古典解.pdf

摘要 本文考虑如下b o u s s i n e s q 方程组的c a u c h y 问题： “+ ( u v ) u 。- b + v 。p = v 7 ，。a ：uj 。r o 。f ，, ：；：羔： ：三；： l 乩一。：尝彤( 0 删 其中n 表示空间维数， “( z ，t ) = ( n l ( 。，t ) ，u 2 ( z ，t ) ，“。( z ，t ) ) 表示流体速度， o ( x ，t ) 表示温度，p ( x ，t ) 表示压力函数，( x ，t ) = ( ，1 ( z ，t ) ，2 ( 。，t ) ，n ( z ，t ) ) 表示外 力，“o ，0 0 表示初始流体速度和温度，7 0 和e 0 分别是流体粘性系数和导热系数一、 ， 本文主要研究内容分为如下三部分： ( 1 ) 带一个粘性项a o 的2 - db o u s s i n e s q 方程组( 即问题( 十) 中1 = 0 ，e = 1 ) 本部分考虑二维b o u s s i n e s q 方程组的弱解和古典解的整体存在性f 首先考虑相应问题 t 弱解的整体存在性，其主要方法是利用7 0 ，= l 时的光滑解f “7 ，( 卵) 作为相应问题 的逼近解，并在能量估计的基础上证明 u 1 ) 在g ( 【0 ，t ；日) 空间中强收敛然后在二维无 粘b o u s s i n e s q 方程组( ，y = = 0 ) 古典解爆破准则( b l o w - u pc r i t e r i o n ) 的基础上，本文 证明了所求问题古典解的整体存在唯性，音一r 。 ， ( 2 ) 带一个粘性项u 的2 一db o u s s i n e s q 方程组( 即问题( ) 中，y = 1 ，e = 0 ) ， 利用一r = 1 ， 0 时的光滑解 u ) ， 萨 作为相应问题的逼近解，并证明 “5 ) 在 c ( c 0 ，t 】；h ) 空间中强收敛，从而得到了弱解的整体存在性另外，本部分还研究了相应问 、 题古典解的爆破准则关于弱解的唯一性和古典解的整体存在性尚未得到证明r ， ( 3 ) 三维无粘b o u s s i n e s q 方程组( 即问题( ) 中7 = = o ) ， 通过正则化方法得到原方程的逼近解序列，并通过研究逼近解序列的收敛性质证明了原 、 方程古典解的局部存在性然后，与兰维e u l e r 方程类似，本文给出了三维无粘b o u s s i n e s q 方程组古典解的爆破准则该准则表明只要流体速度场的梯度的三”范数有限，即如果对任 ，丁 意的t 0 ，1 1 w ( ，t ) i l d t 0 ，= 1a st h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n dp r o v et h a tt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n f c o n v e r g e ss t r o n g l yi nc ( o ，正h ) o nt h eb a s i so fe n e r g ye s t i m a t i o n s t h e n ，w e p r o v et h a tt h ec l a s s i c a ls o l u t i o no ft h ec a u c h yp r o b l e m o fb o n s s i n e s qe q u a t i o n se x i s t s g l o b a l l yb yv i r t u e o ft h eb l o w u pc r i t e r i o no fc l a s s i c a ls o l u t i o nf o r2 - db o u s s i n e s q e q u a t i o n sw i t h o u tv i s c o s i t yt e r m ( 2 ) 2 - db o u s s i n e s qe q u a t i o n s w i t ho n ev i s c o s i t yt e r ma u ( t h a ti s ，y = 1 ，e = 0i nt h e p r o b l e m ( ) ) f i r s t l y ，t h es o l u t i o n s ( u 。，0 5 ) o ft h ec a u c h yp r o b l e m ( ) w i t h ，y = 1 ， 0 a r e c h o s e na st h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s s e c o n d l y ，w ep r o v et h a t 矿) c o n v e r g e ss t r o n g l y i n g ( o ，卅；h ) a n d o b t a i n t h e g l o b a l e x i s t e n c e o f t h e w e a ks o l u t i o n s b u t t h e u n i q u e n e s s o ft h ew e a ks o l u t i o n sa n dt h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o na r en o to b t a i n e d ( 3 ) 3 - db o u s s i n e s qe q u a t i o n sw i t h o u tv i s c o s i t yt e r m ( t h a ti s7 = ：0i nt h ed r o b l e m ( + ) ) f i r s t l y ，w eo b t a i nt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sb yt h e r e g a l a r i z i n gm e t h o da n dp r o v e t h el o c a le x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o nf o ro r i g i n a le q u a t i o n sb yt h ec o n v e r g e n c e o ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s t h e n ，s i m i l a rt ot h e3 - de u l e re q u a t i o n s ，t h eb l o w u p c r i t e r i o no ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o nf o rt h e3 - db o u s s i n e s qe q u a t i o n sw i t h o u tv i s c o s i t y t e r mi s g i v e n i ti ss h o w nt h a ta sl o n ga 8t h el 。n o r mo ft h eg r a d i e n to ft h ev e l o c i t y v e c t o rf i e l do ft h ef l o wi sf i n i t e ，t h a ti s ，i f i l w ( ，t ) l l l d t 0 ，t h e n t h ec l a s s i c a ls o l u t i o ne x i s t sg l o b a l l yo n 【o ，t 】 k e y w o r d s ：b o u s s i n e s qe q u a t i o n s ，w e a ks o l u t i o n s ，c l a s s i c a ls o l u t i o n ，b l o w u pc r i t e 第一章引言 b o u s s i n e s q 方程组是流体方程中一类重要的方程，它是流体速度场与温度场耦合而成的 方程该方程在天气预报，海洋生态等领域都有重要的应用背景本文主要讨论b o u s s i n e s q 方程组的c a u c h y 问题： 啦+ ( “v ) t + v p = 7 a u + o f ， 仇+ ( t v ) 口= 口， d i v u = 0 ， “j 。0 = o ，口j t ：o = 如， 其中n 表示空间维数，t l ( z ，t ) = ( u 1 ( 。，t ) ，u 2 ( 。，t ) ，“。( $ ，t ) ) 表示流体速度向量， p ( z ，t ) 表示温度，p ( z ，t ) 表示压力函数，( z ，t ) = ( f l ( x ，t ) ，2 ( z ，t ) ，n ( 。，t ) ) 表示 外力，“o ，如表示初始流体速度和温度，7 0 和5 0 分别是流体粘性系数和导热系 数当7 ，都大干零时，( 1 1 ) 称为粘性b o u s s i n e s q 方程组当1 = e = 0 时，( 1 1 ) 称 为无粘b o u s s i n e s q 方程组 我们知道，b o u s s i n e s q 方程组与流体方程中的n a v i e r s t o k e s 方程及e u l e r 方程有着 密切的联系当温度函数口( z ，t ) 为零时，( 1 1 ) 即为n a v i e r - s t o k e s 方程众所周知，n a v i e r - s t o k e s 方程与e u l e r 方程是描述流体运动的基本方程，其中关于三维n a v i e r - s t o k e s 方程强 解的整体存在性及弱解的唯一性问题仍是当今著名的未解决问题与n a v i e r - s t o k e s 方程及 e u l e r 方程相比较，b o u s s i n e s q 方程组多了个未知温度函数且温度与速度和压力之间存 在着复杂的非线性关系从热动力学可知，任何运动都会产生热量即有温度，而且温度与速度 和压力之间必定互相转化，因此对该非线性系统的研究更具有实际意义，也更富有挑战性 近些年来，有关b o u s s i n e s q 方程组的研究取得了一些新的进展1 9 9 7 年，d o n g h oc h a e 和h e e s e o kn a m 给出了二维无粘b o u s s i n e s q 方程组在日空间中古典解的局部存在性 和爆破准则( b l o w u pc r i t e r l o n ) ( 【4 1 ) 1 9 9 9 年，d o n g h oc h a e ，s u n g - k ik i m 和h e e - s e o k n a m 又给出了二维无粘b o u s s i n e s q 方程组h s l d e r 连续解的局部存在性和爆破准则( 【3 】) 另外，n a o y u k ii s h i m t t r a 和h i r o k om o r i m o t o 在1 9 9 9 年给出了三维粘性b o u s s i n e s q 方 程组周期解的爆破准则( 1 1 0 ) ，y k a g e i 证明了三维粘性b o u s s i n e s q 方程组弱解的整体存在 性( 【1 1 】) 嘲嘲嘲徊 舻舻舻 k k 卜吕=蜒 2 第一章引言 本文将考虑仅带一个粘性项的二维b o u s s i n e s q 方程组( e p1 和e 只有一个为零1 弱解 的整体存在性和古典解的存在唯一性或爆破准则；本文还将给m , - - 维无粘b o u s s i n e s q 方程 组古典解的局部存在性及其爆破准则其结构和主要结果如下： 第二章主要对仅带一个粘性项a 0 的二维b o u s s i n e s q 方程组进行研究我们主要讨论了 该方程组弱解和古典解的整体存在性我们知道，当7 ，都不为零时，即二维粘性b o u s s i n e s q 方程组有解的整体存在唯一性但当1 ，都为零时，二维无粘b o u s s i n e s q 方程组弱解的整 体存在性还没有得到证明这里，我们考虑7 = 0 ，= 1 时弱解的整体存在性问题记 ”o = c u r l4 0 为“o 的初始旋度，则有 定理2 1 对任意的t 0 ，若“o e w 0 l 2 ，e o h 1 ，l ”( o ，正w 1 ，。( r 2 ) ) ， 则问题( 2 2 ) ( 1 z p f 司题( 1 1 ) 中7 = 0 ，e = 1 ) 存在整体弱解1 l 。o ( o ，t ；v ) n c ( o ，t ；h ) ，0 l 2 ( o ，t 日1 ) n l i p ( j 0 ，t ；h - 3 ) 文【4 中给出，若【0 ，t + ) 为二维无粘b o u s s i n e s q 方程组在日“空间中古典解的最大 存在区间，即t + 为使得l i ms u p ( 1 i “( ，t ) i i y m + l i o ( ，圳l m ) = 0 0 ( m 2 ) 成立的第一时 t ，1 。 r t 间，则有l i v o ( ，圳p 出= o o 由嵌入定理有i i v 0j i l * c 俐ij = r 。，因此，若我们证 f t * j 0 明归( ，t ) 0 h a d 亡是有界的，则问题( 2 2 ) 的古典解整体存在由于问题( 2 2 ) 中多了温 度耗散项a 8 ，通过能量估计我们容易证明p l 2 ( 0 ，t ；h 3 ) 因此有下面的定理成立 定理2 2 对任意的t 0 ，若( “o ，0 0 ) v ”( r 2 ) x h ( r 2 ) ，l ”( 【o ，卅；w “t o o ( r 2 ) ) ， 其中m 2 ，则问题( 2 2 ) ( 即问题( 1 1 ) 中7 = o ，= 1 ) 存在唯一解( u ，口) c ( i o ，t ；v ”( j 产) 。 日“( r 2 ) ) 我们将在2 2 1 节与2 2 2 节分别证明定理2 1 和定理2 2 ，其中空间y “，日”，h 和v 的定义见第2 1 节 第三章考虑了仅带一个粘性项u 的二维b o u s s i n e s q 方程组c a u c h y 问题弱解的整体 存在性和古典解的爆破准则其生要结果如下： 定理3 1 对任意的t 0 ，若u 0 v , 0 0 l 2 ，l o o ( 0 ，t ；w 1 ，o 。( r 2 ) ) ，则问题 ( 3 1 ) ( 即问题( 1 1 ) 中，y = 1 ，e = o ) 存在整体弱解u l 2 ( o ，t ；h 2 ) n g ( 0 ，卅；h ) ，口 l m ( o ，t ；l 2 ) nl i p ( j 0 ，卅；h - 3 ) 定理3 2 设( u o ，o o ) v ”( r 2 ) xh “( r 2 ) ，l 。( 【o ，列；w “ ”( r 2 ) ) ，其中m 2 ， 硬士研究生学位论文 3 若( “，口) 为问题( 3 1 ) ( 即问题( 1 1 ) 中7 = 1 ，e = o ) 的解，则1 0 ，t + ) ( o 0 为某正数 当n = 3 时，由于维数的提高，三维无粘b o u s s i n e s q 方程组古典解的爆破准则相对二维 ，t 情形要弱一些我们在第4 2 节中证明了对任意的t 0 ，只要i i w ( ，t ) l l p d t 0 对于磨光函数以“，我们有下列性质( 【4 ) 引理2 1 五如上定义，则有 ( i ) | f 五u l l c o f t t , t t c o ，v “岛( r “) ； ( i i ) d o 五“= 五d o u ，v i o is m ，u 日m ( 兄“) ； ( i i i ) l i 碑l i 五u n 1 1 m = 0 ，v “h “( r “) ； ( i v ) 忱“o 胛+ t ! 警j = r m ，jj j 。d “恢! 兰删胁 v u h m ( r “) ，七z + u o ) ，其中z + 为正整数集，e o ； ( v ) 厶( 五“) ”d x = 厶( 以”) u d x ，v u 工( 兄”) ，v ”e 酽( 础) ，；+ ：= 1 j 舻j r npq 为了证明后面所构造逼近序列的收敛性，我们介绍如下紧性定理 引理2 2 ( a u b i n l i o n s 紧性定理) 设xq yl z 是b a n a c h 空间，若x 紧嵌入 y ，且对t o ， ) 是工o o ( f o ，司；x ) 中的有界序列，假设这个序列定义在 o t 上，且 作为曩值函数是等度连续的，则这个序列在g ( 【o ，t 】；y ) 列紧， 下面的引理是先验估计中常用的g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式 bi 理2 3 ( g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式) 假设数q ，满足1 吼r o o ，且j ，i t i 是满 足0 j 0 ，若l i v o ( ，t ) l l p d t 有界，则问题( 2 3 ) 的解整体存在此时，通过简单的能量 ，t 估计我们可得l i v o ( ，t ) l l p d t 是有界的，因此问题( 2 3 ) 的古典解整体存在记 0 时问题( 2 3 ) 的光滑解为 矿) ， 萨) 我们将 ) ， 9 8 ) 作为问题( 2 2 ) 的光滑逼近解下 面是关于光滑逼近解的一些估计 引理2 4 若u o h ，t i o l 2 ，0 0 l 2 ，f l o 。( o ，t ；w 1 ，m ) ，则问题( 2 3 ) 的解 矿) ， 萨) 满足 。裟( m 蛐，+ 伽。) + 2 j oi l v 0 5 ( 毗。d t t0 d 0 t 、7 s u pi i ( 圳2 z c ，s u pi i v u 8 ( t ) 0 2 ：sd 其中旷= c u r l u 5 为u 5 的旋度，c 为与e 无关的常数 证明：在问题( 2 3 ) 的第一式和第二式两边分别与矿和0 5 作l 2 内积，我们得到 ；翱u i l f l l z i 1 0 5 1 1 l 。i i 叫l l 2 ， ( 2 4 ) ；翱叫1 2 ：+ i i v 0 刈2 。= o ( 2 5 ) 这里用到了【( u v ) ， ) = o ，u v ”w 1 ，- 进一步，利用y o u n g 不等式，( 2 4 ) 式可 化为 ；翱“刮2 ：t i l f l l l u 钏l 。+ 1 1 酽1 1 ；, 。) ( 2 删 将( 25 ) 和( 2 6 ) 两式两边对应相加，并整理得 釉怯+ i i 。) + 2 1 1 v o i l f l l l 。( 1 i 。+ 1 1 矿1 1 ：) ( 2 7 ) 硕士研究生学位论文 7 应用g r o n w a l l 不等式的估计技巧，将( 2 7 ) 式左右两边乘以e x p 一f o i l f l l 归d 亡】，并整理 可得 袅 e x p 一，f o 。i ! ，l l c 。a t ( i “5 i i i z ：i i 口i i ：2 ) ( 。) + 2 e x p 卜j oi l f l l 刎1i l v 0 8 9 2 ： o “p 【一j ( 1 1 i ，l l 。：d q ! ! “5 1 1 2 。+ 9 5 i i i 。) ( 29 ) 。+ 2r e x m - - i l f l l l 。& 彬l 睦：d s i n s i i 呲： 弘鄙 在( 2 9 ) 式两边乘以e x p 【上l 川泸8 q ，并整理可得 l l u 5 ( t ) i l 笔。+ l l o ， ( t ) 1 l t t + 2 ：2 v 9 6 ( 。) 【乏2 8 。( 2 1 0 ) lf ti i f ( t ) l ld t 濉。+ 幡忆2 e x p i i f ( t ) l l l 。d t e 2 。) 、 l5 i | j i 。+ 幡忆。j l l u 洲l 。sg 1 1 “o | l 小，j i 醣0 1 1 l 2 墨c l l o o l l l z 因此( 2 1 0 ) 司化简为 l l u ( t ) | 1 2 。+ i i o ( ，t ) l l ：z + 2j o “i 。5 ( 。) o i 2 d 。( 2 1 1 ) t ill(毗删此+iloollcexp 1 0 0 1 1 2 2 ) 卜4 “ ff ) f f l * 叫( 怖嵫+ j 下面考虑旋度旷：c u r l “e 的l 2 估计，对问题( 2 3 ) 的第一式两边分别取旋度，得到 旋度方程为 + ( u e v ) 叫s = c u r l ( 0 6 ，) + e a w 5 ， ( 2 2 ) 在( 2 1 2 ) 式两边分别与 5 作l 2 内积，有 ；芝| l ”皂：+ s 【l v ”钏l 。= ( c u r l ( 0 5 ，) ，”) - 21 3 又 。r 1 ( 吖) = 筹丘+ 酽两o h 一面0 0 e ，一酽差 所以( 2 1 3 ) 式化筒为 刊知_c(1lll俨。”+刷iiv_ko描+川iiwil。c i l f l l i i l v o 2 co 等搿豁悒川2 “) ( | i b l i 叫5 i i l 。) + ( 0 v ，l i z i l 扩i l z 2 十1 l 。驴j 、 c ( 1 l f l l , 。+ i i v t l l , 。i i o 。l 睦。) + c ( 1 l v 0 5 i i 各+ 1 ) 1 l 8 i i i 。 | i 钟叫1 2 2 仇x p g 。v 酽幢2 + 1 ，4 1 。 z 丁c 忖悒+ i i v ，“t i i 酽悒z ，a 。：。， + e x - c o r ( 1 i v 嘞+ 1 ) d 扎 皑均 注意到叫6 = c u r l u 6 = 五叫o ，由引理2 1 得i i 引l 。a 0 叫o i i l 。又由( 2 1 1 ) 式和， 8 u 孽! 忪5 ( ) 嵫d o t t 饥2u 知a d x d t m r j ，r 卜5w 曲十饥：晰础l + l z 7 厶嘶捌z h z r 胁硼础f 1 6 ) i 1 1 u 5 i l l 2 l i v u 5 i l l 2 i l l p i i l d s u p ( i l 6 1 1 l 。i | v t l i i l 。) i i v l l l d t ( 2 1 7 ) ， ，j 一0 0 t tj o 硕士研究生学位论文 9 所以 一= 1 f 厶唧；妒+ 蹦妒a 础l _ l f 厶：p i 曲妒+ 即；妒d 础l。船， r t ( f f 西i i l ：| f v 妒f f l ：+ | i 啊5 驴f f 妒f i l 。) d t 由p ，v 建的表达式，利用c a l d e r 6 n z y g m u n d 不等式有 1 1 硝1 1 l tsc “e 忆2 t i i v 蚓i l 。c l i 0 6 f i l l 。c l i f l i l i i 矿 进一步，由引理2 3 ( g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式) 有 矿晤s 酬矿怯i i w 5 i l l = 所以【2 1 8 ) 式可化为 1 1sg f 0 0 1 ( 1 1 矿1 1 l 2 l l v u 5n l 2 1 1 v 妒l l l 2 + 1 1 7 ”酽! ；2 ”妒”l 2 8 。 ( 2 1 9 ) 下( z 1l s c 。 s u t p 丁( 1 1 u 6 0 i t i i v u 5 i i l 2 + i i i i i l 。l l 俨i i 驴) 0 l i 妒l l h l d 。 又容易得到 i i i t l l f l l l * i i _ p i i * i i 矿i i l 2 d t _ 。s u t s p t ( 1 1 1 1 1 l 。1 1 8 5 i i l 2 ) 上| | l p i i l 。d 2 2 0 ，v = e i f o tf r 2v u e v c p d x d t l e f 0 t 1 1 v u 5 l l c z l l v 妒1 l c 。a t 。， s u p1 1 v i l l tll i v 妒i i l 。d t 0 t t j 0 不妨假设e 1 ，则( 2 2 1 ) 化简为 i vss u p i l v 舻她，n o v 妒怯d t ( 2 删 将( 2 1 7 ) ，( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 2 ) 式带入( 2 ，1 6 ) 式，并利用引理2 ，4 ，有 1 f 小脚i g 翩咖觇 仁2 3 ， 因此 u 在l 。o ( o ，t ；h 一2 ) 中一致有界，引理证毕 定理2 1 的证明：由引理2 4 可知， u 5 ) 在l 。( o ，t ；y ) 中有界， 酽) 在l 。( o ，t ；口) 和l 2 ( 0 ，t ；日1 ) 中有界因此存在一个子序列，仍记为，酽，使得 t ，土“，在l ( 0 ，t ；y ) 中， 1 0 第二章 仅带粘性项a 8 的二维b o u s s i n e s q 方程组 酽土0 ， 在工。( 0 ，t ；l 2 ) 中， 0 5 0 ，在工2 ( o ，? ；1 ) 中 又由引理2 - 5 和引理2 2 ( a u b i n l i o n s 紧性定理) 得到， 旷) 中存在子列在c ( o ，t 】；日) 中强收敛为了简单起见，我们假定原始的序列收敛到面即 u 5 斗面，在g ( o ，t l ；日) 中 显然“( t ) = 舀( t ) 另外，易知，萨满足积分方程 ； 0 ，若( n o ，0 0 ) v ( 兄2 ) xh ”( r 2 ) ，l ”( 【o ，卅；”，。( r 2 ) ) 其中m 2 ，则问题( 2 2 ) 存在唯一解( “，o ) g ( 【o ，t 】；v ”( r 2 ) h ”( r 2 ) ) 证明：令。为多重指标且i q l = 2 ，将算子d o 作用于问题( 2 2 ) 的第二式两边，然后 与d n 口作l 2 内积，有 ；袅i i 。钏2 ：+ l i d 。钏备，i 厶：d 。( v ) 日) 。口d z i ( 2 z t ) 对( 2 2 4 ) 式关于川= 2 求和，并整理可得 ；割9 惕+ 俐备。 i 厶。此v 舻叫+ 坛v 8 d 2 叫 s l 厶：v u 椭胸a z 卜f r 。v u v o d 3 0 d x l + 2l n ：u d 2 8 厕a 叫心2 砷 剑。u d 2 0 。3 0 d x i + i 厶：v 田佃3 阳叫 e i i d 3 口1 1 t 。+ c l i d 2 p l l 2 t | | u l l i + c l l v o l l ；, o 。i l v u l l 2 。 利用g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式和y o u n g 不等式，有 渺咣各l i d 2 l i d 3 钆z 俨胁i l l ， ( 2 2 6 1 e i i d 3 刚2 z + 硎“嵫i l w l l 2 。l i d 2 咣。 、 由嵌入定理可知 i l v o l l ；。e | | v 刚知m 再次利用g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式，有 1 1 v 口4 之sc ( 1 l v o l l ；, 。+ d 2 钏2 l 。) g 1 1 日| | 夏1 01 l d 3 8 0 i 。+ 1 1 知4l i d 3 e o 夏1 4 ( 2 2 7 ) 所以将( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 两式带入( 2 2 5 ) 式，并利用y o u n g 不等式整理可得 i 副口2 h 。+ 备。 e o d 3 p i i t 。+ c i i u i i t 。tl w , u , z l i d 2 0 1 1 ；, 。 + c i i v 1 1 2 l ：( i i o i i 善i i d 3 眦。+ 玉l i d 0 4 3 钏习1 4 。 8 e o d 3 日1 1 2 l 。+ c l l u t t i 。i l w l l ：。l i d 2 p | | 2 l ：+ c l l v “1 | 薹1 1 日1 1 2 。+ c l l w , 1 1 2 。i 1 0 1 1 ：z 1 2 第二章仅带粘性项口的二维b o u s s i n e s q 方程组 取e = j 1 ，并利用g r 。n w a l l 不等式有 i i o ( ，：+ o t 慨，驯啪s e x p c 翩叫，圳鲫v u ( ，圳胁i i l 0 0 1 1 ；, 。 + g l 。s u 。p ， 。( 1 l s u p ( 1 l v “( - ，t ) 1 1 善+ 1 1 w ( ，t ) 1 1 2 t ) 1 1 口( ，t ) i 睦： t + g l 。 0 ，若u o k 0 0 l 2 ，工。( o ，t ；w 1 ，o 。) ，则问题( 31 ) 存 在整体弱解“l 2 ( o ，t ；h 2 ) n g ( o ，卅；日) ，口l o 。( o ，t ；l 2 ) f q l i p ( 0 ，列；h 一3 ) 类似于定理2 1 的证明，要证明问题( 3 1 ) 弱解的整体存在性，我们考虑如下b o u s s i n e s q 方程组的c a u c h y 问题： l “ + ( 让e v ) 矿+ 即6 = 俨，+ 钍5 ， ( z ，t ) r 2 ( 0 ，) ， 。聊篙笺：器i 篙意：j ： 。， iu 5 i t ：o = u 5 ，p 6 i t ：o = 口5 ， 。r 2 其中蛎= 五“o ，锈= 五0 0 第三章 仅带粘性项u 的二维b o u s s i n e s q 方程组 记l 可越【3 2 】的光滑解为 旷 ， 俨，我们有如下估计 引理3 1 若u 0 k0 0 l 2 ，f l 。( o ，t ；w 1 ，。) ，则有 。嚣导( 忪( 呲：+ l l 酽( 0 1 1 z ：) + 2z 1 啊u 邓川细墨c s u p i i v u 5 ( 0 l l 毫。+ i a u 5 ( t ) 嵫d t c 0 t tj 0 其中c 为与e 无关的常数 证明：在问题( 3 2 ) 的第一式和第二式两边分别与t 5 和酽作l 2 内积，我们得到 ；翱怯+ i i v u s c o i i o 渊b ( 3 3 ) ；副d ”忆2 一o ( 3 - 4 ) 进一步，利用引理2 1 ，( 3 4 ) 式可化为 酽u l t = i i i i l + g l i i l l t ( 3 , 5 ) 将( 3 5 ) 式带入( 3 3 ) 式，整理可得 引d u t 帅2 + 2 1 i v u c l l s l l 2 。i l o o l l 2 。+ i l u + 幢。 ( 3 6 ) 利用g r o n w a l l 不等式有 i l u e o ) i l l t + 2 厂1 1 v “5 ( t ) i i ：d t cs u pi i $ ( t ) 1 1 2 。i l 0 0 1 1 z 。t e 。r + c l l = a l l i ：e t ( 37 ) j oo t t 下面考虑v u s 的铲估计，将问题( 3 2 ) 的第一式两边分别与a u 作l 2 内积，可得 ；翱v 叫 2 州阻钏：= “u 6 v ) u e ，时) + ( 以 由h s l d e r 不等式，y o u n g 不等式和引理2 3 ( g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式) ，有 ( 酽，a u r ) f i l l l 。f i 伊f f l 2 l i a r , s f f l 。o t l l a u 5 f f 2 t + c l l f l l z * i i x l l 2 。 ( ( u v ) u s ，a u 8 ) s 口l | u 8 1 1 皂2 + c 1 1 u1 1 2 40 v t 上1 | 2 l 4 a 2 l l a u 8 i 睦。+ g l l 矿i l l ：i i v 50 2 l 。0 u 5 i l l z 口3 0 t ，l 睦t + c l l t , 5 i l i ，i i v - 5 l l i z 由以上的估计，( 3 8 ) 式可化为 ；岳”圣“5 1 1 2 2 之1 1 i a ，。u + a 4 1 1 a u “c 笔2 ( i i ，l i i 。1 1 2 。1 l u 。：。v 。l l ：) ( 3 9 ) 5 1 1 主。+ ( i i ，l i 主0 酽l 瞪。+ 1 。0 羔z0 v 让5 l l 羔：) 堡圭! 壅竺兰竺